一类条件不等式的统一证明

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几个不等式猜想的证明与统一

［ 2 ］的 4 个猜想的三角证明，并进行适当的统一推
［ 1］猜想 3
又提出了 4 个猜想. 本文拟给出文［ 1 ］猜想 3 和文
若 a， b， c 是正数，则a 1 + c2 ≥ a + b + c. 1 + a2
b
槡
1 + b2 +c 1 + c2
槡
1 + a2 + 1 + b2
［ 2］和猜想 2 ，这里不详述.
cosB cosC cosA + tanB · + tanC · ≥ cosA cosB cosC
tanA + tanB
1 2 3 （ cosB ） 2
+ tanC
=
1
3 3 （ tanA）（ sinA） 3 （ cosA） 2 2
1
2
+
3 3 （ tanB ）（ sinB ）
（
1 1 sinA 2 cosB 2 3 3 ·（ 3 3 · ） + （ tanB ）） + （ tanC ） cosB cosC
3 m
这里不详述. 等式：
仿上面的证明方法，可证文［ 2 ］中的猜想 4
［ 2］
，
a
m
类比几个不等式的形式特点，再证以下 3 个不定理 1 若 a， b， c 是正数，则a
3 3
槡
1 +a +b 1 + b3
若 a， b， c 是正数， m ﹥ 3，且 m ∈ N，则
b
3
槡
1 + b3 +c 1 + c3

证明不等式的几种方法

昭通学院学生毕业论文论文题目证明不等式的几种方法姓名学号 201103010128学院数学与统计学院专业数学教育指导教师2014年3月6日证明不等式的几种方法摘要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。

本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。

关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。

证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。

主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。

2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。

具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小[]1。

差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则b a ≤.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。

2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。

其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。

3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。

商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若ba1≤则b a ≤.”其一般步骤为：1.作商：将左右两端作商。

2.变形：化简商式到最简形式。

3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。

应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。

高中数学：不等式题目的七种证明方法

高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。

但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

我就来总结一下不等式的证明方法。

01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。

前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。

04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

放缩法的目的性强,必须恰到好处,。

同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。

不等式的性质和证明

四、不等式1. 不等式的性质和证明知识网络不等式的性质和证明结构简图画龙点晴概念不等式：用不等号把两个数学式子连结而得到的式子叫做不等式。

同向不等式：不等号相同的两个或几个不等式叫做同向不等式。

异向不等式：不等号相反的两个不等式叫做异向不等式。

绝对不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值，不等式都成立，这样的不等式叫做绝对不等式。

矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值，不等式都不成立，这样的不等式叫做矛盾不等式。

条件不等式：不等式中，对于字母所能取的某项允许值不等式能成立，而对于字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这燕的不等式叫做条件不等式。

两实数大小的比较： 0>-⇔>b a b a ; 0=-⇔=b a b a ; 0<-⇔<b a b a . 求差比较的步骤：（1）作差: 有的可直接作差，有的需转化才可作差;（2）变形: 变形的目的是判断差的符号，为了便于判断符号，进行分解因式或配方等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号;（3）判断差的符号。

(4）结论。

[活用实例][例1] 设0>a 且1≠a ，比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.[题解] )1()1()1(223-=+-+a a a a ,当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a .[例2]已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。

[题解1][][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xx x aa +--=11l o g )1(l o g 2∵0 < 1 - x 2 < 1, 1110<+-<x x∴011log )1(log 2>+--xx x a a ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[题解2]2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log x x x x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++)1(l o g 121x x --=+∵0 < 1 - x 2 < 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x ∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[题解3]∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++-∵0 < 1 - x 2 < 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a .∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-定理不等式的基本性质定理1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）定理2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）定理3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然定理4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么dbc a >（相除法则）推论2 如果0>>b a , 那么nn b a > )1(>∈n N n 且定理5：如果0>>b a ，那么nn b a >)1(>∈n N n 且[活用实例][例3]若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log . [题解] ∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα,又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->->0, ∴db c a -<-11 ， ∴原式成立. [例4]已知2<a ≤4, -4≤b<-2, 求a+b, a-b 和ab 的取值范围. [题解] 2<a ≤4, -4≤b<-2, ∴-2<a+b<2.又-4≤b<-2, ∴2<-b ≤4, ∴4<a+(-b)≤8, 即4<a+-b ≤8. 4<⋅a (-b) ≤16, 即 4<-ab ≤16, ∴-16≤ab<-4. [例5]已知-1≤a+b ≤1, 1≤a-b ≤3, 求3a-b 的取值范围. [题解] 设3a-b=m (a+b)+n(a-b), ∴3a-b= (m+n)a+ (m-n)b比较系数，得⎩⎨⎧-=-=+13n m n m ∴⎩⎨⎧==21n m .∴3a-b= (a+b)+2 (a-b)-1≤a+b ≤1, 1≤a-b ≤3, ∴1≤(a+b)+2 (a-b) ≤7， ∴1≤3a-b ≤7. 均值定理定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）推论：如果+∈R b a ,，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）定理2：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当b a ==c 时取“=”）算术平均数与几何平均数：如果+∈R a a a n ,,,21 ，且1>n ，那么na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数。

一类不等式竞赛题的统一证法

贝０．ｆ（ｘ，）＋ｌ厂（）＞．厂（）恒成立．
。＜
１
１
，
当＞１时，．．．１＜＿／ ‘ （）１＋
・．．
，
当．ｊ｝＞２时，１＜．厂（）１＋
；若对任意的实数。，Ｘ，Ｘ，要使ｆ（ｘ．）＋ｆ（ｘ）＞ｆ（ｘ３）成立，
区问（１，６］Ｍ，必有ｋ一２＞０，即函数ｆ（ｘ）＝０）的值域为Ｍ＿（１ ’ ｌ＋
．．
．
这时＿厂（）＋ｆ（Ｘｚ）＞ｆ（ｘ３）显然成立；
当＜１时，１＋／（）＜１，
］，
筒捷证明．
面＋面＋面｛２． ‘
＋＋
１
这是２０１０年美国国家队选拔考试第二题，刊在
２０１３年第ｌ期
福建中学数学
４７
证明
ａ５（ｂ＋ — ２ｃ）２＋丽
—
１
１
卜ｃ５ — （ａ＋ — ２ｂ）２
斗一
＝
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
（ａｂ）
（ｃａ＋２ｂｃ）
‘
… ） ≥ １
・
３瓣
１
＋ —－——一
＝，
３
≥一．
】
— — — 一
１
＋ —－——一
＋
一
竺
．
．
ａ（ｂ＋ｃ）ｂ（ｃ＋ａ）ｃ（ａ＋６）２

解不等式及证明不等式的方法

解不等式及证明不等式的方法几个不等式和一些常用不等式的证明方法？文中的方法既包括初等数学方法，也包括高等数学方法，每种方法对应一个题目，便于大家理解和应用。

然而，本文没有证明某些不等式，而是直接使用了他们的结论。

一、不等式的一些性质这一块相对是很简单的，所以就不再过多赘述（例如乘法单调性、相加法则等等）二、比较法比较法是直接作出不等式两边的差(或商)，然后推导出结论的方法。

例、已知 0<x<1 求证 |logx_{a}(1-x)|>|log_{a}(1+x)|证：当 0<a<1 时，因 0<x<1 所以 |logx_{a}(1-x)|-|log_{a}(1+x)|=logx_{a}(1-x)+log_{a}(1+x)=log_{a}(1-x^{2})>0 当 a>1 时，因为 0<x<1 所以 |logx_{a}(1-x)|-|log_{a}(1+x)|=-logx_{a}(1-x)-log_{a}(1+x)=-log_{a}(1-x^{2})>0 综上得证。

该题也可以作商比较，有兴趣的朋友可以试试。

三、综合法综合法是“由因导果”，从一直条件出发，依据不等式性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式。

例、已知 a^{2}+b^{2}=1 证明 asin\alpha+bcos\alpha\leq1证：因为a^{2}+sin^{2}\alpha\geq2asin\alpha,b^{2}+cos^{2}\alpha \geq2bcos\alpha 所以a^{2}+sin^{2}\alpha+b^{2}+cos^{2}\alpha\geq2asin\alpha +2bcos\alpha 也就是 1+1\geq2asin\alpha+2bcos\alpha 所以 asin\alpha+bcos\alpha\leq1该题大家也可以试试比较法。

一类不等式竞赛题的统一证明

＝
ｉ：１
，
一
１，有
・
Ｉｇ（．ｊ｝＋１）一ｇ（后）ｌ＝２Ｉ＋１ｆ ≤２，
即每次改变量不超过２．设区间为［一１，１］，由题意知ｇ（ｏ）隹［一１，１］，又因为ｇ（ｏ）＋ｇ（）＝０，所以ｇ（ｏ）
，
有
ＩＹｌ＋２＋ … ＋ｎｙ＋Ｙ＋２ｙ１＋…
＋ｎｙ１Ｉ＝（凡＋１）ｊＹ１＋Ｙ２＋… ＋Ｙｆ＝凡＋１，
于是ｙｎ＋２ｙ＋ …＋ｙ或位于区间【一，】，或位于区间（ｎ丁＋ｌ，＋ ∞ ）．对于前者，ｙ，），， … ，
１１
寺＋ …＋ ÷可以大于任何一个正整数，知ｓ “ 跑过” 这无数个区间将趋于正无穷大．下面４－虑每次改变量．
因为ｓｎ一
１，所以当音＜ｂ一口时，Ｓ在变化过程中，会跌落其后每一个区间，即数列｛一［．ｓ］｝
在数学竞赛中常出现与此命题相关的不等式证明问题．
ｎ
例１已知实数，， …，（ｎ＞２），满足ｌＸｉ｝＞１，ｌＩ ≤１（ｉ＝１，２， …，ｎ）．求证：存在正整数ｋ，
。
ｎ
．．
使得。Ｉ
中有无穷多项属于（ｎ，６）．
例３设，，２， …，是满足下列条件的实数：Ｉ＋２＋… ＋ｌ＝１且Ｉｉｌ ≤凡＿，＝１，２， …，ｎ．求证：存在，， …，的一个排列Ｙ，Ｙ， …，Ｙ，使得

数学归纳法证明一类不等式的应变策略

甘肃
夏燕军
综上可知，对一切 ∈Ｎ，有＜√ ＋．
Ｚ减少厂吊取，堇Ｉ酉上限或瑁ｆ、限
对于一端为常数的数列不等式，有时直接用数学
归纳法来证，归纳过渡往往困难很大，几乎无从下手，
可谓“ 山重水复疑无路 ” ，然而只要紧扣 “ 常数” 进行命
题变换，往往会 “ 柳暗花明又一村 ” ．１增加常数，添上限或添下限
例ｉ设０＜口＜１，ｎ一１＋ａ￣ａｎ＋１一＋口（ｎ ≥
１）．求证：对一切 ∈Ｎ，有ａ＞１．分析假设口＞１，则由ａ … 一＋口很难证明
，
解
（１）当一１时，命题成立．
口＜１＋口＜ｌ＿
．
故当一是＋１时，命题成立．一一
综上可知，对一切 ∈Ｎ，有口＞】．
（２）假设当一是时，命题成立，即专＋＋ … ＋ ≤２一ｉ１则当 — ｋ＋ｌ时，古＋＋ … ＋＋
成立．
为÷ ＋ｆ（）．只需证ｌｃｏｓｌ＋ＩＣＯＳ２ｘＪ＋… ＋
Ｊ叹立．
（２）假设当ｍ＝ｋ（忌 ≥２）时，不等式②成立，即
Ｉｃｏｓ２＂ｘＩ ≥寺＋厂（）．
一
：
＜忌＋１．
由ＩｃｏｓＸｌ＋ｌｃｏｓ２ｘｌ＋ …＋ＩＣ：ＯＳ２ｋｘｌ ≥百１＋厂（）及ＩｃｏｓＩ＋ｌＣＯＳ２ｘｌ＋…＋Ｉｃｏｓ２抖ｚＩ ≥寺＋，（蜃）＋

一类竞赛不等式的统一的概率证法

竞赛园地
数学教学通讯（中等教育）
投稿酃箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ１６３．ｃｏｍ
求证：
＋
＋
＋
ｃ ∈
例９（１９７４年美国竞赛题）若ａ，ｂ，
ａ４ｂ￣ｃ
终韵嘶Ｉ耋ｌ ≤
ＥＬｆ（）］：一１ｆｌ＿１成立，也就是
）．
１＋口１＋ｎ２＋－・・＋珥一１
（注：这里运用了１，２， …，是正数
解：设Ｐ（：ｑ）：＿＿ｌ＿（１２，３ … ｎ）且
，
Ｙ１，Ｙ２， …，的某一排列这一条件）
证明：设
∑ 一
ｆ ∞ １
也就是∑ ≥
‘ ＝ｌ
．
ｂ＋ｃ＋ｄｃ＋ｄ＋ａ
（１，２ …ｎ）且 ∑ ＝１，求Ｓ＝
ｉ＝１
叶６＋ｃ
ｆ、１１Ｊ、ｆＩ－１１Ｊ
≥
Ｉ＝１
＋ — — 一
…
～
＋．．．＋
ｎｔｒ＿ｌ、Ｓ一口／
ｂ＋ｃ＋ｄｃ＋ｄ＋ａ叶６＋ｄ
，
求证：ｃ ≥（ａｂｃ）丁
！
＿≥ ３
叶６＋ｃ
．
３
证明：要证ｃｃ ≥（ａｂｃ）ｎ口＋６ｌｎ６斗ｃｌｎｃ＞．￣（ａｂ＋ｃ（１
ＥＬｆ（）］＝＿＋ｌ，也即

《解决一类数列与不等式结合的证明问题》教学设计展永江

造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.
（3）
1 1 1 a1a2 a2 a3 an an 1 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
高考真题展示
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 5 7 2 n 1 2 n 1 1 1 1 1 . 2 2n 1 2
1 1 1 5 7 当 n 2 时, 1 ； a1 a2 4 4 4
当 n 3 时,
1 1 1 1 1 2 ,此时 an n n 1 n n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a1 a2 an 4 3 4 n 4 2 3 3 4 n 1 n
3 1 . 2
n
（Ⅱ）由（I）知
1 2 n an 3 1
1 1 。 3 1 2 3n 1
n
当 n 1 时， 3n 1 2 3n1 ，所以
1 1 1 1 1 3 1 3 ... 1 ... n1 (1 n ) a1 a2 an 3 2 2 3 3
教学目标
（3）解决一类数列与不等式结合的证明问题。 2．过程与方法：（1）通过对近年高考试题的探究，归纳应用数学知识与方法解决高考试题；（2）理解和掌握构造法、不等式放缩法及转化思想。 3．情感、态度与价值观：通过探究数学活动，感受数学高考解题的方法，关键是理解解题本质和数学知识。
教学重点教学难点教学方法教学过程

中学数学证明不等式的方法

中学数学证明不等式常见的九种证明方法许071114 数学与应用数学不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。

不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。

不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。

不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。

1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。

1.1求差法：要证不等式a>b,只需证明a-b>0即可，其步骤为：做差a-b →变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断符号。

例1 求证：x2+3＞3x证明：：∵(x2+3)-3x=x2-3x+(32)2-(32)2+3= +≥ >0 ∴x2+3＞3x例2 已知a,b ∈R+，并且a ≠b ，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)= a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b ∈R+ ∴a+b ＞0, a2+ab+b2＞0又因为a ≠b,所以（a-b ）2＞0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴a5+b5＞a3b2+a2b31.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。

若b>0,欲证a>b,只需证明b a >1;欲证:a<b,只需证明: 1<b a 。

其步骤为：作商→变形→判断结果与1的大小关系。

例 3 已知a>0,b>0,求证:aabb ≥(ab)2ba +.分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a>0,b>0,故可作商与1比大小.证明： 2222)()(b a a b b a ba ba b a b a ab b a -=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙=∙1）若a>b>0,则02,1>->b a b a ,故2ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛>1。

证明一类定积分不等式的有效方法

证明一类定积分不等式的有效方法证明一类定积分不等式的有效引言定积分是高等数学中重要的概念之一，它在数学理论和实际问题的求解中都起着重要作用。

在证明定积分的性质和定理时，我们常常需要使用一类定积分不等式。

本文将详细介绍多种有效的方法，来证明这类不等式。

方法一：函数性质法•步骤一：首先，我们需要分析被积函数的性质。

•步骤二：利用被积函数的单调性或凸凹性等特点，将定积分不等式转化为某个已知不等式的形式。

•步骤三：根据这个已知不等式的结论，推导出原定积分不等式的结论。

方法二：积分中值定理法•步骤一：使用积分中值定理，将被积函数表示为一个中值的形式。

•步骤二：根据中值的性质，将定积分不等式转化为某个已知不等式的形式。

•步骤三：根据这个已知不等式的结论，推导出原定积分不等式的结论。

方法三：换元法•步骤一：通过适当的换元变量，将定积分不等式的被积函数转化为一个更加简单的形式。

•步骤二：利用换元后的简单形式，推导出原定积分不等式的结论。

方法四：样本函数法•步骤一：我们可以构造一个样本函数，使得定积分不等式在这个样本函数上成立。

•步骤二：通过对样本函数进行适当的变换，将原定积分不等式推广到更一般的情况。

方法五：数学归纳法•步骤一：首先，我们需要证明定积分不等式在某个特殊情况下成立。

•步骤二：假设定积分不等式在某个特殊情况下成立。

•步骤三：通过数学归纳法，将定积分不等式推广到更一般的情况。

方法六：微积分定理法•步骤一：使用微积分中的主要定理，如泰勒展开定理、拉格朗日中值定理等。

•步骤二：利用这些定理，将定积分不等式转化为已知定理或性质的形式。

•步骤三：根据这些已知定理的结论，推导出原定积分不等式的结论。

方法七：数值方法•步骤一：通过数值近似计算，获取定积分不等式的近似结果。

•步骤二：通过不断改进数值计算方法，逐渐提高定积分不等式的精确度。

•步骤三：通过比较数值结果与理论结果的差距，验证定积分不等式的有效性。

以上是一些常用的方法，用于证明一类定积分不等式的有效性。

一类不等式的统一证明

１２ … ，）求证，，ｎ，
（ ” ）
＞由理ｏ（）ｏ定知２ｆ＝，ｏ￣４
Ａ，ｐｉｑａ— ）＞ｏ（Ｓｉａ＋（，：
・ ’
．
ｎ上有唯一的稳定点Ｐ（０一Ａ
¨
Ａ
，一，… ，
）．
ｌ‘
ｌ ‘
Ｌ＝ｆ（）Ｌ＝０ｉ『ｉ＝１２ … ，）铺，（ ≠＿ √ ，，，ｎ
￡￡
海赛矩阵（。Ｐ）＝
ｌ
２的阶主子式Ｄ＝［（）厂” ］
＝
＝０时易证上式也成立．同理１２３００）＋）＋）≤ ）＋）＋
＋２＋）＝２）＋１＋３０２＋）３
１
）＋２）＋… ＋
）≤ （ｎ一１０１＋））＋２＋… ）＝（ｎ一１（）＋Ａ）＾０
维普资讯
高等数学研究
ｓ１Ｄ皿ＳＩＯＬＥＧ１ＵＮＣＬＥＭＡ１＇ＨＥＭＡ１Ｃ ’ＳＩ
Ｖ１１，Ｎ．ｏ．０ｏ２
Ｍａ．ｒ。２００７
一
类不等式的统一证明
岳嵘（东科技大学公共课山山部东泰安２１１）７Ｏ９
・
收稿日：ｏ期２６一ＯｏＯｌ— ９
维普资讯
第ｌ０卷第２期
故有不等式
岳蝾：一类不等式的统一证明
３１
）≤厂）＋（２（ｆｘ）＋… ＋（）≤ （厂ｎ一１））＋（）ｏ厂Ａ
（）（）＜０，－（） ”＝一 ” ）＞０故由（）２厂” 时则［ｆｘ］厂（，１有ｎ（ｆａ）≤一（）一（２厂ｆｘ）… ・厂）≤一（一（ｎ一１Ｏ厂Ａ）一（）ｎ

高中数学证明不等式的九种常用方法

ab-a-b+1≥a+b-3 即ab≥a+b+(a+b-4) ∵a≥2，b≥2 ∴a+b-4≥0 ∴ab≥a+b 当且仅当a=b=2时等号成立证毕
6 Math Part
构造法
6 Math Part 构造法
构造法：通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式的方法。
本题我们使用构造函数和几何图形两种方法来说明构造法的使用。
=a(b-1)-(b-1)-1
∴ab-a-b≥0
=(a-1)(b-1)-1
即ab≥a+b
∵a≥2，b≥2
证毕
2 Math Part
综合法
2 Math Part 综合法
综合法：综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知定义及定理，逐步推导，从而最后推导出要证明的命题。
2 Math Part 综合法
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明：假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
∴(a-1)(b-1)<1
①
∵a≥2，b≥2
∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有：对基栖于本西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式等所、式有均、x值切i与不比x等雪j同式夫号、不

一类根式和下界不等式的统一结果与再一证法

证明就是这类不等式的再一统一的证法．
不等式（）是ａ一１，１３ｂ一１Ｃ一１，，，＝２，
不等式（）是ａ一１一５Ｃ一１ｍ一２２，，，，
一
定理
若 “６，，．１
”， ∈ Ｒｚ，且
。
即２√ Ｓ。一Ｓ＋
Ｃ
．
ＣＤ。。Ｅ。分别相交于点
两种方法对比，质上都是应用相似多边实形的面积比等于相似比进行的证明．本上的课
．
百
＋
一
干＋
＋
可
＞２＋
（因为 ∑ 一）一（ｎ一１＋）：
ｉ１＝
（）设 “，，ｄＣＲ。． “十十Ｃ十ｄ一６，ｃ，）－
￣—ｃ＋ｂ所以，／ — ．ａ
１求证：，
＿３＋
十Ｕ２ — ３十 — Ｆｃ－
３的情形；不等式（）是ａ：４６— １Ｃ一３，一２３，，，，
∑ ｚ一则 ∑ √ 十６（～１ “ ＞）
，＝】：】
＋
一３的情形；不等式（）是ａ：３ｂ一７Ｃ一１７一３４，，，，
棱台的中截面面积公式的另一证明方法
（北省丰润县车轴山中学河０４０）唐立存６０１
棱台的中截面面积公式的证明，课本中在是由截面面积与底面面积之比与对应边长之比的关系来证明的（见人教版立体几何课本６７页

条件为ab+bc+ca=1的一类不等式的证明

=
kq+ r k
= q+
r k
= q,
x-
k+ k
1=
q+
r-
( kk
1)
[
q=
x k
.
设正整数 n 满足不等式
n 2
+
n 3
+
n 11
+
n 13
<
n.
则 n- 1\
n 2
+
n 3
+
n 11
+
n 13
\n
2
1+
n
3
2+
n -1110+
n- 12 13
=
859 858
n-
2855783 .
故 n [ 1 715.
12
命题与解题
中等数学
条件为 ab+ bc + ca = 1 的一类不等式的证明
全是a²+1变成(a+b)(a+c)的题
张宏
( 广东省工业贸易职业技术学校, 528237)
当遇到含有条件 ab + bc+ ca = 1 的不等式时, 如果不等式的项中含有类似于 a2 + 1
a3+ a +
3
b
+
b+
3
c
+
c \2
a+ b+ c.
( 2008, 伊朗队选拔考试)
的项, 则可以尝试用 ab+ bc+ ca 去代替其中
证明: 注意到
的 1, 然后分解因式, 有利于进一步分析问

构造齐次式巧证一类条件不等式

构造齐次式巧证一类条件不等式
董大禄
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1997(000)002
【摘要】证明不等式,方法很多,分析法、比较法、综合法、反证法、换元法及数学归纳法等基本方法.事实上,不少条件不等式.还可以通过构造齐次式进行论证,此方法简单,易操作.本文以如下几例来说明.
【总页数】1页(P31-31)
【作者】董大禄
【作者单位】四川德阳市天山路中学 618000
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.“消元——配方法”巧证一类非齐次不等式 [J], 邱勤江;孙建斌
2.例谈配方法巧证一类二次齐次不等式 [J], 徐彦辉
3.构造齐次分式巧求一类最值 [J], 蒋红慧;戚有建
4.一类三次非齐次条件不等式的证明 [J], 颜荣祥;孙建斌
5.函数凸性巧证一类条件不等式 [J], 谢虹;钟建新
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