信号与系统 陆建华 06

②典型非周期信号的付氏变换,注意其集中能量的特点:
E
τ / 2 τ / 2
E
1 ωτ 本身不连续 EτSa 2 ∝ ω d 2 ωτ 不连续 EτSa ∝ 12 dt 2 ω
τ
τ
E
EτSa (ωτ ) d2 不连续 2 dt 2 ωτ 1 π
∝
1
ω3
(ω 很大时)
26 陆建华
清华大学电子工程系
(利用付立叶逆变换)
23 陆建华
§3.6
冲激函数和阶跃函数之付立叶变换
(二) F [δ ′(t )]
F [δ ′(t )] = ∫
∞
∞
δ ′(t )e
jωt
dt = e
jωt
δ (t )
∞ ∞
+ jω ∫
∞
∞
e jωt δ (t )dt = jω
思考题15:
利用分步积分法证明
sgn( t ) = u( t ) u( t )
+1
0
t
1
取双边奇对称指数信号极限 因此,
sgn(t )
| F(ω) |
F (ω ) = lim
2 jω 2 = a →0 a 2 + ω 2 jω
(ω < 0) (ω > 0)
0
ω
F (ω ) =
2
ω
π + 2 (ω ) = π 2
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
(2) 升余弦的宽度 τ 定义在
E 处,而不是在底端,这样以便 2
与矩形比较,二者频谱的第一个零点一改.
(3) 升余弦信号在数字通信中被广泛采用(能量集中), 但形 式略有不同.
H (ω ) 1.0
0.8
举例:实用升余弦滤波器
0.6
0.4
0.2
ω π
2T
=∫
∞
∞
f (t )e jωt dt
∵ ω = nω1
∴ f (t ) =
n = ∞
ω = (nω1 ) = ω1
F (nω1 ) 1
∑
∞
ω1
e
jnω1t
(nω1 ) =
∑ ω
∞
= ∞
1 F (ω )e jωt ω 2π
5 陆建华
1 ω → 0 2π
清华大学电子工程系
∫
∞
∞
F (ω )e jωt dω
11 清华大学电子工程系 陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
f (t )
F (ω)
Eτ
E
Eτ / 2
E/2
0
0
注意:
τ τ 2
0
τ
2
τ
2 t
3π
τ
2π
τ
π τ
0
π τ
2π
3π
ω
τ
τ
(1)随 ω 增长,高次谐波与 ω 成反比(减小),因此升余弦 脉冲能量更集中.一个解释是升余弦函数没有跳变,有跳 变者高频分量多,无跳变者高频分量少,关于这一现象有 如下规律: 12
∞ f (t ) = ∑ F (nω 1 )e jnω1t n = ∞ 由 演变 T1 F (nω ) = 1 2 f (t )e jnω1t dt 1 T T1 ∫ 21
将 F (nω1 ) 除以 ω1 2π
F (nω1 )
ω1
定义为频谱密度(Spectrum Density)
4 清华大学电子工程系 陆建华
7 清华大学电子工程系 陆建华
§3.4 傅立叶变换
④傅立叶变换存在的条件:什么样的 f (t )可以取 F (ω ) ? 充分条件:
∫
∞
∞
f (t ) dt < ∞ 类似于傅立叶级数的
Dirichlet条件,但不是必要条件. 借助奇异函数,周期信号,阶跃信号虽不满足以上条 件,但可以存在傅立叶变换.
E dt + 4
∫τ
τ
e
j
πt τ
e jωt dt (欧拉公式)
= EτSa (ωτ ) +
Eτ π Eτ π Sa ω τ + Sa ω + τ 2 τ 2 τ
=
E sin ωτ ωτ ω 1 π
2
=
Eτ ωτ 1 π
2
Sa (ωτ )
(三) 单边指数信号
f (t )
| F(ω) |
0
t
1/ a
f (t ) = e at u (t )
0
F (ω ) = ∫ e e
at 0
∞
jωt
1 dt = a + jω
(ω) π
2
1
ω
F (ω ) =
1 a +ω
2 2
(ω ) = tg
ω
a
π
0
ω
18
陆建华
2
清华大学电子工程系
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
2 清华大学电子工程系 陆建华
§3.4 傅立叶变换
f (t )
0.5
T1 = 2τ
0
t
0
f (t )
0.5
T1 = 4τ
t
0 0
f (t )
0.5
T1 = 8τ
t
0 0
T1 → ∞
清华大学电子工程系
ω1 → 0
谱线高度→0
3 陆建华
§3.4 傅立叶变换
从数学上看,当 T1 → ∞ 时,谱线高度虽很小,但其相对大 小存在,仍有意义 从物理上看,各频谱分量仍然存在,且相对大小有实际意义
π
(α = 0.5)
T
3π
2T
14
陆建华
清华大学电子工程系
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
升余弦滚降滤波器的频域表示
H 0T π T 1 sin ω T 2α 2 H (ω ) = H 0T , 0,
π (1 + α ) π (1 α ) ≤ω ≤ , T T
§3.4 傅立叶变换
F ( nω 1 )
ω1
1 = 2π
1
∫
T1 2 T 1 2
令 f (t )e jnω1t dt 为一定值, ω = nω1
= lim ∫
T1 2 T T1 →∞ 1 2
lim 记 F (ω ) = ω →0
2πF (nω 1 )
ω1
f (t )e jnω1t dt 为谱密度函数,
8 清华大学电子工程系 陆建华
第三章 傅里叶变换
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
(一) 矩形脉冲信号
F (ω ) = ∫
∞ ∞
f ( t )e
jω t
dt = ∫ 2τ Ee jωt dt = Eτ
2
τ
2 = Eτ Sa ωτ ωτ 2 2 F(ω)
sin
ωτ
f (t)
注意:δ (ω ) 的出现是因为u(t)中含有直流分量. 由于时间关系,§3.6不进一步细讲,建议课后自己阅读, 希望也能掌握书中提到的方法.
25 清华大学电子工程系 陆建华
§3.6
冲激函数和阶跃函数之付立叶变换
小结: ①
F
变换定义
F (ω ) = ∞ f (t )e jωt dt ∫∞ 1 ∞ f (t ) = F (ω )e jωt dω 2π ∫∞
F (ω ) = ∫
=∫
∞
∞
f (t )e jωt dt
π t jω t E 1 + cos e dt 2 τ
E
τ
E/2
τ
0
τ τ 2
0
τ
2
τ
10
2 t
清华大学电子工程系
陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
E = 2
∫τ
τ
e
jω t
E dt + 4
∫τ
τ
e
j
πt τ
e
jω t
0≤ ω ≤
π (1 α )
ω >
T π (1 + α ) T
15 清华大学电子工程系 陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
升余弦滚降滤波器的时域表示
h( t ) T 1.0
H0 h(t ) = 2
sin
πt
T T πt 4α 2 t 2 1 T T2
cos
απ t
-3
-2
-1
0
1
22 清华大学电子工程系 陆建华
第三章 傅里叶变换
§3.6
(一)
冲激函数和阶跃函数之付立叶变换
F [δ (t )]
F [δ (t )] = ∫
∞ ∞
δ (t )e jωt dt = 1
冲激函数之频谱覆盖所有频段,各种工业中产生的瞬间电 火花,其造成的干扰是全频段的.
F [1] = 2πδ (ω )
(ω)
π
2
π
0
ω
21
陆建华
2
清华大学电子工程系
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
(七) 钟形(高斯)信号 什么信号其频谱仍与原信号形式相同?高斯信号
f (t ) = Ee
t τ
2
F (ω ) = π Eτe
ωτ 2
2
f (t ) ,F (ω )都是钟形(高斯)函数.(频谱图略)
0
∞
=
1 1 2 jω + = 2 a jω a + jω a + ω 2
a 0 a
ω
(ω )
π
2
F (ω ) =
2ω a +ω
2 2
π 2 (ω ) = π 2
ω <0 ω >0
0
ω
π
2
20 陆建华
清华大学电子工程系
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
f (t)
(六) 符号函数
τ
清华大学电子工程系
τ
§3.6
冲激函数和阶跃函数之付立叶变换
(四) 偶对称双边指数信号
f (t )
f (t ) = e a|t|
F (ω ) = ∫
=
0 ∞
e at
e at
e e
at jωt
dt + ∫ e at e jωt dt
0
∞
0
| F (ω ) |
2/a
1/ a
t
1 1 2a + = 2 a jω a + j ω a + ω 2
0
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3
清华大学电子工程系
陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
①函数 f (t )本身有不连续点,幅度增与 ω 成反比 d f (t )有不连续点,幅度谱与ω 2成反比 ② dt2 d 3 ③ 2 f (t ) 有不连续点,幅度谱与 ω 成反比
dt
(1) (3) (2)
13 清华大学电子工程系 陆建华
§3.4 傅立叶变换
因此得到傅立叶变换对:
F (ω ) = F [ f (t )] = ∞ f (t )e jωt dt 正变换 ∫∞ 1 ∞ 1 F (ω )e jωt dω 逆变换 f (t ) = F [F (ω )] = 2π ∫∞
j (ω ) F (ω ) 一般为复函数,可以写作 F (ω ) = F (ω ) e
E
Eτ
2π
2π
τ0 τ
2
2
t
τ
0
τ
ω
9
清华大学电子工程系
陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
给定 f (t ) F (ω )包络确定,若 f (t )是某一周期信号的一个 周期,则其离散谱有相同的包络. (二) 升余弦Raised Cosinoidal Signal E πt f (t ) = 1 + cos [u (t + τ ) u (t τ )] 2 τ f (t )
2
3
t
T
(α = 0.5)
思考题14: 如何据此波形通过时域的办法实现升余弦滤波器?
16 清华大学电子工程系 陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
信号经过升余弦滚降滤波后的时域波形
Amplitude 1
0
t
-1
17 清华大学电子工程系 陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
F (ω ) 为频谱函数的模,代表信号中各频率分量的相对大小;
(ω ) 为 F (ω ) 的相位函数,表示信号中各频率分量之间的
相位关系.
6 清华大学电子工程系 陆建华
§3.4 傅立叶变换
讨论: ① f (t )反映信号的时域特征,F (ω ) 反映信号的频域特征,
F 变换之本质.
②非周期信号同周期信号类似,可以分解为不同的频率分量; 所不同的是,周期信号的频谱为离散线谱,非周期信号的 频谱为连续谱,以密度函数表示. ③ 具有离散频谱的信号,其能量集中在一些谐波分量之中. 具有连续频谱的信号,其能量分布在所有频率之中,每一 频率分量之能量→0.
信号与系统
陆建华
清华大学电子工程系 2004年春季学期
第三章 傅里叶变换
上节课回顾
f (t ) =
傅里叶级数
n = ∞
∑
∞
F (nω 1 )e jnω1t
1 F (nω 1 ) = T1
∫
T1
0
f ( t ) e jn ω 1 t dt
简记 Fn
Eτ nω 1τ Sa 周期矩形: Fn Байду номын сангаас T1 2
F δ ( n ) (t ) = ( jω ) n
[
]
n ≥1
24 陆建华
清华大学电子工程系
§3.6
冲激函数和阶跃函数之付立叶变换
(三) F [u (t )]
u( t ) = 1 1 + sgn( t ) 2 2
1 1 1 F [ u( t )] = F + F sgn( t ) = πδ (ω ) + jω 2 2
f (t )
E
T1
T1 2
τ 0τ
2
2
T1 2
T1
t
2π
0
ω1
2π
4π
ω
τ
τ
τ
清华大学电子工程系
陆建华
第三章 傅里叶变换
§3.4 傅立叶变换 傅立叶级数—周期信号, 傅立叶变换—非周期信号
把非周期信号的情况作为周期信号的一种极限来处理,可 由傅立叶级数推演出傅立叶变换,而进一步借助奇异函数, 可以求得周期信号的傅立叶变换. Recall 上节课周期脉冲的频谱分析
a
ω
19 陆建华
§3.5 典型非周期信号的频谱(傅立叶变换)
f (t )
(五) 奇对称双边指数信号
e at
f (t ) = e u (t ) + e u (t )
at
e at
at
| F (ω ) |
0
t
1/ a
F (ω ) = ∫ (e )e
at ∞
0
jω t
dt + ∫ e at e jωt dt