泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函
泛函分析(证明)答案
三、证明
1.若(,)x ρ是度量空间，则1d ρρ
=
+也使X 成为度量空间。
证明：,,x y z X ∀∈
显然有 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y =当且仅当x y =。 （2）(,)(,)d x y d y x = （3）由1()111t f t t
t
==-
++，(0)t >关于t 单调递增，得
(,)
(,)(,)
(,)1(,)
1(,)(,)
x z x y y z d x z x z x y y z ρρρ
ρρρ+=
≤
+++
(,)
(,)
1(,)1(,
)
x y y z x y y z ρρρρ
≤
+
++
(,)(,)
d x y d y z =+ 故d 也是X 上的度量。
2、 设H
是内积空间，,,,n n x x y y H ∈，则当,n n x x y y →→时，(,)(,)n n x y x y →，
即内积关于两变元连续。
证明：22
|(,)(,)||(,)|||||||||n n n n n n x y x y x x y y x x y y -=--≤-⋅-
已知 ,n n x x y y →→，即||||0,||||0n n x x y y -→-→。
故有 2
|(,)(,)|0n n x y x y -→
即 (,)(,)n n x y x y →。
3.考虑[,]C a b 上的非线性积分方程
()(,,())(b a
x t k t s x s d s t
λϕ-=⎰
其中[,],(,,)C a b k t s ϕω∈是[,][,]a b a b R ⨯⨯上的连续函数，满足
泛函分析期末复习提要
泛函分析期末复习提要
一、距离空间与拓扑空间
(一)教学内容
1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。
6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求
1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间
(一)教学内容
1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p
：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
有界线性算子和连续线性泛函.ppt
x0
x0
令
y
x x
，则
y 1 且 y A(T ) ，所以
T sup T (x) sup Tx
xA(T ) x 1
xA(T ) x 1
反之若 x A(T), x 1 ，则由（5）式
Tx T x T
所以
sup Tx T（8）
xA(T ) x 1
由（7）和（8）式，得知（6）式成立，证毕。
特 别 地 ,有 界 线 性 泛 函 是 特 殊有的界 线 性 算 子 .
3 相关定理
定 理 1 设T是线性算子,则T有界的充分必要条件是T
将DT 中任意有界集A映成Y中有界集T A. 定 理 2 设T是线性算子,则T在DT 上连续的充分必要
条件是T在0处连续. 定 理 3 设T是线性算子,则T有界的充分必要条件是
教学难点： 有界线性算子和连续线性泛函的两个充要条件的证明过程
课型： 新课型
教学方法：讲解法
I 线性算子与线性泛涵的定义
定义1 设X和 Y是两个同为实（或复）的线性空间，A 是 X 的线性子空间，T为 A
到 Y中的映射，如果对任何x, y A，及数 ，成立
T (x y) T (x) T ( y)
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3
有界线性算子和连续线性泛函 有界线性算子空间和共轭空间 广义函数大意
泛函3-6,3-7,3-8,3-9,4-4
有界集映成Y中的列紧集，则称 为紧线性 有界集映成 中的列紧集，则称T为紧线性 中的列紧集 算子或全连续算子。 算子或全连续算子。
在有限维赋范空间上， 在有限维赋范空间上，任何线性算子 都是有界的，把有界集映成有界集， 都是有界的，把有界集映成有界集，而在 有限维赋范空间中， 有限维赋范空间中，任何有界集都是列紧 集，因此定义在其上的线性算子都是紧线 性算子。 性算子。 在无穷维赋范空间X中，由于列紧集 在无穷维赋范空间 中 必是有界集，所以紧线性算子是有界的， 必是有界集，所以紧线性算子是有界的， 但有界线性算子不一定是紧算子。 但有界线性算子不一定是紧算子。
6.4 定理 设X是有限维赋范空间，而Y是任 是有限维赋范空间， 是有限维赋范空间 是任 意的赋范空间.如 是线性算子， 意的赋范空间 如 T : X → Y 是线性算子， 是连续的. 则T是连续的 是连续的 6.5 定理 有限维赋范空间 中，有界闭集是紧集 有限维赋范空间X中
6.6 Riesz引理 设Y是赋范空间 的真子空间，则 引理 是赋范空间X的真子空间 是赋范空间 的真子空间，
4.10 闭图象定理
都是Banach空间， Banach空间 设 X , Y 都是Banach空间，
是闭线性算子（ T : X → Y 是闭线性算子（即 T 线性且图象 是闭集），则 是连续的。 是闭集），则 T 是连续的。 ），
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要
一、填空
1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果，则称集M 在集E 中
稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是空间。
2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若，则称M 是第一纲集。
3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =，
则T 为算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是。)
4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则
T 为算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是。)
5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果
存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n =，若存在(,)T
B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有，则称{}n T 强收敛于T 。
7. 完备的赋范线性空间称为空间，完备的内积空间称为空间
8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T =
9. 设X 是内积空间，则称是由内积导出的范数。
10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是。
11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足。
12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足时，
泛函分析知识点
泛函分析知识点 知识体系概述
（一）、度量空间和赋范线性空间
第一节度量空间的进一步例子
1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：
（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;
（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);
（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);
则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ）
2.几类空间
例1
离散的度量空间 例2
序列空间S 例3
有界函数空间B(A) 例4
可测函数空M(X) 例5
C[a,b]空间即连续函数空间 例6
l 2 第二节
度量空间中的极限，稠密集，可分空间
1. 开球
定义设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义
U(x 0,ε)＝{x ∈X|d(x,x 0)<ε}
为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域.
2. 极限
定义若{x n }⊂X,∃x ∈X,s.t.()lim ,0n n d x x →∞=则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集
定义若()(),sup ,x y A
d A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界
4. 稠密集
定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间
定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节连续映射
1.定义设X=(X,d),Y=(Y,~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x ，有
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介
本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录
第一篇实变函数
第一章集合
1 集合的表示
2 集合的运算
3 对等与基数
4 可数集合
5 不可数集合
第一章习题
第二章点集
1 度量空间，n维欧氏空间
2 聚点，内点，界点
3 开集，闭集，完备集
4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
5 康托尔三分集
第二章习题
第三章测度论
1 外测度
2 可测集
3 可测集类
4 不可测集
第三章习题
第四章可测函数
1 可测函数及其性质
2 叶果洛夫定理
3 可测函数的构造
4 依测度收敛
第四章习题
第五章积分论
1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介
2 非负简单函数的勒贝格积分
3 非负可测函数的勒贝格积分
4 一般可测函数的勒贝格积分
5 黎曼积分和勒贝格积分
6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理
第五章习题
第六章微分与不定积分
1 维它利定理
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
1
第1章预备知识
1.1集合的一般知识
1.1.1概念、集合的运算
上限集、上极限
下限集、下极限
1.1.2映射与逆映射
1.1.3可列集
可列集
集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构
1.2.1建立实数的原则及实数的序关系
阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理
上确界sup E（定义1.5）
下确界inf E
确界原理（定理1.7）
1.2.3实数集的度量结构
数列极限与函数极限
单调有界原理
区间套定理
Bolzano-Weierstrass定理
Heine-Bore定理
Cauchy收敛准则
1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续
函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛
逐点收敛（定义1.11）
一致收敛（定义1.12）
Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质
极限与积分可交换次序
1.4 Lebesgue积分
1.4.1一维点集的测度
开集、闭集
有界开集、闭集的测度m G m F
外测度内测度
可测集（定义1.16）
1.4.2可测函数
简单函数（定义1.18）
零测度集
按测度收敛
1.4.3 Lebesgue积分
有界可测集上的Lebesgue积分Levi引理
Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）R可积、L可积
1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理1.5 空间
Lp空间（定义1.28）
Holder不等式
Minkowski不等式（性质1.16）
2
第2章度量空间与赋范线性空间
2.1度量空间的基本概念
第三章-泛函分析初步-原始版
第三章：泛函分析初步（参见教材Ch6）
§3.1 线性空间
定义（线性空间）：设W ≠∅（W 为非空集合）
（1） W 中元对“+”构成交换群，即对,,W ∀∈X Y Z ，有
ⅰ）W +∈X Y （加法封闭性）
ⅱ）()()++=++X Y Z X Y Z （结合律） ⅲ）W ∃∈0，使0+X X =（存在零元） ⅳ）W ∃-∈X ，使()-+=0X X （存在逆元） ⅴ）+=+X Y Y X （交换律）
（2） 对,,,W C αβ∀∈∀∈X Y (复数域)有：
ⅵ）()()W αβαβ=∈X X ⅶ）()αβαβ+=+X X X ⅷ）()ααα+=+X Y X Y ⅸ）⋅1X X =
称W 为线性空间，若,C αβ∈，则W 为复线性空间，若,R αβ∈，则
W 为实线性空间。
注：1）加法封闭＋数乘封闭,i i W C α⇔∀∈∀∈X ，有1N
i i i W α=∈∑X 。
2）[]C ,a b （[],a b 上所有连续函数的全体）是线性空间。 3）{}12,,
,n span X X X 为由12,,
,n X X X 张成的线性空间。
定义（线性算子）：线性空间上的算子为L 线性算子
{}11
N N
i i i i i i αα==⎧⎫⇔=⎨⎬⎩⎭∑∑L L X X
（3-1）
推论：零状态线性系统⇔系统算子为线性算子。
§3.2 线性子空间
定义（线性子空间）：设V W ∅≠⊂，V 是W 的线性子空间
⇔对,,,W C αβ∀∈∀∈X Y ，有V αβ∈+X Y 。
定义（直和）：设12,,,p W W W 是W 的子空间，若W ∀∈X 对，X 可唯一
泛函分析23
题 年 23
第三章 内积空间和希尔伯特空间 §5 自伴算子、酉算子和正常算子 月 日星期 课 型 第 讲授课 节
授课时间 课 次
教学目的
掌握自伴算子,酉算子和正规算子的定义 Ⅰ 引入 在实际应用中比较重要的算子是自伴算子,酉算子和正常算子. Ⅱ 新课 三、酉算子 酉算子也具有一些较好的性质. 定理 4 设 U 和 V 为复 Hilbert 空间 X 上两个酉算子,那么 （1） U 是保范算子，对于任意 x X ,有 || Ux |||| x || ； （2）当 X 0 时， || U || 1
主要教学内容
源自文库
（3） U
1
是酉算子；
（4） UV 是酉算子； （5）若 U n 是 X 上一列酉算子,且 U n A ,则 A 是酉算子. 由上面定可知,酉算子一定是保范的,但保范的线性算子不一定是酉算子. 三、正常算子 定理 5 设 T 为复 Hilbert 空间 X 上有界线性算子, A iB 为 T 的笛卡尔分 解，则 T 为正常算子充分必要是 AB =BA . 定理 6 设 T 为复 Hilbert 空间 X 上有界线性算子, A iB 为 T 的笛卡尔分 解，则 T 为正常算子充分必要是对于任意 x X ,有 || T * x |||| Tx || . 教学重点与难点 教学方法 课后作业与 下次课预习内容 正规算子的性质. 讲授式. 做课后习题
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结
第一部分 空间及其性质
泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间
（1）距离空间 （集合+距离）
！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈
(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；
(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；
(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）
！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X
是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立
(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；
(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。 赋范线性空间的典型代表：n ¡
空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,]
)p L ab 空间
（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
有界线性算子和连续线性泛函.ppt
代数中称为线性变换，算子T 显然由方阵 (t ) 唯一确定，有时 就记为 T (t )。
反过来，设 T 是 Rn到 Rn中线性算子，令
Te t1e1 t2e2 tnen 1,2,, n
n
n
n
则当 x vev 时，由 T 的线性性可得 Tx yueu ，这里 y t ，即 T 是对应于
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
❖ §1 ❖ §2 ❖ §3
有界线性算子和连续线性泛函 有界线性算子空间和共轭空间 广义函数大意
第一节 有界线性算子与 连续线性泛涵
1 线性算子和线性泛函的定义
设X和Y是两个同为实或复的线性空间, DT 是X的线
性子空间,T : DT Y ,x,y X ,及数α, β,成立 T αx βy αTx βTy,
例5 设 Rn是 n 维线性空间，在 Rn中取一组基 {e1,,en}，则 对任何的 x R，n
n
x可以唯一的表示成
x vev v1
，对每一
个
nn 方阵
(t
)。作R n到
Rn
中算子
T 如下： 当 x n vev 时，令
n
y Tx yueu
v1
1
n
其中 y t , 1,2,n. 显然这样定义的 T 是线性算子， 这个算子在线性 1
1 T n
t 特别当取 为 t0 时有
泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函
泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函
第3章 连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子
在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵
111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){}
,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。
若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x Tx
F x D T ααα=∀∈∈
泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函
泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函
第3章 连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1 连续线性算子与有界线性算子
在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵
111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
=
⎪
⎪⎝⎭
L L M M M L 对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){}
,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。
若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x Tx
有界线性算子和连续线性泛函
但
Txn n xn
令
yn
xn n xn
n 1,2,, 则
yn
1 0(n ) ，所以 yn
n
0(n ) ，
由 T 的连续性，得到 Tyn T 0 0(n ) ，但由于 T 是线性算子，又可以得到
对一切正整数n ，成立
Tyn
T ( xn ) Txn
例2 设 P[0,1]为 [0.1]区间上的多项式全体，对每个x P[0,1] 定义 (Tx)(t) d x(t) dt
由求导运算的线性性质，立即可知 T是P[0,1] 到 P[0,1] 中的 线性算子，称为微分算子， 如果任取 t0 [0,1] ，对任何 x P[0,1] 定义 f (x) x(t0 )则 f 是P[0,1]上线性泛函。 例3 对每个 x C[a,b] ，定义
代数中称为线性变换，算子T 显然由方阵 (t ) 唯一确定，有时 就记为 T (t )。
反过来，设 T 是 Rn到 Rn中线性算子，令
Te t1e1 t2e2 tnen 1,2,, n
n
n
n
则当 x vev 时，由 T 的线性性可得 Tx yueu ，这里 y t，即 T 是对应于
n
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用
学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间
（一）度量空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)
与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：
1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）
2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）
3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）
则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)
度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称
为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
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第3章连续线性算子与连续线性泛函
本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景, 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。
3.1连续线性算子与有界线性算子
在线性代数中，我们曾遇到过把一个”维向量空间E"映射到另一个加维向
量空间E"的运算，就是借助于川行”列的矩阵
对F中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。
[定义3・1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间丫中的映射T 称为算子，D称为算子了的定义域，记为D(r),为称像集｛y|y = 7k,xeD(7')｝为算子的值域，记作T(D)或77)。
若算子T满足：
(1)T(x+y) = Tx+Ty e£)(T))
(2)T(ax) = (/rx(V 称了为线性算子。对线性算子，我们自然要求T(D)是X的子空间。特别地，如果了 是由X到实数(复数)域F的映射时，那么称算子T为泛函。 例3.1设X是赋范线性空间，a是一给定的数，映射T.x^ax是X上的线性算子，称为相似算子；当a = l时，称了为单位算子或者恒等算子，记作/。 例3・2 XfxeC[a,b],定义Tx(t) = 由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,列空间中的线性算子。若令 f (x) = [ x(T)dt(Vx e C[a,b]) 则/是C［a,b］上的线性泛函。 ［定义3.2］设X, Y是两个赋范线性空间，门X t X是线性算子，称T在兀点连续的，是指若e X,x tl—>x,则7\ T7k(” ts)；若丁在X上每一点都连续，则称了在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。 ［定理3・1］设X』是赋范线性空间，T是X的子空间D到丫中的线性算子, 若了在某一点x o e£)(r)连续，贝灯在D(T)±连续。 证明：对0xwD(T),设｛x”｝u£)(7'),且->x(n ->oo),于是-X + X o -->00),由假设T 在点连续，所以当"TS时，有 T (兀一X+勺)=%” 一％+矶 T 矶 因此，Tx.—Tx,即了在X点连续。由X的任意性可知，7*在D(T)上连续。 定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可山零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若 (X中零元)，则7\,T& (Y中零元)。 例3・3若T是/?维赋范线性空间X到赋范线性空间丫中的线性算子，则T在 X上连续。 证明：在X中取一组基｛知勺,…,£”｝，设 兀“ =S E X (m= 1,2,3,…) j-i 且x m—> 6(m—>s),即||x w| —>0(w —>oo),贝ij 丄 £(歼卜0 (〃+) 从而—>0(j = 1,2,3,•••”)(〃? ts) o 于是 IKII = |輕牝IS踽I側卽引T 0 (心。0) 因此，7兀T&(〃2TS),即丁在x = B处连续，进而T在X上每点连续。 ［定理3・2］设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射, 则T有界的充分必要条件是：存在常数M>0,使不等式成立，即 证明：必要性。因丁有界，所以丁将D中的闭单位球B1(^) = {x|||.v|| Y中的有界集，即像集厲(&)是Y中的有界集。记M=sup{||7\||："8］(&)}，此 由M的定义有 (3.1) B|J ||7x|| < M ||x||,而当x = &时，不等式(3.1)变成等式。故VxeD(T)有