第十一章单摆

A
o
o’
圆弧摆
②等效重力加速度
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面 内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5o， 然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
2．共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的 频率越接近，其振幅就越大，当二者 相等 时，振幅 达到最大，这就是共振现象．共振曲线如图 7 所示．
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图7
课堂探究·突破考点
第1课时
考点二 考点解读
单摆的回复力与周期
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1．受力特征：重力和细线的拉力 (1)回复力：摆球重力沿切线方向上的分力， mg F＝－ mgsin θ＝－ x＝－ kx，负号表示回复力 F l 与位移 x 的方向相反． (2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的 合力充当向心力，F 向＝ F－ mgcos θ.
第1课时
图5
(3)回复力：小球所受重力沿 切线 方向的分力， mg 即：F＝G2＝Gsin θ＝ l x，F的方向与位移x的方向 相反． (4)周期公式：T＝2π l g.
基础再现·深度思考
第1课时
(5)单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长 l 和重力 加速度 g，与振幅和振子 (小球)质量都没有关系． 注意 单摆振动时，线的张力与重力沿摆线方向的分力 的合力提供单摆做圆周运动的向心力．重力沿速度方 mg 向的分力提供回复力， 最大回复力大小为 A， 在平衡 l 位置时回复力为零，但合外力等于向心力，不等于零．
o
α
L T 2 g sin
在超重或失重时 单摆处于超重状态时，等效g’=g+a，失重时等效 g’=g-a 一单摆，摆长为L，摆球质量为m，悬在升降机顶部，当升 降机以加速度a下降时，求：单摆周期T。 解： 在平衡位置，且相对静止时（相对升降机）， 摆绳拉力 T=mg-ma
a
等效重力加速度g’=T/m=g-a
图4
方向，从 t＝ 0 起，乙第一次到达右方最大位移处时， 甲振动到了什么位置？向什么方向运动？
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第1课时
解析
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(1)由图象可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周 1 期的 0.5 倍，即 T 甲＝ T 乙．又由单摆的周期与摆长的关 2 l 系 T＝2π g可知，l 甲∶l 乙＝1∶4. (2) 由图象可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处 1 1 时，t＝2 s，振动了 周期，甲振动了 周期，位移为 0. 4 2 此时甲向左方运动．
2. 一个单摆从甲地到乙地，发现振动变快了，为了调整到原 来的快慢，下述说法正确的是（ ） A.因为g甲>g乙，故应缩短摆长 B.因为g甲>g乙，故应加长摆长 C.因为g甲<g乙，故应缩短摆长 D.因为g甲<g乙，故应加长摆长
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第1课时
二、单摆 [基础导引 ] 图 4 是两个单摆的振动图象． (1)甲、乙两个摆的摆长之比 是多少？ (2)以向右的方向作为摆球 偏离平衡位置的位移的正
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(3)利用上述所涉及的知识， 请分析某同学所提问题的物 理依据． “某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽可能的 增加铁轨单节长度，或者是铁轨无接头”． 答： ____________________________________________.
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第1课时
E
T=mg+Eq
T Eq g 等效重力加速度 g ' m m
则 T 2
l Eq g m
变形：若把匀强电场变为水平向右呢？
巩固练习：
1. 如图所示，摆长为L的单摆，原来的周期 为T。现在在悬点O的正下方A点固定一颗钉 子，OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动 时以A为悬点作简谐振动，则这个摆完成一 次全振动所需的时间是 。
解析
1 1 (1)由题目中丙图可知， f＝ ＝ Hz＝ 0.25 Hz. T 4
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(2)物体的振动能量最大时，振幅最大，故应发生共振， 所以应有 T＝ T0＝ 4 s. (3)若单节车轨非常长， 或无接头， 则驱动力周期非常大， 从而远离火车的固有周期，使火车的振幅较小，以便来 提高火车的车速．
答案
AB
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第1课时
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考点三
受迫振动和共振的应用
考点解读 1．受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无 关． 2．当驱动力频率等于物体固有频率时，发生共振现象， 振幅最大．
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典例剖析 例3
第1课时
一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子， 如图 13 甲所示，
该装置可用于研究弹簧振子的受迫振动．匀速转动把 手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振 动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把 手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持 把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运 动，振动图线如图乙所示．当把手以某一速度匀速运 动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所 示．若用 T0 表示弹簧振子的固有周期，T 表示驱动力 的周期， Y 表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅， 则：
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
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第1课时
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解析 向左方拉开一小角度可以认为单摆做简谐运动，无钉 T左 T右 l 子时的周期 T1 ＝ 2π g ；有钉子时的周期 T2 ＝ ＋ ＝ 2 2 l 2 1 l 1 l l ·2π g＋ ·2π g＝π g＋π 2g<T1，A 正确．根据机 2 2 械能守恒定律可知摆球在左右两侧上升的高度相同， B 正确．
答案
(1)B、C 球也开始振动，且 C 球振动的振幅比较大
(2)A、B 球开始振动，且 A 球的振幅比较大
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[知识梳理] 1．受迫振动：系统在 周期性
第1课时
作用下的振动．做受迫振
动的物体， 它的周期(或频率)等于 驱动力 的周期(或频 率 )，而与物体的固有周期(或频率) 无 关．
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第1课时
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mv2 注意：①当摆球在最高点时，F 向＝ R ＝0，F＝mgcos θ. mv2 ②当摆球在最低点时，F 向＝ R ，F 向最大，F＝mg v2 ＋m R . l 1 g 2．周期公式：T＝2π g，f＝2π l (1)测重力加速度 g.只要测出单摆的摆长 l，周期 T，就可 2 l 以根据 g＝4π 2，求出当地的重力加速度 g. T (2)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分 摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心． (3)g 为当地重力加速度．
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如图所示，B，C为单摆左右两侧的 最高位置，令∠BOA＝α，∠CAD＝β， B，C两点等高，由几何关系知： l l(1－cos α)＝ (1－cos β)，所以 2 cos β＋1＝2cos α.令β＝2α，则
第1课时
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cos α＝1或0，即α＝0° 或90° .这不符合题意，即β≠2α，D错 l 误．又l BD ＝l· α，lCD ＝ · β，由于β≠2α，所以l BD ≠l CD ， 2 所以C也错误．
答案
(1)1∶4
(2)见解析
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三、受迫振动和共振 [基础导引 ] 如图 6 所示，张紧的水平绳上吊着 A、 B、 C 三个小球． B 靠近 A，但 两者的悬线长度不同； C 远离球 A， 但两者的悬线长度相同． 球有什么表现？
第1课时
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图6
(1)让球 A 在垂直于水平绳的方向摆动，将会看到 B、 C (2)在 C 球摆动起来后，用手使 A、B 球静止，然后松手， 又将看到 A、 B 球有什么表现？
秋千 风铃
摆钟
吊灯
1.什么是单摆？
理想化模型：在一根不能伸长、又没有质量 的线的下端系一质点 。
摆线不可伸长 摆线长远远大于摆球的直径 摆球的质量远远大于摆线的质量
单摆
悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略,线长又比球的直径大 得多,这样的装置叫做单摆.
下列装置能否看作单摆：
二、单摆的回复力
⒈回复力大小： F＝mg sinθ ⒉在偏角很小时： 有F＝－k x（简谐运动的条件）
答案 (1)0.25 (2)、(3)见解析
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第1课时
跟踪训练 3 图 14 所示是一个单摆 做受迫振动时的共振曲线，表示振幅 A 与驱动力的频率 f 的关系，下列说 法正确的是 A．摆长约为 10 cm B．摆长约为 1 m C．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动 D．若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动 ( )
l
3.单摆的周期T （振动周期跟振幅和摆球的质量无关）
荷兰物理学家惠更斯得出:
l 公式：T 2 g
(1)摆长l:悬点到球心的距离
0 (2) 适用条件 : 单摆做简谐运动 .θ<5 注意事项: 4 2l (3) g 2 利用单摆测重力加速度
T
1.对单摆的振动，以下说法中正确的是（ ） A.单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等 B.单摆运动的回复力是摆球所受合力 C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零 D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零
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跟踪训练 2 细长轻绳下端拴一小球 1 构成单摆，在悬挂点正下方 摆长 2 处有一个能挡住摆线的钉子 A， 如图 12 所示．现将单摆向左方 拉开一个小角度然后无初速度
第1课时
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图12
)
释放．对于单摆的运动，下列说法中正确的是( B．摆球在左右两侧上升的最大高度一样 C．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D．摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的 2 倍
2. 如右图所示，悬挂于同一点的两个单摆的摆 长相等，A的质量大于B的质量，O为平衡位置， 分别把它们拉离平衡位置同时释放，若最大的 摆角都小于5°，那么它们将相遇在
Ａ Ｏ 点
Ｂ Ｏ点左侧
Ｃ Ｏ点右侧 Ｄ 无法确定
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[知识梳理] 如图5所示，平衡位置在最低点． (1)定义：在细线的一端拴一个小 球，另一端固定在悬点上，如果线 的 伸长 和 质量 都不计，球的直 径比 摆线 短得多，这样的装置叫 做单摆． (2)视为简谐运动的条件： 摆角小于5° .
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第1课时
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图13
(1)稳定后，物体振动的频率 f＝________Hz. (2)欲使物体的振动能量最大，需满足什么条件？ 答：____________________________________________.
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第1课时
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典例剖析 例2 已知单摆的振动图象如图 11 所示．
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图11 (1)读图可知振幅 A＝______ m，振动频率 f＝______ Hz；
(2)求此单摆的摆长 l； (3)若摆球质量为 0.2 kg，在摆动过程中，摆球受的回复力 的最大值 Fm 是多少？(取 g＝10 m/s2，π2＝10)
L 则 T 2 g a
变形：若升降机以加速度a上升呢？
L T 2 g a
在复合场中 如图有一带电量为q的小球，用长为 L的绝缘细 线悬挂在匀强电场E中，匀强电场方向与重力方向相 同，当小球小角度摆动时，求摆动周期。（小球半径 为r，重力加速度为g） 解： 单摆不摆动时在平衡位置，摆绳拉力
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4.利用单摆模型解决问题
l T 2 g
①等效摆长 双线摆
摆长(或等效摆长) 重力加速度(或等效重力加速度)
摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。
o
L
l sin T 2 g
例题：
如图，o点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道， 圆心位置恰好为o点，在弧形轨道上接近o‘（o点正下 方）处有一小球A，令小球A无初速释放，求小球 运动到o’的时间。
课堂探究·A＝0.1 m，f＝ ＝ 0.25 Hz. T l T2g (2)因 T＝2π ，则 l＝ 2＝4 m. g 4π A 0.1 (3)Fm＝mgsin θ≈mg ＝0.2×10× N＝0.05 N. l 4
答案 (1)0.1 0.25 (2)4 m (3)0.05 N