三角函数的定义学案
学案1三角函数的概念
学案1三角函数的概念复习目标：理解任意角的概念；掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号；理解弧度制的意义，并能正确地进行角度与弧度之间的换算.重点：任意角三角函数的定义学习过程：课前预习：内化知识 夯实基础一． 知识回顾：1．角的定义：由一条射线绕着端点旋转而成，其中旋转开始的射线叫 正角的形成是由 ，负角的形成是由 ，当射线不转时也形成一个角，这个角是 .2．1弧度的角： .度与弧度的转化关系是 ,弧长、圆心角、半径及圆弧面积之间的关系有 ； .3．任意角的三角函数：),(y x P 为角α终边上一点，它与原点距离为)0( >r r ，则=αsin ；=αc o s ；αt a n= . 二．回顾性题组1．已知角α的终边过点)4,3(-，则=αsin ；=αc o s ；αt a n = .2．α是第一象限的角⇔2 ααcos sin + 1；ααcos sin +<1-⇔ ；ααcos sin 1+<-1<⇔ ；ααcos sin +1=⇔ ；ααc o s s i n <⇔ .3．角θ的终边在第二、第四象限的角平分线上，则角θ的集合为4．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则α、β的关系为 ；若角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系为5．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 6．比较大小：18sin 18cos7．时针走过1小时20分，则分针转过的角为8．若βαsin sin =，则α、β满足的关系为二、课堂互动：积极参与 领悟技巧例1．已知34πβαπ<+<，3πβαπ-<-<- . 求βα-2的范围.例2．求函数)21(cos log )(sin +=x x f x 的定义域三、强化训练：1．如果0cos sin <⋅αα，且)1,0(cos sin ∈+αα，那么角α终边在（ ）A ．第二象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限D ．第四象限2．设角α终边上一点)0( )3,4(<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ）A ．52B ．5252-或C ．52- D ．与α有关 3．已知点)tan ,cos (sin ααα-P 在第一象限，则在[]π2,0内α的取值范围是 .4．化简8sin 1-的结果是5．已知扇形周长为cm 20，当扇形的中心角α为 时，它有最大面积；最大面积6．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,42|ππ与⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k x x P ,4|π之间的关系为7．设α是第二象限的角，且2cos 2cos αα-=，则2sin α8．已知βαsin sin >，下列命题正确的是 （ ）A ．若βα、是第一象限的角，则βαcos cos >B ．若βα、是第二象限的角，则βαtan tan >C ．若βα、是第三象限的角，则βαcos cos >D ．若βα、是第四象限的角，则βαtan tan >9．ABC ∆中， B A sin sin >是A >B 成立的 条件滕州一中高三数学《必修4》作业班级： 姓名： 学号： 成绩 。
三角函数的性质教学案
三角函数的性质教学案一、教学目标：1. 理解和掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义；2. 掌握三角函数的性质，包括奇偶性、周期性和界值；3. 能够应用三角函数的性质解决实际问题。
二、教学内容及过程：1. 引入（10分钟）- 通过问问题或以生活实例的形式引入三角函数的概念，让学生了解三角函数与角度的关系。
- 引导学生思考正弦、余弦和正切在直角三角形中的定义和含义。
2. 正弦函数的性质（20分钟）- 定义正弦函数sin(x) = a/c，其中a为直角三角形中的对边，c为斜边。
- 解释正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，可通过图像和数值验证。
- 探究正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，通过图像和数值验证。
3. 余弦函数的性质（20分钟）- 定义余弦函数cos(x) = b/c，其中b为直角三角形中的邻边，c为斜边。
- 解释余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，可通过图像和数值验证。
- 探究余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，通过图像和数值验证。
4. 正切函数的性质（20分钟）- 定义正切函数tan(x) = a/b，其中a为直角三角形中的对边，b为邻边。
- 解释正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，可通过图像和数值验证。
- 探究正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，通过图像和数值验证。
5. 三角函数的界值（20分钟）- 分析正弦函数和余弦函数的最大值和最小值，并求出对应的角度。
- 分析正切函数的无界值，并讨论tan(90°)的极限值。
6. 实际问题应用（20分钟）- 提供一些实际问题，如建筑物高度的测量、天线角度的调整等，让学生应用三角函数的性质解决问题。
7. 总结与拓展（10分钟）- 学生总结所学的三角函数的性质，并归纳出定理和公式。
- 提出进一步拓展的问题，如三角函数的图像变换和三角恒等式等。
任意角三角函数学案
1．2．1 任意角的三角函数（1）【学习目标】1.能举例说明任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号；2.通过对三角函数定义的探究，使同学们认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角 度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，明白三角函数又是以实数为自变量的函数；3.通过探究，明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用；提高同学们分析、探究、解决问题的能力，培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神.【学习重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号【难点提示】对用角的终边上的点的坐标（比值）来刻画三角函数的理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备在前面我们学习了函数的概念、性质，一些特殊函数（包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识）的概念、性质，任意角的概念等，请同学们回顾后完成下列填空：（1）函数的概念是 ； （2）在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则sinA= 、CosA= ；tanA= ；（3）任意角指的是 ；象限角指的是 ； （4）与α同终边的角的集合S 为 ； （5）两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论？（6）圆的概念怎样？圆的圆心可为原点吗？圆的半径可以取一个单位吗？在（2）中显然是锐角的三角函数的定义，怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢？这就是我们本节课要研究的问题！二、学习探究 （一）三角函数定义思考猜想 我们对上面（2）中的锐角三角函数的定义作深入的思考，这个函数的定义域是什么？值域是什么？对应法则是什么？其中最为核心的什么？那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密？是不是这个角的终边？终边又是什么构成的呢？是不是点？点是不是用坐标表示？请同学们大胆猜想，能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数！ 归纳概括 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，过点P作X 轴的垂线，设垂足为M ，构造出Rt POM ∆.那么，我们类比锐角三角函数，可得：（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=（3）比值(0)y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=（请同学们用函数的概念判定上面三个式子能不能构成角α的函数呢？链接1）任意角三角函数定义：对于确定的值α，在α终边上取任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，设P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，则比值yr、x r 、y x 分别角α的正弦、余弦、正切，即：sin y r α=、cos x r α=、tan yx α=分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数.阅读对比 请同学们仔细阅读教材，比较教材上的定义与上面的定义有哪些区别与联系？教材中取得点是一个定点，上面的定义中取的什么点？结果一样嘛？为什么？（链接2）2.已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求α的正弦、余弦、正切值. 解：解后反思 你能从这快乐体验中两道题的解答感悟到什么吗？如：各用什么方法求解的？用到什么数学思想？在第2题中满足4sin 5α=-的有多少角？这些角有何关系？ 挖掘拓展 （1）三角函数定义中的比值的大小与P 点在终边上的位置无关； （2）三角函数的定义域：sin y α=的定义域 、cos y α=的定义域 ； tan y α=的定义域 ；（为什么？） （3）三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号可得：①正弦sin yr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负； ②余弦cos xr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；③正切tan yxα=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；记忆法则： 一全正，二正弦，三切，四余弦，其余均为负.（4）终边相同角的三角函数的关系（诱导公式一）（链接3）；sin(2)____cos(2)____k k απαπ+=+=；；tan(2)____k απ+=∈（其中k Z ） （5）另三个三角函数， cot x y α=、sec rxα=、csc r y α=分别叫角α的的余切、正割、余割函数（类比上面（2）（3）（4），对这三个函数有怎样的结论？链接4）. 三、典例赏析例1（教材P13的例3.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习 教材P15练习第6题. 解：例2 （教材P14的例4、例5.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材解法相同吗？有哪些区别？你的解法是最简洁的方法吗？ 求解的过程中用到了哪些数学知识与思想方法？（链接5）变式练习 已知sin 0α<且tan 0α>，试判断tan ,sincos222ααα的符号．解：例3.已知点P (3,-4)r r (0)r ≠在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值． 解：解后反思 求解该题的关键在哪儿？易错点在哪儿？变式练习 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=， 求cos ,sin αα,αtan 的值． 解： 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：任意角三角函数的概念理解了吗？各函数的定义域知道了吗？三角函数值在各象限的符号如何记忆？ 公式一掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价 1．已知角α的终边过点（6,-8），则αtan =（ ）．43.A 43.-B C ．34- D ． 342.有下列命题：（1）在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． （2）若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上的一点，则22cos yx x +-=α（3）若αsin >0，则α是第一,第二象限的角.其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 3.若在则ααα,0cos sin <⋅ 象限．4.已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，求a 的取值范围. 解：5.求函数|cos ||tan |cos tan x x y x x=+的值域 解：6.若角θ的终边过点()8，a P ，且53cos -=θ，求a 的值． 解：【学习链接】链接1.对于任意给定的值α，都分别有一个唯一确定的比值（实数）y r 、x r、yx 与之对应，所以sin y rα=、cos x r α=、tan yx α=均分别能构成角α的函数.链接2.教材上的定义与学案的定义本质是一样（由三角形相似成比例），教材上的定义是取点P 为角α的终边与单位圆的交点P （x ，y ），此时1OP r ==，从而有sin ,cos ,tan y y x xααα===. 链接3. （1）公式一的文字语言表述为：终边相同的角的同一三角函数的值相等； （2）公式一的作用：利用它可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到π2（或00~0360）链接5.用到了三角函数的概念、公式一；运用了公式法；借助计算器求解.。
学案5三角函数的定义域值域
学案5三角函数的定义域、值域学习目标：1、掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域。
2、结合三角函数的定义域、值域求解最值问题。
重点：三角函数的定义域、值域。
一、 基本知识回顾：1、正弦函数x y sin =定义域是 ，值域是 ，当=x 时，y 有最大值 ，当=x 时，y 有最小值 。
2、余弦函数x y cos =定义域是 ，值域是 ，当=x 时，y 有最大值 ，当=x 时，y 有最小值 。
3、正切函数x y tan =定义域是 ，值域是 。
二、 基础过关：1、函数x x y cos sin -=的定义域为 ，值域为 。
2、函数x x y tan log 250++=⋅的定义域为 。
3、如果4π≤x ，()x x x f sin cos 2+=的最小值是（ ） A ．212- B ．221+- C ．1- D ．221- 4、若21cos sin =y x ，则y x P sin cos =的值域为 （ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21D ．[]1,1-5、（2006年福建卷）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 三、典型例题1、求下列函数的定义域(1)()x y x cos 21log sin += (2)()4log sin 21++-=x x x x y (3)()12cos 32sin lg -+=x x y2、求下列函数的值域（1）x x x y cos 1sin 2sin -=（2）x x x x y cos sin cos sin ++=（3）x x y cos 23cos 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=π3、函数()x x a a x f 2sin 2cos 221---=的最小值为()a g ()R a ∈．(1)求()a g ； (2)若()21=a g ，求a 及此时()x f 的最大值．4、已知31sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最小值和最大值．四、强化训练1、函数x x y sin 2sin -=的值域为 （ ）A ．[]1,3--B ．[]3,1-C ．[]3,0D ．[]0,3-2、函数()()x x y sin 1log sin 1log 22-++=，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,6ππx 时的值域为（ ） A ．[]0,1- B ．(]0,1- C ．[)1,0 D ．[]1,03、设实数y x ,满足122=+y x ，则y x 43+的最大值为 。
锐角三角函数定义
锐角三角函数定义学案学习要求：理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值． 1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''B A C B _____，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的____与_____的比是一个__值； ②=''B AC A ____，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''C A C B ____，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A确定时，它的______与______的比还是一个_____．第1题图 第2题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．3.在Rt △ABC 中如果各边都扩大为原来的2倍，则锐角A 的正切值 A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.没有变化 D.不能确定4.已知∠A 为锐角，sin ∠A=2m-3,则m 的取值范围为 5．已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ）A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≥16.已知∠A 为锐角，则 sin ∠A 与tan ∠A 的大小关系为 。
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．10.（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝34，则cosA= . （3）在△ABC 中，∠C 为直角，如果sinA=34 , 那么tanB=_________在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB ＝_________ 11．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．12.（1）等腰三角形的两边长为5和11，则底角的余弦值为 。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第一课时 三角函数的定义与公式一学案 新人教A版必修4-新人
第一课时三角函数的定义与公式一预习课本P11～15，思考并完成以下问题(1)任意角的三角函数的定义是什么？(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？(3)如何求三角函数的定义域？(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号？(5)诱导公式一是什么？[新知初探]1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y 余弦x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x正切yx叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．[点睛] 诱导公式一的实质是：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β.( )(2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0.( )答案：(1)√(2)×(3)√2．若sin α<0，tan α>0，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎪⎫55，－255，则sin α＋cos α＝( )A ．55B ．－55C ．255D ．－255答案：B4．sin π3＝________，cos 3π4＝________.答案：32 －22三角函数的定义及应用[典例] 设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A ．25 B ．－25C ．15D ．－15[解析] ∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即－3a2＋4a2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.[答案] A利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[活学活用]1．如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C 由题意知P (1，－3)， 所以r ＝ 12＋－32＝2，所以sin α＝－32. 2．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13，∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.三角函数值符号的运用[典例] (1)( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z.∴k π＋π2<α2<k π＋3π4.∴α2在第二、四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2在第二象限．[答案] (1)D (2)B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．[活学活用]1．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.2．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． 解析：∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0.∴P (sin α，cos α)位于第四象限． 答案：四诱导公式一的应用[典例] 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋12×12 ＝64＋14 ＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤[活学活用] 求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. 解：(1)sin 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π3＋tan π4＝32＋1. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1 ＝1.层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限，∴x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋－12＝2，∴cos α＝xr＝12＝22. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴s in 120°cos 210°＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝25 5.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5. 6．tan ⎝⎛⎭⎪⎫－17π3＝________. 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝ 25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( ) A ．8B ．－8C ．4D ．－4 解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋－62＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m ＝－8. 5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4. 解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角． ∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限． (2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
5.2.1 第2课时 三角函数的概念(二) 学案
第2课时三角函数的概念(二)必备知识·探新知基础知识知识点1三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限__正__，三四象限__负__；余弦：一四象限__正__，二三象限__负__；正切：一三象限__正__，二四象限__负__.思考1：(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？(2)三角函数值的符号有简记口诀吗？提示：(1)三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．(2)有；简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．知识点2诱导公式(一)sin(α＋k·2π)＝__sin α__，cos(α＋k·2π)＝__cos α__，tan(α＋k·2π)＝__tan α__，其中k∈Z.思考2：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等．因为这些角的终边都是同一条射线，根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等．基础自测1．sin 256π等于( A )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32[解析] 由诱导公式一及特殊角的三角函数知：sin 25π6＝sin(4π＋π6)＝sin π6＝12.2．若sin α>0，tan α<0，则α为( B ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α>0知α终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上；由tan α<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．3．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 是( C ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形[解析] ∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. ∴cos B 和tan C 中必有一个小于0. 即B 、C 中必有一个钝角，选C ． 4．确定下列各三角函数值的符号： (1)cos 260°；(2)sin(－π3)；(3)tan 10π3.[解析] (1)因为260°是第三象限角，所以cos 260°<0. (2)因为－π3是第四象限角，所以sin(－π3)<0.(3)因为10π3是第三象限角，所以tan 10π3>0.关键能力·攻重难题型探究题型一 三角函数在各象限的符号例1 (1)若cos α>0，sin α<0，则角α的终边在( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)确定下列各式的符号： ①sin105°·cos230°； ②sin7π8·tan 7π8. [分析] 先确定角所在象限，进而确定各式的符号．[解析] (1)由cos α>0，得角α的终边在第一象限或第四象限或x 轴的正半轴上．由sin α<0，得角α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．综上可得，角α的终边在第四象限．(2)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0. ②∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角，则sin 7π8>0，tan 7π8<0. ∴sin7π8·tan 7π8<0. [归纳提升] (1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．【对点练习】❶ (1)判断下列各式的符号： ①sin3·cos4·tan5；②α是第二象限角，sin α·cos α.(2)若cos θ<0且sin θ>0，则θ2是第__ __象限角．( C )A ．一B ．三C ．一或三D ．任意象限角[解析] (1)①π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0. ②∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin αcos α<0.(2)由cos θ<0且sin θ>0，知θ是第二象限角，所以θ2是第一或三象限角．题型二 诱导公式一的应用例2 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin(－11π6)＋cos 12π5tan 4π.[分析] 利用诱导公式一化简→求出三角函数值→代入求值[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin(－2π＋π6)＋cos(2π＋2π5)tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.[归纳提升] 诱导公式一的应用思路1．诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．2．利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0～2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”．【对点练习】❷ 求下列各式的值． (1)cos 253π＋tan(－154π)；(2)sin810°＋tan765°－cos360°.[解析] (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)－cos(360°＋0°)＝1＋1－1＝1.误区警示对角的范围限定不准确例3 已知sin α2＝35，cos α2＝－45，试确定角α是第几象限的角．[错解] 因为sin α2＝35>0，cos α2＝－45<0，所以α2是第二象限的角，所以π2＋2k π<α2<π＋2k π(k∈Z )，从而π＋4k π<α<2π＋4k π(k ∈Z )，故角α是第三或第四象限的角或终边在y 轴的非正半轴上．[错因分析] 错解中扩大了角的取值范围而导致出错．[正解] 因为sin α2＝35>0，cos α2＝－45<0，所以α2是第二象限的角，所以π2＋2k π<α2<π＋2k π(k∈Z )．由sin α2＝35<22知3π4＋2k π<α2<π＋2k π(k ∈Z )，所以3π2＋4k π<α<2π＋4k π(k ∈Z )，故角α是第四象限的角．[方法点拨] 在确定α是第几象限的角时，一定要注意题目中的隐含条件，把取值范围限定在最小的区间，这样才可以准确得出α是第几象限角．学科素养分类讨论思想在化简三角函数式中的应用例4 设角α的终边不在坐标轴上，求函数y ＝sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|的值域．[解析] 当α是第一象限角时，sin α，cos α，tan α均为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝3. 当α是第二象限角时，sin α为正值，cos α，tan α为负值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第三象限角时，sin α，cos α为负值，tan α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 当α是第四象限角时，sin α，tan α为负值，cos α为正值， ∴sin α|sin α|＋cos α|cos α|＋tan α|tan α|＝－1. 综上可知，函数y 的值域为{－1,3}．[归纳提升] 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．课堂检测·固双基1．sin(－103π)的值等于( C )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[解析] sin(－103π)＝sin(－4π＋23π)＝sin 23π＝32，故选C ．2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 因为点P 在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，所以α为第二象限角． 3．若角α的终边过点(－5，－3)，则( C ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0D ．sin αcos α<0 [解析] ∵角α的终边过点(－5，－3)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C ．4．计算：cos(－5π3)＋sin 13π6· tan 8π.[解析] 原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6·tan(0＋8π)＝cos π3＋sin π6·tan 0 ＝12＋0＝12.。
《三角函数》教案设计
《三角函数》教案设计教案标题：探索三角函数的奥秘教学目标：知识与技能：使学生理解正弦、余弦、正切的基本概念及其在三角形中的应用。
学会利用三角函数解决与角度和边长相关的问题。
过程与方法：通过图形和实例，培养学生观察、归纳和推理的能力。
鼓励学生运用三角函数解决实际问题，提高分析和应用能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养探索精神。
使学生认识到数学在现实生活中的应用价值。
教学内容：三角函数的定义：正弦、余弦、正切。
三角函数的基本性质：周期性、奇偶性、值域等。
三角函数在解三角形中的应用。
教学方法：启发式教学：通过提问和讨论，引导学生自主发现三角函数的性质和规律。
图形辅助教学：利用三角函数图像，帮助学生直观理解函数变化。
案例分析：通过实际问题的分析，培养学生运用知识解决问题的能力。
教学过程：一、导入新课通过现实生活中的例子（如：波动、周期现象等）引出三角函数的概念。
二、新课讲解三角函数定义：结合单位圆和直角三角形，讲解正弦、余弦、正切的定义。
三角函数性质：通过图像和数学推导，探讨三角函数的周期性、奇偶性等性质。
应用举例：展示三角函数在解三角形、物理波动等领域的应用。
三、课堂练习学生独立完成练习题，教师巡视指导，及时解答疑问。
四、小结与作业小结本节课重点内容，布置相关练习题作为课后作业。
教学工具和材料：多媒体课件：包含三角函数图像、定义和性质等内容。
三角板、量角器等绘图工具：帮助学生绘制三角形，直观理解三角函数。
计算器：用于计算三角函数的值。
评估与反馈：通过课堂练习和课后作业，评估学生对三角函数的掌握情况。
收集学生的疑问和反馈，及时调整教学方法和策略。
拓展延伸：鼓励学生探索三角函数在其他领域（如信号处理、图形学等）的应用。
介绍三角函数的历史背景和发展，激发学生对数学文化的兴趣。
高中数学第一章三角函数1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义学案
1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义学习目标重点难点1.记住任意角的正弦函数、余弦函数的定义． 2．准确把握任意角的不同三角函数的定义方法．3．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值．4．记住三角函数值在各个象限的符号并会灵活解题.重点：任意角的正弦函数、余弦函数的定义(包括这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)．难点：已知角α终边上一点，求角α的各三角函数值．疑点：三角函数的正弦线、余弦线的作法.1．单位圆在直角坐标系中，以______为圆心，以________为半径的圆，称为单位圆． 2．任意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的____v 叫作角α的正弦函数，记作________；点P 的______u 叫作角α的余弦函数，记作______．通常，我们用x 表示自变量，即x 表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数y ＝sin x 和y ＝cos x ，它们的定义域为________________，值域为______．预习交流1在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)．怎样用x ，y ，r 表示sin α，cos α？预习交流2(1)已知角α的终边经过P ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则sin α＝__________，cos α＝__________. (2)若点P (－3，－1)是角A 终边上的一点，则sin A ＝__________，cos A ＝__________. 3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号预习交流3(1)三角函数在各象限的符号由什么决定？(2)填空(比较大小)：sin 195°____0，cos 140°____0.答案：1．原点 单位长2．纵坐标 v ＝sin α 横坐标 u ＝cos α 全体实数 [－1,1]预习交流1：提示：sin α＝y r ，cos α＝x r. 预习交流2：(1)12 32(2)－1010 －31010解析：x ＝－3，y ＝－1，r ＝10， ∴sin A ＝－110＝－1010， cos A ＝－310＝－31010.3．＋ ＋ － － ＋ － － ＋预习交流3：(1)提示：由三角函数的定义可知，三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．(2)＜ ＜1．利用定义求任意角的正弦、余弦值已知角α的终边在射线y ＝2x (x ＞0)上，求角α的正弦函数值、余弦函数值．思路分析：解答本题可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助于三角函数的定义加以解决．在直角坐标系的单位圆中，α＝6. (1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标．(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义直接求出相应的三角函数值．②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b2，余弦值cos α＝aa 2＋b 2.(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．2．判断三角函数值的符号及角所在的象限判断符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α所在的象限．思路分析：依据正弦函数、余弦函数在各个象限的符号作出判断．(1)如果sin α＞0，且cos α＜0，则α是第______象限角； (2)如果cos α＞0，且sin α＜0，则α是第______象限角； (3)如果sin αcos α＞0，则α是第__________象限角； (4)如果sin αcos α＜0，则α是第__________象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．(2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3．三角函数的定义域问题求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x sin x；(2)y ＝lg sin 2x ＋9－x 2.思路分析：考虑分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根号下不为负，建立不等式(组)，解之即可．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( )． A ．(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k ＋1π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k ＋1π(k ∈Z )D ．[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )求解三角函数定义域的解题策略求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即通过列不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域．凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定有意义．在求解一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴来解决．答案：活动与探究1：解：方法一：设α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则y ＝2x (x ＞0)．又因为x 2＋y 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255.于是sin α＝y ＝255，cos α＝x ＝55.方法二：在角α终边上任取一点P (x ，y )(x ＞0)，则|OP |＝x 2＋y 2＝x 2＋4x 2＝5|x |. 又x ＞0，所以|OP |＝5x .所以sin α＝y x 2＋y 2＝y 5x ＝255，cos α＝x x 2＋y2＝x5x＝55. 迁移与应用：解：(1)如图所示．(2)∵sin α=12，cos α，∴角α的终边与单位圆的交点坐标为122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，如图所示．活动与探究2：解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0.∴sin 340°cos 265°＞0. (2)∵sin 2α＞0，∴2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π＜α＜2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π＜α＜2m π＋3π2(m ∈Z )．∴α为第一或第三象限角．又由cos α＜0，可知α为第三象限角．迁移与应用：(1)二 (2)四 (3)一或三 (4)二或四活动与探究3：解：(1)要使函数有意义，需sin x ≠0， ∴x ≠k π.∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0.由sin 2x ＞0得2k π＜2x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即k π＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．①由9－x 2≥0得－3≤x ≤3.②由式①②得－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.故函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3≤x <－π2或0<x <π2.迁移与应用：B 解析：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .1．已知sin α＝－12，cos α＝32，则角α终边所在的象限是( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．角α的终边经过点P (0，b )，则( )． A ．sin α＝0 B ．sin α＝1C ．sin α＝－1D ．sin α＝±1 3．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．－24．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是__________．5．若点P (－4a,3a )(a ≠0)为角α终边上一点，求sin α，cos α.答案：1．D 解析：sin α＝－12＜0，∴α在第三或第四象限；cos α＝32＞0，∴α在第一或第四象限． ∴α终边所在的象限是第四象限． 2．D 解析：r ＝|b |，∴sin α＝b r ＝b|b |＝±1. 3．A 解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1＋1＝0.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：由题意知，cos x ≥0， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 5．解：r ＝|OP |＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，α角在第二象限，故sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45.当a ＜0时，r ＝－5a ，α角在第四象限，故sin α＝－35，cos α＝45.。
第11讲 角的概念与三角函数定义(学案)
角的概念与三角函数定义一、知识要点： 1．任意角的概念：（1）正确理解：正角、负角、零角；象限角、区间角、终边相同的角和轴线角的概念；；（2）严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象 限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义； 2．角的度量：（1） 角度制与弧度制的互化：3602π=rad 180π=r a d 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈（2） 弧长公式：||l R α=； 扇形面积公式：211||22S R Rl α==. 3．三角函数定义：（1）角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：sin ,cos ,y x r r αα==tan y xα=. 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（2）设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的余弦，记作cos α；yx叫作α的正切，记作tan α. （3）三角函数线：正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 二、基础练习：1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负的有 3. 函数cos sin tan |cot ||sin |cos tan cot x xx x y x x x x=+++的值域是4. 4tan 3cos 2sin 的值符号是5. 设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第__ _象限.6. 设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0， 其中正确的是___ ___.7. 设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .三、例题精讲：例1..已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B . 变式1.若2παβπ<<<,求α－β的范围.变式2.函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是 例2.若08πθ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为变式1.、若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为例3..已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为变式1．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数变式2．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为变式3．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 .变式4．.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?例4. 已知α为第三象限角,则2α所在的象限是第二或第四象限，3α是 象限.变式1.、知1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？例5.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是变式1.已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin += 。
三角函数学案
第一章 三角函数1．1．1 任意角【学习目标】1．能举例说明任意角的概念与区间角的概念(包括正角、负角、零角)及画法；2．会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写；3．同学们能感悟从特殊到一般的思想方法、提高推理能力、培养应用意识.【学习重点】1.任意角的概念的理解；2. 区间角与终边相同角的集合的书写与运用．【难点提示】终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材15P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备1.前面学习函数时，作函数的图象在哪里作的？我们生活中有周期性的实例吗？2.请同学们回顾一下，我们学习“数”，开始学的什么数？现在我们学到什么数了？从 正整数到实数是怎么发展的？3.角是平面几何中的一个基本图形，我们知道角在初中角有两种定义：一是静态的定义： 两条射线构成的图形叫角；二是动态定义：平面内一条射线 的图形叫角．端点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角的终边、始边．你怎样理解这两种定义，各有何特点？哪一种与我们的生活联系更紧密呢？（链接1）4.初中我们学习了0°～360°范围的角，在我们实际生活中有没有超过360°的角的问题？你能举出一些实例吗？（链接2）从而，你认为仅有0°～360°的概念能适应实际生活的需要吗？如果不适应，应如何发展或扩展呢？这就是我们现在要研究的！．二．学习探究 （一）角的概念请同学们仔细阅读教材P2-3，并写出以下概念：1.角的定义 ； 正角 ；负角 ； 零角 ；任意角 ； 任意角的记法 （注意品读教材）. 快乐体验 请画出角30°、390°、750°、-330°、-690 、60°、780°、-300°， 0°、90°、180°、270°、360°，观察这些角有哪些特点与联系，在画出这几个角的时候有何规定？挖掘拓展（1）一个角的始边与终边可以重合吗？始边和终边重合的角是零角吗？（2）一般的，与一个角的始边和终边都相同的角有多少？有没有始边与终边均相同的角？若有，有多少个？（ 链接3）（3）要确定一个角需要几个条件？始边一般如何画（ 链接4）？（4）角的概念推广后，角的大小可以任意取值吗？有哪些运用呢？你能举出实例吗？2.象限角阅读思考 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角．快乐体验 你能说出30°、390°、750°、-330°、-690、60°、780°、-300°、150-、300,60-、135°、0°、90°、180°、270°、360°分别是第几象限角吗？并在坐标系中作出这些角.挖掘拓展 （1）所有的角，在直角坐标系中一定都是象限角吗？（2）相同象限的角一定是正角？负角？或正角、负角、零角都有？（二）终边相同的角的集合由前面的讨论可知，与一个角终边相同的角不止一个，有无穷多个，那么我们怎样来体现这无数个同终边角的特点、或用同一个式子来表示这无数个角呢？观察思考 （1）30,390,330-、750°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？（2）与30°角终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差多少？（3）所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S ，你能用描述法表示集合S 吗？归纳概括 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内它们相差周角的整数倍，它们所构成的集合S 可表示为 ．快乐体验 请写出与下面角终边相同的所有的角的集合：30°、-60°、-150°、135°、0°、90°、180°、270°.解：挖掘拓展 （1）你能用几种语言叙述所有与角α终边相同的角的这一特征？（链接5）（2）角是否具有一种“周而复始”的变化规律？这叫什么特点？生活中有吗？（3）把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应吗？在同一坐标系中终边相同的角一定相等吗？相等的角终边一定相同吗？三．典例赏析例1 在0360范围内，找出一个与95012'-角终边相同的角，并写出所有与该角终边相同的角的集合，在判定它是第几象限的角？●思路启迪 设法把所给角表示成Z k k ∈⋅+,360 α的形式.解：●解后反思 （1）判断角所在象限的方法是什么？你还有没有其它解法？（2）与角β终边相同的角有无数个，那么在0°～360°内与已知角β终边相同的角有多少个？怎么找这个角？（链接6）●变式练习 试判断下列角α所在象限．（1）α=2011（2）3601575,k k Z α=⋅-∈， 解：例2 写出终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合N ．解：●解后反思： 终边在x 轴和y 轴上的各有什么特点？你是怎样写的？分正负半轴写 吗？能否将分正负半轴的角写在一起呢？●变式练习 写出终边在坐标轴上的角的集合是什么？解：例3写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤<的元素写出来；请在平面坐标系中画出符合不等式60120α-≤<的α角的终边所在的范围.解：●解后反思 （1）集合S 与例2中的集合N 有什么区别与联系？（2）求满足条件的角β运用的是什么方法？你还能用其它方法表示吗？（3）你写的与教材写的一致吗？谁更好些呢？请感悟教材的解答与不书写！区间角的集合的表示唯一吗？●变式练习 （1）写出第一象限内所有角的集合M ．（2）已知角α是第二象限角，问2α角所在的象限在哪？并画出2α角的终边的区域. 解：顶点A O 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：角的概念理解了吗？掌握了正角、负角、零角的定义了吗？任意角的代数和几何的双重意义都明白了吗？能三种语言叙述了吗？什么是象限角、轴线角呢？本节课见过哪些题型？用了哪些思想方法求解？都掌握了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（链接7）五、学习评价 1.下列角中，第一象限角为（ ）A.84310'- B 1000- C 3900 D 265-2．已知α是第一象限角，那么2α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C. 第三象限角；D.第一或第二象限角 .3．设β是一个第三象限角，则2β是（ ） A ．第一象限角 ；B ．第三象限角； C ．第一或第三象限角；D ．第二或第四象限角.4．时间过了20分钟，分针旋转了 度，时针旋转了 度．5．把下列集合用另一种形式表示出来：（1）｛钝角｝= ; （2）｛第四象限角｝= ．6. 教材Ｐ９习题1.1Ａ组4、5题．◆承前启后 现在我们学的角度是什么进制？还有其它进制吗？【学习链接】链接1.静态的定义：从一个顶点出发的两条射线构成的图形叫角；动态定义：平面内一条射线绕着它的端点O 从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所成的图形叫角．静态定义简洁、明了，实用的范围小；动态定义充分体现了角的形成过程，便于角的推广，与生活联系更紧密． 链接2. 生活中有许多大于360°角的实例，如： 2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届 世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体1080度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体1080度、 转体900度是什么意思？又如钟表的指针旋转形成的角、机器上的主动轮。
说课稿：《三角函数》
说课稿：《三角函数》
引言概述：
三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、代数、物理等多个领域都有广泛的应用。
在教学过程中，如何有效地讲解三角函数成为教师们的重要任务。
本文将从定义、性质、应用、教学方法和案例分析等五个方面来探讨《三角函数》的说课稿。
一、定义
1.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象特点
1.2 三角函数的周期性和奇偶性
1.3 三角函数的定义域和值域
二、性质
2.1 三角函数的基本关系式
2.2 三角函数的同角、反函数关系
2.3 三角函数的导数和积分
三、应用
3.1 三角函数在三角恒等式中的应用
3.2 三角函数在三角方程中的应用
3.3 三角函数在几何中的应用
四、教学方法
4.1 利用具体例子引导学生理解三角函数的定义
4.2 结合实际生活中的问题引导学生掌握三角函数的性质
4.3 利用图表和动态演示工具匡助学生理解三角函数的应用
五、案例分析
5.1 以解决实际问题为背景，引导学生运用三角函数求解
5.2 利用三角函数的性质解决几何问题
5.3 通过三角函数的导数和积分来分析函数的变化规律
结语：
通过以上对《三角函数》说课稿的分析，我们可以看到，在教学过程中，教师需要深入理解三角函数的定义、性质和应用，灵便运用各种教学方法，引导学生掌握三角函数的知识。
惟独这样，才干让学生在学习中更好地理解和应用三角函数。
说课稿：《三角函数》
说课稿：《三角函数》引言概述：《三角函数》是高中数学中的重要知识点，涉及到三角比例的概念和性质。
在教学过程中，教师需要设计一份详细的说课稿来引导学生理解和掌握这一知识点。
本文将从三个方面详细介绍如何撰写《三角函数》的说课稿。
一、教学目标：1.1 知识目标：让学生掌握正弦、余弦、正切等三角函数的概念和性质。
1.2 能力目标：培养学生解决实际问题时运用三角函数的能力。
1.3 情感目标：激发学生对数学的兴趣，增强他们对数学学习的积极性。
二、教学重点：2.1 正弦、余弦、正切等三角函数的定义和基本性质。
2.2 三角函数在解决实际问题中的应用。
2.3 三角函数的图像和性质。
三、教学难点：3.1 三角函数的概念和性质的抽象性较强，学生易混淆。
3.2 三角函数的图像和性质需要通过具体的例题进行解释和说明。
3.3 三角函数在解决实际问题中的应用需要学生具备一定的数学建模能力。
四、教学过程设计：4.1 导入：通过引入实际问题或生活中的场景引起学生的兴趣。
4.2 讲解：结合具体例题，逐步介绍三角函数的定义、性质和应用。
4.3 演练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学反馈：5.1 练习评价：通过课堂练习和作业评价学生对三角函数的掌握情况。
5.2 学生表现：及时对学生的学习情况进行反馈和指导。
5.3 教学反思：总结教学过程中的不足之处，不断完善教学方法和手段。
通过以上的说课稿设计，可以有效引导学生理解和掌握《三角函数》这一重要知识点，提高他们的数学学习兴趣和能力。
希望教师们在教学过程中能够根据实际情况灵活运用，取得良好的教学效果。
人教B版高中同步学案数学必修第三册精品课件 第七章 三角函数 7.2.1 三角函数的定义
α的 三角函数
.
过关自诊
1.已知角 α 的终边与单位圆交于点 A.-
3
2
答案 B
1
B.-2
3 1
,2 2
C.
3
2
,则 sin α=(
1
D.2
)
2.如果角 α 的终边过点 P(2sin 30°,-2cos 30°),那么 sin α=(
1
A.
2
C.-
1
B.2
3
2
D.-
3
3
答案 C
解析 由题意知 P(1,- 3),
=
2 5
,cos
5
1
α=
5
=
5
,tan
5
2
α= =2.
1
当角 α 的终边在第三象限时,在角 α 的终边上取点 Q(-1,-2),
2
2
则 r=OQ= (-1) + (-2) = 5,得 sin
-2
2 5
α= 5=- 5 ,cos
-1
5
α= 5=- 5 ,tan
-2
α=-1=2.
规律方法 直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故α的终边有两种情况,需分
确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.
解 (1)因为 θ 是第二象限的角,
所以 sin θ>0,cos
cos
θ<0,故 sin <0.
π
3π 3π
(2)因为 <3<π,π<4< , <5<2π,
2
2 2
所以 sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0.
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第五章 三角函数的概念 第1课时 三角函数的定义
3
3 1
A.(− , )B.(− , − )C.(− , − )D.(− , )
2 2
2
2
2
2
2 2
C
2
3.角的终边上一点的坐标为( 3, ),且sin = ( ≠ 0),则tan =() A
A.± 2B.± 6C. 2D. 6
π
1
4.已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转 到点,若点的横坐标为− ,则点
,比值 叫做角的正割,记作sec ；比值 叫做角的余割,记作csc ；比值 叫做
角的余切,记作cot .四名同学计算同一个角的不同三角函数值如下,甲：
5
4
5
3
3
4
4
3
sec = − ；乙：csc = ；丙：tan = − ；丁：cot = .
如果只有一名同学的结果是错误的,则错误的同学是() D
5
[解析]设角终边上一点(, − ),则 =
+ = ||.
当 > 时，终边在第四象限， = ,所以 = =
−
当 < 时，终边在第二象限， = − ,所以 = =
=
−
−
.
=
.故答案为±
3
2
的横坐标为() B
1 1
2
3
A. B. C. D.
3 2
2
2
5.已知角的终边经过点(2 + 1, − 2),且cos =
3
− ,则实数的值是()
5
2021_2022学年新教材高中数学第7章三角函数7.27.2.1任意角的三角函数学案苏教版必修第一
7.2 三角函数概念7.2.1任意角的三角函数学习任务核心素养1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)1．通过三角函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助公式的运算，提升学生的数学运算素养.在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？知识点1任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2>0)，那么名称定义定义域正弦sin α＝yr R余弦cos α＝xr R正切tan α＝yx⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋kπ，k∈Z1.对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．2.若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？[提示]sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.1.若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－2222－1 [由题意可知 |OP |＝⎝⎛⎭⎫22－02＋⎝⎛⎭⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]知识点2 三角函数在各象限的符号2.(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”或“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 知识点3 三角函数线(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段；有向直线：规定了正方向的直线；有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l 平行，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB .(2)三角函数线3.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) [答案] (1)√ (2)×类型1 三角函数的定义及应用【例1】 (1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．(2)当α＝－π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] (1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝(－1)2＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋(－2)2＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.(2) 当α＝－π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x >0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x＝12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫122＋y2＝1，y<0，解得y＝－32，所以P⎝⎛⎭⎫12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝121＝12，tan α＝－3212＝－ 3.1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“3x＋y＝0”其他条件不变，结果又如何？[解]直线3x＋y＝0，即y＝－3x，当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，3)，则r＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－3)，则r＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.2．将本例(1)的条件“在直线y＝－2x上”，改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α.[解]因为r＝(－3a)2＋(4a)2＝5|a|，①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝4a5a＝45，cos α＝xr＝－3a5a＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝4a－5a＝－45，cos α＝－3a－5a＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．已知特殊角α，求三角函数值的方法(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标．(2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值．(此时P 到原点的距离r ＝1)3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[跟进训练]1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. [解] 由题意知r ＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝xr＝x x 2＋9.又∵cos θ＝1010x ， ∴xx 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.2. 当α＝4π3时，求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α＝4π3时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P (x ，y )，(x <0，y <0)根据直角三角形中锐角π3的邻边是斜边的一半，得x ＝－12，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32， 所以P ⎝⎛⎭⎫－12，－32.因此sin α＝－321＝－32，cos α＝－121＝－12，tan α＝－32－12＝ 3.类型2 三角函数值的符号【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号． ①sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°； ②tan 191°－cos 190°； ③sin 2 cos 3 tan 4.(1)D [由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．](2)[解] ①∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015° cos 2 016° tan 2 017°>0.②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2 cos 3 tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限． (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号．(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度制导致象限判断错误．[跟进训练]3．判断下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0. 从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°·sin 269°＞0.类型3 应用三角函数线解三角不等式【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.1．在单位圆中，满足sin α＝32的正弦线有几条？试在图中明确． [提示] 两条，如图1所示，MP 1与NP 2都等于32. 2．在单位圆中，满足cos α＝－12的余弦线有几条？在图中明确．[提示] 一条，如图2所示，OM ＝－12.图1 图2[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法对于tan x ≥c ，取点(1，c )，连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．[跟进训练]4．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z .1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上． 由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内． 故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．(多选题)下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°<0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°>0BCD[∵90°<165°<180°∴sin 165°>0.又270°<280°<360°，∴cos 280°>0.又270°<310°<360°.∴tan310°<0,90°<170°<180°∴tan 170°<0.]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值等于________． －1 [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．已知角α终边过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于________．32 [由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32.] 5．已知sin θ·tan θ<0，那么θ是第________象限角．二或三 [因为sin θ·tan θ<0，所以sin θ<0，tan θ>0或sin θ>0，tan θ<0，若sin θ>0，tan θ<0，所以θ在第二象限．若sin θ<0，tan θ>0，则θ在第三象限．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．三角函数值的大小与取点有关吗？与什么有关？[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关，与取点无关． 2．求一个角的三角函数值需确定几个量？分别是什么？[提示] 确定三个量，角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离． 3．已知角的大小，怎样利用定义求三角函数值？ [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标．。
1锐角三角函数的定义 学案
1.△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则sinA+cosA=．
2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．
3.计算：sin30°﹣ cos45°+ tan260°．
4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．
1.如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣ ．
A． B．± C． D．0
2.已知锐角α满足cosα= ，则锐角α的度数是度．
3.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB:AD=2:3，那么 值是．
4.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F．
（1）求证：
（2）若sinC= ，DF=6，求⊙O的半径．
特殊角的三角函数值主要是指30 这三个角的三角函数值，如下表：
知识拓展：（1）结合图形：如图及其中的数据和三角函数的定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果.
（2）对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，如15 .
（3）等边三角形，等腰直角三角形，及与30 角相联系的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答.
A． B．3C． D．2
类型三锐角三角函数的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ）
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一学案湘教版必修2
3．2.1 任意角三角函数的定义(一)[学习目标] 1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号．[知识链接]在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图，在Rt△ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，余弦，正切分别是什么？答 锐角A 的正弦，余弦，正切依次为： sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b. [预习导引] 1．三角函数的定义(1)正弦、余弦、正切如图，在α的终边上任取一点P (x ，y )，设OP ＝r (r ≠0)．定义：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，分别称为角的正弦、余弦、正切．依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应：当a ≠2k π±π2(k ∈Z )时，它有唯一的正切值与之对应，因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数． (2)正割、余割、余切角α的正割：sec α＝1cos α＝r x ；角α的余割：csc α＝1sin α＝ry ；角α的余切：cot α＝1tan α＝xy. 这就是说，sec α，csc α，cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数． 由上述定义可知，当α的终边在y 轴上，即α＝k π＋π2(k ∈Z )时，tan α，sec α没有意义；当α的终边在x 轴上，即α＝k π(k ∈Z )时，cot α，csc α没有意义． 2．三角函数在各个象限的符号3．三角函数的定义域要点一 三角函数定义的应用例1 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋－3k2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310 ＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α为第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值为sin α＝ba 2＋b2，cos α＝aa 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪演练1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8 解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 要点二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin3，cos4，tan5；(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin3>0，cos4<0，tan5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.规律方法 由三角函数的定义知sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．跟踪演练2 已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( ) A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 答案 C解析 ∵cos θ·tan θ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，tan θ>0或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0.由⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，tan θ>0，得角θ为第三象限角．由⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0，得角θ为第四象限角．∴角θ为第三或第四象限角． 要点三 三角函数的定义域 例3 求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x tan x ；(2)y ＝－cos x ＋sin x .解 (1)要使函数有意义，须tan x ≠0， 所以x ≠k π＋π2，k ∈Z 且x ≠k π，k ∈Z ，所以x ≠k π2，k ∈Z .于是函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π2，k ∈Z. (2)要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .解之得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z. 规律方法 求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：①分母不为零，②偶次根号下大于等于零，③在真数位置时大于零，④在底数位置时大于零且不等于1. 跟踪演练3 求函数y ＝tan x ＋1sin x 的定义域．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，sin x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2k ∈Z ，x ≠k πk ∈Z ，因而x 的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪xx ≠k π2，k ∈Z .1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．如果角α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则cos α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D.32 答案 A解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5， ∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．如果sin x ＝|sin x |，那么角x 的取值集合是________． 答案 {x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取． 3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值．一、基础达标 1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－x x 2＋y 2，其中正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 只有①正确． 2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1B ．0C ．2D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 3．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D．5 答案 A解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r＝－bb 2＋16＝－35.∴b ＝3.4．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．故选D.5．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能 答案 B解析 ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 6．已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是第________象限角( ) A ．一B ．二C ．三D ．四 答案 A解析 ∵tan x >0，∴x 是第一或第三象限角． 又∵sin x ＋cos x >0，∴x 是第一象限角．7．角α的终边上一点P 的坐标为(4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解 由题意有x ＝4a ，y ＝－3a ， 故r ＝a2＋－3a2＝5|a |.(1)当a ＞0时，α是第四象限的角，所以sin α＝y r ＝－3a 5a ＝－35，cos α＝x r ＝45，故2sin α＋cos α＝－25.(2)当a <0时，α是第二象限的角，所以sin α＝y r ＝－3a －5a ＝35，cos α＝x r ＝－45，故2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α的值为±25. 二、能力提升8．若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0B ．cos α>0 C ．sin α>0D ．cos2α>0 答案 A解析 ∵tan α>0，∴α∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除B ，C. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )，即2α为第一、二象限角，故cos2α可正、可负，排除D ，选A.9．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________． 答案 (－2,3]解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α终边位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值．解 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2×12＝1.12．判断下列各式的符号：(1)sin340°cos265°；(2)sin4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π；(3)θθ(θ为第二象限角)．解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin340°<0，cos265°<0 ∴sin340°cos265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0.(3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴cos(sin θ)>0，sin(cos θ)<0， ∴θθ<0.三、探究与创新13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝－2＋－2＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.。
5任意角的三角函数(二)学案
学习课题：任意角的三角函数 日期：2014.1.29任意角的三角函数（二）学习目标1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来. （一） 复习1、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。
（两个定义）2、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域。
3、 三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号。
（二）新知探究1、问题 ：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？2、求下列三角函数值 (1)sin150°; (2)cos35π; (3)tan315°.3、结论 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一sin(α+k·2π)=sin α, cos(α+k·2π)=cos α, tan(α+k·2π)=tan α,其中k ∈Z .（作用）利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”. 4.例题讲解例1、判断下列三角函数值的符号（1）sin143° （2）cos π516（3）cos （-220°） （4）tan505° （5）tan （-π423）例2、求下列三角函数值 (1)sin390°; (2)cos 617π; (3)tan(-390°).学习课题：任意角的三角函数 日期：2014.1.29练习(1)、确定下列三角函数值的符号：（1）sin(-392°) （2）tan(-672°) (3)cos49π (4)tan(-611π)(2)、求下列三角函数值 （1）sin0 (2)cos2π(3)tan π (4)cos49π (5)tan(-431π) （6）sin （-1050°）。
高中数学新苏教版精品学案《任意角的三角函数》
任意角的三角函数【学习目标】1．借助单位圆理解任意角的三角函数正弦、余弦、正切定义。
2．熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号。
【学习重难点】重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域以及根据任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。
难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数。
【学习过程】【第一课时】知识梳理1．任意角三角函数的定义设角α终边上任意一点的坐标为，，它与原点的距离为r，则in α＝________，co α＝________，tan α＝________。
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号【达标检测】一、填空题1．若角α的终边过点3a，n是α终边上一点，且O－n＝________。
二、解答题11．确定下列各式的符号：（1）tan 12021in 273°；（2）错误!；（3）in 错误!·co 错误!·tan 错误!π。
12．已知角α终边上一点3a，n位于＝3在第三象限的图象上，且m0，∴式子符号为正。
（2）∵108°是第二象限角，∴tan 108°0从而错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 15a8a17a17a”连接。
5．集合A＝[0，2π]，B＝{α|in α错误!，则角α的取值范围是________。
7．如果错误!错误!错误!0的解集是______________。
9．已知α，β均为第二象限角，若in αin 1．2>in 1解析∵1，1．2，1．5均在错误!内，正弦线在错误!内随α的增大而逐渐增大，∴in 1．5>in 1．2>in 1．5．错误!∪错误!6．错误!∪错误!7．co α<in α<tan α解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线M、正切线AT，很容易地观察出OM<MP＝错误!in α，＝错误!α，S△AOT＝错误!OA·AT＝错误!tan α，S扇形AOP＝错误!αOA2又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT，所以错误!in α<错误!α<错误!tan α，即in α<α<tan α。
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学习目标：理解任意角的三角函数的定义，了解终边相同的角的同一三角函数值相等，掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的定义域，会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值。
课前预习
阅读课本P14—P17，填充下列空格 1.三角函数的定义（如图所示） 设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是r （=r ），如上图所示，那么 ①比值 叫做α的正弦，记作 ，即 ； ②比值 叫做α的余弦，记作 ，即 ； ③比值 叫做α的正切，记作 ，即 ； ④比值 叫做α的余切，记作 ，即 ； ⑤比值 叫做α的正割，记作 ，即 ； ⑥比值 叫做α的余割，记作 ，即 。
2.三角函数的定义域
3.三角函数在各象限的符号
合作探究展示
角的终边
x
y 0
αsin x
y 0
αcos
x
y
α
tan
探究一
.已知角α的终边经过点P(4,－3)，求sin α、cos α、tan α的值；
变式一 已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；
探究二 求下列各角的六个三角函数值：⑴0； ⑵π； ⑶2
3π。
求
43π和56
π角的正弦、余弦和正切值．
引申 填表：
探究三 确定下
列各三角函数值的符号： ⑴516cos π； ⑵⎪⎭
⎫ ⎝⎛-34sin π； ⑶21556tan '
已知点p （tan tan ,cos αα ）在第四象限，则角α 在第 象限
当堂练习
（一）选择题
1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－
55 B ．－ 5 C ．552 D ．2
5
2、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=
4
2
x ，则sin α的值为 （ ） A ．
410 B ．46 C ．4
2 D ．－410 3.若0sin <α且0tan >α，则α是（ ）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角 4.设角θ终边上一点()()06,8<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值为（ ）
A.
52 B.52或52- C.52
- D.与a 无关 二．填空题
5、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=
m m
α，则sin α+cos α=______． 6、已知角θ的终边在直线y =
3
3
x 上，则sin θ= ；θtan = ． 7.已知角θ终边上一点()()03,≠x x P ，且x 10
10
cos =θ，求θθtan ,sin 的值。
课后巩固作业
1.下列各三角函数值：① 1125sin ；②12
37sin
1237tan ππ⋅；③4tan 4
sin ；④1cos 1sin -，其中为负值的个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.点() 2008cos ,2008tan P 位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 3.若三角形的两内角βα,满足0cos sin <⋅βα，则此三角形必为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
4.角α的终边上存在一点⎪⎭
⎫
⎝⎛-m m P 53,54，且0tan cos <αα，求ααcos sin +的值。