第十一章无穷级数第13节

n 1

若 u n 发散，则其部分和 S n 无界，从而 vn的部
n 1 n 1


分和Gn 也无界，故级数 vn1发敛.
n 1

x 例11. 判断级数 2 sin n 的敛散性. (0<x<3) 3 n 1
n

解：由于 0 2 n sin
n
x 2 n x 2 n x, n 3 3 3
n 1 2 n ;
n 1
n 1 n 1 ( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) ; n 1

cosn cos1 cos2 cosn .
n 1

例2. 下列各式均为函数项级数
n 1 n 1 2 n 1 n 1 ( 1 ) x 1 x x ( 1 ) x , x R. n 1
n 1 n 1


1 1 例7. 因为等比级数 n 与 n 收敛，所以级数 n 1 2 n 1 3

1 1 n 也收敛. n 3 n 1 2

例8. 问题(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和 是收敛的还是发散的？
答：是发散的. 问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发 散的？ 答：不一定.
n 1 n 1


证 记 S n u k , Gn v k ,
k 1
k 1
n
n
0 un vn (n=1, 2, …)
0 Sn Gn
若 vn收敛，则其部分和 Gn 有界，从而 u n的部
n 1 n 1


分和S n 也有界，故级数 u n1收敛.
2
1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p1 p1 p 2 9 15 8 8 8 8 8
1 1 n (n=1, 2, …), 解：该级数为正项级数，又有 n 2 1 2

故 当n1时，有
n 1 1 1 n n 2 2 1 1 1 Sn k k 1 n 1 1 2 k 1 2 1 k 1 2 1 2
n 1

n
发散.
n 1 ar 例3. 讨论等比级数 的敛散性. n 1

解：等比级数的部分和为：
S n ar k 1
k 1 n
a ar n1 r a(1 r n ) . 1 r 1 r
n
a (1 r ) a , 当公比 | r |<1时， lim S n lim n n 1 r 1 r
答：原级数也发散.
§11-2、常数项级数的审敛法
1. 正项级数的定义
定义：若级数 u n 满足u n 0 (n 1, 2, ), 则称
n 1
之为正项级数. 2. 正项级数收敛的充要条件 定理：正项级数 u n收敛 它的部分和数列
n 1
{Sn}有界.
1 例10. 级数 n 是否收敛？ 2 1 n 1
n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S S n
rn 0. 显然 lim n
m n 1
u

m
二、级数收敛的必要条件
u n 0. 定理：若级数 u n 收敛，则必有 lim n
n 1
证 设 u n S , 则 lim S n S
n 1 n
a 即S . 1 r
a (1 r n ) S n lim . 当公比 | r |>1时，lim n n 1 r
S n lim na 当公比 r =1时， lim n n
a, n为奇数 当公比 r = 1时，Sn= 0, n为偶数
S n不存在. , 故 lim n

1 1 1 1 1 而 p p p p 1 p 3 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p p 1 p 1 p 4 2 5 7 4 4 4 4 4
(u1 u 2 u m ) u m1 u m 2 u m k (u1 u 2 u m )
S m k S m
由于Sm当m固定时为一常数，所以
lim S m k S m lim S k
k
k
. 故 级数 u n 与级数 u k 有相同的敛散性
n 1
S n u k u1 u 2 u n ,
k 1
n
称为级数的部分和.
S n S 存在，则称级数 u n 收敛， 若 lim n
n 1
u n S. S称为级数的和：
n 1

S n 不存在(包括为)，则称级数 若 lim n
u
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
1 例4. 讨论级数 的敛散性. n 1 (2n 1)(2n 1)
1 1 1 1 解： (2n 1)(2n 1) 2 2 n 1 2n 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n 1 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n 1 2n 1
S8 S 23
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2
3 1 2
由数学归纳法，得
S 2k k 1 ， 2
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，
所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对
收敛级数来说，它的和将改变.)
证 设级数 u n 的部分和为Sn,去掉级数的前
n 1

面m项后得到的级数 u k 的部分和为S 'k:
k m 1

' Sk um1 um2 umk
1 即其部分和数列{Sn}有界，从而，级数 n 收敛. n 1 2 1
3. 正项级数敛散性的比较判别法 设有正项级数 u n 和 vn , 且0 un vn (n=1, 2, …)
n 1 n 1
若 vn 收敛，则 un 收敛.
n 1 n 1


若 un 发散，则 vn 发散.
cu
n 1

n
c u n 同时收敛或同时发散.
n 1

2. 性质2
若

u 与 v 收敛，其和分别为S1和S2，则级
n 1 n n 1 n


数 (u n vn )也收敛,
n 1

且
(u
n 1
n
vn ) u n vn S1 S 2 .
数此时是发散的.
当p>1, 按1, 2, 22, 23, …, 2n, …项对P一级数加 括号，不影响其敛散性：
1 1 1 1 1 1 1 p p p p p p 3 4 5 7 2 n 1 n 1 1 1 8 p 9 p 15 p
1 1 1 2 2n 1
1 1 1 而 lim S n lim 1 n n 2 2n 1 2

1 1 ，即该级数收敛. 故 2 n 1 ( 2n 1)(2n 1)
3. 收敛级数的余项 收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn
n 2 n a x a a x a x a x , | x | 1. n 0 1 2 n n 0

sin nx sin x sin 2 x sin nx ,
n 1

x R.
2. 级数的敛散性定义 无穷级数 u n 的前n项之和：
lim( S1 n S 2 n ) lim S1 n lim S 2 n S1 S 2 故 lim S n
n n n n
即 级数 (u n vn ) 收敛，且
n 1

(u
n 1

n
vn ) u n vn S1 S 2 .

lim u n lim ( S n S n 1 )
n n
lim S n lim S n 1
n n
S S 0
例5. 判别 (1)
n 1

n 1
n 的敛散性. n 1
(1) n 1 n 解：由于 lim | u n | lim 1, n n n 1
故 lim u n 0, 该级数发散. n
1 例6. 证明调和级数 是发散的. n 1 n
证 调和级数的部分和有：

S1 1，
S 2 S 21 1 1 ， 2
S 4 S 22
2 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 3 4 2 2
n
n
2 2 又 x x ， 由等比级数的敛散性， n 1 3 n 1 3
故 原级数收敛.
1 例12. 讨论P一级数 p n 1 n

(p>0)的敛散性.

1 解：当p＝1时，P一级数为调和级数 ， n 1 n
它是发散的.
1 1 当0<p<1时，有0 p , 由比较判别法，P一级 n n
n 1


k m 1
4. 性质4
对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然
收敛，且其和不变.
例9. 考虑一下几个问题：
(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？
答：不一定.
(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？
答：不一定发散.
(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也 发散？
若级数
u
n 1

n
的每一个项un均为常数，则称该
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x) 为函数项
n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ； n 2 4 2 n 1 2

n 1 n 1
证
(u
n 1

n
v n ) 的部分和为：
(u k vk ) (u1 v1 ) (u 2 v2 ) (u n vn ) Sn
k 1
n
(u1 u2 un ) (v1 v2 vn ) S1n S 2 n
n 1 n 1
证
u
n 1 n 1

n
的部分和为 S n u k，
k 1
n
n
n
cu
故
的部分和为 S n cuk c u k cS n ,
k 1 k 1
n
lim cS n c lim S n lim S n
n n n
从而
k=0, 1, 2,
而
k
lim S 2k
k lim 1 k 2
故 lim S n 不存在，即调和级数发散. n
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三、无穷级数的基本性质
1. 性质1 若c0为常数，则

n 1
un 与 cu n 有相同的敛散性，
n 1


且 cun c u n .