§7.4 常系数线性差分方程的求解
常系数线性差分方程的解
常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。
差分方程的解法-推荐下载
法计算。常用的方法有：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
1.3 常系数线性差分方程
同一个差分方程，边界条件不同，所求的h(n)表达 式不同。即：
同一个差分方程，边界条件不同，其对应的系统 是不同的。
二、常系数线性差分方程的求解
解得：此系统不是线性系统，也不是移不变系统。 结论：常系数线性差分方程，其所对应的
系统并不一定是线性移不变的。
一些关于差分方程的结论
一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程描述的系统不一定
利用查找表实现4bit x 4bit
4bit x 4bit 乘法器
用D触发器实现延时器
1. 己知差分方程，作出系统运算结构
2. 己知系统运算结构，求差分方程表达式
例：已知某系统结构如下所示，求此系统所对应的 差分方程。
四、系统运算结构的实现
当输入x(n)=nR10(n)，求输出y(n)。
(输入和输出信号均为8件编程
课后自训
某线性移不变离散时间系统的单位抽样响应序 列h(n)=R3(n)，
1.求此系统对应的差分方程； 2.作出此系统的运算结构； 3. 分别用硬件电路和软件编程实现此系统，
当输入信号x(n)＝nR10(n)时，求出输出 信号y(n)。（输入输出信号均用8bit表示）
1.3 常系数线性差分方程
(3) y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
(使用3之前要证明此系统是线性移不变系统)
一、常系数线性差分方程的定义
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
二、常系数线性差分方程的求解
解得：
是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的
在今后的讨论中，通常假设常系数 线性差分方程就代表线性移不变系统， 且多数代表可实现的因果系统。
差分方程模型理论与方法
差分方程模型的理论和方法引言1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
数字信号处理复习题及参考答案
数字信号处理期末复习题一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分）1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。
(Ⅰ)原信号为带限(Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。
①Ωs ②.Ωc③.Ωc/2 ④.Ωs/23.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。
①.R3(n) ②.R2(n)③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1)4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。
①.有限长序列②.右边序列③.左边序列④.双边序列5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。
①当｜a｜<1时，系统呈低通特性②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性③.当0<a<1时，系统呈低通特性④.当-1<a<0时，系统呈低通特性6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。
①.2 ②.3③.4 ④.57.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。
①.FFT是一种新的变换②.FFT是DFT的快速算法③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。
①.横截型②.级联型③.并联型④.频率抽样型9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ① )。
§7.4 常系数线性差分方程的求解
(
) u(n)
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值 (0)， 始样值y (0)=1应满足方程 应满足方程： 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) <0时 迭代法得： 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0 当n ≥ 时，则有： 0 则有： y+(0)= 1 +3y y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y − (− 1) = 1 1 y − (0 ) = 3 3 2 1 1 y − (− 2 ) = y − (− 1) = 3 3
…...
1 1 y − (n ) = y − (n + 1) = 3 3
−n
假设系统是因果系统， 假设系统是因果系统， 由于激励u n=0 由于激励u(n)在n=0接 那么,此解就是n 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。 时系统的零输入响应。
如果系统起始样值 如果系统起始样值y-(n) ≠ 0，则系统差分方程的完全 起始样值y 0，则系统差分方程的完全 解将不满足线性时不变的特性。 解将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标 值如无下标， 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始 样值处理。 样值处理。
返回
种方法） 二、差分方程的解法（前3种方法） 差分方程的解法（
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13 +3y …... 1 2+……+3n = (3 n +1 − 1) y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+3 +3y 2 1 n +1 则方程的解为： 则方程的解为： y(n)= (3 − 1) u(n)
高数差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构
= y x +1 ⋅ z x +1 − y x +1 ⋅ z x + y x +1 ⋅ z x − y x ⋅ z x = y x +1 (z x +1 − z x ) + ( y x +1 − y x ) ⋅ z x = y x +1∆ z x + z x∆ y x
设y = x 3，求∆3 y x . 例8
k! . 其中 C = i !( k − i )!
i k
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 高阶差分
二、差分方程的概念 差分方程的概念
1.差分方程与差分方程的阶 差分方程与差分方程的阶 定义1 定义
含有未知函数的差分 ∆ y x ,∆ y x , LL的函数方程
例 11 确定下列方程的阶 (1) y x + 3 − x 2 y x +1 + 3 y x = 2
解 (1) Q x + 3 − x = 3，
( 2) y x − 2 − y x − 4 = y x + 2
是三阶差分方程； ∴ (1)是三阶差分方程；
( 2) Q x + 2 − ( x − 4) = 6，
+ 3x
( 2)
+ x )]
(1)
= ∆∆ ( ∆x
( 3)
+ 3 ∆x
( 2)
+ ∆x )
(1)
(0)
= ∆∆[3 x
( 2)
+ 6x
(1)
+x ]
= ∆[3∆x + 6∆x + ∆1]
( 2) (1)
常系数线性差分方程初值问题的算子解法
．
从 而 由（ ） （ ） 式 及 （ ）＝ｃ， ＝０ … ， 可得 ４ ，７ 两 ｉ ；ｉ ， ｍ
（ ： ｎ）
１
也，
［
，ｔ
Ｅ
／ ）。 （ ］
…
与文献 ［］ 似 ， 得如下两个 定理 。 ３类 可 定 理 ２ 设 （ ） 中 的多 项 式 ３式
（ ） （ — １ ｍ… （ — ） ＝ ） Ｉ ｍ，
设 多 项 式 （ ） ＝ ＋ ０ 一 ＋… ＋ ０ ｌ 。 ， （） ３
Ｅ 为 平 移 算 子 ， 们 以 我
（ ） Ｅ ）
表 示初 值 问 题 （ ） （ ） 解 。 而 以 １ ，２ 的
（ ） “）
Ｅ
表 示
．
：
．
（ Ｅ） 显 然 有
Ｖｏ ． Ｎｏ． １１ ４ Ａｕ ２ ０２ ｇ． ０
常 系 数 线 性 差 分 方 程 初 值 问 题 的 算 子 解 法
杨 继 明 蔡 炯 辉
（ 溪 师 范 学 院 数 学 系 ， 南 玉 溪 ６３ ０ 玉 云 ５ １０）
摘 要 ： 用 算 子 方 法 ， 出常 系数 非 齐 次 线 性 差 分 方 程 （ ） 给 定 的初 始 条 件 下 的 一 个 求 解 公 式 。 利 给 组 在
．
（
（ ）＝［ Ｉ — ） ；［ Ｉ ＋ｐ ＋ｑ） ， Ｉ（ ］Ｉ（ ］
‘ １ ‘ ｌ
维普资讯
２０ ０ ２年 第 ４期
杨 继 明 等 ： 系 数 线 性 差 分 方 程 初 值 问 题 的算 子 解 法 常
・３ ・
而
ｄ ＝Ｃ ｍ＋
一
＋
０
ｃ ＋
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
第 8 页
根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
常系数线性差分方程的求解
2.有重根 3.有共轭复数根
X
7
2.特解
第
页
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
输入
输出
xk eak
ykAeak
xkejk
ykAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱjk
xkcosk ykA cos(k)
xksink ykAsin(k)
xk kn
y k A n k n A n 1 k n 1 L A 1 k A 0
X
4
二．时域经典法
第
页
1.齐次解：齐次方程的解
ykayk10
但起 y 1 始 ,y 2 , 状 y N 态 不能全为
y 1 0 , y y 0 1 y y1 0 Lyy k k 1 a
说 明 y k 是 一 个 公 比 为 a 的 几 何 级 数 , 所 以 yk Cak
或由特征 ra方 0,程 可r得 a 指数形式
ykCrkCak X
5
求待定系数 C由边界决定
第
页
设y1
2 a
,
代入原方程，
令k
0
y0a y1 2
由方程解yk
齐次解
y0C0aC C2 yk 2ak
求差分方程齐次解步骤
差分方程
特征方程特征根
y(k)的解析式由起始状态定常数
X
6
根据特征根，解的三种情况
第
页
1 .无重 r1根 r2rn n 阶方程
y k C 1 r 1 k C 2 r 2 k L C n r n k
xk A
yk C
xk rk
yk Crk
xk rk（r与特征根重）
ykC 1krkC 2rk
X
数学建模常见差分方程方法
(a
1),
xt
(a
1)N
Pt
,于是(2)式又可改写为
xt1 bxt (1 xt ) f ( xt ), t 0,1,2,
（3）
虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0， 其差微后分分的方方程程x1（稳可定3利）性用有的方两讨程个论确平，定衡非的点线递，性推即差关x分系*=方迭0和程代平求衡出x*点。的b稳b。1定类性似也于
r(xm ) 0
s r r(x) r(1 x )
xm
xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
xm
xm/2
0
xm/2 xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
Fn
c1
1
2
5
n
c2
1
2
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
由初始条件 F1 1, F2 1 得
1 c1 2
5
c2
1 2
5
1
2
2
1 5
c1
2
c2
1 2
5
1
联立解得:
c1
xk b1xk1 L bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
{ 例:求Fibonacci数的通项:
差分方程求解-2022年学习资料
定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程，称-为差分方程.-其一般形式为-G,yx yx+1,,yx+n= .-2-定义3中要求，y,y+1w,y+n不少于两个.-例如，yx+2+y+1=0为差分方程，y,=x不是 分方-程。-差分方程式2中，未知函数下标的最大差数为，则-称差分方程为n阶差分方程.
三、一阶常系数线性差分方程-一阶常系数线性差分方程的一般形式为-yx+1-ayx=fx.-3-其中a为不等 零的常数，-当fx=0时，即-yx+1-ayx=0-4-称为齐次差分方程；当fx≠0时，称为非齐次差分方程
先求齐次差分方程y+1-ayx=0的解-设y0已知，代入方程可知-y1=y0,-y2=a23y0,-yx= yo-令yo=C,则得齐次差分方程的通解为-yx=Cax.-5
当九为常数时，y=和它的各阶差商有倍数关系，-所以可设y=x为方程11的解-代如方程11得-2x+2+a2 +1+b2x=0,-22+a元+b=0,-12-方程12称为齐次差分方程11的特征方程.-由特征方程的根的 况可得齐次方程的通解：-特征方程的解-2x+2+a2x+1+bλ=0的通解-两个不相等的实根，2-yx=C *+C2-两个相等实根九1=2-yx=C1+C2x21-y:=C cosOx+C,sinexr*-一对共轭 根九1,2=灶B1-r=ya+p,tan0-￡
2fx=Cb-设特解的待定式为-夕.=kbb≠a-8-或-y.=kbb=a）-9-其中k为待定系数
加求分方器y:】-的通解-解对应的齐次方程-的通解为-s-d-因为a=-，b=弓故可设特解为-2-月-则-
信号与系统§7.4 常系数线性差分方程的求解
解法
1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应 4. z变换法反变换y(n)
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，
但 得 不 到 输 出 序 列yn的 解 析 式
二．时域经典法
特征根是单实根r 齐次解cr n 特征根是复根r r e jr 齐次解c r e n jnr 特征根是m重根r 齐次解
cm1nm1r n cm2nm2r n L c1nr n c0r n (cm1nm1 cm2nm2 L c1n c0 )r n 当 r 1,则响应是衰减变化，系统稳定。 r 1,则响应是增长变化，系统不稳定。 故系统是否稳定，就是看r值确定的点是否在单位圆内。
xn: 激励, hn:冲激响应 yzsn xn hn 需要先求hn, 即单位样值响应（或通称冲激响应）
C由初始状态定（相当于0-的条件）
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1 y 2 0
经典法：齐次解+特解
求解方法
详细
卷积法
零状态响应的求解方法
1.齐次解+特解
由y 1 0, y 2 0 迭代出y0, y1
由初始条件定全解的中的待定系数。 2.卷积法
差分方程 特征方程 特征根 y(n)的解析式 由初始状态定常数
根据特征根，解的三种情况
1.无 重 根 r1 r2 rn n阶 方 程
yn C1r1 n C2r2 n Cn rn n
2.有重根
3.有共轭复数根
从以上求解零输入响应可知，特征根r在复平面的分布 决定了系统的时域特性，从而可判断系统是否稳定。
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x(n) = A
y(n) = C
n
x(n) = (r)
(n) = (r)n （r与特征根重） x 与特征根重） 与特征根重
y(n) = C(r)
n
(n) = C1n(r)n + C2(r)n y
X
第
三．零输入响应+零状态响应 d
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
齐次解： 齐次解：C(r) C由初始状态定（相当于 -的条件） 由初始状态定（ 由初始状态定 相当于0 的条件）
输出
y(n) = Aean y(n) = Ae jωn
x(n) = cosω n x(n) = sinω n
x(n) = nk
x(n) = e jωn
y(n) = Acos(ω n +θ ) y(n) = Asin(ω n +θ )
y(n) = Aknk + Ak−1nk−1 +L+ A n + A0 1
y 但得不到 (n)输出序列的解析式
X
第
二．时域经典法
1.求齐次解：齐次方程的解
齐次方程的形式为： 齐次方程的形式为：
N
4 页
∑a y(n − k) = 0
k=0 k
一般方法：差分方程→ 特征方程→ 特征根→ 一般方法：差分方程→ 特征方程→ 特征根→ y(n)的解析式→ 由起始状态确定常数。 的 析式→ 由起始状态确定常数。
§7.4 常系数线性差分方程的求解
• 迭代法 • 时域经典法 • zi、zs 分解法 zi、 •变换域求解法（Ch8） 变换域求解法（ 变换域求解法 ）
注意：P21-27不要求（限于2003春季“非典”特别学期） 注意：P21-27不要求（限于2003春季“非典”特别学期） 不要求 2003春季
第
y(n) = C1nk−1 + C2nk−2 +L+ Ck−1n + Ck ⋅ r n(ຫໍສະໝຸດ )√ √X
3.有共轭复数根：当作不同的根，解可化简。 3.有共轭复数根：当作不同的根，解可化简。 有共轭复数根
第
2.特解
输入
x(n) = ean
（此表书上没有） 此表书上没有）
6 页
线性时不变系统输入与输出有相同的形式： 线性时不变系统输入与输出有相同的形式：
特征方程为： 特征方程为： ∑ak ⋅ r k = 0
k=0
N
根据特征根的情况，解有三种形式。
X
第
解的三种形式
1.无重根 r1 ≠ r2 ≠ L≠ rn
n n
5 页
n阶方程
n
y(n) = C1(r1 ) + C2 (r2 ) +L+ Cn (rn )
√
2.有重根： 是特征方程的k重根。 2.有重根：r是特征方程的k重根。 有重根
解法
1. 迭代法 时域经典法： 特解； 2. 时域经典法：齐次解 + 特解； 3. 零输入响应 + 零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 4. z 变换法 → 反变换 → y(n)
2 页
X
第
一．迭代法
利用差分方程本身的递推关系，逐一求出 利用差分方程本身的递推关系，逐一求出y(n)。 。
3 页
√
n
7 页
2.零状态响应：初始状态为0，即
y(−1) = y(− 2) = K= 0
经典法：齐次解+ 经典法：齐次解+特解 求解方法 卷积法
不讲了。 不讲了。
X