Du-Y.P.2008 改进Simpson公式及误差分析

a b
[1-2]
⎞ (b − a) 5 b−a⎛ ⎛a +b⎞ ⎜ ⎟ f a f f b + ( ) + 4 ( ) ⎟ ⎜ ⎟ − 2 880 ⋅ 6 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
f
(4)
(ξ ) ， ξ ∈ (a, b) ．令 ξ = a + λ (b − a ) ，求 λ ∈ (0, 1) ，使数值积分公式
( 4)
h7 b−a M6 = M 6h6 96 768 96 768 式（6）说明复化改进 Simpson 公式的收敛阶至少是 6．
例 计算积分 ∫ e − x dx .
2
（6）
1
0
在 MATLAB 环境下，用复化改进 Simpson 公式、复化 Simpson 公式和复化 Cotes 公式分别计算，计算 结果见表 1~表 3．从计算结果可以看出复化改进 Simpson 公式的收敛阶是 6，和复化 Cotes 公式的收敛阶一 样，比复化 Simpson 公式提高了 2 阶．改进 Simpson 公式的收敛速度比 Simpson 公式的收敛速度快得多． 表1
( 4)
⎛a +b⎞ ⎜ ⎟+ ⎝ 2 ⎠
(b − a ) 7 3f 3 ⋅ 2 7 ⋅ 7! (b − a ) 7 3f 3 ⋅ 2 7 ⋅ 7! 7f
(6)
( (
(6)
(ξ1 ) + 3 f (6) (ξ 2 ) − 7 f (6) (ξ 3 ) − 7 f (6) (ξ 4 )) ，故可以得到改进 (ξ1 ) + 3 f (6) (ξ 2 ) −7 f (6) (ξ 3 ) − 7 f (6) (ξ 4 ))
1 ，得到改进的 Simpson 公式 2 ⎞ (b − a ) 5 ⎛a +b⎞ f (a ) + 4 f ⎜ ⎟ + f (b) ⎟ ⎟ − 2 880 f ⎝ 2 ⎠ ⎠
公式的截断误差记为 E S ( f ) ，即
⎛a +b⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ (b − a ) 7 M6． 定理 设 f ( x) 在区间 [a, b] 上具有 6 阶连续导数， M 6 = max f ( 6 ) ( x) ，则 E S ( f ) ≤ a ≤ x ≤b 96 768
28
高 师 理 科 学 刊
第 28 卷
a+b ，由泰勒中值定理知 2 f ′( x 0 ) f ′′( x 0 ) f ′′′( x 0 ) F ( x) = F ( x 0 ) + f ( x 0 )( x − x 0 ) + ( x − x0 ) 4 + ( x − x0 ) 3 + ( x − x0 ) 2 + 4! 3! 2! f ( 4) ( x0 ) f (5) ( x 0 ) f ( 6) (ξ ) ( x − x0 ) 6 + ( x − x0 ) 7 ( x − x0 ) 5 + 6! 7! 5! 其中 ξ 介于 x 和 x 0 之间，故
k
f ( x)dx ≈ S n ( f ) =
⎛ + ⎞ h⎞ h5 f − ⎟ + f ( x k +1 ) ⎟ ⎟ 2⎠ ⎠ 2 880
( 4)
∑ ⎢6 ⎜ ⎜ f (xk ) + 4 f ⎜ xk ⎝
⎣ ⎝
⎡h ⎛
h ⎞⎤ ⎛ ⎜ x k + ⎟⎥ = 2 ⎠⎦ ⎝
( 4)
n −1 n −1 ⎞ h⎛ h⎞ h 5 n −1 ⎛ ⎟ ⎜ ( ) 2 ( ) 4 ( ) f a f x f x f b + + + + − ⎜ ⎟ ∑ k ∑ ⎝ k 2⎠ ⎟ 2 880 ∑ f 6⎜ k =1 k =0 k =0 ⎝ ⎠
h⎞ ⎛ ⎜ xk + ⎟ 2⎠ ⎝
第4期
杜跃鹏，等：改进 Simpson 公式及误差分析
29
( 4)
由定理，可知
∫x
xk +1
k
f ( x)dx −
⎞ h⎛ h⎞ h5 ⎛ ⎜ ⎟ f x f x f x + f ( ) 4 ( ) + + + ⎜ ⎟ k k k +1 ⎟ 6⎜ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 2 880
k +1 k
(ξ 3 ) + 7 f (6) (ξ 4 ) )
(b − a ) 7 3f 3 ⋅ 2 7 ⋅ 7!
(
(6)
(ξ1 ) +3 f (6) (ξ 2 ) +
复化改进 Simpson 公式 S n ( f ) .
∫ a f ( x)dx = k∑ ∫x =0
n −1 k =0
b
n −1
xk +1
第 28 卷 第 4 期 2008 年 7 月
高 师 理 科 学 刊 Journal of Science of Teachers′College and University
Vol. 28 No.4 Jul. 2008
文章编号：1007-9831（2008）04-0027-04
改进 Simpson 公式及误差分析
a
b6 − a6 ， 6
⎞ (b − a ) 5 b−a⎛ ⎛a +b⎞ ⎜ ⎟ f ( a ) + 4 f + f ( b ) ⎜ ⎟ ⎟ − 2 880 f 6 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
( 4)
(a + λ (b − a)) =
5 ⎤ (b − a ) 5 b−a⎡ 5 ⎛a +b⎞ 5 [a + ⎢a + 4⎜ ⎟ + b ⎥ − 5! 6 ⎣ 2 880 ⎝ 2 ⎠ ⎢ ⎥ ⎦
≤
Simpson 公式的截断误差 E S ( f ) =
(6)
， 所 以 | E S ( f ) |≤
(b − a ) 7 (b − a) 7 证毕． ⋅ 20 ⋅ M = M6 ． 6 96 768 3 ⋅ 2 7 ⋅ 7! b−a 将积分区间 [a, b] 划分成 n 等分， 记h = ，x k = a + kh ，k = 0, 1, 2, " , n ． 在第 k 个区间 [ x k , x k +1 ] n x ⎞ h⎛ h⎞ h5 h⎞ ⎛ ⎛ ⎟ ( ) 4 ( ) 上应用改进 Simpson 公式，得 ∫ f ( x)dx ≈ ⎜ f x f x f x f ( 4) ⎜ x k + ⎟ ，故可得 + + + − ⎜ ⎟ k k k +1 ⎟ ⎜ x 6⎝ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 2 880
n 2 4 8 16 32 绝对误差 0.000 000 309 325 989 0.000 000 003 378 911 0.000 000 000 047 956 0.000 000 000 000 731 0.000 000 000 000 011
1 ⎛b−a⎞ ⎛ a+b⎞ ⎛b−a⎞ (6) (6) ⎜ ⎟⋅2⋅⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ f (ξ 3 ) + f (ξ 4 ) 6! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ a+b a+b ⎛a +b⎞ 之间； ξ 4 介于 和 b 之间．由式（4）中解出 f ′′⎜ 其中： ξ 3 介于 a 和 ⎟ ，得 2 2 ⎝ 2 ⎠ 1 f 4!
6
( f (ξ ) + f (ξ ))⎤ ⎥
(6) (6) 3 4
⎦
（5）
将 式 （ 5 ） 代 入 式 （ 3 ） 得
∫ a f ( x ) dx =
b
⎞ (b − a) 5 b−a⎛ ⎛a +b⎞ ⎜ f (a ) + 4 f ⎜ ⎟ + f (b) ⎟ ⎜ ⎟ − 2 880 f 6 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
λ (b − a)] ，从而由式（1）解得 λ =
QS ( f ) =
⎛a +b⎞ （2） ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 容易验证 f ( x) = x 6 时， I ( x 6 ) ≠ Q S ( x 6 ) ，说明改进 Simpson 公式（2）的代数精度是 5．改进 Simpson
( 4)
b−a⎛ ⎜ 6 ⎜ ⎝
h⎞ h7 ⎛ M 6 ，由此 ⎜ xk + ⎟ ≤ 2 ⎠ 96 768 ⎝ h⎞ ⎛ ⎜ xk + ⎟ ≤ 2⎠ ⎝
可得复化改进 Simpson 公式的截断误差
I ( f ) − Sn ( f ) ≤ ∑
∫x k =0
n
n −1
xk +1
k
f ( x ) dx −
⎞ h5 h⎛ h⎞ ⎛ ⎜ ⎟ f x f x f x + + + ( ) 4 ( ) ⎜ ⎟ 1 k k k + ⎟ + 2 880 f 6⎜ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠
E S ( f ) = I ( f ) − Q S ( f ) = ∫ f ( x)dx −
a b ( 4)
⎞ (b − a) 5 b−a⎛ ⎛a +b⎞ ⎜ f (a) + 4 f ⎜ ⎟ + f (b) ⎟ ⎟ + 2 880 f ⎜ 6 ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
{
}
收稿日期：2008-03-01 作者简介：杜跃鹏（1965-） ，男，河南南阳人，副教授，硕士，从事计算数学研究．E-mail：nitduyp@163.com
杜跃鹏 ，肖泽昌
1 2
（1. 南阳理工学院 计算机系，河南 南阳 473004；2. 南阳理工学院 数学系，河南 南阳 473004）
摘要：给出了改进 Simpson 公式的截断误差，分析了复化改进 Simpson 公式的收敛阶．数值算例 验证了理论分析的正确性． 关键词：数值积分；代数精度；截断误差；收敛阶 中图分类号：O241.4 文献标识码：A Simpson 求积公式是有 3 个等距节点的插值型求积公式 ，是计算定积分近似值的有效方法．但是 Simpson 公式代数精度低，为了获得较高精度，需要更细的剖分和更多的求积节点．文献[3]给出了一些数 值求积公式的渐近性质，这些公式包括求积分的矩形法则、梯形法则和抛物线法则，获得了这些法则的改 进公式．文献[4]给出了 Simpson 公式误差的最佳估计．文献[5]利用代数精度的概念，对文献[3]中的左矩形 校正公式和梯形校正公式重新推导，简化了文献[3]的推理过程．文献[3]和文献[5]都未给出改进公式的截断 误差．本文利用文献[5]的思想方法，对文献[3]中改进 Simpson 公式重新推导，利用泰勒中值定理，给出了 改进 Simpson 公式的截断误差，分析了复化改进 Simpson 公式的收敛阶，给出了数值算例． 记 I ( f ) = ∫ f ( x)dx ．文献[2]中得到 Simpson 公式 I ( f ) =
( 4) 4 6
(
)
（4）
4 ⎡ 4 ⎛ a + b ⎞ (b − a ) ⎛ a+b⎞ − ( ) ( ) 2 + − f f a f b f f ′′⎜ ⎜ ⎟ ⎟= 2 ⎢ 192 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ (b − a ) ⎣
(4)
⎛ a + b ⎞ (b − a ) ⎜ ⎟− 6 ⎝ 2 ⎠ 2 ⋅ 6!
∫a
b
f ( x ) dx =
⎞ (b − a ) 5 b−a⎛ ⎛a +b⎞ ⎜ ⎟ f ( a ) 4 f + f ( b ) + ⎟ ⎜ ⎟ − 2 880 f 6 ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
( 4)
(a + λ (b − a))
b
（1）
具有尽可能高的代数精度． 容易验证，当 f ( x) = 1 ， x ， x 2 ， x 3 ， x 4 时，式（1）精确成立，当 f ( x) = x 5 时，有 ∫ x 5 dx =
证明 设 F ( x) = ∫ f (t )dt ，记 x0 =
a x
∫a
b
1 ⎛b−a⎞ ⎛a +b⎞ 1 ⎛a +b⎞ f ( x)dx = F (b) − F (a) = (b − a) f ⎜ ⎟ + f ′′⎜ ⎟⋅2⋅⎜ ⎟ + f 5! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3! ⎝ 2 ⎠ 1 ⎛b−a⎞ ⎜ ⎟ 7! ⎝ 2 ⎠
7
3
( 4)
⎛a +b⎞ ⎛b− a⎞ ⎜ ⎟⋅2⋅⎜ ⎟ + ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
（3）
5
(f
( 6)
(ξ1 ) +
f
(6)
(ξ 2 ))
其中： ξ1 介于
Βιβλιοθήκη Baidua+b a+b 和 b 之间； ξ 2 介于 a 和 之间． 2 2
f ′′( x 0 )
2! ( x − x0 ) 2 +
对 f ( x) 应用泰勒中值定理，有 f ( x) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) +
f ′′′( x 0 )
3!
( x − x0 ) 3 +
f
有
( 4)
( x0 )
4!
( x − x0 ) 4 +
f
(5)
( x0 )
5!
( x − x0 ) 5 +
f
(6)
(η ) a+b ( x − x 0 ) 6 ，其中 η 介于 x 和 x0 之间，由于 x 0 = ，从而 2 6!
2
⎛ a+b⎞ 1 ⎛ a+b⎞ ⎛b−a ⎞ f (a) + f (b) = 2 f ⎜ ⎟ + f ′′⎜ ⎟⋅ 2⋅⎜ ⎟ + ⎝ 2 ⎠ 2! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠