专题九 解析几何第二十七讲 双曲线答案

解法二 由 e
b y x 2 x ．故选 A． a
4．C【解析】不妨设一条渐近线的方程为 y 则 F2 到 y
b x， a
| bc | b b， x 的距离 d a a 2 b2
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因为双曲线
x2 y 2 c 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 2，所以 2 ， 2 a b a
所以
a2 9 a 2 b2 4 ，解得 a 2 3 ， 4 ，所以 a2 a2
所以双曲线的方程为
x2 y 2 1 ，故选 C． 3 9
6．A【解析】双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心 (2, 0) 到渐近线的距离为
3 x2 x ，所以 MON 60 ．不 y 2 1 的渐近线方程为 y 2．B【解析】因为双曲线 3 3
妨设过点 F 的直线与直线 y
3 x 交于点 M ，由 OMN 为直角三角形，不妨设 3
OMN 90 ，则 MFO 60 ，又直线 MN 过点 F (2,0) ，所以直线 MN 的方程为
0
b b 而双曲线的渐近性斜率为 ， 所以双曲线的渐近线的斜率取值范围 1， a a
(0,1) ，选 A．
x2 y2 1 ，焦点 F 到一条渐近线的距离为 b 3 ，选 A． 3m 3
是 (1, 0)
18．A【解析】双曲线方程为
19．A【解析】∵ 0 k 9 ，∴ 9 k 0, 25 k 0 ，本题两条曲线都是双曲线， 又 25 (9 k ) (25 k ) 9 ，∴两双曲线的焦距相等，选 A．
d
| 2b a 0 | a b
2 2

2b 2 ，圆心 (2, 0) 到弦的距离也为 d 2 1 3 ， c
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所以 e1 e2 ．所以当 a b 时， e1 e2 ；当 a b 时， e1 e2 ． 15 ． C 【解析】由题意，选项 A, B 的焦点在 x 轴，故排除 A, B ， C 项的渐近线方程为
y2 x 2 0 ，即 y 2 x ，故选 C． 4
16．A【解析】由题意知 a = 2 ， b = 1 ，所以 c = 3 ，不妨设 F1 ( 3, 0) ， F2 ( 3, 0) ，
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专题九
解析几何
第二十七讲 双曲线
答案部分
1．B【解析】由题可知双曲线的焦点在 x 轴上，因为 c a b 3 1 4 ，
2 2 2
所以 c 2 ，故焦点坐标为 (2, 0) ， (2, 0) ．故选 B．
a 2 c2 ( 6a)2 a cos POF2 ， 2ac c
2 2
即 3a 2 c2 ( 6a)2 0 ，得 3a c ．所以 e
c 3 ．故选 C． a
b2 b2 5．C 【解析】 通解 因为直线 AB 经过双曲线的右焦点， 所以不妨取 A(c, ) ，B (c, ) ， a a
8．B【解析】设 F (c, 0) ，双曲线的渐近线方程为 y 有
b 4 4 x ，由 kPF ，由题意 a c c
4 b c ，又 2 ， c 2 a 2 b2 ，得 b 2 2 ， a 2 2 ．选 B． a c a
4 x2 y2 4 x 4 b2 9．D【解析】不妨设 A 在第一象限， A( x, y ) ，所以 ，解得 ， b 2b y x y 2 4 b2
所以
2b c 3 ，又 c 2 a 2 b2 ，所以得 c 2a ，所以离心率 e 2 ，选 A． c a
b 5 2 2 ， c 3 ，又 a 2 b 2 c 2 ，解得 a 4 ， b 5 ， a 2
7．B【解析】由题意可得：
则 C 的方程为
x y 2 1 ．选 B． 4 5
c a e 1 2 2 2 e 1 0 ，所以 e 2 ，故选 A． ，所以 e 2 2 a 2c 2 2e 4
12．D【解析】由双曲线的标准方程 x
2
y2 1 得，右焦点 F (2,0) ，两条渐近线方程为 3
y 3x ，直线 AB ： x 2 ，所以不妨设取 A(2, 2 3) ， B(2, 2 3) ，
3 3 y0 ，故选 A． 3 3
17．A 【解析】 由题意 A(a, 0), B(c,
b2 b2 ), C (c, ) ，由双曲线的对称性知 D 在 x 轴上， a a
b2 b2 0 b4 设 D( x,0) ， 由 B D A C 得 a ，所以 a 1 ， 解 得 c x 2 a (c a) c x ac
y 3( x 2) ，
y 3( x 2) x 由 ，得 3 x y y 3
所以 | OM |
3 3 3 2 ，所以 M ( , )， 2 2 3 2
3 3 ( )2 ( )2 3 ， 2 2
所以 | MN | 3 | OM | 3 ．故选 B． 3．A【解析】解法一 由题意知， e
b 20．A【解析】 依题意得 c c
x2 5 y2 20 1．
2
2a 5 a
2
，所以 a
2
5 ， b2
20 ，双曲线的方程为
b
2
21．B【解析】由双曲线的定义得 || PF 1 | | PF 2 || 2a ，又 | PF 1 | | PF 2 | 3b ，
2 2 2 2 所以 (| PF 1 | | PF2 |) (| PF 1 | | PF2 |) 9b 4a ，即 4 | PF 1 || PF 2 | 9ab ，
b 必须满 a
足
3 b 2 3 b 1 b 2 4 b 2 ≤ 3， 所以 ( ) ≤ 3 ， 1 ( ) ≤ 4 ， 既有 1 ( )2 ≤ 2 ， 3 a 3 a 3 a 3 a
故选 B． 14．D【解析】由题意 e1
a 2 b2 b 1 ( )2 ， a a
e2
∵
(a m) 2 (b m) 2 bm 2 1 ( ) ， am am
b b m m(b a ) ，由于 m > 0 ， a > 0 ， b > 0 ， a a m a ( a m)
渐近线方程为 y
1 x ，故选 C． 2
23．D【解析】双曲线 C1 的离心率是 e1
1 ，双曲线 C2 的离心率是 cos
e2
sin 2 1 tan 2 sin

1 ，故选 D． cos
24．A【解析】设双曲线的焦点在 x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率
则 | AB | 4 3 ，选 D．
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3 PF2 6 ，解得 PF2 9 ， 13．B【解析】由双曲线定义得 PF 1 PF 2 2a 6 ，即
取双曲线的一条渐近线为直线 bx ay 0 ，
bc b 2 | bc b 2 | bc b 2 由点到直线的距离公式可得 d1 ， d2 ， c c a 2 b2 a 2 b2
因为 d1 d2 6 ，所以
| bc b 2 |
bc b 2 bc b 2 6 ，所以 2b 6 ，得 b 3 ． c c
2 2 2
所以 MF1 ( 3 x0 , y0 ) ， MF2 ( 3 x0 , y0 ) ， 又∵ M ( x0 , y0 ) 在双曲线上，所以
2 x0 2 2 2 y0 1 ，即 x0 ， 2 2 y0 2
2 2 2 MF 1 MF 2 x0 3 y0 3 y0 1 0 ，所以
cx
b4 b2 b4 2 2 2 2 2 c a b 1 ，所以 a a b a c a2 a2 a 2 (c a )
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所以当 a > b 时， 0
b bm b bm b bm 2 ， ( )2 ( 1， 0 1， ) ， a am a am a am
所以 e1 e2 ；当 a b 时，
b bm b bm b bm 2 ， ( )2 ( 1 ，而 ) ， 1， am a am a am a
因此 9b 4a 9ab ，即 9( )
2 2
b a2Βιβλιοθήκη 9b 3b 3b （ 4 0 ，则（ 1 ） 4 ）=0， a a a
解得
b 2 5 b 4 b 1 ，则双曲线的离心率 e 1 ( ) ． ( 舍去） a 3 a 3 a 3
b2 1 5 c2 a2 b2 b 1 c 5 22．C【解析】由题知， ，即 = 2 = ，∴ 2 = ，∴ = ，∴ C 的 2 a a 4 4 a a 2 a 2
x2 y 2 c 因为双曲线 2 2 1( a 0, b 0) 的离心率为 2，所以 2 ， a b a
所以
a2 9 a 2 b2 4 ，解得 a 2 3 ， 4 ，所以 a2 a2
所以双曲线的方程为
x2 y 2 1 ，故选 C． 3 9
优解 由 d1 d2 6 ，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b 3 ．
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在 RtF2 PO 中， | F2O | c ，所以 | PO | a ， 所以 | PF1 |
6a ，又 | F1O | c ，所以在 F1PO 与 RtF2 PO 中，
根据余弦定理得 cos POF1
2 2 2
11．A【解析】设 F1 ( c,0) ，将 x c 代入双曲线方程，得
c2 y 2 b2 ，化简得 ， 1 y a 2 b2 a
b2 | MF1 | a b2 c2 a2 1 ， 因为 sin MF2 F1 ，所以 tan MF2 F1 | F1 F2 | 2c 2ac 2ac 3
故四边形 ABCD 的面积为 4 xy 4
4 4 b2

2b 4 b2

32b 2b ， 4 b2
解得 b 12 ．故所求的双曲线方程为
2
x2 y2 =1 ，选 D． 4 12
2 2
10．A【解析】由题意得 (m2 n)(3m2 n) 0 ，解得 m n 3m ，又由该双曲线两焦 点间的距离为 4，得 M m n 3m n 4 ，即 m 1 ，所以 1 n 3 ．
c 3 ，所以 c 3a ，所以 b c 2 a 2 2a ， a b b 所以 2 ，所以该双曲线的渐近线方程为 y x 2 x ，故选 A ． a a
c b b 1 ( )2 3 ， 得 2 ， 所 以 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 a a a