基本割集矩阵
上海交通大学研究生入学考试488基本电路理论基本电路答案4
图中：
图a电路属于翻转对称，其等效电路如图c所示。图b属于旋转对称，其等效电路如图d所示。
题6．6图（c）题6．6图（d）
由图c
图d可简化为图e
题6．6图（e）
4-40试求如图所示网络中的电压v0。
解：
题6．7图
题中网络可等效为图a所示网络，如上题，电路a的解可分解为具有翻转对称网络和具有旋转对称网络两钟情况迭加。这两种情况的等效网络分别示于图b和c。
4．5解：
题4.5图
把点路图重画，去掉虚支路，并以节点4为参考节点。
根据电路图可得：
则根据系统步骤可得：
两个电源放出功率：电压源 ，电流源 。
4-6如图所示的电路中，R1=R2=R3=R4=30，R5=R6=R7=50，Vs1=Vs2=Vs3=200V，is4=10A。试用视察法列出该电路的节点方程，并求出电流i1,i2,i3和i4。
解：
题6．5图
连接于A、B两点的1A电流源可以用分别连接于A与B点至无限远处的两个1A电流源来代替，如下图所示：
然后分别求出与，由于对称的原因，每个电流单独作用时，流过R的电流为0.25A，
根据迭加定理：
4-39试求如图所示的网络中的电压v1和电流i1，设R=1Ω。
解：
题6．6图
根据迭加定理，电路解可分解为下列两种情况之和：
题6．9图（a）题6．9图（b）题6．9图（c）
入端电阻
所以，戴维宁电路如图b所示，并由此得诺顿电路如图c所示，图中：
4-43试求出如图所示网络的戴维宁等效电路。
解：
题6．10图
理想变压器的性能方程为
， ，
入端电阻由图a求得。为试验电压，有
网络的矩阵方程
i3=im2 i4=-im1 i5=im1-im2
…
ห้องสมุดไป่ตู้
支路电流等于流经该支路的网孔电流 的代数和， 两者用M阵联系。
1 2
2、用网孔矩阵M表示的KVL
1 2
4
im 1 5
im 1
3
对每一网孔列写KVL方程： u1-u4+u5=0 写为矩阵形式
u1 u 2 1 u3 0 1 u 4 u 5
-
+ us
Ib=GbUb+Isb-GbUSb
i1 G1 i2 0 i3 0 i4 = 0 i5 0 i6 0 0 G2 0 0 0 0 0 0 G3 0 0 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 0 0 G6
is u1 -is u2 0 u3 0 +0 u4 u5 0 u6 0 G1 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0 0 0 0 G3 0 0 0 0 0 0 G4 0 0 0 0 0 0 G5 0 0 0 0 0 0 G6 0 0 0 0 uS 0
1 2 3 4 5
u5=un2
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
对于任意指定的参考节点，（ n-1） 个节点与参考节点间的电压（节点 电压Un）是一组独立、完备的电压 变量。
u u u
16.2
网络结构的矩阵描述
16.2.1 结点关联矩阵 结点关联矩阵Aa 用矩阵形式描述结点和支路的关联性质 1、Aa的编写规则 Aa=
支路 结点
aik
1 支路k与结点i关联，且方向离开结点i aik= -1 支路k与结点i关联，且方向指向结点i 0 支路k与结点i不关联
11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
§11-3 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵一、关联矩阵 0Ai =支路电流列向量关联矩阵, 支路与节点的关联关系降阶的关联矩阵11jk k j a k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与节点关联，且离开支路与节点关联，且指向支路与节点不关联 二、回路矩阵1，独立回路矩阵： 支路电压列向量独立回路矩阵, 反映支路与独立回路的关联关系11jk k j b k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与回路关联，且方向一致支路与回路关联，且方向不一致支路与回路不关联 2，基本回路矩阵： f B 约定： ①将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列②将连支对应的列号取为基本回路号③取连支方向作为基本回路方向举例：如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本回路如下5 31243561001100101111001011f t t B B ⎡⎤⎢⎥=---=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦标准形式 三、割集矩阵1，独立割集矩阵1123213463156:0: 0:0Q i i i Q i i i i Q i i i -++=-++=-+=1234561110001011010100011i i i i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0Qi =支路电流列向量独立割集矩阵,反映支路与独立割集的关联关系1,1,0kj k j q k j k j +⎧⎪=-⎨⎪⎩支路与割集关联且方向一致支路与割集关联且方向不一致支路与割集不关联2，基本割集矩阵 f Q约定： ①将树支与连支按支路编号由小到大分别集中排列②将树支对应的列号称为基本割集号③取树支方向作为基本割集方向Q举例：如下图支路1、2、4为连支，支路3、5、6为树支，则基本割集如下，基本割集矩阵为3 5 6 1 2 41001100101111001011f tt Q Q -⎡⎤⎢⎥=-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦标准形式 比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵，可以看出对于同一个有向图，选取同一棵树，当连支分块和树支反映中，各支路左右顺序不变时，则有：T l t Q B =-事实上，该关系式可以得到证明，详见书中§11-4 。
高等电路：割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
➢ 图论的基本概念 ➢ 割集 ➢ 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
➢ 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
➢ 支路方程的矩阵形式 ➢ 回路电流方程的矩阵形式 ➢ 结点电压方程的矩阵形式 ➢ 割集电压方程的矩阵形式
§ 1-2 割集
一、割集的概念 1、割集的概念 割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： 1、 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； 2、保留Q 中的任一条支路，其余都移去， G还是连通的。 2、割集的判断方法
3 5
4 67 8
3、 基本回路矩阵Bf的作用
①用基本回路矩阵Bf表示矩阵形式的KVL方程； ②
设 u [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]T
３
４
ul
ut
各支路电压的排列顺序与矩阵Bf中
①
2６ 3
③
５
各列所对应的支路的顺序相同
２
Bf u =
134256 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 10 1
1 5
6u
x
1 3
ux
32 V 3
§ 1-3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一、 图的矩阵表示 图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即
KCL和KVL的矩阵形式。 三种矩阵形式：
结点 回路 割集
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
二、关联矩阵A(描述结点和支路的关联性质)
1、关联矩阵A
n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：
il
2
ii24
il1 il3 il2 il3
i5
i6
①
３
４
2６ 3
５
２
流体名词简答
1.流体网络: 无论是矿井的通风系统（包括有风流流动的井巷通道、调节风量分配用的构筑物、作为通风动力的风机等等），还是城市集中供热系统（包括输送管路、各种调节阀门、作为动力的泵站等等），以及城市煤气输送系统、自来水供应系统、集中空调系统等各种有流体流动的管路系统，它们都有一共同的特点，那就是它们都是由输送流体的管路、各种调节设施及动力设施构成，流体管路连接在一起形成流体网络。
2. 分支: 抛开流体网络的各种属性，只考虑流体管路的几何连接拓扑关系。
为此，将管路称之为分支。
3. 节点: 三条以上分支的连接点称之为节点；有时为研究问题方便，将管路的某种属性的交变点也称为节点，也就是说两条物理属性不同的分支的交点也称之为节点；还有一类分支，其一端与其他分支相连接，而另一端是自由的，不与任何分支相连接，将这类端点也称为节点。
4. 图：将流体网络中的节点和分支的集合称为图，记为),(E V G = ，式中，V 表示节点的集合，{}m v v v V ,,,21 = ，m为节点数，V m =；E 表示分支集合，{}n e e e E ,,,21 = ，n为分支数，E n =5.有向图: 分支k e 对应着的两个节点分别为i v 和j v 。
当流体流动的方向是j i v v →，此时将分支k e 写成()j i k v v e ,=，图G 称为有向图6. 无向图:当流体流动方向尚未确定，或者流体流动方向与我们所研究的问题无关时，网络分支k e 即可写成j i k v v e ,=，也可写成i j k v v e ,=，图G 称为无向图。
7. 关联: 在图),(E V G = 中，如果节点i v 是分支k e 的一个节点，则称分支k e 和节点i v 相关联。
8. 邻接: 对于节点i v 和j v ，若E v v j i ∈,，则称i v 和j v 是邻接的。
9．子图；对图()E V G ,= 和()E V G ''=', 来说，若有V V ⊆' 和E E ⊆' ，则称图G ' 是G 的一个子图。
割集
Qinwei report
割集网络方程及应用
2
割集网络方程的应用 配电系统的故障模式直接与系统的最小割集相关联。最小割集是
一些元件的集合，当它们失效时，必然会导致系统失效。最小割集法 是将计算的状态限制在最小割集内，而不须计算系统的全部状态，从 而大大节省了计算量。每个割集中的元件存在并联关系，近似认为系 统的失效度可以简化为各个最小割集不可靠度地总和，从而对配电网
2
割集网络方程的应用
利用基本割集矩阵Q和降价关联矩阵A的关系，由Q得到A，进而
画出对应的网络图。还可以由基本回路矩阵得到对应的网络图，其 基本思路为利用基本回路矩阵和基本割集矩阵的关系，先由基本回
路矩阵直接写出基本割集矩阵，再由基本割集矩阵得到对应网络图
。割集定理可以用来确定不良数据的可检测性和可辨识性。
阵的广义特征值和特征矢量求解微分方程。 应用广义割集矩阵的概念，在故障树快速求解方法中求解模块
最小割集及故障树最小割集。 利用基本割集矩阵和基本回路矩阵问的对偶关系求取对偶电路 的方法。该方法系统性强，物理意义清楚，尤其在确定对偶电源的 极性或方向时，简捷方便。
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割集网络方程及应用
引起顶上事件发生必须的最低限度的割集。最小割集的求取方法有行 列式法、布尔代数法等。 最小割集表示系统的危险性 求出最小割集可以掌握事故发生的各种可能，了解系统的危险性。 每个最小割集都是顶上事件发生的一种可能，有几个最小割集，顶上 事件的发生就有几种可能，最小割集越多，系统越危险。从最小割集 能直观地、概略地看出，哪些事件发生最危险，哪些稍次，哪些可以 忽略，以及如何采取措施，使事故发生概率下降。
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2023年国家电网招聘之电工类能力提升试卷A卷附答案
2023年国家电网招聘之电工类能力提升试卷A卷附答案单选题（共30题）1、选择电气设备时，应使所选电气设备最高工作电压（）电气设备装置点的电网最高允许电压。
A.不高于B.不低于C.等于D.无影响【答案】 B2、短路的类型不包括（）。
A.单相接地短路B.两相短路C.两相短路接地D.三相短路接地【答案】 D3、高频闭锁保护比高频允许保护的优点是（）。
A.故障并伴随通道破坏时可以可以正确动作B.能快速地反映各种对称和不对称故障C.在电压二次断线时不会误动D.系统振荡无影响，不需采取任何措施【答案】 A4、在变电所中，当低压母线发生故障时，应由（）来动作跳闸。
A.相应变压器的过电流保护B.母线的过电流保护C.母线的电流速断保护D.母线的限时电流速断保护【答案】 A5、()是一切电介质和绝缘结构的绝缘状态最基本的综合特性指标。
A.绝缘电阻B.绝缘老化C.介电常数D.老化系数【答案】 A6、电感、电容相串联的正弦交流电路，消耗的有功功率为（）A.UIB.I^2XC.0【答案】 C7、低压选相元件为（）A.低电压继电器B.过电压继电器C.过电流继电器D.以上都不对【答案】 A8、安全净距的 A1 是针对( )。
A.线电压B.相电压C.额定电压D.工作电压【答案】 B9、在电网振荡时，振荡中心（）A.位于电源处B.位于系统综合阻抗的 1/2 处C.位于负荷处D.根据电网运行方式而改变【答案】 B10、断路器和隔离开关等开关电器的断口两侧引线带电部分之间，应满足（）的要求A.A 值B.A2 值C.B1值D.D 值【答案】 B11、换流器抑制谐波用的滤波器接线形式为（）A.串联B.并联C.混联D.无具体要求【答案】 B12、各类安全距离在国家颁布的有关规程中均有规定。
当实际距离大于安全距离时，人体及设备才安全。
220kV和110kV设备的安全距离分别是（）。
A.3米和1.5米B.6米和3米C.1米和1.5米D.5米和1米【答案】 A13、柔性交流输电的概念是由美国学者 N. G. Hingorani博士于（）年提出A.2006B.2001C.1986D.1950【答案】 C14、关于电力系统的有功备用容量，下述说法中错误的是（）。
关联矩阵,回路矩阵和割集矩阵的关系
关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵的关系对于同一个电路，若各支路，节点的编号及方向均相同时，其列写出的关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵之间存在着一定的联系。
对于图7-5-1所示的有向图，选支路1、2、3为树支，作单树支割集如图所示，则可写出其基本回路矩阵与基本割集矩阵如下：图 7-5-1用左乘，可得：即有：（7-5-1）由矩阵性质可得另一形式为：（7-5-2）此二式反映了相同编号的网络中，基本割集矩阵与基本回路矩阵之间的关系。
对于式7-5-1的一般证明可简略描述如下：令，则D中任一元素为，下标j表示第j条单连支回路，k表示第k个割集，而则表示把第j回路中i支路元素与第k割集中i支路元素相乘。
显然，若i支路不是同时包含在j回路与k割集中，则其乘积必为零。
而同时包含在j回路与k割集中的支路条数必为偶数。
因为若移去k割集的所有支路，则电路分为独立的两部分。
若闭合回路跨越两部分电路，显然其连接两部分的支路条数（包含在k割集中）必为偶数条。
例如对于图7-5-1所示的网络，同时包含在割集1与回路1（由支路4组成的单连支回路）中的支路为4与1。
对于成对出现在回路和割集中的支路，如果二条支路方向与回路一致，（此时对应行中二个元素同号），则该二条支路与割集方向必一正一反（此时对应行中二个元素异号），则的值必为零。
反之，若二条支路方向与回路方向一正一反，则相对于割集方向必同号，其乘积亦为零。
可见矩阵D中元素均为零，从而可推出式（7-5-1）。
若网络支路编号严格按先树支后连支编排，则式（7-5-1）可写为：即有：（7-5-3）式中，表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。
对于图7-5-1的电路，若设节点4为参考节点，写出它的关联矩阵为：用A左乘，得：即有：（7-5-4）或（7-5-5）实际上若选择割集只包围一个节点，且割集方向离开节点，则这样组成的割集即为关联矩阵A，即是说关联矩阵无非是割集矩阵的一种形式。
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
矩阵论在电路分析中的应用
矩阵论在电路分析中的应用摘要: 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵理论与方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论与方法也有着十分重要的应用。
当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
本文以电路分析为例，讲解矩阵论的重要作用。
关键词: 矩阵论；电路分析Application of matrix theory in circuit analysisAbstract: With the rapid development of science and technology, classical linear algebra knowledge can no longer meet the needs of modern science and technology. Matrix theory and methods have become essential tools in modern science and technology. Disciplinary fields such as numerical analysis, optimization theory, differential equations, probability statistics, cybernetics, mechanics, electronics, and networks are all closely related to matrix theory. Even in thefields of economic management, finance, insurance, social sciences, matrix theory also has very important applications. The rapid development of today's electronic computers and computing technologies has opened up a wider prospect for the application of matrix theory. This article uses circuit analysis as an example to explain the important role of matrix theory.Key words: Matrix theory; circuit analysis在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图，每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
《图论》第7章-回路矩阵与割集矩阵
1 aj 在si 中且方向一致
sij = -1 aj 在si 中且方向相反 0 其他
若S1、S2、… 、Sk 包含了中所有割集，称S为G的完全割
集矩阵，记为 Se 。
[基本割集矩阵] 由G的所有基本割集构成的割集矩阵成为G的基
本割集矩阵,记为 Sf 。
19
7.3 割集矩阵
[定理7-3-1] 有向连通图 G=(V, A)，n =|V|，m =|A|，则其任意基
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
16
7.2 割集
[定理7-2-3] 设T是连通图G的一棵生成树，e 是T的一条弦，C 是由 e 确定的 T+e 中的基本回路。则 e 包含在由C中除 e 外的每条边确定的基本割集中，而不在其他的基本割集中。 [证明] ① 设 bC且 be，S是 b 确定的基本割集。由[定理7-2-2] C和S除了b外应该还有一条公共边。S 除了b以外其它边都 是T的余树边，而C中只有 e 是T的余树边，所以此公共边 只能是e，也即e包含在S中。② 若e被包含在一个由T的树 枝 h 确定的基本割集 S 中，由[定理7-2-2] C和 S 除了e 外 应该还有一条公共边。 C 除了e以外其它边都是T的树枝， 而S中只有 h 是T的树枝，所以此公共边只能是 h，也即 h 理7-2-4] 设T是连通图G的一棵生成树，b 是T的一条树枝，S 是由 b 确定的G的基本割集。则 b 包含在由S中除 b 外的每
35第三十五讲 割集和矩阵
Bf= [１l Bt ] １
（15-4） ）
基本回路矩阵一般都写成（ 基本回路矩阵一般都写成（15-4）的形式 ）
bij= -1
0
例
４ ①
② ５
取网孔为独立回路， 取网孔为独立回路，顺时针方向
③
1
２
３ 2 ６ ④1
3
支1 2 3 4 5 6 回 1 0 1 1 1 0 0 B = 2 0 0 -1 0 -1 1 3 1 -1 0 0 0 -1
注
给定B可以画出有向图。 给定 可以画出有向图。 可以画出有向图
若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[B 规定： 若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]，规定： 1、连支电流方向为回路电流方向 2、支路排列顺序为先连支后树支， 支路排列顺序为先连支后树支， 取单连支回路的序号为对应连支所在列的序号， 3、取单连支回路的序号为对应连支所在列的序号， 回路绕行方向与连支方向一致。 回路绕行方向与连支方向一致。
i i i i i i i i i
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0 矩阵形式的 （15-2） ）
n-1个独立方程 个独立方程
用矩阵[A] 表示矩阵形式的KVL方程 ② 用矩阵 T表示矩阵形式的 方程
设:
[ u] = [ u1
②
u2 u3 u4 u5 u6 ]
−1 −1 0 1 0 0 0
[B]=
l ×b
1
独立回路l 独立回路
每一行对应一个独立回路， 每一行对应一个独立的每一个元素定义为： 的每一个元素定义为： 的每一个元素定义为
支路j 在回路i中方向一致 支路 在回路 中方向一致 支路j 在回路i中方向相反 支路 在回路 中方向相反 支路j 不在回路i中 支路 不在回路 中
15-电路的矩阵形式
Z
bXb
bX1
U Z(I I S ) U S 其中:
Z1 0 Z0 0
0 Z2 0 0
0 0 Z3 0
0 0 0 Zb
T
（各支路无耦合）
T U U1 U 2 Ub I s Ι s1 Ι s 2 Ι sb
1Ω 5Ω
+
2Ω
5Ω
10V -
2Ω 7Ω
3Ω 1Ω
3Α
n1
b5
b1
b6
n2
b4
n3
b8 b3
b7
b2 n4
二、 树、基本回路与基本割集 1、树 Tree
一个连通图G的树T是指G的一个连 通子图，它包含G的全部节点，但不含 任何回路。构成树的支路称为“树支”， 图G中不属于T 的其他支路称为“连 支”，其集合称为“树余”。
4 5 7 1
2 3 6
15.3 割集矩阵Q与基本割集矩阵Qf
Q定义：行对应基本割集，列对应图的各个
支路。Q=[qjk]中：
当支路k不在割集j内， qjk=0;
当支路 k 在割集 j 内，且支路方向与割集方
向相同， qjk=+1;
当支路 k 在割集 j 内，且支路方向与割集方 向不同， qjk=-1。
平面图中自然的“孔”，它限定
的区域内不再有支路。
7、网络的图
Graph
节点和支路的集合，称为图，每一
条支路的两端都连接到相应的节点 上。
n1
b5
b1
b6
n2
b4
n3
b8 b3
第15章电路方程的矩阵形式
矩阵形式的KCL：[ Q ][i ]=0
it Ql il
[1
Ql
] iilt
0
回路矩阵表示时 BTt il it
Ql BtT
４
５
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
回支 4 5 6 1 2 3
1 1 -1 0 1 0 0 B = 2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1 ]
6
2 13
1
3
基本回路数=连支数=b-(n-1)
3.割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
12
5
4
3
{2,4,5,6} 12
3
{2,3,6}
1 5•
4
{1,3,5,6}是否割集？
•
Idk gkj Uej gkj (U j Usj )
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) gkj (U j Usj ) Isk
•
(2) I dk 为 CCCS
•
•
设 I dk kj I ej
•
•
•
I ej
Yj
(U
j
Usj
)
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) kjYj (U j Usj ) Isk
第十五章 电路方程的矩阵形式
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
01
02
03
04
05
3、降阶关联矩阵
123456
Aa=
1 2 3 4
-1 0 +1 0
-1 0 0 +1
+1 -1 0 0
0 -1 +1 0
0 0 +1 -1
0 +1 0 -1
降阶关联矩阵
Q =
1 2 3
123456
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
-1
-1
0
-1
0
1
-1
-1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
3
2
1
4
5
1
4
2
6
1
选支路3、5、6为树支
Q1
Q2
Q3
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种割集矩阵就称为基本割集矩阵，用Qf表示。 写Qf时，注意安排其行列次序如下： 把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第(n-1) 列，然后再排列连支； 取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同， 且选割集方向与相应树支方向一致， 则Qf有如下形式
因此有
Bu =0
3
4
5
2
6
1
①
②
③
④
Bu=
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
13.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵
第2页
例
节
支 1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
特点
②
３
４
①
６
③
５
２
④
1
① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，
Aa的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行 是独立的。
ii12 i3
1 0 0 1 10
i4
n-1个KCL方程
i5 i6
２ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
④
1
-i1 - i2 i3
i3
-
i4
i6
=？
i1 i4 i5
第5页
②
３
４
1
①
６
③
５
2
２ 3
④
1
KCL方程
-i1 - i2 i3 0
-i3 - i4 i6 0
i1 i4 i5 0
-i1 - i2 i3
６
i4
２
５
③
i5
④1
i6
n-1个独立
KCL方程 矩阵形式的KCL：Qf i =0
第 19 页
② 用QfT表示矩阵形式的KVL方程
设树支电压（或基本割集电压）： ut=[ u1 u2 u3 ]T
1 0 0
ut1 u1
0
Q f Tut
0 1
1
1 0 0 -1
0 1 1 0