中学数学向量.板块一.向量的概念与线性运算.学生版

题型一： 向量及与向量相关的基本概念

【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由：

（1）共线向量一定在同一条直线上。 （ ） （2）所有的单位向量都相等。

（

）

（3）向量a b →

→

与共线，b c →

→

与共线，则a c →

→

与共线。 （ ）

（4）向量a b →

→

与共线，则//a b →

→

（ ） （5）向量//AB CD →

→

，则//AB CD 。

（ ） （6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 （

）

【例2】 给出命题

⑴零向量的长度为零，方向是任意的. ⑵若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . ⑶向量AB 与向量BA 相等.

⑷若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是（ ）

A ．⑴

B ．⑵

C ．⑴⑶

D ．⑴⑷

【例3】 如图，在正方形ABCD 中，下列描述中正确的是（ ）

A ．A

B B

C = B ．AB C

D =

C ．2AC AB =

D ．AB BC AB BC +=-

D

C

B A

典例分析

板块一.向量的概念

与线性运算

【例4】 下列命题正确的是（ ）

A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

【例5】 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；②若a 与0a 平行，

则0a a a =⋅；③若a 与0a 平行且1a =，则0a a =．上述命题中，假命题个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例6】 下列命题中正确的有：

( )

⑴四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB DC =； ⑵向量AB 与BA 是两平行向量；

⑶向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上； ⑷单位向量不一定都相等；

⑸a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线； ⑹平行向量的方向一定相同；

【例7】 判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若a b =，则a b = (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a

=； (7)若b a //，c b //，则c a //

(8)若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A

(9) b a =的充要条件是||||b a

=且b a //；

【例8】 在四边形ABCD 中，“AB

→＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件

【例9】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由

①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB CD =

⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

【例10】 平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）

A ．a ，b 方向相同

B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量

C ．λ∃∈R ，b a λ=

D ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=

【例11】 给出下列命题：

①若a b =，则a b =；

②若A B C D ，，，是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；

其中正确的序号是 ．

题型二: 向量的加、减法

【例12】 化简()()AB CD AC BD ---

【例13】 化简下列各式：

⑴ 7()8()a b a b +--；⑵ 1

2(2)(432)6

a b c a b c +---+

【例14】 若32m n a +=，3m n b -=，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .

【例15】 设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）

A ．0PA P

B += B ．0P

C PA += C ．0PB PC +=

D ．0PA PB PC ++=

【例16】 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）

D

C

B

A

A ．A

B D

C = B ．A

D AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=

【例17】 D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =（ ）

A ．12BC BA -

B ．12B

C BA -- C ．12BC BA -+

D ．1

2

BC BA +.

【例18】 根据图示填空：

⑴ a b += ；⑵ e b d ++= ．

【例19】 已知O A B ，，是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，

则OC =( )

A ．2OA O

B - B ．2OA OB -+

C ．2133OA OB -

D ．12

33

OA OB -+

【例20】 设D ，E ，F ，分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且

2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )

A.反向平行

B.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直