空间向量与立体几何(三)同步练习
专题1 空间向量与立体几何练习(三)
专题1空间向量与立体几何练习（三）
1．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.
(1)求证：1AC DB ⊥；
(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.
2．如图四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//,3AF DE DE AF =.
(1)求证：AC ⊥平面BDE ；
(2)若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.
3．已知()1,4,2a =- ，()2,2,4b =- .
(1)若12
c b = ，求cos ,a c <> 的值；(2)若()()
3ka b a b +-∥ ，求实数k 的值.4．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160
C CB C C
D BCD ∠=∠=∠=︒，
12CD CC ==．
(1)求1AC 的长；
(2)求异面直线1CA 与1DC 所成的角．
5．已知向量()1,1,0a = ，()1,0,b c =- ，且a b += (1)求c 的值；
(2)若ka b + 与2a b - 互相垂直，求实数k 的值．
6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AD AB AA ===，,E F 分别是1111,A D A B 的中
点，CG GE = ，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
(1)写出1,,,C D F G 四点的坐标；
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何
空间向量的数乘运算 测试题
姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )
①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；
②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；
③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1
B .2
C .3
D .4
2.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )
A .（
41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，3
2
） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则
4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则
EF =_____________.
5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.
§3.1.3空间向量的数量积运算
2018-2019数学新学案同步精选练习选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷 Word版含答案
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________．
答案5
解析∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2，
∴x ＝5.
2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC
→
＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →
＝________.(用a ，b ，c 表示)
答案－23a ＋12b ＋12
c
解析如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON
→
＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋1
2
(b ＋c )
＝－23a ＋12b ＋1
2
c .
3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________.
答案－15
解析∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.
4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．
考点向量法求解平面与平面的位置关系
题点向量法解决面面平行
答案平行或重合
解析∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．
5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________.
同步优化设计2021年高中数学第三章空间向量与立体几何测评含解析北师大版选择性必修第一册
第三章测评
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()
A.α⊥β
B.α∥β
C.α与β相交但不垂直
D.以上都不对
n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),
∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.
2.
如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,用a,b,c表示向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为()
MN
A.12a+12b+1
2c
B.1
2a-1
2b+1
2c
C.-1
2a+1
2b+1
2c
D.-1
2a+1
2b-1
2c
,连接ON ,AN ,则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12
(b+c ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12
a+12
b+1
2
c .
3.已知正四面体ABCD 的棱长为a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE
⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为() A.a 2B.14a 2C.12a 2D.√3
4a 2
ABCD 中,E ,F 分别是BC ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12
高中数学《空间向量与立体几何》练习题(含答案解析)
高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）
一、单选题
1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）
A ．()1,2,1--
B ．()1,2,1-
C ．()1,2,1---
D ．()1,2,1--
2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）
A ．7-
B ．5-
C ．5
D ．7
3．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．
A ．()1,6,3-
B ．()5,4,3-
C ．()1,6,3--
D ．()2,5,3-
4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）
A ．6
B ．12
C ．
D ．5．平面α的一个法向量是1(2
n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）
A ．平行
B ．重合
C ．平行或重合
D ．垂直
6．已知某圆柱的内切球半径为92
，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π
7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线
B ．OA 、OB 共线
C ．OB 、OC 共线
D ．O 、A 、B 、C 四点共面
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
空间向量及立体几何练习试题和答案解析
1 •如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABC助正方形，平面PADL平面ABCD点
M 在线段PB ±, PD//平面MAC PA二PD； AB=4
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B- PD- A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【分析】(1)设ACH BD=O则0为BD的中点，连接0M利用线面平行的性质证明0M/ PD 再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
(2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PGL平面ABCD贝U PGLAD, 连接0G则PGLOG再证明OGLAD.以G为坐标原点，分别以GD GO GP所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B- PD- A的大小；
(3)求出门；的坐标，由：〃与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP所成角的正弦值.
【解答】⑴证明：如图，设ACH BD=O
••• ABCL正方形，二0为BD的中点，连接0M
••• PD//平面MAC PD?平面PBD 平面PBDH 平面AMC=OM
••• PD// 0M则一-一,即卩M为PB的中点；
BD BP
(2)解：取AD中点G,
••• PA=PD- PGL心
• ••平面PADL平面ABCD且平面PADH平面ABCD=AD
••• PG!平面ABCD 贝U PG!AD,连接OG 贝U PG1OG
由G是AD的中点，0是AC的中点，可得OG/ DC贝U OGLAD.
空间向量和立体几何练习题及答案
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
空间向量与立体几何单元测试有答案
第三章 空间向量与立体几何 单元测试
(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )
①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)；②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)；③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)；④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
解析：∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1
3b ，
∴a ∥b ；而①④中的向量不平行． 答案：B
2．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →
＝2OA →－2OB →－OC →
，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
答案：C
空间向量及立体几何练习试题和答案解析
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；
（2）解：取AD中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，
高考数学第一章空间向量与立体几何3-1空间直角坐标系练习含解析新人教A版选择性必修第一册
空间直角坐标系
学习目标 1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .
(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 思考 空间直角坐标系有什么作用？
答案 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化． 知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →
，且点A 的位置由向量OA →
唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →
＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底 {i ，j ，k }下与向量 OA →
对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做
点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点
高中数学__空间向量和立体几何练习试题(附答案解析)
空间向量练习题
1. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD
的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;
（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0）
，
3(2
C 1(2
D P （0，0，2）
,E （Ⅰ）证明
因为BE =，平面PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n =，所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面PAB .又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PAB .
(Ⅱ)解
易知(1,0,2),0PB BE =-=u u u r u u u r
1(0,0,2),(2PA AD =-=u u u r u u u r 设1111(,,)n x y z =r 是平面PBE 的一个法向量，则由110,
n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r
g u r u u u r
g
得111122020,
000.x y z x y z +⨯-=⎧⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===u r 故可取 设2222(,,)n x y z =u u r 是平面PAD 的一个法向量，则由220,0n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r
g u u r u u u r
g
得2222220020,100.2x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪
空间向量和立体几何练习题及答案
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段
P B上，P D∥平面M A C，P A=P D=，A B=4．（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；
（2⊥AD，连接OG x、y、z
（3）的坐标，与平面BDP
∵
∵PD
∴PD
（2
∵
∴PG
由G
以G
由），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，），
，．
设平面PBD的一个法向量为，
则由，得，取z=，得．
取平面PAD的一个法向量为．
∴cos＜＞==．
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；
（3）解：，平面BDP的一个法向量为．
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=．
2PA，PC，BC
所成角的余弦值为，求线段
．得到平面
x、y、z
，求出的坐标，结合直线
为
∵M
∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，
2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何综合检测(三)试题含答案解析
2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何综合检测（三）试题含答案解析
姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分
一、选择题（共12题）
1、已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
2、如图，在直三棱柱ABCA
1B
1
C
1
中，AB＝BC＝AA
1
，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB
1
的中点，则直线EF与BC
1
所成的角是( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
3、如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足
，则的值为( )
A． B．3
C． D．
4、对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则( )
A．四点O，A，B，C必共面
B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面
D．五点O，P，A，B，C必共面
5、将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A．相交且垂直 B．相交但不垂直
C．异面且垂直 D．异面但不垂直
6、已知a，b是两条异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
7、在正方体ABCDA
1B
1
C
1
D
1
中，若E为A
1
C
1
的中点，则与直线CE垂直的直线是( )
A．AC B．BD
空间向量和立体几何练习题及答案
1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【分析】(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点;
(2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求出的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【解答】(1)证明:如图,设AC∩BD=O,
∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM,
∵PD∥平面MAC,PD⊂平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,
∴PD∥OM,则,即M为PB的中点;
(2)解:取AD中点G,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,
由G就是AD的中点,O就是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD.
以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,
第三章空间向量与立体几何综合测试题(含详解新人教A版选修2-1)
第三章空间向量与立体几何综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）x第三章空间向量与立体几何综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）(时间：100分钟；满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为()
A.15，12B．5,2
C．－15，－12D．－5，－2
解析：选A.a∥b，则存在m∈R，使得a＝mb，又a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，则有
λ＋1＝6m，0＝－，2λ＝2m，可得λ＝15，μ＝12.
2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC是() A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
解析：选A.AB→＝(3,4，－8)，BC→＝(2，－3,1)，CA→＝(－5，－1,7)，∴BC→•CA→＝－10＋3＋7＝0.
∴BC⊥CA.
∴△ABC是直角三角形．
3．已知在空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M 在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→等于()
A.12a－23b＋12c
B．－23a＋12b＋12c
C.12a＋12b－12c
D.23a＋23b－12c
解析：选B.因MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝12b ＋12c－23a.
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于() A．310B．210
第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案
第三章 空间向量与立体几何测试卷与答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →； ②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →； ④AB →－CB →＋CD →＋AD →. A ．①② B ．②③ C ．②④
D ．①④
解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →
，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →
，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →
)＝0.故选C.
答案： C
2．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15
2
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝15
2.
答案： D
3．在下列四个命题中，真命题为( )
A ．已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一地写成p ＝x a ＋y b ＋z c
B ．若a ，b ，c 三向量两两不共线，则空间任意一个向量p 总可以写成p ＝x a ＋y b ＋z c
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空间向量与立体几何（三）同步练习
巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（）
A. （1，－1，1）
B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1）
D. （－1，1，－1）
2. 设直线l1的方向向量为a＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为b＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（）
A. 1
B. －2
C. －3
D. 3
3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1。
这四个结论中正确的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题
4. 已知直线l的方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。
5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有AB＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD。其中正确的是________。
三、解答题
7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?
8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。
巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习参考答案
1. 答案：C
解析：显然a 与b 不平行，设平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ），
则有00a n b n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒⎩
⎨⎧=++=++.0465,032z y x z y x
令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1。 ∴n =（－2，1，1）。 2. 答案：D
解析：l 1⊥l 2⇔a ⊥b ，
∴2×2＋1×2＋（－2）×m ＝0，∴m ＝3。 3. 答案：C
解析：∵1
AM ＝1A A ＋AM ＝1A A ＋2
1
AB ， 1D P ＝1D D ＋DP ＝1A A ＋
2
1
AB ， ∴1AM ∥1D P ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确。 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确。 4. 答案：l ∥α或l ⊂α
解析：∵u v ⋅＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0， ∴u v ⊥，∴l ∥α或l ⊂α。 5. 答案：
2π或3
π
解析：由题意得OP ⊥。
∴cos x ·（2cos x ＋1）－2cos x ＝0。 ∴2cos 2x －cos x ＝0。∴cos x ＝0或cos x ＝1
2
。 又x ∈[0，π]，∴x ＝
2π或x ＝3
π。 6. 答案：①②③
解析：由AP ·AB ＝－2－2＋4＝0，知AP ⊥AB ，故①正确； 由·＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，故②正确； 由①②知是平面ABCD 的法向量，故③正确，
(4,2,0)(2,1,4)(2,3,4)BD AD AB =-=---=，显然④不正确。
7. 解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，
则O （1，1，0），A （2，0，0），P （0，0，1），B （2，2，0），D 1（0，0，2）。 再设Q （0，2，c ）， ∴OA ＝（1，－1，0），
OP ＝（－1，－1，1）， BQ ＝（－2，0，c ），
1BD ＝（－2，－2，2）。
设平面P AO 的法向量为
1n ＝（x ，y ，z ），
则1100n OA n OP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒⎩
⎨⎧=+--=-.0,0z y x y x
令x ＝1，则y ＝1，z ＝2。
∴平面P AO 的一个法向量为1n ＝（1，1，2）。
若平面D 1BQ ∥平面P AO ，那么n 1也是平面D 1BQ 的一个法向量。
∴1n ·
BQ ＝0，即－2＋2c ＝0，∴c ＝1， 这时1n ·1BD ＝－2－2＋4＝0，
故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO 。
8. 证明：如图，取D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为2，
则O （1，1，0），A 1（2，0，2），G （0，2，1）， B （2，2，0），D （0，0，0），
∴1OA ＝（1，－1，2），OB ＝（1，1，0），BG ＝（－2，0，1）。
而1OA ·
OB ＝1－1＋0＝0，
1OA ·BG ＝－2＋0＋2＝0，
∴1OA ⊥OB ，1OA ⊥BG ，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG 。 而OB ∩BG ＝B ， ∴OA 1⊥平面GBD 。