湖南省岳阳市2016年高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=（）A．{2，3} B．{5，6} C．{1，4，5，6} D．{1，2，3，4}2．已知“a∈R，则“a=2”是“复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）A．i≤3？B．i≤4？C．i≤5？D．i≤6？4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．6πB．7πC．8πD．9π5．已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx﹣1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（）A．﹣B．C．﹣D．6．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．7．若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ） A ．﹣27C 93 B ．27C 93C ．﹣9C 94D ．9C 948．变量x ，y 满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y ﹣3|的取值范围是（ ）A ．B ．[，6]C ．[﹣2，3]D ．[1，6]9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．B ．16πC ．9πD ．10．排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设F 1、F 2分别为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义域为R 的函数f （x ）对任意x 都有f （2+x ）=f （2﹣x ），且其导函数f ′（x ）满足＞0，则当2＜a ＜4，有（ ） A ．f （2a ）＜f （log 2a ）＜f （2） B ．f （log 2a ）＜f （2）＜f （2a ） C ．f （2a ）＜f （2）＜f （log 2a ） D ．f （log 2a ）＜f （2a ）＜f （2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．若向量，，则等于 ．14．计算：= ．15．抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X ，则X 的期望E （X ）= ． 16．直线3x ﹣4y+4=0与抛物线x 2=4y 、圆x 2+（y ﹣1）2=1从左至右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．公差不为零的等差数列{a n}中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{b n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．其中z=2ln（y），，，，，（Ⅰ）根据散点图判断，y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）（Ⅲ）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，20．已知动点P与双曲线﹣=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为﹣．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且=，求实数λ的取值范围．21．已知函数g（x）=f（x）+﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．[选修4-4：坐标与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞3；（Ⅱ）存在x0∈R，使得，求实数m的取值范围．2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∪B）=（）A．{2，3} B．{5，6} C．{1，4，5，6} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先根据并集的定义求出A∪B；再结合补集概念即可得到结论．【解答】解：因为：全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，所以：A∪B={1，2，3，4}；∴C U（A∪B）={5，6}．故选：B．2．已知“a∈R，则“a=2”是“复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则a2﹣a﹣2=0且a+1≠0，解得a=2，当a=2时，复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i=3i，（i为虚数单位）为纯虚数，成立，∴“a=2”是“复数z=（a2﹣a﹣2）+（a+1）i（i为虚数单位）为纯虚数”的充要条件，故选：C3．阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（）A．i≤3？B．i≤4？C．i≤5？D．i≤6？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前0 1第一圈 2 2 是第二圈 6 3 是第三圈14 4 是第四圈30 5 否所以当i≤4时．输出的数据为30，故选：B．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．6πB．7πC．8πD．9π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是一个由上下两部分组成的：其中下面是一个圆柱，底面直径为2，高为2；上面是一个与圆柱同底的圆锥，其母线长为2．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个由上下两部分组成的：其中下面是一个圆柱，底面直径为2，高为2；上面是一个与圆柱同底的圆锥，其母线长为2．==7π．∴S该几何体故选B．5．已知函数f （x ）=2sin 2x+2sinxcosx ﹣1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由倍角公式化简f （x ）为Asin （ωx+φ）的形式，由f （φ）=0可求得φ的可能取值．【解答】解：f （x ）=2sin 2x+2sinxcosx ﹣1===．∵f （x ）的图象关于点（φ，0）对称，∴，则2φ﹣=k π，φ=．取k=0时，φ=．∴φ的值可以是．故选：D ．6．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2A=a ，则=（ ）A ．2B ．2C ．D ． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简整理题中的等式得sinB=sinA ，从而得到b=a ，可得答案．【解答】解：∵△ABC 中，asinAsinB+bcos2A=a ，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA ，可得sinB （sin 2A+cos 2A ）=sinA ， ∵sin 2A+cos 2A=1，∴sinB=sinA ，得b=，可得=．故选：C ．7．若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（ ）A ．﹣27C 93B ．27C 93 C ．﹣9C 94D ．9C 94【考点】二项式系数的性质．【分析】在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和，又由题意，可得2n=512，解可得n=9，进而可得其展开式的通项，在其中令x的指数为0，可得r的值为6，即可得其展开式中的常数项，即可得答案．【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和是2n，又由题意，可得2n=512，解可得n=9，则二项式的展开式的通项为T r+1=C9r（3x2）9﹣r（﹣）r=（﹣1）r•C9r•39﹣r x18﹣3r，令18﹣3r=0可得，r=6，则其展开式中的常数项为第7项，即T7=（﹣1）6•C96•33=27C93，故选B．8．变量x，y满足约束条件则目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是（）A．B．[，6] C．[﹣2，3]D．[1，6]【考点】简单线性规划的应用．【分析】确定不等式表示的区域，化简目标函数，利用图象即可求得结论．【解答】解：不等式表示的区域如图所示，三个交点坐标分别为（0，1），（，3），（2，0）目标函数z=3|x|+|y﹣3|=3x﹣y+3，即y=﹣3x+z﹣3，∴目标函数过（2，0）时，取得最大值为9，过（，3）时，取得最小值为∴目标函数z=3|x|+|y﹣3|的取值范围是故选A．9．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．10．排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，则最后乙队获胜的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率．【解答】解：∵排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），甲在每局比赛获胜的概率都相等为，前2局中乙队以2：0领先，∴最后乙队获胜的概率：p==．故选：C．11．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．12．定义域为R的函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），且其导函数f′（x）满足＞0，则当2＜a＜4，有（）A．f（2a）＜f（log2a）＜f（2）B．f（log2a）＜f（2）＜f（2a）C．f（2a）＜f（2）＜f（log2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．【分析】先根据条件求出函数的对称轴，再求出函数的单调区间，然后判定2、log2a、2a 的大小关系，根据单调性比较f（2）、f（log2a）、f（2a）的大小即可．【解答】解：∵函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=2∵导函数f′（x）满足，∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，（﹣∞，2）上单调递增，∵2＜a＜4∴1＜log2a＜2＜4＜2a又函数f（x）的对称轴为x=2∴f（2）＞f（log2a）＞f（2a），故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．若向量，，则等于1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用向量的数量积的坐标表示，代入即可求解【解答】解：由向量的数量积的坐标表示可得：．故答案为：114．计算：=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】将sin20°化为：sin（30°﹣10°），根据两角差的正弦公式，可得答案．【解答】解：=====，故答案为：．15．抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X，则X的期望E（X）=7．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．【解答】解：抛掷两颗质地均匀骰子，向上一面的点数之和为X，由题意知X的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=，P（X=6）=，P（X=7）=，P（X=8）=，P（X=9）=，P（X=10）=，P（X=11）=，P（X=12）=，∴E（X）=2×+4×+5×+7×+9×+10×+11×=7．故答案为：7．16．直线3x﹣4y+4=0与抛物线x2=4y、圆x2+（y﹣1）2=1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得直线3x﹣4y+4=0过抛物线的焦点（即圆的圆心）F（0，1）点，由求得4y2﹣17y+4=0，可得y1+y2=，y1•y2=1，由此能够推导出答案．【解答】解：由已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），直线3x﹣4y+4=0过（0，1）点，则|AB|+|CD|=|AD|﹣2，由求得4y2﹣17y+4=0．设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=1．∴y1=，y2=4，∴====，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．公差不为零的等差数列{a n}中，a1，a2，a5成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列{b n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过等差数列{a n}的公差d≠0，利用=a1（a1+4d）可知d=2a1，通过a1+（a1+99d）=2计算可知a n=；通过在中令n=1可知首项b1=1，当n≥2时利用b n=S n﹣S n﹣1化简可知b n=2b n﹣1，进而可知b n=2n﹣1；（Ⅱ）通过（I）可知c n=•+•，利用错位相减法计算可知数列{}的前n项和，利用等比数列的求和公式计算可知数列{}的前n项和，进而可知T n=﹣•，通过函数f（x）=（x＞0）的单调性计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，即=a1（a1+4d），整理得：d2=2da1，即d=2a1，又∵等差数列{a n }的前10项和为100，∴=100，即a 1+（a 1+99d ）=2，整理得：a 1=，d=，∴a n =+（n ﹣1）=；∵，∴b 1=2b 1﹣1，即b 1=1，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=（2b n ﹣1）﹣（2b n ﹣1﹣1）=2b n ﹣2b n ﹣1，即b n =2b n ﹣1， ∴数列{b n }是首项为1、公比为2的等比数列， ∴b n =2n ﹣1；（Ⅱ）由（I ）可知==•=•+•，记数列{}的前n 项和为P n ，数列{}的前n 项和为Q n ，则Q n =•=1﹣，∵P n =1•+2•+…+n •， P n =1•+2•+…+（n ﹣1）•+n •，∴P n =+++…+﹣n •，∴P n =1++++…+﹣n •=﹣n •=2﹣﹣n •=2﹣（n+2）•，∴T n =•P n +•Q n=•[2﹣（n+2）•]+•（1﹣）=﹣•，记f（x）=，则f′（x）=＜0，故数列{}随着n的增大而减小，又∵T1=，T n=，∴≤T n＜．18．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E （0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．其中z=2ln（y），，，，，（Ⅰ）根据散点图判断，y与x、z与x哪一对具有较强线性相关性？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）（Ⅲ）利润为多少元/kg时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…（x n，y n），其回归直线=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据散点图得出，z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强些；（Ⅱ）根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程；（Ⅲ）根据回归方程求出年利润函数p=xy，利用导数求出函数p取最大值时x的值即可．【解答】解：（Ⅰ）根据散点图判断，z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，相对y与x具有较强的线性相关性；（Ⅱ）∵=≈﹣0.10，∴=11.55﹣（﹣0.10）×35=15.05≈15，即关于x的回归方程是z=﹣0.10x+15；（Ⅲ）∵z=2lny，∴y==，∴年利润函数p=xy=x•，求导得p′=（1﹣x），令p′=0，解得x=20；∴当0＜x＜20时，P′＞0，函数p是单调增函数，当x＞20时，P′＜0，函数p是单调减函数，∴当x=20时年利润函数p的值最大，即利润为20元/kg时，年利润的预报值最大．20．已知动点P与双曲线﹣=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为﹣．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知D（0，3），M，N在动点P的轨迹上，且=，求实数λ的取值范围．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再结合余弦定理和基本不等式，求出椭圆中的a，b的值即可得到轨迹方程；（2）设N（s，t），M（x，y），利用=，求出坐标之间的关系，根据M，N在动点P的轨迹C上，消去一个参数，即可求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）双曲线﹣=1的a=，b=，可得c==．设|PF1|+|PF2|=2t（常数t＞0），2t＞2c=2，∴a＞，P的轨迹为椭圆．设|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理有cos∠F1PF2===﹣1，∵mn≤（）2=t2，∴当且仅当m=n时，mn取得最大值t2．此时cos∠F1PF2取得最小值﹣1，由题意﹣1=﹣，解得t2=9，故椭圆的长轴长为6，短轴长为4，∴P点的轨迹方程为+=1；（2）设N（s，t），M（x，y），∵=，∴（x，y﹣3）=λ（s，t﹣3），∴x=λs，y=3+λ（t﹣3），∵M，N在动点P的轨迹C上，∴+=1，+=1，消去s可得=1﹣λ2，解得t=，∵|t|≤2，∴||≤2，解得≤λ≤5．∴实数λ的取值范围为[，5]．21．已知函数g（x）=f（x）+﹣bx，函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1、x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=1+，利用导数的几何意义能求出实数a的值；（2））由已知得g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围；（3）由g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g （x1）﹣g（x2）的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+x2﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=+x﹣（b﹣1）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∵x＞0，设μ（x）=x2﹣（b﹣1）x+1，则μ（0）=[ln（x1+x12﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+x22﹣（b﹣1）x2]=ln+（x12﹣x22）﹣（b﹣1）（x1﹣x2）=ln+（x12﹣x22）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）=ln﹣（﹣），∵0＜x1＜x2，∴设t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则h′（t）=﹣（1+）=＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，由x1+x2=b﹣1，x1x2=1，可得t+≥，∵0＜t＜1，∴由4t2﹣17t+4=（4t﹣1）（t﹣4）≥0得0＜t≤，∴h（t）≥h（）=ln﹣（﹣4）=﹣2ln2，故g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣2ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求AP•AD的值．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【分析】（1）先由角相等∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，证得三角形相似，再结合线段相等即得所证比例式；（2）由于∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，从而得出两个三角形相似：“△APC～△ACD”结合相似三角形的对应边成比例即得AP•AD的值．【解答】解：（1）∵∠CPD=∠ABC，∠D=∠D，∴△DPC～△DBA，∴又∵AB=AC，∴（2）∵∠ACD=∠APC，∠CAP=∠CAP，∴△APC～△ACD∴，∴AC2=AP•AD=9[选修4-4：坐标与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）设点A，B的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得t2﹣4t﹣10=0．利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．（2）利用把点P 的极坐标化为直角坐标，线段AB 中点M 所对的参数t=，即可得出点M 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：（1）设点A ，B 的参数分别为t 1，t 2．把直线l 的参数方程（t 为参数）代入曲线C ：（y ﹣2）2﹣x 2=1，化为t 2﹣4t ﹣10=0． ∴t 1+t 2=4，t 1t 2=﹣10．∴|AB|=|t 1﹣t 2|===．（2）由点P 的极坐标（2，），可得x P ==﹣2，y P ==2，∴P（﹣2，2）．线段AB 中点M 所对的参数t==2，∴x M =﹣2﹣=﹣3，y M ==2+．∴M．∴|PM|==2．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞3；（Ⅱ）存在x 0∈R ，使得，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f （x ）的最小值，若∃x 0∈R ，使得f （x 0）+2m 2＜4m 成立，只需4m ﹣2m 2＞f min （x ），解出实数m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当x ＜﹣2时，f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x+x+2=﹣x+3，f （x ）＞3，即﹣x+3＞3，解得x ＜0， 又x ＜﹣2，∴x ＜﹣2；当时，f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x ﹣x ﹣2=﹣3x ﹣1，f （x ）＞3，即﹣3x ﹣1＞3，解得，又，∴；当时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，f（x）＞3，即x﹣3＞3，解得x＞6，又，∴x＞6．综上，不等式f（x）＞3的解集为．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，∴．∵∃x0∈R，使得，∴，整理得4m2﹣8m﹣5＜0，解得．因此实数m的取值范围是．2016年6月20日。