概统2.1-随机变量及其分布

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§2.1 随机变量及分布函数.ppt

函数在理论和应用中都是很重要的,为此,我们有以下定义：
定义2.1.2 设定义在样本空间上的随
机变量，对于任意实数 x，称函数
F（x） P（ x），x （-，+）是随机变量的概率分布函数，简称为分布函数或分布.
注意分布函数实质上就是事件 ( x) 的
概率.也就是随机变量落在区间 (, x)内的概率.
分别规定为1和0，即：
1, 0,
当出现H时当出现T时
一旦实验的结果确定了，的取值也就随之确定了.
从上述例子可以看出：无论随机试验的结果，本身与数量有无联系，我们都能把试验的结果与实数对应起来，即可把试验的结果数量化.由于这样的数量依赖试验的结果,而对随
机试验来说，在每次试验之前无法断言会出现何种结果，因而也就无法确定它会取什么值，即它的取值具有随机性，我们称这样的变量为随机变量 . 事实上，随机变量就是
Un1(xn () xn1
P(xn () xn1) n1
F(xn1) F(xn ) n1
lim n
F(xn1) F(x1)
lim
n
F
(
xn1
)
F
(
x1
)
由此可得
F
(x)
lim
n
F ( xn1)
F(x
0)
3）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明任一个满足这三个性质的函数一定可以作为某个随机变量的分布函数.知道了随机
由性质2)得
3）单调性：若 x1 x2 ,则 F（x1） F（x2）；
4）极限性：
lim F（x） F（） 0，lim F (x) F () 1
x
x

概率论与数理统计第2章随机变量

2.2.1 离散型随机变量分布律的定义及性质
定义2.2.1 若离散型随机变量的所有的取值为，在每一点取值的概率为
P{X x k } pk , k 1, 2,
（2.2.1）
称式（2.2.1）为离散型随机变量X的概率分布或分布律．分布律也可写成下列的表格形式：
X
x1 x2
p1
… …
服从参数为p两点分布或(0-1)分布．用分布律表表示为：
X
0
1 p
1
pk
p
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
2.二项分布令X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X是一个随机变量，它的所有可能取值为 0,1,, n，其分布律为
n k P{ X k} p (1 p)nk , (k 0,1,..., n) k
k 0 1 2 3 4 >4
k
按 n=100 p=0.01 0.386 0.370 0.185 0.061 0.015 0.003
k
k!
e 计算
n=10 p=0.10 0.349 0.385 0.194 0.057 0.011 0.004
n=20 p=0.05 0.358 0.377 0.189 0.060 0.013 0.003
（2.2.4）
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
二项分布的图形特点：
Pk
k
0
k n=10, p=0．7
.
.
.
.
0
n=13, p=0．5
k
图2. 1
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
例2.2.5 有一大批产品，其次品率为10%，现从中任意抽取5件，求最多有2件次品的概率．解产品量很大时，不放回抽样近似于放回抽样，定义X

概率论与数理统计：2-1 一维随机变量及其分布

o• o
x0 x
•
2
o
x
x
小结一下：
1. 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数. 2. 两类重要的随机变量:离散型、连续型. 3. 随机变量的分布函数描述随机变量的取值规律.
F(x) P{X x}, x R.
4. 分布函数的性质：有界性、单调不减、规范性、处处右连续.
三、离散型随机变量的分布律
四、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布(单点分布）
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(X C) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~B(1,p)
3.均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为
(2) F(x1) F(x2), (x1 x2); (单调不减性)
(3) F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
(4)
lim
xx0
F
(x)
F
( x0
),
( x0 ).(右连续性)
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
X
a1
a2 an
pk
1 11 nn n
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从均匀分布.
实例抛掷匀质骰子并记出现的点数为 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66

概率论与数理统计第2章随机变量及其分布

本章首先引入随机变量的概念，介绍一些常用的随机变量，最后讨论随机变量函数的分布．
第2章随机变量及其分布
【工作效率问题】
某工厂有 80 台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01 ，且一台设备的故障能有一人处理．为了提高设备维修的效率，节省人力资源，考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责 20台；其二是由 3人共同维护 80台．试比较两种配备维修工人方法的工作效率，即比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小．
第2章随机变量及其分布
2.1 随机变量
2.1.1 随机变量概念
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，也可以用非数量表示．在研究随机试验的结果时，可能关心的不是样本空间的各个样本点本身，而是对于与样本点联系着的某个数感兴趣.
2.1.1 随机变量的概念【例2-1】有朋自远方来，他可能乘船，乘火车，或者乘飞机，记1 = {乘船}，2 = {乘火车}，3 = {乘飞机}，这就是以 = {1，2，3}为样本空间的随机试验. 现考虑该客人的旅费，假定乘船，火车与乘飞机的单价分别为100，200，300元，则所需旅费就是如下实值函数 100, 若 1 X X ( ) 200, 若 2 300, 若 3 X=X() 是定义在上，随试验结果而变化的变量.
Ｘ＝X() 的所有可能取值为:
1, 2, 3, .
2.1.1 随机变量的概念
实例3 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的,
变量 X X () 此人的等车时间 ,
Ｘ＝X() 的所有可
能取值为: [0,5].
2.1.1 随机变量的概念定义2.1 设随机试验的样本空间为 = {}，X=X()

随机变量及其分布

记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数记作X ~F(x)
分布函数的性质随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一个阶梯形的函数它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度等于相应点处的概率而在两个相邻跳跃点之间分布函数值保持不变
反过来如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函数则X一定是一个离散型随机变量其概率分布可由分布函数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率

概率论教学课件第二章2.1随机变量的概念及分布函数

5
5
不是分布函数，因为
() 1 F() 3 G() 1 1 3 1 4 1 .
5
5
55 5
17
四、用分布函数表示概率
分布函数完整地描述了随机变量的统计规律．如果知道了随机变量的分布函数，那么可以求出该随机变量落在任何区间内的概率.
假设a<b，
a
bx
{a X b} {X b} {X a} {X b} {X a}
第2章
1
2
一、随机变量的概念
在实际问题中，随机试验的结果可以用一个随试验结果不同取不同数值的变量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
例1.掷一枚骰子出现的点数X, X的可能取值为：1,2,3,4,5,6. 变量X随试验结果的不同取不同的值，X是一
个随机变量.
3
在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.
Pa X b F b 0 F a 0 ; Pa X b F b 0 F a;
Pa X b F b F a 0.
h 0 (X b h) (X b), (a h X a) (X a),
a X b ( X b) ( X a), a X b (X b) (X a),
那么可用下列几种常见形式表示事件:
◎ X x ; X x ; X x ; X x ; X x ; X x .
10
◎ x1 X x2 ; x1 X x2 ; x1 X x2 ; x1 X x2 .
用随机变量表示事件往往比较简洁．
三、分布函数
设X是任意一个随机变量，称如下定义的函数
4
4
44
4
4
44
(4) F( x),G( x)处处右连续， 1 F( x) 3 G( x)处处右连续.

概率论与数理统计-随机变量及其分布

解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分二项分布、泊松分布、几何
随布分布
机变
函数
连续型随机变量：密度函数
量均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布二、指数分布三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性（2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维）离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布

2.1随机变量及其分布

64 36
o o
62 16
o o
6o
01 2 3 4 5 6
6 2, 6 3, 6
4, 6
5, 6
1,
x1 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6
6 x
2020/3/24 x 1 x2 x3 4 x5 x6 x x
1 2 3 4 5 6
0
X~
1
1
1
1
1 1
1 6
6 6 6 6 6 6
例将26个英文字母编号为1 ~ 26, 随机取一个
字母, 设对应的号码为X, 则 X的概率分布为
X 1 2 3... 2 6
1 11
1
pk 26 26 26 ... 26
一般地, 若 r.v.的X概率分布是
x1 x2 x3 ... xn
即
X
~
1 n
1 n
1 n
...
1 n
P{Xxk}
1 n
k1,2,...,n
或投了4次后就停止投篮，设 X 表示 “此人投
的次数”，求X 的概率分布.
篮
解 X 1234
pk 0 . 7 0.21
设表A i 示 “第i 次投中篮框” ，(i1,2,3,4) A1,A2,A3,A4相互独立.
p 1 P{X1} P(A1) 0.7
p 2 P{X2}P(A1A2)P(A1)P(A2)0.30 . 7 0.21
0 7
可以统一表示为 P Xi
C
Ci 2 i
37
C
2 10
(i0,1,2)
2020/3/24
二、离散型随机变量的概率分布定义2.2 如果随机变量X 只可能取有限个

《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布

两点分布或（0-1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个
元素，即Ω={ω1,ω2}，我们总能在Ω上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量
来描述这个随机X试验X的(结)果。10,,当当
1, 2.
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)，则称X服从(0-1)分布或两点分布。
(0-1)分布的分布律也可写成
X
0
1
pk
1-p
p
二项分布与伯努利试验
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o， 1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试验中，事件A发生k次的概率为
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件 “X=x1”， “X=x2”....“X=xk”,...构成一个完备事件组。因此，上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0, k 1, 2,L
(2) pk 1
k
满足上两式的任意一组数 pk , k 1, 2,L 都可以成为离散型随机变量的概率分布。对于集合xk , k 1, 2,L
P{ X
k}
20 k
(0.2)k

高中数学第2章概率 2.1 随机变量及其概率分布讲义苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学

2.1 随机变量及其概率分布学习目标核心素养1.了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列刻画随机现象的重要性，会求某些简单离散型随机变量的分布列．(重点、难点)2．掌握离散型随机变量分布列的性质，掌握两点分布的特征．(重点)1.通过对离散型随机变量的学习，提升数学抽象素养．2．借助随机变量的分布列，提升逻辑推理素养.1．随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．思考1：随机变量是自变量吗？[提示] 不是，它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．思考2：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示] 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．2．概率分布列假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，x n，且P(X＝x i)＝p i，i＝1,2，…，n，①则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．称表X x1x2…x nP p1p2…p np i(i ＝1,2，…，n)满足条件：①p i≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1.思考3：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数吗？[提示] 错误．每一个可能值对应的概率为[0,1]中的实数．思考4：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1吗？[提示] 不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可知不可以．思考5：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的吗？[提示] 是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同时发生，是彼此互斥的．3．两点分布如果随机变量X的分布表为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，这一类分布称为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．1．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和B[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的概率的和必是1，对应的是必然事件，所以不是随机变量．] 2．设离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ－1012 3P 0.100.200.100.200.40 Pξ0．40 [P(ξ<1.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.10＋0.20＋0.10＝0.40.] 3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功与否(记X＝0为试验失败，记X＝1为试验成功)，则P(X＝0)等于________．1 3[设试验失败的概率为p，则2p＋p＝1，∴p＝13.]随机变量的概念【例1】(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年1月1日至5月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日某某到的某次列车到站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．[思路探究] 利用随机变量的定义判断．[解] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)列车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，是随机变量的是________．(填上所有正确的序号)①某人掷硬币1次，正面向上的次数；②某音乐歌曲《小苹果》每天被点播的次数；③标准大气压下冰水混合物的温度；④你每天早晨起床的时间．(2)一个口袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则X的可能取值构成集合________．事件{X＝k}表示取出________个红球，________个白球，k＝0,1,2,3,4.(1)①②④(2){0,1,2,3,4} k4－k[(1)①②④中每个事件的发生是随机的，具有可变性，故①②④是随机变量；标准大气压下冰水混合物的温度为0 ℃，是必然的，不具有随机性．(2)由题意可知，X的可能取值为0,1,2,3,4.{X＝k}表示取出的4个球中含k个红球，4－k个白球．]随机变量的分布列及应用【例2】ξ表示取出的3只球中的最大，写出随机变量ξ的概率分布．[思路探究] 由本例中的取球方式可知，随机变量ξ与球的顺序无关，其中球上的最大只有可能是3,4,5，可以利用组合的方法计算其概率．[解] 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大为3，则其他两只球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝C22C35＝110；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大为4，则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝C23C35＝310；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大为5，则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝C24C35＝610＝35.因此，ξ的分布列为ξ34 5P11031035利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i＝1np i＝1，而且要注意p i≥0，i＝1,2，…，n.2．设随机变量ξ的概率分布为P⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．求：(1)常数a的值；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35； (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ<710.[解] 题目所给的ξ的概率分布表为ξ 15 25 35 45 55 Pa2a3a4a5a(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝55＝315＋415＋515＝45或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≤25＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫115＋215＝45.(3)因为110<ξ<710，所以ξ＝15，25，35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝a ＋2a ＋3a ＝6a ＝6×115＝25.随机变量的可能取值及试验结果[1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？ [提示] X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．[思路探究] 分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．本节课重点是随机变量的概念及随机变量的分布列及其性质，以及两点分布，难点是随机变量的取值及概率．2．判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足以下三个条件：(1)试验在相同条件下是否可以重复；(2)试验的所有可能结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．3．本节课的易错点：在利用分布列的性质解题时要注意：①X＝xi的各个取值所表示的事件是互斥的；②不仅要注意i＝1np i＝1，而且要注意0≤p i≤1，i＝1,2，…，n.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在概率分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )(3)概率分布列中每个随机变量的取值对应的概率都相等．( )(4)在概率分布列中，所有概率之和为1.( )[解析] (1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)×因为在概率分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]X围内．(3)×因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．(4)√由分布列的性质可知，该说法正确．[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√2．下列叙述中，是随机变量的为( )A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D ．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性 C [根据随机变量的含义可知，选C.] 3．随机变量η的分布列如下：则x 0 0.55 [由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.] 4．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X 为此时已摸球的次数，求随机变量X 的概率分布列．[解] 随机变量X 可取的值为2,3,4， P (X ＝2)＝C 12C 13C 12C 15C 14＝35；P (X ＝3)＝A 22C 13＋A 23C 12C 15C 14C 13＝310；P (X ＝4)＝A 33C 12C 15C 14C 13C 12＝110；所以随机变量X 的概率分布列为：。

《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布知识点

第二章随机变量及其分布2.1随机变量为全面研究随机试验的结果，皆是随机现象的统计规律性，需要将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.2.1.1随机变量的定义定义一：设Ω为随机试验E 的样本空间，若对Ω中的每一个样本点ω都有一个确定的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX X =为定义在Ω上的随机变量.随机变量通常用大写字母X、Y、Z 或希腊字母ηξ，等表示，而表示随机变量所取的值时，一般用小写字母x,y,z 等表示.2.1.2引入随机变量的意义随机变量因其取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类.非离散型随机变量最重要的是连续型随机变量.2.1.3随机变量的分布函数定义二：设X 是一个随机变量，称+∞<<-∞≤=x x X P x F },{)(为X 的分布函数.对任意实数)(,2121x x x x <，随机点落在区间（21,x x ]内的概率为：)()(}{}{)(121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=<<分布函数的性质：(1)1)(0≤≤x F (2)非减(3),0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ,1)(lim )(==+∞+∞→x F F x 事实上，由事件+∞≤-∞≤x x 和分别是不可能事件和必然事件(4)右连续)()(lim 00x F x F x x =+→2.2离散型随机变量及其概率分布2.2.1离散型随机扮靓及其概率分布定义三：设X 是一个随机变量，如果他的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称X 是离散型随机变量.设随机变量X 的全部可能取值为，，，，，n i x i ...21=X 取各个可能取值的概率n i x p x X P i i ，，，，...21)()(===，则称为随机变量X 的分布律，离散型随机变量X 的分布律也可以表示为：X X1X2...Xn ...P(X)P(x1)P(x2)...P(xn)...离散型随机变量X 的分布律满足：(1)),...(,...,2,1,0)(非负性n i x p i =≥(2))(1)(1规范性=∑+∞=i i x p 易得X 的分布函数为：)(}{}{)(∑∑≤≤===≤=xx i xx i i i x p x X P x X P x F 即，当i x x <时，0)(=x F ；当1x x <时，0)(=x F ；当21x x x <<时，)()(1x p x F =；当32x x x <<时，)()()(21x p x p x F +=；......当n n x x x <<-1时，)(.....)()()(21n x p x p x p x F +++=；......2.2.2常用离散型随机变量的分布1.两点分布（“0-1”分布）定义四：若一个随机变量X 只有两个可能取值21x x ，，且其分布为：10,1)(,)(21<<-====p p x X P p x X P 则称X 服从21x x ，处参数为p 的两点分布.2.二项分布若随机变量X 的全部可能取值为0，1，2，...，n，且其分布律为，，，，，n k q p C p k X P k n k k n ...,210,)(===-其中，0<p<1,q+p=1,则称为X 服从参数为n，p 的二项分布，或称X 服从参数为n，p 的伯努利分布，记为)(~p n B X ，3.泊松分布定义五：若一个随机变量X 的分布律为：...210,0,!)(，，，=>==-k k e k X P kλλλ则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作)(~λP X .易见：(1)...210,0)(，，，=≥=k k X P (2)1!!}{00=====-+∞=-+∞=-+∞=∑∑∑λλλλλλe e k e k ek X P k k k k k 4.二项分布的泊松近似引言：对于二项分布B(n,p)，当实验次数n 很大时，计算其概率很麻烦.例如:10001,5000(~B X 定理1：（泊松定理）在n 次伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （注意这与实验的次数有关），如果∞→n 时，λ→n np （λ》0为常数），则对于任意给定的k,有!)1(lim k ep p C kkn kk nn λλ--∞→=-(np =λ)2.3连续型随机变量及其概率密度2.3.1连续型随机变量及其概率密度定义六：设)(x F 为随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有⎰∞-=x dt t f x F )()(，则称X 为连续型随机变量，称)(x f 为X 的概率密度函数或分布密度函数，简称概率密度.概率密度具有下列性质：(1)0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 连续型随机变量的性质：(1)连续型随机变量X ，若已知其密度函数)(x f ，则根据定义，可求其分布函数)(x F ，同时，还可求得X 的取值落在任意区间(a,b]上的概率为⎰=-=≤<ba dxx f a F b F b X a P )()()(}{(2)连续型随机变量X 取任意指定值)(R a a ∈的概率为零，因为⎰∆-→∆→∆=<<∆-==axa x x dxx f a X x a P a X P )(lim }{lim }{00故对连续型随机变量X ，则有⎰=-=<<=≤≤ba dxx f a F b F b X a P b X a P )()()(}{}{(3)若)(x f 在点x 处连续，则)()('x f x F =2.3.2常用连续型随机变量的分布1.均匀分布定义七：若连续型随机变量X 的概率密度=)(x f 其他bx a ab <<⎪⎩⎪⎨⎧-,,01则称X 在区间（a,b）上服从均匀分布，记作),(~b a U X 易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 求得其分布函数：.;;,,,10)(b x b x a a x a b ax x F ≥<<≤⎪⎩⎪⎨⎧--=2.指数分布定义八：若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ其中，0>λ是常数，则称X 服从参数λ的指数分布，简记为)(~λe X .易见：(1)；0)(≥x f (2)1)(=⎰+∞∞-dx x f 易求出其分布函数：⎩⎨⎧>-=-其他。

《概率论与数理统计》第2章随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布
注意点 (2)
第11页
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
23 April 2012
第二章随机变量及其分布
例2.2.1 已知 X 的分布列如下：
0,
x 0, x 0.
求 (1) 常数 k. (2) F(x).
解：
(1) k =3.
(2)
1 e3x , x 0,
F(x) 0,
x 0.
23 April 2012
第20页
第二章随机变量及其分布
第21页
例2.2.4
1 x,
设
X
~
p(
x)
1
x,
0,
1 x 0 0 x1
其它
第二章随机变量及其分布
第8页
2.2.1 离散随机变量的分布列
设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：
X x1 x2 …… xn …… P p1 p2 …… pn ……
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第二章随机变量及其分布 y
第35页
O
μ
x
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第二章随机变量及其分布
第36页
正态分布的性质
(1) p(x) 关于是对称的. 在点 p(x) 取得最大值.
p(x)
σ 小
(2) 若固定, 改变,
p(x)左右移动,

2-1随机变量及其分布

第二章
随机变量的分布与数字特征
第2.1节随机变量及其分布
一、随机变量的概念
二、离散型随机变量的分布
三、分布函数的概念
四、连续型随机变量的分布
为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.
例抛掷一枚硬币可能出现
1, =正面
的两个结果 , 可以用一个变量来描述.
空
P(a X b) F(b 0) F(a 0)
因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.
2、分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2, F(x1) F(x2)
练习：P68 7
0 F(x) 1 且
F() lim F(x) lim P(X x) 1,
F ( x) P{X x} pk P( X xk ).
xk x
xk x
分布律
pk P{ X xk }
分布函数 F ( x) P{X x} pk
xk x
例2.7 设随机变量X的分布函数为
0,
9 ,
F(x)
19 15
,
19
1,
x1 1 x2
2 x3 x3
F(x)
2、r.v. 分类
离散型(D.r.v.) 非离散型(N.D.r.v.)
其中一种重要的类型为
连续性 r.v.(C.r.v.)பைடு நூலகம்
引入 r.v.
重要意义
◇ 随机现象可被 r.v.描述 ◇ 借助微积分方法
讨论解决问题
二、离散型r.v.的分布
1、概率分布 ------完整描述D.r.v.的统计规律性定义设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 xk (k 1, 2,L ), X 取各个可能值的概率 , 即事件 { X xk }的概率为

概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件

表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解：因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32

概率论与数理统计2.1随机变量的分布与数字特征

对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ，有：
P{x1 X x2} P{X x2} P{ X x1}
X
F ( x2 ) F ( x1 ).
o
x1
x2
x
随机变量的分布函数定义了事件域σ(X)上的一个概
率测度。分布函数也为随机变量的统计规律性提供了
直观的描述。
例8
等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点，记X为落点的位置(数轴上的坐标)，求随机变量X的分布函数
例2
掷一颗骰子，用 X 表示出现的点数。则 X 就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6。则
X 4表示掷出的点数不超过 4 这一随机事件；
X 取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件．
在同一个样本空间上可以定义不同的随机变
例量如．我们可以定义：
Y
1 0
出现偶数点出现奇数点
Z
1 0
点数为 6 点数不为 6
例4
观察某生物的寿命（单位：小时），用Z表示该生
物的寿命。则 Z 就是一个随机变量。它的取值为所有非负实数。
Z 1500
表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事
件．
Z 3000
表示该生物的寿命大于 3000小时这一随机事件．
注意 Z 的取值是无界的区间个！
二、离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的定义如果随机变量 X 的全部不同取值是有限个或可列无穷多个，则称 X 为离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布
第 2 章随机变量的分布与数字特征
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布剖析PPT课件

抛硬币实验
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个变量。
机
随机变量的定义
设随机实验 E的样本空间，若对每一个样本点
，都有唯一的实数 X()与之对应 ,则称 X()为随机变量，简记为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由于装、卸工作等),时常需要停车.设各台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的概率是1/3,求车间中恰有一台车床处于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为

概率论与数理统计--第二章随机变量及其分布(2.1-2.3)

中恰有 k只 (k 0 ,1 , ,20 )一级品的概率是多少 ?
分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
把检查一只元件是否为一级品看成是一次
验 , 检查 20 只元件相当于做 20 重伯努利试验 .
随机变量离散型非离散型其它
连续型离散型
随机变量所取的可能值是有限多个或
无限可列个, 叫做离散型随机变量.
小结
1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象，就需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时，就建立起了随机变量的概念．因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数．
(3)随机变量与随机事件的关系
随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.
实例3
结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个
e ( 反面朝上 ), 1
e ( 正面朝上 ), 2
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
故所求概率为 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
1000 999 1 0 . 9999 0 . 0001 0 . 9999 1 np ( n ) 二项分布泊松分布
1000
3. 泊松分布
解以X 记20只元件中一级品的只数 ,
因此所求概率为则 X ~ b ( 20 , 0 . 2 ),
20 k 20 k P { X k } ( 0 . 2 ) ( 0 . 8 ) ,k 0 , 1 , , 20 . k

概率论与数理统计-21随机变量及其分布资料

只有三个，即ξ＝0，ξ＝3及ξ＝6，
所以 P(1 6) P( 0) P( 3) P( 6)
1 1 1 13 8 6 4 24
（2）注意到ξ的可能取值没有ξ＝１，说明事件
(ξ=1)是不可能事件，所以
P(ξ=1) =０
24
例: 设随机变量 X 具有分布律
P(X k) ak, k 1,2,3,4,5
(n 1) p 是整数时，在k (n 1) p 及k (n 1) p－1处
两项概率均为最大值. 当 (n 1) p不是整数时，在 k [(n 1) p] 处达到最大值.
显然
P( X k) qk1 p
k 1
k 1
p qk1 k 1
p 1 1 1 q
23
例已知离散型随机变量的分布列为
ξ -4 0 3 6 7 P 1/8 1/8 1/6 1/4 1/3
求（1）Ｐ(-1<ξ≤6)；（2）Ｐ(ξ=1) 解（1）注意到在-1<ξ≤6中，离散型随机变量ξ的可能取值
12
用随机变量表示事件
若X是实验E的一个随机变量，那么 {x=1}, {X<a}, {a≤X<b} ,{X=2k,k∈N}及 {X∈[a,b]}
等都表示E中的事件；反之，E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 “出现偶数点”可表示为：｛X=2} {X=4} {X=6} “出现的点数小于４”可表示为：｛X< 4｝或｛X3｝
Pn (k) P(X k) Cnk pk (1 p)nk , (k 0,1,, n)
则称X服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
显然0–1 分布是 n = 1 的二项分布

概论统计2-1讲解

P{X =k}≥0,
P{X k} 1
k
得：p p2 pk 1, 即： p 1, 整理得：p 1 p,
1 p 解得：p 1 .
2
例用随机变量X来表示掷一颗骰子可能出现的点数，求X的概率分布. 解 X的可能取值为：1，2，3，4，5，6.
X的概率分布表为：
X123 456
p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
1
31
1 (x3 3
ln
x)
|12
1 3
2(ln x) x3dx
1
8 ln 2 1 2 x2dx
3
31
8 3
ln 2
1 9
x3
|12
8 3
ln 2
7 9
对分段函数求积分，要用“区间可加性”对积分进行拆分后，再进行积分计算。
x 0 x 1
f
(
x)
1
1 x2
0 其它
1.5
1
1.5
f ( x)dx f (x)dx f (x)dx
2)概率分布表：
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
3. 离散型随机变量X的概率分布的两条性质的应用.
4. 离散型随机变量X落在某个区间内概率的求法:
P{a X b} pk k:a k b
5. 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布, 也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说
0
3
2
4
1 2
kx2 |03 (2x 得k 1 .
1 4
x2 ) |43
9 2