总结正态性检验的几种方法

总结正态性检验的几种方法
1.1 正态性检验方法
1）偏度系数
样本的偏度系数（记为1g ）的计算公式为
()233133
1(1)(2)(1)(2)n i
i n n g x x n n s n n s μ==-=----∑， 其中s 为标准差，3μ为样本的3阶中心距，即()331
1n i i x x n μ==-∑。

偏度系数是刻画数据的对称性指标，关于均值对称的数据其偏度系数为0，右侧更分散的数据偏度系数为正，左侧更分散的数据偏度系数为负。

（2）峰度系数
样本的峰度系数（记为2g ），计算公式为
()2424
122
44(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)n i i n n n g x x n n n s n n n n n n n n s n n μ=+-=-------+-=------∑，
其中s 为标准差，4μ为样本的3阶中心距，即()441
1n i i x x n μ==-∑。

当数据的总体分布为正态分布时，峰度系数近似为0,；当分布为正态分布的尾部更分散时，峰度系数为正；否则为负。

当峰度系数为正时，两侧极端数据较多，当峰度系数为负时，两侧极端数据较少。

（3）QQ 图
QQ 图可以帮助我们鉴别样本的分布是否近似于某种类型的分布。

现假设总体为正态分布()2
,N μσ，对于样本12,,,n x x x L ，其顺序统计量是(1)(2)(),,,n x x x L 。

设()x Φ为标准正
态分布()0,1N 的分布函数，1
()x -Φ是反函数，对应正态分布的QQ 图是由以下的点 1()0.375,,1,2,,0.25i i x i n n -⎛⎫-⎛⎫Φ= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
L ， 构成的散点图，若样本数据近似为正态分布，在QQ 图上这些点近似地在直线上
y x σμ=+，
附近，此直线的斜率是标准差σ，截距式均值,μ，所以利用正态QQ 图可以做直观的正态性检验。

若正态QQ 图上的点近似地在一条直线上，可以认为样本的数据来自正态分布总
体。

(4) 正态性W 检验
Shapiro-Wilk 检验法是S.S.Shapiro 与M.B.Wilk 提出用顺序统计量W 来检验分布的正态性,对研究的对象总体，先提出假设认为总体服从正态分布，再将样本量为n 的样本按大小顺序排列编秩，然后由确定的显著性水平α，以及根据样本量为n 时所对应的系数i α,根据公式
()
2()121n i i i n i
i a x W x x ==⎛⎫ ⎪⎝
⎭=-∑∑ 计算出检验统计量W 。

最后查特定的正态性W 检验临界值表，比较它们的大小，满足条件则接受假设，认为总体服从正态分布，否则拒绝假设，认为总体不服从正态分布。

1.2 代码实现
本题从从网站/faculty/hadi/RABE5/#Download 下载数据
2.3 结果分析
（1）偏度系数
利用偏度系数对表1中的51个数据进行正态性检验，其算得样本的偏度系数为2.28209，说明职工销售额右侧更加分散。

从而，该样本不是正态分布。

（2）峰度系数
利用峰度系数对表1中的51个数据进行正态性检验，其算得样本的峰度系数为7.906113，说明职工销售额的正态分布的尾部更分散，两侧极端数据较多。

从而，该样本不是正态分布。

（3）QQ图
利用QQ图鉴别样本的分布是否近似于某种类型的分布。

从图1可看出，正态QQ图上的点没在一条直线上，可以认为样本的数据来自不是正态分布总体。

图1 正态性检验QQ图
(4) 正态性W检验
α，利用函数shapiro.test( )算的利用W检验验证分布的正态性，假设显著性水平=0.05
W值为0.79665, P = 6.039e-07，可明显看出P<α，说明该样本总体不服从正态分布。