勾股定理逆定理的作用
勾股定理及逆定理的应用
勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。
求证∠EFA=90°。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。
【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
勾股定理重点知识点
勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。
2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。
3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。
B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。
必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。
(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。
然后进一步结合其他已知条件来解决问题。
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。
面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。
2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。
3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。
三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。
17.1勾股定理的逆定理及其应用(教案)
一、教学内容
本节课选自八年级数学下册第十七章第一节《勾股定理的逆定理及其应用》。教学内容主要包括以下两部分：
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理逆定理的应用：通过勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，并解决实际问题。
五、教学反思
在本次教学过程中，我深刻地感受到了勾股定理逆定理这一章节的教学效果和学生的接受程度。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思和总结：
1.学生对勾股定理逆定理的理解程度：在授课过程中，我发现部分学生对逆定理的概念理解不够深入，需要我在讲解时更加注重逻辑推理和实际例子的运用。今后，我将在教学中增加对逆定理推导过程的演示，让学生更好地理解其内涵。
举例：重点讲解逆定理的发现过程，如通过构建具体的直角三角形模型，让学生观察并总结出两边平方和等于第三边平方的特征。
2.教学难点
-理解逆定理的逻辑推理过程：学生需要理解并掌握从勾股定理到逆定理的逻辑推理过程，这对于他们的逻辑思维能力是一个挑战。
-在复杂问题中运用逆定理：在实际问题中，学生可能难以识别出可以使用逆定理的情况，或者在应用时遇到计算上的困难。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理逆定理的基本概念。勾股定理逆定理是指如果一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。它在几何学中具有重要地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个实际问题的解决过程，展示如何利用勾股定理逆定理来判断直角三角形。
2.教学方法的选择：为了激发学生的学习兴趣，我采用了小组讨论、实验操作等形式多样的教学方法。实践证明，这些方法能够有效提高学生的参与度和积极性。但在小组讨论环节，我也注意到部分学生存在依赖思想，未能充分发挥自身的主观能动性。因此，在今后的教学中，我将加强对学生的引导，提高他们的独立思考能力。
勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理的应用一、判断三角形是否是直角三角形例1：在△ABC 中，a=22n m -，b=2mn ，c=22n m +，其中m ，n 是正整数，且m ＞n ，试判断△ABC 是否是直角三角形．分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边．解：∵m,n 是正整数，且m ＞n ， ∴c ＞b,c ＞a ．∴22422422222242)2()(n m n n m m mn n m b a ++-=+-=+ =42242n n m m ++．又∵=+=2222)(n m c 42242n n m m ++, ∴222c b a =+．∴△ABC 是直角三角形．说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是：⑴确定最大边（不妨设为c ）；⑵计算2c 与22b a +的值；⑶比较2c 与22b a +是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形．二、根据等式变形，确定三角形三边之间的关系，从而判断三角形的形状．例2：若△ABC 的三边长a,b,c 满足条件,201612200222c b a c b a ++=+++试判断的△ABC 形状．分析：由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a,b,c 的关系，从而判断三角形的形状．解：由已知得,0200201612222=+---++c b a c b a ∴,0)10020()6416()3612(222=+-++-++-c c b b a a ∴()()()01086222=-+-+-c b a ．∵()()()010,08,06222≥-≥-≥-c b a∴a-6=0,b-8=0,c-10=0．∴a=6,b=8,c=10．∴22222210100643686c b a ===+=+=+． ∴△ABC 是直角三角形．说明：在此类题中，要判断的三角形一般都是特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，解这类题时，要善于把已知的条件等式变形（配方或因式分解等）．三、与勾股定理的综合应用例3：如图1，已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 中点，F 在AB 上,且BF=41AB ． ⑴请你判断EF 与DE 的位置关系，与同学交流，并说明理由； ⑵若此正方形的面积为16，求DF 的长．分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和DE 都过E 点，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF 与DE 是垂直的，故连接DF ，设正方形边长为a ，利用勾股定理，用2a 分别表示222,,DF EF DE ,再利用逆定理判断△DFE 为直角三角形，由此得到EF ⊥DE ．解：(1)EF 与DE 垂直，即EF ⊥DE ． 设正方形边长为a ，则AD=DC=a,AF=43a,BE=EC=21a ． 在Rt △DAF 中,22222222162516943a a a a a AF AD DF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △CDE 中,22222222454121a a a a a CE CD DE =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △EFB 中, 22222222165411612141a a a a a BE FB EF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=．∵,162516545222222DF a a a EF DE ==+=+ ∴△DFE 为直角三角形， ∴EF ⊥DE ．(2)∵正方形的面积为16，∴2a =16． ∵,25161625162522=⨯==a DF ∴DF=5．说明：此题是勾股定理与逆定理的综合运用，解此题关键是：连接DF构造了一个三角图1形，因此解题时应灵活运用所学知识．例4:在四边形ABCD 中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=090,求四边形ABCD 的面积． 分析:由AB=3,BC=4, ∠B=090,想到连接AC,则Rt △ABC 的面积可求,且可求出AC 的长,因此在△ACD 中，三边长已知,欲求面积,想到它是不是直角三角形,因此用勾股定理的逆定理进行判断．解:连接AC, ∵AB=3,BC=4,∠B=090, ∴,25222=+=BC AB AC ∴AC=5． 在△ACD中,由勾股定理得169144251252222=+=+=+CD AC ．而,1691322==AD ∴=+22CD AC 2AD ．∴∠ACD=090,∴△ACD 是直角三角形． ∴.3012521,64321=⨯⨯==⨯⨯=∆∆ACD ABC S S ∴四边形ABCD 的面积为.36=+∆∆ACD ABC S S说明:本题综合运用了勾股定理及其逆定理,将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法,在这里,一方面要熟记常用的勾股数;另一方面要注意到:如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．图2勾股定理的实际应用举例许多生活中的实际问题都可以转化为一个直角三角形问题，因此，勾股定理不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．下面我们举几例，供同学们复习时参考．例1 一艘轮船以每小时16海里的速度离开港口向南偏东450方向航行，另一艘轮船在同时以每小时12海里的速度向南偏西450方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？分析：依据题意可画出如图1所示的示意图，可知∠AOB=900． 解：在Rt △AOB 中，因为OA=16×1.5=24，OB=12×1.5=18． 所以AB 2=OA 2+OB 2=242+182=900．所以AB=30．30海里．例2 如图2，美伊战争期间，美军运输车队计划沿由东向西延伸的公路L 向巴格达前线供应军用物资，一支先头小分队奉总部之命沿公路侦查敌情．当行至A 地时，测得一伊军炮兵阵地P 的方位是北偏西300，行至B 地时，测得P 地方位是北偏东300，继续前进到C 地，测得P 地方位是北偏东600，在C 地俘虏一名伊军士兵，得知C 、B 两地之间的距离不会超过10千米，并获得可靠情报：P 地伊方炮火的射程半径是9千米．根据以上数据，请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性．分析：美军运输队沿公路行进的安全性决定于L 公路是否在P 地伊军炮火射程之内，即取决于P 地到L 公路的距离是多少，可以过P 作PD ⊥L ，垂足为D ，再将PD 放在直角三角形中球队，然后比较其与9千米的大小．解：（一）先按BC=10千米计算：连结PA 、PB 、PC ，作PD ⊥L ，垂足为D ，如图37，根据三次测得的方位角可知∠PAB=∠PBA=600，图1东北西南APB C60300 300图2L所以△PBA为等边三角形，∠PCB=300，所以△PBC为等腰三角形，从而AB=PB=BC=10（千米），进一步可得BD=210=5（千米）．在Rt△PBD中，PD2=PB2-BD2=100-25=75，因为75＜92=81，所以公路上点D在伊军炮火射程之内．（二）若BC＜10（千米），则Rt△PBD中PB就小于10千米，BD就小于5千米，因而PD也相应缩小，致使D点更靠近伊军阵地．总之，美军运输车队沿L公路通行缺乏安全性．勾股定理与最短距离勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求几何体表面上两点之间的最短距离时，我们可以通过把立体图形展成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的最短距离．下面举例说明勾股定理在解决这类问题时的应用．例1如图1，有一个“顽皮虫”想从点A沿棱长为1cm的正方体的表面爬到点B，求它所爬过的最短路程．析解：欲求正方体表面上点A与点B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图2），由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A爬到点B的最短路程是图2中线段AB的长．由勾股定理得，22215AB=+=cm）．故“顽皮虫”5．例2如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于6cm，在圆柱的下底面A图3ABCP600600300D点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B 点（距D 点14圆处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）析解：利用展开图将圆柱的侧面展开（如图4），易知蚂蚁在圆柱的表面上从A 点爬到B 点所经过的最短路程是图4中线段AB 的长．由条件知，底面圆的周长＝2π×6＝2×3×6＝36（cm ），所以13694BD =⨯=（cm ）．由勾股定理知，2212915AB =+=（cm ）．故小蚂蚁需要爬行的最短距离是15cm ．例3 如图5，圆柱形玻璃容器的高为18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点F 处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离．析解：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图（如图6），CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M 点，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30，MC ＝SB ＝DF ＝1cm ，所以MF ＝18－1－1＝16cm ，在 Rt △MFS 中，由勾股定理得22163034SF =+=（cm ）．故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm ．评注：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，然后再利用勾股定理求出最短距离．。
勾股定理逆定理及其应用
一、教材分析：（一）本节课在教材中的地位作用“勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。
课标要求学生必须掌握。
（二）学情分析：尽管已到初二下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，这样如何添辅助线就是解决它的关键，这样就确定了本节课的重点、难点和关键以及教法等。
（三）教学目标：根据数学课标的要求和教材的具体内容，结合学生实际我确定了本节课的教学目标。
教学目标知识技能1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。
数学思考1、通过“创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用”的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；2、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用。
解决问题通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。
情感态度1、通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辨证关系；2、在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。
重点勾股定理的逆定理及其应用。
勾股定理及勾股定理的逆定理
勾股定理及勾股定理的逆定理
勾股定理：重点是准确掌握勾股定理，难点是能熟练地运用勾股定理.
知识点精析与应用
1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c².
(1)注意：由于直角三角形斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和.不能写成
a²+c²=b²,除非b为斜边才能这样写.
(2)定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系.其作用有:①已知两边求第三边；②证明三角形中的某些线段的平方关系；③作长为根号n的线段.
2.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，课本里是用面积法证明的，这种证明方法同学们一定要掌握好.
[解题方法指导]。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理的逆定理(学习目标)1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用.理解原命题与其逆命题,原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系.2. 能利用勾股定理的逆定理,由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.３. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系,掌握它们的应用范围.(要点梳理）（高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点)要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，,满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形.要点诠释:（1)勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（２）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边(如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C=90°的直角三角形;若222c a b ≠+,则△AB Ｃ不是直角三角形．要点诠释：当222a b c +<时,此三角形为钝角三角形;当222a b c +>时,此三角形为锐角三角形,其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题．要点诠释:原命题正确,逆命题未必正确;原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题,错误的命题我们称它为假命题．要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然,以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数,对解题会很有帮助：① 3、4、5; ②5、12、13;③8、15、1７;④7、24、２５;⑤９、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时,以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释:(1)22121n n n -+，，（1,n n >是自然数)是直角三角形的三条边长;（２）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长;(3)2222,,2m n m n mn -+ (,m n m n >、是自然数)是直角三角形的三条边长;(典型例题)类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假:(1)同位角相等，两直角平行； （2）如果2x =，那么24x =;(3）等腰三角形两底角相等； （4)全等三角形的对应角相等. （５）对顶角相等.（6)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.（思路点拨)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明,是假命题只需举出反例说明即可．(答案与解析)解:(１)逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题．(２）逆命题是：如果24x =,那么2x =，它是假命题.（3）逆命题是:有两个角相等的三角形是等腰三角形,它是真命题.(４)逆命题是：对应角相等的两个三角形全等,它是假命题.（5）逆命题是：如果两个角相等,那么这两个角是对顶角，它是假命题.（６)逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题.(总结升华)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论,然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果……那么”分清题设和结论.每一个命题都有逆命题,其中有真命题,也有假命题.举一反三:（变式)下列定理中,有逆定理的个数是( )①有两边相等的三角形是等腰三角形;②若三角形三边a b c ，，满足222a b c +=，则该三角形是直角三角形;③全等三角形对应角相等;④若a b =，则22a b =．A.1个B.2个 C ．３个 D ．4个(答案)B;提示:①的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；②的逆命题是:若三角形是直角三角形,则三边满足222a b c +=（c 为斜边）；③但对应角相等的两个三角形不一定全等;④若22a b =，a 与b 不一定相等，所以③、④的逆命题是假命题,不可能是定理.类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD 中,A Ｂ⊥ＡＤ，AB ＝２，A Ｄ＝23，ＣD=3,B Ｃ=5,求∠ADC 的度数. (答案与解析)解:∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°,在Ｒt △ＡＢD 中,222222(23)16BD AB AD =+=+=．∴ B Ｄ＝4,∴ 12AB BD =,可知∠AD Ｂ=３０°, 在△BDC 中，22216325BD CD +=+=,22525BC ==，∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BD Ｃ＝90°,∴ ∠ADC=∠ADB ＋∠B ＤC ＝30°+90°＝120°．(总结升华）利用勾股定理的逆定理时,条件是三角形的三边长,结论是直角三角形,即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理. 举一反三：(变式1)△ＡBC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（ ）Ａ.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 Ｄ.直角三角形(答案)D ；提示:由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ＡBC 为直角三角形．(变式2)如图所示，在△AB Ｃ中,已知∠ＡＣB=90°，ＡC ＝B Ｃ，Ｐ是△A ＢC 内一点,且P Ａ＝3，PB=1，P Ｃ＝C Ｄ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数.（答案)解:连接BD ．∵ CD ⊥ＣＰ，且CD ＝C Ｐ=2，∴ △CPD 为等腰直角三角形,即∠CPD=45°． ∵ ∠AC Ｐ+∠ＢＣP ＝∠B ＣP+∠BCD=90°, ∴ ∠ＡCP=∠B ＣD ． ∵ ＣＡ＝C Ｂ，∴ △C ＡP ≌△C ＢＤ(SA Ｓ), ∴ ＤB=P Ａ=3.在Rt △CPD 中,22222228DP CP CD =+=+=.又∵ PB=1,则21PB =.∵ 29DB =,∴ 22819DB DP PB =+=+=,∴ △D ＰB 为直角三角形，且∠DPB ＝９０°，∴ ∠CPB=∠CPD+∠DPB ＝４5°+9０°=13５°.３、如图所示，在平面直角坐标系中,直线33y x =+与x 轴交于点B,与y 轴交于点A,直线133y x =-+与x 轴交于点C ，同时也过点A ．请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由．(思路点拨)判断两直线的位置关系，可转化为判断△ABC 的形状.要判断△ABC 的形状，需先求出其三边的长,而由直线的解析式易求出线段AO ，ＢO ，C Ｏ的长,再根据勾股定理可求得A Ｂ,A Ｃ的长. (答案与解析）解:∵ 直线33y x =+与x 轴交于点Ｂ, ∴ 当0y =时,1x =-， ∴ 点Ｂ的坐标为(－1,0).∵ 直线33y x =+与y 轴交于点A ，，∴ 当0x =时，3y =，∴ 点A 的坐标为(0,3)．∴ ＡO ＝3，B Ｏ=1．在Rt △ＡＢO 中，由勾股定理,得222223110AB AO BO =+=+=.∵ 直线133y x =-+与x 轴交于点C,∴ 当y ＝0时，x =9,∴ 点C 的坐标为(９，0)． 在R ｔ△ＡCO 中,由勾股定理,得222223990AC AO CO =+=+=.又∵ BC ＝ＢO+CO=１0,∴ 221090100AB AC +=+=,2210100BC ==．∴ 222AB AC BC +=.∴ △ABC 为直角三角形,∴ AB ⊥ＡC.(总结升华）在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理．另外,在平面直角坐标系中,只要知道两点的坐标,便可求出线段的长度．类型三、勾股定理逆定理的实际应用４、如图所示，ＭN 以左为我国领海,以右为公海,上午9时５0分我国缉私艇Ａ发现在其正东方向有一走私艇C 并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里,并在M Ｎ线上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是13海里,缉私艇B 测得C 与其距离为1２海里,若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？（答案与解析)解：∵ 22222251216913AB BC AC +=+===,∴ △ABC 为直角三角形．∴ ∠ABC ＝90°．又B Ｄ⊥A Ｃ,可设CD ＝x ，∴ 22222212,(13)5,x BD x BD ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩①②①－②得2216926119x x x -+-=， 解得14413x =.∴ 1441441313169÷=≈0．85(ｈ)＝5１（分). 所以走私艇最早在１0时41分进入我国领海．(总结升华）（１）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题,(2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．(巩固练习）一.选择题１.（2012•广西)已知三组数据:①2，3，4；②3,４,5；③1,3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( ）A.② B ．①② Ｃ.①③ Ｄ．②③2． 下列三角形中，不是直角三角形的是（ )A.三个内角之比为5∶6∶1 B ． 一边上的中线等于这一边的一半Ｃ.三边之长为2０、21、２9 Ｄ． 三边之比为1.５ : 2 : ３3.列命题中,不正确的是( ）A ． 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: 3：2的三角形是直角三角形;C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为2:2:２的三角形是直角三角形．4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、ＣD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A.CD 、EF 、ＧＨ Ｂ.AB 、EF 、G Ｈ C.AB 、CF 、EF D ．G Ｈ、AB 、C Ｄ５．五根小木棒，其长度分别为7，15,２0,24，2５，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）6. c b a ,,为直角三角形的三边,且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④h b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是( )A.1 B ．2 C ．3 D.4二.填空题7．若△AB Ｃ中,()()2b a b a c -+=，则∠B ＝＿＿_＿＿_＿__＿_＿．8．如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1，则网格上的△ＡBC 是______三角形．９.若一个三角形的三边长分别为１、a 、8(其中a 为正整数），则以2a -、a 、2a +为边的三角形的面积为___＿__.10.△ABC 的两边a b ，分别为5,12，另一边c 为奇数,且a b c ++是3的倍数，则c 应为_＿___＿，此三角形为______.11.有两根木条，长分别为６０cm 和80cm ,现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x (钝角所对的边）长度的取值范围___＿_＿___．12． 如果线段a b c ，，能组成一个直角三角形,那么2,2,2c b a ＿____＿＿_组成直角三角形.（“能”或“不能”）.三.解答题13．已知a b c 、、是△ＡB Ｃ的三边,且222244a c b c a b -=-,试判断三角形的形状．14．观察下列各式:322345+=,2228610+=，22215817+=,222241026+=,…,你有没有发现其中的规律?请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子.15．在等边△ABC 内有一点P,已知PA=３,ＰＢ=4，ＰC=5.现将△ＡＰB 绕Ａ点逆时针旋转60°,使Ｐ点到达Q 点,连P Ｑ，猜想△PＱC 的形状,并论证你的猜想.(答案与解析)一.选择题1.(答案)Ｄ；(解析）根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断.2．(答案)D ；(解析)D 选项不满足勾股定理的逆定理.3.(答案)C;(解析)度数之比为1:2:２，则三角形内角分别为36°:72°:72°4.（答案)B ；(解析)22222228,20,5,13,AB CD EF GH AB EF GH ====+=,所以这三条线段能构成直角三角形．5.(答案)Ｃ;(解析）22222272425152025+=+=，.6．(答案）C ；(解析)因为222a b c +=，两边之和等于第三边,故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误;因为a b c +>,所以c b a ,,能组成三角形,②正确；因为ab ch =,所以2222222a ab b h c ch h+++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确;因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确．二．填空题7．（答案)９0°;(解析)由题意222b a c =+,所以∠B=９0°.8．(答案)直角;(解析）2AB =13,2BC =52,2AC =６5，所以222AB BC AC +=.9.(答案)２4;（解析)∵7＜a ＜９,∴a ＝8.1０．(答案）1３;直角三角形;(解析）７＜c ＜1７.１１.(答案)100cm <x ＜140cm ；(解析)因为60,80，１０0构成直角三角形,则钝角三角形的最长边应该大于100cm ,再根据两边之和大于第三边，所以x <60cm +8０cm =1４０cm ．１2.(答案)能；(解析)设c 为斜边,则222c b a =+，两边同乘以41，得222414141c b a =+，即222)2()2()2(c b a =+ . 三．解答题1３．（解析)解：因为222244a c b c a b -=-，所以()()()2222222c a b a b a b -=+-()()222220a b a b c -+-=所以22a b =或222a b c +=，此三角形为等腰三角形或直角三角形.14.(解析）解:222351237+=，()()()22222112111n n n ⎡⎤⎡⎤+-++=++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(n ≥1且n 为整数) 15.（解析）解:因为△ＡPB 绕A 点逆时针旋转60°得到△AQC,所以△APB≌△AQC,∠PAQ=60°, 所以AP=A Ｑ＝P Ｑ=3，BP ＝CQ=4,又因为PC ＝5，222PQ CQ PC +=所以△PQC 是直角三角形.。
勾股定理题型总结【范本模板】
勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理—-揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。
（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和。
从这两种形式来看，有“形的勾股定理"和“数的勾股定理”之分。
（2)定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。
②证明三角形中的某些线段的平方关系.③作长为n 的线段.(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。
） 2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。
(2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。
(3）勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。
要注意叙述及书写格式。
运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c )②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形. 若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。
补充知识:当222c b a >+时,则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形.（4）通过总结归纳,记住一些常用的勾股数.如：3，4，5；5，12,13；6，8，10；8,15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。
勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数)② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的:1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系 （1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。
勾股定理的逆定理
18.2 勾股定理的逆定理知识点1 互逆命题在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真.知识点2 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 勾股定理的逆定理——直角三角形的判别条件定理:如果三角形的边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.解读:(1)作用:可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形.(2)用较短两边的平方和与最大边的平方进行比较.(3)条件中没有涉及直角三角形,结论是直角三角形.(4)勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:联系:①两者都与三角形的三边关系a2+b2=c2有关;②两者都与直角三角形有关.区别:①勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边的数量关系,即a2+b2=c2.②勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是否是直角三角形的一个有效的方法.(5)应用:①现实生活中,在没有测量角的仪器的情况下,常利用勾股定理的逆定理来确定直角(或垂线).②勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.知识点4 勾股数概念:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.解读:(1)勾股数满足两个条件:①正整数;②满足a2+b2=c2.(2)常见的勾股数:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17;9,40,41;…(3)小窍门:记住常见的勾股数可以提高做题速度.(4)一组勾股数中各数扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数,如当k=1,2,3,…,n时,下列各组数还是勾股数,{3k,4k,5k},{l5k,l2k,l3k},…延伸:(1)几个求勾股数的常见公式:①n2-1,2n,n2+1(n≥2,n.为正整数);②2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n是正整数);③m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m、n都是正整数).(2)小窍门:①有最小的勾股数(3,4,5),没有最大的勾股数.②勾股数不能全是奇数,但可以全是偶数.③勾股数中不可能只有两个偶数.一、选择题1.以下面各组数为边长的三角形,能组成直角三角形的个数是( )①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,在满足下列条件下,不是直角三角形的是( )A.a :b :c =3:4:5B.a :b :c =9:12:15C.∠A :∠B :∠C =3:4:5D.∠A :∠B :∠C =1:2:33.在△ABC 中,∠A :∠B :∠C =2:1:3, a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,则有( )A.b 2+a 2=c 2B.c 2=3b 2C.3a 2=2c 2D.c 2=2b 24.等腰三角形底边上的高为1cm,周长为4cm,则三角形的面积是( )A.14cm 2B.10cm 2C.1cm 2D.23cm 45.如图所示,已知AB ⊥CD , △ABD 、△BCE 都为等腰三角形,如果CD =7,BE =3,那么AC 的长为( )A.8B.5C.3D.46.下列说法中,正确的是( )A.三角形两条边的平方和等于第三条边的平方B.如果一个三角形两条边的平方差等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形C.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c , 若a 2+b 2=c 2,则∠A =90°D.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,若c 2-a 2=b 2,则∠B=90°7.把直角三角形的三边都扩大n 倍( n >0),得到的三角形是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定8.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先回家拿了钱去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟.小芳从公园到图书馆拐的角是( )A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定9.如图所示,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a ,较长的直角边为b ,那么(a +b )2的值为( )A.13B.19C.25D.16910.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棍,选出三根首尾连接,最多可搭成的直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.411.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )A.12,15,27B.32,42,52C.5a, l2a, l3a(a>0)D.1,2,312.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )A.∠A=∠B-∠CB.∠A:∠B:∠C=1:1:2C.a:b:c=1:1:2D.b2=a2-c213.已知在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论无法判断的是( )A.△ABC是直角三角形,且AC为斜边B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°C.△ABC的面积为60D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°14.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列说法错误的是( )A.∠C=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b15.若△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1(m>1),则下列结论正确的是( )A.△ABC是直角三角形,且斜边的长为m2+ 1B.△ABC是直角三角形,且斜边的长为2mC.△ABC是直角三角形,但斜边的长需由m的大小确定D.△ABC无法判定是否是直角三角形二、填空题1.若△ABC三边长为a、b、c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为_______三角形.2.若三角形三边之比为3:4:5,则该三角形为________三角形;若三角形三角之比为1:2:3,则该三角形为__________三角形.3.三角形三边分别为6、8、10,则最长边上的高为__________.4.三边长为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(其中m>n>0)的三角形为_______三角形.5.请任意写出三组勾股数_______,________,_________.6.一直角三角形的两直角边分别为9、12,该三角形的周长为_________.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则斜边上的高是__________cm.8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,AD⊥AB,AD=9cm,BD=15cm,则AC=-_________cm.9.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是_________.10.传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别是______厘米,_________厘米,_________厘米,其中的道理是________.11.一条对角线长39cm,一条边长是36cm的矩形的周长为________cm.12.三角形三边长为a+1,a+2,a+3,当a=_________时,此三角形为直角三角形.13.在△ABC中,三边为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为________.14.在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=l2cm,则△ABC的面积为_______.15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2, CD=1.5,BD=2.5,则AC等于___________.16.将一根长24cm的筷子,置于直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中(如图所示).设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围是__________.17.直角三角形的三边长分别是a-b,a,a+b,其周长为24cm,则面积为________cm2.三、解答题1.试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形.2.已知△ABC的三边的长分别为a、b、c,且满足关系式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P为BC上一点,求证:PB2+PC2=2P A2.4.如图所示,CD是△ABC的边AB上的高,且CD2=AD·DB.求证:∠ACB=90°.5.求证a=m2-n2, b=m2+n2,c=2mn(m>n>0)是一个直角三角形的三边.6.如图所示,如果只给你一把带刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角,简述你的作法.7.如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥BC,且AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,求四边形ABCD的面积.8.如图所示,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走AB、BC两条路可到达公路,经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km.现需修建一条公路使学校B到公路的距离最短,请你帮助学校B设计一种方案,并求出公路的长.9.如图所示,一个池塘呈三角形形状,三角形的边长分别为6m、8m、10m,距池塘边缘5m 内的土地上栽着树,问池塘连同树木共占土地多少m2？(结果精确到1m2,π=3.14)10.如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且1,4EC BC试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.11.3,4 ,5 32+42=525, 12 , 13 52+122=327,24 ,25 72+242=2529,40 ,41 92+402=412……21, b ,c212+b2=c2(1)试找出它们的共同点,并说明你的结论;(2)当a=21时,求b、c的值.a b c第一组3=2×1+1 4=2×l×(1+1) 5=2×1×(1+1)+1第二组 5=2×2+1 12=2×2×(2+1) 13=2×2×(2+1)+1 第三组7=2×3+1 24=2×3×(3+1) 25=2×3×(3+1)+1 第四组9=2×4+1 40=2×4×(4+1) 41=2×4×(4+1)+1 … … … …根据以上勾股数组的组成傅点,你能求,出第七组勾股数的a 、b 、c 各是多少吗？第n 组呢？13.如图是一个零件的形状,校规这个零件中必须有AC ⊥BC ,工人师傅量得B 、C 两点距离为36,AD =12,CD =9,AB =39,∠ADC =90°.问:这个零件符合要求吗？并说明理由.14.如图所示,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,并且AB =4,1,4CE BC =F 为CD 的中点,连接AF 、AE 、EF ,△AEF 是什么三角形？请说明理由.15.甲、乙两船从港口A 同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船沿南偏东一角度航行,船速为12海里/时,2小时后,甲、乙两船相距40海里,问乙船的航行方向.16.如图所示,在△ABC 中,AB =40,BC =100,且BC 边上的中线长AD =30.(1)试说明2;ABC ABD S S ∆∆=(2)求△ADC 的面积.17.同学们在数学老师的带领下来到平坦的草原上游玩,他们发现前面有两棵大树,当地的牧'民告诉他们,这是两棵古老而特别的树,两楝树之间的距离为750 m,一部分同学以45 m/min 的速度向一棵大树走去,伺时,剩下的一部分同学以60m/min 的速度向另一棵大树走去,10min 后,两组同学同时到达目的地.问:(1)两组同学行走的方向是否成直角？(2)如果他们仍以原速度行走,至少还需要几分钟才能相遇？18.Tom 和Jerry 去野外宿营,在某地要确定两条互相垂直的路,而身边又没带直角尺,可利用的只有背包带,你能帮他们想一个简单可行的办法吗？19.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ,如图所示,现计划在该空地上种上草皮,经测量,∠A =90°,AB =3m,BC =12m,CD =13m,DA =4m.若每平方米草皮需要200元,问需要投人多少元.20.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状.解:∵222244a c b c a b -=-① ∴2222222()()()c a b a b a b -=+- ②∴222c a b =+③ ∴△ABC 是直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号:________;(2)错误的原因为___________;(3)本题正确的结论是_____________;21.观察下列两组勾股数:(1)3,4,5;5,12,13;7,24,25;…(2)6,8,10;10,24,26;14,48,50;…你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m 、n 的式子表示出来,你还能发现勾股数有什么特征？与同学交流.22.已知,如图△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,求△ABC 的面积.。
勾股定理的逆定理用处多
勾股定理的逆定理用处多一、用于判断三角形的形状例1 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足c b a c b a 262410338222++=+++，试判断△ABC 的形状？分析：判断△ABC 的形状一般从两方面考虑：一是从角的大小考虑；二是从边的关系考虑.而题目已知条件只提供了关于边的方程，可由该方程求出a 、b 、c 的特殊关系.解：∵c b a c b a 262410338222++=+++，∴016926144242510222=+-++-++-c c b b a a ，即0)13()12()5(222=-+-+-c b a .∴05=-a ，012=-b ，013=-c ，∴13,12,5===c b a .又22222169125c b a ==+=+，故由a 、b 、c 构成的三角形为直角三角形.二、用于判断一个角是直角例2 如图1，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝41CD ，试说明∠AEF ＝90°.分析：要说明∠AEF ＝90°，只要说明△AEF 为直角三角形.由勾股定理的逆定理，只要说明222AF EF AE =+即可.解：设正方形ABCD 的边长为a 4，则BE ＝CE ＝2a ，CF ＝a ，DF ＝3a .在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝162a ＋42a ＝202a ，在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋CF 2＝42a ＋2a ＝52a ，在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝162a ＋92a ＝252a .于是得AE 2＋EF 2＝AF 2，∴∠AEF ＝90°.三、用于求边长例3 如图2，已知△ABC 三边长为BC ＝6，AC ＝8，AB ＝10，求BC 边上的中线.分析：要求中线AD 的长，一般将AD 放在直角三角形中，由于题目已知条件未说明某角为直角，只知道三角形的三边，可通过勾股定理的逆定理分析三边能否得到某个直角三角形.解：∵AC 2＋BC 2＝2268+＝100＝AB 2，∴∠C ＝90°.又∵AD 为中线，∴CD ＝21BC ＝3， 则AD 2＝AC 2＋CD 2＝2238+＝73，∴AD ＝73.四、用于求面积例4 如图3，已知△ABC 中，AC ＝17cm ，AB ＝15cm ，BC 边上的中线AD ＝4cm ，求△ABC 的面积.分析：直接求△ABC 的面积很困难，若延长AD 至E 点，使DE ＝AD ，连接BE ，则可得到△ACD ≌EBD ，所以只需求出△ABE 的面积，即是△ABC 的面积.解：延长AD 至E 点，使DE ＝AD ，则AE ＝2AD ＝8cm ，连接BE.∵AD ＝DE ，∠ADC ＝∠EDB ，CD ＝BD ，∴△ACD ≌EBD （SAS ）∴BE ＝AC ＝17 cm.∵AE 2＋AB 2＝22158 ＝289＝AC 2，∴△ABE 为直角三角形，∴S △ABC ＝S △ABE ＝21AB×BE ＝21×15×8＝60cm 2.。
干货勾股定理的逆定理,常用的11公式是什么
干货勾股定理的逆定理，常用的11公式是什么勾股定理大家都非常熟悉，在高中学习数学的时候经常用到，那么勾股定理的逆定理是什么，来看一下！1勾股定理的逆定理如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角。
勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。
若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理是一个基本的几何定理，在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。
勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
2勾股定理常用的11个公式1.直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²;2.(3,4,5),(6,8,10)……3n,4n,5n(n是正整数)。
3.(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)……2n+1,2n^2+2n,2n^2+2 n+1(n是正整数)。
4.(8,15,17),(12,35,37)……2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1,[2(n+1)]^2+1(n是正整数)。
5.m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整数,m>n)。
6.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
勾股定理逆定理及其应用
勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
勾股定理
第四讲 勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。
例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。
勾股定理逆定理及应用
第2讲勾股定理逆定理及应用教学目标熟悉勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形，利用勾股定理解几何图形重难点分析重点：1、勾股定理的逆定理；2、勾股定理与最短距离问题；3、勾股定理的简单应用。
难点：1、直角三角形的判定；2、实际问题中构造直角三角形解决问题。
知识点梳理1、勾股定理的逆定理：（1）判断三边能否组成直角三角形；（2）根据三边关系构造直角三角形。
2、构造直角三角形解决几何问题3、勾股定理的简单应用（1）利用勾股定理逆定理求长度、面积；（2）最短路径问题；（3）实际应用。
知识点1：勾股定理与逆定理【例1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是【】A．1、2、3 B．5、12、13 C．1、1、2 D．6、7、8【随堂练习】1、以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是【】A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，92、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是【 】A ．5，12，14B ．6，8，10C ．7，24，25D ．8，15，173、下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是【 】A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．9，12，15D ．5，12，134、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是【 】A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，65、分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；其中能构成直角三角形的有【 】A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【例2】由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是【 】A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2C ．（b ＋c ）（b －c ）＝a 2D ．31=a ，41=b ，51=c【随堂练习】1、下面说法正确的是个数有【 】①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
数学
八年级 下册
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
数学
八年级 下册
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
数学
八年级 下册
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
数学
八年级 下册
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
数学 人教版 八年级 下册
目 录
CONTENTS
数学
八年级 下册
人教版
第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
数学
八年级 下册
数学勾股定理及逆定理
一、一周知识概述勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理:勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即c2=a2＋b2．它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．因为该题设没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．当两直角边分别为3cm，4cm时;当斜边为4cm，一直角边为3cm时2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；（5）面积等于两直角边乘积的一半．3、用尺规画长为的线段教材中介绍了用尺规画长为的线段的作法，对画长为（k为自然数）的线段，我们通常可将k写成两个自然数的平方和或平方差来解决．例如用尺规画长为的线段．因为21=25－4=52－22，所以画Rt△ABC，使一条直角边AC=2，斜边AB=5，则另一条直角边BC=；同理，因为37=36＋1=62＋12，所以画Rt△ABC，使两直角边AC=1，BC=6，则斜边AB=．4、数形结合思想三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的长．解：∵CD⊥AB于D，∠BCD=30°，∴BD=BC．设BD=x，则BC=2x．在Rt△BCD中，由勾股定理有BD2＋CD2=BC2，即点拨：这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便．例2、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中，PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2，∴BP2－BD2=PC2－DC2．∴BP2－PC2=36－9=27．∵AP=PC，∴BP2－AP2=AB2=27，∴AB=．点拨：连结BP，在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理，得到BP2－PC2=BD2－DC2=27，是解答本题的关键所在．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，BE=，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y．在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得在Rt△ABC中，．点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．2、构造直角三角形解题例4、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．解：如图，延长BC，AD交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．同理CE=2CD=2．在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，∴BE=．在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，∴DE=．∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．点拨：灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．例5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，则∠ACF=∠B=45°，BE=CF，∠BAE=∠CAF．又∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°．∵∠EAD=45°，∴∠BAE＋∠DAC=45°．∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°．在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD，∴ED=FD．又在Rt△CDF中，CD2＋CF2=FD2，∴CD2＋BE2=DE2.点拨：此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中．3、运用面积法解题例6、如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（）A．1B．3C．6D．无法求出解：依勾股定理知AC=．设点P到各边的距离为r，连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系，有S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC，即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC．得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．故选B．点拨：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法，因此显得十分直观、简捷．例7、如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且．求PD、PE、PF的长．解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=3，∴BC==5．设PF=x，PE=y，PD=z，则．①连结PA、PB、PC．∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC，∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC，即4x＋3y＋5z=12．②①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，配方，得∴PD=PE=PF=1．点拨：本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解．4、构造几何图形解答代数问题例8、设a、b、c、d都是正数，求证：．分析：题中出现线段的平方和，考虑构造直角三角形，利用勾股定理证明．证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）．在Rt△ABE中，．在Rt△BCF中，．在Rt△DEF中，．在△BEF中，BE＋EF>BF，即点拨：勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．勾股定理的逆定理一、一周知识概述1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．这就是勾股定理的逆定理．在叙述定理时，不能简单地将原命题(勾股定理)的条件和结论颠倒过来，写成“如果一个三角形的两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”．要是这样叙述，则条件中所说“直角边，斜边”等名词已承认三角形是直角三角形，而结论又为直角三角形，这样条件与结论就会混乱．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！2、逆命题和逆定理的概念把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题．一个真命题的逆命题不一定也是真命题．例如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题是“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，显然这个命题不是真命题，即为假命题．一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前一个是直角三角形的性质定理，后一个是直角三角形的判定定理，我们要善于比较这两个定理间的联系和区别．我们前面学习的角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等都是像这样的互逆定理，大家可以对照复习一下．对于那些不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，在叙述它们的逆命题时，可以把这些命题变为“如果……，那么……”的形式．例如“等边对等角”可以改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．二、重难点知识归纳1、勾股定理的逆定理的应用．2、逆命题和逆定理的概念．3、勾股数组．三、典型例题剖析1、利用勾股定理的逆定理证直角例1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．求△ABC 的面积．解：∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．在△ADC中，∴BC=BD＋DC=6＋15=21．点拨：已知三角形的三边长，常验证其中是否有两个数的平方和等于第三个数的平方，以便判断该三角形是否为直角三角形．例2、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．点拨：这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．例3、如图，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5．求∠BPC．解：将图中的△ACP绕顶点C按逆时针旋转60°，得△BP′C的位置．∵PC=P′C，∠PCP′=60°，∴△PP′C为正三角形．在△BP′P中，BP=4，PP′=PC=3，BP′=AP=5，∴△BP′P为Rt△．∴∠BPP′=90°，∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．点拨：由PC=3，PB=4，PA=5想到常见的勾股数组，但这三条线段不在同一个三角形中，但可以借助旋转将三条线段集中起来，由勾股定理的逆定理得到一个直角三角形．2、勾股数组例4、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形？解：∵(2n2＋2n＋1)－(2n2＋2n)=1＞0，(2n2＋2n＋1)－(2n＋1)=2n2＞0，∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．又∵(2n2＋2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2=(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．点拨：这里先作差比较确定最大边，其依据是：a－b＞0，则a＞b；a－b=0，则a=b；a－b＜0，则a＜b．实际上有时用这种方法还会有困难，对于不考虑过程仅需要答案的题，还可利用特殊值迅速解决．例5、(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=______，b=______，c=______；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．解：(1)n2－1；2n；n2＋1．(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明如下：∵a2＋b2=(n2－1)2＋4n2=n4－2n2＋1＋4n2=n4＋2n2＋1=(n2＋1)2=c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．点拨：解决此类问题的思路一般是观察→猜想→证明．例6、(2002，湖北省)如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．解：如图，延长AD至E，使DE=AD=6，连结CE．∵CD=BD，且∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD．∴AB=CE=5．点评：根据题设的条件，由中线联想到中线倍长，将分散的条件集中起来，由数据关系可判定△ACE是直角三角形，再在Rt△CDE中求CD的长就不难了．例7、写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．分析：先分清原命题的题设和结论，再把题设和结论互换位置，就得到原命题的逆命题．解答：(1)的逆命题是：如果ab=0，那么a=0．它是一个假命题．(2)的逆命题是：如果x2=16，那么x=4．它是一个假命题．(3)的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．(4)的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．它是一个假命题．(5)的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角．它是一个真命题．方法总结：写一个命题的逆命题的关键是分清题设和结论，再交换题设与结论的位置，必要时要加一些适当的语句，切忌不能生搬硬套．例8、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2)内错角相等，两直线平行；(3)等边三角形的三个角都等于60°．分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．方法总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 、如图四边形ABCD各边的长度分别为:3，4，12，13， ∠ABC=90°。 求四边形的面积。
4 、已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13． （1）求△ABC的面积． （2）求AB边上的高.
3.列举常见的勾股数。
（ 1） 3 ， 4 ， 5 （3）7 ，24, ，25
（2）5 ，12 ，13 （4）8 ，15 ，17
4.一个直角三角形斜边长为15，两直角边 之比为3：4，求两直角边的长。
9，12
方法总结:
1.勾股定理作用：
求边长,周长，面积
2.勾股定理逆定理的作用：
判断三角形的形状
学习过程
一 复习知识点 二 例题分析，巩固知识的应用 三 角边长分别 为3，4，则正方形ABEF的面积为 25 。
变式：在Rt△ABC中， 两边长分别为3，4，则 第三边长为 。
2.如果一个三角形三边分别为5，12， 13，那么这个三角形的面积为 30 。
典型例题： 例1： 如图，在△ABC中，∠ACB=90º ， CD⊥AB， D为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC的面积； ②斜边AB的长；③斜 边AB上的高CD的长。
A
D
例 2： 如右图,已知 AB⊥BC,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12；求四 边形ABCD的面积.
D A
B
C
例3： 如图所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半 径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到 上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最 短路程是多少？（π的值取3） B C B
A
A
例4：
小结与反思
通过本节课的学习，你有什么收获？与大家分享。
练习 1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长 为 。