高一数学人教A版必修1教案：2.1.2(3)指数函数(教学设计)

2.1.2（3）指数函数（教学设计）
内容：复合函数的单调性
教学目标
1. 理解指数函数的单调性的应用
2.理解掌握复合函数的单调性。

教学重点与难点：
重点：复合函数的单调性。

难点：函数值域的求解。

教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
问1：对于指数函数x a y =，你认为需要注意哪些方面？
答：（1）底数a 的取值有范围限制：0>a 且1≠a ；
（2）有些函数貌似指数函数，实际上却不是．例如k a y x +=（0>a 且1≠a ，0≠k ），x ka y =（0>a 且1≠a ，1≠k ）．
有些函数看起来不像是指数函数，实际上却是．例如x a y -=（0>a 且1≠a ）． 形如x ka y =（0>a 且1≠a ，0≠k ）的函数是一种指数型函数，上节课我们遇到的x p N y )1(+=（N x ∈）模型，就是此类型．
（3）指数函数x a y =从大的来说按照底数分为两类：10<<a 和1>a ．不要混淆这两类函数的性质．
（4）函数x a y =的图象与x a y -=（0>a 且1≠a ）的图象关于y 轴对称，这是因为点),(y x 与点),(y x -关于y 轴对称．根据这种对称性就可以通过函数x a y =的图象得到x a y -=的图象．
（5）利用指数函数的概念和性质比较大小，解决的方法主要是：抓底看增减进行比较．对于一般的字母底数要运用分类讨论的思想解决问题．
二、师生互动，新课讲解：
例1（课本P57例8）截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
变式训练1：（课本P59习题2.1 A 组NO ：6）一种产品的产量原来是a ，在今后m 年内，计划使产量平均每年比上一年增加p%，写出产量y 随年数x 变化的函数解析式。

例2求函数x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调区间，并证明
解：设21x x <
则)2)((22221212121221121212
2221212121-+-+----⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x x x x x y y ∵21x x < ∴012>-x x
当](1,,21∞-∈x x 时，0221<-+x x 这时0)2)((1212<-+-x x x x
即 11
2>y y ∴12y y >，函数单调递增 当)[∞+∈,1,21x x 时，0221>-+x x 这时0)2)((1212>-+-x x x x
即 11
2<y y ∴12y y <，函数单调递减 ∴函数y 在](1,∞-上单调递增，在)[∞+,1上单调递减。

解法二、（用复合函数的单调性）：
设：x x u 22-= 则：u
y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21 对任意的211x x <<，有21u u <，又∵u y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21是减函数 ∴21y y < ∴x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是减函数
对任意的121≤<x x ，有21u u >，又∵u y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21是减函数 ∴21y y < ∴x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=在),1[+∞是增函数
归纳：复合函数的单调性：（同增异减）
变式训练2：根据复合函数的单调性，求下列函数的单调区间
（1）222
x x y -=；（2）31()5x y -+=；（3）221()2
x x y -+=
例3：求下列函数的值域：
（1）221()2x x y -=；（2）2
22x x y -=
变式训练3：求函数31)2
1(+=x y 的定义域与值域。

解：要使函数有意义，必须 03≠+x 即 3-≠x
∵031≠+x ∴1)21()21(031=≠=+x y 又∵0>y ∴值域为 ),1()1,0(+∞
三、课堂小结，巩固反思：
1、函数模型的建立。

2、复合函数的单调性
四、布置作业：
A 组：
1． 函数y ＝221
()2
x x -+的值域是 ( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(2，＋∞)
D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D 解析 ∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－x 2＋2x ≥12，故选D.
2、(tb0113813)求函数y=(31)1822
+--x x 的单调区间。

解：减区间：(,2]-∞-，增区间：[-2，+)∞
3、
求函数2412x x y --=的单调区间。

B 组：
1、（课本P59习题2.1 B 组 NO ：3）
2、求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间．
思维启迪：对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．
(1)答案 D
解析 由f (x )＝a x －b 的图像可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图像是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.
(2)解 依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，
∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)． ∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4≥30＝1，
∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．
令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－9
4，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，
∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数， 当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．
而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f (x )＝3x 2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．。