数值计算方法
数值计算方法及算法
h
2
中心差商 f (x h) f (x h) f (x) f ( ) h2
2h
6
插值微分
(x) f (x) K (x)(x x0 )(x xn )
(xi )
f (xi )
f (n1) ( )
(n 1)!
(xi x j )
构造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x)，则有
(x)
x xn x0 xn
1(x)
x x0 xn x0
2 ( x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
误差估计：
R(x)
f (x) (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(n 1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
单项式 插值
(x) a0 a1x an xn，或
(x)
a0
a1
x h
an
(
x h
)n
1 x0 x0n a0 y0
1
1
x1
xn
x1n xn n
a1
an
(x)
(x
x0 )(x
xn )
x
数值计算方法总结
模型误差 数据误差 截断误差 计算误差 在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中数的位数限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
~ x 设 为真值, x 为真值的近似值
绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对 值，即 x x x,或 x 绝对误差界：用一个满足 绝对误差的大小，并记为 的数 ,来表示
分为n -1步, 第k步变换n - k 行 : 求倍数, 再从n 1- k 个元素中减去第k 行 对应列的倍数,因此所需乘除次数: n3 n 2 5n N1 (n k )(n 1 k 1) 3 2 6 k 1
n
2.回代运算量
求xn需做1次除法, 求xn-1需做1次乘法和1次除法,..., 求x1需n -1次 乘法和1次除法,因此所需乘除次数: n(n 1) N 2 1 2 ... n n3 2 2 n 因此,N N1 N 2 n 3 3
j i, i 1,..., n j i 1, i 2,..., n 1
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.3 追赶法
b1 a 1 A A b
作克洛特分解
c1 b2 a2
c2 b3 c3 an 1 bn 1 cn 1 an
选主元方法分为行主元法与全主元法
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.1 杜里特尔分解法 高斯消去法的消去过程,实质上是把系数矩阵A分解为单位下三角矩 阵L与上三角矩阵R的乘积,并且求解方程组Ly=b的过程,回代过程是求解 上三角形方程组Rx=y
数值计算方法简介
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（2）缺点
l）该软件建模不是太方便； 2）非线性计算能力比较差，收敛速度非常慢； 3）土木材料的本构关系很少； 4）没有undo功能，某地方错了只能从新再来
3、常用的数值分析软件
3.2 ABAQUS
ABAQUS 是一套功能强大的工程模拟的有限元软件， 其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的 非线性问题。 ABAQUS 包括一个丰富的、可模拟任意几 何形状的单元库。并拥有各种类型的材料模型库，可以 模拟典型工程材料的性能，其中包括金属、橡胶、高分 子材料、复合材料、钢筋混凝土、可压缩超弹性泡沫材 料以及土壤和岩石等地质材料。作为通用的模拟工具 ， ABAQUS 除了能解决大量结构（应力 / 位移）问题 ，还可以模拟其他工程领域的许多问题，例如热传导、 质量扩散、热电耦合分析、声学分析、岩土力学分析（ 流体渗透 / 应力耦合分析）及压电介质分析。
2、常用的数值计算方法
2.2.2 有限元法的基本计算步骤
（1）问题及求解域定义； （2）求解域离散化； （3）确定状态变量及控制方法； （4）单元推导； （5）总装求解； （6）联立方程组求解和结果解释
2、常用的数值计算方法
数值计算方法
数值计算方法的特点1.面向计算机，要根据计算特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
2.有可能的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
3.要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
4.要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
误差来源模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。
设计算法的注意事项1.要注意简化计算步骤，减少运算次数。
2.要避免两相近数相减。
3.要注意浮点数运算的特点，防止大数“吃掉”小数。
4.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。
5.要设法控制误差的传播，选取数值稳定的计算公式。
二分法局限性是只能用于求实根，不能用于求复根及偶数重根。
牛顿法X n+1=x n-[f(x1)]/[f’(x1)],n=1,2,3……例：用牛顿法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1，2]内一个实根，取初始近似值x0=1.5解：f’(x)=3x2+8x所以迭代公式为X n+1=x n-(x n3+4x n2-10)/(3x n2+8x n),n=0,1,2……拉格朗日插值多项式l0(x)=(x-x1)/(x0-x1),l1(x)=(x-x0)/(x1-x0)L1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)例：已知y=,x0=4,x1=9,用线性插值求的近似值。
解：y0=2,y1=3,基函数分别为l0(x)=(x-9)/(4-9)=…….L1(x)=(x-4)/(9-4)=……..L1(x)= y0l0(x)+y1l1(x)=……所以L1(x)=……多项式拟合解题步骤：1.由已知数据画出函数粗略的图形—散点图，确定拟合多项式的次数n。
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
第三章基本数值计算方法一
1.0000 0 0 -1.6757 1.0676
U0
0 1.0000
0
-1.8378
-1.2162
,
0 0 1.0000 0.9820 0.3018
0
0
0
0
0
这个最简行阶梯形式说明原 来的方程组是欠定的。
欠定方程组解的特点
它等价于下列方程组：
x1
-1.6757 x4 = 1.0676
1
0
3
0
0
（柠檬酸）x1
1 1
,（小苏打）x2
8 6
（, 碳酸钠）x3
0 6
,
（水）x4
2 0
,
（二氧化碳）x5
0 1
,
3
8
7
1
2
• 按四种元素左右平衡列出四个方程，得：
1 0 3 0 0 0
1
1
x1
8
6
x2
0 6
x3
2 0
x4
0 1
x5
0 0
Ax
=
b
=
0
3
8
7
1
2
0
化学方程配平程序
X4 = 8.66
为什么要提出这种新的计算方法？
把上例中第四个方程改为：
4x1 + 2x2 + 7x3 -778/222 x4 877 / 222
，求其解。
解：输入新参数
A=[6,1,6,-6;1,-1,9,9;-2,4,0,4;4,2,7,-778/222];
b=[7;5;-7;877/222]; 键入U=rref([A,b])，得到
4x1 + 2x2 + 7x3 -5x4 9
数值计算方法第01章误差
1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
绝对误差/* Absolute error */
定义1. 设x为准确值 , x*为x的一个近似值 , 称 e(x*) x* x
为近似值x*的绝对误差 ,简称误差 ,可简记为E.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E(x* ) x* x 往往也无法求出
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一：In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I
* 0
则初始误差 E0 I0 I0* 0.5108
注意此公式精确成 立
1
e
1 0
x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000
1.2.2 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x*近似x时具有n位 有效数字, 简称x*有n位有效数字.
1.3数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中，参加运算的数若有误差，那
么一定会影响到计算结果的准确性.
例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关 系。
1.3.2 算法的数值稳定性
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知 数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
且 x* x x* 准确值 x 的范围
数值计算方法第一章 误差
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
数值计算方法课件
2020/8/1
4
1.1 算法
一、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数学问题
时，常常要事先拟定一个计算方案，规划一下计算的步骤。 所谓算法，就是指在求解数学问题时，对求解方案和计算 步骤的完整而明确的描述。
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一个方法 是程序流程图。算法也可以用人的自然语言来描述。如果 用计算机能接受的语言来描述算法，就称为程序设计。
1 x ne x1d x
0
x ne x1
1 0
1 n x n1e x1d x
0
1 n 1 x n 1 e x 1 d x 0
2020/8/1
17
或
En 1 nEn1 （ n=2， 3， ...）
这里
1 E1 e 0.3678794412
E1
1 xe x1dx
0
1 xd e x 1 0
如
取
E
的
20
近
似
值
为
零
，
以
它
为
起
始
值
，
则
起
始
误
差
最
大
为
1。 21
此
误
差
在
求
E 1 9时
乘
了
1， 20
因
此
E
1
的9ຫໍສະໝຸດ 误差最大
为
1 20
1。 21
E
的
9
误
差
最
大
，
为
1 10
1 11
时 ， 起 始 误 差 已 减 小 至 2.5 10 8。
1 20
1。 21
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法 代数精度 - 代数精度
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
这是关于 Ak的线性方程组，其系数矩阵
1
x0
x02
x0n
1 1
x1
xn
x12
xn2
x1n xnn
是范得蒙德矩阵,当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,故 Ak 有唯一解。
典型例题
例2
试确定一个至少具有2次代数精度的公式
f
(1)
20
f
(3)
结构分析
2 .如 果 参 数 x k 和 Ak均 未 知 ， 则 方 程 组 为 非线 性 的
A0 A1 An b a
A0 x0 A0 x0n
A1x1
An xn
b2
2
a2
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
非线性方程组求解很困难
定理
n+1个节点的求积公式
1
2
左右相等
典型例题
当 f ( x )分 别 为 常 数x 2或 x 3时 ,
2 f ( x) x2 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x2 1
3
1
2
1 f ( x) x3 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x3 0
n
Ak
x
m k
k0
1 m 1
bm1 a m1
b x mdx
a
构 造 求 积 公 式, 原 则 上 是 确 定 参 数x k和 Ak的 代 数 问 题.
结构分析
A0 A1 An b a
1.如
简单的数值方法
在分段点处可能不光滑，需要进行特 殊处理以保证整体光滑性。
03 迭代法
迭代法的定义与原理
01
迭代法是一种通过不断逼近的方式求解基本原理是从一个初始近似解出发，按照一定的迭代格式 逐步逼近精确解。
03
迭代法的关键在于构造合适的迭代格式，使得迭代序列收敛 于精确解。
误差的来源与分类
模型误差
由于数学模型与实际问题之间 的差异而产生的误差。
观测误差
由于观测数据的不准确性或不 完全性而产生的误差。
截断误差
由于数值方法采用有限项近似 而产生的误差。
舍入误差
由于计算机浮点数运算的精度 限制而产生的误差。
误差的估计与控制
先验误差估计
通过理论分析或实验手段，预先估计数值方 法的误差范围。
解。
二维问题的有限差分法
二维常系数线性偏微分方程的有限差分法
对于形如 $u_t = a(u_{xx} + u_{yy})$ 的二维常系数线性偏微分方程，可以采用五点差分格式进行离 散化，得到相应的差分方程。通过求解差分方程，可以得到原偏微分方程的近似解。
二维变系数线性偏微分方程的有限差分法
对于形如 $u_t = a(x,y,t)(u_{xx} + u_{yy})$ 的二维变系数线性偏微分方程，可以采用加权五点差分格 式进行离散化，得到相应的差分方程。通过求解差分方程，可以得到原偏微分方程的近似解。
有限元法在结构力学中的应用
静力分析
用于求解结构在静载作 用下的应力、应变和位
移等。
动力分析
用于求解结构在动载作 用下的响应，如固有频
率、振型和阻尼等。
稳定性分析
用于研究结构在失稳状 态下的临界载荷和失稳
excel表格中的数值计算方法
以上就是我为您撰写的关于Excel表格中的数值计算方法的文章，希望能够满足您的需求。如有任何问题或需要进一步的帮助，欢迎随时联系我。祝您工作顺利，学习进步！在之前的文章中，我已经向大家介绍了Excel表格中的数值计算方法，包括基本的加减乘除运算、求和函数、平均值函数、最大最小值函数以及绝对引用的运用。在本文中，我将进一步共享一些高级的数值计算方法和在实际工作中的应用场景，希望能够为大家的工作和学习提供更多的帮助和指导。
3. 平均值函数
除了求和函数外，平均值函数也是Excel中常用的数值计算方法之一。通过在单元格中输入“=AVERAGE(A1:A10)”即可计算A1至A10单元格范围内的数值平均值。这对于对数据进行统计分析和综合评价非常有用。
4. 最大最小值函数
在实际数据处理中，我们经常需要找到数据中的最大值和最小值。Excel提供了“MAX”和“MIN”函数来实现这一功能。通过在单元格中输入“=MAX(A1:A10)”即可找到A1至A10单元格范围内的最大值；输入“=MIN(A1:A10)”即可找到A1至A10单元格范围内的最小值。这对于数据分析和决策提供了有力支持。
让我们来介绍一些高级的数值计算方法。在Excel中，除了基本的四则运算外，还可以通过一些复杂的公式进行数值计算，如指数函数、对数函数等。通过使用“=POWER(A1,B1)”即可计算A1的B1次方；使用“=LOG(A1,B1)”即可计算以B1为底数的A1的对数。这些函数在数据分析和科学计算中经常会用到，对于高级用户来说是非常有用的工具。
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理论数学不能解决的问题
• • • • 高等数学 线性代数 复变函数 概率统计
举例
1、求下列方程的根或零点：
x 2 2 x sin x 1 0
（第2章的内容：非线性方程的数值解法）
2、 给出函数f(x)=cos(x)的函数表
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.0000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534
原点附近
但在计算数学中，它却是降秩矩阵
？
1 10 n 1 10 n1 10 1 n 10 0 10 2 1 10 0 1 0 10 1n x dx ,
2
b
a
sin x dx x
等，它们的原函数不能用初等函数表示成有限 形式。 • 原因之二：有些被积函数的原函数过于复杂， 计算不便。例如
数值分析的特点
1、近似： 由此产生“误差” 在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：什么是零？
1 10 1 10 在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵 1 10 1
有非零解
n
0
2、与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语 言，会用Matlab）
• 3. 数值方法
• 求解数值问题的计算机上可以执行的系列计
算公式。计算机上可执行的计算公式有：四
则运算、逻辑运算、标准函数。
• 注：计算公式不都属于数值方法，如积分、
求极限运算等。
学习和了解科学计算的桥梁
数值分析
主讲 谢冬秀教授
第一章 绪论 • 主要内容：
“数值分析”研究的对象与特点 数值计算的误差； 误差定性分析与避免误差危害；
任务
• • • • 求非线性方程的解 求线性方程组的解 求积分 求微分
它与高等数学、线性代数的区别？
Introduction
数值分析 能够做什么？
计算cos0.048及cos0.566的近似值
• 3. 解线性方程组的问题
• 4. 定积分问题 • 由微积分知识知，定积分的计算可以 使用牛顿——莱布尼兹公式：
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
• 其中F(x)为被积函数f(x)的原函数。 • 为何要进行数值积分？
• 原因之一：许多形式上很简单的函数，例如