一维波动方程的达郎贝尔公式
(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式
u (x, y, z), t0
u t
t0
1(x,
y,
z).
这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直 接利用§6.1节中所得到的通解公式。下面先考虑一个特例。
10
§ 9.2.1 三维波动方程的球对称解
球对称：u与 , 都无关。
在球坐标系中，三维波动方程为：
1 r2
r
r
1 a2
2 (ru) t 2
2 (ru) r 2
1 a2
2 (ru) t 2
这是关于ru的一维波动方程，其通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
（9.1.7）
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
5
f1(x) f2 (x) (x) （9.1.8）
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
式（9.1.9）两端对 x 积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区 域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若 干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题 积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2
§9.1 一维波动方程的D’Alember(达朗 贝尔)公式
到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波 形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式1达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x tu x u t x xu a t u t t φϕ ① 作自变量的代换⎩⎨⎧-=+=atx atx ηξ 利用复合函数的微分法有：ηξ∂∂-∂∂=∂∂uau a t u )2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u x u 将①化为：02=∂∂∂ηξu并将它两端对η进行积分得：)(0ξξf u=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰=)()(21at x f at x f -++ ②其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：)()()(21x x f x f ϕ=+)()()(2''1x x f x af φ=+通过积分可得：⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x-平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式
常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学的一个分支，研究的是只依赖于一维自变量的函数和它们的导数。
常微分方程是各个领域中最重要的数学工具之一，广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域。
在解常微分方程时，达朗贝尔公式和Green公式是两个非常重要的公式。
本文将对它们的定义、性质和应用进行详细介绍。
达朗贝尔公式达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）是解一维波动方程（Wave Equation）的经典公式。
一维波动方程是描述一维波动传播的方程，形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$是波函数，$c$是波速，$x$和$t$分别表示空间和时间。
由于常微分方程只有一个自变量，因此我们需要对时间或空间变量进行临时的剖分才能解决这类方程。
达朗贝尔公式给出了波函数在任意时刻和任意位置的解析表达式，形式为：$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y)dy$$其中，$f(x)$是初始波形（Initial Waveform），$g(x)$是初始速度（Initial Velocity），$c$是波速。
这个公式的第一项表示波源在$t=0$时刻释放的波形在$x$处的振幅随时间的变化，第二项表示波源在$t=0$时刻释放的波速在$x$处的振幅随时间的变化。
达朗贝尔公式的一个重要性质是线性叠加性。
如果有多个波源在不同位置、不同时刻释放波形和波速，那么它们的叠加波形可以通过将它们对应的达朗贝尔公式相加而得到。
这样，我们就可以用达朗贝尔公式求解复杂的波动问题。
Green公式Green公式（Green's formula）是解各种常微分方程的一个通用技巧。
7.4达朗贝尔公式
∫
0
ψ (ξ ) d ξ
(t ≥ x / a )
(t ≥ x / a )
1 2a
x + at
1 ∫at Ψ (ξ ) dξ = 2a x 1 2a
x + at
x + at
∫
0
1 Ψ (ξ ) dξ + 2a
0
1 ∫at Ψ (ξ ) dξ = 2a x
x + at
0
x + at
∫
0
1 ψ (ξ ) dξ + 2a 1 2a
2
x + at
x + at
1 ∫∞ψ (ξ )dξ 2a
x at
∞
∫ψ (ξ )dξ
（二）端点的反射 一个端点固定
2 2 2 ( 2 a )u ( x , t ) = 0 t x 2
(0 < x < ∞ )
设初始条件为 边界条件
u t = 0 = ( x)
u
x =0
和
ux
t =0
= ψ ( x)
x + at 1 1 [ ( x + at ) + ( x at )] + ∫ ψ (ξ )dξ 2 2a x at u ( x, t ) x + at 1 1 [ ( x + at ) ( x at )] + ∫ xψ (ξ )dξ 2 2a at
x + at
(t ≤ x / a ) (t ≥ x / a)
1 2a
∫ ψ (ξ ) dξ + 2 a ∫
0
1
ψ ( ξ ) d ( ξ ) =
( x at )
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
波动方程的达朗贝尔解
简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。
波动方程的达朗贝尔公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是 方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始 函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列 的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是 首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念 的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述 的物理现象更为广泛.
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z +n θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ
波动方程的达朗贝尔公式
ϕ
0 x y
2π π ∂ ⎡ t ⎤ u ( M , t ) = u ( x, y , z , t ) = ⎢ ϕ (α , β , γ ) ds ⎥ 2 2 ∫0 ∫0 ∂t ⎣ 4π a t ⎦ 2π π 1 + ψ (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0 4π a t 1 ⎡∂ ϕ (ξ ,η , ζ ) ψ (ξ ,η , ζ ) ⎤ ds + ∫∫ M ds ⎥ = M ⎢ ∂t ∫∫Sat (8) Sat 4π a ⎣ at at ⎦
代入(3)式,得 达朗贝尔公式
u ( x, t ) =
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 x + at + ∫x−at ψ ( s )ds 2a
(7)
达朗贝尔公式的物理意义
通解
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
表示弦上的任意扰动总是以行波的形式向相反的 两个方向传播出去,故达朗贝尔解法又称为行波解法. a为波的传播速度.从分析a的量纲也可以知道a代表速度,因为
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)
1 x F ( x ) − G ( x ) = c − ∫ ψ ( s )ds a x0
连立解(4),(6)得
1 1 x c F ( x) = ϕ ( x) − ∫x0 ψ ( s )ds + 2 2 2a 1 1 x c G ( x) = ϕ ( x) + ∫x0 ψ ( s )ds − 2 2 2a
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
下篇-4 波动方程的达朗贝尔解
1、通解
2 ( 2 a )u( x , t ) 0 2 t x
2 2
？
2 u ( , ) 0
x at 方法： 作变换 x at
即：u x , t u ,
2
x at x at
u u u u u 复合函数求导法则： x x x
12
例2、半无界问题 utt a 2 uxx 0, 0 x 端点固定 u( x ,0) x , ut x ,0 x , 0 x u 0, t 0 utt a 2 uxx 0, 0 x 端点自由振动 u( x ,0) x , ut x ,0 x , 0 x ux 0, t 0
波形向左、右以速度a移动10
0 5 10
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
1 0.8
1 0.8
t=0.2
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
t=0.5
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -10
d +C a
0
1 1 x C f1 x x d 0 2 2a 2 联立可得： f x 1 x 1 x d C 2 2 2a 0 2
代入通解，得满足初始条件的特解：
f1 ( x at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波。
结论：达朗贝尔公式表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a的行 6 波的叠加，故称为行波法。
波动方程的达朗贝尔公式
波动方程的达朗贝尔公式达朗贝尔公式是描述波动方程解的一种常见方法，它是由法国天文学家和数学家达朗贝尔于1787年提出的。
在描述一维波动问题时，达朗贝尔公式可以非常有效地解决问题。
首先，我们来看一维波动方程的基本形式：∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²其中u(x,t)表示波的位移，v表示波速，x表示空间坐标，t表示时间。
利用达朗贝尔公式，我们可以将一维波动方程的解表示为：u(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)其中f(x)和g(x)是任意两个可微函数。
达朗贝尔公式的推导可以通过变量分离法得到。
首先，我们将u(x,t)表示为两个变量的函数u(x,t)=F(x)G(t)，然后将其代入波动方程：F''(x)G(t)=v²F(x)G''(t)两边除以v²FG，得到：F''(x)/F(x)=G''(t)/G(t)等式左边只依赖于x，右边只依赖于t，所以两边都等于一个常数k²：F''(x)/F(x)=G''(t)/G(t)=k²然后我们分别解这两个常微分方程。
对于F''(x)/F(x)=k²，我们可以得到解：F(x) = A e^(kx) + B e^(-kx)对于G''(t)/G(t)=k²，我们可以得到解：G(t) = C e^(ikt) + D e^(-ikt)其中A、B、C和D为任意常数，i为虚数单位。
因此u(x,t) = F(x)G(t) = [A e^(kx) + B e^(-kx)][C e^(ikt) + De^(-ikt)]我们可以通过组合常数A、B、C和D得到f(x)和g(x)。
根据指数函数的性质，我们可以将解写成达朗贝尔公式的形式：u(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)其中f(x+vt) = (A e^(kx) + B e^(-kx)) (C e^(ikt) + D e^(-ikt))g(x-vt) = (A e^(kx) + B e^(-kx)) (C e^(ikt) + D e^(-ikt))达朗贝尔公式的形式表明，波动方程的解可以表示为由两个运动方向相反的平面波的叠加形式。
第三章 一维波动方程的达朗贝尔公式-1
第三章：行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
深圳大学电子科学与技术学院
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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结果：
1 1 x at (1747) u ( x, t ) ( x at) ( x at) ( X ) d X 2 2a x at
2 2u u 2 a 2 t x 2
( x )， u t 0
u ( x), ( x) t t 0
深圳大学电子科学与技术学院
波动方程的特解
无界弦的自由振动: 任意初始位移,任意初始速度。 无界弦自由振动的初值问题为：
2 2u 2 u a t 2 x 2
( x ) u t ( x)
t 0
（1）
u t 0 ( x),
( x )
（2）
将(1)化成以 , 为变量:
u u u u u x x x 2u u u u u 2 x x x u u u u 2u 2u 2u 2 2 2
（3）
(1)的通解为： u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
由(2)得到：
u
t 0
f1 ( x) f 2 ( x) ( x )
《数理方程》波动方程的达朗贝尔公式
反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在 一有限区间 x1, x2 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范 围是什么? 在 x, t 平面上,过
x1,0 和 x2 ,0 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x x1 at
x x2 at
(半径为at的球面元素) (半径为1的球面元素)
x 0 y
2 t u M , t u x, y , z , t , , ds 2 2 0 0 t 4 a t 2 1 , , ds 2 2 0 0 4 a t 1 ( , , ) ( , , ) ds M ds M (8) S S at 4 a t at at at
utt a uxx .
2
(iii)
如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函
数 x 换为 x .
问题的解了.
如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 x 换为 x .两者都换了之后,u1+u2就成了定解
现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页)
依赖区间
决定区域和影响区域
下面我们提出这样一个问题:上述初值问题的解在一 点 x0 , t0 的值与初值函数在x轴上哪些点的值有关呢?
为此,在 x, t 平面上,过点 x0 , t0 作两条直线
x at x0 at0 x1 (i) x at x0 at0 x2 (ii)
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)
一维波动方程的推导
一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。
弹簧的劲度系数（又称“倔强系数”）为k：
其中u(x) 表示位于x的质点偏离平衡位置的距离。
施加在位于x+h处的质点m上的力为：
其中代表根据牛顿第二定律计算的质点惯性力，代表根据
胡克定律计算的弹簧作用力。
所以根据分析力学中的达朗贝尔原理，位于x+h处质点的运动方程为：
式中已注明u(x) 是时间t的显函数。
若N个质点间隔均匀地固定在长度L = N h的弹簧链上，总质量M = N m，链的总体劲度系数为K = k/N，我们可以将上面的方程写为：
取极限N, h就得到这个系统的波动方程：
在这个例子中，波速。
一维波动方程的达郎贝尔公式
一维波动方程的达郎贝尔公式∂²ψ/∂t²=v²∂²ψ/∂x²其中，ψ表示波函数，t表示时间，x表示位置，v表示波速。
这个方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间和位置的变化。
解决这个方程是一个经典的物理问题，在过去的几个世纪中，许多科学家对此进行了研究。
达郎贝尔公式是一维波动方程的特解，可以表示为：ψ(x, t) = f(x + vt) + g(x - vt)其中，f和g是任意可微函数，表示波函数的初始形态和初始速度分布。
达郎贝尔公式的形式很简单，实际上是波方程的一般解的特例。
它可以表示波函数在任意时刻和位置的值。
在达郎贝尔公式中，ψ(x,t)的值等于两个波的叠加，一个波向右传播，一个波向左传播，它们的速度都是v。
达郎贝尔公式的物理意义非常重要。
它说明了波函数是由两个波的叠加形成的。
一个波向右传播，一个波向左传播。
两个波的传播速度相同，但方向相反。
这种叠加能够形成各种形状的波，可以是周期性的波、不规则形状的波或波包等。
达郎贝尔公式还可以进一步推广到波包的情况。
波包可以近似地看作是一组不同波长的波的叠加，可以用来描述复杂波动现象。
波包的传播速度可以通过对波包进行傅里叶变换得到。
除了达郎贝尔公式，还有其他方法可以求解一维波动方程。
例如，可以使用傅里叶变换将波动方程转化为频域方程，然后通过求解频域方程得到波函数。
此外，也可以使用有限差分法和有限元法等数值方法来求解波动方程。
总之，一维波动方程的达郎贝尔公式是一种简单而重要的解法，可以用来计算波的传播情况。
它描述了波函数在任意时刻和位置的值，可以用来分析各种波动现象的特性和行为。
通过研究和理解达郎贝尔公式，可以深入理解一维波动方程及其在物理学中的应用。
7-1 一维波动方程的达朗贝尔公式 chen
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24
例题
求下列柯西问题的解.
⎧ξ = x + at 变换 ⎨ 常称为特征变换,行波法称为特征线法. ⎩η = x − at
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1.解题步骤:
⎧ utt = a 2 uxx ⎪ ⎨ u |t = 0 = ϕ ( x ) ⎪u | = ψ ( x) ⎩ t t =0
utt = a 2 uxx 求出通解: 先用
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
再求特解,形如:
1 u= [ 2 1 ] + 2a ∫
退出
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2.特点: (1)求解出发点是基于波动现象的特点为背景的变量 变换; (2)引入了坐标变换简化方程; (3)优点: 求解方式易于理解,求解波动方程十分方便; (4)缺点: 通解不易求,使之有局限性,一般只用它求解 波动问题.
⎧ uxx + 2uxy − 3u yy = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪u | y=0 = 3 x , uy | y=0 = 0 ⎩
y > 0, −∞ < x < +∞
−∞ < x < +∞
先确定所给方程的特征线.为此写出它的特征方程: 它的两族积分线为:
2.1一维波动方程的达朗贝尔公式
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x , t ) 1 2 [ s i n ( x a t ) s i n ( x a t ) ] 2 1 a x x a a t t2 d
sinxcosatt(3x2a2t2) 3
例2
utt a2uxx 0, x u|t0ex2, ut |t02axex2
tt x x
1 1 2a t 2x
1 1 2a t 2x
1 ( a ) 2a t x
1 (a ) 2a t x
得到 u： 0
对 偏 积 分 得 ： u f1 ()
再 对 偏 积 分 得 ： u f 1 ( ) d f 2 ( )
f 1 ( ) f 2 ( ) f 1 ( x a t ) f 2 ( x a t )
uf1(3xy)f2(xy)
3e193xy2 3C1exy2 3C
4
44
4
3e193xy2 1exy2
4
4
六、小结
达朗贝尔公式(行波法)： 1、它基于波动的特点，引入坐标变换简化方程 利用偏积分的方法先求出通解，然后利用定解条件， 得到定解形式。
2、优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便； 缺点：只适合求解一维无界的齐次波动方程（初值问
振动完全由初始速度引起，波通过的地区,振动 消失,但弦偏离了原来的平衡位置.
五、达朗贝尔公式的间接应用
例1
uxxuyy0, x
u|y0x,
uy|y00
解：化成类似于波动方程的初值问题
uyyuxx0, x
u|y0x,
uy|y00
将定解条件代入达朗贝尔公式，得
u ( x , t ) 1 2 [ ( x a t ) ( x a t ) ] x
A7.行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题
行波法求解一维波动方程的初值问题—半无界问题行波法求解一维波动方程的两个基本公式：1.达朗贝尔（d'Alembert ）公式：⎰+-+-++=at x at x d aat x at x t x u ξξψφφ)(21))()((21),(； 2.Kirchhoff 公式：⎰⎰⎰----+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x t x u 0)()(),(21)(21))()((21),(τττξτξξξψφφ半无界弦的振动问题对于半无界域上波动方程初值问题的讨论，需要根据端点所处的物理状态不同分别加以讨论。
1. 端点固定（1）齐次端点条件 考虑定解问题.0,0,0,00),0(),()0,(),()0,(),,(2≥+∞<≤>+∞<<⎪⎩⎪⎨⎧===+=t x t x t u x x u x x u t x f u a u t xx tt ψφ求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数,,,ψφf 使其在0<<∞-x 也有定义，这样把半无界区域+∞<≤x 0上的问题转变为+∞<<∞-x 上的初值问题。
然后利用达朗贝尔公式，求出在+∞<<∞-x 上的解),(t x u 。
同时使此解),(t x u 满足0),0(=t u 。
这样当x 限制在+∞<≤x 0上就是我们所要求的半无界区域+∞<≤x 0上的解。
由微积分知识可知，如果一个连续可微函数)(x g 在),(+∞-∞上是奇函数，则必有0)0(=g 。
因此，要使解),(t x u u =满足0),0(=t u ，只要),(t x u 是x 的奇函数便可。
因此对函数ψφ和,f 关于x 作奇延拓。
我们定义)()(),,(x x t x F ψΦ和如下：⎩⎨⎧≥<--≥≥⎩⎨⎧<≥--=ψ<≥⎩⎨⎧--=Φ.0,0),,(,0,0),,(),(.0,0),(),()(.0,0),(),()(t x t x f t x t x f t x F x x x x x x x x x x ψψφφ 显然函数在和)()(),,(x x t x F ψΦ+∞<<∞-x 上是奇函数。
第二节 初值问题(一维情形)
一、波动方程的初值问题： （无界弦振动方程的初值问题）
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
1. 解的表达式： 达朗贝尔(D'Alembert)公式 2. 解的物理意义: 特征线
1 u1 M ( x, t ) t t 2a
x at
Lu utt a 2uxx f ( x, t ) ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R)
的解：
(1)
u u1 u2 u3
a u v ( x R, t 0) t x u ( x,0) 0 ( x R) a v 0 t x v( x,0) ut ( x,0) au x ( x,0) ( x)
Hale Waihona Puke 1 1
1
1
LM f ( x, t ) M f ( x, t1 )t t a 2 M f ( x, t1 ) xx 0 t t M f ( x, t ) f ( x, ) M f ( x, t ) t 0, t t
2 K
1 ut 2 2
t
ut ux x ut x ux ut ux x ux t ux
ut u x x
1 2 u x 2
t
Step2:
（变形，目标是利用格林公式，计算左端积分）
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第四章 行波法
一 一维波动方程的达郎贝尔公式 1达郎贝尔公式
在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。
考虑无限长弦的自由振动问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)
(|),(|0, ,0
022
2
22x t
u x u t x x
u a t u t t φϕ ① 作自变量的代换
⎩⎨
⎧-=+=at
x at
x ηξ 利用复合函数的微分法有：
η
ξ∂∂-∂∂=∂∂u
a
u a t u )2(22
2222
22η
ηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u
同理有：2
2222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u
u u x u 将①化为：02=∂∂∂η
ξu
并将它两端对η进行积分得：
)(0ξξ
f u
=∂∂ 其中)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分
)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰
=
)()(21at x f at x f -++ ②
其中21f f 、是任意两次连线可微函数，式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。
由初始条件可得：
)()()(21x x f x f ϕ=+ )()()(2''
1x x f x af φ=+
通过积分可得：
⎰+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(
称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。
2解的物理意义
由于波动方程的通解是两部分)(1at x f +与)(2at x f -。
)(22at x f u -=表示了以速度a 向x 轴正方向传播的行波，称
为右行波。
同理，)(11at x f u +=表示了以速度a 向x 轴负方向传播的行波，称为左行波。
由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的
依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分
别a
1
± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。
这里要掌握半无限长弦的自由振动问题和一维非齐次波动方程的柯西问题的解。
3 半限长弦的自由振动问题 定解问题
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=∂∂==>>∂∂=∂∂===)
10.4()(|),(|)9.4(0|)8.40,000022
2
22
（
， x t u
x u u x t x u a t u t x x φϕ 用延拓法求解，注意边界条件（4.9），采用奇延拓。
令
⎩⎨⎧<--≥=Φ 0),(0,)()(x x x x x ϕϕ
⎩⎨⎧<--≥=ψ
0),(0,)()(x x x x x φφ
考虑定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧ψ=∂∂Φ=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022
2
22x t
u x u t x x
u a t u t x 它的解可由达郎贝尔公式得：
⎰+-ψ+-Φ++Φ=at
x at x d a
at x at x t x U ξξ)(21)]()([21),(。
4 一维非齐次波动方程的柯西问题
定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂==)12.4()(|),(|)11.4(0,),(0022
2
22 ， x t
u x u t x t x f x
u a t u t x φϕ 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：
(I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,00222
22x t u x u t x x
u a t u t x φϕ
(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022
2
22t x t
u u t x t x f x
u a t u
其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ⎰+-+-++=at
x at x d a
at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要的定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>∂∂=∂∂== ， ),(|,0|22
2
22τωωτωωττx f t
t x
a t t x 的解)0(≥τ，则⎰=t
d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。
二 三维波动方程的柯西问题 1 三维波动方程的泊松公式 考
虑
三
维
波
动
方
程
的
柯
西
问
题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==)18.4(),,(|),,,(| 4.17(0,,, )(0022
22222
22 ） z y x t
u z y x u t z y x z u y u x u a t
u t t φϕ (1)三维波动方程的球对称解
如果将三维波动方程的空间坐标用球坐标表示，则波动方程化为：
2222
222sin 1)(sin sin 1)(1ϕ
θθθθ∂∂+∂∂+∂∂∂∂u
r u r r u r r r = ） （19.412
22t
u
a ∂∂ 如果波函数u 与θ，ϕ变量无关，而只与变量t r ,有关，即
u 是所谓球对称的，这时式可简化为：
)(122
r u r r r ∂∂∂∂=2221t
u
a ∂∂ )2(222
2
2r u r u r a t u ∂∂+∂∂=∂∂ 即有：2
2
2
22)()(r
ru a t ru ∂∂=∂∂。
这是关于的一维波动方程，其通解为：
)()(),(21at r f at r f t r ru -++=
从而)]()([1
),(21at r f at r f r
t r ru -++=即得到三维波动方程
关于原点为球对称的解。
(2)三维波动方程的泊松公式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==)18.4(),,(|),,,(| 4.17(0,,, )(00222222
222 ） z y x t
u z y x u t z y x z u y u x u a t
u t t φϕ 的解为：
=),,,(t z y x u t a ∂∂π41ds at M
at
S ⎰⎰),,(ζηξϕ＋a π41ds at M at
S
⎰⎰
),,(ζηξϕ，称它为三维波动方程柯西问题的泊松公式。
这里要求掌握三维波动方程柯西问题的泊松公式的推导过程。
2降维法
利用三维波动方程柯西问题的泊松公式来导出二维波动方程柯西问题的解。
这种利用高维问题的解推导低维问题的方法称之为降维法。
二维波动方程的柯西的问题：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂+∂∂=∂∂==)
,(|),,(|0,,, )(0
022
222
22y x t
u y x u t z y x y u x u a t
u t t φϕ
令),,(),,(_
z y x u z y x u =，将上式的解视为特殊的三维问题，最后得到问题的解为：
⎰⎰
----∂∂
=M at
C
d d y x at t a t y x u ηξηξηξϕπ2
22)
()()()
,(21),,(+ +⎰⎰----∂∂M at
C
d d y x at t
a ηξηξηξφπ2
22)
()()()
,(21 称此式为二维波动方程柯西问题的泊松公式。
随了掌握这个公式，还要掌握这个公式的物理意义。