2020年高考文科数学一轮复习精品练习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用 Word版含解析

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高考数学( 文科)一轮复习练习：第二章函数概念与基本初等函数第9讲含答案

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 答案 ①2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号).解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误. 答案 ①3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.解析设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 205.(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 166. A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 kmh ，B 的速度是 16 kmh ，经过________小时，AB 间的距离最短.解析设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 答案 2587.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________.解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号.答案108.(2015·北京卷改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是________(填序号).①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故①错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故②错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故③错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故④对.答案④二、解答题9.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15 3.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.10.(2015·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元).则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号.∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元.则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.解析设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，日均销售量为480－40(x －1)＝520－40x (桶)，则y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200，0＜x ＜13.当x ＝6.5时，y 有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 答案 11.512.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________.解析由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 x ＝15，y ＝1213.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资).解析当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *).当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润.答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 1614.(2016·淮安调研) 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P ≤20），－32P ＋40 （20＜P ≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P ≤20），⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P ≤26）， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元. (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.。

2020高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2-9函数模型及其应用模拟演练文

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2-9函数模型及其应用模拟演练文[A级基础达标](时间：40分钟)1．现有一组数据如下：( )B．v＝logtA．v＝log2tD．v＝2t－2C．v＝答案C解析取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝log2＝－1≠1.5；代入C，得v＝＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5，故选C. 2．[2017·河南模拟]根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16答案D解析(回顾检验法)∵＝15，故A>4，则有＝30，解得c＝60，A＝16，将c＝60，A＝16代入解析式检验知正确．故选D. 3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A．100元 B．110元 C．150元 D．190元答案D解析设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20000＝－5(x－90)2＋60500.故当x＝90时，ymax＝60500，此时售价为每件190元．4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3010)()A．3 B．4 C．5 D．6答案B 解析设至少要洗x次，则x≤，∴x≥≈3.322，因此需4次，故选B. 5．[2017·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A．3000元 B．3800元 C．3818元 D．5600元答案B解析由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800. 6．某生产厂商更新设备，已知在未来x(x>0)年内，此设备所花费的各种费用总和y(万元)与x满足函数关系y＝4x2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为________．答案4解析＝4x＋≥2＝32，当且仅当4x＝，即x＝4时等号成立．7．若某商场将彩电价格由原价(2250元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．答案270解析由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%)×80%－2250＝270(元)．8．[2017·盐城模拟]某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．答案180解析依题意，知＝，即x＝(24－y)，∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)(8<y<24)，∴当y ＝12时，S 有最大值为180.9．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，200≥3000，整理得5x －14－≥0，即5x2－14x －3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝·100＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x2 ＝9×104，故x ＝6时，ymax ＝457500元．10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年降低的百分比为x(0＜x ＜1)． [B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·云南联考]某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有，则m 的值为________．答案 10解析根据题意＝e5n ，令a ＝aent ，即＝ent ，因为＝e5n ，故＝e15n ，则t ＝15，m ＝15－5＝10.13．[2017·金版创新]“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a(a 为常数)，广告效应为D ＝a －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 a2解析令t ＝(t≥0)，则A ＝t2，∴D ＝at －t2＝－2＋a2，∴当t ＝a ，即A ＝a2时，D 取得最大值．14．[2017·佛山模拟]某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：万元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S(单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋，，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意，得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋，11－，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋＋2.解得k ＝18.(2)当0<x<6时，L ＝2x ＋＋2，所以L ＝2(x －8)＋＋18＝－2(8－x)＋＋18≤－2＋18＝6.当且仅当2(8－x)＝，即x ＝5时取得等号．当x≥6时，L ＝11－x≤5.所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．。

高考数学统考一轮复习第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用课时规范练(文,含解析)

学习资料第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用课时规范练A组——基础对点练1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析:由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．答案：D2．20世纪30年代,为了防范地震带来的灾害,里克特(C。

F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0,其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0。

001，测震仪测得某地地震的震级为4级,则该地震的最大振幅为（）A．6B．8C．10 D．12解析：由题意知，lg A－lg 0。

001＝4，所以lg A＝1,即A＝10。

故选C.答案：C3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时,可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7 B．8C．9 D．10解析：由题意，当生产第k档次的产品时,每天可获利润为y＝［8＋2(k－1）]［60－3（k－1)］＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N),配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．故选C 。

答案：C4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润（单位：元）分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为（） A ．11 000元 B ．22 000元 C ．33 000元D ．40 000元解析：设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x ）－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5（x －60)2＋33 000， ∴当x ＝60时,有最大利润33 000元,故选C. 答案：C5．今有一组数据如下：A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 错误!tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2答案：C6．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停（每次上涨10%)，又经历了n 次跌停（每次下跌10%）,则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用）为( ) A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a （1＋10%）n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×（1－10％）n ＝a ×1。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析

第二章函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆．所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误．答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元．则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立，则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ，则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0；当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%，所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15，所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意，所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6，即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。

2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲课后作业理含解析

第2章函数、导数及其应用第9讲A组基础关1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数之间关系的是( )A．y＝100 B．y＝502－50＋100C．y＝50×2 D．y＝100log2＋100答案 C解析对于A中的函数，当＝3或4时，误差较大．对于B中的函数，当＝3或4时误差也较大．对于C中的函数，当＝1,2,3时，误差为0，＝4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小．2．如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出，①中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的增长速度是越越慢的，正确；③中的增长速度是先快后慢再快，正确；④中的增长速度是先慢后快再慢，也正确，故②③④正确．选C.3．(2019·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 02－t30，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升答案 C解析由题意，∵当t ＝30时，污染物数量的变化率是－10ln 2，∴－10ln 2＝12p 0－p 030－0，∴p 0＝600ln 2，∵p (t )＝p 02－t30，∴p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2毫克/升．所以C 正确．4．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元(叫做税率%)，则每年销售量将减少10万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10 答案 A解析由(100－10)·70·x100≥112，解得2≤≤8.则的最小值为2.5．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f ()的图象是( )答案 D解析 ①当点P 在线段BC 上运动时，点P 到AB 的距离为，则y ＝12×4×＝2(0<<4)，其函数图象为过原点的一线段；②点P 在边CD 上时，点P 到AB 的距离不变，为4，则y ＝12×4×4＝8(4≤≤8)，其函数图象是平行于轴的一线段；③点P 在边DA 上时，点P 到AB 的距离为(12－)，则y ＝12×4×(12－)＝24－2(8≤≤12)，其图象是一线段．纵观各选项，只有D 选项图象符合．所以D 正确．6．(2019·山东泰安联考)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元答案 C解析甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.7．汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确．8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．答案1＋p1＋q－1解析设年平均增长率为，则(1＋)2＝(1＋p)(1＋q)，∴＝1＋p1＋q－1.9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长为________m.答案 20解析设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－，矩形花园的面积S ＝(40－)＝－2＋40＝－(－20)2＋400，当＝20 m 时，面积最大．10．某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)答案 148.4解析据题意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)．B 组能力关1．我们定义函数y ＝(表示不大于的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{}({}表示不小于的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为小时，则李刚应付费为(单位：元)( ) A．2[＋1] B．2(＋1)C．2{} D．{2}答案 C解析如＝1时，应付费2元，此时2[＋1]＝4,2(＋1)＝4，排除A，B；当＝0.5时，付费为2元，此时{2}＝1，排除D，故选C.2．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是( )答案 C解析依题意，当0≤a ≤1时，S (a )＝a 2－a2＋2a ＝－12a 2＋3a ；当1<a ≤2时，S (a )＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52；当a >3时，S (a )＝12＋2＋3＝112，于是S (a )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－12a 2＋3a ，0≤a ≤12a ＋12，1<a ≤2a ＋52，2<a ≤3112，a >3.由解析式可知选C.3．(2018·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 g)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________元/100 g. 答案 (1)120 (2)80解析根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎨⎧3600a ＋60b ＋c ＝11610000a ＋100b ＋c ＝8432400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎨⎧b ＝－2.4c ＝224a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14400a ＋120b ＋c ＝14400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.4．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量只与空闲率的乘积成正比，比例系数为(>0)．(1)写出y 关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求的取值范围．解 (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为只，则畜养率为xm，故空闲率为1－x m，由此可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<<m )． (2)由(1)知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ＝－k m (2－m )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km4.即当＝m 2时，y 取得最大值km4. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<＋y <m .因为当＝m 2时，y ma ＝km4，所以0<m 2＋km4<m ，解得－2<<2. 又因为>0，所以0<<2. 故的取值范围为(0,2)．C 组素养关1．某种出口产品的关税税率为t ，市场价格(单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－t )(－b )2，其中，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定，b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格近似满足关系式：q ＝2－，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧1＝21－0.75k 5－b 22＝21－0.75k7－b 2⇒⎩⎨⎧1－0.75k5－b 2＝01－0.75k7－b2＝1.解得b ＝5，＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(－5)2＝2－，所以(1－t )(－5)2＝－⇒t ＝1＋xx －52＝1＋1x ＋25x－10.而f ()＝＋25x在(0,4]上单调递减，所以当＝4时，f ()有最小值414，故当＝4时，关税税率有最大值为500%.2．(2019·安徽铜陵月考)已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为R ()万美元，且R ()＝⎩⎨⎧400－6x ，0<x ≤407400x －40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解 (1)当0<≤40时，W ＝R ()－(16＋40)＝－62＋384－40，当>40时，W ＝R ()－(16＋40)＝－40000x－16＋7360.所以W ＝⎩⎨⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40－40000x －16x ＋7360，x >40.(2)①当0<≤40时，W ＝－6(－32)2＋6104，所以W ma ＝W (32)＝6104；②当>40时，W ＝－40000x－16＋7360，由于40000x＋16≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16，即＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5760.综合①②，当＝32时，W 取最大值为6104万美元．。

2020版高考文科数学第一轮复习练习：第二章函数的概念与基本初等函数课后跟踪训练8

当 x＝－5 时，f(x)取最大值 37. (2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2 的对称轴为 x＝－a，
因为 f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5 或－a≥5，即 a≥5 或 a≤－5.
10．已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在[0,1]上有最大值 2，求 a 的值．
[★答案★] (－∞，－5]
三、解答题
9．已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；
(2)若 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数 a 的取值范围．
Байду номын сангаас[解] (1)当 a＝－1 时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．因为 f(x)的对称轴为 x＝1，所以当 x＝1 时，f(x)取最小值 1；
B．偶函数 D．定义域内的增函数
[解析] ∵函数 f(x)＝(a－1)xb 为幂函数，
∴a－1＝1，得 a＝2，
又∵2，12在函数 f(x)的图象上，
∴2b＝12，得 b＝－1.
∴f(x)＝1x，
∴f(x)为奇函数，在定义域内不具有单调性．故选 A.
[★答案★] A
12．(2018·湖北荆州模拟)二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(－x＋2)，
数 a 满足的条件是( )
A．a≥8
B．a≤8
C．a≥4
D．a≥－4
[解析] 函数图象的对称轴为 x＝a2，由题意得2a≥4，解得 a≥8.
故选 A.
[★答案★] A
4．(2019·江西模拟)若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同一坐标系中的图象如图所示，则 a、b、c、d 的大小关系是( )

2020年高考数学(文)一轮复习讲练测专题2.9 函数模型及其应用(讲) 含解析

2020年高考数学（文）一轮复习讲练测专题2.9 函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较性质知识点二种常见的函数模型【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.考点一利用函数模型解决实际问题【典例1】【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15. 【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【变式1】（2019·河北衡水中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值.【解析】(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 考点二构建一、二次函数模型解决实际问题【典例2】（2019·山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【解析】(1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数．又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元．(y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润；当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．【方法突破】(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．【变式2】（2019·河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【解析】(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b (a ≠0)，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 考点三构建指数函数、对数函数模型解决实际问题【典例3】（2019·长春外国语学校模拟）某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时【答案】 C【解析】由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. 【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．【变式3】（2019·江苏省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110代入，即⎝⎛⎭⎫12m10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年. 考点四构建分段函数模型解决实际问题【典例4】（2019·西安市第一中学模拟）某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z.当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －x ≤6，x ∈，－3x 2＋68x －＜x ≤20，x ∈(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式4】（2019·昆明第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解析】(1)由总成本p (x )＝⎝⎛⎭⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p x x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480， m ＞30当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.。

高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理

必修(bìxiū)部分
第二章函数(hánshù)、导数及其应用
第九节函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值．答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)

2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.9函数模型及其应用学案文

2.9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( )(3)当a>1时，不存在实数x0，使a x0<x a0<log a x0.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A．2015年B．2011年C．2010年D．2008年答案 B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P 107T 1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.156.126y1.5174.04187.51218.01A ．y ＝2x －2B ．y ＝2(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2016年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17 故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取得最小值－20000，故国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值．提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例 (2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解 (1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(5－b )2＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 8(7－b )2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5.(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5) 2＝211－x2 ，即(1－6t )(x －5)2＝11－x 2，化简得1－6t ＝11－x2(x －5)2＝12·22－x(x －5)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17(x －5)2－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316，所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316，即1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，即税率的最小值为19192.方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x(x ∈N )．(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人．题型3 对数函数模型典例某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235000在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升答案 B解析因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升．故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B ．(p ＋1)(q ＋1)－12C.pq D ．(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1.故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.01.02.03.0 y.240.5112.023.98 8.02则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元答案 B解析设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3.故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处答案 A解析设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元答案 D解析设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元答案 B解析由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)． (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4，所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )；当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )；当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。

2020版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2_9函数模型及其应用课件理新人教版

A．10.5 万元
B．11 万元
C．43 万元
D．43.025 万元
解析设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋ 32＝－0.1(x－221)2＋0.1×2412＋32。因为 x∈[0,16]，且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元。故选 C。
方向 3：构建指数函数、对数函数模型【例 5】 (1)世界人口在过去 40 年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据 lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)( ) A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%
解析 (1)设每年人口平均增长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边取以 10 为底的对数，则 40lg(1＋x)＝lg2，所以 lg(1＋x)＝l4g02≈0.007 5，所以 100.007 5 ＝1＋x，得 1＋x≈1.017，所以 x≈1.7%。故选 C。
求解已给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数。 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数。 3．利用该模型求解实际问题。
【变式训练】某食品的保鲜时间 y(单位：h)与储藏温度 x(单位：℃) 满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)。若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 h，在 22 ℃的保鲜时间是 48 h，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是______ h。
果从 2018 年开始，以后每年的国内生产总值都按 6.5%的增长率增长，那么
2020 年的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)( )

【2020】最新高考数学一轮复习：第二篇函数导数及其应用第9节函数模型及其应用训练理

4.某工厂20xx年生产某产品2万件,计划从20xx年开始每年比上一年增产20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( D )(A)2021年(B)2022年 (C)2023年 (D)2024年解析:设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,所以n>≈6.031 6.所以n=7,即20xx+7=2024.所以从2024年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.5.(20xx·山西长治期中)制作一个面积为1 m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是( C )(A)4.6 m (B)4.8 m (C)5 m (D)5.2 m解析:设一条直角边为x,则另一条直角边是,斜边长为,故周长C=x++≥2+2≈4.82,当且仅当x=时等号成立,故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m.故选C.6.(20xx·长春联合测试)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )(A)略有盈利(B)略有亏损(C)没有盈利也没有亏损(D)无法判断盈亏情况解析:设该股民购这只股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.故选B.7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.解析:设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得=,解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当x=20时,Smax=400(m2).答案:208.某人根据经验绘制了20xx年元旦前后,从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.解析:前10天满足一次函数关系式,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷,则沙漠增加面积y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( C )(A)y=200x (B)y=100x2+100x(C)y=100×2x (D)y=0.2x+log2x解析:对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,相差较大,不符合题意;对于B,x=1时,符合题意,x=2,3时,相差较大,不符合题意;对于C,x=1,2,3时,y值都近似符合题意;对于D,x=1,2,3时,相差较大,不符合题意.故选C.10.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t h间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为(已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( B )(A)26小时(B)33小时 (C)36小时 (D)42小时解析:由题意,前5个小时消除了10%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k,所以k=-ln 0.9;则P=P0,当P=50%P0时,有50%P0=P0,所以ln 0.9=ln 0.5,所以t=≈33,即污染物减少50%需要花33小时.故选B.11.已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=;投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为.解析:设投资乙商品x万元(0≤x≤20),则投资甲商品(20-x)万元.利润分别为Q=(a>0),P=,因为P+Q≥5,0≤x≤20时恒成立,则化简得a≥,0≤x≤20时恒成立.(1)x=0时,a为一切实数;(2)0<x≤20时,分离参数a≥,0<x≤20时恒成立,所以a≥,a的最小值为.答案:12.(20xx·南昌二模)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从20xx年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.解析:由题知t=-1,(1<x<3),所以月利润:y=(48+)x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-[16(3-x)+]≤45.5-2=37.5,当且仅当x=时取等号,即月最大利润为37.5万元.答案:37.513.某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n个月的二次函数g(n)=n2+kn(k 是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.(1)求前8个月的累计生产净收入g(8)的值;(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.解:(1)据题意g(3)=32+3k=309,解得k=100,所以g(n)=n2+100n,(n≤5)第5个月的净收入为g(5)-g(4)=109(万元),所以,g(8)=g(5)+3×109=852万元.(2)g(n)=即g(n)=若不投资改造,则前n个月的总罚款3n+×2=n2+2n,令g(n)-500+100>70n-(n2+2n),得g(n)+n2-68n-400>0.显然当n≤5时,上式不成立;当n>5时,109n-20+n2-68n-400>0,即n(n+41)>420,又n∈N,解得n≥9.所以,经过9个月投资开始见效.。

2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第2章函数 9

课时作业9函数的图象一、选择题1．(2019年广东清远市教学质量检测)下列图象可作为函数图象的是()解析：根据函数定义，定义域中的每一个自变量x有且仅有唯一一个函数值y与之对应，四个选项中只有A选项具备此性质，其余三个选项均出现定义域中的一个自变量x有两个或两个以上的函数值y 与之对应，所以不可能是函数图象，本题选择A选项．答案：A2．(2019年广东省实验中学月考)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就匀速跑步，等跑累了再匀速走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离d，横轴表示出发后的时间t，则图2中的四个图形较符合该学生走法的是()解析：当t＝0时，离学校的距离为d，舍去B，C；一开始跑步，与学校的距离直线下降比较快，所以选D.答案：D3．(2019年河北省张家口市高一上学期第一次月考)同班同村的两同学小强、小红某次上学所走路程s与时间t的函数关系如图1所示，则下列说法正确的是()图1A．小强比小红走的路程多B．小强比小红先到达终点C．小强、小红两人的平均速度相同D．小红比小强后出发解析：从图中直线可以看出：k小强>k小红，s小强＝s小红，小强的平均速度大于小红的平均速度，小强比小红后出发，跑了相同的路程，小强比小红先到达终点．故选B.答案：B4．(2019年湖北孝感模拟)如图2，在△ABC中，点O是△ABC 的内心，连接OB，OC过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是()图2解析：∵点O是△ABC的内心，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，∴BE＝OE，CF＝OF，∴△AEF的周长y＝AE＋EF＋AF＝AE＋OE＋OF＋AF＝AB＋AC，∵△ABC的周长为8，BC＝x，∴AB＋AC＝8－x，∴y＝8－x，∵AB＋AC>BC，∴y>x，∴8－x>x，∴0<x<4，即y与x的函数关系式为y＝8－x(0＜x<4)，故选B.答案：B5．(2019年甘肃张掖月考)如图3①，在边长为4的正方形ABCD 中，点P以每秒2 cm的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图3②所示．当点P运动2.5秒时，PQ的长是()图3A．2 2 cm B．3 2 cmC．4 2 cm D．5 2 cm解析：点P运动2.5秒时P点运动了5 cm，CP＝8－5＝3 cm，由勾股定理，得PQ＝32＋32＝3 2 cm，故选B.答案：B6．(2019年浙江省高中联盟联考)已知函数f(x)满足f(x)＝－f(x－1)，则函数f(x)的图象不可能发生的情形是()解析：将选项C第三象限的图象向右平移一个单位，再作关于x 轴对称所得的图象不与第一象限的原图象重合，反之其它选项的图象可以，故C错误，应选C.答案：C7．(2019年河南省洛阳名校联考)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水速度如图4(甲)、(乙)所示，某天0点到6点该水池蓄水量如图4(丙)所示(至少打开一个水口)给出以下3个论断：图4①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到5点不进水也不出水．则一定正确的论断是()A．①B．①②C．①③D．①②③解析：由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，∴①0点到3点时斜率为2，蓄水量增加速度是2，只进水不出水，故①对；②不进水只出水时，蓄水量减少应为2，②错；③两个进水一个出水时，蓄水量减少也是0，故③错；故选A.答案：A8.图5(2019年四川省邻水实验学校月考)直角梯形OABC，被直线x＝t 截得的左边图形的面积S＝f(t)的大致图象是()解析：由图象知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2，0<t <1，1＋2（t －1），1≤t ≤2，所以选C. 答案：C9．(2019年山东省枣庄市模拟)函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象为 ( )解析：由题意，函数满足|x|－1>0，则x>1或x<－1，当x>1时，f(x)＝ln(x－1)＋x为单调递增函数，当x＝－2时，f(－2)＝ln(|－2|－1)－2＝－2<0，故选A.答案：A10．(2019年山东邹城市模拟)甲、乙二人同时从A地赶住B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步；乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，且两人骑车的速度均大于跑步的速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下：则下述四个函数图象中，甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是()图6A．图①、图②B．图①、图④C．图③、图②D．图③、图④解析：甲先骑自行车到中点后改为跑步，知前半程的速度大于后半程的速度，则前半程的图象的斜率大于后半程图象的斜率．乙是先跑步，到中点后改为骑自行车，则前半程的图象的斜率小于后半程图象的斜率．因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，则甲前半程的图象的斜率大于乙后半程图象的斜率，所以甲是①，乙是④，故选B.答案：B11．(2019年河南省南阳市质检)函数y ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 与y ＝－－x 2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为 ( )解析：函数y ＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 是偶函数，当x >0时，y ＝ln 1x ，此时函数为单调递减函数，故可排除A ，D ；对于函数y ＝－－x 2＋1<0，两边平方可得x 2＋y 2＝1(y <0)，可知此时图象表示的是以原点为圆心，1为半径的下半圆，故B 排除．故选C.答案：C12．(2019年广东省汕头市金山中学月考)函数y ＝x 33x 4－1的大致图象是 ( )解析：因为y＝x33x4－1，所以函数y＝x33x4－1是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当x<－1时，恒有y<0，故排除D；－1<x<0时，y>0，故可排除A；故选B.答案：B二、填空题13.图7(2019年贵州省贵阳市质检)如图7所示，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝log22x，y＝x12，y＝(22)x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．解析：因为A 的纵坐标为2，所以令log 22x ＝2，解得A 的横坐标为12，故x D ＝12，令x 12＝2，解得x ＝4，故x C ＝4，令y C ＝(22)4＝14，故y D ＝14，所以D (12，14)．答案：(12，14)14．(2019年江苏省南京市金陵中学诊断)若函数y ＝f (x )的图象经过点(2，3)，则函数y ＝f (－x )＋1的图象必定经过的点的坐标是________．解析：函数y ＝f (x )的图象经过点(2，3)，故f (2)＝3，因为f (x )和f (－x )图象关于y 轴对称，故f (－x )过点(－2，3)，f (－x )＋1就是将f (－x )向上平移一个单位，故必定经过的点的坐标是(－2，4)．答案：(－2，4)图815．(2019年江苏省丹阳高级中学模拟)已知函数f (x )与g (x )的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图8所示的“Z ”形折线段ABOCD ，不含A (0，1), B (1，1)，O (0，0)，C (－1，－1)，D (0，－1)五个点，则满足题意的函数f (x )的一个解析式为________．解析：由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x )与g (x )的图象关于原点对称，所以f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为： OC 和AB ，CD 和OB ，且OC 的方程为y ＝x (－1<x <0)， OB 的方程为y ＝x (0<x <1) ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，－1<x <0，x ，0<x <1或f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－1<x <0，1，0<x <1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，－1<x <0x ，0<x <1(或f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－1<x <01，0<x <1)16．(2019年辽宁省葫芦岛市六校协作体月考)已知函数f (x )的图象如图9所示，则不等式f (2x )<0的解集为________．图9解析：结合函数图象可得，当f (2x )<0时，有2x <－2或1<2x <2，求解不等式可得不等式f (2x )<0的解集为(－∞，－1)∪(12，1)．答案：(－∞，－1)∪(12，1) 三、解答题17．(2019年山西省太原市第十二中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12，x <－1，x 2－1，－1≤x ≤1，log 12x ，x >1.图10(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象，并根据图象写出f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 有四个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的图象如图11，图11由图象可得，单调递增区间为(－∞，－1)，(0，1)，单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(2)函数g (x )＝f (x )－m 有四个零点等价于f (x )的图象与y ＝m 的图象有四个交点，由函数f (x )的图象可得，m 的取值范围为(－12，0)时，f (x )的图象与y ＝m 的图象有四个交点，即函数g (x )＝f (x )－m 有四个零点，所以m 的取值范围为(－12，0)．18．(2019年湖北省黄石市第三中学阶段检测)某校高二(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(30天计算)轮流换班去销售一种时令水果．在这30天内每斤水果的收入p (元)与时间(天)的部分数据如下表所示，已知日销售Q (斤)与时间t (天)满足一次函数关系．图12(1)根据提供的图象和表格，写出每斤水果的收入p (元)与时间t (天)所满足的函数关系式及日销售量(斤)与时间t (天)的一次函数关系式；(2)用y (元)表示销售水果的日收入，写出y 与t 的函数关系式，并求这30天中第几天日收入最大，最大值为多少元？第t 天 2 8 16 24Q (斤)38 32 24 16解：(1)依题意可设p ＝⎩⎪⎨⎪⎧k 1t ＋b 1，0<t ≤20，k 2t ＋b 2，20<t ≤30，当0<t ≤20时，线段p 1＝k 1t ＋b 1过点(0，2)，(20，4)，得k 1＝110，b 1＝2；当20<t ≤30时，线段p 2＝k 2t ＋b 2过点(20，4)，(30，3)，得k 2＝－110，b 2＝6.所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧110t ＋2，0<t ≤20，－110t ＋6，20<t ≤30.令Q ＝mt ＋n ，由表中数据得m ＝－1，n ＝40，所以Q ＝－t ＋40(0<t ≤30)．(2)由y ＝pQ 得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－110t 2＋2t ＋80，0<t ≤20，110t 2－10t ＋240，20<t ≤30，当0<t ≤20时，y 1＝－110t 2＋2t ＋80在(0，10)上的单调递增，在(10，20)上单调递减，所以当t ＝10时，y 1有最大值为90元；当20<t ≤30时，y 2＝110t 2－10t ＋240在(20，30)上单调递减，所以y 2∈[30，80)．综合上述，在第十天时日收入最大，最大值为90元．19．(2019年山西省实验中学月考)已知函数f (x )＝|x 2－4|（x ＋1）x ＋2.(1)画出函数f (x )的图象，并写出其单调区间； (2)求方程f (x )＝m 的解的个数．解：(1)化简可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥2或x <－2，－x 2＋x ＋2，－2<x <2.函数f (x )的图象如下，图13根据图象可得：函数的单调递增区间为(－2，12]和[2，＋∞)，函数的单调减区间为(－∞，－2)和(12，2)． (2)当m ≤－4时，方程无解，当－4<m <0或94<m ≤4时，方程有1个解，当m ＝0或m ＝94或m >4时，方程有2个解，当0<m <94时，方程有3个解．20．(2019年贵州省六盘水市实验一中质检)已知函数f (x )＝ln(1－x )ln(1＋x )，现提供f (x )的大致图象的8个选项：图14(1)请你作出选择，你选的是________；(2)对于函数图象的判断，往往只需了解函数的基本性质．为了验证你的选择的正确性，请你解决下列问题：①f (x )的定义域是____________________； ②就奇偶性而言，f (x )是______________；③当0<x <1时，f (x )的符号为正还是负？并证明你的结论． (解决了上述三个问题，你要调整你的选项，还来得及．)解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >01＋x >0得函数f (x )的定义域为(－1，1)，排除B 、D 、F 、H.又当0<x <1时，f (x )为减函数，当－1<x <0时， f (x )为增函数，排除A 、C 、G ，选E.(2)①根据函数图象可得f (x )的定义域为(－1，1)；②由图象关于y轴对称可得f(x)是偶函数；③当0<x<1时，f(x)的符号为负．证明：当0<x<1时，0<1－x<1，1＋x>1，则ln(1－x)<0，ln(1＋x)>0，所以ln(1－x)ln(1＋x)<0.所以f(x)的符号为负．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2020高考数学一轮复习第2章第9节函数模型及其应用限时作业文新课标版精品

2020高考数学一轮复习第2章第9节函数模型及其应用限时作业文新课标版一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降低，按九折出售，每件还获利（）A.25元B.20.5元C.15元D.12.5元解析：九折出售时价格为100×(1+25%)×90%=112.5元，此时每件还获利112.5-100=12.5元.答案：D2.某企业2008年12月份的产值是这年1月份产值的p 倍，则该企业2008年年度产值的月平均增长率是 ( ) A. 1p p - B. 111p - C. 11p D. 111p - 解析：设月平均增长率为x ，则1111(1) 1.x p x p +=⇒=-故选D.答案：D3.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)=1.06·（0.50×［m ］+1）给出，其中m>0，［m ］是大于或等于m 的最小整数(如［3］=3，［3.7］=4，［3.1］=4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 ( )A.3.71B.4.24C.4.56D.4.77解析：从甲地到乙地的通话费用为1.06×(0.50×［5.5］+1)=1.06×4=4.24.答案：B4.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，汽车离开A 地的距离x （千米）与时间t （小时）之间的函数表达式是（）A.x=60tB.x=60t+50tC.()()600 2.5,15050 3.5t t x t t ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩D.()()()600 2.5,1502.5 3.515050( 3.5)3.5 6.5t t x t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪--<≤⎩5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =,其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A.45.606万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售（15-x ）辆，设总利润为L （x)，则2212() 5.060.152(15)0.15 3.0630(015).L x L L x x x x x x =+=-+-=-++≤≤L(x)在［0，10.2］上递增，在（10.2,+∞)上递减，所以当x=10时，L （x)最大，max ()L x =45.6(万元）.故选B.答案：B6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)满足的函数关系式是y=3 000+20x-0.12x (0<x<240,x∈N).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量为（）A.100台B.120台C.150台D.180台二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）7.一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水.则一定能确定正确的是 .解析：由丙图知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确.由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误.由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故③错误.答案：①8.某工厂生产某型号车床，年产量为10 000台，分若干批进行生产，生产每批车床前期投入为b 元.假设产品均匀投入市场，并且平均库存量为批量的一半.设每年每台的库存费为2b 元，那么批量为台时，才能使一年中库存费与前期投入费的和最小.解析：设批量为x 台，则一年中库存费为,224x b bx •= 一年中的前期投入费为10000b x, 100001000020044bx b bx b x x x==+当时，即时，最小. 答案：2009.某种商品，进货价为每件50元.据市场调查，当销售价格x(元/件)满足50≤x ≤80时，每天售出的件数2100000(40)P x =-.当销售价格定为元/件时，所获利润最多. 10. (2020届·广东调研)某学校需要购置实验设备若干套.经协商，厂家同意按出厂价结算，若超过50套还可以给予每套比出厂价低30元的优惠.如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元（价格为整数），则 a 的值为 . 解析：设按出厂价y 元购买x(x ≤50)台应付a 元，则a=xy.若多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元，则a=(x+11)(y-30)(x+11>50)，所以xy=(x+11)(y-30)(39<x ≤50)，所以30x=11y-330，所以303011x y =-. 又因为x ∈N ，y ∈N,39<x ≤50，所以x=44，所以y=150，所以a=xy=6 600.答案：6 600三、解答题（本大题共2小题，共30分）11.(14分）某送外卖的个体户，从食品加工店买进营养早餐的价格是每份2元，卖出价是每份3元，卖不掉的早餐可以以每份0.5元价格卖给养殖户.在一个月（以30天计）里，周末（8天计）只能卖出60份，其余22天每天可卖出80份，但每天从加工店买进的份数必须相同，这个个体户每天从食品加工店买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月可赚得多少元？解：设个体户每天从食品加工店买进营养早餐x 份，显然当x ∈［60，80］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润为y=22×3x+8×3×60+8×0.5×(x-60)-30×2x=10x+1 200.因函数y 在［60，80］上为增函数，故当x= 80时，y 有最大值2 000.所以这个个体户每天从食品加工店买进80份时，才能使每月所获的利润最大，这样他一个月可赚2 000元.12.(2020届·济南模拟)(16分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间（将第x天记录x) 1 10 11 18单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相对的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元）与时间x(天）的函数.(2)在这20天中哪一天销售收入最高？每天销售价P定为多少元为好？（结果精确到1元）。

2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第二章+函数+课时规范练13+Word版含答案

课时规范练13函数模型及其应用基础巩固组1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在某个物理实验中,则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在t秒的路程为s=t2米,那么,此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备.6.如图,动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30 m.(1)用宽x(单位:m)表示所建造的两间熊猫居室的面积y(单位:m2);(2)怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大?并求出每间熊猫居室的最大面积?7.某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?综合提升组8.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元9.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元10.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.11.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.12.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).图①。

(江苏专版)2020年高考数学一轮复习专题2.9 函数模型及其应用(练)

专题2.9 函数模型及其应用基础巩固题组一、填空题1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．【答案】102． “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a 表示) 【答案】14a 2【解析】D ＝R －A ＝a A －A ，令t ＝A (t ＞0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．3．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 【答案】9【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋x －＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9.4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．(参考数据lg 2≈0.301 0,100.0075≈1.017)【答案】1.7%【解析】设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．【答案】800【解析】设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x米．所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x≥800，当且仅当x ＝200时取等号．6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．【答案】4.24【解析】因为m ＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．【答案】108．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．【答案】2019【解析】设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200， ∴ 1.12x＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝＋－＋lg 10lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元．二、解答题9．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？能力提升题组11．某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3.问：P 能否大于120，说明理由．解 (1)依题意得y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *. (2)法一依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k ax ＋＝0.2a ka 2＋＝a k a 2＋≤a a 2＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋25a≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ×25a＝130<120. P 不可能大于120.法二依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k ax ＋＝0.2a ka 2＋＝a k a 2＋.假设P >120，则ka 2－20a ＋25k <0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)<0，不等式ka 2－20a ＋25k <0无解，假设不成立．P 不可能大于120.12．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过20，则q (x )＝1 260x ＋1；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20≤x ≤180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)． (1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．综上，当x＝80元时，总利润取得最大值240 000元．13．如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5 千米，BC＝8 千米，CD＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时．(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．。

2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案

第9讲函数模型及其应用板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)型二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)型指数函数f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)型对数函数f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)型幂函数型f(x)＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)[必会结论]“f (x )＝x ＋ax(a ＞0)”型函数模型形如f (x )＝x ＋a x(a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0]和(0，a ]上单调递减．(2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( )(3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( ) (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利．( )(6)当x ＞4时，恒有2x＞x 2＞log 2x .( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1000米 D ．1200米答案 A解析设这个广场的长为x 米，则宽为40000x米，所以其周长为l ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40000x ≥800，当且仅当x ＝40000x，即x ＝200时取等号．4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元答案 D解析设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108. 5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为________．答案 200解析 ∵a log 33＝100，∴a ＝100，y ＝100log 39＝200.6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)答案 2解析设n 小时后才可以驾车，由题意得0.8(1－50%)n ＝2,0.5n＝14，即n ＝2，即至少经过2小时后才可以驾驶机动车．板块二典例探究·考向突破考向利用函数图象刻画实际问题例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.触类旁通用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．【变式训练1】[2015·北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误．对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．考向已知函数模型解决实际问题例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时答案 C解析由题意，得(0,192)和(22,48)是函数y ＝ekx ＋b图象上的两个点，则⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b，解得e 11k ＝12.所以当储藏温度为33 ℃时，保鲜时间y ＝e 33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝18×192＝24(小时)．触类旁通利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．【变式训练2】 [2014·北京高考]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟答案 B解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.考向构建函数模型解决实际问题例 3 [2016·四川高考]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n －1>200，则lg 130＋(n －1)lg 1.12>lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n －1)×0.05>0.30，解得n >245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.触类旁通构建数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．【变式训练3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解 (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2(6x ＋10)8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．核心规律1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2.实际问题中往往涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3.解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原．满分策略解答数学应用题的失误与防范(1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以应正确理解题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解答对实际问题的合理性.板块三启智培优·破译高考规范答题系列1——构建分段函数模型解决实际问题[2018·山西模拟]为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解题视点(1)分x ≤6和x >6进行讨论→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )－3x 2＋68x －115(6<x ≤20，x ∈Z )(2)利用(1)的结论分段求y max→比较大小→下结论解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6.当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －115，6<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185，对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．[答题模板] 解函数应用题的一般程序第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．跟踪训练某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a ＞0且a ≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p ＝f (t )的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．解 (1)当t ∈(0,14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c ＜0)，将(14,81)代入得c ＝－14，t ∈(0,14]时，p ＝f (t )＝－14(t －12)2＋82；当t ∈(14,40]时，将(14,81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝13，所以p ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14(t －12)2＋82，t ∈(0，14]，log 13(t －5)＋83，t ∈(14，40].(2)t ∈(0,14]时，由－14(t －12)2＋82≥80，解得12－22≤t ≤12＋22，所以t ∈[12－22，14]，t ∈(14,40]时，由log 13 (t －5)＋83≥80，解得5＜t ≤32，所以t ∈(14,32]，所以t ∈[12－22，32]，即老师在t ∈[12－22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．板块四模拟演练·提能增分[A 级基础达标]1．现有一组数据如下：t 13456( ) A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12 tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2答案 C解析取t ＝1.99≈2(或t ＝5.1≈5)，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B ，得v ＝log 122＝－1≠1.5；代入C ，得v ＝22－12＝1.5；代入D ，得v ＝2×2－2＝2≠1.5.故选C.2．[2018·安阳一模]某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N )，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此需4次．故选B.4.某地一天内的气温Q (t )(单位：℃)与时刻t (单位：时)之间的关系如图所示，令C (t )表示时间段[0，t ]内的温差(即时间段[0，t ]内最高温度与最低温度的差)，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是( )答案 D解析当0<t <4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C ；当4<t <8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A ，B ，选D.5．[2017·武汉模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )A ．3000元B ．3800元C ．3818元D ．5600元答案 B解析由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤8000.14(x －800)，800<x ≤4000，0.11x ，x >4000显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3800.6．若某商场将彩电价格由原价2250(元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．答案 270解析由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%)×80%－2250＝270(元)．7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________ m.答案 20解析设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．8．[2018·金版创新]“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．9．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？解 (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)．则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12 m 10 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 n 10 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232 ，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．10．[2018·大连模拟]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10. 要使飞行速度不低于2 m/s ，即v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．[B 级知能提升]1．[2018·云南联考]某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.2．[2018·四川德阳诊断]将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为________．答案5解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，所以f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 t 5 ，设k min 后甲桶中的水只有a 4 L ，则f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 k5＝a 4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5 ＝14，解得k ＝10，所以m ＝k －5＝5(min)．3.[2018·湖北八校联考]某人根据经验绘制了2018年春节前后，从2月1日至2月18日自己种植的西红柿的日销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人2月6日大约卖出了西红柿________千克．答案1909解析前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.4.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y ) 米，EQ ＝(x －4) 米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．5．[2018·佛山模拟]某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5(0<x <6)，14(x ≥6)，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3.(1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．解 (1)由题意，得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2(0<x <6)，11－x (x ≥6)，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2.解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－[ 2(8－x )＋188－x]＋18 ≤－22(8－x )·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元．。

2020版高考数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用课件文北师大版

之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300 (0<x≤240,x∈N),若每台产品
的售价为25万元,生产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利
润=销售收入-产品成本)时的产量是( B )
A.70台
B.75台 C.80台 D.85台
解析:根据题意知销售收入是25x, 所以利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-0.1x2+15x-300,
B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据
x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x, 可知满足题意.故选D.
-8-
知识梳理考点自诊
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在
-11-
考点1
考点2
考点3
考点4
解由题意知 S(t)=g(t)f(t),
所以
S(t)=
-
1 3
��
+
112 3
-
1 2
��
+
52
1 4
��
+
22
(1 ≤ �� ≤ 40,��∈N),
-
1 3
��
+
112 3
(41 ≤ �� ≤ 100,��∈N).
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);