勾股定理逆定理的作用

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勾股定理及逆定理的应用

勾股定理的逆定理及应用

知识点1：互逆命题与互逆定理知识点2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足2

a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。

（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。知识点3：勾股数

（1）满足2

a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数

（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。

（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15

【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（）

A 7,10,13

B 2226,8,10111,,345

例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．

【变式练习】

1、判断：三边长分别为2

22,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形

2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=1

BC 。求证∠EFA=90°。

【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。

勾股定理的逆定理知识点

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角

形是否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c ）.

（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的

直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.

要点诠释：当222a b c +

a b c +>时，此三角形

为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.

要点三、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.

要点四、勾股数

满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）221

勾股定理逆定理符号语言

勾股定理是初中数学中极为基础的一条定理，它有着广泛的应用和重要的意义。而勾股定理的逆定理同样也有着很高的实用价值，在实际生活中起到重要的作用。本文将对勾股定理逆定理进行详细的解释和阐述，探讨其应用领域和数学意义。

首先，我们来复习一下勾股定理的内容。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。用符号语言表示为：a² + b² = c²。其中，a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。

那么，勾股定理的逆定理就是：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三角形一定是一个直角三角形。

在证明勾股定理逆定理之前，我们首先来看一下为什么勾股定理成立。勾股定理可以通过几何方法和代数方法进行证明。在几何方法中，我们可以用三个正方形的面积之和来证明勾股定理。具体来说，我们可以将三角形分别取为三个正方形的内切圆，然后计算三个正方形的面积。在代数方法中，我们可以利用坐标系的方法，将三角形的顶点设为某个点，然后利用勾股定理设立方程来证明勾股定理。

接下来，我们来证明勾股定理的逆定理。假设有一个三角形，已知三个边的长度为a、b、c，且符合a² + b² = c²的关系。我们需要证明这个三角形一定是直角三角形。我们可以假设反证法，假设这个三角形不是直角三角形，而是一个锐角三角形或

者钝角三角形。

首先，我们假设这个三角形是一个锐角三角形。根据锐角三角形的性质，三个内角都是锐角，即都小于90°。那么根据余弦

定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC。由于c² = a² + b²，可以得到2ab·cosC = 0。由于a和b都大于0，所以cosC = 0。但是在三角函数表中，我们知道cos90° = 0，意味着C = 90°，与假设的锐角三角形相矛盾。所以，我们可以得出结论：如果一个三角形的三边的边长符合a² + b² = c²的关系，那么这个三

勾股定理及其逆定理的应用

4．四周一片（），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。
八、句子工厂。
1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）
_________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子） ___________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ____ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话） __________________________________ ______ ______ ______ ______ ______ ______ _____
解：(1)AB＝ 5，AC＝ 13，AD＝2 2，AE＝2 5. (2)存在，线段AB，AC，AD可以构成直角三角形．理由： ∵AB＝ 5，AD＝2 2，AC＝ 13， ∴AD2＋AB2＝AC2，由勾股定理的逆定理可知，线段AB，AC，AD 可以构成直角三角形．
类型 6 勾股定理与它的逆定理的综合应用
方形)面积的一半，因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半，即 1 ×52＝12.5.

勾股定理的逆定理

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：

ﻩ

勾股定理的逆定理

(学习目标)

1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的

关系.

2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

３. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.

(要点梳理）

（高清课堂勾股定理逆定理知识要点)

要点一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长a b c ，，,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释:（1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（２）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是

否为直角三角形.

要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边(如c ）.

（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形;若

222c a b ≠+,则△AB Ｃ不是直角三角形．

要点诠释：当222a b c +时,此三角形为锐角三角形,其

中c 为三角形的最大边.

要点三、互逆命题

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题．

要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题．

勾股定理题型总结【范本模板】

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理—-揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。（1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和。从这两种形式来看，有“形的勾股定理"和“数的勾股定理”之分。（2)定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系.

③作长为n 的线段.(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

(2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 (3）勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c )

②验证2

b a +与2

c 是否具有相等关系：

若2

c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形. 若2

c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识:

当222c b a >+时,则是锐角三角形；当2

22c b a <+时，则是钝角三角形.

（4）通过总结归纳,记住一些常用的勾股数.如：3，4，5；5，12,13；6，8，10；8,15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股定理的逆定理

18.2 勾股定理的逆定理

知识点1 互逆命题

在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.

每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真.

知识点2 互逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理.

知识点3 勾股定理的逆定理——直角三角形的判别条件

定理:如果三角形的边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

解读:(1)作用:可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形.

(2)用较短两边的平方和与最大边的平方进行比较.

(3)条件中没有涉及直角三角形,结论是直角三角形.

(4)勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:

联系:①两者都与三角形的三边关系a2+b2=c2有关;

②两者都与直角三角形有关.

区别:①勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边的数量关系,即a2+b2=c2.

②勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是否是直角三角形的一个有效的方法.

(5)应用:①现实生活中,在没有测量角的仪器的情况下,常利用勾股定理的逆定理来确定直角(或垂线).

②勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.

勾股定理的逆定理及应用

下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:

①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.

回答这样两个问题:

1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？

2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，你能猜测最大的角的度数吗？

_________________________________________________________________________________ 入门测试

1．如图，湖的两端有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130 m，CB＝120 m，则AB为( )

A．30 m B．40 m C．50 m D．60 m

2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为( ) A．5 cm B．100 cm C．120 cm D．130 cm

3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照如图所示的探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，

就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )

A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km

4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长

方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需__m长．

5.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形，其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB

勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理（1）

知识领航

1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．

2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.

3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.

4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.

e 线聚焦

【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四

边形ABCD 的面积.

分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.

解：连接AC ，在Rt △ABC 中，

AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169，而 AB 2=132=169，

∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．

故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =

21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋2

×5×12=6＋30=36.

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仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）

勾股定理的逆定理用处多

一、用于判断三角形的形状

例1 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足c b a c b a 262410338222++=+++，试判断△ABC 的形状？

分析：判断△ABC 的形状一般从两方面考虑：一是从角的大小考虑；二是从边的关系考虑.而题目已知条件只提供了关于边的方程，可由该方程求出a 、b 、c 的特殊关系.

解：∵c b a c b a 262410338222++=+++，

∴016926144242510222=+-++-++-c c b b a a ，

即0)13()12()5(222=-+-+-c b a .

∴05=-a ，012=-b ，013=-c ，

∴13,12,5===c b a .

又22222169125c b a ==+=+，

故由a 、b 、c 构成的三角形为直角三角形.

二、用于判断一个角是直角

例2 如图1，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝4

1CD ，试说明∠AEF ＝90°.

分析：要说明∠AEF ＝90°，只要说明△AEF 为直角三角形.由勾股定理的逆定理，只要说明222AF EF AE =+即可.

解：设正方形ABCD 的边长为a 4，则BE ＝CE ＝2a ，CF ＝a ，DF ＝3a .

在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝162a ＋42a ＝202a ，在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋CF 2＝42a ＋2a ＝52a ，在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝162a ＋92a ＝252a .

勾股定理的逆定理与应用

1对1个性化教案

勾股定理及应用

教学步骤及教学内容

导入一【知识点回顾】

【知识梳理】一、勾股定理得逆定理

如果三角形的三边长满足/+沪=。2,那么这个三角形是直角三角形

如何判定一个三角形就是宜角三角形 (1)先确世最大边(如C) (2)验证与就是否具有相等关系

G)若m 则△ABC 就是以ZC 为直角得直角三角形;若H 则△ABC 不就是直角三角形。

例题1： 1、下列各组数能否作为宜角三角形得三边长？说说您得理由 (1)9,1235 (2)153639

⑶ 1235.36

(4)12.18,22

课堂练习 1、下列各组数中，以abc 为边得三角形不就是Rl △得就是(

A 、a=l 5,b=2. c=3

B 、a=7.b=24x=25

C 、a=6.

b=& c=iO

D 、a=3,b=4x=5

学生陈桂浩教师

张玉妮

授课日期

授课时段

勾股定理得逆定理与应用

重点难点

2、用勾股定理证明一个三角形就是直角三角形

2、现有长度分别为2、

3、

4、5得木棒，从中任取三根，能组成宜角三角形，则幷周

长为 3、△得两边分别就是5、12,第三边为奇数，且就是3得倍数•则应为—，此三角形三角形. 4、AABC 得三边之长为、、，若则△ABC 中最大角为 5、三角形得三边长为，则这个三角形就是( C 、直角三角形； D 、锐角三角形、三角形 A 、等边三角形；B 、钝角三角形； 6、已知，则由此为三边得三角形就是 _____ 7、已知:在△ABC 中，ZA 、ZB 、ZC 得对边分别就是 a. b 、c,满足 a2+b2+c2+338=Kla+24b+26c, 试

勾股定理逆定理及应用

第2讲勾股定理逆定理及应用

教学目标

熟悉勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形，利用勾股定理解几何图形

重难点分析

重点：1、勾股定理的逆定理；

2、勾股定理与最短距离问题；

3、勾股定理的简单应用。

难点：1、直角三角形的判定；

2、实际问题中构造直角三角形解决问题。

知识点梳理

1、勾股定理的逆定理：

（1）判断三边能否组成直角三角形；

（2）根据三边关系构造直角三角形。

2、构造直角三角形解决几何问题

3、勾股定理的简单应用

（1）利用勾股定理逆定理求长度、面积；

（2）最短路径问题；

（3）实际应用。

知识点1：勾股定理与逆定理

【例1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是【】

A．1、2、3 B．5、12、13 C．1、1、2 D．6、7、8

【随堂练习】

1、以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是【】

A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，9

2、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是【】

A ．5，12，14

B ．6，8，10

C ．7，24，25

D ．8，15，17

3、下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是【】

A ．1.5，2，3

B ．7，24，25

C ．9，12，15

D ．5，12，13

4、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是【】

A ．1，2，3

B ．2，3，4

C ．3，4，5

D ．4，5，6

5、分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，

40，41；其中能构成直角三角形的有【】

A ．1组

B ．2组

勾股定理题型总结

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.

②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为,3

何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。）

2、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c）

②验证22b a +与2

c 是否具有相等关系：

若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。补充知识：

当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股定理逆定理及其应用

知识要点：

1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.

2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）

例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？

请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

题型分析：

一、判断直角三角形问题：

1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )

A.①②;

B.①③;

C.②③;

D.③④

2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )

A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1

B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为m

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能

一、本章知识内容归纳

1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：

①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.

②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.

从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。（利用勾股定理探究长度为,3

何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。）

2、勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下：

①首先确定最大的边（如c）

②验证2

b a +与2

c 是否具有相等关系：

若2

c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。若2

c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：

当222c b a >+时，则是锐角三角形；当2

22c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理（1）

知识领航

1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.

3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.

e 线聚焦

【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD

的面积.

分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.

解：连接AC ，在Rt △ABC 中，

AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169，而 AB 2=132=169，

∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．

故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =

21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋2

×5×12=6＋30=36.

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仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）