九年级数学下册第3章圆3.7切线长定理教案新版北师大版

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北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计

北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。

本节课主要介绍切线长定理及其应用。

切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的切线性质和几何图形的对称性。

在学习本节课时，学生需要掌握切线与圆的位置关系，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

教材通过生动的例题和丰富的练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，并能够灵活运用它解决相关问题。

二. 学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。

然而，对于部分学生来说，理解和运用切线长定理解决实际问题仍存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服学习中的困难。

三. 教学目标1.理解切线长定理的含义，掌握切线长定理的证明过程。

2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的空间想象力，提高学生的逻辑思维能力。

4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和合作精神。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理的证明过程，切线长定理的应用。

2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用几何画板等教学软件，直观展示切线与圆的位置关系，帮助学生理解切线长定理。

3.通过例题讲解和练习，巩固学生对切线长定理的理解和运用。

4.鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关教学课件，包括切线与圆的位置关系示意图、切线长定理的证明过程等。

2.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生对切线长定理的应用。

3.准备几何画板等教学软件，用于直观展示切线与圆的位置关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆的位置关系，提出问题：“切线与圆有什么特殊的性质？”让学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。

北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计1

北师大版九年级数学下册：3.7《切线长定理》教学设计1一. 教材分析《切线长定理》是北师大版九年级数学下册第3章第7节的内容。

本节课主要介绍切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，切线长相等。

这个定理是圆的有关性质之一，对于学生理解圆的性质和解决与圆相关的问题具有重要意义。

教材通过生活中的实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了相似三角形、平行线等知识，对几何图形的性质有一定的了解。

但是，他们对圆的性质认识不足，切线长定理较为抽象，需要通过实例和操作活动来加深理解。

此外，学生对于实际问题的解决方法还不够熟练，需要教师在教学中给予引导和指导。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解切线长定理，并能运用切线长定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养几何思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：学生体验数学与生活的联系，增强学习数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解并运用切线长定理。

2.难点：学生能够将切线长定理应用于实际问题，并解决问题。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过实例和问题引导学生发现切线长定理，培养学生的几何思维能力。

2.操作活动法：学生通过实际操作，加深对切线长定理的理解。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享解题方法和经验，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体课件。

2.学具：圆、直尺、圆规、剪刀、彩笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入切线长定理，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解在修剪树枝时，如何利用切线长定理剪出相等的树枝。

2.呈现（10分钟）教师展示切线长定理的定义和性质，引导学生观察、思考。

同时，通过多媒体课件演示切线长定理的证明过程，帮助学生理解。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，运用切线长定理解决几何问题。

北师大版九年级下数学第3章圆3.7切线长定理(教案)

一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下数学第3章圆中的3.7节，主要内容为切线长定理。具体内容包括：
1.探索并掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
2.应用切线长定理解决实际问题。
3.通过切线长定理的学习，加深对圆的性质的理解，培养学生的逻辑思维能力和空间观念。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解切线长定理的基本概念。切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。这个定理在几何学中有着重要的地位，它不仅帮助我们理解圆的性质，还能解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个圆形花坛，我们要确定从花坛边缘到两个不同位置的最短距离。通过应用切线长定理，我们可以轻松找到这个距离。
4.结合切线长定理，解决与圆相关的综合问题，提高学生的综合运用能力。
二、核心素养目标
1.通过对切线长定理的探究，培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提升数学抽象思维。
2.结合实际问题的解决，发展学生的数学建模素养，使其能够运用数学知识解释和解决现实生活中的问题。
3.在合作探究中，增强学生的团队协作能力和交流表达能力，培养良好的学习习惯和探究精神。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的概念和实际应用这两个重点。对于难点部分，如定理的证明和在不同图形中的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过使用尺规作图，学生将直观地看到切线长定理的应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）

九年级数学下册第3章圆 3.7 切线长定理教案北师大版

《切线长定理》◆模式介绍“探究式教学”是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．探究式教学通常包括以下五个教学环节：创设情境——启发思考——探究问题——形成结论——巩固提高◆设计说明首先通过问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”；问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备；问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容；问题5进一步利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．最后通过例、习题的巩固，突出圆的切线长定理的运用．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第7节《切线长定理》的教学内容，本节课是在学生学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出的，使学生的直观操作与逻辑推理有机的结合在一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性．切线长定理为证明线段，角相等，弧相等，线段的垂直关系等问题提供了理论依据．本节知识属于选学内容．◆教学目标【知识与能力目标】1、了解切线长的概念；2、探索并证明切线长定理．【过程与方法】探索并证明切线长定理，发展推理能力．【情感态度与价值观】通过轴对称的性质证明切线长定理的过程，让学生感受数学知识的美感．◆教学重难点【教学重点】探索并证明切线长定理．【教学难点】切线长定理的运用．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【创设情境】问题1 我们在前面学过圆的切线的性质定理和判定定理，请大家回忆一下它们的具体内容．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．问题2 如图是一件圆形工艺品，现只有一个曲尺，你能测出它的半径吗？设计意图：问题1回顾圆的切线性质定理和判定定理，为学习切线长定理打下基础；问题2通过确定圆形工艺品的半径问题引出本节内容，激发学生探究新课的欲望，同时让学生明白“生活处处有数学”．【启发思考】问题3 （1）观察下图的左图，如果这样放置曲尺，能得出圆形工艺品的半径吗？为什么？（2）观察下图的右图，如果这样放置曲尺，可以得出圆形工艺品的半径吗？为什么？（3）以上两种方法，哪些一种方法更简便呢？方法二：引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB，OA，则四边形OBAP是正方形，所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB．切线长概念：右图中的PA、PB是从⊙O外点P引出的两条切线，线段PA、PB的长称之为P点到⊙O的切线长，即从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段长叫做这点到圆的切线长．追问：如果这把曲尺的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？设计意图：问题3通过解决圆形工艺品的半径问题引出圆的切线长概念，为下一步探究切线长定理作准备．【探究问题】问题4 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．结论：对称轴是直线OP，图中相等的线段是PA和PB．猜想：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．已知：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．求证：PA=PB．证明：连接OA、OB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠APO=∠BPO=90°.在Rt△POA和Rt△POB中，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△POA≌Rt△POB．∴PA=PB．设计意图：问题4承上启下，引导学生用轴对称性来探索切线长定理，引出本节课所要研究的内容．问题5 如图，四边形ABCD的四条边都与相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流．结论：AB+CD=BC+AD，即圆的外切四边形的两组对边的和相等．设计意图：利用切线长研究圆外切四边形边之间的关系．【形成结论】切线长定理：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等．【巩固提高】例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =10，BC =24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，求⊙O 的半径.解：连接OD ，OE ，OF ，则OD =OE =OF ，设OD =r ．在Rt △ABC 中，AC =10，BC =24，∴2222102426AB AC BC =+=+=． ∵⊙O 分别AB ，BC ，AC 相切于点D ，E ，F ，∴四边形OECF 为正方形.∴CE =CF =r ．∴BE =24-r ，AF =10-r ．∴AB =BD +AD =BE +AF =24-r +10-r =34-2r ．而AB =26，∴34-2r =26，∴r =4，即⊙O 的半径4．例2 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切与点D ，E ，F ，且AB =9，BC =14，CA =13，求AF ，BD ，CE 的长．解：设AF =x ，则AE =x ，CD =CE =AC -AE =13-x ，BD =BF =AB -AF =9-x ，由BD +CD =BC 可得(13-x )+(9-x )=14，解得x =4．因此AF =4，BD =5，CE =9．学生练习课本95页随堂练习．课堂小结：本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、切线长定理：过圆外一点所画的图的两条切线长相等．2、圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等．布置作业：1、教科书习题3.9第1题、第2题、第3题．（必做题）2、教科书习题3.9第4题．（选做题）◆教学反思略．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

新北师大版九年级数学下册《三章圆 .7 切线长定理》教案_6

《3.7切线长定理》教案教学目标：1. 通过作图、观图理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.2.经历探索切线长定理的过程,发展学生合情推理和演绎推理的能力.3．应用切线长定理进行相关的计算和证明.教学重、难点：重点：切线长定理及推论.难点：应用切线长定理解决问题教学过程：一、知识回顾，引入新课活动内容：前面认识了圆的切线的性质和判定定理，并知道过⊙O上任一点A只能作一条切线,那么过圆外一点可以画几条切线？它们之间又有什么关系呢？想知道答案就一起进入今天的课堂学习.1.根据条件画出图形已知⊙O外一点P，过点P作⊙O的切线,可以画圆的条切线？你有几种方法?P处理方式：学生小组合作，尝试作图.师巡视指导，参与到学生的活动中.待多数小组完成后，选个别小组展示交流作法.师再播放课件小结作图方法.最后，引导学生发现过圆外一点只能画2条切线.设计意图：在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的性质和判定，为下面的学习做好经验和事实铺垫.二、合作探究，感悟新知活动内容：认识切线长如图1，是我们所画的图形，PA，PB是⊙O的两条切线，A、B 是切点，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．图1问题1：切线长是如何定义的？问题2：观察图形，切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别和联系？处理方式：问题1可以先让学生回答，如：圆外的点和切点的线段叫做切线长；过圆外一点做圆的切线，这个点和切点的线段叫做切线长等.此时，师生补充纠正共同得出的定义. (课件展示)问题2先由学生争论，师生再总结：切线和切线长是两个不同的概念，切线是一条与圆相切的直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. (课件展示)设计意图：放手让学生给切线长下定义，可使学生更好地理解切线长的概念，体会切线与切线长的区别与联系.活动内容：探索切线长定理问题1：如图1，（课件展示）是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？问题2：在这个图中你能找到相等的线段吗?说说你的理由？由此你得到什么猜想？问题3：如何证明你的猜想？处理方式：问题1学生直接判断.问题2当学生回答PA=PB、∠POA=∠POB时，师关注学生是怎么找到的？如：有的学生会利用图形的对称性解释；有的可能通过测量得到. 对学生的回答师给予鼓励.21·世纪*教育学生猜想: 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.(若学生提不出师及时引导.)问题3学生分组探究，写出证明过程.(个别组展示交流.)已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B 是切点.求证：PA=PB.∠POA=∠P OB证明：连接OA,OB.∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△AOP和Rt△BOP中，图2∵OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB ∠POA=∠P OB至此，我们证明了猜想是正确的，得到切线长定理.（课件展示）师追加反思：切线长定理为说明线段相等和角相等提供了新的方法.并且在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形即添加辅助线。

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案

2024北师大版数学九年级下册3.7《切线长定理》教案一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第3.7节的内容，主要讲述了圆的切线与圆内的点到切线的距离之间的关系。

本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念、切线的定义以及点与圆的位置关系的基础上进行学习的，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的切线长定理的理解和运用还需要通过实例进行引导和巩固。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明和理解。

2.运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究切线长定理。

2.运用多媒体课件，直观展示圆的切线和切线长定理。

3.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。

4.通过实例讲解，巩固学生对切线长定理的理解。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.圆规、直尺、彩色粉笔。

3.练习题和实例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一个圆和它的切线，引导学生回顾切线的定义。

然后提出问题：“圆内的点到切线的距离与切线有什么关系？”2.呈现（10分钟）利用多媒体课件呈现切线长定理的证明过程，引导学生直观地理解切线长定理。

同时，解释切线长定理的意义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，运用切线长定理进行解答。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固对切线长定理的理解。

教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）提出一些与切线长定理相关的问题，引导学生进行思考和讨论。

例如：在圆中，到一个定点等距离的点的轨迹是什么？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调切线长定理的应用。

新北师大版九年级数学下册《三章圆.7切线长定理》教案_0

课题：3.7切线长定理课型：新授课年级：九年级教学目标：1.理解切线长的概念，掌握切线长定理.2．利用切线长定理进行有关的计算；并在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想.3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，调动学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，树立科学的学习态度．教学重点与难点：重点：理解切线长定理．难点：应用切线长定理解决问题．教学过程：一、知识回顾，引入新课活动内容：过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆的切线，让学生明白过圆外一点画圆的切线能画出两条.设计意图：在教师的引导下探究如何画圆的切线，体会圆的切线的判定和性质，给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流.二、观察思考，猜想验证活动内容：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，A,B是切点（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.学生明白：过圆外一点画圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.知道切线是用线段的长来定义的，定义中的线段具有什么特征？①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.我们组将这个图沿着射线PO折叠，发现PA与PB重合，∠APO与∠BPO重合（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述切线长定理：从圆外一点所画的圆的两条切线长相等．设计意图：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先探索猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，定理的剖析以对话形式进行三、课堂练习巩固：教材随堂练习四、课时小结：同学们，有何收获？，请列出知识清单五、课后反思：。

2019版九年级数学下册第三章圆3.7切线长定理教案(新版)北师大版

*7 切线长定理【教学目标】知识技能目标:1.使学生理解切线长定义.2.使学生掌握切线长定理,并能初步运用.过程性目标:学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.情感态度目标:通过分析问题、解决问题的过程,激发学生学数学的兴趣,使学生积极参与、体验成功.【重点难点】重点:学生理解切线长定义.难点:掌握切线长定理,并能初步运用.【教学过程】一、创设情境问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在刷锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?二、探究归纳(一)切线长定义1.板书定义:从圆外一点可以引圆的两条切线,这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长.2.剖析定义:(1)找出中心词,把定义进行缩句.(线段的长叫做切线长)(2)定义中的“线段”具有什么特征?①在圆的切线上;②两个端点一个是切点,一个是圆外已知点.3.在图形中辨别:(1)已知:如图1,PC和☉O相切于点A,点P到☉O的切线长可以用哪一条线段的长来表示?(线段PA)(2)已知:如图2,PA和PB分别与☉O相切于点A,B,点P到☉O的切线长可以用哪一条线段的长来表示?(线段PA或线段PB)(3)如图2,思考:点P到☉O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗?这样的线段最多可以有几条?为什么?(4)既然点P到☉O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示,那么这两条线段之间一定存在着某种关系,是什么关系呢?我们来探索一下,出示探索问题1,从而进入定理教学.(二)切线长定理:1.探索问题:从☉O外一点P引☉O的两条切线,切点分别为A,B,那么线段PA和PB之间有何关系?2.探索步骤:(1)根据条件画出图形.(2)度量线段PA和PB的长度.(3)猜想:线段PA和PB之间的关系.(4)寻找证明猜想的途径.(5)在图3中还能得出哪些结论?并把它们归类.(6)上述各结论中,你想把哪个结论作为切线长的性质?请说明理由.3.剖析定理:(1)指出定理的题设和结论.(2)用符号语言表示定理:∵PA,PB分别是☉O的切线,点A,B分别为切点,(PA,PB分别与☉O相切于点A,B)∴PA=PB,∠APO=∠BPO.(3)切线和切线长区别.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线,而切线长是线段,指过圆外一点做圆的切线,该点到切点的距离.(三)圆的外切四边形的性质.请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O的四条切线,再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.结论:圆的外切四边形的两组对边的和相等.(四)例题学习例:已知如图,Rt△ABC的两条直角边AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.三、交流反思1.你的学习心得、体会是什么?2.你有哪些好的经验可推广?3.你还存在哪些困难、疑问?四、检测反馈1.已知:如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.(1)图中共有几对相等线段?(2)若AF=4,BD=6,CE=8,则△ABC的周长是________.(3)若AB=9,BC=15,AC=12,则AF=________,BD=________,CE=________.2.如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,C是上任意一点,过C作☉O的切线,交PA及PB于D,E两点,已知∠P=50°,PA=PB=6 cm,则∠DOE=________,△PDE的周长是________.五、布置作业课本P96页习题3.9 3,4题六、板书设计七、教学反思注重学生在学习过程中的自主体验,自我发展.在作图活动中,尽量为学生提供“做中学”,让学生在数学实践中感知,给学生留出了充分的活动时间和想象空间,鼓励每位学生参与到动手、动口、动脑的活动和实践中来.将操作发现、自主探索、合作交流,积极思考等学习方式贯穿到数学探究过程的始终,体现了新课程倡导的自主、合作、探究的学习方式.不放过任何一个发展学生智力的契机,让学生在“做”的过程中,借助已有的知识、方法和经历,主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力,从而使教学设计真正落实到学生的发展上.。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计

北师大版九年级数学下册：第三章 3.7《切线长定理》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章3.7《切线长定理》的内容是在学生掌握了直线与圆的位置关系、圆的方程等知识的基础上，进一步研究圆的切线性质。

本节内容主要介绍了切线长定理，即从圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，那么这两条切线的长度相等。

教材通过例题和练习题，使学生掌握切线长定理的应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直线、圆的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。

但是，对于切线长定理的理解和应用，还需要通过实例和练习来进一步巩固。

学生在学习过程中，需要充分调动已有的知识储备，进行逻辑推理和空间想象，从而掌握切线长定理。

三. 教学目标1.理解切线长定理的内容，掌握切线长定理的证明过程。

2.能够运用切线长定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和几何思维。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理的理解和应用。

2.难点：切线长定理的证明过程，以及如何运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导，激发学生的思考；通过案例分析，使学生理解并掌握切线长定理；通过小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：内容包括切线长定理的定义、证明过程和应用实例。

2.练习题：包括基础题和拓展题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：直尺、圆规、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个生活中的实例：在圆形操场跑步时，从同一点出发，沿两条不同的路径跑完全程，问两条路径的长度是否相等？引发学生的思考，引出本节课的内容——切线长定理。

2.呈现（15分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

通过PPT展示切线长定理的图形，引导学生观察、思考，然后给出证明过程。

在此过程中，强调切线长定理的关键点：圆外一点引出两条切线，分别与圆相交，这两条切线的长度相等。

第3章3.7切线长定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)

-举例：给定圆的半径和圆外一点，求解该点到圆的切线长度。
2.教学难点
（1）切线长定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理能力要求较高，理解切线长定理的证明过程可能存在困难。
-突破方法：采用直观图形和动画演示，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明的每一步逻辑。
（2）切线长定理在复杂图形中的应用：在实际问题中，圆与其他几何图形结合，学生可能难以识别和运用切线长定理。
-突破方法：提供解题思路和方法，如先找切点、再利用定理等，通过分步骤解析，帮助学生建立解题框架。
本节课的教学难点与重点是密切相关的，教师需在教学过程中针对重点内容进行详细讲解和反复强调，同时针对难点内容采取有效方法，帮助学生克服困难，确保学生对切线长定理的理解和应用能力得到全面提升。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
2.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调切线长定理的证明和应用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中的逻辑推理，我会通过逐步引导和举例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与切线长定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来实际作图，演示切线长定理的基本原理。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第3章3.7切线长定理（教案）2023-2024学年九年级下册数学（教案）(北师大版)

_九级数学下册第三章圆3.7切线长定理教案新版北师大版09021128

3.7切线长定理一、教课目的1.理解切线长的观点，掌握切线长定理．2.学会运用切线长定理解相关问题．3．经过对例题的剖析，培育学生剖析总结问题的习惯，提升学生综合运用知识解题的能力，培育数形联合的思想．二、课时安排1课时三、教课要点学会运用切线长定理解相关问题．四、教课难点经过对例题的剖析，培育学生剖析总结问题的习惯，提升学生综合运用知识解题的能力，培养数形联合的思想．五、教课过程（一）导入新课1. 如何过⊙O 外一点 P 画出⊙O 的切线？以下左图，借助三角板，我们能够画出PA 是⊙O 的切线 .2. 这样的切线能画出几条？3. 假如∠ P=50°, 求∠ AOB 的度数 .（二）讲解新课活动内容1：研究 1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？思虑：已画出切线PA,PB， A,B 为切点，则∠ OAP=90°,连结 OP，可知 A,B 除了在⊙O 上，还在如何的圆上?研究 2：切线长观点切线与切线长是一回事吗？它们有什么差别与联系呢？比一比：切线与切线长切线和切线长是两个不一样的观点：1.切线是一条与圆相切的直线，不可以胸怀；2. 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，能够胸怀.折一折：思虑：已知⊙O 切线 PA， PB，A， B 为切点，把圆沿着直线OP对折 , 你能发现什么?证一证：请证明你所发现的结论. PA=PB ，∠ OPA=∠OPB证明：∵ PA， PB 与⊙O相切，点A， B 是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠ OAP=∠OBP=90°，∵OA=OB， OP=OP，∴R t△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.研究 2：切线长定理 - 过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.几何语言：∵ PA， PB分别切⊙O 于 A，B，∴P A=PB,OP均分∠ APB.反省：切线长定理为证明线段相等、角相等供给新的方法试一试：若连结两切点A， B， AB交 OP于点 M.你又能得出什么新的结论?并给出证明 .明确： OP垂直均分AB证明：∵ PA， PB 是⊙O的切线 , 点 A， B 是切点，∴P A=PB，∠ OPA=∠OPB.∴△ PAB 是等腰三角形，PM为顶角的均分线.∴OP垂直均分AB.研究 3： PA， PB是⊙O的两条切线，A，B 为切点，直线OP交⊙O 于点 D， E，交 AB 于点 C.（1）写出图中全部的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP（2）写出图中与∠ OAC 相等的角∠ OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC（3）写出图中全部的全等三角形△ AOP≌△ BOP，△ AOC≌△ BOC，△ ACP≌△ BCP .（4）写出图中全部的等腰三角形△ ABP，△ AOB .活动 2：研究概括反省：在解决相关圆的切线长问题时，常常需要我们建立基本图形.（1）分别连结圆心和切点；（2）连结两切点；（3）连结圆心和圆外一点 .（三）重难点精讲【例 1】△ ABC的内切圆⊙O 与 BC， CA， AB分别相切于点 D，E， F，且 AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求 AF， BD， CE的长 .【分析】设AF=x, 则 AE=x∴CD=CE=AC-AE=13-x ，BD=BF=AB-AF=9-x.由 BD+CD=BC，可得13-x+9-x=14 ，解得 x=4.∴AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.【例 2】如图，四边形ABCD的边 AB，BC， CD，DA和⊙O 分别相切于点L， M， N， P，求证： AD+BC=AB+CD.证明：由切线长定理，得AL=AP， LB=MB， NC=MC， DN=DP,∴A P+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即 AD+BC=AB+CD，增补：圆的外切四边形的两组对边的和相等．（四）概括小结经过本课时的学习，需要我们掌握切线的 6 个性质：（1）切线和圆只有一个公共点 .（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于过切点的半径 .（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.（6）切线长定理 .（五）随堂检测1．如图， PA,PB 是⊙ O 的切线，切点分别是A,B，假如∠ P＝60°, 那么∠ AOB 等于（）A.60°B.90 °C.120 °D.150°2. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2B．3C．3D．233.已知：如图 ,PA,PB 是⊙O的切线，切点分别是 A,B ，Q为⊙O上一点，过 Q点作⊙O 的切线，交PA,PB 于 E,F 点，已知 PA=12cm，求△ PEF 的周长 .【答案】1.答案为 C。

2019春九年级数学下册第三章圆3.7切线长定理教案(新版)北师大版

*3.7切线长定理1．理解切线长的定义；( 要点 )2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．( 难点 )一、情境导入A 为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由如图①，PA为⊙ O的一条切线，点于直线 PO经过圆心 O，因此 PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，PB、∠ APO与∠ BPO有什么这里，OB是⊙O的一条半径，PB 是⊙ O的一条切线．图中PA与关系？二、合作研究研究点：切线长定理【种类一】利用切线长定理求线段的长如图，从⊙ O外一点 P 引圆的两条切线、，切点分别是点A 和点，假如∠＝ 60°，线段＝10，那么弦的长是()PA PB B APB PA ABA． 10B． 12C．53D．103分析：∵ PA、 PB都是⊙ O的切线，∴ PA＝ PB.∵∠ APB＝60°，∴△ PAB是等边三角形，∴AB＝ PA＝10.应选A.方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依照，常常用到．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 4 题【种类二】利用切线长定理求角的度数如图， PA、PB是⊙ O的切线，切点分别为 A、 B，点 C在⊙ O上，假如∠ ACB＝70°，那么∠ OPA的度数是________度．分析：以下图，连结OA、 OB.∵PA、 PB是⊙ O的切线，切点分别为A、 B，∴ OA⊥ PA，OB⊥ PB，∴∠ OAP＝∠ OBP＝90°.又∵∠ AOB＝2∠ ACB＝140°，∴∠ APB＝360°－∠ PAO－1∠ AOB－∠ OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°. 易证△POA≌△ POB，∴∠OPA＝2∠ APB＝20° . 故答案为 20.能够运用切线长定理获得等腰三角形．此外依据方法总结：由公共点引出的两条切线，全等的判断，可获得PO均分∠ APB.3 题变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第【种类三】利用切线长定理求三角形的周长如图， PA、PB、DE是⊙ O的切线，切点分别为 A、B、 F，已知 PO＝13cm，⊙ O的半径为5cm，求△ PDE的周长．分析：连结 OA，依据切线的性质定理，得 OA⊥PA.依据勾股定理，得 PA＝12，再依据切线长定理即可求得△ PDE的周长．解：连结 OA，则 OA⊥ PA.在Rt△ APO中， PO＝13cm， OA＝5cm，依据勾股定理，得AP＝12cm. ∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝ PD＋ DF＋ FE＋ PE＝ PD＋ DA＋ EB＋ PE＝ PA＋ PB＝2PA＝24cm.方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，均分两条切线的夹角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 4 题【种类四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题如图，四边形ABCD的边与圆 O分别相切于点 E、F、 G、 H，判断 AB、 BC、 CD、 DA之间有如何的数目关系，并说明原因．分析：直接利用切线长定理解答即可．解： AD＋ BC＝ CD＋ AB，原因以下：∵四边形ABCD的边与圆 O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝ DG，CG＝ CF， BE＝ BF， AE＝ AH，∴ AH＋ DH＋ CF＋ BF＝ DG＋ GC＋ AE＋ BE，即 AD＋ BC＝CD＋ AB.方法总结：由切线长定理能够获得一些相等的线段，必定要明确这些相等线段．记着“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们此后解决问题有很大帮助．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 4 题【种类五】切线长定理与三角形内切圆的综合如图，在△ ABC中，AB＝ AC，⊙ O是△ ABC的内切圆，它与AB、 BC、 CA分别相切于点D、E、 F.(1)求证： BE＝CE；(2)若∠ A＝90°， AB＝ AC＝2，求⊙ O的半径．分析： (1) 利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，从而得出BD＝CF，即可得出答案；(2) 第一连结OD、OE、 OF，从而利用切线的性质得出∠ODA＝∠ OFA＝∠ A＝90°，从而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．(1)证明：∵⊙ O是△ ABC的内切圆，∴ AD＝ AF， BD＝ BE，CE＝ CF.∵ AB＝ AC，∴ AB－ AD ＝AC－ AF，即 BD＝CF，∴ BE＝ CE；(2) 解：连结、、，∵⊙是△的内切圆，切点为、、，∴∠＝∠ODOEOFO ABC D E F ODA OFA ＝∠ A＝90°.又∵ OD＝ OF，∴四边形 ODAF是正方形．设OD＝ AD＝AF＝ r ，则 BE＝ BD＝ CF＝CE＝2－ r .在△ ABC中，∠ A＝90°，∴ BC＝222. 又∵BC＝BE＋CE，∴ (2 －r ) ＋AB＋ AC＝2(2 －r ) ＝ 2 2，得r＝ 2－2，∴⊙O的半径是 2－ 2 .方法总结：此题综合考察了正方形的判断以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的要点是得出四边形是正方形．ODAF【种类六】利用切线长定理解决存在性问题如图①，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点 ( P不与M，D重合 ) ，以AB为直径作⊙O，过点 P 作⊙ O的切线交 BC于点 F，切点为 E.(1)除正方形 ABCD的四边和⊙ O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不可以增添字母和协助线 )?(2)求四边形 CDPF的周长；(3) 延伸CD，FP订交于点G，如图②所示．能否存在点P，使BF·FG＝CF·OF？假如存在，试求此时 AP的长；假如不存在，请说明原因．分析： (1) 依据切线长定理获得FB＝ FE， PE＝ PA；(2)依据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和； (3)若要知足结论，则∠＝∠，依据切线长定理得∠BFOBFO GFC＝∠ EFO，从而获得这三个角应是60°，而后联合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用 30°的直角三角形的知识进行计算．解： (1) FB＝FE，PE＝PA；(2)四边形 CDPF的周长为 FC＋ CD＋DP＋ PE＋EF＝ FC＋CD＋ DP＋PA＋ BF＝BF＋ FC＋CD＋DP＋ PA＝ BC＋ CD＋ DA＝23× 3＝ 6 3；BF CF BF CF(3)假定存在点 P，使 BF·FG＝ CF·OF.∴＝.∵cos∠ OFB＝，cos∠ GFC＝，∴OF FGOF FG∠ OFB＝∠ GFC.∵∠ OFB＝∠ OFE，∴∠ OFE＝∠ OFB＝∠ GFC＝60°，∴在Rt △OFB中，BF＝OB OB＝ 1. 在 Rt△GFC中，∵CG＝CF·tan ∠GFC＝CF· tan60 °＝ (23－1) ×＝tan ∠OFB tan60°3＝ 6－3，∴＝－＝6－33，∴＝·tan ∠＝·tan30 °＝ 23－ 3，∴DG CG CD DP DG PGD DGAP＝ AD－ DP＝23－ (23－3) ＝3.方法总结：因为存在性问题的结论有两种可能，因此拥有开放的特点，在假定存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：假定存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．三、板书设计切线长定理1．切线长的观点2．切线长定理3．切线长定理的应用在教课过程中，经过安排实践操作活动，使学生提高了研究的兴趣．第一教师突出操作要求，学生操作并思虑回答下列问题，教师在学生回答下列问题的基础长进一步指引学生从中发现问题，让学生领会从详细情形和实践操作中发现问题，解决问题．经过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，经过自己绘图试试从中获得感性认识，从而不停地比较，让学生的思想能够经历一个从模糊到清楚，从详细到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗拙向严格、精确，使学生领会数学发展的过程.。

新北师大版九年级数学下册《三章圆.7切线长定理》教案_3

切线长一、内容和内容解析1、内容切线长的概念和切线长定理。

2、内容解析本节课是九年级《圆》-《直线和圆的位置关系》的学习内容。

本节课根据学生的具体情况，主要研究切线长的问题，给出了切线长的概念，探索并证明了切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等地，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

再次体现圆的轴对称性。

本节课是切线的性质的延伸，也为证明线段、角、弧相等以及垂直关系提供了理伦依据。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线长定理。

二、目标和目标解析1、目标（1）理解切线长的定义，掌握切线长定理，熟练掌握并应用。

其中A组理解切线长的定义，了解切线长定理，会最基础的应用。

B组理解切线长的定义，基本掌握切线长定理，会基础的应用。

C组理解切线长的定义，掌握切线长定理，灵活应用。

D组理解切线长的定义，掌握切线长定理，熟练掌握并应用。

（2）经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

2、目标解析达成目标的标志是：A组能正确认识切线长，应用切线长定理，进行最基础的填空和选择。

B组能正确认识切线长，应用切线长定理，进行基础的运算和论证。

C组能正确认识切线长，掌握并灵活应用切线长定理进行运算和论证，及产生的变化。

D组能正确认识切线长，熟练掌握并应用切线长定理进行运算和论证，及产生的变化。

三、教学问题诊断分析学生刚学完切线的判定定理和性质，对其应用掌握不牢固，几何的论证推理本身对学生而言就是一个难点，基于此，本节课的难点是：切线长定理的应用。

四、信息技术应用分析希沃白板，PPTPPT贯穿整个课堂，很好的提高教学效率，调动学生的积极性。

希沃白板与PPT相结合，具有很好的辅助作用。

希沃白板具有传统黑板的作用，集多种功能于一身，具有很高的互动性，如投影，上传答案，在重点问题或注意点时，进行标注等，让教学更加方便简单，教学的思路更清晰，学生更清楚和理解相应的内容。

新北师大版九年级数学下册《三章圆.7切线长定理》教案_7

切线长定理一、学习目标1.理解并掌握切线长定理，能应用切线长定理解决简单问题.2.切线长定理与勾股定理的综合应用二、重难点切线长定理的应用三、教学过程（一）知识回顾1、2、切线的性质与判定（1）．切线的判定方法(i)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(ii)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(iii)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．(2)．切线的性质切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(二)、切线长定理切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．1.以点p为顶点相等的角____________；以点O为顶点相等的角____________。

2.垂直关系有____________设计意图：熟悉切线长定理中所有相等的边、角，存在的垂直关系（三）、典型例题1.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，且分别交PA、PB 于点C、D，若PA＝4，求△PCD的周长.第1题第2题设计意图：考察切线长相等2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求∠ACB 的度数.设计意图：考察切线长相等，直径垂直于切线3.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC=3，AC=4，求BF的长.设计意图：直径垂直于切线，勾股定理，等面积法4.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5.求该梯形的周长、AD、BC 的长.设计意图：切线长相等5.如图，AB是的的直径，BCAB于点B，连接OC交于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G.（1）求证：点E是的中点；（2）求证：CD是的切线；（3）已知CB=4cm，CE=2cm，求半径的长.设计意图：垂直关系变式1. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值．设计意图：垂直关系切线长定理【模拟试题】（答题时间：40分钟）班级：姓名：一、选择题1.已知：PA、PB切⊙Ｏ于点A、B，连结AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，则PA＝（）A. B. C. 5 D.82.下列图形一定有内切圆的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如图1直线MN与⊙Ｏ相切于C，AB为直径，∠CAB＝40°，则∠MCA的度数（）图1A. 50°B. 40°C. 60°D.55°4.圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5.在△ABC中，D是BC边上的点，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延长线与△ABC的外接圆的交点，那么DE长等于（）A. B.C. D.6. PT切⊙Ｏ于T，CT为直径，D为OC上一点，直线PD交⊙Ｏ于B和A，B在线段PD上，若CD＝2，AD＝3，BD＝4，则PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空题7. AB、CD是⊙Ｏ切线，AB∥CD，EF是⊙Ｏ的切线，它和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝_____________度。

北师大版九年级下册数学教案-第3章圆-7 切线长定理

*7 切线长定理教学目标一、基本目标1．理解切线长的定义．2．理解圆外接四边形的性质．3．能够运用切线长定理进行有关的计算和证明．二、重难点目标【教学重点】切线长定理．【教学难点】应用切线长定理解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P94～P95的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．3．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若P A＝4，则PB＝4.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，那么BD的长是____．【互动探索】AB、AC、BD是⊙O的切线，由切线长定理可以得到哪些相等线段？求BD 的长可以转化为求哪条线段的长？【分析】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP.∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB－AP＝5－3＝2.【答案】2【互动总结】(学生总结，老师点评)切线长定理提供了另一种证明线段相等的方法，注意在解题过程中的等量代换．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，P A、PB、CD与⊙O相切于点A、B、E，若P A＝7，则△PCD的周长为(B)A．7 B．14C．10.5 D．102．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2.3．如图，AD、DC、BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°.4．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，求∠BAC 的度数．解：∵P A、PB是⊙O的切线，∴AP＝BP.∵∠P ＝60°，∴∠P AB ＝60°.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠P AC ＝90°，∴∠BAC ＝∠P AC －∠P AB ＝30°.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，AB ∥DC ，E 、M 、F 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的切点．(1)求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC ；(2)求∠AOD 的度数．【互动探索】(1)根据切线长定理可证得AE ＝AN ，BE ＝BM ，DF ＝DN ，CF ＝CM ，进而证明AB ＋DC ＝AD ＋BC ；(2)连结OE 、ON 、OM 、OF ，通过证明△OAE ≌△OAN ，得到∠OAE ＝∠OAN .同理∠ODN ＝∠ODF ，再利用平行线的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AOD 的度数．【解答】(1)证明：∵⊙O 切梯形ABCD 于点E 、M 、F 、N ，∴AE ＝AN ，BE ＝BM ，DF ＝DN ，CF ＝CM ，∴AE ＋BE ＋DF ＋CF ＝AN ＋BM ＋DN ＋CM ，∴AB ＋DC ＝AD ＋BC .(2)连结OE 、ON 、OM 、OF .∵OE ＝ON ，AE ＝AN ，OA ＝OA ，∴△OAE ≌△OAN ，∴∠OAE ＝∠OAN .同理，∠ODN ＝∠ODF .∴∠OAN ＋∠ODN ＝∠OAE ＋∠ODF .又∵AB ∥DC ，∴∠EAN ＋∠CDN ＝180°，∴∠OAN ＋∠ODN ＝12×180°＝90°， ∴∠AOD ＝180°－90°＝90°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)圆的外切四边形的两条对边的和相等；(2)过圆外一点画圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长．2．切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等．练习设计请完成本课时对应练习！。