章圆锥曲线末质量评估

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2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估含解析新人教A版选修1_1201709

第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(二)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)x2y21.设P是椭圆+ =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等169144于( )A.22B.21C.20D.13【解析】选A.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,因为|PF1|=4,所以|PF2|=22.x2y252.(2015·广东高考)已知双曲线C: - =1的离心率e= ,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的a2b24方程为( )x2y2x2y2A. - =1B. - =143169x2y2x2y2C. - =1D. - =191634c5【解析】选 B.因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e= = ,所以a4x2y2c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为- =1.169x2y24 3【补偿训练】与椭圆+ =1有相同焦点,并且经过点(2,- )的双曲线的标准方程为9__________.x2y29455【解析】由+ =1知焦点F 1(- ,0),F2( ,0).x2y2依题意,设双曲线方程为- =1(a>0,b>0).a2b2所以a2+b2=5,①x2y2又点(2,- 3)在双曲线- =1上,a2b243所以- =1.②a2b2联立①②得a2=2,b2=3,1x 2 y 2因此所求双曲线的方程为 - =1. 2 3x 2 y2 答案: - =1 2 323.已知离心率为 e 的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点 F 1,F 2,P 是两曲线的一个公共点,2π若∠F 1PF 2= ,则 e 等于 ( )35 56 A. B. C. D.3222【解题指南】在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.【解析】选 C.设椭圆的长半轴长为 a 1,双曲线的实半轴长为 a 2,焦距为 2c,|PF 1|=m,|PF 2|=n,且不妨设 m>n,由 m+n=2a 1,m-n=2a 2得 m=a 1+a 2,n=a 1-a 2.π 又∠F 1PF 2= , 3所以 4c 2=m 2+n 2-mn=a 21+3a 2,a 21 3a 213 6 所以 +=4,即+ =4,解得 e= .c 2 c 2e 2222(2 )【补偿训练】(2017·佛山高二检测)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 ( )1 1 3 A. B. C. D. 323 2 22 【解析】选 D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即 b=c,所以 a 2-c 2=c 2,得 e= .故选 D.2y 2 4.设 F 1,F 2是双曲线 x 2- =1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的24面积等于 ( )A.42B.83C.24D.48【解析】选 C.由 3|PF 1|=4|PF 2|知 |PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义知 |PF 1|-|PF 2|=2,所以 |PF 1|=8,|PF 2|=6,又 c 2=a 2+b 2=1+24=25,所以 c=5,所以|F 1F 2|=10, 所以△PF 1F 2为直角三角形,1S △ PF= |PF 1||PF 2|=24.1F 2 2【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法(1)△PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的2主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.1(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:S△PF=2r1r2·sin∠F1PF2和S△PF1F21F2 1= ·2c·|y P|.2(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.x2y2164 25.椭圆+ =1上的点到直线x+2y- =0的最大距离是( )A.3B. 11C.2 2D. 10【解析】选D.设直线方程为x+2y+b=0,x+2y+b=0,{x2y2得8y2+4by+b2-16=0,16+4=1Δ=16b2-4×8×(b2-16)=0得b=±42.|42+2|510d= = .x2y26.过双曲线C: - =1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点a2b2为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )x2y2x2y2A. - =1B. - =141279x2y2x2y2C. - =1D. - =188124【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,x2y2故a=2,b2=12,所以方程为- =1.4127.(2017·全国乙卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1, l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线l1方程为y=k1(x-1),32=4x,联立方程{y得x2-2 x-4x+ =0,2y=k1(x―1),k设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),-2k21―42k21+4所以x1+x2=- = ,k21k122k2+4同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4= ,k2由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p2k21+42k2+41644= + +4= + +8≥2 +8=16,k12k2k21k2k21k2当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.x2y28.已知双曲线- =1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右a2b2支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,b bc2a2+b2aa3a2a2则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以≥,离心率e2= = ≥4,所以e≥2.x2y29.如果椭圆+ =1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )369A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0x2136+【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则{x236+y219=1,y29=1,4x1+x2y1+y2两式相减再变形得+k =0,3691又弦中点为(4,2),故k=- ,21故这条弦所在的直线方程y-2=- (x-4),整理得x+2y-8=0.210.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【解析】选B.由题意得F(2,0), l:x=-2,3―235线段MF的垂直平分线方程为y- =- (x- ),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),23―02则圆心在x+3y-7=0上,故a+3b-7=0,a=7-3b,由题意得|a-(-2)|= (a―2)2+b2,即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.【补偿训练】(2017·兰州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离x2为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a= ( ) a1111A. B. C. D.9432p【解析】选A.根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则1+ =5,解2x2得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐标为(1,4),双曲线-y2=1a1的左顶点为A,则a>0,且A的坐标为(-a,0),渐近线方程为y=±x,因为双曲线的一条渐a41 1近线与直线AM平行,所以k AM= = ,解得a= .1+a a9x2y211.(2017·珠海高二检测)已知F1,F2分别为双曲线- =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲a2b2|PF1|2线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是( )|PF2|A.(1,+∞)B.(1,2]C.(1, 3]D.(1,3]5|PF1|2(2a+|PF2|)24a24a2【解析】选D. = = +|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2||PF2||PF2||PF2|c|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,即e= ≤3,得e∈(1,3].a12.若a≠0且ab≠0,则曲线ax-y+b=0和bx2+ay2=ab的形状可能是下图中的( )x2y2【解析】选C.将bx2+ay2=ab化为+ =1,若此方程表示双曲线,则ab<0;当a>0时,b<0,表示a b焦点在x轴上的双曲线;当a<0时,b>0,表示焦点在y轴上的双曲线.易判断选项C符合;当a>0,b>0时,方程表示椭圆,此时B,D都不符合.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)→O A13.(2017·南昌高二检测)在平面直角坐标系中,O是原点, =(1,0),P是平面内的动点,若| →→→→O P O A O PO A- |=| ·|,则P点的轨迹方程是________.→OP【解析】设P(x,y),则=(x,y),→→→→OP OA OPOA又因为| - |=| ·|,所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.答案:y2=2x-1y2x|x|14.(2017·兰州高二检测)直线y=x+3与曲线- =1的公共点的个数为________.94y2x|x|y2x2【解析】当x≥0时, - =1化为- =1;9494y2x|x|y2x2当x<0时, - =1化为+ =1,94946y2x|x|所以曲线- =1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),直线y=x+39 4x2x|x|与曲线- =1的公共点的个数为3.94答案:3→→M F1M F215.(2017·江西高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率的取值范围是________.→→MF1MF2【解析】因为·=0,所以MF1⊥MF2.假设椭圆在坐标轴正方向上的短轴端点B,则∠F1BF2即椭圆上点与椭圆焦点夹角的最大值,由M在椭圆内部,所以1 2∠F1BF2<90°,即b>c,所以b2=a2-c2>c2,所以e2< ,即0<e< .22答案:(0,22)x2y2【补偿训练】若椭圆+ =1(a>b>0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的a2b2离心率e的取值范围为________.c2【解析】由已知得两焦点为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,则b2 c2e222(0,2)2<1,得<1, <1,解得0<e< ,所以e∈.a2―c21―e2答案:(0,22)→A F16.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3 →F B,则k=________.【解析】设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂→→AF FB直于AA1于点E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3 ,|AE|1所以cos∠BAE= = ,|AB|2所以∠BAE=60°,所以tan∠BAE= 3.即k= 3.答案: 37三、解答题(本大题共 6个小题,共 70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) x 2 y 217.(10分)(2017·郑州高二检测)已知点 M 在椭圆 + =1上,MP ′垂直于椭圆焦点所在的直36 9线,垂足为 P ′,并且 M 为线段 PP ′的中点,求 P 点的轨迹方程. 【解析】设 P 点的坐标为(x,y),M 点的坐标为(x 0,y 0).x 2 y 2 x 20 y 20因为点 M 在椭圆 + =1上,所以 + =1. 36 9 36 9因为 M 是线段 PP ′的中点,x 0 = x, x 0 = x,所以{2,把{yyy 0 =y 0 = 2,x 20 y 20x 2 y 2 代入 + =1,得 + =1,即 x 2+y 2=36.36 936 36所以 P 点的轨迹方程为 x 2+y 2=36.18.(12分)已知椭圆 C 的焦点 F 1(-2 2,0)和 F 2(2 2,0),长轴长 6,设直线 y =x+2交椭圆 C 于A,B 两点,求线段 AB 的中点坐标.【解析】由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=22,a=3,从而 b=1,x 2 所以其标准方程是: +y 2=1.9 x 2联立方程组{消去 y 得,10x 2+36x+27=0.9 + y2 = 1,y = x + 2,x 1 + x 2 189设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),线段 AB 的中点为 M(x 0,y 0),则 x 1+x 2=- ,x 0==- ,所以52 51 y 0=x 0+2= , 59 1所以线段 AB 中点坐标为(- 5).5,x2y219.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是a2b2直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.8(1)求椭圆C的离心率.(2)已知△AF1B的面积为40 3,求a,b的值.c1 【解析】(1)由题意知△AF1F2为正三角形,a=2c,e= = .a2 (2)直线AB的方程为y=- 3(x-c),x2y2{+=1,a2b2y=―3(x―c),⇒(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0. ①由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.8c代入①中得5x2-8cx=0,x=0或x= ,58c3316c得A(0, 3c),B (5c),得|AB|= .5,―51由△AF1B的面积为40 3,得|AB||AF1|sin60°2=40 3,1316c233··a·=40 ,解得c=5,a=10,b=5 .2520.(12分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线与这条抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求△AOB的重心G的轨迹方程.(2)当直线l的倾斜角为45°时,试求抛物线的准线上一点P的坐标,使AP⊥BP.【解析】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).当直线l不垂直于x轴时,设l:y=k(x-1),代入y2=4x得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.因为l与抛物线相交于两点,所以k≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据根与系数的关系得2(k2+2)x1+x2= ,x1x2=1.k2y1=kx1―k,因为{所以y1+y2=k(x1+x2-2)=4,y2=kx2―k,ky1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4.9设△AOB的重心G(x,y),x=则{y=0+x1+x23=0+y1+y23=23+43k,43k2,48消去k并整理得y2= x- .39当l垂直于x轴时,A,B的坐标分别是(1,2)和(1,-2),△AOB的重心G(32,0)也适合y2=4x-8,3948因此所求轨迹方程为y2= x- .39(2)当直线l的倾斜角为45°时,k=1,所以x1+x2=6,y1+y2=4.设抛物线的准线上一点P(-1,y0).y1―y0y2―y0因为AP⊥BP,所以·=-1,x1+1x2+1y1y2―y0(y1+y2)+y02-4―4y0+y20即=-1, =-1,x1x2+(x1+x2)+11+6+1解得y0=2,故所求点P的坐标为(-1,2).x2y221.(12分)(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于43A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积.(2)当2|AM|=|AN|时,证明: 3<k<2.【解析】(1)设Μ(x1,y1),则由题意知y1>0,π由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为,4又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2,x2y2将x=y-2代入+ =1,得7y2-12y=0.431212解得y=0或y= ,所以y1= .771011212144因此△AMN的面积为2×××= .27749(2)设直线AM的方程为y=k(x+2)(k>0),x2y2代入+ =1,43得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,16k2―128k2―6由x1·(-2)= ,得x1=- ,3+4k23+4k2121+k2故|AM|=|x1+2| 1+k2= ,3+4k21由题意设直线AN的方程为y=- (x+2),k12k1+k2故同理可得|AN|= ,3k2+42k由2|AM|=|AN|,得= ,3+4k23k2+4即4k3-6k2+3k-8=0,设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点,f′(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)上单调递增,又f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在( 3,2)内,故3<k<2.x2y222.(12分)(2017·株洲高二检测)已知椭圆+ =1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上a2b2顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:1).直线AB过定点(- 2,―2【解题指南】(1)根据几何性质求出a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数k,m表示直线方程,代入椭圆方程,设出A,B的坐标,利用根与系数的关系和k1+k2=8求出m,k的关系式,建立直线AB的方程,证明直线过定点.11x2y2【解析】(1)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故椭圆方程为+ =1.84(2)①若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±2.设A(x1,y1),B(x2,y2),x2y2由{得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.8+4=1,y=kx+m4km2m2―8则x1+x2=- ,x1x2= .1+2k21+2k2y1―2y2―2由已知k1+k2=8,可得+ =8,x1x2kx1+m―2kx2+m―2所以+ =8,x1x2x1+x2即2k+(m-2) =8.x1x2mk1所以k- =4,整理得m= k-2.m+221故直线AB的方程为y=kx+ k-2,21)-2.即y=k(x+21 所以直线AB).过定点(-2,―2②若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),y0―2-y0―21112(-2,―2)由已知+ =8,得x0=- .此时AB方程为x=- ,显然过点.x0x021 综上,直线).AB过定点(-2,―2【补偿训练】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆12C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.x2y2【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为+ =1(a>b>0),且a+c=3,a-c=1,a2b2x2y2所以a=2,c=1,所以b2=3,所以+ =1.43y=kx+m,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由{x2y24+3=1,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.8mk4(m2―3)又x1+x2=- ,x1·x2= ,3+4k23+4k2所以y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)3(m2―4k2)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= .3+4k2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以k AD·k BD=-1,y1y2即·=-1,x1―2x2―2所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,3(m2―4k2)4(m2―3)16mk+ + +4=0,3+4k23+4k23+4k27m2+16mk+4k2=0,2k解得m1=-2k,m2=- ,且满足3+4k2-m2>0.7当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k27(x―7)(7,0)2 当m=- 时,l:y=k ,直线过定点.综上可知,直线l过定点,定点坐标为(7,0).213。

高中数学章末质量评估新人教A版选修_2

第二章圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点(1,4)，则焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 B.⎝⎛⎭⎪⎫116，0C ．(1,0)D ．(0,1)解析： ∵抛物线过点(1,4)，∴4＝2a ，∴a ＝2，∴抛物线方程为x 2＝14y ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116. 答案： A2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析： ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)， ∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12. ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案： B3．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析：依题意，PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )．又PA →·PB →＝x 2，∴(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，即y 2＝x ＋6.∴点P 的轨迹是抛物线．答案： D4．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52. 答案： D5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1 解析： 2c ＝6，∴c ＝3，∴2a ＋2b ＝18，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4，∴椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.答案： C6．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．1B ．0C ．－2D ．－8116解析：设点P (x 0，y 0)，则x 20－y 203＝1，由题意得A 1(－1,0)，F 2(2，0)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20－x 0－2＋y 20，由双曲线方程得y 20＝3(x 20－1)，故PA 1→·PF 2→＝4x 20－x 0－5(x 0≥1)，可得当x 0＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选C. 答案： C7．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝2y －1 B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝y －12D ．x 2＝2y －2解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 0＋12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案： A8．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1D. 3解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案： B9．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＝0，解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案： A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba＝3，解得a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案： B11．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)解析：抛物线y 2＝8x 上的点到准线x ＋2＝0的距离与到焦点(2,0)的距离相等，故动圆必过焦点(2,0)．答案： B12．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：设圆锥曲线的离心率为e ，由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32.综上，所求的离心率为12或32.故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且满足|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．解析：由x 225＋y 216＝1知，a ＝5，b ＝4，∴c ＝3，即F 1(－3,0)，F 2(3,0)，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝6.又由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝10－6＝4，于是S △PF 1F 2＝12·|PF 1|·h＝12×4×62－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8 2.答案： 8 214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y ＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，y 2＝4x 得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2＋32>32.∴y 21＋y 22的最小值为32. 答案： 3215．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c,0)，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a ＝±2－1，负值舍去．答案：2－116．已知双曲线C ：x 24－y 29＝1，给出以下4个命题，真命题的序号是________．①直线y ＝32x ＋1与双曲线有两个交点；②双曲线C 与y 29－x 24＝1有相同的渐近线；③双曲线C 的焦点到一条渐近线的距离为3.解析： ①错误，因为直线y ＝32x ＋1与渐近线y ＝32x 平行，与双曲线只有一个交点；②正确，渐近线方程为y ＝±32x ；③正确，右焦点为(13，0)到渐近线y ＝32x 的距离为3.答案： ②③三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解析：由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝ a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 18．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解析：焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数关系得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2.19．(本小题满分12分)(2014·杭州高二检测)已知A (－7,0)，B (7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程．解析：设椭圆的另一个焦点为P (x ，y )，则由题意知|AC |＋|AP |＝|BC |＋|BP |， ∴|BP |－|AP |＝|AC |－|BC | ＝2<|AB |＝14，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c ＝7，a ＝1， ∴b 2＝c 2－a 2＝48.∴所求的轨迹方程为x 2－y 248＝1. 20．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l ：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则|PQ |的最大值为多少？解析： (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝ x 1－x 22＋y 1－y 22＝ 1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8] ＝8－t24＋t2≤6，即|PQ |的最大值为6.21．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值．解析： (1)由题意设抛物线方程为y 2＝2px ，p ≠0其准线方程为x ＝－p2，∵A (4，m )到焦点的距离等于A 到其准线的距离， ∴4＋p2＝6，∴p ＝4，∴此抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2消去y 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，∵直线y ＝kx －2与抛物线相交于不同两点A ，B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0Δ>0，解得k >－1且k ≠0，解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． ∴所求k 的值为2.22．(本小题满分14分)已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为34，求双曲线的方程．解析： (1)依题意，有3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，即m 2＝8n 2，即双曲线方程为x 216n 2－y 23n2＝1，故双曲线的渐近线方程是x 216n 2－y 23n 2＝0，即y ＝±34x . (2)不妨设渐近线y ＝±34x 与直线l ：x ＝c 交于点A ，B ，则|AB |＝3c 2，S △OAB ＝12c ·32c ＝34，解得c ＝1. 即a 2＋b 2＝1，又b a ＝34，a 2＝1619，b 2＝319， ∴双曲线的方程为19x 216－19y23＝1.。

2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量评估二课时作业含解析人教A版选修2_1.doc

第二章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( C ) A ．4B ．－4C ．－14D.142．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得3m >0,2m ＋1>0且2m ＋1>3m ，得0<m <1，故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14.又a >0，b >0，∴b a ＝12，∴C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( C )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1 解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得|AF 1|＝2a －32①.在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝⎛⎭⎫322＋22②. 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.5．已知双曲线y 2－x 2＝1的离心率为e ，且抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(e 2,0)，则p 的值为( D )A ．－2B ．－4C ．2D ．4解析：由条件知，双曲线的离心率为e ＝2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以p2＝2，所以p ＝4.故选D.6．如图，过抛物线y 2＝3x 的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|AB |＝( A )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于准线l ，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|.∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3， ∴|BF |＝1，|AB |＝4，故选A.7．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( C )A ．－13 B.13 C ．±13 D ．±12解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为( B )A ．y ＝±53xB ．y ＝±255xC ．y ＝±355x D ．y ＝±5x解析：∵双曲线的焦距为2a 2＋b 2，椭圆的焦距为2a 2－b 2，∴2a 2－b 2＝13·2a 2＋b 2，整理得4a 2＝5b 2，则a ＝52b .代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±255x . 9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A )A ．m >n ，且e 1e 2>1B ．m >n ，且e 1e 2<1C ．m <n ，且e 1e 2>1D ．m <n ，且e 1e 2<1解析：∵椭圆与双曲线的焦点重合，∴m 2－1＝n 2＋1.∴m 2－n 2＝2，∴m >n . ∵e 1＝1－1m2，e 2＝1＋1n2，∴e 1e 2＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝1＋1n 2－1m 2－1m 2n2＝1＋m 2－n 2－1m 2n 2＝1＋1m 2n2>1. 10．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，在椭圆上有一个异于点A ，B 的动点P ，若直线P A 的斜率为k 0，则直线PB 的斜率为( B )A.34k 0 B ．－34k 0 C ．－34k 0 D ．－32k 0 解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，∴k P A ＝y 0x 0＋2，k PB ＝y 0x 0－2.∵点P 在椭圆上，∴x 204＋y 203＝1，∴y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，∴k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204x 20－4＝－34.∵k P A ＝k 0，∴k PB ＝－34k 0，故选B.。

第二章圆锥曲线与方程章末质量评估(人教A版选修2-1)

第二章圆锥曲线与方程章末质量评估一、选择题1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是 ( )． A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(0，116) D ．(116，0)解析将抛物线方程变为x 2＝2×18y ，知p ＝18，又焦点在y 轴上，且开口向上，所以它的焦点坐标为(0，116)．答案 C2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为( )．A ．2B ．3C ．5D ．7 解析点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10，10－3＝7.选D. 答案 D3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )． A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案 D4．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )．A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析当顶点为(±4，0)时，a ＝4， c ＝8，b ＝43，x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6， b ＝33，y 29 －x 227＝1.答案 C5．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为 ( )．A.x 220＋y 225＝1B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1 D.x 25＋y 225＝1 解析双曲线x 23－y 22＝1中a 12＝3，b 12＝2，则c 1＝a 12＋b 12＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1.答案 B6．已知椭圆x 241＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为 ( )．A ．10B ．20C ．241D ．441解析 |AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|B F 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝441. 答案 D7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )．A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，依题意b a ·(－b a ) ＝－1，故b 2a2＝1，所以c 2－a 2a 2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.故选C.答案 C8．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是 ( )． A ．(34π，π) B ．(π4，34π)C ．(π2，π)D ．(π2，34π)解析椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π， ∴π2<α<3π4. 答案 D9．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m等于 ( )． A.32 B ．2 C.52 D ．3 解析依题意k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 12)，得 x 2＋x 1＝－12，且(x 2＋x 12，y 2＋y 12)在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ，y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ， ∴2(x 22＋x 12)＝x 2＋x 1＋2m ， 2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ， 2m ＝3，m ＝32.答案 A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )． A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，c ＝3，根据已知得3b a 2＋b 2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，得a 2＝c 2－b 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1.答案 A11. 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 解析由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 B12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形一定是 ( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形解析双曲线的离心率e 12＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 12e 22＝1，即a 2＋b 2a2 ×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2.答案 C 二、填空题13．已知点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝________. 解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p ＝4. 答案 414．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．解析当0<m <1时，y 21m＋x 21＝1，e 2＝a 2－b 2a 2＝1－m ＝34， m ＝14，a 2＝1m＝4，a ＝2；当m >1时，x 21＋y 21m ＝1，a ＝1.应填1或2.答案 1或215．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析由题意知，椭圆的焦点坐标是(±7，0)，离心率是74.故在双曲线中c ＝7，e ＝274＝c a ，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，因此所求双曲线的方程是x 24－y 23＝1. 答案 x 24－y 23＝116．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析由题意知PF 2⊥F 1F 2，且△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， |PF 1|＝2·2c ，从而2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2c (2＋1)，所以e ＝2c 2a ＝12＋1＝2－1.答案2－1三、解答题17．(10分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线， ∴ba＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.18．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．解由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，双曲线的过点P (3，4)的渐近线为 y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.19．(10分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0，2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．解由题意知直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝2x ，消去x 得ky 2－2y ＋4＝0， Δ＝4－16k >0⇒k <14(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1·y 2＝4k，⎩⎨⎧x 1＝12y12x 2＝12y22⇒x 1·x 2＝14(y 1·y 2)2＝4k 2OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1， ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， ∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.20．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5·（－169）2－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．(12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋m 所得弦长AB ＝35， (1)求m 的值；(2)设P 是x 轴上的一点，且△ABP 的面积为9，求P 的坐标．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋m ，得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2＝0由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 24，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋22（1－m ）2－4·m 24＝5（1－2m ）.由|AB |＝35，即5（1－2m ）＝35⇒m ＝－4. (2)设P (a ，0)，P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2a －0－4|22＋（－1）2＝2|a －2|5，又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP |AB |，2|a －2|5＝2×935⇒|a －2|＝3⇒a ＝5 或a ＝－1，故点P 的坐标为(5，0)和(－1，0)． 22．（本题满分15分）联立方程组⎩⎨⎧=-+=13122y x ax y 消去y 得()022322=---ax x a ，因为有两个交点，所以{()38403222>-+=∆≠-a a a，解得2212212232,32,3,6a x x a a x x a a --=-=+≠<且。

圆锥曲线与方程质量评估(北师大版选修1-1)

第2章末质量评估(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分)1．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )．A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析 ∵y 2＝8x 的焦点为(2，0)，∴x 2m 2＋y 2n 2＝1的右焦点为(2，0)，∴m ＞n 且c ＝2.又e ＝12＝2m ，∴m ＝4.∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.答案 B2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )．A ．9B ．6C ．4D ．3解析设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1，0)， ∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.答案 B3．已知方程ax 2＋by 2＝ab 和ax ＋by ＋c ＝0(其中ab ≠0，a ≠b ，c ＞0)，它们所表示的曲线可能是( )．解析 ∵ab ≠0，∴直线的斜率为－a b ，曲线方程变为x 2b ＋y 2a ＝1，A 中的直线斜率－a b ＜0，则a b ＞0，由曲线的图形得b ＞0，a ＜0这与由直线的位置得出的a b ＞0矛盾．同理验证B 、C 、D 只有B 不矛盾，故选B.答案 B4．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )．A.316B.38C.163D.83解析抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，所以双曲线x 2m －y 2n ＝1的焦点在x 轴上，即m ＞0，n ＞0，故a ＝m ，b ＝n ，所以c ＝m ＋n .所以e ＝ m ＋nm ＝2.①又m ＋n ＝1，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝34，所以mn ＝316. 答案 A5．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 等于( )． A.32 B.22 C.33 D.12解析把x ＝a 2－b 2代入y ＝22x 中，得：y ＝2a 2－2b 22. 点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2，2a 2－2b 22在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴a 2－b 2a 2＋a 2－b 22b 2＝1，解得：b 2＝a 22，∴c 2＝a 2－b 2＝a 22，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22. 答案 B6．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54 B ．(1，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 D ．(2，4) 解析设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0(c ≠－4)，由⎩⎨⎧2x －y ＋c ＝0，y ＝x 2，得x 2－2x －c ＝0.①由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1.∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1，1)．答案 B7．若方程x 2|k |－2＋y 25－k＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )． A ．k ＜－2，或2＜k ＜5B ．－2＜k ＜5C ．k ＜－2，或k ＞5D ．－2＜k ＜2，或k ＞5解析由题意知(|k |－2)(5－k )＜0，即⎩⎨⎧|k |－2＞0，5－k ＜0或⎩⎨⎧|k |－2＜0，5－k ＞0.解得k ＞5，或－2＜k ＜2. 答案 D8．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”那么甲是乙的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析点P 在线段AB 上时|P A |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.答案 B9．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )．A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 P 在以MN 为直径的圆上．答案 D10．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )．A ．3B ．6C ．1D ．2解析因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36，故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.答案 B二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)11．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．解析把到准线的距离转化为到焦点的距离．答案 12512．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 2的坐标为(c ，0)，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，由题意知|PF 2|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，a 2－c 2＝2ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －1＝0，解得c a ＝±2－1，负值舍去．答案 2－113．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．解析由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22.答案 22 14．AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是________．解析 A 、B 两点到准线x ＝－14的距离之和等于|AB |＝4，故AB 的中点到准线x＝－14的距离为2，到直线x ＝－12的距离为94.答案 9415．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________．解析以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5，0)，C (5，0)，而AB －AC ＝6＜10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案 x 29－y 216＝1(x ＞3)16．喷灌的喷头安装在直立管柱OA 的顶部A 处，喷出水流的最高点记为B ，高为5 m ，且与直线OA 的水平距离为4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA ＝________ m.解析如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线P 的方程为x 2＝－2py (p ＞0)．因为点C (5，－5)在P 上，所以25＝－2p ·(－5)，2p ＝5，所以P ：x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在P 上⇔16＝－5y 0，y 0＝－165，所以|OA |＝5－165＝95(m)．答案 95三、解答题(每小题10分，共40分)17．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p ＜52p ，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得k y 2－2py －k p 2＝0. 由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝ 1＋1k 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 18．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝k x ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA →⊥OB →，求k 的值．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－（3）2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝k x ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2k x －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＞0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12. 19．求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．解由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.20．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∈ /⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程单元质量评估一习题含解析北师大版选修2_1

第三章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( C ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( D ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,1) 解析：将椭圆方程变为x 22＋y 22k＝1，由题意，得2k>2，解得0<k <1.3．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( D )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：点P 的轨迹是以MN 为直径的圆，又P 为直角三角形的顶点，∴点P 不能与M ，N 两点重合，故x ≠±2.4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( A ) A.43 B.75 C.85D ．3解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( C )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当双曲线的顶点为(±4,0)时，a ＝4，由e ＝2知，c ＝8，b ＝43，双曲线的方程为x 216－y 248＝1；当双曲线的顶点为(0，±3)时，a ＝3，由e ＝2知，c ＝6，b ＝33，双曲线的方程为y 29－x 227＝1，故选C.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是双曲线x 25＋p －y 27＋p＝1的一个焦点，则p 的值为( D )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：抛物线的焦点为(p2，0)，双曲线的半焦距为c ＝12＋2p ，∴12＋2p ＝p 24，∴p ＝12(负值舍去)，故选D.7．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A. 2B.32C. 3D ．2解析：离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.8．已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图像上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( A )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A. 9．已知抛物线y 2＝4x的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且准线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( B )A.32B.12C.13D.14解析：抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∵抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，∴椭圆的左焦点为(－1,0)，∴c ＝1.∵O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，∴12×2b 2a ×1＝32，∴b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理，得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，∴e ＝c a ＝12.故选B. 10．过点P (x ，y )的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( D )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 解析：因为Q 与P (x ，y )关于y 轴对称，所以Q (－x ，y )，由BP →＝2P A →，得A ⎝⎛⎭⎫32x ，0，B (0,3y )所以AB →＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y . 从而由OQ →·AB →＝(－x ，y )·⎝⎛⎭⎫－32x ，3y ＝1，得32x 2＋3y 2＝1，其中x >0，y >0，故选D. 11．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( C ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.326 解析：设弦端点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，∴x 21－x 22＝－2(y 21－y 22)，∴此弦的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋32.代入x 2＋2y 2＝4，整理，得3x 2－6x ＋1＝0，∴x 1·x 2＝13，x 1＋x 2＝2，∴|AB |＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·1＋k 2＝4－4×13·1＋14＝303.12．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，当|t |变化时，|AB |的最大值为( C )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.由Δ＝(8t )2－20(4t 2－4)＝－16t 2＋80>0，得t 2<5，∴－5<t < 5.此时|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·⎝⎛⎭⎫－8t 52－4×4t 2－45＝25·80－16t 2. 当t ＝0∈(－5，5)时，|AB |max ＝1605＝4105. 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为y ＝±34x .解析：由题意可得，a ＝4，b ＝3.又∵双曲线的焦点在x 轴上，∴y ＝±b a x ＝±34x .14．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.解析：双曲线的焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，离心率为 2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e ＝c a ＝22.因为c ＝1，所以a ＝ 2.所以b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 15．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 2解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b2＝1.② ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22. 16．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝⎛⎭⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为138.解析：由P (1，14)在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，焦点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫54＋2×1＝138. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，离心率e ＝223，求椭圆的标准方程．解：(1)当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵离心率e ＝223，∴c a ＝223.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝3b .又∵椭圆经过点P (3,0)，∴9a 2＋0b 2＝1，∴a 2＝9，b 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．同理可得a ＝3b .又∵椭圆过点P (3,0)，∴0a 2＋9b2＝1，∴b 2＝9，a 2＝81.∴椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1. 18．(本小题12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.解：(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，∴设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把点(4，－10)代入双曲线的方程得42－(－10)2＝λ，∴λ＝6.∴所求双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线的方程为x 2－y 2＝6.∴c ＝23，不妨令F 1(－23，0)、F 2(23，0)．∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3.∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.19．(本小题12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，联立得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，联立得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2. 此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.21．(本小题12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，知原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a ，①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.22．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2， ①因为x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，则t >0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.。

高中数学章末质量评估1活页训练新人教B版必修2

章末质量评估(一)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )．A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的16解析设原圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则V ＝π3r 2·h ；变化后圆锥的体积V ′＝π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×2h ＝16πr 2·h ＝12V .答案 A2．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析依据斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，OA＝2×32＝3，∴AB＝AC＝2，故△ABC是等边三角形．答案 A3．顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )．A．16π B．20πC．24π D．32π解析设正四棱柱的底边长为a，球半径为R，则a2·4＝16，∴a＝2.又(2R)2＝22＋22＋42，∴R2＝6.∴S球面＝4πR2＝4π×6＝24π.答案 C4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )．A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析画图或在正方体模型中观察可得．答案 B5．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )．A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析D∈l，l⊂β，∴D∈β.又C∈β，∴CD⊂β.同理CD⊂平面ABC，∴平面ABC∩平面β＝CD.答案 C6．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )．A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α.答案 B7．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )．A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析容易判断A、B、C三个答案都是正确的，对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，但不一定垂直．答案 D8．如图△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P 逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )．A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小解析由于直线l垂直于平面ABC，∴l⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关，选C.答案 C9．设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是( )．A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β解析A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．答案 D10．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A．8 B．6 2C．10 D．8 2解析将三视图还原成几何体的直观图如图所示．它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10.答案 C11．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的平面角的余弦值为( )．A.12B.13C.33D.23解析取AC的中点E，CD的中点F，连接EF，BF，BE，∵AC＝2，其余各棱长都为1，∴AD ⊥CD .∴EF ⊥CD .又∵BF ⊥CD ，∴∠BFE 是二面角ACDB 的平面角． ∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF ＝90°，∴cos ∠BFE ＝EFBF ＝33. 答案 C12．如图所示，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线( )．A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条解析在EF 上任意取一点M ，直线A 1D 1与M 确定一个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N ，当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N ，而直线MN 与这3条异面直线都有交点，如下图，故选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．解析原三角形是两直角边长分别为2与22的直角三角形． ∴S ＝12×2×22＝2 2.答案 2 214．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号)解析若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β.故填②④. 答案 ②④15．如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.解析E为SA中点，连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥SC，∴SC∥平面EBD.答案E为SA中点16．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．解析过K作KM⊥AF于M点，连接DM.易得DM⊥AF，与折射前的图形对比，可知由折前的圆形中D，M，K三点共线，且DK⊥AF.∴△DAK∽△FDA∴AK AD ＝AD DF 即t 1＝1DF∴t ＝1DF又DF ∈(1,2)∴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BC ⊥BC 1，AB ＝BC 1、E 、F 、G 分别为线段AC 1、A 1C 1、BB 1的中点，求证：(1)平面ABC ⊥平面ABC 1， (2)EF ∥平面BCC 1B 1， (3)GF ⊥平面AB 1C 1.证明 (1)∵BC ⊥AB ，BC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴BC ⊥平面ABC 1， ∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ABC 1. (2)∵AE ＝EC 1，A 1F ＝FC 1， ∴EF ∥AA 1，∵BB 1∥AA 1， ∴EF ∥BB 1， ∵EF ⊄平面BCC 1B 1， ∴EF ∥平面BCC 1B 1.(2)连接EB，则四边形EFGB为平行四边形．∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1，∵BC⊥平面ABC1，∴B1C1⊥平面ABC1，∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1，∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面AB1C1.18．(10分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.(1)解(1)该几何体的直观图如图所示．(2)证明如图所示，①连接AC、BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD 的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图可知PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC，所以平面PBD⊥平面AGC.19．(10分)如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．(1)求证：ED⊥AC；(2)若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．(1)证明在矩形ADEF中，ED⊥AD，∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AC.(2)解由(1)知：ED⊥平面ABCD，∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD＝45°，设AB＝a，则DE＝BD＝2a，取DE中点M，连接AM，∵G是AF的中点，∴AM∥GE，∴∠MAC 是异面直线GE 与AC 所成角或其补角．连接BD 交AC 于点O ，连接MO .∵AM ＝CM ＝ a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝62a ，O 是AC 的中点，∴MO ⊥AC ，∴cos ∠MAC ＝AO AM ＝22a62a＝33，∴异面直线GE 与AC 所成角的余弦值为33.20．(10分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，∠ACB ＝90°，AA 1＝BC ＝2AC ＝2.(1)若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ；(2)在AA 1上是否存在一点D ，使得二面角B 1CDC 1的大小为60°.(1)证明 ∵∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°， ∴B 1C 1⊥A 1C 1又由直三棱柱性质知B 1C 1⊥CC 1，∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.又CD ⊂平面ACC 1A 1 ∴B 1C 1⊥CD ，由AA 1＝BC ＝2AC ＝2，D 为AA 1中点，可知DC ＝DC 1＝2，∴DC 2＋DC 21＝CC 21＝4，即CD ⊥DC 1，又B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1∩DC 1＝C 1 ∴CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D .(2)解当AD ＝22AA 1时二面角B 1CDC 1的大小为60°.假设在AA 1上存在一点D 满足题意，由(1)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，如图，在平面ACC 1A 1内过C 1作C 1E ⊥CD ，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，则EB 1⊥CD ，所以∠B 1EC 1为二面角B 1CD C 1的平面角， ∴∠B 1EC 1＝60°，由B 1C 1＝2知，C 1E ＝233，设AD ＝x ，则DC ＝x 2＋1， ∵△DCC 1的面积为1，∴12x 2＋1·233＝1，解得x ＝2，即AD ＝2＝22AA 1，∴在AA 1上存在一点D 满足题意．。

2020_2021学年高中数学第三章圆锥曲线与方程单元质量评估二习题含解析北师大版选修2_1

第三章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( C ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知两定点F 1(5,0)，F 2(－5,0)，曲线上的点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( A )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 225－y 236＝1 D.y 225－x 236＝1 解析：∵||PF 1|－|PF 2||＝6<10＝|F 1F 2|，∴曲线为双曲线，且a ＝3，c ＝5，∴b ＝4，∴方程为x 29－y 216＝1. 3．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( C )A ．2 5B ．2 3C ．4 3D ．4 5解析：由椭圆过点(－2，3)，所以(－2)216＋(3)2b 2＝1，解得b 2＝4，因此c 2＝a 2－b 2＝12，所以c ＝23，2c ＝4 3.4．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( A )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝2，2c ＝23，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，因此双曲线的方程为x 22－y 2＝1，所以渐近线方程为y ＝±22x .5．在△ABC 中，|AB |＝2|BC |，以A ，B 为焦点，经过C 的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则( A )A.1e 1－1e 2＝1 B.1e 1－1e 2＝2 C.1e 21－1e 22＝1 D.1e 21－1e 22＝2 解析：如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，焦距为2c ，则|AB |＝2c ，|BC |＝c ，∵C 在椭圆上，∴|AC |＋|BC |＝2a ⇒|AC |＝2a －c ，又∵C 在双曲线上，∴|AC |－|BC |＝2a ′，即2a －c －c ＝2a ′⇒a c －a ′c ＝1⇒1e 1－1e 2＝1.6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率可能等于( D )A.23或32 B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：因为|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，所以设|PF 1|＝4x ，则|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0.因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ，即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c3x ＝c3×23c ＝12.若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ，所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c ＝32.所以选D.7．点A 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，点B (3,0)，则线段AB 的中点P 的轨迹方程是( C ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1解析：设A (x ′，y ′)，P (x 0，y 0)，则x ′2＋y ′2＝1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′＋32，y 0＝y ′＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－3，y ′＝2y 0.∴(2x 0－3)2＋4y 20＝1，故选C. 8.如图，直线y ＝m 与抛物线y 2＝4x 交于点A ，与圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则三角形ABF 的周长的取值范围是( B )A ．(2,4)B ．(4,6)C ．[2,4]D ．[4,6]解析：设B (x B ，y B )，则1≤x B ≤3.因为可以构成三角形ABF ，所以1<x B <3.因为圆的半径|BF |＝2，抛物线的准线方程为x ＝－1，利用抛物线定义，|AF |等于点A 到直线x ＝－1的距离d ，所以三角形ABF 的周长l ＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝|AF |＋|AB |＋2＝d ＋|AB |＋2＝x B －(－1)＋2＝x B ＋3，故4<l <6.9．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( D )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2.设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2.∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5.∴满足题意的直线不存在．10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 解析：由题意知，直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，又所成的角为60°，所以直线方程为y ＝±33x 或y ＝±3x .又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，所以渐近线斜率满足33<b a ≤3，解得233<e ≤2.故选A. 11．已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( C )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：设直线F A 的倾斜角为θ，因为F (0,1)，A (2,0)，所以直线F A 的斜率为－12，即tan θ＝－12，过点M 作准线的垂线交准线于点Q ，由抛物线定义得|FM |＝|MQ |，在△MQN 中|MQ ||QN |＝12，可得|MQ ||MN |＝15，即|FM |∶|MN |＝1∶ 5.12．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上．由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝⎛⎭⎫b 2a 2＝(c －a )·|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2(c －a )<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )·(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<ba<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.解析：由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.14．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)为椭圆x 2a ＋y 2b ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则a ＋b 的值等于15.解析：当|PF 1|＝|PF 2|时，△F 1PF 2的面积最大．由∠F 1PF 2＝2π3，∴a ＝23，b ＝3，∴a ＋b ＝15.15．已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是①④(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.解析：由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1.①把y＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，∴直线与椭圆有两个交点，∴y ＝x ＋1是“A 型直线”． ②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1，并整理得19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．16．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32.解析：设点A 在点B 的左侧，抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝－b a x ，解得A ⎝⎛⎭⎫－2bp a ，2b 2p a 2；联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝b a x ，解得B ⎝⎛⎭⎫2bp a ，2b 2p a 2.∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2p a 2－p 2－2bp a·b a ＝－1，即4b 2＝5a 2，即4(c 2－a 2)＝5a 2，即c 2a 2＝94，∴e ＝c a ＝32. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线y 24－x 212＝1的焦点重合，它们的离心率之和为135，若椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的方程．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其离心率为e ，焦距为2c ，双曲线y 24－x 212＝1的焦距为2c 1，离心率为e 1，则有c 21＝4＋12＝16，c 1＝4，∴e 1＝c 12＝2.∴e ＝135－2＝35，即ca ＝35. ①又b ＝c 1＝4，② a 2＝b 2＋c 2，③ 由①②③可得a 2＝25.∴所求椭圆方程为x 225＋y 216＝1. 18．(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线y ＝2x ＋1交于P ，Q 两点，|PQ |＝15，求抛物线的方程．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2－(2p －4)x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14.|PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，解得p ＝－2或p ＝6.∴y 2＝－4x 或y 2＝12x . 19．(本小题12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程．(2)若直线y ＝k (x －1)与曲线C 交于R ，S 两点，问是否在x 轴上存在一点T ，使得当k 变化时总有∠OTS ＝∠OTR ？若存在，请说明理由．解：(1)圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝R ＋r 1＋r 2－R ＝r 1＋r 2＝4>|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)假设存在T (t,0)满足∠OTS ＝∠OTR .设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，其中Δ＝144(k 2＋1)>0恒成立，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，①由∠OTS ＝∠OTR (显然TS ，TR 的斜率存在)，得k TS ＋k TR ＝0，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0.②由R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上，故y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)．代入②得k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )(x 1－t )(x 2－t )＝k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ](x 1－t )(x 2－t )＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③将①代入③得8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －243＋4k2＝0，④要使得④与k 的取值无关，当且仅当t ＝4时成立．故存在T (4,0)，使得当k 变化时，总有∠OTS ＝∠OTR .20．(本小题12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233，ab a 2＋b 2＝32，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1，②联立①②得m 2－4m >0，所以m <0或m >4，又3k 2＝4m ＋1>0，所以m >－14，因此－14<m <0或m >4.21．(本小题12分)已知点A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(其中x 1<x 2)是曲线y 2＝4x (y ≥0)上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且|BC |＝2.(1)当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；(2)记△OAD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求证：S 1S 2<14.解：(1)因为B (1,0)，所以A (1，y 1)，代入y 2＝4x ，得到y 1＝2.又|BC |＝2，所以x 2－x 1＝2，所以x 2＝3.代入y 2＝4x ，得到y 2＝2 3.所以k AD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝23－22＝3－1.(2)证明：直线OD 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以点A 到直线OD 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|x 22＋y 22.又|OD |＝x 22＋y 22，所以S 1＝12|OD |d ＝12|x 1y 2－x 2y 1|.又S 2＝12(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝y 1＋y 2，所以S 1S 2＝12|x 1y 2－x 2y 1|(y 1＋y 2)＝|x 1y 2－x 2y 1|2(y 1＋y 2)＝⎪⎪⎪⎪y 214y 2－y 224y 12(y 1＋y 2)＝y 1y 2|y 1－y 2|8(y 1＋y 2)，因为⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 22－y 21＝4(x 2－x 1)＝8，所以S 1S 2＝y 1y 2|y 1－y 2|8(y 1＋y 2)＝y 1y 2|y 1－y 2|(y 22－y 21)(y 1＋y 2)＝y 1y 2(y 1＋y 2)2，因为y 1＋y 2≥2y 1y 2，当且仅当y 1＝y 2时取等号，又y 1≠y 2，所以S 1S 2<y 1y 24y 1y 2＝14.22．(本小题12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形，所以由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①证明：由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|F A |＝|FD |，则|x D－1|＝x 0＋1.由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02，因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程y 2＝4x 得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20＝1x 0.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2. 设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)．由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋8y 0－11＋m 2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0·⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16.当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.。

新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程质量评估含解析新人教A版选择性必修第一册

第三章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知A(0，-5)，B(0，5)，|PA|-|PB|=2a(a>0)，当a=3和a=5时，点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线B.双曲线和两条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线解析:当2a<|AB|时，表示双曲线的一支;当2a=|AB|时，表示一条射线.答案:D2.抛物线x2=4y的焦点坐标是()A.(0，2)B.(2，0)C.(0，1)D.(1，0)解析:因为抛物线x2=4y中，p=2，p2=1，焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0，1).答案:C3.已知双曲线的实轴长为2，焦点为(-4，0)，(4，0)，则该双曲线的标准方程为()A.p212-p24=1B.p24-p212=1C.x2-p215=1D.p215-x2=1解析:由题意，得c=4，a=1，所以b2=c2-a2=16-1=15.因为双曲线以(-4，0)，(4，0)为焦点，所以双曲线的标准方程是x2-p215=1.答案:C4.若a>1，则双曲线p2p2-p2(p+1)2=1的离心率e的取值范围是()A.(√2，2)B.(√2，√5)C.(2，5)D.(2，√5)解析:由题意，得e2=(pp )2=p2+(p+1)2p2=1+(1+1p)2.因为1p是随着a的增大而减小的，所以当a>1时，0<1p<1，所以2<e2<5，所以√2<e<√5.5.已知椭圆p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的一个焦点为圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A.(-3，0)B.(-4，0)C.(-10，0)D.(-5，0)解析:因为圆的方程可化为(x -3)2+y 2=1，所以圆心坐标为(3，0)，所以c =3.由题意，知b =4，所以a =√p 2+p 2=5.因为椭圆的一个焦点为(3，0)，所以椭圆的左顶点为(-5，0).答案:D 6.若椭圆p 24+p 22=1的弦AB 的中点为(-1，-1)，则弦AB 的长为( )A.√303B.2√63 C.√103D.√153解析:设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-2，y 1+y 2=-2.因为点A ，B 在椭圆上，所以{p 124+p 122=1,p 224+p 222=1,解得弦AB 所在直线的斜率为-12，所以弦AB 所在直线的方程为y =-12(x +1)-1，联立椭圆方程消去y 得到3x 2+6x +1=0，根据弦长公式得|AB |=√303. 答案:A7.设F 1，F 2分别是双曲线C :p 2p 2-p 2p 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过点F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF 1|=√6|OP |，则双曲线C 的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√2解析:设渐近线的方程为bx -ay =0，则直线PF 2的方程为ax +by -ac =0，由{pp +pp -pp =0,pp -pp =0,可得P (p 2p ,pp p ). 由F 1(-c ，0)及|PF 1|=√6|OP |，得√(p 2p+p )2+(pp p )2=√6×√(p 2p)2+(pp p)2，化简可得3a 2=c 2，则e =√3. 答案:C8.已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2p 1+p 22的最小值为( )C.6D.√3解析:如图，设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，由题意可知，|F1F2|=|F2P|=2c.因为|F1P|+|F2P|=2a1，|F1P|-|F2P|=2a2，所以|F1P|+2c=2a1，|F1P|-2c=2a2，两式相减，可得a1-a2=2c.因为2p1+p22=2p1p+p2p2=4p1p2+p22pp2，所以2p1+p22=4(2p+p2)p2+p22pp2=8pp2+4p22+p22pp2=4+2p2p +p 2p2.因为2p2p +p2p2≥2√2p2p×p2p2=2，当且仅当2p2p=p2p2时成立，所以2p1+p22的最小值为6.答案:C二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线C:mx2+ny2=1，下列说法正确的是()A.若m=0，n>0，则C是两条直线B.若m=n>0，则C是圆，其半径为√pC.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上D.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√-ppx解析:已知曲线C:mx2+ny2=1，若m=0，n>0，则C是两条直线:y=√pp 和y=-√pp，所以A项正确;若m=n>0，则C是圆，其半径为√pp，所以B项错误;若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，所以C项错误;若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√-ppx，所以D项正确.故选AD.答案:AD10.已知双曲线的方程为p 29-p 27=1，则下列说法正确的是( )A.焦点坐标为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x ±3y =0C.离心率为43D.焦点到渐近线的距离为√144解析:由双曲线的方程为p 29-p 27=1，可知a =3，b =√7，c =4，所以双曲线的焦点坐标为(±4，0)，渐近线方程为√7x ±3y =0，离心率为43，焦点到渐近线的距离为√7√7+9=√7，所以A 项错误，B 项正确，C 项正确，D 项错误.故选BC .答案:BC 11.已知椭圆C :p 24+p 28=1内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )A.椭圆的焦点坐标为(2，0)，(-2，0)B.椭圆C 的长轴长为2√2C.直线l 的方程为x +y -3=0D.|AB |=4√33解析:由椭圆C 的方程可得a 2=8，b 2=4，所以c =√p 2-p 2=2，所以椭圆C 的焦点坐标为(0，-2)，(0，2)，所以A 项错误; 因为椭圆C 的长轴长为2a =4√2，所以B 项错误; 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则p 124+p 128=1，p 224+p 228=1，两式作差，得(p 1+p 2)(p 1-p 2)4=-(p 1+p 2)(p 1-p 2)8，即p 1-p 2p 1-p 2=-2(p 1+p 2)p 1+p 2.因为M (1，2)为线段AB 的中点，所以p 1-p 2p 1-p 2=-2×24=-1，即直线l 的斜率为-1，所以直线l 的方程为y -2=-1×(x -1)，即x +y -3=0，所以C 项正确;由方程组{p +p -3=0,p 24+p 28=1,可得3x 2-6x +1=0.所以x 1+x 2=2，x 1x 2=13，所以|AB |=√1+(-1)2×√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√2×√4-43=4√33，所以D 项正确.故选CD . 答案:CD12.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点A 是抛物线上的动点，设点B (-2，0)，当|pp ||pp |取得最小值时，满足( )A.AB 的斜率为±√23B.|AF |=4C.△ABF 内切圆的面积为√5+12π D.△ABF 内切圆的面积为(24-16√2)π 解析:显然B 为抛物线的准线与x 轴的交点，如图，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为M ，则|AM |=|AF |，于是|pp ||pp |=|pp ||pp |=sin ∠ABM.显然当AB 与抛物线相切时，∠ABM 最小，即|pp ||pp |取得最小值.设AB 与抛物线相切时，直线AB 的方程为y =k (x +2)，把直线AB 的方程代入抛物线方程，化简可得k 2x 2+(4k 2-8)x +4k 2=0. ① 令Δ=0，可得(4p 2-8)2-16k 4=0，解得k =±1，故A 项错误;把k =±1代入方程①，可得x 2-4x +4=0，解得x =2，即|pp ||pp |取得最小值时，点A 的横坐标为2，故|AF |=|AM |=2+2=4，故B 项正确;不妨设点A 在第一象限，则A (2，4)，所以|AB |=4√2，|BF |=4，|AF |=4.显然AF ⊥BF. 设△ABF 的内切圆半径为r ，则S △ABF =12×(4√2+4+4)×r =12×4×4=8，解得r =4-2√2，所以△ABF 的内切圆面积为π×(4-2√2)2=(24-16√2)π，故C 项错误，D 项正确. 故选BD . 答案:BD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若抛物线y 2=2px (p >0)经过点(2，1)，则p =14.解析:因为抛物线y 2=2px (p >0)经过点(2， 1)，所以1=4p ，即p =14. 14.直线l :y =kx +2与椭圆C :p 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是(-∞,-√62]∪[√62,+∞).解析:由{p 22+p 2=1,p =pp +2消去y ，整理得(2k 2+1)x 2+8kx +6=0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ=(8k )2-24×(2k 2+1)≥0，解得k ≥√62或k ≤-√62.15.在平面直角坐标系Oxy 中，设P 为两动圆(x +2)2+y 2=(r +2)2，(x -2)2+y 2=r 2(r >1)的一个交点，记动点P 的轨迹为C ，给出下列三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于x 轴对称; ③设点P (x ，y )，则有|y |<2|x |. 其中，正确结论的序号是②③.解析:①设A (-2，0)，B (2，0)，动点P (x ，y )，根据题意，得|PA |-|PB |=2，所以根据双曲线的定义判定，点P 的轨迹是双曲线的右支，方程为p 21-p 23=1(x >0).因为(0，0)不在曲线C 上，所以①不正确;②设M (x 0，y 0)为曲线上任一点，则M (x 0，y 0) 关于x 轴的对称点为N (x 0，-y 0).因为N 也在曲线C 上，所以曲线C 关于x轴对称，所以②正确;③因为4x 2=4(1+p 23)=4+43y 2>y 2，所以|y |<2|x |，所以③正确.16.已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则1p 12+3p 22= 4.解析:椭圆和双曲线的位置示意图如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，由定义得{|pp 1|+|pp 2|=2p 1,|pp 1|-|pp 2|=2p 2,所以|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1-a 2.设|F 1F 2|=2c ，由∠F 1PF 2=π3，结合余弦定理得4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)·(a 1-a 2)×cos ∠F 1PF 2，化简得p 12+3p 22=4c 2，所以p 12p 2+3p 22p 2=4，即1p 12+3p 22=4.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求与椭圆p 2144+p 2169=1有共同焦点，且过点(0，2)的双曲线方程，并求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解:由题意，知椭圆p 2144+p 2169=1的焦点是(0，-5)，(0，5)，焦点在y 轴上，所以设双曲线方程是p 2p 2-p 2p 2=1(a >0，b >0). 因为双曲线过点(0，2)，所以c =5，a =2. 所以b 2=c 2-a 2=25-4=21. 所以双曲线的标准方程是p 24-p 221=1，实轴长为4，焦距为10，离心率e =p p =52，渐近线方程是y =±2√2121x.18.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的通径长为4. (1)求抛物线C 的标准方程;(2)若直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，M (3，2)是线段P Q 的中点，求直线l 的方程.解:(1)由抛物线的性质，知2p =4，所以p =2，所以所求抛物线C 的标准方程为y 2=4x. (2)由题意易知直线l 不与x 轴垂直.设所求方程为y -2=k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).由P ，Q 在抛物线C 上，得{p 12=4p 1,p 22=4p 2.两式相减，化简得(y 2+y 1)(y 2-y 1)=4(x 2-x 1). 因为p 2+p 12=2，p 2-p 1p 2-p 1=k ，代入上式解得k =1，所以所求直线l 的方程为y -2=1×(x -3)，即x -y -1=0.19.(12分)已知椭圆E :p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且过点(√3,12)，直线l :y =x +m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于M ，N 两点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)若pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值.解:(1)由椭圆E 的离心率e =√32=√1-(p p )2，且过点(√3,12)，即3p 2+14p2=1，解得a 2=4，b 2=1，所以所求椭圆E 的方程为p 24+y 2=1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由题意，得P (0，m )，由{p 24+p 2=1,p =p +p ,得5x 2+8mx +4m 2-4=0，所以x 1+x 2=-8p 5，x 1x 2=4p 2-45.因为pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3pp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(-x 1，m -y 1)=3(x 2，y 2-m )，所以x 1=-3x 2.把x 1=-3x 2与x 1+x 2=-85m 联立，解得x 2=45m ，x 1=-125m.把x 1=-125m ，x 2=45m 代入x 1x 2=4p 2-45，解得m 2=517，所以m =±√8517. 验证:当m =±√8517时，Δ>0成立，符合题意.所以m =±√8517. 20.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线C 上一点，|MF |=8，且∠OFM =2π3(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值. 解:(1)由抛物线的定义，知点M 到准线的距离为8，由|MF |=p +|MF |cos 60°，得8=p +4，即p =4. 所以抛物线C 的方程为y 2=8x. (2)由(1)知焦点F (2，0).由题意知直线l 的斜率不为0，所以设直线l 的方程为x =ty +2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，得{p =pp +2,p 2=8p ,消去x 整理得y 2-8ty -16=0. 所以y 1+y 2=8t ，y 1y 2=-16. 坐标原点到直线l 的距离d =√.因为|AB |=√1+p 2|y 1-y 2|，所以S △AOB =12d |AB |=|y 1-y 2|=√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√64p 2+64≥8，当t =0时，取到最小值8. 所以△AOB 面积的最小值为8.21.(12分)(全国卷Ⅱ)已知椭圆C 1:p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，椭圆C 1的中心与抛物线C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交椭圆C 1于A ，B 两点，交抛物线C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.(1)求椭圆C 1的离心率;(2)若椭圆C 1的四个顶点到抛物线C 2的准线距离之和为12，求椭圆C 1与抛物线C 2的标准方程. 解:(1)由题意可设抛物线C 2的方程为y 2=4cx (c >0)，则焦点为F (c ，0). 因为CD ⊥x 轴，将x =c 代入抛物线C 2的方程可得y 2=4c 2，所以|y |=2c ，所以|CD |=4c.因为AB ⊥x 轴，将x =c 代入椭圆C 1的方程可得y 2=b 2(1-p 2p 2)=p 4p 2，所以|y |=p 2p ，所以|AB |=2p 2p.由|CD |=43|AB |，得4c =43·2p 2p，即3ac =2b 2=2(a 2-c 2)，整理可得2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，e ∈(0，1)，解得e =12.所以椭圆C 1的离心率为12.(2)由题意可得椭圆C 1的四个顶点的坐标分别为(a ，0)，(-a ，0)，(0，b )，(0，-b )，抛物线C 2的准线方程为x =-c.所以2c +a +c +a -c =12，即a +c =6.由(1)可得p p =12，所以解得a =4，c =2，所以b 2=a 2-c 2=16-4=12，所以椭圆C 1的标准方程为p 216+p 212=1，抛物线C 2的标准方程为y 2=8x.22.(12分)已知三个条件:①离心率e =12;②椭圆C 过点(1,32);③△PF 1F 2面积的最大值为√3.在这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并解决下面两个问题.设椭圆C :p 2p 2+p 2p 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为k 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为2√3，选法不唯一，以选①为例.(1)求椭圆C 的方程;(2)若线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证:|pp ||pp 1|为定值.(1)解:由题意可得{p 2=p 2+p 2,2p =2√3,p p=12,解得{p =2,p =√3,p =1,所以所求椭圆C 的方程为p 24+p 23=1.(2)证明:①当k =0时，|PQ |=2a =4，|NF 1|=c =1，所以|pp ||pp 1|=2pp =4. ②当k ≠0时，由题意可得F 1(-1，0).设直线PF 1的方程为y =k (x +1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 由{p =p (p +1),p 24+p 23=1,得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0，可求得Δ>0，且x 1+x 2=-8p 23+4p 2，x 1x 2=4p 2-123+4p 2，所以|PQ |=√1+p 2√(p 1+p 2)2-4p 1p 2=√1+p 2·√(-8p 23+4p 2)2-4×4p 2-123+4p 2=12+12p 23+4p 2.所以y 1+y 2=k (x 1+1)+k (x 2+1)=k (x 1+x 2)+2k =-8p 33+4p 2+2k =6p3+4p 2，所以线段PQ 的中点为(-4p 23+4p 2,3p3+4p 2)，所以线段PQ 的垂直平分线方程为y -3p 3+4p 2=-1p (p +4p 23+4p 2).令y =0，得x =-p 23+4p 2，即N (-p 23+4p 2,0).所以|NF 1|=-p 23+4p 2+1=3p 2+33+4p 2，所以|pp ||pp 1|=12+12p 23+4p 23p 2+33+4p 2=4.综上可得|pp ||pp 1|=4.。

高中数学章末质量评估2活页训练湘教版选修11

章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．抛物线y ＝1a x 2的焦点坐标是( )．A.⎝⎛⎭⎫0，a 4或⎝⎛⎭⎫0，－a 4 B.⎝⎛⎭⎫0，a4 C.⎝⎛⎭⎫0，14a 或⎝⎛⎭⎫0，－14a D.⎝⎛⎭⎫0，14a 解析把方程y ＝1a x 2写成x 2＝ay ，∴抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，a 4，故选B. 答案 B2．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )．A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析方程可化为y 212－x 24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c 2＝a 2－b 2＝12，∴b 2＝a 2－12＝16－12＝4. ∴所求方程为x 24＋y 216＝1.答案 D3．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )．A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析焦点为(－4,0)，∴2a 2＝16，∴a ＝8. 答案 A4．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )．A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1解析焦点为(2,0)，∴c ＝2.又c a ＝12，∴a ＝4，∴b 2＝12.答案 B5．抛物线2y ＝x 2上距离点A (0，a )(a ＞0)最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是( )．A ．a ＞0B ．0≤a ＜12C ．a ≥1D ．0＜a ≤1解析设抛物线上任一点P (x 0，y 0)，则|AP |＝x 20＋(y 0－a )2＝2y 0＋y 20－2ay 0＋a 2＝ y 20＋2(1－a )y 0＋a 2＝(y 0＋1－a )2＋2a －1.因为y 0≥0，若|AP |在y 0＝0时取最小值，则1－a ≥0，所以a ≤1，故0＜a ≤1. 答案 D6．设F 1，F 2为双曲线x 2－4y 2＝4a 2(a ＞0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )． A ．2 B.52C ．1D. 5解析双曲线为x 24a 2－y 2a 2＝1，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝4c 2＝20a 2，即：(|PF 1→|－|PF 2→|)2＋2|PF 1→|·|PF 2→|＝20a 2， ∴16a 2＋4＝20a 2，∴a 2＝1，∵a ＞0，∴a ＝1. 答案 C7．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2截直线4x ＋5y ＝0所得的弦长为41，则双曲线的实轴长是( )． A.65 B.125 C.32D ．3解析直线4x ＋5y ＝0过原点，可设弦的一端为(x 1，y 1)，则有(1＋1625)x 21＝412，可得x 21＝254，取x 1＝52，y 1＝－2，∴a 2＝254－4＝94，∴|a |＝32，∴2|a |＝3.答案 D8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )．A.32 B.22 C.13 D.12解析本题主要考查圆锥曲线中椭圆的几何性质．左焦点F (－c,0)，右顶点A (a,0)，不妨设点B 在第二象限，则B (－c ，b 2a )，由AP →＝2PB →得：x P －x A ＝2(x B －x P )，代入坐标得，0－a ＝2(－c －0)，所以e ＝c a ＝12.答案 D9．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )． A ．2a B.12a C ．4a D.4a解析如图所示，设PQ 与x 轴成θ角，焦点F 到准线的距离为12a ，∴p ＝12a －p sin θ，∴p ＝12a (1＋sin θ)，∴1p ＝2a (1＋sin θ)，q ＝12a ＋q sin θ， ∴q ＝12a (1－sin θ)，∴1q ＝2a (1－sin θ)， ∴1p ＋1q ＝4a . 答案 C10．已知点A (0，－3)，B (2,3)，点P 在x 2＝y 上，当△P AB 的面积最小时，点P 的坐标是( )．A ．(1,1) B.⎝⎛⎭⎫32，94 C.⎝⎛⎭⎫23，49D ．(2,4)解析因△P AB 中，AB 的长为定值，因此AB 边上的高最小时，S △P AB 的面积最小，平移直线AB 使之与抛物线相切，此时两直线间的距离为P 到AB 距离的最小值．由题设条件得AB 的方程为y ＝3x －3.即3x －y －3＝0，设相切时直线方程为3x －y ＋m ＝0，则{x 2＝y ，3x －y ＋m ＝0消去y 得 x 2－3x －m ＝0，Δ＝9＋4m ＝0， ∴m ＝－94，进而求得x ＝32，y ＝94.答案 B二、填空题(每小题5分，共25分)11．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m ＝________.答案 5或312．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜a )中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是______．解析 S △ABF 2＝S △OAF 2＋S △OBF 2＝12c ·|y 1|＋12c ·|y 2|(y 1、y 2分别为A 、B 两点的纵坐标)，∴S △ABF 2＝12c |y 1－y 2|≤12c ·2b ＝bc .答案 bc13．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．联立方程组{y 2＝2px ，y ＝x 整理得x 2－2px ＝0.又∵直线与抛物线交于A ，B 两点， ∴x A ＋x B ＝2p .又x A ＋x B2＝2，∴2p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x 14．已知抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F ，则该椭圆的离心率为________．解析由题意知：－p2＝－a 2－b 2①且2b 2a ＝2p ② 由①②得：b 22a＝a 2－b 2＝c ，∴b 2＝2ac ，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a 2＝2ac ＋c 2即e 2＋2e －1＝0， ∴e ＝2－1. 答案2－115．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA →|为__________．解析设A (x ，y )(x >0，y >0)，∴⎩⎨⎧y 2＝2px ，k AF ＝y x －p 2＝3，解得⎩⎨⎧y ＝3p ，x ＝3p 2.∴|OA →|＝212p . 答案212p 三、解答题(共75分)16．(13分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为F 1(0，－13)，F 2(0，13)．离心率e ＝137. ∴双曲线的离心率c a ＝133，又∵c ＝13，∴a ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝4， ∴双曲线方程为y 29－x 24＝117．(13分)如图，已知椭圆长轴|A 1A 2|＝6，焦距|F 1F 2|＝4 2.过椭圆焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M ，N .(1)求椭圆的方程；(2)当∠F 2F 1M ＝π4时，求|MN |.解 (1)由题意知：2a ＝6,2c ＝42， ∴b 2＝a 2－c 2＝9－8＝1，且焦点在x 轴上， ∴椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.(2)当∠F 2F 1M ＝π4时，直线MN 的斜率k ＝1.又F 1(－22，0)，∴直线MN 的方程为y ＝x ＋2 2.由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋22得：10x 2＋362x ＋63＝0.若M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1825，x 1x 2＝6310.∴|MN |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝65.即|MN |的长为65.18．(13分)已知两点A (2，0)、B (－2，0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB →＝2PQ→2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)， P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )， P A →·PB →＝x 2－2＋y 2，因为P A →·PB →＝2PQ →2，所以x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.(2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b ，由|2k ＋b |k 2＋1＝2，得b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0. 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即 b 2＋2k 2＝2.②由①②得k ＝255，b ＝105，此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2⇒C (22，10)．19．(12分)如图所示，若椭圆x 22＋y 23＝1上存在两点A 、B 关于l ：y ＝4x ＋m 对称，求m的取值范围．解设直线AB 的方程为y ＝－14x ＋n ，由⎩⎨⎧y ＝－14x ＋n ，x 22＋y 23＝1消去y 得 25x 2－8nx ＋16n 2－48＝0. ∵AB 与椭圆有两公共点A 、B ， ∴方程有两实根， ∴Δ>0，即n 2<258.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8n25，设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 0＝425n ，y 0＝－14x 0＋n ＝2425n .即M ⎝⎛⎭⎫425n ，2425n ，又点M 在直线y ＝4x ＋m 上， ∴2425n ＝16n 25＋m ，∴n ＝258m ，即⎝⎛⎭⎫258m 2<258， ∴－225<m <225.20．(12分)椭圆C 的一个焦点F 恰好是抛物线y 2＝－4x 的焦点，离心率是双曲线x 2－y 2＝4离心率的倒数．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，当点G 的横坐标为－14时，求直线l 的方程．解 (1)由已知，得该椭圆的一个焦点坐标是F (－1,0)，即c ＝1，双曲线x 2－y 2＝4的离心率为2，故椭圆的离心率为22，即e ＝c a ＝22，故a ＝2，从而b ＝1，所以椭圆的标准方程是x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∵直线AB 过椭圆的左焦点F ， ∴方程有两个不等实根．记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，故x 0＝x 1＋x 22＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1.所以AB 的垂直平分线NG 的方程为 y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－14，解得k ＝±22，故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)．21．(12分)如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点(1，32)到F 1、F 2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积．解 (1)根据题意：2a ＝4，a ＝2， ∴方程为x 24＋y 2b2＝1.又点(1，32)在椭圆上，∴14＋94b 2＝1，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)． (2)∵k PQ ＝k AB ＝32， ∴直线PQ 方程为y ＝32(x －1)．① 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，法一由①得x ＝23y ＋1， ∴3(23y ＋1)2＋4y 2＝12即8y 2＋43y －9＝0， ∴y 1＋y 2＝－32，y 1y 2＝－98， (y 1－y 2)2＝34＋92＝214，∴S △F 1PQ ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212. 法二直线PQ 方程为3x －2y －3＝0，F 1到PQ 距离 d ＝|－3－3|7＝2217，将y ＝32(x －1)代入x 24＋y 23＝1得2x 2－2x －3＝0，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－32，∴|PQ |＝74×(1＋6)＝72， ∴S ＝12·d ·|PQ |＝12×72×2217＝212.。

高中数学章末质量评估(二)苏教版选修21

章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是____________．解析 2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2. 答案 x ＝－22．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为__________．解析依题意两条渐近线方程必为y ＝±x ，则a ＝b ，所以c ＝2a ，故双曲线的离心率为 2. 答案： 2 3．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2，0)，而抛物线y 2＝2px 的焦点为(p 2，0)，则p2＝2，故p ＝4. 答案 44．△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．解析由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a ＝4 3. 答案 4 35．若方程x 225－m ＋y 216＋m＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧25－m <0，16＋m >0；解得m 的取值范围是m >25.答案 m >256．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 为________．解析由于焦点在x 轴上，故渐近线方程y ＝±b a x 为y ＝±12x ，可得b a ＝12，又c 2＝a 2＋b 2，可解得e ＝c a 的值为52.答案527．抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M 纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线的方程是____________．解析由已知点M 的横坐标x M ＝（42）22p ＝16p (p >0)，又x M ＋p 2＝6，即16p ＋p2＝6，解得p ＝4或p ＝8.故抛物线的方程是y 2＝8x 或y 2＝16x . 答案 y 2＝8x 或y 2＝16x8．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正方向的夹角为60°，则|OA →|＝__________．解析依题意可设AF 所在直线方程为： y －0＝(x －p 2)tan 60°，∴y ＝3(x －p 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px ，，解得x ＝p 6或3p 2，∵F A →与x 轴正向夹角为60°，∴x ＝3p 2，y ＝3p ，∴|OA →|＝x 2＋y 2＝212p . 答案212p 9．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________．解析由题意知，m <0，双曲线mx 2＋y 2＝1化为标准形式y 2－x 2－1m＝1，故a 2＝1，b 2＝－1m ，所以a ＝1，b ＝－1m ，则由2－1m ＝2×2，解得m ＝－14. 答案－1410．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎨⎧2b 2a ＝2a 2c －c ＝1，即⎩⎨⎧2b 2a＝2 ①b2c ＝1 ②，②÷①得e ＝22. 答案2211．与双曲线x 29－y 23＝1有共同的渐近线，并且经过点(3，－4)的双曲线方程____________．解析由题意可设所求双曲线方程为：x 29－y 23＝λ(λ≠0)∵双曲线经过点(3，－4)，∴λ＝（3）29－（－4）23＝－5，∴所求双曲线方程为：y 215－x 245＝1.答案 y 215－x 245＝112．若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y 2－x 2＝1的顶点，且该椭圆的离心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为__________．解析由双曲线y 2－x 2＝1的顶点坐标为(0，±1)，可得椭圆的b ＝1；又双曲线的离心率为1＋11＝2，从而由已知得椭圆的离心率为22，∴椭圆的a ＝2，∴该椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 答案 x 22＋y 2＝113．已知点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 21＝1上，则x 2＋2y 的最大值是________．解析法一：设点P (2cos θ，sin θ)，x 2＋2y ＝4cos 2 θ＋2sin θ＝－4sin 2 θ＋2sin θ ＋4；令T ＝x 2＋2y ，sin θ＝t ，(－1≤t ≤1)，则T ＝－4t 2＋2t ＋4，对称轴t ＝14，∴T max ＝Tt ＝14＝124＋4＝174，∴x 2＋2y 的最大值是174.法二：由x 24＋y 21＝1得x 2＝4(1－y 2)；令T ＝x 2＋2y ，代入得T ＝4－4y 2＋2y ，即T ＝－4(y－14)2＋4＋14；当y ＝14时y max ＝4＋14＝174；即x 2＋2y 的最大值是174. 答案17414．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径，作圆M ，若过点P (a 2c ，0)所作圆m 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.答案22二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m ，水面宽8 m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程； (2)若水面上升1 m ，求水面宽度．解 (1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由已知条件可知，点B 的坐标是(4，－4)，代入方程：得42＝－2p ×(－4)，即p ＝2.所以，所求抛物线标准方程是x 2＝－4y . (2)若水面上升1 m ，则y ＝－3，代入x 2＝－4y ，得x 2＝－4×(－3)＝12，x ＝±2 3. 所以这时水面宽为4 3 m.16．(14分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b >0)的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，PF 1＝43，PF 2＝143； (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．解 (1)因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2＝PF 22＋PF 12＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．由圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2，1)．从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k －27＝0.因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k 4＋9k 2＝－2.解得k ＝89，所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0.(经检验，符合题意)17．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标．解 (1)设点P (x ，y )，则：F (2，0)、B (3，0)、A (－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝92.故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2)将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得：M (2，53)，N (13，－209)．直线MTA 方程为：y －053－0＝x ＋32＋3，即y ＝13x ＋1，直线NTB 方程为：y －0－209－0＝x －313－3，即y ＝56x －52.联立方程组，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为(7，103)．18．(16分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解如右图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋p2＋x 2＋p2＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2， ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .19．(16分)已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x ＝55，离心率e ＝ 5. (1)求该双曲线的方程；(2)如图，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2 ＝1上的点，点M 在双曲线右支上，求MA ＋MB 的最小值，并求此时M 点的坐标．解 (1)由题意知双曲线的焦点在x 轴上，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，设c ＝a 2＋b 2，由准线方程为x ＝55得a 2c ＝55，由e ＝5得ca＝5；解得a ＝1，c ＝5，从而b ＝2，∴该双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设点D 的坐标为(5，0)，则点A 、D 为双曲线的焦点，由定义得MA －MD ＝2a ＝2；所以MA ＋MB ＝2＋MB ＋MD ≥2＋BD ，∵B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，其圆心为C (0， 5)，半径为1，故BD ≥CD －1＝10－1，从而MA ＋MB ≥2＋BD ≥10＋1；当M ，B 在线段CD 上时取等号，此时MA ＋MB 的最小值为10＋1；∵直线CD 的方程为y ＝－x ＋5，因点M 在双曲线右支上，故x >0；由方程组⎩⎨⎧4x 2－y 2＝4y ＝－x ＋5解得x ＝－5＋423，y ＝45－423；所以M 点的坐标为(－5＋423，45－423)．20．(16分)中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10，设A (5，0)，B (1，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作直线与椭圆C 有且只有一个公共点D ，求过B 、D 两点，且以AD 为切线的圆的方程；(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ，若AP →＝tAQ →(t >1)，求证：SB →＝tBQ →.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，2a 2c ＝10，解得⎩⎨⎧c ＝1，a ＝5， ∴b 2＝4，∴椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1. (2)设过点A 的直线方程为y ＝k (x －5)，代入椭圆方程x 25＋y 24＝1整理得：(4＋5k 2)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0(*)；依题意得Δ＝0，即(50k 2)2－4(4＋50k 2)(125k 2－20)＝0，解得k ＝±55，且方程(*)的根为x ＝1，∴D (1，±455)；当点D 位于x 轴上方时，过点D 与AD 垂直的直线与x 轴交于点E ，则直线DE 的方程是y －455＝5(x －1)，∴E (15，0)；∵所求圆即为以线段DE 为直径的圆，故方程为(x －35)2＋(y －255)＝2425.同理可得，当点D 位于x 轴下方时，圆的方程为： (x －35)2＋(y ＋255)＝2425.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)；由AP →＝tAQ →得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－5＝t （x 2－5）y 1＝ty 2，代入⎩⎨⎧x 125＋y 124＝1，x 225＋y224＝1；∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2t ＋3x 2＝3t －2t(**)；要证SB →＝tBQ →，即证：⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝t （x 2－1） ①y 1＝ty 2 ②由方程组(**)可知①成立，②显然成立；∴SB →＝tBQ →.。

2-2第一章章末质量评估

2-2第一章章末质量评估(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为( )．A ．－135°B ．45°C ．－45°D ．135°解析 y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此，倾斜角为135°. 答案 D2．下列求导运算正确的是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x 2，所以A 不正确；(3x )′＝3x ln 3，所以C 不正确；(x 2cosx )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln 2，所以B 正确．故选B. 答案 B 3．|sin x |d x 等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析 ∫2π0|sin x |d x ＝∫π0sin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x ＝()－cos x ⎪⎪⎪π0＋cosx ⎪⎪⎪2ππ＝1＋1＋1＋1＝4. 答案 D4．函数y ＝1＋3x －x 3有( )． A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析y′＝－3x2＋3，令y′＝0得，x＝1或x＝－1，∴f(1)＝3，f(－1)＝－1.答案 D5．函数f(x)＝x2x－1()．A．在(0,2)上单调递减B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增C．在(0,2)上单调递增D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减解析f′(x)＝2x(x－1)－x2(x－1)2＝x2－2x(x－1)2＝x(x－2)(x－1)2.令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.∴x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0.x∈(0,1)∪(1,2)时，f′(x)<0.答案 B6．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()．A．72 B．36 C．12 D．0解析y′＝4x3－4，令y′＝0,4x3－4＝0，x＝1，当x<1时，y′<0；当x>1时，y′>0得y极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，得y min＝0.答案 D7．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()．A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析因为f(x)有极大值和极小值，所以导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)有两个不等实根，所以Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，得a＜－3或a＞6.答案 D8．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()．解析∵x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．答案 A9．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为()．解析画出图形，由定积分定义可知选C.答案 C10．设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为()．A ．－log 2 0102 009B ．－1C ．(log 2 0102 009)－1D ．1解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1. 所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2 009)＝log 2 010⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·…·2 0092 010＝log 2 01012 010＝－1. 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________．解析 f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 答案 ±112．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线的方程为________．解析由于y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，故切线的方程为y －1＝1e (x －e)，故y ＝1e x .答案 1e x －e y ＝013．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．解析由y ′＝3x 2＋2x －5>0得x <－53，或x >1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35，(1，＋∞)14．若(x －k )d x ＝32，则实数k 的值为________．解析 ∫10(x －k )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－k x ⎪⎪⎪10＝12－k ＝32，∴k ＝－1. 答案－1三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.16．(10分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2 x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx(2－x)＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝1 2.17．(10分)给定函数f(x)＝x33－ax2＋(a2－1)x和g(x)＝x＋a2x.(1)求证：f (x )总有两个极值点；(2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求a 的值．(1)证明因为f ′(x )＝x 2－2ax ＋(a 2－1)＝[x －(a ＋1)]·[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ＋1，x 2＝a －1. 当x <a －1时，f ′(x )>0；当a －1<x <a ＋1，f ′(x )<0.所以x ＝a －1为f (x )的一个极大值点．同理可证x ＝a ＋1为f (x )的一个极小值点．所以f (x )总有两个极值点．(2)解因为g ′(x )＝1－a 2x 2＝(x －a )(x ＋a )x 2.令g ′(x )＝0，则x 1＝a ，x 2＝－a . 因为f (x )和g (x )有相同的极值点，且x 1＝a 和a ＋1，a －1不可能相等，所以当－a ＝a ＋1时，a ＝－12；当－a ＝a －1时，a ＝12. 经检验，当a ＝－12和a ＝12时， x 1＝a ，x 2＝－a 都是g (x )的极值点．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－1与x ＝2处都取得极值． (1)求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－2,3]，不等式f (x )＋32c <c 2恒成立，求c 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎨⎧3－2a ＋b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－6.∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－3x －6. 令f ′(x )<0，解得－1<x <2；令f ′(x )>0，解得x <－1或x >2.∴f (x )的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增． ∴x ∈[－2,3]时，f (x )的最大值即为 f (－1)与f (3)中的较大者． f (－1)＝72＋c ，f (3)＝－92＋c . ∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值．要使f (x )＋32c <c 2，只需c 2>f (－1)＋32c ，即2c 2>7＋5c ，解得c <－1或c >72.∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞.19．(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数的解析式．(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f(x)有极大值28 3，当x＝2时，f(x)有极小值－4 3，所以函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象大致如图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43<k<283.。

高中数学章末质量评估(一) 湘教版选修12

章末质量评估(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．散点图在回归分析过程中的作用是 ( )．A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否线性相关答案 D2．下列说法中不正确的是 ( )．A．回归分析中，变量x和y都是普通变量B．变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定C．线性相关系数可能是正的，也可能是负的D．如果线性相关系数是负的，y随x的增大而减小答案 A3．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子身高y与父系的身高x的回归方程y＝β0＋β1x中，β1 ( )．A．在(－1,0)内B．等于0C．在(0,1)内D．在[1，＋∞)内答案 C4．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要 ( )．A．6.5 h B．5.5 hC．3.5 h D．0.5 h解析依题意，加工600个零件大约需要0．01×600＋0.5＝6.5(h)．答案 A5．甲、乙两人各进行1次射击，如果两个击中目标的概率都是0.7，则其中恰有1人击中目标的概率是 ( )．A．0.49 B．0.42C．0.7 D．0.91解析所求概率P＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.6．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是 ( )． A.29 B.118C.13D.23解析由已知P (A B )＝P (A )P (B )＝19①，又P (A B )＝P (A ·B )，即[1－P (A )]P (B )＝P (A )[1－P (B )] ②，由①②解得P (A )＝P (B )＝13，所以P (A )＝23.答案 D7．在回归直线方程y ＝bx ＋a 中，b 为回归系数，下列关于b 的说法不正确的是( )．A ．b 为回归直线的斜率B ．b >0，表示随x 增加，y 值增加，b <0，表示随x 增加，y 值减少C ．b ＝0，表示回归直线与x 轴平行，此时y 与x 轻度相关D ．回归系数b 的统计意义是当x 每增加(或减少)一个单位，y 平均改变|b |个单位答案 C8．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ＝256＋2x ，表明( )．A ．废品率每增加1%，生铁成本增加258元B ．废品率每增加1%，生铁成本增加2元C ．废品率每增加1%，生铁成本每吨增加2元D ．废品率不变，生铁成本为256元解析由回归系数b 的意义知：b ＞0时，自变量和因变量按同向变化；当b ＜0时，自变量和因变量按反向变化，b ＝2，可知选C. 答案 C9．已知两个变量的样本中心点是(5,50)，则两个变量间的回归直线方程可能为( )．A ．y ＝7.5x ＋17.5B ．y ＝6.5x ＋17.5C ．y ＝7.5x ＋18.5D ．y ＝6.5x ＋18.5解析样本中心点的坐标为(5,50)，代入验证即可．10．工人月工资y (元)与劳动生产率x (千元)变化的回归方程为y ＝50＋80x ，下列判断正确的是 ( )． ①劳动生产率为1千元时，工资为130元 ②劳动生产率提高1千元时，则工资提高80元 ③劳动生产率提高1千元时，则工资提高130元 ④当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 A ．①② B ．①②④ C ．②④D ．①②③④解析将数值代入易得①②④正确．答案 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上)11．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠合计多看电视 68 42 110 少看电视 20 38 58 合计8880168则由表可知大约有解析 χ2＝168×68×38－20×422110×58×88×80≈11.377>6.635.答案 99%12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表所示：温度(x ) 0 10 20 50 70 溶解度(y )66.776.085.0112.3128.0解析 ∵∑i ＝15x i y i ＝17 035，∴回归直线的斜率b ＝∑i ＝15x i y i －5x·y∑i ＝1nx 2i －5x2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500＝0.880 9.答案0.880 913．对于回归分析，下列说法错误的是________(填序号)．①在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量惟一确定②线性相关系数可以是正的或负的③回归分析中，如果V2xy＝1或V xy＝±1，说明x与y之间完全线性相关④样本相关系数V xy∈(0,1)解析由样本相关系数V xy的性质|V xy|≤1知，④不正确．答案④14．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：若y与x______万元．解析经计算知其回归直线方程为y＝6.5x＋17.5，又y＝82.5时，x＝10，所以广告费支出最少是10万元．答案1015．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个因素．在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程是y ＝ 4.6＋0.8x.这里，斜率的估计等于0.8说明_________________________________________________________________________ _________________，成年人至多受到9年教育的百分比(x)和收入低于官方的贫困线的人数占本地区人数的百分比(y)之间的相关系数__________(选择“大于0”或“小于0”)．答案一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右大于0三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分13分)在五块田上，进行小麦的对比试验，在同样的施肥和管理水平下，给出了小麦的基本苗数x和成熟期小麦的有效穗数y的数据如下表：(万株/亩)计算x 与y 的相关系数．解由表格中的数据可得出：x ＝30.3，y ＝43.12，∑n i ＝1x 2i＝5 086.17，∑ni ＝1y 2i＝9 352.02，∑ni ＝1x i y i ＝6 676.89，所以相关系数r xy ＝s xys x s y ＝∑n i ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2∑ni ＝1y 2i－n y2≈0.870 6.17．(本小题满分13分)在一次医学试验中，为了研究某种药物对小白鼠的活动是否有影响，调查数据如下表所示：活动强活动弱合计药物处理 80 263 343 未进行药物处理55 315 370 合计135578713根据上面的数据，你能得出什么结论？解由独立性检验χ2＝713×80×315－55×2632343×370×135×578≈8.297.由于8.297>6.635，所以我们有99%的把握认为药物与小白鼠的活动强弱是有关的．18．(本小题满分13分)某些行为在运动员的比赛之间往往被赋予很强的神秘色彩，如有一种说法认为，在进入某乒乓球场比赛前先迈入左脚的运动员就会赢得比赛的胜利．某记者为此追踪了某著名乒乓球运动员在该球场中的308场比赛，获得数据如下表：胜负合计先迈入左脚 178 27 205 先迈入右脚 84 19 103 合计26246308解由χ2＝308×178×19－84×272205×103×262×46≈1.502.因为1.502<3.841，所以我们没有充分理由认为先迈进左脚与否跟比赛的胜负有关．19．(本小题满分12分)为了研究某种新药的副作用(如恶心等)，给50位患者服用此新药，另外50名患者服用安慰剂，得到下列实验数据：副作用药物有无合计新药 15 35 50 安慰剂 4 46 50 合计1981100解提出假设H 0：服用新药与产生副作用之间没有关系，由已知数据可以求得χ2＝100×15×46－35×4250×50×19×81＝7.86>6.63所以有99%的把握认为新药与产生副作用是相关联的．20．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)，与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091已知∑7i ＝1x 2i＝280，∑i ＝1y 2i＝45 309，∑i ＝1x i y i ＝3 487， (1)求x 、y ； (2)画出散点图；(3)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归方程．解 (1)x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝79.86.(2)(3)b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x2≈4.75，a ＝y －b x ＝51.36，所以纯利y 与每天销售件数x 之间的回归方程为y ＝4.75x ＋51.36.21．(本小题满分12分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.优质品非优质品合计附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，P (χ2≥k )0.05 0.01 k3.841 6.635解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)甲厂乙厂合计优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 合计5005001 000χ2＝1 000×500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．。

苏教版高中数学必修二章末质量评估2.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．与y轴垂直的直线L，它的倾斜角是________．解析画出直线L，它与x轴平行或就是x轴，故倾斜角为0°.答案0°2．下列命题：①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大．其中错误的有________(填序号)．解析①当倾斜角为90°时，斜率不存在；故①是错误的．②当倾斜角由锐角增大为钝角时，斜率由正数变化为负数；故②也是错误的．答案①，②3．已知过P(－2，m)和Q(m,4)两点的直线斜率等于1，那么m的值为________．解析由直线的斜率定义得k＝4－mm－(－2)＝1，解得m＝1.答案 14．过点(3,1)在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．解析(1)若截距为0，设直线方程为y＝kx.∵直线过点(3,1)，∴1＝k×3.∴k＝13，∴直线方程为y＝13x；(2)若截距不为0，设在x轴上截距为a，则在y轴上截距也为a，直线方程为x a ＋y a ＝1，∵直线过点(3,1)，∴3a ＋1a ＝1，解得a ＝4，∴直线方程为y ＝－x ＋4；综上，所求直线方程为y ＝x 3或y ＝－x ＋4.答案 y ＝x 3或y ＝－x ＋45．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析由A 1A 2＋B 1B 2＝0得，1×a ＋a [－(2a －3)]＝0得a ＝2或a ＝0.答案 2或06．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．解析 (x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离，而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案 a 2＋b 27．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是________．解析 r 2＝4＋k 2－4k 24＝1－34k 2，∴当k ＝0时，r 2最大，从而圆的面积最大．此时圆心坐标为(－1,0)．答案 (－1,0)8．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝64的位置关系是________．解析圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0即为(x －4)＋(y ＋3)2＝9，故圆心为(4，－3)，半径为3，而圆x 2＋y 2＝64的圆心为(0,0)，半径为8；故两圆的圆心距为d ＝42＋32＝5，半径之差为R －r ＝5，故圆心距d ＝R －r ，所以两圆内切．答案内切9．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析依题意，设直线l 的方程是y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，因此由题意得圆心(2,0)到直线l 的距离不超过该圆的半径，即有|2k －4k |k 2＋1≤1，由此解得－33≤k ≤33. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析 ∵圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2，且圆C 上任意一点关于直线l 的对称点都在圆C 上，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线l 上．∴－1＋a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案－211．已知点P (－1,1)和点Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 不相交，则实数m 的取值范围是________．解析如图，因为直线l ：x ＋my ＋m ＝0斜率为－1m ，且恒过点A (0，－1)，直线l 与线段PQ 不相交，即将图中的直线AQ 顺时针旋转到AP 位置，这个过程中的所有直线都是符合条件的直线l ；故符合条件的直线l 的斜率范围是(k AP ，k AQ )，即k AP ＜－1m ＜k AQ ，而k AP ＝1－(－1)－1－0＝－2，k AQ ＝2－(－1)2－0＝32，故－2＜－1m ＜32，解得实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞12．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于两点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为________．解析由已知条件得圆心坐标为(－1,2)，圆心与AB 中点连线的斜率k 1＝2－1－1－0＝－1，连线与AB 垂直，故直线L 的斜率k 满足k ·k 1＝－1，即k ＝1，故L 的方程为y －1＝1·(x －0)，即为x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝013．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是________．解析设圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，由直线3x ＋4y ＋4＝0与圆相切，可得圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝|3a ＋4|5＝2，解得a ＝2或a ＝－143(舍去)，故所求的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.答案 x 2＋y 2－4x ＝014．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．解析如图所示，过O 作OS ⊥PQ 于S ，由∠POQ ＝120°，结合图形可求得圆心O 到直线y ＝kx ＋1的距离OS ＝12，再由点到直线的距离公式，得1k 2＋1＝12，解得k ＝±3.答案－3或 3二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)垂直．解由A 1B 2＝A 2B 1得1×3＝m (m －2)解之：m ＝－1 m ＝3当m ＝－1时，⎩⎨⎧ 直线l 1：x －y ＋6＝0直线l 2：3x －3y ＋2＝0∴l 1∥l 2 当m ＝3时，⎩⎨⎧直线l 1：x ＋3y ＋6＝0直线l 2：x ＋3y ＋6＝0∴l 1与l 2重合．因此，当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交，又因A 1A 2＋B 1B 2＝0得，1×(m －2)＋m ×3＝0∴m ＝12.∴当m ＝12时，直线l 1与l 2垂直．16．(本小题满分14分)一圆过点(1,3)，且在x 轴上的截距之和为2，在y 轴上的截距之积为－2，求此圆方程．解设此圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∵圆过点(1,3)，∴1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0①∵圆在x 轴上的截距之和为2，∴令y ＝0得方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根之和为2，即－D ＝2；②∵圆在y 轴上的截距之积为－2，∴令x ＝0得方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根之积为－2，即F ＝－2；③由①②③解得D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2；∴此圆方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.17．(本小题满分14分)直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．解设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1∵直线l 过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab .又由已知有12|a ||b |＝5，即|ab |＝10，解方程组⎩⎨⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2，故所求直线l 的方程为：x－52＋y 4＝1，或x 5＋y －2＝1；即为8x －5y ＋20＝0，或2x －5y －10＝0.18．(本小题满分16分)已知直线(m ＋2)x －(2m －1)y －3(m －4)＝0.(1)求证：不论m 怎样变化，直线恒过定点；(2)求原点(0,0)到直线的距离的最大值．(1)证明直线方程变形为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋12＝0，则由⎩⎨⎧ x －2y －3＝0，2x ＋y ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－215，y ＝－185，∴不论m 怎样变化，直线恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，－185. (2)解原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到直线所恒过的定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，－185的距离d .而d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1852＝3855，所以原点(0,0)到直线距离的最大值为3855. 19．(本小题满分16分)已知：以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解 (1)∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，k OC ＝12∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得：t ＝2或t ＝－2当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b ＞0，即b ＜1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是二次函数f (x )的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1＋b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式，得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝1或⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上．所以圆C 过定点．。