中考数学一轮复习微专题路径与最值圆弧型路径导学案

合集下载

初中考数学专题总复习《圆》辅助圆最值问题

∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为( B )
A. 5
B. 1
C. 2
D. 3
第6题图
7. (2019－2020南宁九年级期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点F 是BC边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于点G，交射线CD于点E，连接CG，则CG的最小值为__2__1_0___2．
第5题图
模型三隐形圆最值
模型分析类型一直角对直径如图①，△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的 O(不包含A、B两点)．
图①
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足
5
作OE⊥OF，OE、OF分别交AB、BC于点E、F，则EF的最小值为____2____．
第9题图
10. 如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分
∠ABD交CD于点E，则
CE CD
2 的最小值是____2____．
第10题图
第7题图
类型二定弦定角如图②，△ABC和△ABD中，AB的长度为定值(定弦)，点C、D在AB的同侧，且 ∠C＝∠D(定角)，我们把这样的模型根据其特征称为“定弦定角”模型，且A、B、 C、D四点共圆．
图②
注：作出辅助圆是关键，再结合圆中最长的弦是直径，及求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
8. 如图，在边长为 2 3的等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上两个动点，且满足AE＝CD，BE、AD相交于点P，连接CP，则线段CP的最小值为( B )
0
d－r

微专题路径与最值圆弧型路径-中考数学一轮复习导学案

微专题路径与最值（圆弧型路径）班级：姓名：学习目标：1.掌握动点运动过程中，产生的运动路径类型，及与之相关的最值问题 2.通过学习，进一步培养分析问题，解决问题的能力。

重难点：用轨迹的观点看问题学习过程一．知识储备1.圆定义：圆是到的距离等于的点的集合。

2.直径所对的圆周角是。

3.同弧所对的圆周角。

二、典型例题例1：如图，OA OB ⊥,P Q 、分别是射线OA OB 、上两个动点，点P 在OA 上由A 向O 运动，同时点Q 由O 向B 运动，且4PQ =，点C 是线段PQ 的中点，在运动过程中，点C 所经过的路径长为例2：（2016安徽）如图，Rt △ABC 中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足PAB PBC ∠=∠，则线段CP 长的最小值为例3：（2016·省锡中二模）如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，AC AP ⊥交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（）A. 1B. 2C.例1 例3例2三、中考预测（2014•成都）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是．四、反思总结1.本节课你复习了哪些内容？2.通过本节课的学习，你还有哪些困难？五、达标检测（2016淮安）如图，在Rt ΔABC 中，90C ∠︒＝，6AC ＝，8BC ＝，点F 在边AC 上，并且2CF ＝，点E 为边BC 上的动点，将ΔCEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是 .、如图，3AC ＝，5BC ＝，且90BAC ∠︒＝，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（）A ．213-B ．213+C ．5D ．916BCF EA。

201x版中考数学复习圆导学案鲁教版五四制

2019版中考数学复习圆导学案鲁教版五四制复习目标：1、理解圆的有关概念，掌握垂径定理；圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理；圆周角和圆心角的关系定理．2、掌握点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；会利用切线的定义、切线的判定定理判定一条直线是否为圆的切线；能灵活运用切线长定理．3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算重、难点：掌握圆的有关性质，直线和圆、圆和圆的重要位置关系，以及与圆有关的计算问题。

一、基础复习：1、垂径定理：推论：平分的直径垂直于弦，且弦所对的两条弧。

2、在同圆或等圆中，、、、四组量有一组量相等，其余各组量对应相等，圆周角却有两种情况；同弧或等弧所对的圆周角是其所对圆心角的；直径所对的圆周角是；圆内接四边形的对角3、点与圆的位置关系：（圆半径为R，点到圆心距离为d）若d＞R_____________ 若d=R_________ 若d＜R_____________直线和圆的位置关系（设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d）相交相切相离圆与圆的位置关系（若两圆半径为R，r(R＞r)，圆心距为d）外离______________；外切_____________；相交_____________；内切_____________；内含__________．4．切线的判定和性质(1)判定：经过半径的__________并且_______于这条半径的直线是圆的切线．(2)性质：圆的切线垂直于过______的半径．（3）切线长定理：5、三角形外心是的交点，到的距离相等。

三角形的内心是的交点，到的距离相等。

6、正n边形的中心角= ，外角= ，内角= ；7、半径是R的圆中，n o的圆心角所对的弧长为，扇形面积是或。

圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积= ，圆锥的全面积=二、基本思路方法：圆的复习要注意转化、数形结合、分类讨论、方程、函数等数学思想方法的运用。

2025年高考数学一轮复习-第九章-第三节-圆的方程【导学案】

法三
设
A（3，0），B（0，1），☉M
的半径为
r，则
kAB＝
－－
＝－
，AB
的中点坐标为
，
，∴AB 的垂直平
分线方程为 y－＝3 －，即 3x－y－4＝0.联立得
－－
t
，解得 M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）
＋－ t ，
2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M 的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
D.x2＋y2＋x＋y－9＝0
解析：A 由结论 1 得，圆的方程为（x－3）（x＋2）＋（y＋1）（y－2）＝0，整理得 x2＋y2－x－y－8＝0，故选
A. 2.点 M，N 是圆 x2＋y2＋kx＋2y－4＝0 上的不同两点，且点 M，N 关于直线 x－y＋1＝0 对称，则该圆的半径等于（）
A.2
＝，故选 A.
4.圆 C：x2＋y2－2x＋6y＝0 的圆心坐标为（1，－3）；半径 r＝
.Байду номын сангаас
解析：圆 C：x2＋y2－2x＋6y＝0，转化为标准方程得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所以圆心坐标为（1，－3），半
径为 . 5.若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4 的内部，则实数 m 的取值范围是（－，） . 解析：∵点（0，0）在（x－m）2＋（y＋m）2＝4 的内部，∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－＜m＜ .
＋
＝3，两边平方化简得 2x2＋2y2－9x＋9＝0，即（x－9）2＋y2＝ 9 ，
（－）＋
所以点 M 的轨迹方程为（x－9）2＋y2＝ 9 .
（2）法一设 C（x，y），因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0.因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在，所以 kAC·kBC ＝－1，又 kAC＝ + ，kBC＝－，所以 + · －＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为（x －1）2＋y2＝4（y≠0）.

2024年中考数学第一轮复习导学案与圆有关的计算

一、知识点总结：1.圆的相关性质：-圆是一个平面上所有离其中一点距离相等的点的集合。

-圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是圆周长的2倍。

-圆的弦是圆上任意两点之间的线段。

-圆的切线是与圆只有一个交点的直线。

-圆的切点是切线与圆的交点。

2.相关公式和定理：-圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。

-圆的面积公式：A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。

-切线定理：切线与半径垂直。

3.圆的计算问题：-已知半径，求周长和面积。

-已知周长，求半径和面积。

-已知面积，求半径和周长。

-已知直径，求周长和面积。

-已知弦和半径，求弧长和面积。

二、解题思路和方法：1.已知半径，求周长和面积：-周长的计算公式是C=2πr。

-面积的计算公式是A=πr²。

2.已知周长，求半径和面积：-先求出半径，再利用半径求出面积。

-半径的计算公式是r=C/(2π)。

-面积的计算公式是A=πr²。

3.已知面积，求半径和周长：-先求出半径，再利用半径求出周长。

-半径的计算公式是r=√(A/π)。

-周长的计算公式是C=2πr。

4.已知直径，求周长和面积：-先求出半径，再利用半径求出周长和面积。

-半径的计算公式是r=d/2，其中d表示直径。

5.已知弦和半径，求弧长和面积：-弧长的计算公式是L=rθ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示弧度数。

-面积的计算公式是A=(θ/2)*r²。

三、样题解析：1. 已知圆半径为5 cm，求圆的面积和周长。

解：- 面积的计算公式是A = πr² = 3.14 * 5² = 78.5 cm²。

- 周长的计算公式是C = 2πr = 2 * 3.14 * 5 = 31.4 cm。

2. 已知圆的周长为18 cm，求圆的半径和面积。

解：- 半径的计算公式是r = C / (2π) = 18 / (2 * 3.14) ≈ 2.87 cm。

中考数学一轮复习第25课圆的基本性质导学案

第25课圆的基本性质【考点梳理】：知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系7、圆周角定理8、圆周角定理的推论【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：垂径定理及其推论【例题赏析】（2015•山东泰安,第9题3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（）A． 4B．6C．2D．8考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．.分析：首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．解答：解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=OC=2，∴AC=2CD=4．故选A．点评：此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．【考点二】：垂径定理及其推论的实际应用【例题赏析】（2015•江苏南通，第15题3分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= 8 cm．考点：垂径定理；勾股定理．.分析：根据垂径定理，可得AC 的长，根据勾股定理，可得OC 的长，根据线段的和差，可得答案．解答：解：由垂径定理，得 AC=AB=12cm ．有半径相等，得 OA=OD=13cm ．由勾股定理，得 OC===5．由线段的和差，得 CD=OD ﹣OC=13﹣5=8cm ，故答案为：8．点评：本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC 是解题关键，又利用了勾股定理．【考点三】：圆周角定理及其推论【例题赏析】（2015•海南，第14题3分）如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A ． 45° B． 30° C． 75° D． 60°考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：作半径OC ⊥AB 于D ，连结OA 、OB ，如图，根据折叠的性质得OD=CD ，则OD=OA 据含30∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB 的度数．解答：解：作半径OC ⊥AB 于D ，连结OA 、OB ，如图，∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ， ∴OD=CD ， ∴OD=OC=OA ， ∴∠OAD=30°，而OA=OB ， ∴∠CBA=30°， ∴∠AOB=120°， ∴∠APB=∠AOB=60°．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．【考点四】：圆内接四边形的性质【例题赏析】（2015•湘潭，第7题3分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD 的度数是（）A ．60°B ．90°C ．100°D ．120° 考点：圆内接四边形的性质．.分析：根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，求解．解答：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180°． ∵∠DAB=60°，∴∠BCD=180°﹣60°=120°．故选D ．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：解答本题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补的性质．【真题专练】1. （2015•四川遂宁第7题4分）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB=6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC=（）A ．3cmB ． 4cmC ． 5cmD ． 6cm2．（2015•宁夏第13题3分）如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O 的半径为．3. （2015•永州，第6题3分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别交⊙O 于C 、D 知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45° B．40° C．25° D．20°4．（2015•湖北, 第9题3分）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（） A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°5.（2015•四川巴中,第9题3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（）A．25° B．50° C．60° D．30°6.（2015•宁夏第6题3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°7.（2015•青岛，第6题3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°8.（2015•黄石第14题，3分）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O 于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．9.（2015•宁夏第13题3分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为．10.（2015年四川省达州市中考，24,9分）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．【真题演练参考答案】1.（2015•四川遂宁第7题4分）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．.分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解答：解：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．2．（2015•宁夏第13题3分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．.分析：连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．解答：解：连接OB，∵OC=OB，∠BCD=30°，∴∠BCD=∠CBO=30°，∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，∵直径CD⊥弦AB，AB=2，∴BE=AB=，∠OEB=90°，∴OB==，即⊙O的半径为，故答案为：．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．3.（2015•永州，第6题3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45° B．40° C．25° D．20°考点：圆周角定理．.分析：先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P 的度数．解答：∵和所对的圆心角分别为90°和50°，∴∠A=25°，∠ADB=45°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠P=45°﹣25°=20°．故选D．点评：此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．4．（2015•湖北, 第9题3分）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（） A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理．专题：分类讨论．分析：利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．解答：解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，∴∠A=40°，∠A′=140°，故∠BAC的度数为：40°或140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．5.（2015•四川巴中,第9题3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（）A．25° B．50° C．60° D．30°考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：由圆周角定理求得∠BAC=25°，由AC∥OB，∠BAC=∠B=25°，由等边对等角得出∠OAB=∠B=25°，即可求得答案．解答：∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC=50°，∴∠BAC=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=25°，故选：A．点评：此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6.（2015•宁夏第6题3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．.分析：首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．解答：解：∵∠BOD=88°，∴∠BAD=88°÷2=44°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣44°=136°，即∠BCD的度数是136°．故选：D．点评：（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.（2015•青岛，第6题3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°考点：切线的性质；正多边形和圆．分析：连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．解答：连接OB，AD，BD，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴AD为外接圆的直径，∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．∵直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．点评：本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键8.（2015•黄石第14题，3分）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O 于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为．考点：垂径定理；解直角三角形．分析：如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题．解答：如图，连接AM；∵AB=8，AC=3CB，∴BC=AB=2：∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°；由射影定理得：BM2=AB•CB，∴BM=4，cos∠MBA==，故答案为．点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答．9.（2015•宁夏第13题3分）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若AB=2，∠BCD=30°，则⊙O的半径为．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．.分析：连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．解答：解：连接OB，∵OC=OB，∠BCD=30°，∴∠BCD=∠CBO=30°，∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，∵直径CD⊥弦AB，AB=2，∴BE=AB=，∠OEB=90°，∴OB==，即⊙O的半径为，故答案为：．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．10.（2015年四川省达州市中考，24,9分）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且=连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；（2）求证：△BCD≌△AFD；（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．考点：圆的综合题．分析：（1）由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；（2）由DB=DA，可得=，即可得=，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；（3）首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD是等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE 的长．解答：（1）DB=DA．理由：∵CD是△ABC的外角平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，∴∠MCD=∠BAD，∴∠ACD=∠BAD，∵∠ACD=∠ABD，∴∠ABD=∠BAD，∴DB=DA；（2）证明：∵DB=DA，∴=，∵=，∴AF=BC，=，∴CD=FD，在△BCD和△AFD中，，∴△BCD≌△AFD（SSS）；（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，∵DB=DA，∴=，∴DN⊥AB，∵∠ACM=120°，∴∠ABD=∠ACD=60°，∵DB=DA，∴△ABD是等边三角形，∴∠OBA=30°，∴ON=OB=×5=2.5，∴DN=ON+OD=7.5，∴BD==5，∴AD=BD=5，∵=，∴=，∴∠ADC=∠BDF，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACD∽△EBD，∴，∴，∴DE=12.5．点评：此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．。

九年级数学中考一轮复习微专题二讲义：圆的基本性质

微专题二：圆的基本性质【知识点扫描】1. 圆上各点到圆心的距离都等于.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分.4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.5. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的.6. 半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是.7.圆内接四边形的对角．8.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为 .9.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .10.圆锥的侧面积公式：S=rlπ.（其中为的半径，为的长）；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.【难点突破】重难点1垂径定理及其应用一．选择题：1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点G，点F是CD上一点，且满足CF:FD =3:7，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=3，AF=3，给出下列结论：⊙FG=2；⊙5 tanE；⊙495DEFS=；其中正确的是( )A. ⊙⊙B. ⊙⊙C. ⊙⊙D.⊙⊙⊙二、填空题：1.在半径为1的⊙O中，两条弦AB，AC的长分别为3和2，则弧BC的长度为．三、解答题：1.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊙CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：⊙ADG⊙⊙AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求⊙ADG得面积与⊙AFD的面积比．重难点2圆周角定理及其推论一、选择题1. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设⊙BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α2.如图，点C为⊙ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且⊙ACB=⊙ABD=45°，若BC=8，CD=4，则AC的长为（）A．8.5B．5C．4D．二、填空题1.如图，⊙O是⊙AB C的外接圆，AD⊙B C于D，CE⊙AB于E，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊙B C于M，BF为⊙O的直径，下列结论：⊙四边形AH CF为平行四边形；⊙AH＝2OM，⊙BF＝2F C；⊙DN＝DH；其中正确的有______(第1题) （第2题）2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，2）、B（0，2+m）、C（0，2-m）（m＞0），点P 在以D（4，6）为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足⊙BPC=90°，则m的最大值是3.如图，AB，BC是⊙O的弦，⊙B=60°，点O在⊙B内，点D为上的动点，点M，N，P 分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是三．解答题1.请完成以下问题：（1）如图1，=，弦AC与半径OD平行，求证：AB是⊙O的直径；（2）如图2，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行．已知圆的半径为r，AC=y，CD=x，求y与x的函数关系式．2.如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是⊙ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：⊙APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．3.如图1，已知四边形ABCD 内接于圆0，AD=BC ，延长AB 到E ，使BE=AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF（1）若圆0的半径为3，⊙DAB=120°，求劣弧BD 的长；（2）如图2，连接BD ，求证：BF=21BD ；（3）如图3，G 是BD 的中点，过B 作AE 的垂线交圆0于点P ，连接PG ，PF ，求证：PG=PF图1 图2 图34.如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为⊙α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数30.2°40.4°50.0°61.6°的度数55.7°60.4°80.2°100.3°⊙α的度数43.0°50.2°65.0°81.0°猜想：、、⊙α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若⊙α=60°，AB=2，CD=1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D 重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒⊙求弦CG的长；⊙求圆O的半径．重难点3 三角形的外接圆及圆内接四边形一、选择题1.如图，点A 的坐标为A （8，0），点B 在y 轴正半轴上，且AB=10，点P 是⊙AOB 外接圆上一点，且⊙BOP=45°，则点P 的坐标为（）A ．（7，7）B ．（7，7）C ．（5，5）D ．（5，5）2.如图所示，四边形ABCD 中，DC⊙AB ，BC=2，AB=AC=AD=3．则BD 的长为( ) A.13 B.5 C.23 D.243.如图，⊙ABC 内接于圆O ，延长AO 交BC 于点P ，交圆O 于点D ，连结OB ，OC ，BD ，DC （）A ．若AB=AC ，则BC 平分ODB ．若OCBD ，则CD ：AB=：3C ．若⊙ABO=30°，则OC BDD ．若BC 平分OD ，则AB=AC二．填空题1.在⊙ABC 中，45AB =5AC =，11BC =，则⊙ABC 的外接圆半径为____________2、如图，⊙ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊙AC于M，下列结论中正确的是．⊙DB=DC；⊙AC+AB=2CM；⊙AC﹣AB=2AM；⊙S⊙ABD=S⊙ABC．重难点4弧长及扇形面积的有关计算一．选择题1．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．2π﹣1C．2π﹣2D．π﹣2二．填空题1、如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．（1）线段AA'的长为．（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为（两小题均用含a，α，β的代数式表示）2、如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为_ __3、如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊙AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=4cm，则图中阴影部分面积为cm2．三、简答题1、在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角⊙BAC与圆心角⊙BOC互补．（1）求⊙BOC的度数．（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．。

2025年高考数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】

第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题,一般在选择题或填空题中出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>r d=r d<r微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?提示:直线与圆相交或相切.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r2>0).位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2- 2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+ 2·( + )2-4 .常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+ 12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+ 22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3541.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(√)提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×)提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×)提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是()A.外离B.相交C.相切D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, 1 2=(0-0)2+(2-8)2=6,则 1 2=6<r2-r1=7,所以两圆内含.3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于()A.62B.3C.23D.6【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于6.4.(2022·天津高考)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2 2- 2,所以m2=4(3- 22),解得m=2.答案:25.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.答案:x=2或x+22y-52=0【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系考情提示直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为≤2<4,所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以dr,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以dr,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故D正确.解题技法判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =()A.55B.255C.355D.455【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=255,所以弦长 =2 2- 2=2=255.解题技法直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2 2- 2.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又k PC-2-所以切线的斜率k=-1 =1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离dr=2,解得k=34.所以切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M的圆C的切线长为| |2- 2=5-4=1.解题技法1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.对点训练1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=115,因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.42B.22C.210D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x-y+1=0,又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦AB=232-12=42.3.(2024·东城模拟)已知点M(1,3)在圆C:x2+y2=m上,过M作圆C的切线l,则l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.由题意得m=1+3=4,当l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不符合题意;当l的斜率存在时,设切线l的方程为y-3=k(x-1),-3|解得k=-33,因为l的倾斜角为0°≤θ<180°,故l的倾斜角为150°.【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得 =02+ + + =0 20+4 +2 + =0,解得 =-8 =6 =0,所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(25)2=5,而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=5,得k=2或k=-12,所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为()A.x2+(y-3)2=2B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故 -1×解得a=3.故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0=12,所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为=3,解得r=3.故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d =35,设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为______________.【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知 1 2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则k AB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0.答案:x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为______________.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1- 1+ ,- +51+ ),由于圆心在x+y=0上,则1- 1+ +(- +51+ )=0,解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案:x2+y2+6x-6y+8=0解题技法圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长 2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的取值范围;【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,设 =k,则kx-y=0(x≠0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距离d≤3,解得-3≤k≤3,即的取值范围为-3,3.(2)y-x的取值范围;【解析】(2)设y-x=m,则直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到x-y+m=0的距离d ≤3,解得-6-2≤m≤6-2,即y-x的取值范围为-6-2,6-2.(3)x2+y2的取值范围.【解析】(3)由(1)知:原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,则可设x2+y2=r2(r>0),则圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,因为两圆圆心距d=(0-2)2+(0-0)2=2,所以r-3≤2≤r+3,解得2-3≤r≤2+3,所以7-43≤r2≤7+43,即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.解题技法关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法代数式特征求解方法u=y-b x-a转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值t=ax+by转化为动直线的截距的最值(x-a)2+(y-b)2转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值对点训练(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是3+1B. +1 +1的最大值是2+6C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=0【解析】选BD.由圆C:x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心(1,0),半径r=3,对于A,由x2+y2表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方,所以它的最大值为[(1-0)2+02+3]2=4+23,所以A错误;对于B, +1 +1表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率,设 +1 +1=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d≤3,解得2-6≤k≤2+6,所以 +1 +1的最大值为2+6,所以B正确;对于C,由 - +3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d =22,所以其最小值为2(22-3)=4-6,所以C错误;对于D,因为点(0,2)满足圆C的方程,即点(0,2)在圆C上,则该点与圆心连线的斜率为k1=-2,根据圆的性质,可得过点(0,2)作圆C的切线的斜率为k=-1 1=22,所以切线方程为y-2=22(x-0),即x-2y+2=0,所以D正确.【加练备选】已知点P(x,y)在圆:x2+(y-1)2=1上运动.试求:(1)(x+3)2+y2的最值;【解析】(1)设圆x2+(y-1)2=1的圆心为A(0,1),半径r=1,点P(x,y)在圆上,所以(x+3)2+y2表示P(x,y)到定点E(-3,0)的距离的平方,因为|AE|=(3)2+12=2,所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+3)2+y2≤9,即(x+3)2+y2的最大值为9,最小值为1;(2) -1 -2的最值.【解析】(2)点P(x,y)在圆上,则 -1 -2表示圆上的点P与点B(2,1)连线的斜率,根据题意画出图形,当P与C(或D)重合时,直线BC(BD)与圆A相切,设直线BC的解析式为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,所以圆心(0,1)到直线BC的距离d=r,解得k=±33,所以-33≤ -1 -2≤33,所以 -1 -2的最大值为33,最小值为-33.。

(完整版)九年级数学圆复习课导学案

提高
C.2AB>CDD.2AB<CD
wZ.
J
3如图2所示，已知BC为OO直径，D为圆上一点，且有/ADC=20°，那么
2题
C
A
/ACB=。
4•如图3所示，已知/AOB=100，则
ZACB=
B
C
5•如图4所示，在OO中，ZACB=ZD=60
°,AC=3，则△ABC的周长=。
6.如图5所示，在OO中，BD为直径，
O中，直径AB=2，且
点P是OC上一动点，贝y
PA+PD的最小
值是（
)
A.2
B・3S3
2
D.-3 -1
OC丄AB，点D在AC上，AD 2CD,
周日九年级数学圆复习课导学案
备课人：张艳班级：学生姓名:
学习目标
1•知道弧、弦、圆心角之间的关系；
2•圆周角及其定理；
1•圆心角：我们把在圆心的角称为圆
心角；圆心角的度数寺于所对的的度
数。
2•弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对
的弦、所对弦心距的。
C
3•圆周角：在圆周上，并且都
、
目标指导
和圆相交的于它所对的弧上的圆心
角度数,或者可以表示为圆周角的度
数等于它所对的的度数的一半。
/O\
V
4•相关推论：①半圆或直径所对的圆周角都是，都是：②90。的圆周角所
对的弦是；
5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，相等的圆周角所对的和
都相等；
1•下列语句中，正确的有（）
—-
①相等的圆心角所对的弧也相等；②顶
D<
合作探究

2024年湖南省中考数学第一轮复习课件微专题15求与圆相关阴影部分面积的四种方法

思路结论
S大扇形=S1+S2+S3;S矩形=S2+S3+S4;S小扇形=S3+S4;S阴影=S1+S3;S阴影=S大扇形S矩形+S小扇形
【针对训练】 16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,分别以AC,BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为( B )
A.10π-8 C.10π
B.10π-16 D.5π
π-2
18.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,以点A为圆心,1为半径作弧,分别交 AB,AC于点D,E,以点C为圆心,4为半径作弧,分别交AC,BC于点A,F.若图中阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1-S2的值为____________.
本课结束
湖南2024年数学中考第一轮复习
微专题15 求与圆相关阴影部分面积的四种方法
方法1 公式法
图形示例
方法解读思路结论
所求阴影部分面积是规则图形的面积,如圆形、扇形等,可以直接利用公式进行计算
S阴影=(常常结合勾股定理)
【针对训练】 1.(2023·湘西古丈一模)如图,某数学兴趣小组将边长为2的正六边形铁丝框 ABCDEF变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形 AFB(阴影部分)的面积为( A )
4.(2022·重庆中考B卷)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AD于点E.则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)
5.如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为______ (用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为______.

中考数学一轮复习圆的性质导学案

（提前把问题写在黑板上）
自学学习问题探究
8分钟
带着问题阅读课本、导读单以及相关资料；
把个人发现的新问题写在导读单中；
反复阅读课本内容从答案思路和拓展三方面思考黑板上的问题。
学生有困难时小声的求助于对桌
小组讨论展示解决
7
分钟
1.对自学环节中学习好的进行评价；
2.深入到讨论氛围不够热烈的组进行督促和指导，看学生主要存在哪些问题？重点指导课本中的例题的解题过程；
圆的性质
学导目标
学习目标(认真阅读两遍，圈点、标画其中的关键词并进行补充！)
1.认识圆的轴对称性和中心对称性以及圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理，知道点与圆的位置关系；理解垂径定理、圆周角和圆心角定理，明确确定圆的条件.
2.能借助各组量之间的关系进行计算和证明，能熟练应用垂径定理.
3.体会和理解研究几何图形的各种方法，体会分类、归纳等数学方法.
学导重点及方法
重难点分析
圆是一种特殊的几何图形，利用其对称性可以得到很多相关的定理，把圆的知识转化为等腰三角形和直角三角形的相关知识进行解决；同时在圆中还存在很多相等或有关系的量也是学习的重点。本节课的难点是垂径定理的应用和圆心角与圆周角关系的灵活转化.
问题预设
问题导读：认真看课本九年级下册第一章的内容，完成课后习题，解答以下问题.
预计问题：
1.圆的对称性有哪些（说明对称轴和对称中心）？垂径定理的条件和结论分别是什么？在推论中应特别注意什么？
2.在应用圆心角、弧、弦、弦心距这几组量的关系时应特别注意什么？
3.本单元常用的辅助线有哪些？说明其用法
4.垂径定理和确定圆的条件在生活中有哪些应用？
归纳课堂
分钟
教师:同学们展讲的非常棒，未展讲的问题做好整理，做为明天的学习任务，同学们可以课下继续学习。结合文本、导读单及前后黑板上的问题，回扣目标，反思你有哪些收获，哪些疑惑，待会儿我抽查。

中考数学第一轮复习导学案及分类试题汇编

中考数学第一轮复习导学案及分类试题汇编第一章实数第1课。

与实数有关的概念【课前热身】1.2的倒数是2.若向南走2m记作?2m，则向北走3m记作m．3.2的相反数是．4.?3的绝对值是（）a、 ?。

？三b．3c、 ?。

？13天。

135．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000000二7（毫米），这个数用科学记数法表示为（）－6－6－7－8a.7×10b.0.7×10c.7×10d.70×10[链接]1。

有理数的意义⑴数轴的三要素为、和.数轴上的点与构成一一对应.⑵实数a的相反数为________.若a，b互为相反数，则a?b=.⑶非零实数a的倒数为______.若a，b互为倒数，则ab=.（a？0）？？（a×10）。

⑷ 绝对值a×10（a？0）？（5）科学记数法：数字以某种形式表示，其中1≤ a<10，N是一个整数⑹一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是从和到，所有数字都称为该数字的有效数字。

2平方⑴任何正数a都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a叫_______________.没有平方根，0的算术平方根为______.⑵任何一个实数a都有立方根，记为.⑶a?a??2??(a?0).（a？0）3。

实数的分类和通用名称。

4.易出错知识的识别（1）近似数、有效数字如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×10是3个有效数字；精确到数千。

31400是三个有效数字（3,1,4），精确到几百5（2）绝对值x？2的解是x？？2、然后呢？2.2.但是有几个学生写的？2.2.（3）在已知条件下，取非负数a、|a和a（a）之和≥ 0）作为解决相关问题的条件[典型示例分析]示例1“25.3.14，? 3.3.03? 2.“cos60sin45”的六个数中，无理数的个数为（）00a、 2 B.3 C.4 d.5例2⑴??2的倒数是（）a、 2b。

山东省九年级中考一轮复习导学案：31课时+直线与圆的位置关系

推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过
；
推论 2：过切点垂直于切线的直线必过
。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知二推一。
2、判定定理：
的直线是切线。（两个条件缺一不
可）
切线的判定方法及辅助线作法：
①当知道直线和圆的公共点时，“连半径，证垂直”
----- 用判定定理证明。
②当不确定直线与圆有无公共点时， “作垂直，证半径” ----- 用圆心到直线的距离 d=r
2、如图，⊙ O 是 Rt △ ABC的内切圆，∠ ACB＝900，且 AB＝13， AC＝12，则图中阴影部分的
面积是（
）
A、 30 A
B、 30 2A来自C、 30 3D、 30 4
A
B
C
1题
B O
1
C
O1
x
C
B
32 题
题
5
题
3、（2014 ?天津）如图，AB是⊙ O的弦，AC是⊙ O的切线， A 为切点， BC经过圆心．若∠ B=25°，
一、基础知识梳理
第 31 课时直线与圆的位置关系
（一）直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离 d 与半径 r 的数量关系
无公共点直线与圆相离
有一个公共点直线与圆相切
有两个公共点直线与圆相交
（二）圆的切线定理
1、性质定理：圆的切线
过切点的半径。
圆中遇切线时常用辅助线作法：见切点，连圆心，得垂直。
A. 点（ 0， 3）
B. 点（ 2， 3）
C. 点（ 5， 1） D.
点（ 6， 1）
6、（ 2014?威海）如图，在△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC的平分线交 AC于点 E，过点 E 作 BE

江苏省扬州市2019届中考数学一轮复习第28课时与圆有关的计算导学案68

第 28 课与圆相关的计算姓名班级学习目标：1.认识正多边形的观点及正多边形与圆的关系，将正多边形问题转变为直角三角形问题．2.会计算圆的弧长、扇形的面积及组合图形的周长与面积．3.理解圆柱、圆锥的侧面睁开图，掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算方法．学习重难点：会计算圆的弧长、扇形的面积及组合图形的周长与面积．学习过程：一、知识梳理⑴各边 ________，各角 _________的多边形叫做正多边形．正多边形的外接圆 ( 或内切圆 ) 的圆心叫做正多边形的 _________．⑵正多边形都是 _ _ 对称图形，一个正n边形共有 ____条对称轴．假如正n边形的边数为偶数，它又是 ____对称图形．⑶圆的相关计算公式 ( 设半径为R，圆心角的度数为n ) ：①圆周长 C ＝_________，弧长 l ＝______________.l②圆面积 S＝______________，S 扇形＝___________＝____________.O r⑷圆锥：②圆锥的侧面睁开图是一个 ________．这个扇形的 ______是圆锥的母线长，这个扇形的 _______是圆锥底面圆的周长．二、典型例题1.与正多边形相关的计算：（1）(2017 ·北京 ) 若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边数是( )A. 6B. 12C. 16D. 18（2） (2017 ·沈阳 ) 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是 12，则⊙O的半径是 ___________.2. 与弧长相关的计算：（3）(2017 ·咸宁 ) 如图，⊙O的半径为 3，四边形ABCD内接于⊙O，连接 OB， OD，若B OD＝BCD ，则弧 BD 的长为___________.（4）(2017 ·安顺 ) 如图，一块含有 30°角的直角三角尺ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到△ A B C 的地点，若 BC＝12 cm ，则极点 A 从开始到结束所经过的路径长为________cm.3．与扇形面积相关的计算：(2017 ·日照 ) 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心、 BA 为半径的圆弧与 BC 交于点 E ，四边形 AECD 是平行四边形， AB＝6 ，则扇形 ( 图中涂色部分 ) 的面积是 _________.4.与圆柱 ( 锥) 的侧面睁开图相关的计算：（1）(2017 ·南通 ) 圆锥的底面圆的半径为2，母线长为 6，则侧面积为________.（2）(2017 ·苏州 ) 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC＝3，BOC＝2 AOC .若用扇形 OAC (图中涂色部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 _____.5. 求暗影部分的面积(2017 ·济宁 ) 如图，在Rt△点 A 逆时针旋转30°后获得ABC 中，ACB＝90 ， AC BC 1.将 Rt △ ABC 绕Rt △ ADE ，则图中暗影部分的面积是________.三、中考展望：1.如图，在△ ABC 中， C＝90 ， BAC 的均分线交 BC 于点 D ，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心、 OA 为半径的圆恰巧经过点 D ，分别交 AC， AB 于点 E，F .(1)试判断直线 BC 与⊙ O 的地点关系，并说明原因;(2)若 BD＝2 ， BF＝2 ，求暗影部分的面积．(结果保存)四、反省总结1、本课复习了哪些内容？2、你还有什么疑惑？五、达标检测1.(2017 ·苏州 ) 如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，则ABE的度数为( )A. 30 °B. 36°C. 54°D. 72 °第 1 题第 4 题第 5 题2. (2017 ·滨州) 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆的半径为_______.3.(2017 ·天门 ) 一个扇形的弧长是10 cm，面积是60 cm2，则此扇形的圆心角的度数是 ( )A. 300 °B. 150 °C. 120°D. 75 °4.(2017 ·南宁 ) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，BAC＝30，则劣弧BC 的长为_____5. (2017 ·莱芜 ) 如图，在Rt△ABC中，BCA＝90 ，BAC＝30 ， BC＝2 ，将Rt △ ABC 绕 A 点顺时针旋转90°获得Rt△ADE，则BC扫过的面积 ( 涂色部分)为______6.(2017 ·遵义 ) 一个正多边形的一个外角为 30°，则它的内角和为__________.7. (2017·聊城 ) 已知圆锥形工件的底面直径是40 cm ，母线长30 cm ，其侧面睁开图圆心角的度数为________.8.(2017 ·淮安 ) 如图，在△ABC中，ACB＝90，O是边AC上一点，以O为圆心、 OA 长为半径的圆分别交 AB，AC 于点 E， D ，在 BC 的延伸线上取点 F ，使得 BF＝EF，EF 与 AC 交于点 G .(1)试判断直线 EF 与⊙ O 的地点关系，并说明原因;(2)若 OA＝2， A＝30 ，求图中暗影部分的面积．。

中考数学一轮复习第27课时与圆有关的位置关系导学案(无答案)(2021年整理)

江苏省扬州市高邮市车逻镇2018届中考数学一轮复习第27课时与圆有关的位置关系导学案（无答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省扬州市高邮市车逻镇2018届中考数学一轮复习第27课时与圆有关的位置关系导学案（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省扬州市高邮市车逻镇2018届中考数学一轮复习第27课时与圆有关的位置关系导学案（无答案）的全部内容。

第27课时与圆有关的位置关系班级: 姓名：学习目标： 1. 探索并了解点与圆的位置关系，了解直线与圆的位置关系及三角形内切圆的概念，会判断图形的位置关系．2。

掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3。

探索并证明切线长定理，会利用它进行证明和相关计算重难点:灵活运用切线的性质定理和判定定理进行相关计算和证明．学习过程一．知识梳理1.点与圆的位置关系:如果设圆的半径为r，点到圆心的距离为d,那么:①d r<⇔点在．②d r＝⇔点在．③d r>⇔点在．2.直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：①d r<⇔直线l与圆．②d r＝⇔直线l与圆．③d r>⇔直线l与圆．3。

与圆有公共点的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做．切线的判定定理：经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线．性质定理：圆的切线垂直于经过的半径．4。

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ,圆心和这一点的连线两条切线的夹角．5.与三角形各边的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的三角形．、典型例题1.点与圆的位置关系（2017宁夏）如图,点A B C，，三点的外接圆除经，，均在6×6的正方形网格格点上，过A B C过A B C，，三点外还能经过的格点数为．2。

中考复习专题——《几何最值问题》导学案

《中考数学专题复习（三）——几何最值问题》导学案A.要点归纳，分点训练1.如图1 A 点到B 点路程最短的是②，因为2.如图2,点P 到直线AE 上的连线段中，PC 最短,因为3. 如图3,根据三角形任意两边之和大于第三边，有4.圆中最长的弦是5，则圆的面积是5. P 是⊙O 外一点，P 到⊙O 的最近距离是3，最远距离是9，则圆的面积是6. 如图, 要在河边修建一个水泵站C, 分别向张村, 李村送水, 使所用的水管最短．(1)修在河边什么地方?(画图) (2)若A 、B 到河边a 的距离AM 、BN 分别是10m 和20m ，且MN=40m ，求水管最短为多少m ？７.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为3cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为cm 。

８.如上中图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB的最小值为．９.如上图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cmB.综合运用，能力提升图1 图2图3１０.如下图△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是．１１.如上图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B的坐标为【】 A.（0，0） B.（21-，21-） C.（22，22-） D.（22-，22-）１２.如上图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点， PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为【】A ．B ．C ．3D ．2１３、在☉O 中,直径AB=6,BC 是弦,∠ABC=30°,点P 在BC 上,点Q 在☉O 上,且OP ⊥PQ. (1)如图1,当PQ ∥AB 时,求PQ 的长度;(2)如图2,当点P 在BC 上移动时,求PQ 长的最大值.《中考数学专题复习（三）——几何最值问题》导学案答案A.要点归纳，分点训练1.如图1 A 点到B 点路程最短的是②，因为两点之间线段最短1352.如图2,点P 到直线AE 上的连线段中，PC 最短,因为垂线段最短3. 如图3,根据三角形任意两边之和大于第三边，有a+b>c 、a+c>b 、b+c>a4.圆中最长的弦是5，则圆的面积是254π5. P 是⊙O 外一点，P 到⊙O 的最近距离是3，最远距离是9，则圆的面积是9π6. 如图, 要在河边修建一个水泵站C, 分别向张村, 李村送水, 使所用的水管最短．(1)修在河边什么地方?(画图) (2)若A 、B 到河边a 的距离AM 、BN 分别是10m 和20m ，且MN=40m ，求水管最短为多少m ？解：（1）如图, C 为所求（2）作BP ⊥AA `于P 点，则A`P=30，又BP= MN=40所以由勾股定理得A`B=50=CA+C Ｂ，即水管最短为５０m７.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为3cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为5πcm 。

中考数学一轮复习第27课有关圆的计算导学案-人教版初中九年级全册数学学案

第27课有关圆的计算【考点梳理】：1.三角形：三角形中位线定理，三角形相似，三角形的内切圆与外切圆（1）内切圆：三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，三角形内接圆圆心叫内心。

圆心到三角形各个边的垂线段相等。

内切圆半径是三角形三个角的角平分线的交点到三角边的距离。

PS：在直角三角形的内切圆中1、r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）2、r=ab/ (a+b+c)（2）外切圆：三角形的任意两边的垂直平分线的交点是外接圆圆心。

三角形外接圆圆心叫外心。

圆心到三角形各个顶点的距离都相等。

外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离。

2.与正多边形有关的概念：（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

（注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。

）（5）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角（6）圆的外切四边形的两组对边的和相等1、圆弧的弧长：L=2πRn/360°=πRn/180(R=半径，n=圆弧的角度的绝对值）2、扇形的面积：S=1/2L*r(L=圆弧的弧长，r=圆弧所在圆的半径)3、圆周角定理：（1）同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

思考与收获 (3)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆做多边形的外接圆。

4、圆周角性质(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(2)圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。