江苏省仪征市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题苏教版

仪征市2013―2014学年第一学期期末考试
高二数学试卷 2014.1
一、填空题（14570''⨯=）
1．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ． 2. 抛物线x ＝8y 2
的焦点坐标为 ．
3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：
①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β； ④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确命题的序号是________．
4．棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ．
5．执行右边的程序框图6，若p ＝0.8，则输出的n ＝ ． 6. 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 .
7. 曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为_________. 8.在区间[,]22ππ
-
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到2
1
之间的概率为__ ___． 9．函数1
2ln y x x
=
+的单调减区间为___________. 10．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有________根的棉花纤维的长度小于20mm 。

11．若函数f (x )＝e x
－2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 12.已知函数x
m
x x f -
=ln )((R m ∈)在区间],1[e 上取得最小值4,则=m _ __. 13．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，
则椭圆C 的离心率为____________．
14．已知函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是______
__．
第5题
二、解答题（第15、16每题14'，17、18每题15'，19、20每题16'） 15．设命题p ：函数2
1
()lg()16
f x ax x a =-+
的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切实数均成立。

（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
（2）如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。

16．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：
(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生
随机地编号为000，001，002，…799， 试写出第二组第
一位学生的编号；
(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图；
(3)若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的约多少人？
18.(文) 请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如下图所示）。

试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
(理)某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知
====其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线AB km BC km AE BF km
2,6,4,
段．试求该高科技工业园区的最大面积．
19. 已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，
△F 1MF 2是等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程；
(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，
且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2.
20. 已知函数f(x)＝mx 2
－x ＋lnx.
(1) 当m ＝－1时，求f(x)的最大值； (2) 若在函数f(x)的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，求m 的取值范围；
(3) 当m ＞0时，若曲线C ：y ＝f(x)在点x ＝1处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值．
仪征市2013―14学年第一学期期末考试 高二数学试卷 2014.1
一、填空题（14570''⨯=） 1．“2,0x R x x ∀∈+> 2. 1,032⎛⎫
⎪⎝⎭
3．①③ 4．π3 5．4 6. 0.02 7.(0,0) 8. 2
3 9．1(0,]2
10．30 11．(2－2ln 2，＋∞) 12. e 3- 13
． [0,1]∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－3
2，－12
二、解答题（15、16每题14'，17、18每题15'，19、20每题16'） 15．解答：（1）若命题p 为真命题，则2
0,16a
ax x x R -+
>∈恒成立02a a >⎧⇒⇒>⎨⎩
△<0 （2）若命题q 为真命题，则1394
x
x
a a -<⇒>
； “p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假 故1(,2]4
a ∈。

16.解: (1)编号为016； (2)
(3)在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是16
0.3250
=，即获二等奖的概率约为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。

18.(文)解：设OO 1为xm ，则1<x<4
由题设可得正六棱锥底面边长为：22
228)1(3x x x -+=
--（单位：m ）
故底面正六边形的面积为：)28(2
33)28(436222x x x x -+⋅=-+⋅⋅
（单位：m 2）
频率 组距
帐篷的体积为：]1)1(31)[28(233)(2+--+=
x x x x v )1216(2
3
3x x -+=（单位：m 3）
求导得)312(2
3
)(2x x v -=
'，令0)(='x v 解得21-=x （舍去）22=x 当21<<x 时，)(,0)(x V x V >'为增函数；当42<<x 时，)(,0)(x V x V <'为减函数
故当2=x 时，V （x ）最大. 答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3
316m
(理)解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则(0,0),(2,4)A F …（2分）
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为2(0)y ax a =>，由2
42a =⨯得，1a =，
∴AF 所在抛物线的方程为2y x =，…………（5分） 又(0,4),(2,6)E C ，∴EC 所在直线的方程为4y x =+，
设()(02)P x x x <<2，，则22,4,4PQ x QE x PR x x ==-=+-，…………（9分）
∴工业园区的面积2232
1
1(44)422
S x x x x x x x =-++-⋅=-++(02)x <<，…………（12分）
∴2
34,S x x '=-++令0S '=得4
3x =
或1x =-（舍去负值） ，…………（13分） 当x 变化时，S '和S 的变化情况如下表：
x
4(0,)3
43
4(,2)3
'
+ 0 - ↑
极大值
104
27
↓
由表格可知，当43x =
时，S 取得最大值10427． 答：该高科技工业园区的最大面积10427
． 19. (1)因为b ＝2，△F 1MF 2是等腰直角三角形，所以c ＝2，所以a ＝22，
故椭圆的方程为x 28＋y 2
4
＝1.(2)证明：①若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ，A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x 2，y 2)，联立方程得，⎩⎪⎨⎪⎧
x 28＋y 2
4
＝1，
y ＝kx ＋m ，
消去y ，得(1＋2k 2
)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－8＝0，则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k ，x 1x 2＝2m 2
－8
1＋2k
.
由题知k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝8，所以kx 1＋m －2x 1＋kx 2＋m －2
x 2
＝8， 即2k ＋(m －2)
x 1＋x 2x 1x 2＝8.所以k －mk m ＋2＝4，整理得m ＝12
k －2. 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋12k －2，即y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12－2.
所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2.
②若直线AB 的斜率不存在，设直线AB 的方程为x ＝x 0，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)， 则由题知
y 0－2x 0＋－y 0－2x 0＝8，得x 0＝－12.此时直线AB 的方程为x ＝－12
， 显然直线AB 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2.综上可知，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2.
20. (1) 当m ＝－1时，f(x)＝－x 2
－x ＋lnx ，
所以f′(x)＝－2x －1＋1x ＝－（2x －1）（x ＋1）
x
，
所以当0＜x ＜12，f′(x)＞0，当x ＞1
2，f′(x)＜0，
因此当x ＝12时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－34－ln2.(3分) (2) f′(x)＝2mx －1＋1x ＝2mx 2
－x ＋1x
，即2mx 2
－x ＋1＜0在(0，＋∞)上有解．
① m ≤0显然成立；
② m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ＞0m ＜1
8
，
综上，m ＜1
8
.(8分)
(3) 因为f(1)＝m －1，f′(1)＝2m ，
所以切线方程为y －m ＋1＝2m(x －1)，即y ＝2mx －m －1，
从而方程mx 2
－x ＋lnx ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解．
令g(x)＝mx 2
－x ＋lnx －2mx ＋m ＋1，则
g ′(x)＝2mx －1－2m ＋1x ＝2mx 2
－（2m ＋1）x ＋1x ＝（2mx －1）（x －1）
x
，(10分)
所以1° m ＝1
2
，g′(x)≥0，
所以y ＝g(x)在x∈(0，＋∞)单调递增，且g(1)＝0，
所以mx 2
－x ＋lnx ＝2mx －m －1只有一解．(12分)
2° 0＜m ＜12，x∈(0，1)，g′(x)＞0；x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12m ，g′(x)＜0；x∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m ，＋∞，
g′(x)
＞0
由g(1)＝0及函数单调性可知g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m ＜0， 因为g(x)＝mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋lnx ＋1，取x ＝2＋1m ，则g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋1m ＞0. 因此在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m ，＋∞方程mx 2
－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意(14分)
3° m ＞12，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m ，g′(x)＞0；x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，1，g′(x)＜0；x∈(1，＋∞)，g′(x)
＞0
同理在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 方程mx 2
－x。