2011届高考数学函数的图象复习(2).ppt
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2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第13讲 空间向量与立体几何
即 B1D⊥EG，B1D⊥EF，因此 B1D⊥平面 EGF. 结合(1)可知平面 EGF∥平面 ABD.
题型二
利用空间向量求线线角、线面角
【例 2】(2010· 课标全国)如图，已知四棱椎 P－ABCD 的底 面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E 为 AD 中点． (1)证明：PE⊥BC； (2)若∠APB＝∠ADB＝60° ，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值． 解：以 H 为原点，HA，HB，HP 分别为 x，y，z 轴， 线段 HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图， 则 A(1,0,0)B(0,1,0)． (1)证明：设 C(m,0,0)， P(0,0，n)(m<0，n>0)，
3．模、夹角和距离公式 (1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则|a|＝ a· a＝ a2＋a2＋a2， 1 2 3 a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos 〈a，b〉＝ ＝ 2 . 2 |a||b| a1＋a2＋a2· b2＋b2＋b2 3 1 2 3 (2)距离公式 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则 dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. (3)平面的法向量 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个 向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．
(2)在棱 C1D1 上存在点 F，使 B1F∥平面 A1BE. 事实上，如图(b)所示，分别取 C1D1 和 CD 的中点 F，G，连结 EG，BG，CD1，FG.因 A1D1∥B1C1∥BC，且 A1D1＝BC，所以 四边形 A1BCD1 是平行四边形，因此 D1C∥A1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EG∥D1C，从而 EG∥A1B.这说明 A1，B， G，E 共面．所以 BG⊂平面 A1BE. 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形，F，G 分别为 C1D1 和 CD 的中点，所以 FG∥C1C∥B1B，且 FG＝C1C＝B1B，因此四边 形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F∥BG.而 B1F⊄平面 A1BE，BG⊂ 平面 A1BE，故 B1F∥平面 A1BE.
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第11讲 直线与圆锥曲线的位置关系
此时①也成立， 此时①也成立， 故直线 l 斜率的取值范围是－
3－1 － 3－1 － ， 2 . 2
题型二 圆锥曲线中的探索性问题
福建)已知中心在坐标原点 【例 2】 (2010·福建 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 】 福建 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． ， 为其右焦点． 为其右焦点 (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有 是否存在平行于 ， 公共点， 公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直 ？若存在， 的方程；若不存在，说明理由． 线 l 的方程；若不存在，说明理由． x2 y2 解法一： 依题意 依题意， 解：解法一：(1)依题意，可设椭圆 C 的方程为 2＋ 2＝1 a b (a>b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)． ， ′－ ．
次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 ∆＝B2－4AC，应用 ∆>0， ＋ ＝ ≠ ． ＝ ， ， 所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由根与系数的关系 韦达 ＋ ＝ 的解．由根与系数的关系(韦达 B C 定理)求出 定理 求出 x1＋x2＝－A，x1x2＝A，所以 A、B 两点间距离为 、 两点间距离为|AB|＝ ＝ B2－4AC 的斜率)，即弦长公式． (1＋k ) A2 (其中 k 为 l 的斜率 ，即弦长公式．也可以写成 ＋ 其中
0
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 6 【例 1】 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 ，短轴 】 ： 的离心率为 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程； 求椭圆 的方程； (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的 设直线 、 两点， 3 面积的最大值． 距离为 2 ，求△AOB 面积的最大值． 6 c ＝ ， 解：(1)设椭圆的半焦距为 c，依题意a 3 设椭圆的半焦距为 ， a＝ 3， ＝ ， x2 2 ∴b＝1，∴所求椭圆方程为 3 ＋y ＝1. ＝ ，
2011届高考数学二轮复习课件：填空题的解题方法与技巧
已知方程(x 例 4 已知方程 2－ 2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个 ＋ ＋ ＝ 的四个根组成一个 1 1 的等差数列， 的值等于________． 首项为 的等差数列，则|m－n|的值等于 － 的值等于 ． 2 4 思维启迪
考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y＝x2
－2x＋m与y＝x2－2x＋n和x轴四个交点的横坐标，所以可 以利用图象进行求解． 解析 如图所示，易知抛物线y＝x2－2x
＋m与y＝x2－2x＋n有相同的对称轴x＝ 1，它们与x轴的四个交点依次为A、B、 C、D. 1 7 因为xA＝ 4，则xD＝4. 3 5 又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝ 4，xC＝4. 1 7 3 5 1 故|m－n|＝|4×4－4×4|＝ 2.
方法二
π 1 取特殊角A＝B＝C＝ ，cos A＝cos C＝ ， 3 2
cos A＋cos C 4 ＝ . 1＋cos Acos C 5
例 3 如图所示，在△ ABC中,AO是BC边上 如图所示， 中 是 边上
→ 的中线，K为AO上一点，且OA＝2AK, 的中线， 为 上一点， → 上一点
过点K的直线分别交直线 、 于不同 过点 的直线分别交直线AB、AC于不同 的直线分别交直线 的两点M、 ， 的两点 、 N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则 m＋n ＋ ＝________. 思维启迪
→ →
→
题型三
图象分析法(数形结合法 图象分析法 数形结合法) 数形结合法
依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征， 依据特殊数量关系所对应的图形位置、 特征，利用图形直 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题， 观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的 几何意义一般较为明显． 几何意义一般较为明显 ．由于填空题不要求写出解答过 程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形 因而有些问题可以借助于图形， 状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加 位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析， 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案． 上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多 问题都可以转化为数与形的结合， 问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既 浅显易懂，又能节省时间． 浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题 的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容． 的能力 ，此类问题为近年来高考考查的热点内容．
2011届高考数学总复习的对策与思考
验进 行 归 纳和 总 结 ，看 看 得 到哪 些感 悟 与 启 发 。 同时教 是 否 定一 切 ，它是 指 在科 学 理 论 的指 导 下 ，面对 新 的 问 师 还可 以进一 步 引 导学 生 探索 该 问题 更 深 刻 的发 生 、发 题 敢 于提 出新 的观 点 与新 的方法 ，它 是对 一 切 落后 的 、 展 变化 ，如适 当改变 问题 的 背景 ，将 条 件 与 结论 倒 置 ，
学计 划落 实 的情 况及 下 一 周教 学 工作 的要 点 ，做到 “ 五 课 ，精 选 习题 外 ，关 键 是要 提 高课 堂 效率 ，在 课堂 上做 统 一 ” “五 细 ” “ 加 强 ” ， 即 ： 统 一 思 想 ，统 一 认 到三 到位 。 五
识 ，统一 进 度 ，统 一方 案 ，统 一 行动 ；考 纲 、 教材 要钻 研 得 细 ，复 习计 划 要制 订得 细 ，复 习 内容 要 研 究得 细 ，
２ ｔ 年２ ０ １ 月上 第 ４ （ 期 总第 ２ ６ ） ２期
墓
一
６一
／ 教学研究 ／
仿 阶段 必 须 依赖 学 生 自己 的感 悟 、摸 索 、探 究 、反 思 和 将 起 到事 半功 倍 的作用 。一 些做 法 ：１ ）不在 乎 多讲一 套 ） 总结 。 这 样 就 要 求 教 师 在 精 选 习题 时 一 定 要 选 针 对 性 题 或 少讲 一套 题 ，应根 据实 际情 况 ，做到 快慢 有致 ；２ 强 、思维 力 度适 当、有 一 定挑 战性 和 一 定钻 研价 值 的 问 在 学 生 中 组建 一 个数 学 问题讲 解 组 ，教 师可 以指定 部 分 题 。教 师 在 导时 ，既要 按 常 规方 式 讲清 怎样 审题 、常 规 问题 由讲解 组 来讲 解 ；３ ）遇 到较好 的题 材 ，教师 要 引导 思路 、方 法 和技 巧 、 关键 步 骤及 常 见 的主 要 错误 等 ，同 学 生 多 反 思 ，努 力扩 大 解题 成 果 ，总 结 解题 经 验 ，逐渐
2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)
得 t +bt+c=0.
2
2
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①
②
要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=| x +2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=|x +2x|折上去的顶点，故②式有一解为t 1 1 ，另一直线与f(x)=|x +2x|
2 2
的图象有4个交点，故②式的另一解 2 必在（0,1)上，所以 t1 t 2 b 0 b 0,t1t 2 c 0 ，所以b<c. 答案:C
2
2
2
与y轴的交点D(0,1)，再任取一点
E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.
学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数 图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简 便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称 轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交 点为特征点进行画图.
学后反思 函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有 关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反 映了函数图象与y轴交点的位臵,b>0时,交于x轴上方;b=0时, 交于原点;b<0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的 截距.
举一反三
1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上? 解析: (1)当m≠ 2 时,这个函数为一次函数. 1 (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 2 时,y随 x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, 2 ≨m= 5 .
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①
②
要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=| x +2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=|x +2x|折上去的顶点，故②式有一解为t 1 1 ，另一直线与f(x)=|x +2x|
2 2
的图象有4个交点，故②式的另一解 2 必在（0,1)上，所以 t1 t 2 b 0 b 0,t1t 2 c 0 ，所以b<c. 答案:C
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与y轴的交点D(0,1)，再任取一点
E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.
学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数 图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简 便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称 轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交 点为特征点进行画图.
学后反思 函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有 关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反 映了函数图象与y轴交点的位臵,b>0时,交于x轴上方;b=0时, 交于原点;b<0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的 截距.
举一反三
1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上? 解析: (1)当m≠ 2 时,这个函数为一次函数. 1 (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 2 时,y随 x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, 2 ≨m= 5 .
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第12讲 空间点、直线、平面之间的关系
(2)证明：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB⊥BC. 证明： 为正方形， 证明 ⊥ 又 EF∥AB，∴EF⊥BC. ∥ ， ⊥ 而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC. ⊥ ， ⊥ ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. ⊥ ， ⊥ 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC. ＝ ， 的中点， ⊥ ∴FH⊥平面 ABCD，∴FH⊥AC. ⊥ ， ⊥ 又 FH∥EG，∴AC⊥EG. ∥ ， ⊥ 又 AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面 EDB. ⊥ ， ∩ ＝ ， ⊥ (3)解：EF⊥FB，∠BFC＝90°， 解 ⊥ ， ＝ ， ∴BF⊥平面 CDEF. ⊥ 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线 ⊥ 于 K，则∠FKB 为二面角 B－DE－C 的一个平面角． ， － － 的一个平面角． 设 EF＝1，则 AB＝2，FC＝ 2，DE＝ 3. ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝
1.正三棱柱 A1B1C1－ABC 中，点 D 是 BC 的中点，BC＝ 正三棱柱 的中点， ＝ 2BB1，设 B1D∩BC1＝F.求证： 求证： ∩ 求证 (1)A1C∥平面 AB1D； ∥ ； (2)BC1⊥平面 AB1D. 证明：(1)连结 A1B，设 A1B 与 AB1 交于 E，连结 DE. 证明： 连结 ， ， 中点， 中点， ∵点 D 是 BC 中点，点 E 是 A1B 中点，∴DE∥A1C ∥ ∵A1C⊄平面 AB1D， ⊄ ， DE⊂平面 AB1D， ⊂ ， ∴A1C∥平面 AB1D. ∥
2．直线、平面平行的判定及其性质 ．直线、 (1)线面平行的判定定理 ∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α. 线面平行的判定定理 ⊄ ， ⊂ ， ∥ ， ∥ (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b. 线面平行的性质定理 ∥ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ∥ (3)面面平行的判定定理 ∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， 面面平行的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ， ∥ ， b∥α，∴α∥β. ∥ ， ∥ (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b， 面面平行的性质定理 ∥ ， ∩ ＝ ， ∩ ＝ ， ∴a∥b. ∥ 3．直线、平面垂直的判定及其性质 ．直线、 (1)线面垂直的判定定理 ∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m， 线面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊂ ， ∩ ＝ ，⊥ ， l⊥n，∴l⊥α. ⊥ ， ⊥ (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. 线面垂直的性质定理 ⊥ ， ⊥ ， ∥ (3)面面垂直的判定定理 ∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β. 面面垂直的判定定理 ⊂ ， ⊥ ， ⊥ (4)面面垂直的性质定理 面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， ⊥ ， ∩ ＝， ⊂ ， ⊥， ∴a⊥β. ⊥
湖南省2011届高考数学一轮复习：《函数y=Asin(wx+)的图象》
动的次数，称为“频率 ”.
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第四页，编辑于星期日：十六点 十五分。
x : 称为“相位” . : x=0时的相位，称为“初相”.
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第五页，编辑于星期日：十六点 十五分。
三、提出问题，自我练习：
例 1. (1) 把函数 y sin(2x )的图象
4
向右平移 个单位，再把所得图象 上各点
二、函数y A sin(x )，x [0,) (其中A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.
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第三页，编辑于星期日：十六点 十五分。
T：T 2 往复振动一次所需的时 间，
称为“周期”.
f：
f 1 单位时间内往返振 T 2
3 有下列命题：
(1) f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 可得x1 x2必
为的整数倍；
(2) y f ( x)表达式可以写成 f ( x)
4cos(2x )；
6
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第十一页，编辑于星期日：十六点 十五分。
(3) y f ( x)的图象关于( ,0)对称；
6
8 的横坐标缩短到原来的 1，则所得图象的
2 函数为 ____________；
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第六页，编辑于星期日：十六点 十五分。
(2) 函数 y 3sin(2x )的图象可
3 以看成把 y 3sin 2x的图象向 ______ 平移 _______ 个单位得到；
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第七页，编辑于星期日：十六点 十五分。
(3) 先将函数 y 2sin(2x )的周期
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x : 称为“相位” . : x=0时的相位，称为“初相”.
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三、提出问题，自我练习：
例 1. (1) 把函数 y sin(2x )的图象
4
向右平移 个单位，再把所得图象 上各点
二、函数y A sin(x )，x [0,) (其中A 0, 0)的物理意义：
函数表示一个振动量时： A：这个量振动时离开平衡位置
的最大距离，称为“振幅”.
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第三页，编辑于星期日：十六点 十五分。
T：T 2 往复振动一次所需的时 间，
称为“周期”.
f：
f 1 单位时间内往返振 T 2
3 有下列命题：
(1) f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 可得x1 x2必
为的整数倍；
(2) y f ( x)表达式可以写成 f ( x)
4cos(2x )；
6
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(3) y f ( x)的图象关于( ,0)对称；
6
8 的横坐标缩短到原来的 1，则所得图象的
2 函数为 ____________；
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(2) 函数 y 3sin(2x )的图象可
3 以看成把 y 3sin 2x的图象向 ______ 平移 _______ 个单位得到；
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(3) 先将函数 y 2sin(2x )的周期
2011届高考数学总复习测评课件21
第一节
基础梳理
1. 基本概念
离散型随机变量及其概率分布
(1)随机变量：一般地，如果 随机试验的结果 ，可以用一个变量 来表示，那么这样的变量叫做随机变量.通常用字母X,Y,ξ,η等 表示. （2）离散型随机变量：随机变量的取值都是离散的，我们把这样 的随机变量叫做离散型随机变量. （3）一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别 是
所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3个白
n ( n − 1) n ( n − 1) 1 Cn2 2 = 2 = = 7×6 7 C7 7 × 6 ,…………………………………2′ 2
球…………………………………………………………….4′
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. 3 P(X=1)= , P(X=2)= 4 × 3 = 2 , 7×6 7 7
0.0009 0.0001
考点演练
10. 设随机变量X的概率分布如下表所示： X P 0 a 1
1 3
2
1 6
F(x)=P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，求F(x). 解析: 由分布列的性质知a= x∈[1,2)时，
,
.
∴X的概率分布为 X P 0 1 210 1
4 35
2
3
8 21
4
3 7
1 14
学后反思 对于服从某些特殊分布的随机变量，其概率分布可以 直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机 变量为抽到的某类个体的个数.
举一反三
3. 设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽 取20件，求抽得次品件数ξ的分布列.
4 × 3× 2 × 3 3 4 × 3× 3 6 = = P(X=3)= , P(X=4)= 7 × 6 × 5 × 4 35 7 × 6 × 5 35
基础梳理
1. 基本概念
离散型随机变量及其概率分布
(1)随机变量：一般地，如果 随机试验的结果 ，可以用一个变量 来表示，那么这样的变量叫做随机变量.通常用字母X,Y,ξ,η等 表示. （2）离散型随机变量：随机变量的取值都是离散的，我们把这样 的随机变量叫做离散型随机变量. （3）一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别 是
所以n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2), 即袋中原有3个白
n ( n − 1) n ( n − 1) 1 Cn2 2 = 2 = = 7×6 7 C7 7 × 6 ,…………………………………2′ 2
球…………………………………………………………….4′
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. 3 P(X=1)= , P(X=2)= 4 × 3 = 2 , 7×6 7 7
0.0009 0.0001
考点演练
10. 设随机变量X的概率分布如下表所示： X P 0 a 1
1 3
2
1 6
F(x)=P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，求F(x). 解析: 由分布列的性质知a= x∈[1,2)时，
,
.
∴X的概率分布为 X P 0 1 210 1
4 35
2
3
8 21
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1 14
学后反思 对于服从某些特殊分布的随机变量，其概率分布可以 直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机 变量为抽到的某类个体的个数.
举一反三
3. 设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽 取20件，求抽得次品件数ξ的分布列.
4 × 3× 2 × 3 3 4 × 3× 3 6 = = P(X=3)= , P(X=4)= 7 × 6 × 5 × 4 35 7 × 6 × 5 35
(超级精品)2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之函数(39页)
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.1.1 函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解．考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(,4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,]3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ） （1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是()A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则)f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x =∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1.2 函数的简单性质重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射．考纲要求：①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；②会运用函数图像理解和研究函数的性质．经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于 （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数()f x =是（ ）A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为 （）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是22,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是 ．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。
2011届高考数学二轮复习考点突破课件：第17讲 函数与方程思想
题型一 函数与方程思想在不等式中的应用
1 1 【例1】 已知函数 ＝a－x(a>0，x>0)， 】 已知函数f(x)＝ ， ， (1)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求实数 的取值范围； 若 ≤ 在 ，＋ 上恒成立 求实数a的取值范围 ，＋∞ 上恒成立， 的取值范围； (2)若f(x)在[m，n]上的值域也是 ，n](m≠n)，求实数 的取值范围． 若 在 ， 上的值域也是 上的值域也是[m， 的取值范围． ≠ ，求实数a的取值范围 1 1 1 1 解：(1)由a－x≤2x得a≤2x＋x. 由 得 ＋ ∵x>0， ， 1 2 ＋ ∴当x＝ 时，2x＋xmin＝2 2， ＝ ， 2 1 2 ∴a≤2 2，∴a≥ 4 ， ， ≥ ∴实数a的取值范围是 实数 的取值范围是
专题七 数学思想方法
第一讲
函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问 题．方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件 方程思想，是从问题中的数量关系入手， 转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组 ， 转化为数学模型 方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方 方程 或不等式(组 来使问题获解 有时，还通过函数与方程的互相转化、 来使问题获解． 程(组)或不等式 组)来使问题获解．有时，还通过函数与方程的互相转化、 组 或不等式 接轨，达到解决问题的目的．函数与方程是两个不同的概念， 接轨，达到解决问题的目的．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有 着密切的联系，方程 ＝ 的解就是函数 的解就是函数y＝ 的图象与 的图象与x轴的交点的横坐 着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数 ＝f(x)的图象与 轴的交点的横坐 标．
2011届高考数学二轮复习课件：集合与常用逻辑用语
第三部分 教材回扣 集合与常用逻辑用语 高考要点回扣
1．集合元素具有确定性、无序性和互异性．集合的元素 ．集合元素具有确定性、无序性和互异性． 的互异性法则是考查的重点． 的互异性法则是考查的重点． 如(1)设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a 设 、 为两个非空实数集合， ＋ ＝ ＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则 P＋Q ∈ ， ∈ ， ＝ ， ＝ ， ＋ 中的元素有____个 中的元素有 8 个； (2)设 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m 设 ＝ ， ∈ ， ∈ ， ＝ ， － ＋ >0},B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点 P(2,3)∈A∩(∁UB) ＝ ， ＋ － ≤ ， ∈ ∩∁ 的充要条件是______________； 的充要条件是 m>－1，n<5 ；
C
)
解析
本题考查命题的否定．根据特称命题的否定是全
称命题，故选C.
4．(2010·湖南 下列命题中的假命题是 ． 湖南)下列命题中的假命题是 湖南 A．∀x∈R,2x－1>0 ． ∈ C．∃x∈R，lg x<1 ． ∈ ，
－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(B B．∀ x∈N*，(x－1)2>0 ． ∈ －
)
D．∃ x∈R，tan x＝2 ． ∈ ， ＝
进行恰当地转化，可以判断綈q与綈 p的关系，简化解题 进行恰当地转化，可以判断綈 与 的关系， 的关系
过程． 过程．
精品回扣练习
1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n ．设集合 ＝ ∈ － ， ＝ ∈ － ≤ ≤ 3}，则 M∩N等于 ， ∩ 等于 A．{0,1} ． C．{0,1,2} ． ( B B．{－1,0,1} ． － D．{－1,0,1,2} ． － )
1．集合元素具有确定性、无序性和互异性．集合的元素 ．集合元素具有确定性、无序性和互异性． 的互异性法则是考查的重点． 的互异性法则是考查的重点． 如(1)设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a 设 、 为两个非空实数集合， ＋ ＝ ＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则 P＋Q ∈ ， ∈ ， ＝ ， ＝ ， ＋ 中的元素有____个 中的元素有 8 个； (2)设 U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m 设 ＝ ， ∈ ， ∈ ， ＝ ， － ＋ >0},B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点 P(2,3)∈A∩(∁UB) ＝ ， ＋ － ≤ ， ∈ ∩∁ 的充要条件是______________； 的充要条件是 m>－1，n<5 ；
C
)
解析
本题考查命题的否定．根据特称命题的否定是全
称命题，故选C.
4．(2010·湖南 下列命题中的假命题是 ． 湖南)下列命题中的假命题是 湖南 A．∀x∈R,2x－1>0 ． ∈ C．∃x∈R，lg x<1 ． ∈ ，
－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(B B．∀ x∈N*，(x－1)2>0 ． ∈ －
)
D．∃ x∈R，tan x＝2 ． ∈ ， ＝
进行恰当地转化，可以判断綈q与綈 p的关系，简化解题 进行恰当地转化，可以判断綈 与 的关系， 的关系
过程． 过程．
精品回扣练习
1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n ．设集合 ＝ ∈ － ， ＝ ∈ － ≤ ≤ 3}，则 M∩N等于 ， ∩ 等于 A．{0,1} ． C．{0,1,2} ． ( B B．{－1,0,1} ． － D．{－1,0,1,2} ． － )
2011届高考数学二轮复习课件：函数、基本初等函数的图象与性质
利用数形结合，－3,2 是方程 ax2＋(b－8)x
－a－ab＝0 的两根，求出 a，b 的值，得 f(x)的解析式， 进而确定 f(x)在[0,1]内的值域，然后利用函数 g(x)＝ax2 ＋bx＋c 的性质，确定 c.
＝－3 解 由题意得 x＝－ 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠0，则 ＝－ ＝ 的零点且 ≠ ，
4．函数单调性的判定方法 ． (1)定义法：取值，作差，变形，定号，作答． 定义法：取值，作差，变形，定号 ，作答． 定义法 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． 其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解． (2)导数法． 导数法． 导数法 (3)复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 复合函数的单调性遵循“同增异减 ”的原则． 复合函数的单调性遵循 5．函数奇偶性的判定方法 ． (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件． 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 (2)对于定义域内的任意一个 ， 对于定义域内的任意一个x， 对于定义域内的任意一个 若都有f(－ ＝ 为偶函数． 若都有 － x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． ， 为偶函数 若都有f(－ ＝－ ＝－f(x)， 为奇函数． 若都有 － x)＝－ ，则 f(x)为奇函数． 为奇函数 若都有f(－ － 为偶函数． 若都有 － x)－f(x)＝0，则 f(x)为偶函数． ＝ ， 为偶函数 若都有f(－ ＋ 为奇函数． 若都有 － x)＋f(x)＝0，则 f(x)为奇函数． ＝ ， 为奇函数
变式训练1 ，＋∞ 变式训练 设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x) ＝ ＋ ， ∈ － ，＋ 时 恒成立， 的取值范围． ≥ a恒成立，求 a的取值范围． 恒成立 的取值范围
2011届高考数学第一轮复习课件之等差数列
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9分
于是－171<d≤－113.
课堂互动讲练
又d∈Z，故d＝－1.④ 将④代入①②得10<a1≤12.11分 又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12. 所以，所有可能的数列{an}的通 项公式是an＝12－n和an＝13－n，n＝ 1,2,3，….12分
规律方法总结
1．等差数列的单调性 当d＞0时，{an}是递增数列． 当d＝0时，{an}是常数列． 当d＜0时，{an}是递减数列．
故当p＝0时，数列{an}是等差数列．
课堂互动讲练
(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q， ∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q. 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为 一个常数， ∴{an＋1－an}是等差数列． 【误区警示】 在(2)中，要证明(an ＋2－an＋1)－(an＋1－an)是一个与n无关的 常数，而不是证an＋1－an是一个常数．
则由 a5＝5a3 知 a1＝－32d. ∴SS95＝95((aa11＋ ＋42dd))＝9.
答案：9
三基能力强化
5．(教材习题改编)已知{an}为等 差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝ ________.
答案：15
课堂互动讲练
考点一 等差数列的判定
证明一个数列{an}是等差数列的 基本方法有两种：一是利用等差数列 的定义法，即证明an＋1－an＝ d(n∈N*)，二是利用等差中项法，即 证明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在
(4)S2n－1＝(2n－1)an. (5)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中 间项)． (6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋ qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为 常数，{bn}是等差数列．
2011届高考数学总复习直通车课-基本初等函数(Ⅱ)
cos
＜0.
2
2 2
＜0.
题型二
扇形弧长、面积公式的应用
【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积. 分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性 质来解决最值问题. 解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积： 1 10 S= 2 (20-2r)r=- (r 5)2+25.当r=5时，l=10，α= 5 =2(弧度),S取到 2 最大值，此时最大值为25 cm .故当扇形的圆心角α=2弧度时，这个 扇形的面积最大，最大面积是25 cm2 . 学后反思 求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转 化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外， 也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.
5. 三角函数值在各象限的符号 象限 函数 符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
sinα
cosα
+
+
+
-
-
+
tanα
+
-
+
-
典例分析
题型一 象限角问题
【例1】若α是第二象限的角，则 2 是第几象限的角? 3 是第几象限 的角?2α是第几象限的角?
分析 由于α是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表 示出α的范围，进而求得 , ,2α的范围，判定其所在的象限.
2 3
,k∈Z}.
图1
1
图2
(2)作直线x=- 2 交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成 的区域（图2中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α 集合为{α|2kπ+ 3 ≤α≤2kπ+
2011届高三数学一轮复习精品课件：一元二次不等式及其解法
课堂互动讲练
例1 解下列不等式： 解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3<0； ＋ ； (2)－3x2－2x＋8≤0； － ＋ ； (3)8x－1≥16x2. － 【思路点拨】 首先将二次项系 思路点拨】 数转化为正数， 数转化为正数，再看二次三项式能否 因式分解，若能， 因式分解，若能，则可得方程的两 大于号取两边，小于号取中间， 根，大于号取两边，小于号取中间， 若不能，则再看“”，利用求根公式 若不能，则再看 ， 求解方程的根，而后写出解集． 求解方程的根，而后写出解集．
课堂互动讲练
法一： 【解】 法一： f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函 ＝ － － 数图象的对称轴为x＝ ， 数图象的对称轴为 ＝a， (1)当a∈(－∞，－ 时，结合图 当 ∈ － ，－1)时 ，－ 象知， ，＋∞)上单调递增 象知，f(x)在[－1，＋ 上单调递增， 在 － ，＋ 上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3， － ＝ ＋ ， 要使f(x)≥a恒成立，只需 恒成立， 要使 恒成立 f(x)min≥a， ， 即2a＋3≥a，解得a≥－3. ＋ ，解得 － 又a<－1，∴－3≤a<－1. － ， －
第2课时 一元二次不等式及 其解法
基础知识梳理
1．一元二次不等式与相应的二次 ． 函数及一元二次方程的关系如下表： 函数及一元二次方程的关系如下表：
基础知识梳理
判别式 ＝b2－4ac ＝ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ＝ ＋ (a>0)的图象 的图象 >0 ＝0 ＝ <0
基础知识梳理
判别式 ＝b2－4ac ＝ >0 ＝0 ＝ <0 没有实 数根 {x|x∈R} ∈
课堂互动讲练
考点二 含有参数的一元二次不等式的解法
2011届高考数学二轮复习专题六第2讲椭圆、双曲线、抛物线
热点突破探究
高考动态聚焦
专 题 六 解 析 几 何
p 2. ∵ x2
2
(1)(2010 x2
高考 y2 1 6x 7 C
) 0 2
知 p D 4
y2
2px(p (
0) )
下 上 页
1 A. 2
B
C. y2
x 6x 7 ∴3 0 p 2 (x 4 3)2 ∴p y2 2. 16.
页
要点知识整合
热点突破探究
2
上 页
下 页
x
0
1 ≤λ 3
1
λ
1 [ 3
1).12
要点知识整合
热点突破探究
高考动态聚焦
点 专 题 六 解 析 几 何 (3) (4) 究 (2) 考 (1) 热点
高考
上 页
下 页
合
要点知识整合
热点突破探究
高考动态聚焦
专 题 六 解 析 几 何
4
知 x
2
焦点 4y 焦点
x e l OF 动点 2 5
2m
y1
y2)
上 页
下 页
要点知识整合
热点突破探究
高考动态聚焦
(1) l
F(2,0) 0≤m≤2. ≤ ≤ y k(x 2)(k≠0) ≠ 20k2 5 0.
上 页
专 题 六 解 析 几 何
x2 2 y 1 (5k2 1)x2 20k2x 5 A(x1 y1) B(x2 y2) 20k2－ 5 20k2 x1 x 2 x1x2 . 5k2＋ 1 5k2＋ 1 4k y1 y2 k(x1 x2 4) 5k2＋ 1 y1 y2 k(x1 x2) → → → (MA MB) AB |MA| |MB| (x1－ m)2＋ y2 ) 1 (x2－ m)2＋ y2 ) 2
湖南省2011届高考数学一轮复习：《函数y_Asin(wx+)的图象》
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2010年上学期
第五页，编辑于星期日：十六点 十五分。
二、导入新课，提出课题：
物理实例： 1. 简谐振动中，位移与时间的关系； 2. 交流电中电流与时间的关系.
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2010年上学期
第六页，编辑于星期日：十六点 十五分。
二、导入新课，提出课题：
物理实例： 1. 简谐振动中，位移与时间的关系； 2. 交流电中电流与时间的关系.
制作06
2010年上学期
第三十二页，编辑于星期日：十六点 十五分。
列 表：
X x 0 3 2
2
2
2
x
0 2 3 4
sin x 2
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2010年上学期
第三十三页，编辑于星期日：十六点 十五分。
列 表：
X x 0 3 2
2
2
2
x
0 2 3 4
sin x 2
0 1 0 1 0
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2010年上学期
第三十四页，编辑于星期日：十六点 十五分。
作 图：
y
1
x
o 2
4
-1
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2010年上学期
第三十五页，编辑于星期日：十六点 十五分。
作 图：
y
1
x
o 2
4
-1 y sin 2x
湖南长郡卫星远程学校
制作06
2010年上学期
第三十六页，编辑于星期日：十六点 十五分。
作 图：
y
y 2sin x
2
1
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