特殊角的三角函数值讲义
初中数学《特殊角的三角函数值》试讲逐字稿(附教案)
《特殊角的三角函数值》试讲逐字稿（附教案）
简案
一、教学目标
【知识与技能目标】
学生能够掌握锐角三角形函数值及其计算方法，并能熟练运用。
【过程与方法目标】
通过自主探究、合作交流的过程，培养数感，提升推理运算能力。
【情感态度与价值观目标】
体会数学的乐趣，培养学习数学的趣味。
二、教学重难点
【教学重点】
学生能够掌握锐角三角形函数值及其计算方法，并能熟练运用。
【教学难点】
运用锐角三角函数进行计算。
三、教学方法
讲授法，讨论法，练习法
四、教学过程
（一）复习导入
引导回忆锐角三角函数的定义，以及锐角三角函数它们的正弦余弦和正切的求法，学生回答，引入新课。
（二）新课讲授
1.动手操作，解决问题
拿出事先发给学生的三角尺，学生测量出三角尺的角度，确定三个特殊角30°、45°、60°
2.小组合作，探究新知
教师组织学生小组讨论，推导出30度，45度和60 度角的三角函数值，并且填写任务单，提示学生设最短的边为1。
小组汇报，详细讲解其中一个角
预设一：学生设最短的边为1
预设二：学生设最短边位a
最后总结角度规律，从左到右加15°；45 度角的三角函数；30°、60°三角函数值之间的关系。
3.灵活运用，例题讲解
出示例题，让学生计算，多媒体出示答案，同桌之间互相纠正。
（三）巩固总结
求适合下列条件的锐角的度数
（1）tan B=√3
3
（2）2sin a-√2= 0
（四）课堂小结
教师引导学生对本节课所学知识进行小结，学生畅谈本节课的收获，教师给予点评和补充。
（五）布置作业
作业1：完成剩余课后练习题；
作业2：学有余力的同学预习下节课的知识
初中数学同步讲义9年级第83讲特殊角的三角函数值
第83讲特殊角的三角函数值
教师版
一、知识讲解
特殊角是指那些角度大小为特定值的角，其三角函数值是可以直接得
出来的，不需要借助计算器或查表。本讲我们将学习特殊角的三角函数值。
1、30度特殊角
我们先来讨论30度特殊角，记作30°。
在直角三角形中，当一个角的度数为30°时，那么这个角的对边与
斜边的比值等于1/2，即sin30°=1/2
同理，通过对边与斜边的比值，我们可以得到cos30°=√3/2，
tan30°=1/√3
2、45度特殊角
接下来我们讨论45度特殊角，记作45°。
在直角三角形中，当一个角的度数为45°时，那么这个角的两条直
角边的长度相等，即sin45°=1/√2
同理，通过直角边与斜边的比值，我们可以得到cos45°=1/√2，
tan45°=1
3、60度特殊角
再来讨论60度特殊角，记作60°。
在直角三角形中，当一个角的度数为60°时，那么这个角的对边与
斜边的比值等于√3/2，即sin60°=√3/2
同理，通过对边与斜边的比值，我们可以得到cos60°=1/2，
tan60°=√3
4、特殊角的余函数与余切函数
我们知道，余函数是指三角函数sin、cos、tan的倒数。所以，特殊
角的余函数就是特殊角sin、cos、tan的倒数。
例如，sin30°=1/2，那么sin的倒数就是2/1，即csc30°=2；
cos30°=√3/2，那么cos的倒数就是2/√3，即sec30°=2/√3；
tan30°=1/√3，那么tan的倒数就是√3/1，即cot30°=√3
同理，我们可以得到其他特殊角的余函数与余切函数。
锐角三角函数的计算-特殊角的三角函数值(知识讲解)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练
专题1.4 锐角三角函数的计算——特殊角的三角函数值
（知识讲解）
【学习目标】
1.会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；
2.会进行有关三角函数的计算应用
【要点梳理】
特殊角的三角函数值
锐角
30°
45° 1
60°
特别说明：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，
则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
、、的值依次为
1
2
、
2
2
、
3
2
，而、、
的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
【典型例题】
类型一、特殊角三角函数计算
1．计算：(1)sin230°+sin60°-sin245°+cos230°；(2)tan30tan45 tan60?tan45
︒+︒
︒︒
.
【答案】(1)
3
2
+1
2
；(2)
13
3
+.
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
特殊值：sin 30° =
12；sin 60° = 32；sin 45° = 22；cos 30° = 32；tan 60° = 3；
tan 45° = 1
解：(1)原式=1342+-12+34
=32 + 12； 31
3
3?1
+（2）原式= =133
+. 【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
人教初中数学九下《第28章 特殊角的三角函数值》教案 (公开课获奖)
特殊角的三角函数值
教学
1.理解特殊角的三角函数值的求法
目标：
重点： 2.掌握特殊角的三角函数值
难点：特殊角的三角函数值的有关计算
第3课时特殊角的三角函数值
1.理解特殊角的三角函数值的求法
(1)借助含°和°的两个特殊直角三角形.
(2)设出直角三角形中边的长,利用特殊直角三角形的性质和求出其余两边的长.
(3)根据锐角三角函数的定义,分别求出30°,45°,60°的三角函数值.
2.掌握特殊角的三角函数值
锐角α
30°45°60°三角函数
sin α
cos α
tan α 1
重点一:特殊角的三角函数值的有关计算
对于三个特殊角的三角函数值,可按增减规律记忆法(α=30°,45°,60°):
(1)sin α的值随α的增大而增大,依次为,,;
(2)cos α的值随α的增大而减小,依次是,,;
(3)tan α的值随α的增大而增大,依次是,1,.
1.(2013包头)3tan 30°的值等于( )
(A)(B)3(C)(D)
2. (2013雅安)如图,AB是☉O的直径,C、D是☉O上的点,∠CDB=30°,过点C
作☉O的切线交AB的延长线于E,则sin E的值为( )
(A)(B)(C)(D)
3.计算:tan 45°+cos 45°= .
4.(1)计算:-1-3tan 45°-(π+2012)0; (2)计算:(-1)2013--3+|-cos 30°|-+|3-8sin 60°|.
重点二:用三角函数值求锐角的度数
由锐角和三角函数值之间的对应关系可得,给定一个三角函数值,则必有一个锐角与之对应.由三角函数值求特殊角,三角函数值的给出方式比较灵活,有直接给出的,也有利用方程给出的,还有结合图形,需要计算后才能得到的.
九年级数学《特殊角的三角函数值》教案
教案：特殊角的三角函数值
一、教学目标：
1.理解特殊角的概念和特征。
2.掌握特殊角的三角函数值。
3.运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：
1.特殊角的概念。
2.特殊角的特征。
3.特殊角的三角函数值。
4.运用特殊角的三角函数值解决实际问题。
三、教学过程：
Step 1 导入新课
1.让学生回忆和复习正弦、余弦、正切的定义和性质。
2.引入特殊角的概念。解释特殊角是指在单位圆上的角度是特殊的角度。
Step 2 学习特殊角的特征
1.讲解特殊角的三种特殊情况：
a)0度。
b)90度。
c)180度。
2.引导学生思考其他特殊角的特征和三种特殊角的函数值。
3.提示学生特殊角的函数值与直角三角形的边长有关。Step 3 推导特殊角的三角函数值
1.推导0度特殊角的三角函数值。
a)角度为0度时，对应的三角函数值：
- sin0° = 0
- cos0° = 1
- tan0° = 0
b)解释特殊角的三角函数值与单位圆上的点位置的关系。
2.推导90度特殊角的三角函数值。
a)角度为90度时，对应的三角函数值：
- sin90° = 1
- cos90° = 0
- tan90° = 无定义（不存在）
b)解释特殊角的三角函数值与单位圆上的点位置的关系。
3.推导180度特殊角的三角函数值。
a)角度为180度时，对应的三角函数值：
- sin180° = 0
- cos180° = -1
- tan180° = 0
b)解释特殊角的三角函数值与单位圆上的点位置的关系。
Step 4 运用特殊角的三角函数值解决实际问题
特殊角的三角函数值讲义
第8讲特殊角的三角函数值
第一节知识要点
特殊角的三角函数值
从两个特殊直角三角形的边的关系，推导出特殊角的三角函数值
第二节经典例题讲解
【例1】已知：，求锐角
【例2】计算
【例3】计算
【例4】若tan(α＋20°＝1，你猜想锐角α的度数应是(
A．40° B．30° C．20° D．10°
【例5】如果在△ABC中，sinA＝cosB＝，那么(
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
【例6】若，则是（）
A. 直角三角形
B.等边三角形
C. 含有60°的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
第三节家庭作业1.计算．
(1 (2
2.若a＝3－tan60°，求(1－÷的值。
3.计算：
(1×sin45°－2 0150＋2－1.
(2|－|＋sin45°＋tan60°－(－－1－＋(π－30.
特殊角的三角函数值 课件
对 sin A 斜
邻 cos A 斜
对 t an A 邻
a tan A b
b tan B a
a sin A c
b sin B c
b cos A c
a cos B c
A b C a
c
2 3 sin 45 sin 60 2cos 45. 2
4
2 sin 2 30 cos2 60 2 cos2 45. 2
2.计算：
24 2(2 cos 45 sin 60) 4 2 3 2 6 【解析】 原式 2(2 ) 2 2 4
3
2
（3） 1 3 2 2 （4）
2 1 2 3 1 8 4 8 4
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 30°,高为7m,扶梯的长度是多少?
B 【解析】如图所示,BC=7，
∠A=30°
sinA=
BC 7 1 AB AB 2
C
A
∴AB=14
即扶梯长度为14m.
1.计算: (1)sin60°-cos45°; (2)cos60°+tan60°;
300
1 2
2 2
3 2
2 2
3 3
450 600
三角函数特殊角
三角函数特殊角
三角函数是数学中常见的函数类型之一，而在三角函数中，特殊角是指能够通
过明确的数值计算得出精确值的角度。特殊角是三角函数的重要概念之一，在解决各种数学问题中具有重要作用。本文将重点讨论一些常见的三角函数特殊角及其计算方法。
正弦函数和余弦函数
在三角函数中，最常见的两个函数是正弦函数和余弦函数。在单位圆上，我们
定义特殊角为0度、30度、45度、60度和90度时，正弦函数和余弦函数的数
值如下：
•当角度为0度时，正弦函数的值为0，余弦函数的值为1。
•当角度为30度时，正弦函数的值为1/2，余弦函数的值为√3/2。
•当角度为45度时，正弦函数的值为√2/2，余弦函数的值也为√2/2。
•当角度为60度时，正弦函数的值为√3/2，余弦函数的值为1/2。
•当角度为90度时，正弦函数的值为1，余弦函数的值为0。
正切函数
另一个常见的三角函数是正切函数。在特殊角中，我们定义角度为0度、45
度和90度时，正切函数的数值如下：
•当角度为0度时，正切函数的值为0。
•当角度为45度时，正切函数的值为1。
•当角度为90度时，正切函数的值为不存在，因为在这个角度上正切函数的值趋近于无穷大。
应用举例
特殊角在数学问题中有很多应用，例如在三角形的计算中，我们可以通过特殊
角来求解各种未知量。又如在物理学中，特殊角的概念也被广泛运用，例如在力学问题中，根据特殊角可以方便地计算各种受力方向与大小之间的关系。
总结
特殊角是三角函数中的重要概念，通过熟练掌握特殊角的数值和计算方法，可
以帮助我们更好地理解和运用三角函数。特殊角的认识不仅在数学问题中有应用，也可以在其他学科领域中发挥重要作用。因此，对于特殊角的理解和掌握具有重要意义。
特殊角的三角函数值——典型例题
特殊角的三角函数值——典型例题在学习三角函数时，我们经常遇到一些特殊角的三角函数值问题。这些特殊角的数值常常用于解题和计算，对于理解三角函数的性质也具有重要意义。本文将围绕典型例题，讨论特殊角的三角函数值及其应用。
一、正弦函数值——典型例题
a）例题1：求正弦函数sin(π/6)的值。
解析：根据特殊角的三角函数值的定义，π/6 是一个特殊角，因为它可以表示为一个等边直角三角形的角度。
根据正弦函数的定义：sin(θ) = 对边 / 斜边，我们可以计算出θ=π/6 的等边直角三角形的对边和斜边分别为 1 和 2，所以sin(π/6) = 1/2。
b）例题2：求正弦函数sin(π/3)的值。
解析：π/3 也是一个特殊角，我们可以将其表示为一个等边直角三角形的角度。
根据正弦函数的定义，sin(θ) = 对边 / 斜边，等边直角三角形的对边和斜边都是√3，所以sin(π/3) = √3/2。
二、余弦函数值——典型例题
a）例题1：求余弦函数cos(π/4)的值。
解析：π/4 是一个常见的特殊角，可以用一个45°角的等边直角三角
形来表示。
根据余弦函数的定义：cos(θ) = 邻边 / 斜边，我们可以计算出θ=π/4
的等边直角三角形的邻边和斜边都是√2，所以cos(π/4) = √2/2。
b）例题2：求余弦函数cos(π/2)的值。
解析：π/2 也是一个特殊角，我们可以将其表示为一个直角三角形
的角度。
根据余弦函数的定义，cos(θ) = 邻边 / 斜边，直角三角形的邻边是 0，斜边是 1，所以cos(π/2) = 0/1 = 0。
九年级数学下册特殊角的三角函数值PPT公开课
B
6
3
A
C
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= 3 OB， 求 a 的度数.
解： 在图中，
tanAO 3OB 3,
OB OB
60.
Aຫໍສະໝຸດ Baidu
O
B
例3 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点， ∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．
解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴BD＝BC.在Rt△ABC中， tan A＝tan 30°＝BACB，即BCB＋C 4＝ 33，解得 BC＝2( 3＋1)．
3(1．) 教经材历P探6索9习30题°第，34题5°；，60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．
3
活动4 例题与练习 例1 教材P66例3. 求下列各式的值：
（ 1）cos260+sin260;
（2）
cos45 sin45
tan45.
解：（ 1 ） cos260+sin260
1 2
2
2．教学反思
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、 怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也 不能实现不了。
②cos 30°＝
，cos 45°＝
，cos 60°＝
；
第②解3c：o课∵s解时∠30B°＝：特＝9殊0c°o角，s的∠3三B0角D°，C函＝＝c数o4s5值24°35，°，＝tan 30，°＝cos 6303°，＝cos 45；°＝ 22，tan 45°＝1.
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第8讲特殊角的三角函数值
第一节知识要点
特殊角的三角函数值
从两个特殊直角三角形的边的关系，推导出特殊角的三角函数值
第二节经典例题讲解
【例1】已知：，求锐角''_--------
［例2】计算J'' "
|3.14 - p +3.14 & (―+lf - 2^45°- I)'1+< - I}™
【例3】计算
【例4】若tan（a+ 20°= 1,你猜想锐角a的度数应是（
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10
【例5】如果在△ ABC中，si nA = cosB=，那么（
A.\ ABC是直角三角形B .△ ABC是等腰三角形
ABC 是等腰直角三角形 D . △ ABC 是锐角三角形 ［例 6】若（^^A-.M 3+|2co S y-l|«U ,则 V 甩迂是（）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.含有60。的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
1•计算.
2 sin JO - sin ' 45 Un 30"
(2
2.若 a = 3-tan60°,求(1 ―十的值。
3.计算:
(1 X sin45 ° — 2 0150 + 2— 1.
(2| — | + sin45 ° + tan60 (1 ( ---- 1 —F ( n — 30.