3.5劳斯稳定性及稳定判据
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线性定常系统稳定性及稳定判据
s2+1=0
对其求导得零行系数: 2s1
表 s1 02
继续计算劳斯表
s0 1
劳斯表出现零行
1 2
出劳系现斯统零表一何行定时怎会么不出办稳现?定零行?
第一列全大于零,所以系统稳定
③ 解辅助错方啦程得!!对! 称根:
s1,2=±j
由综合除法可得另两
3 如何求对称的根?
个根为s3,4= -2,-3
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
s4+5s3+7s2+5s+6=0
特征根时会出现零行
劳 s4 1 7 6
② 由零行的上一行构成 辅助方程:
s3 51 51
斯 s2 61 61
设系统特征方程为： 劳斯表介绍
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 1 3
劳
s5 2 s4 1
4 2
57
6
((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
77 劳斯表特点
斯 s3 0ε --88
1 右移一位降两阶
表
ε s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2 +8) -7ε 2
2 行列式第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
s0 乘以或同除以某正数
7 第一列出现零元素时，
用正无穷小量ε代替。
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
均大于零!
33-56 线性定常系统稳定性及劳斯稳定判据
c t 1 1 1
2
tr
d tp d
1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
2
tr
d tp d
1 2
c(tp ) c() Mp c(tp ) 1 e c ( )
ts 1
d
(ln
1 1 ln ) 2 1
ess
e
n t
n
, t 0
0 0
s
1
34.6
s
0
2.3 104
由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中 有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。
P83
例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 解：列劳斯表 1 7 10
5 7 2 33 5 5
s4 s3
2 K 1 3
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系
例9: 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K, )的范围; (2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。 解: (1) G( s)
Ka s ( s 2 20 s 100)
Ka 100
K
D( s) s3 20 s 2 100 s 100K 0
s s2 s1 s0
3
1 20
2000 100 K 20
100 100K
0
0 K 20 K 0
100K
(2)当 =2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
当=2时，进行平移变换： s s 1
D( s) s 3 20 2 s 2 100s 100K 0
2
2 1 sin d t arctan
第三章 时域分析法(3)稳定性与代数判据
2、Routh判据
A、方法： （1）列出系统闭环特征方程 an s n an1s n1 a1s a0 0 （2）列写Routh计算表
sn S n-1 S n-2 S n-3 s2 s1 s0
an a n 1 A1 B1 D1 E1 F1
an 2 a n 3 A2 B2 D2
j 1 k 1
k knk 为复根的实部
xo (t ) B(t ) Aj e Ak e k t sin(dk t k )
s jt j 1 k 1
n1
n2
k knk 为复根的实部
t 瞬态项 0 ，则 xo (t ) B(t ) ， 由稳定性定义， 系统回到原平衡状态或新的平衡，该系统稳定。
1 s 1 s ss lim S 0 1 G ( s ) H ( s ) 1 G (s) H ( s)
1 令K p lim G ( s ) H ( s )，则 ss S 0 K p 1 K p：位置无偏系数
2、斜坡输入下的稳态偏差及速度无偏系数
1 s 2 1 s ss lim S 0 1 G ( s ) H ( s ) sG ( s) H ( s)
系统稳态偏差与两个因素有关
1.系统结构（反映在 传函) 2.输入信号Xi(s)
1 1 G( s) H ( s)
， G(s)H(s)－开环
因此，对于稳定的控制系统，稳态性能一般 根据阶跃、斜坡或抛物线输入所引起的稳态 偏差来判别。本节研究的就是不能跟踪上述 典型输入而引起的稳态偏差。
1、阶跃输入下的稳态偏差及位置无偏系数
(1)s 4 3s3 s 2 3s 1 0 (2)s3 2s 2 s 2 0
3.5线性控制系统的稳定性
6.
对于线性定常系统，零输人响应与零状态 响应稳定性的条件是一致的。
线性定常系统是稳定的，则一定是渐近稳 定，一定是大范围渐近稳定。
二、线性定常系统稳定的充分必要条件 线性定常系统的稳定性表现为输出时间响 应的收敛性。
如果系统在扰动（初始状态）的作用下， 其暂态响应随着时间的推移逐渐衰减并趋 于零（即平衡工作点），则称该系统为渐 近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动 作用下，系统的暂态响应随着时间的推移 而发散，则称系统为不稳定。
第一列各元素符号没有变化，表示有一对共扼虚根存在。 相应的系统也属于不稳定或临界稳定。
(2) 某一行各项系数全为零或只有等于零的 一项
这种情况表明特征方程存在以原点为对称 的实根，或以原点为对称的虚根，或以虚 轴为对称的两对共轭复根。
系统属于不稳定或临界稳定。
可以降阶求其虚根和共轭复根。
二、赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据
可以用一正整数去乘以或除以某一行的各项。 不改变稳定性的结论 ，可简化运算 。
③最后，用劳思判据判断系统稳定性。
3．劳思判据：
系统稳定的充要条件是表中第一列各元素的 符号均为正，且不等于零。
表中第一列若有负系数，闭环系统不稳定；
各系数符号改变的次数等于具有正实部特 征根的个数。
例 1：已知系统的特征方程如下，判断稳定性 劳斯表
4．劳思稳定判据的特殊情况
特殊情况是指某行的第一列系数为零。出 现特殊情况时系统是不稳定的。
(1) 第一列系数为零，其它系数不全为零。 处理方法：以很小的正数ε代替该行第一列 系数，使运算能够继续。
第一列系数中当ε趋于零时， 2-2/ε项的值为一负数。 第一列系数的符号改变了两次系，统不稳定。
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
劳斯判据判定稳定性
劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
系统的稳定性和代数稳定判据
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... a1 0
0 0 0 0 ... a2 a0 n n
赫尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
例如: 1 s5 2s4 24 s3 48s2 25s 50 (s2 1)( s2 25)( s 2) 2 s4 4 (s 1 j)( s 1 j)( s 1 j)( s 1 j)
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，将 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次数的。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下 描述的代数稳定性判据。
11
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
劳斯判据
二、 劳思—赫尔维茨稳定性判据
（一）、劳思判据
设线性系统的特征方程为
ansn an1sn1 ... a1s a0 0
则该系统稳定的充要条件为：
特征方程的全部系数为正值；
稳定的充要条件和属性
Y1(s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
35劳斯判据
统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期
振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
如果特征方程中有一对实部为负的共轭复根，它的对应项
是收敛的。
Im S平面
稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
结论：
➢ 线性定常系统稳定的充分必要条件：特征方程式的 所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方 程的根均在复平面的左半平面。
➢ 这表明：线性定常系统零输入响应稳定的充 要条件是其特征方程的根均具有负实部。
特征方程根与系统稳定性的关系
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单
调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项
是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系
稳定性的条件除特殊情况外是一致的。 • 所以，线性定常系统的稳定性可以通过系统响
4.线性定常系统的稳定性表现
➢ LTI的稳定性与其时域响应的收敛性密切关联 控制系统的响应分为暂态分量和稳态分量，若 随时间推移，其暂态分量逐渐衰减，系统响应 最终收敛到稳态，则称该系统稳定(①)； 如果过渡过程发散，则该系统不稳定(②)。
2.零输入响应的稳定性（通常意义的稳定）
➢ 研究系统零输入响应的稳定性，就是研究系统 输出量中齐次方程通解的运动形式；
➢ 这种运动形式完全取决于系统的特征方程式， 即齐次微分方程，这个特征方程反映了扰动消 除之后输出量的运动情况。
➢ 单输入、单输出线性定常系统微分方程的一般形 式为
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
3.5劳斯稳定性及稳定判据
s1 1 0 0 0 3
s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ， 或 s3 3s 0 ，用1，3，0代
替全零行即可。
第一列除全零行外，其它系数都大于零，说明无S右半平面的根
由辅助方程求得： (s2 2)( s2 4) 0
c() 0 系统稳定
s4
c(t)
t 0
N (s) G(s) s(s 3)( s 20)( s2 2s 4)
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1
o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s1,2 j 2 , s3,4 j2
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
[例3-9]某反馈控制系统的特征方程为： s3 5ks2 (2k 3)s 10 0
试确定使该闭环系统稳定的K值。 解： 计算劳斯表
s3 1
2k 3
s2 5k
10
s1 2k2 3k 2 0
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
2 判别线性系统稳定性的基本准则
研究系统的稳定性，是以传递函数的分母多项式D(s)（也 之称为系统的特征方程）为研究对象，如极点（特征根） 对应的运动模态，在t->∞时，都等于零，则系统是稳定的。
系统稳定研究系统的稳定性是以传递函数的分母多项式ds也之称为系统的特征方程为研究对象如极点特征根对应的运动模态在t时都等于零则系统是稳定的
s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ， 或 s3 3s 0 ，用1，3，0代
替全零行即可。
第一列除全零行外，其它系数都大于零，说明无S右半平面的根
由辅助方程求得： (s2 2)( s2 4) 0
c() 0 系统稳定
s4
c(t)
t 0
N (s) G(s) s(s 3)( s 20)( s2 2s 4)
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1
o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s1,2 j 2 , s3,4 j2
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
[例3-9]某反馈控制系统的特征方程为： s3 5ks2 (2k 3)s 10 0
试确定使该闭环系统稳定的K值。 解： 计算劳斯表
s3 1
2k 3
s2 5k
10
s1 2k2 3k 2 0
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
2 判别线性系统稳定性的基本准则
研究系统的稳定性，是以传递函数的分母多项式D(s)（也 之称为系统的特征方程）为研究对象，如极点（特征根） 对应的运动模态，在t->∞时，都等于零，则系统是稳定的。
系统稳定研究系统的稳定性是以传递函数的分母多项式ds也之称为系统的特征方程为研究对象如极点特征根对应的运动模态在t时都等于零则系统是稳定的
自动控制原理3第五节稳定性和代数稳定判据
项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数 下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
20
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
2
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的定义和定理
定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入
x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即
lim y(t) lim y(t) ... lim y(n1)(t) 0
t
t
t
则称该系统为渐近稳定的。
定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
❖且 a1a2 a3a0 0
15
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
劳斯判据特殊情况
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统 不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列 第一列系数符号改变的次数。
an an2 an4 an6 ... 0 0
0
赫尔维茨行列式： 0
an1 an3 an5 ... 0 0 an an2 an4 ... 0 0
3-5线性系统的稳定性分析
解：由特征方程列劳斯表
辅助方程： ( s ) 2 s 12 s 16
4 2
s s s
5
4
3
求导：
d( s ) ds
8 s 24 s 0
2
s s
3
8(1) 3 1 3
24(3) 8 0
0
2
解辅助方程A(s)=0：
s1, 2 j 2
s3 , 4 j 2
s s
1
3 2
K1
的取值范围。（相
s1 31.6 s1 7433.8s1 (7500 K1 7466.4)
3 2
0
劳思表如下
s s s
3
s
1
s
s = s1 - 1
1 31.6
7433.8 7500 K1 7466.4
-1
2
1
31.6 7433.8 (7500 K1 7466.4) 31.6 7500 K1 7466.4
［结论］系统是不稳定的，有两个根具有正实部。
2012-6-27
8
3、劳斯（Routh）稳定判据（6）
［例］ 已知系统的特征方程为
s 2s 8s 12s 20s 16s 16 0
6 5 4 3 2
分析系统的稳定性。
s
6
1 2 2 0
8 12 12 0
20 16 16 0
16
5 4 2
——不稳（缺3次项） ——可能稳定
D( s) s 5s 7 s 2s 10 0
4 3 2
2012-6-27
4
3、劳斯（Routh）稳定判据（2）
2. 劳斯判据
3.5劳斯稳定性及稳定判据
s3
B1
A1a3 a5 A2 A1
s2
C1
B1 A2 A1B2 B1
s1
D1
C1B2 B1C2 C1
s0
E1
D1C 2 D1
a0
a3
A2
a5a2 a6a1 a5
B2
A1a1 a5 A3 A1
C2
B1 A3 0 B1
a0
a1
0
0 A3
a5a0 a5
a0
s5 1
1
4
s4 2
3
5
一次符号变化
s 3 0.5 1.5 0
二次符号变化
s2 9
5
0
1 3 0 ( 1 ) 2
950
系统不稳定
其第一列系数符 号变化两次，表
s1 16
0
9
0
1( 32) 9
0
0
( 9 ) 32
示有两个极点在 s的右半平面。
s0 5
0
0
500
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
s5 0 增加运动模态 常数项 k
c() k 系统不稳定
s3 j
s2
s1
o
N (s)
s4
G(s) (s 3)( s 20)( s2 2s 4)( s2 4)
s5,6 j2 增加运动模态 A1 cos 2t B1 sin2t
0
t
c() 0 系统持续震荡，也称为临界稳定
s1,2 j 2 , s3,4 j2
(自动控制原理)3.5稳定性的概念
一个方面。
一个稳定的系统不一定是鲁 棒的，但一个鲁棒的系统必
须是稳定的。
在系统设计中，应综合考虑稳 定性和鲁棒性，以确保系统在 各种条件下都能保持稳定和可
靠的运行。
THANKS
感谢观看
系统在受到外部扰动后能够回到原来的平衡状态。
内部稳定性
系统在没有外部扰动的情况下，能够保持内部平衡状态。
稳定性与系统性能的关系
01
稳定性是系统性能的重要指标之一，它决定了系统能否正常工 作。
02
稳定性好的系统，其性能通常较好，能够更好地适应外部环境
的变化。
稳定性差的系统，其性能通常较差，容易受到外部扰动的影响，
环频率响应曲线来判断系统的稳定性。
02
博德图判据包括两个主要条件：一是系统的开环传递函数在复 平面的右半部分没有极点；二是系统的开环频率响应曲线在负
实轴上没有穿越点。
03
博德图判据的优点是直观易懂，适用于多变量系统和非线性系 统。但是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对于高阶系统，需要借助计算机辅助工具进行计算
和分析。
05
稳定性与系统设计
劳斯表是一个包含系统极点的表格，通过计算可以得到系统的极点。赫尔维茨矩阵是由系统传递函数的 零点和极点构成的矩阵，其行列式和迹决定了系统的稳定性。
劳斯-赫尔维茨判据的优点是简单易行，适用于多变量系统。但是，对于高阶系统，计算量较大，需要借 助计算机辅助工具进行计算。
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据是一种通过分析系统的频率响应来判断系统 稳定性的方法。它基于频率域分析，通过分析系统的开环 频率响应曲线来判断系统的稳定性。
系统设计中的稳定性考虑
01
稳定性是系统设计的重要考虑因素，因为不稳定的 系统可能导致不可预测的行为和性能下降。
一个稳定的系统不一定是鲁 棒的，但一个鲁棒的系统必
须是稳定的。
在系统设计中，应综合考虑稳 定性和鲁棒性，以确保系统在 各种条件下都能保持稳定和可
靠的运行。
THANKS
感谢观看
系统在受到外部扰动后能够回到原来的平衡状态。
内部稳定性
系统在没有外部扰动的情况下，能够保持内部平衡状态。
稳定性与系统性能的关系
01
稳定性是系统性能的重要指标之一，它决定了系统能否正常工 作。
02
稳定性好的系统，其性能通常较好，能够更好地适应外部环境
的变化。
稳定性差的系统，其性能通常较差，容易受到外部扰动的影响，
环频率响应曲线来判断系统的稳定性。
02
博德图判据包括两个主要条件：一是系统的开环传递函数在复 平面的右半部分没有极点；二是系统的开环频率响应曲线在负
实轴上没有穿越点。
03
博德图判据的优点是直观易懂，适用于多变量系统和非线性系 统。但是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对于高阶系统，需要借助计算机辅助工具进行计算
和分析。
05
稳定性与系统设计
劳斯表是一个包含系统极点的表格，通过计算可以得到系统的极点。赫尔维茨矩阵是由系统传递函数的 零点和极点构成的矩阵，其行列式和迹决定了系统的稳定性。
劳斯-赫尔维茨判据的优点是简单易行，适用于多变量系统。但是，对于高阶系统，计算量较大，需要借 助计算机辅助工具进行计算。
奈奎斯特判据
奈奎斯特判据是一种通过分析系统的频率响应来判断系统 稳定性的方法。它基于频率域分析，通过分析系统的开环 频率响应曲线来判断系统的稳定性。
系统设计中的稳定性考虑
01
稳定性是系统设计的重要考虑因素，因为不稳定的 系统可能导致不可预测的行为和性能下降。
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。
劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。
对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。
具体步骤如下：1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。
2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。
3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：- 第一行的元素为特征方程的系数。
- 第一列的元素为0。
- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。
4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。
对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。
2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。
3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。
根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。
4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。
5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。
- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。
- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。
类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。
稳定性和代数稳定判据
一个线性控制系统能够正常工作的首要条件就是它必须是稳定的。
控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。
如果系统是稳定，那么随着时间的推移，系统地各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散，即使系统的扰动消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态。
[例6] 设系统的特征方程为
由劳斯表可见，其第一列元素的符号没有改变，故系统临界稳定，存在一对虚根。
处理方法：利用全零行上一行的元素及相应的阶次构造辅助多项式 ，并以 各系数代替全零行元素，然后继续构造劳斯表的其余部分。
解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。
解：闭环特征方程为
作线性变换，令 ，并代入上述闭环特征方程，整理得到
根据劳斯判据，可以得到满足条件时K的取值范围 。显然，由于相对稳定性的提高，使K的取值范围变小了。
稳定区域示意图：
不 稳 定 区 域
D
B
（1）控制系统稳定的实例：
稳定性描述：线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。
通过前面关于系统动态性能的分析可知，线性系统由扰动作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，偏差能否“消失”，实际上是指系统的暂态响应能否消失，若暂态响应能消失的，则系统是稳定的，若暂态响应不能消失，则系统是不稳定。对于暂态响应不能消失有2种情况，一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态，另外一种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态，对于等幅振荡情形可以称为临界稳定状态。
控制系统在实际运行中，不可避免地会受到外界或内部的一些扰动因素的影响，从而会使系统各物理量偏离原来的工作状态。
如果系统是稳定，那么随着时间的推移，系统地各物理量就会恢复到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统中的各物理量随着时间的推移而发散，即使系统的扰动消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态。
[例6] 设系统的特征方程为
由劳斯表可见，其第一列元素的符号没有改变，故系统临界稳定，存在一对虚根。
处理方法：利用全零行上一行的元素及相应的阶次构造辅助多项式 ，并以 各系数代替全零行元素，然后继续构造劳斯表的其余部分。
解：构造劳斯表如下，并作特殊处理。
解：闭环特征方程为
作线性变换，令 ，并代入上述闭环特征方程，整理得到
根据劳斯判据，可以得到满足条件时K的取值范围 。显然，由于相对稳定性的提高，使K的取值范围变小了。
稳定区域示意图：
不 稳 定 区 域
D
B
（1）控制系统稳定的实例：
稳定性描述：线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋于零，即被控量回到原来的平衡工作状态，则称该系统稳定。反之，若在扰动的影响下，系统的被控量随着时间的推移而发散，则称系统不稳定。
通过前面关于系统动态性能的分析可知，线性系统由扰动作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，偏差能否“消失”，实际上是指系统的暂态响应能否消失，若暂态响应能消失的，则系统是稳定的，若暂态响应不能消失，则系统是不稳定。对于暂态响应不能消失有2种情况，一种情况是系统的暂态响应呈现发散状态，另外一种情况是系统的暂态响应呈现等幅振荡状态，对于等幅振荡情形可以称为临界稳定状态。
§3-5线性系统稳定性及稳定判据
K* 0
560- K* 0
14 0 K* 560 即 0 K 14
若要求闭环极点 s平在面上全部位s 于1垂线之,左 则令s s1 1,代入原特征方 ,得程
s13 11s12 15s1 ( K * 27) 0 相 应 的Ro uth表 为
s13 s12
s 11
s10 则解得
或其特征根全部位于s平面的左半部。
例. 试判断系统 C(S)
1
的稳定性。
R(S) S 3 4S 2 5S 2
解:
32 S 4S
5S 2 0
2
2
(S 1)(S 3S 2) (S 1) (S 2) 0
S1 -1, S2 -1, S3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负有实 部,
00 n 0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
例: 设系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s10 0, 试用胡尔维茨判据
判断该系统的稳定性。
解: 1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
s4
1
1
1
s3
2
2
s2 0(用代替） 1
当ε→0时s1， s0
2
2
， 该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改
1
2 2 0
例设系统的特征方程为 s3 3s 2 0
试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解
s3
1
-3
改变一次
s2 0
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据的定义
劳斯稳定判据，是控制理论中常用的一种判据，用于判断系统的稳定性。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它决定了系统在各种工况下的可靠性和可控性。
劳斯稳定判据通过分析系统的特征方程，判断系统的稳定性。
特征方程是系统的传递函数的分母多项式，通过求解特征方程的根来判断系统的稳定性。
劳斯稳定判据的定义如下：设特征方程为F(s)=0，将特征方程F(s)进行因式分解，得到特征方程的根s1，s2，...，sn。
如果特征方程的所有根的实部都小于零，且特征方程的根的个数与特征方程的阶数相等，则系统是稳定的。
通过劳斯稳定判据，我们可以很方便地判断系统的稳定性。
只需要将特征方程进行因式分解，并对特征方程的根进行判断即可。
如果特征方程的根都满足实部小于零的条件，且根的个数与特征方程的阶数相等，那么系统就是稳定的。
否则，系统就是不稳定的。
劳斯稳定判据的应用范围非常广泛。
不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。
例如，在电力系统中，劳斯稳定判据可以用于判断发电机的稳定性；在通信系统中，劳斯稳定判据可以用于判断信道的稳定性；在经济学中，劳斯稳定判据可以用于判断经济系统的稳定性等等。
劳斯稳定判据是一个非常重要的判据，它可以帮助我们判断系统的
稳定性。
通过分析特征方程的根，我们可以得到系统的稳定性信息。
劳斯稳定判据的应用非常广泛，不仅在控制系统中常常用到，而且在其他领域中也有广泛的应用。
通过劳斯稳定判据，我们可以更好地理解和分析系统的稳定性，从而提高系统的可靠性和可控性。
简述劳斯稳定判据内容
简述劳斯稳定判据内容
劳斯稳定判据是控制系统理论中常用的一种稳定性判据，用于判断线性时不变（LTI）系统的稳定性。
其判据是通过系统的
传递函数的分子和分母的系数来确定。
劳斯稳定判据的内容如下：
1. 将系统的传递函数表示为一个分式形式，其中分母是一个多项式。
2. 将分母多项式的系数按降序排列，如果存在某个系数为零，则将其设置为理想情况下小于零的一个极小值，例如-ε。
3. 按照以下步骤来构造劳斯表（一个方阵），其中每一行表示分母多项式的一个系数：
a. 第一行为分母多项式的系数。
b. 第二行为倒数第二行的系数乘以第一行的第一个元素除以
第一行的第一个元素的相反数，以此类推。
c. 每一行的系数先用倒数第二行的系数乘以第一行的第一个
元素除以第一行的第一个元素的相反数，然后再减去倒数第二行的第一个元素乘以第一行除以第一行的第一个元素的相反数，以此类推。
4. 判断系统的稳定性：
a. 如果劳斯表的首行（分母多项式系数）全为正，则系统稳定。
b. 如果劳斯表的首行有一个负元素，但是上一行（倒数第二行）全为正，则系统稳定。
c. 如果劳斯表的首行中有一个零元素，但是上一行全为正，
则系统边界稳定（不稳定的情况也可能发生）。
d. 如果劳斯表的首行有一个负元素，并且上一行中也有一个
负元素，则系统不稳定。
劳斯稳定判据是一种必要条件但不是充分条件，即如果劳斯判据判断出系统稳定，则系统一定是稳定的；但如果判断出系统不稳定，则系统可能是不稳定的，也可能是边界稳定的。
因此，在劳斯判据显示不确定的情况下，还需要进行其他稳定性判据的分析。
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sn s n 1 s n 2 s n 3 s n4 s1 s0
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
N ( s) G( s ) s( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
解： 方法一：用一个小的正数 代替0
s4 s s
3
1 2
1 1 2 0
s2
1
s0
0( ) 1 0 2 2 0 0 1 0 0
2 l i m2 0
2 2 2 ,2 1
系统不稳定，有两个位于S右半平面的根。
方法二：用(s+a)乘以特征方程后再计算劳斯表，a可以为任意正数
若系统以 2rad / s 的频率特性持续振荡， 试确定相应的K值和a值。
解得： K 8, a 4
s1 s0 由劳斯表可知有一个特征根在S的右半平面
1 3 4 构造辅助方程 1 3 4 A( s) s 4 3s 2 4 ))0 2))0 ((6 0((4 3 对A(s)求导 3 8 0 25 0 0 dA( s ) 4 s 3 6 s ds 8 0 0
[例]： s 6 2s 5 8s 4 12s 3 20s 2 16s 16 0
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 8 20 16 2 12 16 0 2 12 16 0 0 3 1 3 8 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 6 8 辅助方程为： s 4 6s 2 8 0 ， 3 4 s 12s 0 ， 1 6 8 求导得： 3 s 1 3 0 或 3s 0 ，用1，3，0代 3 8 0 替全零行即可。
1 0 0
2）劳斯表某行系数全为零的情况。
表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述 几种情况之一出现，
1）大小相等，符号相反的一对实根，
2）一对共轭纯虚根
3）对称于虚轴的两对共轭复根 s5 构造如下特征方程： s4
( s 2 1)(s 2 4)(s 1) 0
s3
s 5 s 4 3s 3 3s 2 4s 4 0 s 2
s5 0
增加运动模态 常数项 k
s3 j
s2 s1 s4
c( ) k 系统不稳定
N ( s) G( s ) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)(s 2 4)
o
s5,6 j 2
增加运动模态
0
t
A1 cos2t B1 sin2t
c( ) 0 系统持续震荡，也称为临界稳定
a6 a5
A1a3 a5 A2 B1 A1 B1 A2 A1 B2 C1 B1 C1 B2 B1C 2 D1 C1 DC E1 1 5 a0 A3 a0 a5
a0
0 0 0 0 0 0
a3
a5a2 a6a1 A2 a5 A1a1 a5 A3 B2 A1
2 判别线性系统稳定性的基本准则
研究系统的稳定性，是以传递函数的分母多项式D(s)（也 之称为系统的特征方程）为研究对象，如极点（特征根） 对应的运动模态，在t->∞时，都等于零，则系统是稳定的。
G( s ) N ( s) ( s 2)(s 20)
s1 2 s2 20
一定有运动模态 k1e 2t k2e 20t
试确定使该闭环系统稳定的K值。 解： 计算劳斯表
s 2 s 1 s 0 s
3
1
2k 3 10 0 0
5k 0 2k 3 0
5k
2k 2 3 k 2 k 10
2k 2 3k 2 0 k
解得K>0.5
[补充例题]某单位负反馈控制系统的开环传递函数为：
K G( s ) H ( s ) s( s 2 2 s a )
( s 1)(s 4 2s 3 s 2 2s 1) 0
得新的特征方程为：s 5 3s 4 3s 3 3s 2 3s 1 0
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 3
3 3 3 1
同样可知系统不稳定， 有两个位于S右半平面的根。
3 4 0 1 1 0 7 0 0
a5 a4 a6 a 3 A1 a5
0 0 0 0
B1 A3 0 C2 a0 B1
0 0
3 s 3 12s 2 17s 20 [例3-5]：设闭环系统传递函数为 G( s ) 5 s 2s 4 s 3 3s 2 4s 5
判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根的个数。
第一列除全零行外，其它系数都大于零，说明无S右半平面的根
由辅助方程求得： ( s 2 2)(s 2 4) 0
s1, 2 j 2 ,
s3,4 j 2
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
[例3-9]某反馈控制系统的特征方程为：
s 3 5ks2 (2k 3)s 10 0
N ( s) G( s ) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)(s 2 2 s 4)
s5,6 1 j 3
增加运动模态
s3 j
s2
s1 s4
0 t
Ae t cos 3t Be t sin 3t
c() 震荡发散，系统不稳定
o
线性系统稳定的充要条件：
5 0 0
1 3 0 (
1 ) 2
系统不稳定
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯判据的两种特殊情况：
1） 劳斯表第一列中出现系数为零，而其余系数不全为零 [例3-6]系统特征方程为：s 4 2s 3 s 2 2s 1 0 判定该系统是否稳定。如不稳定，求不稳定根的个数。
解： 系统特征方程为
s 5 2s 4 s 3 3s 2 4s 5 0
s5 s s s
4 3
1 2
1
4
s2
1
3 5 一次符号变化 0.5 1.5 0 二次符号变化 9 5 0 16 9 5 0 0 0 0
s0
其第一列系数符 号变化两次，表 9 5 0 示有两个极点在 32 9 1( ) 0 0 ( ) 9 32 s的右半平面。
an a n 1 A1 B1 C1
an 2 an 3 A2 B2 C2
an 4 an 5 A3 B3 C3
劳斯表
劳斯表计算举例
s 5 s s s s s s
4 3 2 1 0
6
a6 s6 a5 s5 a4 s4 a3 s 3 a2 s 2 a1 s a0 0
系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负 实部的共轭复数。 或者说，特征方程的根应全位于s平面的左半平面。
3 代数稳定判据
1 劳斯稳定判据
线性定常系统的特征方程一般式为
an s n an1s n1 a1s a0 0
系统稳定的充要条件为： 1）特征方程的全部 系数为正值； 2）由特征方程系数组成 的劳斯表的第一列也为正。
本次课程作业
3-16（1）、（6）
3-20
五 稳定性及其代数稳定判 据 1 稳定性的定义
处于某一初始平衡状态的系统。在任何足够小的初始偏差 作用下，其过渡过程随着时间的推移，是否具有逐渐恢复原平 衡状态的性能。
如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后， 经过足够长的时间后能回复到原来的初始平衡状态，则称系统 是稳定的。否则是不稳定的。
s3 j
s1 s4
c( ) 0 系统稳定
G( s ) N ( s) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
s2
o
c(t)
t 0
s3,4 1 j 3
t t Ae cos 3 t Be sin 3t 增加运动模态 c( ) 0 系统稳定
N ( s) G( s ) s( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)
解： 方法一：用一个小的正数 代替0
s4 s s
3
1 2
1 1 2 0
s2
1
s0
0( ) 1 0 2 2 0 0 1 0 0
2 l i m2 0
2 2 2 ,2 1
系统不稳定，有两个位于S右半平面的根。
方法二：用(s+a)乘以特征方程后再计算劳斯表，a可以为任意正数
若系统以 2rad / s 的频率特性持续振荡， 试确定相应的K值和a值。
解得： K 8, a 4
s1 s0 由劳斯表可知有一个特征根在S的右半平面
1 3 4 构造辅助方程 1 3 4 A( s) s 4 3s 2 4 ))0 2))0 ((6 0((4 3 对A(s)求导 3 8 0 25 0 0 dA( s ) 4 s 3 6 s ds 8 0 0
[例]： s 6 2s 5 8s 4 12s 3 20s 2 16s 16 0
s6 s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 8 20 16 2 12 16 0 2 12 16 0 0 3 1 3 8 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 6 8 辅助方程为： s 4 6s 2 8 0 ， 3 4 s 12s 0 ， 1 6 8 求导得： 3 s 1 3 0 或 3s 0 ，用1，3，0代 3 8 0 替全零行即可。
1 0 0
2）劳斯表某行系数全为零的情况。
表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述 几种情况之一出现，
1）大小相等，符号相反的一对实根，
2）一对共轭纯虚根
3）对称于虚轴的两对共轭复根 s5 构造如下特征方程： s4
( s 2 1)(s 2 4)(s 1) 0
s3
s 5 s 4 3s 3 3s 2 4s 4 0 s 2
s5 0
增加运动模态 常数项 k
s3 j
s2 s1 s4
c( ) k 系统不稳定
N ( s) G( s ) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)(s 2 4)
o
s5,6 j 2
增加运动模态
0
t
A1 cos2t B1 sin2t
c( ) 0 系统持续震荡，也称为临界稳定
a6 a5
A1a3 a5 A2 B1 A1 B1 A2 A1 B2 C1 B1 C1 B2 B1C 2 D1 C1 DC E1 1 5 a0 A3 a0 a5
a0
0 0 0 0 0 0
a3
a5a2 a6a1 A2 a5 A1a1 a5 A3 B2 A1
2 判别线性系统稳定性的基本准则
研究系统的稳定性，是以传递函数的分母多项式D(s)（也 之称为系统的特征方程）为研究对象，如极点（特征根） 对应的运动模态，在t->∞时，都等于零，则系统是稳定的。
G( s ) N ( s) ( s 2)(s 20)
s1 2 s2 20
一定有运动模态 k1e 2t k2e 20t
试确定使该闭环系统稳定的K值。 解： 计算劳斯表
s 2 s 1 s 0 s
3
1
2k 3 10 0 0
5k 0 2k 3 0
5k
2k 2 3 k 2 k 10
2k 2 3k 2 0 k
解得K>0.5
[补充例题]某单位负反馈控制系统的开环传递函数为：
K G( s ) H ( s ) s( s 2 2 s a )
( s 1)(s 4 2s 3 s 2 2s 1) 0
得新的特征方程为：s 5 3s 4 3s 3 3s 2 3s 1 0
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 3
3 3 3 1
同样可知系统不稳定， 有两个位于S右半平面的根。
3 4 0 1 1 0 7 0 0
a5 a4 a6 a 3 A1 a5
0 0 0 0
B1 A3 0 C2 a0 B1
0 0
3 s 3 12s 2 17s 20 [例3-5]：设闭环系统传递函数为 G( s ) 5 s 2s 4 s 3 3s 2 4s 5
判定该系统是否稳定。如不稳定，求出具有正实部的根的个数。
第一列除全零行外，其它系数都大于零，说明无S右半平面的根
由辅助方程求得： ( s 2 2)(s 2 4) 0
s1, 2 j 2 ,
s3,4 j 2
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
[例3-9]某反馈控制系统的特征方程为：
s 3 5ks2 (2k 3)s 10 0
N ( s) G( s ) ( s 3)(s 20)(s 2 2 s 4)(s 2 2 s 4)
s5,6 1 j 3
增加运动模态
s3 j
s2
s1 s4
0 t
Ae t cos 3t Be t sin 3t
c() 震荡发散，系统不稳定
o
线性系统稳定的充要条件：
5 0 0
1 3 0 (
1 ) 2
系统不稳定
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯判据的两种特殊情况：
1） 劳斯表第一列中出现系数为零，而其余系数不全为零 [例3-6]系统特征方程为：s 4 2s 3 s 2 2s 1 0 判定该系统是否稳定。如不稳定，求不稳定根的个数。
解： 系统特征方程为
s 5 2s 4 s 3 3s 2 4s 5 0
s5 s s s
4 3
1 2
1
4
s2
1
3 5 一次符号变化 0.5 1.5 0 二次符号变化 9 5 0 16 9 5 0 0 0 0
s0
其第一列系数符 号变化两次，表 9 5 0 示有两个极点在 32 9 1( ) 0 0 ( ) 9 32 s的右半平面。