人教A版数学必修四第13讲二倍角公式及综合应用

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人教A版高中数学必修四3 二倍角的正弦、余弦、正切公式牛老师

4
2cos2 -1
2cos2 -1 cos2
=
=
=
= 1.
π
π
cos2
cos2
2sin - ·cos -
4
4
题型一
题型二
题型三
题型四
反思化简三角函数式与证明三角等式的实质是一样的,那就是化
繁为简,在解答这类问题时可从三个方面考虑:一是角,二是函数名,
三是结构式,从而消除差异,达到化简的目的.
顾及角的范围而选择正、负号,只是机械地套用公式.
题型一
题型二
题型三
题型四
3π
正解:因为 3π<α<4π,所以
2

则cos > 0, cos < 0, cos > 0.
2
4
8
所以原式 =
=
2-
<
2- 2 + 4cos2
4cos2

2

2
<
=
3π
2π,
4
<

4
<
3π
π,
8
2- 2 + 2cos
<

2π
sin 5 cos 5
1-tan2 12
π
2tan12
=
4π
5
π
4sin
5
sin
=
π
5
π
4sin
5
sin
1
= .
4
题型一
题型二
题型三
题型四
反思解决此类题目时,应善于观察三角函数式的特点,变形后正
π
5

人教A版数学必修四《二倍角的正弦、余弦和正切公式课件》

课后作业
问题一
根据已知角度的一半，求解对应的余弦值。
问题二
利用二倍角公式，计算给定角度的正弦值。
问题三
结合二倍角公式，解决三角函数求解题目。
希望对广大学生带来帮助
1 这个课件的目标是帮助学生深入理解二倍角
的概念、公式和应用，并提供练习题和作业加深掌握。
2 在掌握二倍角的基础上，学生将能够更自信
具体例子
2
的应用方法和注意事项。
通过有趣且实用的例子，展示如何灵活运用二倍角公式来解决实际问题。
总结
系统总结
对二倍角概念及其公式进行全面总结，以巩固学生对知识点的掌握。
理解和应用
通过互动讨论和实践练习，加深学生对二倍角的理解和应用能力。
补充练习
问题一问题二
根据已知角度的一半，求解对应的正弦值。利用二倍角公式，计算给定角度的正切值。
二倍角的正弦、余弦和正切公式
正弦公式
通过二倍角公式，推导出正弦二倍角的公式，解释其意义和应用。
余弦公式
通过二倍角公式，推导出余弦二倍角的公式，展示其用途和几何意义。
正切公式
通过二倍角公式，推导出正切二倍角的公式，帮助学生理解其特点和使用方法。
二倍角的应用
1
三角函数求解题目
介绍二倍角公式在解决三角函数题目时
人教A版数学必修四《二倍角的正弦、余弦和正切公式课件》
本课件将详细介绍二倍角的概念、推导二倍角公式，并展示二倍角的正弦、余弦和正切公式的几何意义和应用。
二倍角的定义
1 概念介绍
解释二倍角是何种角度的介绍如何得出二倍角公式，让学生理解其产生的原因。
和灵活地运用三角函数求解各种问题。

人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x，故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1，即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．

人教A版高中数学必修四课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
探究：你能用以上公式推导出
的公式吗？ zxxk
分析：令，代入上述三式可得.
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式.(重点） 3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点） z,xxk
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
注意
的范围
还可以把看作
2.公式的逆用
3.公式的活用
3.求下列各式的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用、逆用、灵活应用
二倍角的正弦公式. 简记为
二倍角的余弦公式. 简记为ຫໍສະໝຸດ 二倍角的正切公式. 简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不能省去.
公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 的二倍, 二倍等; 2.当求时，的值不存在，是的二倍, 是是的
的值可利用诱导公式.

人教版A版高中数学必修4：二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。
2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
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六、作业
135页 4,5 138页 15，17
cos( ) coscos sin sin
cos2 cos2 sin2
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan
2

1
2
tan tan2
若我们可以得到怎样的结论？
讲授新课
令
sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2sin cos
Байду номын сангаас
cos( ) coscos sin sin
一、倍角公式
sin 2 2sin cos (S2) tan 2 2 tan
c c
os2 os2

c 1
os2 2
sin sin2
2

1 tan2
(C2 )
(T2 )
公式左端的角是右端角的二倍
cos2 2cos2 1 sin2 1 cos2
cos2 1 2sin2 1 2( 5 )2 119
13 169
tan 2 sin 2 (120)169 120 cos2 169 119 119

人教A版高中数学必修四3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

＝tan4A＝右边，
3－4cos 2A＋cos 4A
∴
＝tan4A.
3＋4cos 2A＋cos 4A
反思与感悟利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
1＋sin 2θ－cos 2θ
跟踪训练 2 化简：
.
1＋sin 2θ＋cos 2θ
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
(2)cos 3α＝4cos3α－3cos α. 答 cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
探究点二余弦的二倍角公式的变形形式及应用
思考余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答二倍角的余弦公式cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－
2sin2α
变
形
较
多
，
应
用
灵
活
.
其
中
sin2α
＝
1－cos 2
2α
，
cos2α
＝
1＋cos 2
2α称作降幂公式，1－c2os

人教A版数学必修四第13讲二倍角公式及综合应用.docx

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第13讲二倍角公式及综合应用1．（北京市北方交大附中高一下期末考试）已知3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，那么cos2β的值为（）． A ．725 B ．725- C ．1825 D ．1825- 【答案】A【解析】略．2．（北京市北方交大附中高一下期末考试）若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M ，N 两点，由MN 的最大值为__________．【答案】 2【解析】略．3．（北京二中测试）已知23sin cos 223αα+=，则sin α的值为__________．【答案】 13【解析】略．4．（人大附）已知函数①sin cos y x x =+，②22sin cos y x x =，则下列结论正确的是（）．A ．两个函数的图象均关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线π4x =-成轴对称 C ．两个函数在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同．马鸣风萧萧【答案】C【解析】略．5．（人大附）函数 1cos 2()cos x f x x-=( )． A ．在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，在3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3π,2π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减 B ．在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦，3π,2π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减 C ．在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦，3π,2π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3ππ2⎡⎫⎪⎢⎣⎭,上递减 D ．在3ππ,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3π,2π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭，π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减【答案】A【解析】略．6．（人大附）已知函数()sin 2cos 1(0)f x m x x m =++>的最大值为131+，则实数m 的值为__________．【答案】3【解析】略．7．（北京八中高一上期末考试）设α为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________，πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】45，2425【解析】略．8．（北京八中高一上期末考试）已知π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan2x =（）． A ．724 B ．724- C ．247 D ．247- 【答案】D【解析】略．9．（北京八中高一上期末考试）已知sin sin 1αβ+=，则2sin cos y αβ=-的值域是（）．A ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,2D ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】略．马鸣风萧萧10．（东城区高一上期末统考）设当x θ=时，函数()sin 3cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．【答案】32-【解析】略．11．（北京八中高一上期末考试）已知ABC △中，π3C =，则22cos cos A B +的取值范围是__________．【答案】15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】略．12．（海淀区高一上期末考试）已知函数ππ()sin sin 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的单调递减区间．（2）设α是锐角，且π1sin 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值．【答案】见解析．【解析】（1）ππππ1π1()sin sin sin cos sin 2cos 24444222f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由2π22ππ()k x k k +∈Z ≤≤得πππ()2k x k k +∈Z ≤≤． ∴()f x 的单调递减区间为ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）∵α是锐角，且π1sin 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππ46α-=．∴5π12α=． ∴115π3()cos2cos 2264f αα===-．13．（东城区测试）已知函数π()4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期．（2）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）π；（2）1-和2．【解析】略．14．（北京八中高一上期末考试）已知π0π2αβ<<<<，1tan 22α=，2cos()10βα-=．（1）求sin α的值；马鸣风萧萧（2）求β的值．【答案】（1）45；（2）3π4．【解析】略．15．（海淀区高一上期末统考）已知函数2()sin23sin2cos2f x x x x=+⋅．（1）求()f x的最小正周期．（2）若ππ,84x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x的最大值与最小值．【答案】见解析．【解析】（1）1cos41cos431 ()3sin2cos2sin4sin422262 x xf x x x x=xπ--⎛⎫=+⋅=+-+⎪⎝⎭，因为2ππ42T==，所以()f x的最小正周期是π2．（2）由（1）得，π1 ()sin462f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭．因为ππ84x≤≤，所以ππ5π4366x-≤≤，所以1πsin41 26x⎛⎫-⎪⎝⎭≤≤，所以π131sin4622x⎛⎫-+⎪⎝⎭≤≤．所以，当π6x=时，()f x取得最大值32，当π4x=时，()f x取得最小值1．。

二倍角公式的灵活应用

第二篇：二倍角公式
二倍角公式
一、教学目标
1、知识与技能：
① 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
② 运用上述公式进行简单的三角函数式求值、化简。
2、过程与方法：
① 理解二倍角公式引入的意义。
② 研究三角函数化简求值的方法。
3、情感态度与价值观：
鼓励学生大胆猜想，勇于实践的探索精神。
二、教学重点
二倍角公式的推导、C2的两种变形公式及应用。
（四）、问题变形
学生自主探究。
设计意图
遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果给出本节课的课题：三角函数公式。设计意图
cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练㈠、公式的正用：
已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132
所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82cos22cos21234来自5.8㈡公式的反用：求下列各式的值
sinsincoscossincoscoscossinsin
tantantan1tantan
要求：
掌握三个公式的形式与结构并熟记公式新授：
一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出
在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

人教A版高中数学必修四二倍角的正弦、余弦、正切公式PPT精品课件

cos2 sin2 cos 2
2 cos2 1 cos 2
1cos2 cos2
2
1 2sin2
1cos2
2
cos 2 sin2
随堂练习 2.求下列各式的值
(1)sin150 cos150 1sin300 1
2
4
(2) sin 2
8
cos2
8
cos
4
2 2
tan 67.50 (3)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦正切公式
填空 :若 ,为第二象限角 ,且 s in 3 ,c o s 3 ,
则 s in ()= _ _ 1_ _ ; cos 4, 5
5
sin 4
5
5
问题探究 1 : 若第二象限角满足 s i n 3 ，则 s i n 2 = _ _ 22_ 45_ . 5
2tan 二倍角公式： 1tan2
1tantan
S 2 sin 2 2sin cos
R
C 2 cos 2 cos2 sin2
R
T 2
tan 2 2 tan 1 tan2
k 且 k k Z
24
2
二倍角公式：
S 2 sin 2 2sin cos
RR
C 2 cos 2 cos2 sin2
1tan1350 1
1 tan2 67.50 2
2
(4)2cos2 22.50 1 cos4502 22 2
C 2 cos 2 cos2 sin2 R
T 2
tan
2
2 tan 1 tan2
k 且 k k Z
24
2
2、注意公式的等价变化和准确应用

高中数学人教A版必修4课件-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1

tan 右边
原式成立.
例3. 证明恒等式：
sin 2 sin 2cos 2 2sin2 cos
tan.
证明：左式=
2sin cos sin 2(cos2 sin2 ) 2sin2
cos
sin (2 cos 1) cos (2 cos 1)
tan =右式
5
所以tanA = sinA = 3 . cosA 4
tan2A
=
2tanA 1- tan2A
=
24 7
.
又tanB = 2,
所以tan2B
=
2tanB 1- tan2B
=
-
4 3
,
于是
tan
2A
+
2B
=
tan2A + tan2B 1- tan2Atan2B
=
44 117
.
例3
在
△ABC
中，cosA
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
复习回顾：两角和的正弦、余弦、正切公式
（１）sin( ) sin cos sin cos （２）sin( ) sin cos sin cos
（３）cos( ) cos cos sin sin
（４）cos( ) cos cos sin sin （５）tan( ) tan tan
sin 2 2sin cos
思考：
同学们可以用上述方法自己求下
cos 2 和 tan 2的公式
cos 2 cos2 sin2
tan 2
2 tan 1 tan2
二 sin2 2sin cos
R
倍角
cos 2 cos2 sin2

2021版高中数学人教A必修4课件：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

余弦、正切公式
目标导航
UBIAODAOHANG
题型一题型二题型三题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-13-
M 3.1.3 二倍角的正弦、
余弦、正切公式
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余弦、正切公式
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-9-
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反思化简三角函数式与证明三角等式的实质是一样的,那就是化繁为简,在解答这类问题时可从三个方面考虑:一是角,二是函数名, 三是结构式,从而消除差异,达到化简的目的.

[教案精品]新课标高中数学人教a版必修四全册教案313二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc

3. 1. 3 二倍角的正弦、余弦和正切公式•一、教学目标•以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用..二、教学重、难点教学重点：以两角和的正眩、余眩和正切公式为基础，推导二倍角正眩、余弦和正切公式;教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.•三、教学设想：（-）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, . sin(a - 0) = sin a cos 0 - cos a sin 0sin(a + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0cos(a - 0) = cos a cos 0 + sin a sin 0cos(a + 0) = cos a cos 0 - sin a sin 0/ c、 tan a — tan 0 / 门、tan a + tan 0 tan(6r -/?) = ---------------- -- tan(<7 + #)= ----------------------------------- —•I + tan• tan p 1 - tan 6if • tan 0.练习：(1)在AABC 中，sin A sin B < cos A cos B ,则AABC 为( )A. 直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形(2) V3cos—-sin兰的值为（）12 12A. 0B. 2 C- V2 D. -V2jr19 3思考：已知3<0<°<百，cos(o-0)=乜，sin(6r + /3)=,求sin2a我们由此能否得到sin2%cos26Man2o的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中0看成a即可），（二）公式推导:sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin acosa；cos 2a = cos (a + a) = cosa cos a-sina sin a - cos2 cif-sin2a；思考：把上述关于cos2a 的式子能否变成只含有sina 或cos©形式的式子呢?cos 2a = cos 2 <7-sin 2 cr = 1-sin 2 6r-sin 2(7 = l-2sin 2 a ；cos 2a = cos 2 a-sin 2 a =cos 2(7-(1-cos 2 a) =2cos 2 a-l.tan 2cr = tan (6Z + 6Z )= 9 1 一 tan a tan a 1-tan" a2Q 丰—F k 兀3a H —F k 兀(kw z)2 2 、丿tan cr + tan or 2 tan a 注意: （三）例题讲解己知<a< —，求sin4a,cos4o,tan 4G 的值. 13 4 27T 兀兀解：由「X 亍得空＜205.于是 sin46r = 2sin 2a cos 2cr = 2x —x 13 4 例 2.在厶ABC 中,cos A =— , tan B = 2,求 tan(2A + 2B)的值。

215.高一数学人教A版必修四教案：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．我们由此能否得到sin 2,cos2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意： 2,22k k ππαπαπ≠+≠+()k z ∈ （三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos4,tan 4ααα的值．解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=22512cos 21sin 211313αα⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值．解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-= 解得tan 25α=-+或tan 25α=--．（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（五）作业：【重点文班】推导15034.P T T -〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

人教A版数学必修四教案：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计一、教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.二、教学目标1．知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.三、重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.四、课时安排1课时五、教学设想（一）导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.（S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsi 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若tan2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）（三）应用示例思路1例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值解:原式=2615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若22)4sin(2cos -=-πa a,则cosα+sinα的值为 A.27- B.21- C.21 D.27 答案:C3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215° C.2sin 215°-1 D.sin 215°+cos2答案:B例2 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθ22cos cos sin cos 1cos sin +-+ =θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++ )cos (sin cos )sin (cos sin θθθθθθ++=tanθ=右. 所以,原式成立.方法二:左=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin ++=-+++-+++=)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++=tanθ=右. 方法三:左=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+∙++--∙++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =)sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin θθθθθθθθθθθθ-+++-+++ =θθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin ∙+∙+=tanθ=右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20° =20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233∙∙ =.16120sin 1620sin 20sin 16160sin == 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA=A A cos sin =53×45=43, tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A 又tanB=2,所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B 于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA==A A cos sin 53×45=43.又tanB=2, 所以tan(A+B)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A 于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] =.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练化简：.4sin 4cos 14sin 4cos 1aa a a +-++ 解：原式＝aa a a a a 2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++ =)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2a a a a a a ++=cot2α.（四）知能训练(2007年高考四川卷,17) 已知cosα=71,cos(α-β)=1413,且0<β<α<2π, (1)求tan2α的值;(2)求β.解:(1)由cosα=71,0<α<2π,得sinα=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tanα=a a cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--aa a (2)由0<α<β<2π,得0<α-β<2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α-(α-β),得cosβ=cos ［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=71×1413+1433734⨯=21. ∴β=3π. 点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.（五）课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.。