09计算机《离散数学》期中试卷答案

泉州师院2010-2011学年度第一学期
2009级计算机《离散数学》期中试卷答案
一、单项选择题:（20%，每空2分）
1．设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ B ）。

A ．{a}∈P(A)
B ．{a}⊆P(A)
C ．{{a}}∈P(A)
D ．{{a}}⊆P(A)
2、假定全集E ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5}，B ＝{2,3,4,7,8,9}，则A ∪B 的位串是（ D ）。

A ．1000000001
B ．0011100000
C ．0111001110
D ．0111101110 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。

A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A)
B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A)
C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A)
D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A)
4．设p ：你主修计算机科学，q ：你是新生， r ：
你可以从校园网访问因特网。

只有你主修计算机科学或不是新生，你才可以从校园网访问因特网。

可符号化为( D )。

A ．r →p ∨q
B ．r →p ∧q
C ．r →⌝p ∨q
D ．r →p ∨⌝q
5．下列是两个命题变元p ，q 的极小项是（ C ）
A ．p ∧┐p ∧q
B ．┐p ∨q
C ．┐p ∧q
D ．┐p ∨p ∨q
6、下列等值式不正确的是（ C ）
A ．┐(∀x)A ⇔(∃x)┐A
B ．(∀x)(B →A(x))⇔B →(∀x)A(x)
C ．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
D ．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔( ∀x)A(x)→(∀y)B(y) 7、若s={1,2,3,4}，S 上关系R 的关系图为：
则R 具有（ C ）性质。

A 、自反性、对称性、传递性
B 、反自反性、反对称性
C 、自反性、对称性
D 、自反性
8．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A ，则对应于R 的A 的划分是（ D ）
A ．{{a},{b,c},{d}}
B ．{{a,b},{c},{d}}
C ．{{a},{b},{c},{d}}
D ．{{a,b},{c,d}}
9、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。

A. 23
B. 32
C. 3
32
⨯
D. 2
23⨯
10．设R 1和R 2是具有反对称性，则下列（ C ）不具有反对称性。

A. R 1―
1 B. R 1∩R
2 C. R 1∪R 2 D. R 1－R 2
二．填空题（20%，每题2分）
1．集合的表示法有 列举法、描述法 。

则设、 } {0 A 1
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=∞
= i i i A i i
,...,,,,,321102 3．令p ：今天下雪了，q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为 p ∧⌝q。

4．复合命题(p →⌝q)∨(⌝p →⌝q)是___永真___式（永真式或永假式或可满足式）。

5．令谓词P(x,y)表示”x 爱y ”,个体域是全世界所有人的集合，用P(x,y)、量词和逻辑词符号化“所有人都爱某些人”： ∀x ∃yP(x,y) 。

6．设个体域D={a,b},∃x ∀y (F(x,y)∨G(y))消去量词后的式子为 (F(a,a)∨G(a)) ∧(F(a,b)∨G(b)) ∨(F(b,a)∨G(a)) ∧(F(b,b)∨G(b)) 。

7．∃xF(x)∧∀xG(x)的前束范式是 ∃y ∀x (F(y)∧ G(x)) 。

8．设A={a,b,c,d},下列左图所示关系矩阵所表示的关系R={ { <a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,d>,<c,b>,<c,c>,<d,c> } }。

⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=01
00
011010010011R M
9、设某偏序集的哈斯图如上述右图，该偏序集的拓扑排序为 1,5,3,2,7,9,6,4,8。

10．设A ＝｛a,b,c,d ｝,R=I A ∪{<a,c>,<c,a>,<b,d>,<d,b>}为A 上的等价关系，
则[a]= {a,b} 。

三、计算题（20%，每题5分） 1、问A ∪(B ⊕C)=(A ∪B)⊕(A ∪C)吗？为什么？ 解：上式不成立。

设A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5} 则：
A ∪(
B ⊕C)= {1,2,3}∪{2,5}={1,2,3,5}
(A ∪B)⊕(A ∪C)= {1,2,3,4}⊕{1,2,3,4,5}={5}
所以：A ∪(B ⊕C)≠(A ∪B)⊕(A ∪C)
2、求公式(p ∧q)∨r 的标准析取范式，再根据标准析取范式求标准合取范式。

解：(p ∧q)∨r
⇔ (p ∧q ∧⌝r)∨(p ∧q ∧r) ∨(⌝p ∧⌝q ∧r)∨
(⌝p ∧q ∧r)∨(p ∧⌝q ∧r)∨(p ∧q ∧r)
⇔ m 1∨m 3∨m 5∨ m 6∨m 7
⇔M 0∧M 2∧M 4
3、设A={a,b,c,d}，其上关系R={<b,b>，<b,c>，<c,a>}，S={<b,a><c,d>,<d,a>}，
求（1）R S
（2）R 的对称闭包及传递闭包。

解：
(1) R S={<b,a>,<b,d>}
(2) R 的对称闭包S(R)= {<b,b>，<b,c>，<c,a>，<c,b>，<a,c>} (3) R 的传递闭包t(R)= {<b,b>，<b,c>，<c,a>，<b,a>}
4、设},,,,{54321x x x x x A =，偏序集><R A ,的Hass 图为：
求 ① A 中最小元与最大元。

② {x 2,x 3,x 4}的极小元和极大元。

③ {x 2,x 3}的上界与下界。

④ {x 3,x 4}的上确界与下确界。

解：
①A 中无最小元，最大元为x1。

② {x 2,x 3,x 4}的极小元为x4，极大元为x2,x3。

③ {x 2,x 3}的上界为x1，下界为x4。

④ {x 3,x 4}的上确界为x3，下确界为x4。

四、证明题（24%，每题8分） 1、设A 、B 是任意集合，证明：(A-B)∪(B-A)=(A ∪B)-(A ∩B) 证： =(A ∪B)-(A ∩B)=(A ∪B)∩~ (A ∩B)=(A ∪B)∩(~A ∪~B) =A ∩(~A ∪~B))∪B ∩(~A ∪~B)=A ∩~B ∪B ∩~A=(A-B)∪(B-A)
2、证明下列推理：
前提：(p ∧q) →r, r →s, ⌝s ∧p 结论：⌝q 证：
析取三段论
置换
拒取式化简化简前提引入假言三段论前提引入前提引入(5)(8) q (9)(7) q p (8)(3)(6) q)(p (7)(2) s (6)(2) (5)p p s (4) (1)(2) s ) (p (3)
s (2)r r ) (p )(⌝⌝∨⌝∧⌝⌝∧⌝→∧→→∧q q 1
4. 用数学归纳法证明：
2
333)2
)1((
21,+=+++∈∀++n n n N n
证： 当n =1时,
左=1 右=(1⨯(1+1)/2)2
=1 结论成立. 假设对n ≥1结论成立,
2
333)2
)1((
21+=++++n n n 则对于n+1有:
22
22
2223
23
333)
2
)2)(1(()
2
2()1()
444()1())1(4()1()1()2
)1(()1(21++=++=+++=+++=+++=++++++n n n n n n n n n n n n n n n 得证当n+1时结论也成立.
五、判断题（16%，每题2分）
(在括号中写“对”或“错”)
1、 gcd(21,7)的值为7，⎡-2.3⎤的值为-2。

( 对 )
2、 设A,B,C 均为E 的子集，则A ⊆B ⇔A ∪(B-A)=A 。

( 错 )
3、间接证明法可形式化地表示为：A →B ⇔⌝B →⌝A 。

( 对 )
4、对每个最大项而言，只有与下标编码相同的赋值是成假赋值，其余都是成真赋值。

（对 ）
5、设个体域是整数集Z ，则∃x ∀y ∀z((x+y=z)的真值为1。

（ 错 ）
6、∀x(A(x) ∨B(x))与∀xA(x) ∨∀x B(x))不等价。

（对 ）
7、因为若R 是A 上的关系，且m,n ∈N ，则R m ︒R n =R m+n ,所以R ︒R -1=R 0=I A. （ 错 ）
8、一个关系若是自反的，则必定不是反自反的，若是对称的，则必定不是反对称的。

( 错 )。