一维波动方程的达郎贝尔公式

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一维波动方程的达郎贝尔公式

1达郎贝尔公式

在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无限长弦的自由振动问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)

(|),(|0, ,0

022

22x t

u x u t x x

u a t u t t φϕ ① 作自变量的代换

⎩⎨

⎧-=+=at

x at

x ηξ 利用复合函数的微分法有：

ξ∂∂-∂∂=∂∂u

u a t u )2(2

22222

22η

ηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 同理有：2

2222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u

u u x u 将①化为：02=∂∂∂η

ξu

并将它两端对η进行积分得：

)(0ξξ

f u

=∂∂ 其中

)(0ξf 是ξ的任意函数，再将此式对ξ积分

)()()()(),(2120ηξηξξf f f d f t x u +=+=⎰

)()(21at x f at x f -++ ②

其中

21f f 、是任意两次连线可微函数，

式②即为方程①的含有两个任意函数的通解。

由初始条件可得：

)()()(21x x f x f ϕ=+

)()()(2''

1x x f x af φ=+

通过积分可得：

⎰+-+-++=at

x at x d a

at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),(

称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。 2解的物理意义

由于波动方程的通解是两部分

)

(1at x f +与

)

(2at x f -。

(优选)一维波动方程的达朗贝尔公式

到的波形为：(x at) (c at at) (c)
由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。
7
所以 (x at) 代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行
波。而第一项 (x at) 则代表以速度a沿x轴的负向传播的波，
(9.1.3)
2u t 2
a2
2u
2
2
2u
2u
2
(9.1.4) 3
2u t 2
a2
2u x2
(9.1.1)
2u x2
u
u
x
u
u
x
2u
2
2 2u
2u
2
(9.1.3)
2u t 2
a2
2u
2
2
2u
2u
2
(9.1.4)
（9.1.1)化为：
2u 0
（9.1.5）
将式（9.1.5）对
一维波动方程的达朗贝尔公式
求解定解问题
分离变量法——求解有限区域内定解问题：解的区域比较规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示）
行波法——求解无界区域内波动方程的定解问题积分变换法——不受方程类型的限制，主要用于无
界区域，但对有界区域也能应用
2

常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式

常微分方程的达朗贝尔公式和Green公式常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）是数学的一个分支，研究的是只依赖于一维自变量的函数和它们的导数。常微分方程是各个领域中最重要的数学工具之一，广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域。

在解常微分方程时，达朗贝尔公式和Green公式是两个非常重要的公式。本文将对它们的定义、性质和应用进行详细介绍。

达朗贝尔公式

达朗贝尔公式（D'Alembert's formula）是解一维波动方程（Wave Equation）的经典公式。一维波动方程是描述一维波动传播的方程，形式为：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$是波函数，$c$是波速，$x$和$t$分别表示空间和时间。由于常微分方程只有一个自变量，因此我们需要对时间或空间变量进行临时的剖分才能解决这类方程。

达朗贝尔公式给出了波函数在任意时刻和任意位置的解析表达式，形式为：

$$u(x,t)=\frac{1}{2}[f(x+ct)+f(x-ct)]+\frac{1}{2c}\int_{x-

ct}^{x+ct}g(y)dy$$

其中，$f(x)$是初始波形（Initial Waveform），$g(x)$是初始速度（Initial Velocity），$c$是波速。这个公式的第一项表示波源在$t=0$时刻释放的波形在$x$处的振幅随时间的变化，第二项表示波源在$t=0$时刻释放的波速在$x$处的振幅随时间的变化。

第十章波动方程的达朗贝尔解

第十章波动方程的达朗贝尔解(9)

一、内容摘要

1．行波法达朗贝尔公式

行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有。一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：

()()()()()()()

20,,0,0,,0.tt xx t u a u x t u x x x u x x x ϕψ⎧-=-∞<<∞≥⎪=-∞<<∞⎨⎪=-∞<<∞⎩ 可以证明，原问题具有如下形式的通解：

()(),u x t f x t α=+将该通解代入泛定方程得到该方程的附加方程：220a α-=；且解为a α=±。原方程的通解可以表示为:

()()()12,u x t f x at f x at =++-．

原方程满足初始条件的特解可以表示为:

()()()()11,[]+''22x at x at u x t x at x at x dx a

ϕϕψ+-=++-⎰，这个式子就是达朗贝尔公式()(),x x ϕψ为任意二次可微函数.达朗贝尔解可以理解为扰动在弦上总是以行波的形式沿相反的两个方向传播出去，因此该解发又称为行波法或传播波法。

2．行波法要点

行波法始原于研究行进波，其解题要领为：

（1）引入变量代换，将方程化为变量可积的形式，从而求得其通解；

（2）用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。

由于大多偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有较大局限性，但对于研究波动问题而言，有它的特殊优点。

波动方程或称波方程

波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.

历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。

波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：

这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.

在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c应该用波的相速度代替：

实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：

另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。

三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:

达朗贝尔波动方程

引言

达朗贝尔波动方程（D’Alembert’s wave equation）是描述波的传播和振动的一种数学方程。它在物理学和工程学的各个领域中都有广泛的应用。本文将从基本概念、方程的推导、特解以及应用等方面深入探讨达朗贝尔波动方程。

一、基本概念

1. 波动

波动是指能量在介质或空间中传播的过程。波可以是机械波、电磁波等不同类型的波动。波动可以通过振动产生，并以波的形式传递能量。

2. 波动方程

波动方程是描述波动过程中物质或场的运动状态的方程。达朗贝尔波动方程是一维波动方程的一种形式，可用于描述沿一条方向传播的波。

二、方程的推导

达朗贝尔波动方程可从牛顿第二定律和胡克定律推导得到。设在一根弦上的波动，假设弦是均匀的、细长的、不可延伸的，并忽略重力效应。则在弦元上的受力可表示为：

dF=T⋅∂2y ∂x2

其中，y表示弦元的垂直偏移量，x表示弦元所在位置，T表示弦的张力。根据牛顿第二定律，弦元的加速度与受力之间存在关系：

∂2y ∂t2=

⋅

∂2y

∂x2

其中，t表示时间，μ表示弦的线密度。

由于波沿弦方向传播，假设波的传播速度为v，即：

v=dx dt

将上述关系带入方程中，得到达朗贝尔波动方程：

∂2y ∂t2=v2⋅

∂2y

∂x2

三、特解

1. 没有边界

当弦的两端没有固定边界时，方程的特解可表示为：

y=f(x±vt)

其中，f表示初始的波形，正负号分别表示波向左或向右传播。

2. 有边界

当弦的两端有固定边界时，方程的特解可表示为：

y(x,t)=R(x−vt)+S(x+vt)

其中，R和S分别表示左右边界处波的反射情况。

第2章波动方程

由于它们是特征线的交点，所以有
x1 + at1 = x4 + at4 , x3 − at3 = x4 − at4 , x2 + at2 = x3 + at3 , x1 − at1 = x2 − at2 ,
利用通解公式可得
u( A) + u(C ) = F ( x1 − at1 ) + G ( x1 + at1 ) + F ( x3 − at3 ) + G ( x3 + at3 ) , u( B) + u( D) = F ( x2 − at2 ) + G ( x2 + at2 ) + F ( x4 − at4 ) + G ( x4 + at4 ) ,
F ( x − at ) 的解所描述的运动规律，称为右行波，a 是传播速度。同样，形如 G ( x + at ) 的
解，称为左行波。因此一维齐次波动方程的通解是右行波和左行波的叠加，其中 a 是行波
的传播速度。故由一维齐次波动方程的通解求其定解问题的特解的方法又称为行波法。一维齐次波动方程的解具有如下性质：
1
引理 1.1 设 u ( x, t ) 是齐次波动方程 utt − a2uxx = 0 的解，
A, C 和 B, D 是由波动方程的特征线在解域中构成的
平行四边形的两对对顶点（如图），则

一维波动方程的达朗贝尔公式

这个平均值可以写成：
__
u(r,t)
1
u(,, ,t)dS 1 u(,, ,t)d
4 r 2 SrM
4 S1M
其中 SrM 表示以点 M (x, y,为z)中心、以r为半径的球面；
S1M 表示r=1的单位球面。
12
第12页/共44页
__
u (r, t)
1
4 r2
SrM
u( ,,
, t )dS
a f1(x) a f2(x) (x) （9.1.9）
x 式（9.1.9）两端对积分一次，得：
f1(x)
f2 ( x)
1 a
x
( )d C
0
（9.1.10）
由式（9.1.8）与式（9.1.10）解出 f1(x), f2 (x)
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x
(
)d
C
0
2
f2
(x)
1 2
(x)
1 2a
x
(
)d
C
0
2
把确定出来的 f1(x), f2 (代x)回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在条件
（9.1.7）下的解：
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2

波动方程的达朗贝尔公式

将 utt , u xx 代入方程(1), 得到
a 2 ( utt − 2uξη + uηη ) = a 2 ( uξξ + 2uξη + uηη )
uξη = 0 对于这个方程,先关于η 求积分,得
即
uξ = ∫ 0dη = c (ξ )
将上式再关于 ξ 求积分,得
u = ∫ c (ξ )d ξ = F (ξ ) + G (η )
T 千克i米／秒２ T a= 米／秒 = ρ千克／米 ρ
由于a = T ,可见张力越大,或者说弦拉的越紧,波就传播的越快
ρ
密度越小或者说弦越轻细,波也传播的越快.
举例
我们考虑这样一种情况,弦开始是静止的
而初始位移 ϕ ( x ) 不为零.于是自由弦振动方程的解,由
(ψ ( x ) ) = 0
u( x, t) =
−α −
α
2
α+
α
2
x x
−2α
2α
x x
图1
以上例子,从物理来看, 仍是十分明显的事. 然而由于初始函数的导数有不连续点,致使解不能处处满足(1).这个矛盾
⎧0 ⎪ ⎪2 + 2 x ⎪ α ϕ ( x) = ⎨ ⎪2 − 2 x ⎪ α ⎪0 ⎩
( x < −α ) ( −α ≤ x ≤ 0 ) (0 ≤ x ≤ α ) (x >α)

波动方程的达朗贝尔公式

最后我们指出,在求解二阶方程线性常微分方程时,通解中包含两个任意常数,因此,只须两个定解条件,就能完全从中确定一个特解. 而今对于线性偏微分方程,比如对弦振动方程,在求得达氏解,只用了两个定解条件,即两个初始条件,而在求的付氏解时则又添了两个边界条件,一共用了四个边界条件. 那末,对于一个偏微分方程究竟要多少个定解条件,就恰好(不多不少)能够从中确定一个特解呢?这一个问题没有固定的答案. 这个事实,说明偏微分方程的定解问题比常微分方程要复杂的多.
将 utt , u xx 代入方程(1), 得到
a 2 ( utt − 2uξη + uηη ) = a 2 ( uξξ + 2uξη + uηη )
uξη = 0 对于这个方程,先关于η 求积分,得
即
uξ = ∫ 0dη = c (ξ )
将上式再关于 ξ 求积分,得
u = ∫ c (ξ )d ξ = F (ξ ) + G (η )
波动方程的D’Alembert公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2

下篇-4 波动方程的达朗贝尔解

§7.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

at at

= 0

)()

at x ψ

)d ξξ

()()()()()

()()()()()()

()2

0,0(,0),,0,00,00,0(,0),,0,00,0tt xx t tt xx t x u a u x u x x u x x x u t u a u x u x x u x x x u t ϕψϕψ⎧-=<<∞⎪

==≤<+∞⎨⎪=⎩

⎧-=<<∞⎪

==≤<∞⎨⎪=⎩

例2、半无界问题

端点固定端点自由振动

)d ξξ

a⎪⎭

= 0

+∞

本章基本要求：

⏹掌握波动方程的达朗贝尔解法；

⏹理解达朗贝尔解的物理意义。

波动方程的达朗贝尔公式

达朗贝尔公式是描述波动方程解的一种常见方法，它是由法国天文学

家和数学家达朗贝尔于1787年提出的。在描述一维波动问题时，达朗贝

尔公式可以非常有效地解决问题。

首先，我们来看一维波动方程的基本形式：

∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²

其中u(x,t)表示波的位移，v表示波速，x表示空间坐标，t表示时间。

利用达朗贝尔公式，我们可以将一维波动方程的解表示为：

u(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)

其中f(x)和g(x)是任意两个可微函数。

达朗贝尔公式的推导可以通过变量分离法得到。首先，我们将u(x,t)表示为两个变量的函数u(x,t)=F(x)G(t)，然后将其代入波动方程：F''(x)G(t)=v²F(x)G''(t)

两边除以v²FG，得到：

F''(x)/F(x)=G''(t)/G(t)

等式左边只依赖于x，右边只依赖于t，所以两边都等于一个常数k²：F''(x)/F(x)=G''(t)/G(t)=k²

然后我们分别解这两个常微分方程。

对于F''(x)/F(x)=k²，我们可以得到解：

F(x) = A e^(kx) + B e^(-kx)

对于G''(t)/G(t)=k²，我们可以得到解：

G(t) = C e^(ikt) + D e^(-ikt)

其中A、B、C和D为任意常数，i为虚数单位。因此

u(x,t) = F(x)G(t) = [A e^(kx) + B e^(-kx)][C e^(ikt) + D

e^(-ikt)]

我们可以通过组合常数A、B、C和D得到f(x)和g(x)。根据指数函数的性质，我们可以将解写成达朗贝尔公式的形式：

数理方程第三章(1)

x1 at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域. 影响区域
x = x1 at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
对一维波动方程研究起重要作用, 对一维波动方程研究起重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线.波动沿特征线传播. 为一维波动方程的特征线.波动沿特征线传播. 特征线自变量变换
ξ = x + at , η = x at
称为特征变换,行波法也叫特征线法. 称为特征变换,行波法也叫特征线法. 特征变换特征线法
是任意二次连续可微函数, 其中 f1 , f 2 是任意二次连续可微函数,即有
u ( x, t ) = f1 ( 3 x y ) + f2 ( x + y ) .
u | y =0 = 3 x 2 , u y | y = 0 = 0, 把这个函数代入到条件
f1 ( 3 x ) + f 2 ( x ) = 3 x 2 f '1 ( 3 x ) + f '2 ( x ) = 0

一维波动方程的达朗贝尔公式

例3
utt u
a2uxx 0,
|t0 (x),
x
ut |t0 (x)

2u0

x x1 x2 x1
,
其中 ( x)

2u0
x x2 x2 x1
,
0

x1

x

x1
2
x2
x1
x2 2

x

x2
x x1, or, x x2

1 2
[(x

at)
Leabharlann Baidu
(x

at)]

1 2a
xat
( )d
xat
三、达朗贝尔公式的物理意义
(1)设
u1

1 2
[ ( x

at)
(x

at)]
设人在t = 0时在x=c处看到：
(x at) (c 0) (c)
若人以速度a行走，则t时他在x=c+at处将看到
|t0 (x),
x
ut |t0 (x)
通解
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
特解
u(x, t)

1 2
[
(

7-1 一维波动方程的达朗贝尔公式 chen

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23
例题
求解弦振动方程的柯西问题 ⎧ ∂ 2u ∂ 2u ( t > 0, −∞ < x < ∞ ) − 2 =0 ⎪ 2 ∂t ∂x ⎨ ⎪ u( x , 0) = x , u ( x , 0) = sin x ( −∞ < x < ∞ ) t ⎩ 由达朗贝尔公式可得其解为：
解方程:
对η 积分对ξ 积分
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
∂u = f (ξ ),( f (ξ )是ξ 的任意可微函数 ) ∂ξ
u( x , t ) = ∫ f (ξ )dξ + f 2 (η ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
其中 f1 , f 2 都是任意二次连续可微函数.
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1 1 x C f1 ( x ) = ϕ ( x ) + ∫0 ψ (ξ )dξ + 2 2 2a 1 1 x C f2 ( x) = ϕ ( x) − ∫0 ψ (ξ )dξ − 2 2 2a 将上式代回到 u( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
t
( x, t )
依赖区间
O x − at
x + at x

《数理方程》波动方程的达朗贝尔公式

也就是说,初始位移是区间
, 上的一个等腰三角形.

4a
图1给出了这个弦每经过时间
后的相对位移.
假如画出每经过充分小的一段时间之后这线的相对位置, 并以它们为镜头组成活动影片,就可以显示出所给初始扰动的传播过程.
u

x 当t=0时当t= 4 a 时当t= 当t= 当t= 当t=
反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在一有限区间 x1, x2 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范围是什么? 在 x, t 平面上,过
x1,0 和 x2 ,0 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x x1 at
x x2 at
utt a uxx .
2
(iii)
如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函
数 x 换为 x .
问题的解了.
如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 x 换为 x .两者都换了之后,u1+u2就成了定解
现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页)
的影响
x1, x2
u x, t 在区域
上初始扰动的影响.而
在区域II,III中任点的值,都不会受到
上初始扰动的影响.因此,我们把区域I称为区间区域.