2019中考数学压轴题突破解析圆的双动点最值问题
2019届中考数学综合题型专题复习卷:最值问题
最值问题
1.对于实数 a,b,定义符号 min{a,b},其意义为:当 a≥b 时,min{a,b}=b;当 a<b 时,min{a,b}=a.例如:
min={2,–1}=–1,若关于 x 的函数 y=min{2x–1,–x+3},则该函数的最大值为( )
A.
B.1 C.
D.
【答案】D
2.在平面直角坐标系内,以原点 O 为圆心,1 为半径作圆,点 P 在直线
⊥AB,垂足为点 F,连接 AC,OC,则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
①
;
②扇形 OBC 的面积为 π;
③△OCF∽△OEC; ④若点 P 为线段 OA 上一动点,则 AP•OP 有最大值 20.25.
【答案】①③④. 30.如图,等腰△ABC 的底边 BC=20,面积为 120,点 F 在边 BC 上,且 BF=3FC,EG 是腰 AC 的垂直平分线,若点 D 在 EG 上运动,则△CDF 周长的最小值为__.
A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 23.如图,∠AOB=60°,点 P 是∠AOB 内的定点且 OP= ,若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是( )
A.
B.
C.6 D.3
【答案】D
24.如图,直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,点 P 是以 C(﹣1,0)为圆心,1 为半径的圆上一点,
半径的⊙C 上,Q 是 AP 的中点,已知 OQ 长的最大值为 ,则 k 的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
22.已知抛物线 y= x2+1 具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等,
中考压轴题专题:与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值(取值范围)问题引例1:在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.引例2:如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作⊙O,C为半圆弧上的一个动点(不与A、B两点重合),射线AC交⊙O于点E,»ABBC=,AC=,求的最大值.a b a b引例3:如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( ).A.3 B.6 CD.一、题目分析:此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1.引例1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;2.引例2:通过圆的基本性质,寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用;3.引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件(∠DAE=60°),构造弦DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1.直观感觉,画出图形;2.特殊位置,比较结果;3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.A 三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图,A 点的坐标为(﹣2,1),以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ,P (m ,n)为⊙A 上的一个动点,请探索n+m 的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点,且AD=2,M 为BD 的中点,在D 点运动过程中,线段CM 长度的取值范围是 .2.如图,⊙O 的直径为4,C 为⊙O 上一个定点,∠ABC=30°,动点P 从A 点出发沿半圆弧»AB 向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧),当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点.(1)在点P 的运动过程中,线段CD 长度的取值范围为 ;(2)在点P 的运动过程中,线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1.如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径作⊙O 分别交AB ,AC 于E ,F 两点,连接EF ,则线段EF 长度的最小值为 .2. 如图,定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C 、D 与点A 、B 不重合),M 是CD 的中点,过点C 作CP ⊥AB 于点P ,若CD=3,AB=8,则PM 长度的最大值是 .A例四、柯西不等式、配方法1.如图,已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与⊙O 交于点D ,连接PA 、PB ,设PC 的长为x (2<x <4),则当x= 时,PD•CD 的值最大,且最大值是为 .2.如图,线段AB=4,C 为线段AB 上的一个动点,以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ,⊙O 外接于△CDE ,则⊙O 半径的最小值为( ).D. 23.在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心,2为半径画⊙O ,P 是⊙O 上一动点,且P 在第一象限内,过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ,与轴相交于点B ,线段AB 长度的x y 最小值是 .例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 为AB 边上一点,过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ,则线段CE 长度的最小值是 .2.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ,若⊙O 与边BC 始终有交点(包括B 、C 两点),则线段AO 的取值范围是 .3.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O 于点Q,则PQ的最小值为( )A.B.C.3 D.2例五、其他知识的综合运用1.(2015•济南)抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A(1,﹣1),B(5,﹣1),与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标;(3)如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点(不与点A,E 重合),∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.2.(2013秋•相城区校级期末)如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD的中点.(1)判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由;(2)求线段CD长的最小值;(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为 .B【题型训练】1.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为 .2.已知:如图,RtΔABC中,∠B=90º,∠A=30º,BC=6cm,点O从A点出发,沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒(t>0)时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点,过E作EG⊥DE交射线BC于G.(1)若点G在线段BC上,则t的取值范围是;(2)若点G在线段BC的延长线上,则t的取值范围是 .3.如图,⊙M,⊙N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cm.P为⊙M上的任意一点,Q为⊙N上的任意一点,直线PQ与连心线所夹的锐角度数为,当P、Q在两圆上任意运动时,lα的最大值为; (B);; (D) tanα∠43344.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B) (C) (D)215358174 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( ).A. B. C.5 D.1942456.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为.7.如图,A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心的坐标为(-1,0),半径为1,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是( ).A.2 B.1 C. D.22-8.如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( ).A.3 B. C.103D.41139.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ 切⊙O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为( ).B.10.如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的范围为 .11.在直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P()是第一象限内一点,且AB=2,m n,则的范围为 .m n-12.在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P是y轴右侧一点,且AP=2,点B上直线y=x+1上一动点,且PB⊥AP于点P,则,则的取值范围是 .tan ABP m∠=m13.在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评:与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件,构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能找到解决问题的突破口!几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理(公理)法;3.数形结合法等.注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.参考答案:引例1.解:C在以A为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得:OC=,∵∠BOA=∠ACO=90°,∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,tan∠BOC=tan∠OAC= =,随着C的移动,∠BOC越来越大,∵C在第一象限,∴C不到x轴点,即∠BOC<90°,∴tan∠BOC≥,故答案为:m≥.引例1图引例2图+≤引例2.a b原题:(2013•武汉模拟)如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O 于点E,BC=a,AC=b.(1)求证:AE=b+a;(2)求a+b的最大值;(3)若m是关于x的方程:x2+ax=b2+ab的一个根,求m的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】(1)首先连接BE,由△OAB为等边三角形,可得∠AOB=60°,又由圆周角定理,可求得∠E的度数,又由AB为⊙D的直径,可求得CE的长,继而求得AE=b+a;(2)首先过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案;(3)由x2+ax=b2+ab,可得(x﹣b)(x+b+a)=0,则可求得x的值,继而可求得m 的取值范围.【解答】解:(1)连接BE,∵△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AEB=30°,∵AB为直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∵BC=a,∴BE=2a,CE=a,∵AC=b,∴AE=b+a;(2)过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,∴a2+b2=1,∵S△ABC=AC•BC=AB•CH,∴AC•BC=AB•CH,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,∴a+b≤,故a+b的最大值为,(3)∵x2+ax=b2+ab,∴x2﹣b2+ax﹣ab=0,∴(x+b)(x﹣b)+a(x﹣b)=0,∴(x﹣b)(x+b+a)=0,∴x=b或x=﹣(b+a),当m=b时,m=b=AC<AB=1,∴0<m<1,当m=﹣(b+a)时,由(1)知AE=﹣m,又∵AB<AE≤2AO=2,∴1<﹣m≤2,∴﹣2≤m<﹣1,∴m的取值范围为0<m<1或﹣2≤m<﹣1.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.引例3.解:连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF⊥AC与F,连接AO,如图,∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°.∵PE=PD,PM⊥DE,∴∠EPM=60°,∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA.当P与A、O共线时,且在O点右侧时,⊙P直径最大.∵⊙O与∠BAC两边均相切,且∠BAC=60°,∴∠OAF=30°,OF=1,∴AO==2,AP=2+1=3,∴DE=PA=3.故答案为:D。
2019年中考数学压轴题分类汇编:与圆有关【含答案】
又•••PC?PD=PB?PA
•PA=4也就是半径OB=4在RT^ACB中,
AC=.汗-.「A'-_-=2!■:,
•/AB是直径,
•••/ ADBMACB=90
•••/ FDA+Z BDC=90
/CBA+/ CAB=90
•••/ BDC/CAB
•/FDA/CBA
又•••/AFD/ACB=90
•匹鸟
•CEDC,
△CD0ACAD
•/CDBNDBC
•••四边形ABCD内接于OO,
•BC=CD
(2)解:如图,连接OC
•/BC=CD
•••/ DACMCAB又•••AO=CO
•••/ CABMACO
•••/ DACMACO
•AD// OC
•_l = N
PD PA
••• PB=OB CD=-:,
PC+2J2 3
(2)连接OC先证AD//OC由平行线分线段成比例性质定理求得PC=QE,再由割线定理
PC?PD=PB?P求得半径为4,根据勾股定理求得AC=.,再证明△ACB得
AF_AC_2VjJr-,则可设fd=x,AF祈X,在Rt△AFP中,求得DF一匕.
FDCB2^24
【解答]:(1)证明:••• DC2=CE?CA
【题2](2018?泸州24题)如图,四边形ABCD内接于OO, AB是OO的直径,AC和BD相交于点E,且dC=CE?CA
(1)求证:BC=CD
(2) 分别延长AB, DC交于点P,过点A作AFLCD交CD的延长线于点
【考点]:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理•菁优
【分析]:(1)求出△CD0ACAD/CDBNDBC得出结论.
2019年中考数学压轴题 (1)
2019中考数学压轴题38.(2015三明)如图,已知点A 是双曲线2y x =在第一象限的分支上的一个动点,连接AO 并延长交另一分支于点B ,过点A 作y 轴的垂线,过点B 作x 轴的垂线,两垂线交于点C ,随着点A 的运动,点C 的位置也随之变化.设点C 的坐标为(m ,n ),则m ,n 满足的关系式为( )A .2n m =-B .2n m =-C .4n m =-D .4n m =-【答案】B . 【解析】试题分析:∵点C 的坐标为(m ,n ),∴点A 的纵坐标是n ,横坐标是:2n ,∴点A 的坐标为(2n ,n ),∵点C 的坐标为(m ,n ),∴点B 的横坐标是m ,纵坐标是:2m ,∴点B 的坐标为(m ,2m ),又∵22n m mn =,∴22mn m n =⋅,∴224m n =,又∵m <0,n >0,∴2mn =-,∴2n m =-,故选B .考点:反比例函数图象上点的坐标特征.39.(2015乌鲁木齐)如图,在直角坐标系xOy 中,点A ,B 分别在x 轴和y 轴,34OA OB =.∠AOB 的角平分线与OA 的垂直平分线交于点C ,与AB 交于点D ,反比例函数ky x =的图象过点C .当以CD 为边的正方形的面积为27时,k 的值是( )A.2 B.3 C.5 D.7【答案】D.考点:1.反比例函数综合题;2.综合题;3.压轴题.40.(2015重庆市)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数3yx=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为()A.2 B.4 C.22.42【答案】D.【解析】试题分析:过点A作x轴的垂线,与CB的延长线交于点E,∵A,B两点在反比例函数3yx=的图象上且纵坐标分别为3,1,∴A ,B 横坐标分别为1,3,∴AE=2,BE=2,∴AB=22,S 菱形ABCD=底×高=22×2=42,故选D .考点:1.菱形的性质;2.反比例函数图象上点的坐标特征;3.综合题. 41.(2015临沂)在平面直角坐标系中,直线2y x =-+与反比例函数1y x =的图象有唯一公共点,若直线y x b =-+与反比例函数1y x =的图象有2个公共点,则b 的取值范围是( )A .b >2B .﹣2<b <2C .b >2或b <﹣2D .b <﹣2 【答案】C .考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 42.(2015滨州)如图,在x 轴的上方,直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转,若∠BOA 的两边分别与函数1y x =-、2y x =的图象交于B 、A 两点,则∠OAB 的大小的变化趋势为( )A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变【答案】D.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.反比例函数图象上点的坐标特征;3.综合题.二、填空题43.(2017云南省,第6题,3分)已知点A(a,b)在双曲线5yx=上,若a、b都是正整数,则图象经过B(a,0)、C(0,b)两点的一次函数的解析式(也称关系式)为.【答案】y=﹣5x+5或y=﹣15x+1.【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ab=5,由a、b都是正整数,得到a=1,b=5或a=5,b=1.再分两种情况进行讨论:当a=1,b=5;②a=5,b=1,利用待定系数法即可求解.【解析】∵点A(a,b)在双曲线5yx=上,∴ab=5,∵a、b都是正整数,∴a=1,b=5或a=5,b=1.设经过B(a,0)、C(0,b)两点的一次函数的解析式为y=mx+n.①当a=1,b=5时,由题意,得:5m nn+=⎧⎨=⎩,解得:55mn=-⎧⎨=⎩,∴y=﹣5x+5;②当a=5,b=1时,由题意,得:501m nn+=⎧⎨=⎩,解得:151mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣15x+1.则所求解析式为y=﹣5x+5或y=﹣15x+1.故答案为:y=﹣5x+5或y=﹣15x+1.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,待定系数法求一次函数的解析式.正确求出a、b 的值是解题的关键.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;分类讨论.44.(2017内蒙古通辽市,第17题,3分)如图,直线333--=xy与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数xky=的图象在第二象限交于点C,过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D.若AD=AC,则点D的坐标为.【答案】(﹣3,3.【分析】过C作CE⊥x轴于E,求得A(﹣3,0),B(0,﹣3),解直角三角形得到∠OAB=30°,求得∠CAE=30°,设D(﹣3,3k-),得到AD=3k-,AC=3k-,于是得到C(33k-,6k-),列方程即可得到结论.【解析】过C作CE⊥x轴于E,∵直线333--=xy与x,y轴分别交于点A,B,∴A(﹣3,0),B (03,∴tan∠OAB=OBOA=3,∴∠OAB=30°,∴∠CAE=30°,设D(﹣3,3k-),∵AD⊥x轴,∴AD=3k-,∵AD=AC,∴AC=3k-,∴CE=6k-,AE=3k,∴C(33k,6k-),∵C在反比例函数x k y =的图象上,∴(336k -+)•(6k-)=k ,∴k=63-,∴D (﹣3,23),故答案为:(﹣3,23).点睛:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解直角三角形,反比例函数图象上点的坐标特征,正确的点A 、B 、C 的坐标解题的关键. 考点:反比例函数与一次函数的交点问题. 45.(2017四川省成都市,第24题,4分)在平面直角坐标系xOy 中,对于不在坐标轴上的任意一点P (x ,y ),我们把点P (1x ,1y ),称为点P 的“倒影点”,直线1y x =-+ 上有两点A 、B ,它们的倒影点A ′,B ′均在反比例函数ky x =的图象上,若AB=22,则k= .【答案】43-.【分析】设点A (a ,﹣a+1),B (b ,﹣b+1)(a <b ),则A′(1a ,11a -),B′(1b ,11b -),由AB=22可得出b=a+2,再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、a 、b 的方程组,解之即可得出k 值.【解析】设点A (a ,﹣a+1),B (b ,﹣b+1)(a <b ),则A′(1a ,11a -),B′(1b ,11b -),∵AB=22,∴b ﹣a=2,即b=a+2.∵点A′,B′均在反比例函数k y x =的图象上,∴211(1)(1)b a k a a b b =+⎧⎪⎨==⎪--⎩,解得:k=43-.故答案为:43-.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式,根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k 、a 、b 的方程组是解题的关键. 考点:反比例函数图象上点的坐标特征;一次函数图象上点的坐标特征.46.(2017山东省日照市,第16题,4分)如图,在平面直角坐标系中,经过点A 的双曲线ky x =(x>0)同时经过点B ,且点A 在点B 的左侧,点A 2,∠AOB=∠OBA =45°,则k 的值为 ..【答案】15【分析】过A作AM⊥y轴于M,过B作BD选择x轴于D,直线BD与AM交于点N,则OD=MN,DN=OM,∠AMO=∠BNA=90°,由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA,∠OAB=90°,证出∠AOM=∠BAN,由AAS证明△AOM≌△BAN,得出AM=BN=2,OM=AN=2,求出B(2+2,2﹣2),得出方程(2+2)•(2﹣2)=k,解方程即可.点睛:本题考查了坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;综合题.47.(2017江苏省南通市,第18题,3分)如图,四边形OABC是平行四边形,点C在x轴上,反比例函数kyx=(x>0)的图象经过点A(5,12),且与边BC交于点D.若AB=BD,则点D的坐标为.【答案】(8,15 2).【分析】先根据点A(5,12),求得反比例函数的解析式为60yx=,可设D(m,60m),BC的解析式为y=125x+b,把D(m,60m)代入,可得b=60m﹣125m,进而得到BC的解析式为y=125x+60m﹣125m,据此可得OC=m﹣25m=AB,过D作DE⊥AB于E,过A作AF⊥OC于F,根据△DEB∽△AFO,可得DB=13﹣65m,最后根据AB=BD,得到方程m﹣25m=13﹣65m,进而求得D的坐标.【解析】∵反比例函数kyx=(x>0)的图象经过点A(5,12),∴k=12×5=60,∴反比例函数的解析式为60yx=,设D(m,60m),由题可得OA的解析式为y=125x,AO∥BC,∴可设BC的解析式为y=125x+b,把D(m,60m)代入,可得125m+b=60m,∴b=60m﹣125m,∴BC的解析式为y=125x+60m﹣125m,令y=0,则x=m﹣25m,即OC=m﹣25m,∴平行四边形ABCO中,AB=m﹣25m,如图所示,过D作DE⊥AB于E,过A作AF⊥OC于F,则△DEB∽△AFO,∴DB AODE AF=,而AF=12,DE=12﹣60m,22512+ =13,∴DB=13﹣65m,∵AB=DB,∴m﹣25m=13﹣65m,解得m1=5,m2=8,又∵D在A的右侧,即m>5,∴m=8,∴D的坐标为(8,152).故答案为:(8,152).点睛:本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用,解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形,依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算,解题时注意方程思想的运用.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;平行四边形的性质;方程思想;综合题. 48.(2017江苏省宿迁市,第16题,3分)如图,矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点,顶点B ,C 分别在x ,y 轴的正半轴上,顶点A 在反比例函数ky x =(k 为常数,k >0,x >0)的图象上,将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′,若点O 的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上,则C OBO 的值是 .【答案】51-.【分析】设A (m ,n ),则OB=m ,OC=n ,根据旋转的性质得到O′C′=n,B′O′=m,于是得到O′(m+n ,n ﹣m ),于是得到方程(m+n )(n ﹣m )=mn ,求得512m n =,(负值舍去),即可得到结论.【解析】设A (m ,n ),则OB=m ,OC=n ,∵矩形ABOC 绕点A 按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′,∴O′C′=n,B′O′=m,∴O′(m+n ,n ﹣m ),∵A ,O′在此反比例函数图象上,∴(m+n )(n ﹣m )=mn ,∴m2+mn ﹣n2=0,∴m=152-n ,∴512m n =,(负值舍去),∴C OBO 的值是512,故答案为:512.点睛:本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,反比例函数图象上点的坐标特征,正确的理解题意是解题的关键.考点:坐标与图形变化﹣旋转;反比例函数图象上点的坐标特征;矩形的性质. 49.(2017江苏省常州市,第18题,2分)如图,已知点A 是一次函数12y x=(x ≥0)图象上一点,过点A作x轴的垂线l,B是l上一点(B在A上方),在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,反比例函数kyx=(x>0)的图象过点B,C,若△OAB的面积为6,则△ABC的面积是.【答案】3.【分析】作辅助线,构建直角三角形,设AB=2a,根据直角三角形斜边中线是斜边一半得:BE=AE=CE=a,设A(x,12x),则B(x,kx),C(x+a,kx a+),因为B、C都在反比例函数的图象上,列方程组可得结论.【解析】如图,过C作CD⊥y轴于D,交AB于E,∵AB⊥x轴,∴CD⊥AB,∵△ABC是等腰直角三角形,∴BE=AE=CE,设AB=2a,则BE=AE=CE=a,设A(x,12x),则B B(x,kx),C(x+a,kx a+),∴11262212212OABS AB DE a xka xxka xa x∆⎧=⋅=⨯⨯=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪+⎩①②③,由①得:ax=6,由②得:2k=4ax+x2,由③得:2k=2a(a+x)+x (a+x),2a2+2ax+ax+x2=4ax+x2,2a2=ax=6,a2=3,∵S△ABC=12AB•CE=12•2a•a=a2=3.故答案为:3.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积,熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键.考点:反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征;等腰直角三角形;反比例函数综合题.50.(2017江苏省盐城市,第16题,3分)如图,曲线l是由函数6yx=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A(42-,42),B(22,22)的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为.【答案】8.【分析】由题意A(42-,42),B(22,22),可知OA⊥OB,建立如图新的坐标系(OB为x′轴,OA为y′轴,利用方程组求出M、N的坐标,根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可.【解析】∵A(42-,42),B(22,22),∴OA⊥OB,建立如图新的坐标系(OB为x′轴,OA 为y′轴.在新的坐标系中,A(0,8),B(4,0),∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8,由'2'86''y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩,解得'1'6xy=⎧⎨=⎩或'3'2xy=⎧⎨=⎩,∴M(1.6),N(3,2),∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=12×46﹣12×42=8,故答案为:8.点睛:本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题,属于中考填空题中的压轴题.考点:坐标与图形变化﹣旋转;反比例函数系数k的几何意义.51.(2017江苏省连云港市,第15题,3分)设函数3yx=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为(a,b),则12a b+的值是.【答案】﹣2.【分析】由两函数的交点坐标为(a,b),将x=a,y=b代入反比例解析式,求出ab的值,代入一次函数解析式,得出2a+b的值,将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后,把ab及2a+b 的值代入即可求出值.点睛:此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,其中将x=a,y=b代入两函数解析式得出关于a 与b的关系式是解本题的关键.考点:反比例函数与一次函数的交点问题.52.(2017江苏省连云港市,第16题,3分)如图,已知等边三角形OAB与反比例函数kyx=(k>0,x>0)的图象交于A、B两点,将△OAB沿直线OB翻折,得到△OCB,点A的对应点为点C,线段CB交x轴于点D,则BDDC的值为.(已知sin15°=62-)【答案】31 2.【分析】作辅助线,构建直角三角形,根据反比例函数的对称性可知:直线y=x,求出∠BOF=15°,根据15°的正弦列式可以表示BF的长,证明△BDF∽△CDN,可得结论.【解析】如图,过O作OM⊥x轴于M,∵△AOB是等边三角形,∴AM=BM,∠AOM=∠BOM=30°,∴A、B关于直线OM对称,∵A、B两点在反比例函数kyx=(k>0,x>0)的图象上,且反比例函数关于直线y=x对称,∴直线OM的解析式为:y=x,∴∠BOD=45°﹣30°=15°,过B作BF⊥x轴于F,过C作CN⊥x轴于N,sin∠BOD=sin15°=BFOB=62-,∵∠BOC=60°,∠BOD=15°,∴∠CON=45°,∴△CNO是等腰直角三角形,∴CN=ON,设CN=x,则OC=2x,∴OB=2x,∴2x =62-,∴BF=(31)2x-,∵BF⊥x轴,CN⊥x轴,∴BF∥CN,∴△BDF∽△CDN,∴BD BFCD CN==(31)2xx-=312-,故答案为:312-.点睛:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质,明确反比例函数关于直线y=x对称是关键,在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x,2倍表示斜边的长,从而解决问题.考点:反比例函数与一次函数的交点问题;等边三角形的性质;翻折变换(折叠问题);解直角三角形.53.(2017浙江省宁波市,第17题,4分)已知△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3 yx =的图象上,则m的值为.【答案】4或1 2.【分析】求得三角形三边中点的坐标,然后根据平移规律可得AB边的中点(﹣1,1),BC边的中点(﹣2,0),AC边的中点(﹣2,﹣2),然后分两种情况进行讨论:一是AB边的中点在反比例函数3yx=的图象上,二是AC边的中点在反比例函数3yx=的图象上,进而算出m的值.【解析】∵△ABC的三个顶点为A(﹣1,﹣1),B(﹣1,3),C(﹣3,﹣3),∴AB边的中点(﹣1,1),BC边的中点(﹣2,0),AC边的中点(﹣2,﹣2),∵将△ABC向右平移m(m>0)个单位后,∴AB边的中点平移后的坐标为(﹣1+m,1),AC边的中点平移后的坐标为(﹣2+m,﹣2).∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx=的图象上,∴﹣1+m=3或﹣2×(﹣2+m)=3,∴m=4或m=12.故答案为:4或12.点睛:此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点,关键是掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化﹣平移;分类讨论.54.(2017浙江省温州市,第15题,5分)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B 在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称(点A′和A,B′和B分别对应).若AB=1,反比例函数kyx=(k≠0)的图象恰好经过点A′,B,则k的值为.【答案】43.【分析】设B(m,1),得到OA=BC=m,根据轴对称的性质得到OA′=OA=m,∠A′OD=∠AOD=30°,求得∠A′OA=60°,过A′作A′E⊥OA于E,解直角三角形得到A′(12m,32m),列方程即可得到结论.【解析】∵四边形ABCO是矩形,AB=1,∴设B(m,1),∴OA=BC=m,∵四边形OA′B′D与四边形OABD 关于直线OD对称,∴OA′=OA=m,∠A′OD=∠AOD=30°,∴∠A′OA=60°,过A′作A′E⊥OA于E,∴OE=12m,A′E=3m,∴A′(12m,3m),∵反比例函数kyx=(k≠0)的图象恰好经过点A′,B,∴12m•3m=m,∴m=43,∴k=43.故答案为:43.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,轴对称的性质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;矩形的性质;轴对称的性质;综合题.55.(2017浙江省湖州市,第16题,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数1yx=和9yx=在第一象限的图象于点A,B,过点B作 BD⊥x轴于点D,交1yx=的图象于点C,连结AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是.【答案】k=377或155.【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式,即可求得点A、B、C的坐标(用k表示),再讨论①AB=BC,②AC=BC,即可解题.点睛:本题考查了点的坐标的计算,考查了一次函数和反比例函数交点的计算,本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键.考点:反比例函数与一次函数的交点问题;等腰三角形的性质;分类讨论;综合题.56.(2017金华,第15题,4分)如图,已知点A (2,3)和点B (0,2),点A 在反比例函数ky x =的图象上,做射线AB ,再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C ,则点C 的坐标为 .【答案】(﹣1,﹣6).【分析】先过A 作AE ⊥x 轴于E ,以AE 为边在AE 的左侧作正方形AEFG ,交AB 于P ,根据直线AB 的解析式为122y x =+,可得PF=32,将△AGP 绕点A 逆时针旋转90°得△AEH ,构造△ADP ≌△ADH ,再设DE=x ,则DH=DP=x+32,FD=1+2﹣x=3﹣x ,在Rt △PDF 中,根据PF2+DF2=PD2,可得方程22233()(3)()22x x +-=+,进而得到D (1,0),即可得出直线AD 的解析式为y=3x ﹣3,最后解方程组即可得到D 点坐标.【解析】如图所示,过A 作AE ⊥x 轴于E ,以AE 为边在AE 的左侧作正方形AEFG ,交AB 于P ,根据点A (2,3)和点B (0,2),可得直线AB 的解析式为122y x =+,由A (2,3),可得OF=1,当x=﹣1时,y=﹣12+2=32,即P (﹣1,32),∴PF=32,将△AGP 绕点A 逆时针旋转90°得△AEH ,则△ADP ≌△ADH ,∴PD=HD ,PG=EH=32,设DE=x ,则DH=DP=x+32,FD=1+2﹣x=3﹣x ,Rt △PDF 中,PF2+DF2=PD2,即22233()(3)()22x x +-=+,解得x=1,∴OD=2﹣1=1,即D (1,0),根据点A (2,3)和点D (1,0),可得直线AD 的解析式为y=3x ﹣3,解方程组:336y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,可得:23x y =⎧⎨=⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩,∴C (﹣1,﹣6),故答案为:(﹣1,﹣6).点睛:本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题,以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用,解决问题的关键是作辅助线构造正方形以及全等三角形,依据勾股定理列方程进行求解.考点:坐标与图形变化﹣旋转;反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数与一次函数的交点问题;综合题.57.(2017湖北省孝感市,第16题,3分)如图,在平面直角坐标系中,OA=AB,∠OAB=90°,反比例函数kyx=(x>0)的图象经过A,B两点.若点A的坐标为(n,1),则k的值为.【答案】512-.【分析】作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,过B点作BC⊥y轴于C,交AE于G,则AG⊥BC,先求得△AOE≌△BAG,得出AG=OE=n,BG=AE=1,从而求得B(n+1,1﹣n),根据k=n×1=(n+1)(1﹣n)得出方程,解方程即可.【解析】作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,过B点作BC⊥y轴于C,交AE于G,如图所示:则AG⊥BC,∵∠OAB=90°,∴∠OAE+∠BAG=90°,∵∠OAE+∠AOE=90°,∴∠AOE=∠GAB,在△AOE 和△BAG中,∵∠AOE=∠GAB,∠AOE=∠AGB,AO=AB,∴△AOE≌△BAG(AAS),∴OE=AG,AE=BG,∵点A(n,1),∴AG=OE=n,BG=AE=1,∴B(n+1,1﹣n),∴k=n×1=(n+1)(1﹣n),整理得:n2+n﹣1=0,解得:n=152-±(负值舍去),∴n=512-,∴k=512-;故答案为:512-.点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识;熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征,证明三角形全等是解决问题的关键.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;全等三角形的判定与性质.58.(2017湖北省荆州市,第18题,3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上,点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落在y轴上,得到矩形ODEF,BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数kyx=(x<0)的图象交AB于点N,S矩形OABC=32,tan∠DOE=12,则BN的长为.【答案】3.【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32,再根据旋转的性质得AB=DE,OD=OA,接着利用正切的定义得到an∠DOE=DEOD=12,所以DE•2DE=32,解得DE=4,于是得到AB=4,OA=8,同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2,则M(﹣2,4),易得反比例函数解析式为8yx=-,然后确定N点坐标,最后计算BN的长.【解析】∵S矩形OABC=32,∴AB•BC=32,∵矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落在y轴上,得到矩形ODEF,∴AB=DE,OD=OA,在Rt△ODE中,tan∠DOE=DEOD=12,即OD=2DE,∴DE•2DE=32,解得DE=4,∴AB=4,OA=8,在Rt△OCM中,∵tan∠COM=MCOC=12,而OC=AB=4,∴MC=2,∴M(﹣2,4),把M(﹣2,4)代入kyx=得k=﹣2×4=﹣8,∴反比例函数解析式为8yx=-,当x=﹣8时,88y=--=1,则N(﹣8,1),∴BN=4﹣1=3.故答案为:3.点睛:本题考查了旋转图形的坐标:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形.考点:坐标与图形变化﹣旋转;反比例函数系数k的几何意义;解直角三角形;综合题.59.(2017湖北省鄂州市,第15题,3分)如图,AC⊥x轴于点A,点B在y轴的正半轴上,∠ABC=60°,AB=4,BC=3D为AC与反比例函数kyx=的图象的交点.若直线BD将△ABC的面积分成1:2的两部分,则k的值为.【答案】﹣4或﹣8.【分析】过C作CE⊥AB于E,根据∠ABC=60°,AB=4,BC=23,可求得△ABC的面积,再根据点D将线段AC分成1:2的两部分,分两种情况进行讨论,根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k 的值.点睛:本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题,以及反比例函数系数k的几何意义的运用.过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线,这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12 |k|,且保持不变.解题时注意分类思想的运用.考点:反比例函数与一次函数的交点问题;数形结合;分类讨论.60.(2017湖南省株洲市,第17题,3分)如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数11kyx=(x>0)的图象上,顶点B在函数22kyx=(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则12kk= .【答案】13-.【分析】设AC=a ,则OA=2a ,OC=3a ,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A 和B 的坐标,写出A 和B 两点的坐标,代入解析式求出k1和k2的值,相比即可.【解析】如图,Rt △AOB 中,∠B=30°,∠AOB=90°,∴∠OAC=60°,∵AB ⊥OC ,∴∠ACO=90°,∴∠AOC=30°,设AC=a ,则OA=2a ,OC=3a ,∴A (3a ,a ),∵A 在函数11k y x =(x >0)的图象上,∴k1=3a•a=23a ,Rt △BOC 中,OB=2OC=23a ,∴BC=22OB OC -=3a ,∴B (3a ,﹣3a ),∵B在函数22k y x =(x >0)的图象上,∴k2=﹣3a 3a=233a -,∴12k k =13-;故答案为:13-.点睛:本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质,熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半,正确写出A 、B 两点的坐标是关键. 考点:反比例函数图象上点的坐标特征;综合题.61.(2017贵州省遵义市,第18题,4分)如图,点E ,F 在函数2y x =的图象上,直线EF 分别与x轴、y 轴交于点A 、B ,且BE :BF=1:3,则△EOF 的面积是 .【答案】8 3.【分析】证明△BPE∽△BHF,利用相似比可得HF=4PE,根据反比例函数图象上点的坐标特征,设E点坐标为(t,2t),则F点的坐标为(3t,23t),由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF,S△OFD=S△OEC=1,所以S△OEF=S梯形ECDF,然后根据梯形面积公式计算即可.【解析】作EP⊥y轴于P,EC⊥x轴于C,FD⊥x轴于D,FH⊥y轴于H,如图所示:∵EP⊥y轴,FH⊥y轴,∴EP∥FH,∴△BPE∽△BHF,∴13PE BEHF BF==,即HF=3PE,设E点坐标为(t,2t),则F点的坐标为(3t,23t),∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF,而S△OFD=S△OEC=12×2=1,∴S△OEF=S梯形ECDF=12(23t+2t)(3t﹣t)=83;故答案为:83.点睛:本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质;掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义,证明三角形相似是解决问题的关键.考点:反比例函数系数k的几何意义.62.(2017辽宁省盘锦市,第16题,3分)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,﹣5),以P为圆心的圆与x轴相切,⊙P的弦AB(B点在A点右侧)垂直于y轴,且AB=8,反比例函数kyx=(k≠0)经过点B,则k= .【答案】﹣8或﹣32.【分析】设AB交y轴于点C,利用垂径定理可求得PC的长,则可求得B点坐标,代入反比例函数解析式可求得k的值.【解析】设线段AB 交y 轴于点C ,当点C 在点P 的上方时,连接PB ,如图,∵⊙P 与x 轴相切,且P (0,﹣5),∴PB=PO=5,∵AB=8,∴BC=4,在Rt △PBC 中,由勾股定理可得PC=22PB BC - =3,∴OC=OP ﹣PC=5﹣3=2,∴B 点坐标为(4,﹣2),∵反比例函数ky x =(k ≠0)经过点B ,∴k=4×(﹣2)=﹣8;当点C 在点P 下方时,同理可求得PC=3,则OC=OP+PC=8,∴B (4,﹣8),∴k=4×(﹣8)=﹣32; 综上可知k 的值为﹣8或﹣32,故答案为:﹣8或﹣32.点睛:本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征,利用垂径定理和切线的性质求得PC 的长是解题的关键,注意分两种情况.考点:反比例函数图象上点的坐标特征;切线的性质;分类讨论. 63.(2017黑龙江省齐齐哈尔市,第18题,3分)如图,菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上,O是坐标原点,tan ∠AOC=43,反比例函数ky x =的图象经过点C ,与AB 交于点D ,若△COD 的面积为20,则k 的值等于 .【答案】﹣24.【分析】易证S 菱形ABCO=2S △CDO ,再根据tan ∠AOC 的值即可求得菱形的边长,即可求得点C 的坐标,代入反比例函数即可解题.【解析】作DE ∥AO ,CF ⊥AO ,设CF=4x ,∵四边形OABC 为菱形,∴AB ∥CO ,AO ∥BC ,∵DE ∥AO ,∴S △ADO=S △DEO ,同理S △BCD=S △CDE ,∵S 菱形ABCO=S △ADO+S △DEO+S △BCD+S △CDE ,∴S 菱形ABCO=2(S △DEO+S △CDE )=2S △CDO=40,∵tan ∠AOC=43,∴OF=3x ,∴22OF CF +,∴OA=OC=5x ,∵S 菱形ABCO=AO•CF=20x2,解得:2,∴OF=32CF=42C 坐标为(﹣3242),∵反比例函数ky x =的图象经过点C ,∴代入点C 得:k=﹣24,故答案为:﹣24.点睛:本题考查了菱形的性质,考查了菱形面积的计算,本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键.考点:反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征;菱形的性质;解直角三角形;综合题.64.(2017山东省济南市,第20题,3分)如图,过点O的直线AB与反比例函数kyx=的图象交于A,B两点,A(2,1),直线BC∥y轴,与反比例函数3kyx-=(x<0)的图象交于点C,连接AC,则△ABC的面积为.【答案】8.【分析】由A(2,1)求得两个反比例函数分别为2yx=,6yx-=,与AB的解析式y=12x,解方程组求得B的坐标,进而求得C点的纵坐标,即可求得BC,根据三角形的面积公式即可求得结论.点睛:本题主要考查了反比例函数于一次函数的交点问题,三角形的面积,正确的理解题意是解题的关键.考点:反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数及其应用.65.(2017山东省莱芜市,第15题,4分)直线y=kx+b与双曲线6 yx =-交于A(﹣3,m),B(n,﹣6)两点,将直线y=kx+b向上平移8个单位长度后,与双曲线交于D,E两点,则S△ADE= .【答案】16.【分析】利用待定系数法求出平移后的直线的解析式,求出点D、E的左边,再利用分割法求出三角形的面积即可.【解析】由题意A(﹣3,2),B(1,﹣6),∵直线y=kx+b经过点A(﹣3,2),B(1,﹣6),∴326k bk b-+=⎧⎨+=-⎩,解得:24kb=-⎧⎨=-⎩,∴y=﹣2x﹣4,向上平移8个单位得到直线y=﹣2x+4,由624yxy x⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩,解得:32xy=⎧⎨=-⎩和16xy=-⎧⎨=⎩,不妨设D(3,﹣2),E(﹣1,6),∴S△ADE=6×8﹣12×4×2﹣12×6×4﹣12×8×4=16,故答案为:16.点睛:本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会利用分割法求三角形的面积.考点:反比例函数与一次函数的交点问题;一次函数图象与几何变换.66.(2016云南省昆明市)如图,反比例函数kyx=(k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x 轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE 的面积为2,则k的值为.【答案】163-.【分析】先设点B坐标为(a,b),根据平行线分线段成比例定理,求得梯形BDCE的上下底边长与高,再根据四边形BDCE的面积求得ab的值,最后计算k的值.【解析】设点B坐标为(a,b),则DO=﹣a,BD=b.∵AC⊥x轴,BD⊥x轴,∴BD∥AC.∵OC=CD,∴CE=12BD=12b,CD=12DO=12-a.∵四边形BDCE的面积为2,∴12(BD+CE)×CD=2,即12(b+12b)×(12-a)=2,∴ab=163-.将B(a,b)代入反比例函数kyx=(k≠0),得:k=ab=163-.故答案为:163-.考点:反比例函数系数k 的几何意义;平行线分线段成比例. 67.(2016内蒙古包头市)如图,在平面直角坐标系中,点A 在第二象限内,点B 在x 轴上,∠AOB=30°,AB=BO ,反比例函数ky x =(x <0)的图象经过点A ,若S △ABO=3,则k 的值为 .【答案】33-.【分析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,由∠AOB=30°可得出3AD OD=,由此可是点A 的坐标为(﹣3a ,3 a ),根据S △ABO=3结合三角形的面积公式可用a 表示出线段OB 的长,再由勾股定理可用含a的代数式表示出线段BD 的长,由此即可得出关于a 的无理方程,解方程即可得出结论.【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,如图所示.∵∠AOB=30°,AD ⊥OD ,∴ADOD =tan ∠AOB=3,∴设点A 的坐标为(﹣3a 3).∵S △ABO=123OB=2a .在Rt △ADB 中,∠ADB=90°,AD=3a ,AB=OB=2a ,∴222BD AB AD =-=2243a a -,BD=2243a a -.∵OD=OB+BD=3a ,即222433a a a a =+-,解得:a=1或a=﹣1(舍去),∴点A 的坐标为(﹣3,3),∴k=﹣3×3=33-.故答案为:33-. 考点:反比例函数系数k 的几何意义. 68.(2016内蒙古呼和浩特市)已知函数1y x =-,当自变量的取值为﹣1<x <0或x≥2,函数值y 的取值 .【答案】y >1或12-≤y<0.【分析】画出图形,先计算当x=﹣1和x=2时的对应点的坐标,并描出这两点,根据图象写出y 的取值.【解析】当x=﹣1时,y=11--=1,当x=2时,y=12-,由图象得:当﹣1<x <0时,y >1,当x≥2时,12-≤y<0,故答案为:y >1或12-≤y<0.考点:反比例函数的性质.69.(2016四川省内江市)如图,点A 在双曲线5y x =上,点B 在双曲线8y x =上,且AB ∥x 轴,则△OAB 的面积等于 .【答案】32.【分析】延长AB交y轴于点C,根据反比例函数系数的几何意义求出△BOC的面积与△AOC的面积,然后相减即可得解.【解析】延长AB交y轴于点C.S△OAC=12×5=52,S△OCB=12×8=4,则S△OAB=S△OCB﹣S△OAC=4﹣52=32.故答案为:32.考点:反比例函数系数k的几何意义.70.(2016四川省眉山市)如图,已知点A是双曲线6yx=在第三象限分支上的一个动点,连结AO 并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边三角形ABC,点C在第四象限内,且随着点A的运动,点C的位置也在不断变化,但点C始终在双曲线kyx=上运动,则k的值是.【答案】36-【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB,连接OC,过点A作AE⊥y轴,垂足为E,过点C作CF⊥y轴,垂足为F,根据等边三角形的性质和解直角三角形求出3,求出△OFC∽△AEO,相似比OCOA3ΔOFCΔAEOSS=3,求出△OFC的面积,即可得出答案.。
专题32 动态几何之双(多)动点形成的最值问题(压轴题)
《中考压轴题》专题32:动态几何之双(多)动点形成的最值问题一、填空题1.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点,则PE+PF的最小值是.2.如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是.3.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于G,连接BE交AG 于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.二、解答题1.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.(1)填空:点A坐标为;抛物线的解析式为.(2)在图1中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?(3)在图2中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?2.如图甲,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:(1)设△APQ的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?S的最大值是多少?(2)如图乙,连接PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时,求t的值;′(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形?3.如图1,已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P、Q关于直线OC的对称点M、N.设P运动的时间为t(0<t<2)秒.(1)求C点的坐标,并直接写出点M、N的坐标(用含t的代数式表示);(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数关系式;②在图2的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回答:S是否有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.4.在正方形ABCD 中,动点E ,F 分别从D ,C 两点同时出发,以相同的速度在直线DC ,CB 上移动.(1)如图①,当点E 自D 向C ,点F 自C 向B 移动时,连接AE 和DF 交于点P ,请你写出AE 与DF 的位置关系,并说明理由;(2)如图②,当E ,F 分别移动到边DC ,CB 的延长线上时,连接AE 和DF ,(1)中的结论还成立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)(3)如图③,当E ,F 分别在边CD ,BC 的延长线上移动时,连接AE ,DF ,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;(4)如图④,当E ,F 分别在边DC ,CB 上移动时,连接AE 和DF 交于点P ,由于点E ,F 的移动,使得点P 也随之运动,请你画出点P 运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP 的最小值.5.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx 4=+-与x 轴交于点A(﹣2,0)和点B ,与y 轴交于点C ,直线x=1是该抛物线的对称轴.(1)求抛物线的解析式;(2)若两动点M ,H 分别从点A ,B 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴同时出发相向而行,当点M 到达原点时,点H 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动,当点M 到达抛物线的对称轴时,两点停止运动,经过点M 的直线l ⊥x 轴,交AC 或BC 于点P ,设点M 的运动时间为t 秒(t >0).求点M 的运动时间t 与△APH 的面积S 的函数关系式,并求出S 的最大值.6.如图,直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C,经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c 与x轴相交于A、B两点.(1)试求点A、C的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动,同时,点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动(当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动),又PN∥x轴,交AC于P,问在运动过程中,线段PM的长度是否存在最小值?若有,试求出最小值;若无,请说明理由.7.如图,直线4y x83=-+与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t≤3).(1)写出A,B两点的坐标;(2)设△AQP的面积为S,试求出S与t之间的函数关系式;并求出当t为何值时,△AQP的面积最大?(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABO相似,并直接写出此时点Q的坐标.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx 3(a 0)=+-≠与x 轴交于点A (2-,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 从A 点出发,在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,在线段BC 上以每秒1个单位长度向C 点运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ 的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ 的面积最大时,在BC 下方的抛物线上存在点K ,使CBK PBQ S S 5:2=△△:,求K 点坐标.9.如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象过点C (0,1),顶点为Q (2,3),点D 在x 轴正半轴上,且OD=OC .(1)求直线CD 的解析式;(2)求抛物线的解析式;(3)将直线CD 绕点C 逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E ,求证:△CEQ ∽△CDO ;(4)在(3)的条件下,若点P 是线段QE 上的动点,点F 是线段OD 上的动点,问:在P 点和F 点移动过程中,△PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.10.如图,直线y x 412=-+与坐标轴分别交于点A 、B ,与直线y=x 交于点C .在线段OA 上,动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点O 出发向点A 做匀速运动,同时动点P 从点A 出发向点O 做匀速运动,当点P 、Q 其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P 、Q 作x 轴的垂线,交直线AB 、OC 于点E 、F ,连接EF .若运动时间为t 秒,在运动过程中四边形PEFQ 总为矩形(点P 、Q 重合除外).(1)求点P 运动的速度是多少?(2)当t 为多少秒时,矩形PEFQ 为正方形?(3)当t 为多少秒时,矩形PEFQ 的面积S 最大?并求出最大值.11.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 、B 的坐标分别为(8,0)、(0,6).动点Q 从点O 、动点P 从点A 同时出发,分别沿着OA 方向、AB 方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动,运动时间为t (秒)(0<t≤5).以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为点C 、D ,连结CD 、QC .(1)求当t 为何值时,点Q 与点D 重合?(2)设△QCD 的面积为S ,试求S 与t 之间的函数关系,并求S 的最大值?(3)若⊙P 与线段QC 只有一个交点,请直接写出t 的取值范围.12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.13.如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P 是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.(1)求该二次函数的解析式;(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N 以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时,①求t的值;②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.14.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,点B(10,0),C(7,4).直线l经过A,D两点,且sin∠DAB=22.动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动,同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线A→D→C相交于点M,当P,Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设点P,Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.(1)点A的坐标为,直线l的解析式为;(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围;(3)试求(2)中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值;(4)随着P,Q两点的运动,当点M在线段DC上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究:当t为何值时,△QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.15.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P 有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,0),(5,0),(3,﹣4).(1)求该二次函数的解析式;(2)当y>﹣3,写出x的取值范围;(3)A、B为直线y=﹣2x﹣6上两动点,且距离为2,点C为二次函数图象上的动点,当点C运动到何处时△ABC的面积最小?求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值.17.如图,正方形AOCB 在平面直角坐标系xOy 中,点O 为原点,点B 在反比例函数k y x =(x >0)图象上,△BOC 的面积为8.(1)求反比例函数k y x=的关系式;(2)若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位的速度运动,同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位的速度运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点随之停止运动.若运动时间用t 表示,△BEF 的面积用S 表示,求出S 关于t 的函数关系式,并求出当运动时间t 取何值时,△BEF 的面积最大?(3)当运动时间为34秒时,在坐标轴上是否存在点P ,使△PEF 的周长最小?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,已知二次函数的图象经过点A(6,0)、B(﹣2,0)和点C(0,﹣8).(1)求该二次函数的解析式;(2)设该二次函数图象的顶点为M,若点K为x轴上的动点,当△KCM的周长最小时,点K的坐标为;(3)连接AC,有两动点P、Q同时从点O出发,其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C 的路线运动,点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动,当P、Q两点相遇时,它们都停止运动,设P、Q同时从点O出发t秒时,△OPQ的面积为S.①请问P、Q两点在运动过程中,是否存在PQ∥OC?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由;②请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;③设S0是②中函数S的最大值,直接写出S0的值.19.如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒53个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?20.如图,甲、乙两人分别从A(1)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.21.如图,在O A B C中,点A在x轴上,∠A O C=60o,O C=4c m.O A=8c m.动点P从点O出发,以1c m/s的速度沿线段O A→A B运动;动点Q同时..从点O出发,以a c m/s的速度沿线段O C→C B运动,其中一点先到达终点B时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.(1)填空:点C的坐标是(______,______),对角线OB的长度是_______cm;(2)当a=1时,设△OPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并直接写出当t为何值时,S的值最大?(3)当点P在OA边上,点Q在CB边上时,线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似,求a与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围.22.如图,抛物线2y x 2=-++与x 轴交于C .A 两点,与y 轴交于点B ,点O 关于直线AB 的对称点为D ,E 为线段AB 的中点.(1)分别求出点A .点B 的坐标;(2)求直线AB 的解析式;(3)若反比例函数k y x=的图象过点D ,求k 值;(4)两动点P 、Q 同时从点A 出发,分别沿AB .AO 方向向B .O 移动,点P 每秒移动1个单位,点Q 每秒移动12个单位,设△POQ 的面积为S ,移动时间为t ,问:S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的t 值;若不存在,请说明理由.23.如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<103)秒.解答如下问题:(1)当t为何值时,PQ∥BO?(2)设△AQP的面积为S,①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.24.如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD 上滑动,且E、F不与B.C.D重合.(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.。
2019年苏州市中考压轴题专题:与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值(取值范围)问题引例 1:在坐标系中,点 A 的坐标为 (3 ,0) ,点 B 为 y 轴正半轴上的一点,点 C 是第一象限内一点,且 AC=2.设 tan ∠ BOC=m,则 m的取值范围是 _________.引例 2:如图,在边长为 1 的等边△ OAB中,以边 AB为直径作⊙ D,以 O为圆心 OA长为半径作⊙ O,C 为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B 两点重合),射线 AC交⊙ O于点 E,BC=a , AC= ,求a b 的最大值 .b引例 3:如图,∠ BAC=60°,半径长为 1 的圆 O与∠ BAC的两边相切, P 为圆 O上一动点,以 P 为圆心, PA 长为半径的圆P 交射线 AB、 AC于 D、E 两点,连接 DE,则线段 DE 长度的最大值为 ().A.3B.6C. 3 3D. 3 3y2B COO A x CA D B一、题目分析:此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1.引例 1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点 C 与两个定点O、 A 构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;2.引例 2:通过圆的基本性质,寻找动点 C 与两个定点 A、 B 构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用;3.引例 3:本例动点的个数由引例1、引例 2 中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件(∠DAE=60°),构造弦 DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE与半径 AP之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1.直观感觉,画出图形;2.特殊位置,比较结果;3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化 .三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图, A 点的坐标为(﹣ 2, 1),以 A 为圆心的⊙ A 切 x 轴于点 B ,P( m, n)为⊙ A 上的一个动点,请探索 n+m 的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1.如图,在Rt △ ABC中,∠ ACB=90°, AC=4,BC=3,点 D是平面内的一个动点,且AD=2,M为 BD的中点,在D 点运动过程中,线段CM长度的取值范围是.ADMC B 2.如图,⊙ O的直径为 4,C 为⊙ O上一个定点,∠ ABC=30°,动点 P 从 A 点出发沿半圆弧AB向 B 点运动(点 P 与点 C 在直径 AB的异侧 ) ,当 P 点到达 B 点时运动停止,在运动过程中,过点 C 作 CP的垂线 CD交 PB的延长线于 D 点.(1)在点 P 的运动过程中,线段CD长度的取值范围为;D (2)在点 P 的运动过程中,线段AD长度的最大值为.CA O B例三、正弦定理P1.如图,△ ABC 中,∠ BAC=60°,∠ ABC=45°, AB=2 2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O 分别交 AB, AC于 E, F 两点,连接 EF,则线段 EF长度的最小值为.2.如图,定长弦 CD在以 AB 为直径的⊙ O上滑动(点 C、D 与点 A、B 不重合),M是 CD的中点,过点C作 CP⊥ AB于点 P,若 CD=3,AB=8,则 PM长度的最大值是.例四、柯西不等式、配方法1.如图,已知半径为 2 的⊙O与直线 l 相切于点A,点 P 是直径 AB左侧半圆上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为C, PC与⊙O交于点 D,连接 PA、 PB,设 PC的长为 x( 2< x<4),则当 x=时,PD?CD的值最大,且最大值是为.2.如图,线段AB=4,C 为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△ CDE,则⊙ O半径的最小值为 ( ).A.42332EB. C. D. 232D OA C B3.在平面直角坐标系中,以坐标原点在第一象限内,过点P 作⊙ O的切线与最小值是.O 为圆心, 2 为半径画⊙ O, P 是⊙ O 上一动点,且P x 轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段 AB长度的例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)1.如图,在Rt△ ABC中,∠ C=90°, AC=6, BC=8, D 为交直线 BC于点 E,则线段CE长度的最小值是.AB边上一点,过点AD 作CD的垂线DCO E B2.如图, Rt△ABC 中,∠ C=90°,∠ A=30°, AB=4,以 AC上的一点O为圆心 OA为半径作⊙O,若⊙ O与边 BC始终有交点(包括B、 C两点),则线段 AO的取值范围是.AO3.如图,⊙ O 的半径为2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切⊙O 于点 Q,则 PQ 的最小值为()A.B.C. 3 D .2例五、其他知识的综合运用1.( 2019?济南)抛物线 y=ax 2+bx+4 ( a≠ 0)过点 A( 1,﹣ 1), B( 5,﹣ 1),与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图 1,连接 CB ,以 CB 为边作 ?CBPQ,若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上, Q 为坐标平面内的一点,且?CBPQ 的面积为 30,求点 P 的坐标;(3)如图 2,⊙ O1过点 A 、 B、 C 三点, AE 为直径,点M 为上的一动点(不与点 A ,E 重合),∠ MBN 为直角,边BN 与 ME 的延长线交于N,求线段BN 长度的最大值.2. ( 2019 秋 ?相城区校级期末)如图,已知 A 、 B 是⊙ O 与 x 轴的两个交点,⊙ O 的半径为1,P 是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB 分别交直线x=2 于 C、D 两点, E 为线段 CD 的中点.(1)判断直线 PE 与⊙ O 的位置关系并说明理由;(2)求线段 CD 长的最小值;(3)若 E 点的纵坐标为m,则 m 的范围为.【题型训练】1.如图,已知直线 l 与⊙ O 相离, OA ⊥ l 于点 A , OA=5, OA 与⊙ O 相交于点 P , AB 与⊙ O 相切于点 B , BP 的延长线交直线 l 于点 C ,若在⊙ O 上存在点 Q ,使△ QAC 是以 AC 为底边的等 腰三角形,则⊙ O 的半径 r 的取值范围为 .2.已知:如图,Rt ABC 中,∠ B=90o ,∠ A=30o , BC=6cm ,点 O 从 A 点出发,沿 AB 以每秒3 cm 的速度向 B 点方向运动,当点 O 运动了 t 秒 (t > 0) 时,以 O 点为圆心的圆与边AC 相切于点 D ,与边 AB 相交于 E 、F 两点,过 E 作 EG ⊥ DE 交射线 BC 于 G. (1)若点 G 在线段 BC 上,则 t 的取值范围是 ;(2)若点 G 在线段 BC 的延长线上,则 t 的取值范围是.3.如图,⊙ M ,⊙ N 的半径分别为 2cm ,4cm ,圆心距 MN=10cm .P 为⊙ M 上的任意一点, Q 为⊙ N 上的任意一点,直线 PQ 与连心线 l 所夹的锐角度数为 ,当 P 、 Q 在两圆上任意运动时, tan的最大值为 ().(A)6; (B)4 ; (C)3 ; (D)312334QAPDCPPQMNlOADBB C4.如图, 在矩形 ABCD 中, AB=3,BC=4,O 为矩形 ABCD 的中心, 以 D 为圆心 1 为半径作⊙ D ,P 为⊙ D 上的一个动点,连接 AP 、 OP ,则△ AOP 面积的最大值为( ).(A)4(B)21 (C)35 (D) 175845.如图,在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA 、 CB分别相交于点 P 、 Q ,则线段 PQ 长度的最小值是 ().A .19B .24C . 5D .42456.如图,在等腰 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,AC=BC=4, D 是 AB 的中点,点 E 在 AB 边上运动(点 E 不与点 A 重合),过 A 、 D 、E 三点作⊙ O ,⊙ O 交 AC 于另一点 F ,在此运动变化的过程中,线段 EF 长度的最小值为.AFE OBDC7.如图, A 、B 两点的坐标分别为 (2 ,0) 、(0 ,2) ,⊙ C 的圆心的坐标为 (-1 ,0) ,半径为 1, 若 D 是⊙ C 上的一个动点,线段 DA 与 y 轴交于点 E ,则△ ABE 面积的最小值是 ( ).58.如图,已知 A 、 B 两点的坐标分别为 (-2 , 0) 、 (0 , 1) ,⊙ C 的圆心坐标为 (0 , -1) ,半径为 1, D 是⊙ C 上的一个动点,射线 AD 与 y 轴交于点 E ,则△ ABE 面积的最大值是 ( ).A .3B.11C .10D .4339.如图,等腰 Rt △ABC 中,∠ ACB=90°, AC=BC=4,⊙ C 的半径为 1,点 P 在斜边 AB 上, PQ切⊙ O 于点 Q ,则切线长 PQ 长度的最小值为 ().A. 7B. 2 2C. 3D.410.如图∠ BAC = 60°,半径长 1 的⊙ O 与∠ BAC 的两边相切, P 为⊙ O 上一动点,以 P 为圆心, PA 长为半径的⊙ P 交射线 AB 、 AC 于 D 、 E 两点,连接 DE ,则线段 DE 长度的范围为 .APyPQO AxCB11.在直角坐标系中,点A 的坐标为( 3, 0),点 P ( m ,n )是第一象限内一点,且 AB=2, 则 m n 的范围为 . 12.在坐标系中, 点 A 的坐标为 ( 3,0),点 P 是 y 轴右侧一点, 且 AP=2,点B 上直线 y=x+1 上一动点,且 PB ⊥ AP 于点 P ,则 tan ABP m ,则 m 的取值范围是.ByPO A x13.在平面直角坐标系中, M ( 3, 4), P 是以 M 为圆心, 2 为半径的⊙ M 上一动点, A ( -1 , 0)、 B ( 1,0),连接 PA 、 PB ,则 PA 2+PB 2 最大值是 .蔡老师点评: 与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件, 构建关系, 将研究的问题转化为变量与常量之间的关系, 就能 找到解决问题的突破口! 几何中的定值问题, 是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持 不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题, 解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量, 运用特殊位置、 极端位置, 直接计算等方法, 先探求出定值,再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量 ( 如线段长度、角 度大小、图形面积 ) 等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有: 1.特殊位置与极端位置法; 2.几何定理 ( 公理 ) 法; 3.数形结合法等.注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中, 由冷点变为热点. 这是由于这类问题具有很强的探索性 ( 目标不明确 ) ,解题时需要运用动态思维、 数形结合、 特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.参考答案:引例 1. 解: C 在以 A 为圆心,以 2 为半径作圆周上,只有当 OC 与圆 A 相切(即到 C 点)时,∠ BOC 最小, AC=2 , OA=3 ,由勾股定理得: OC= ,∵∠ BOA= ∠ ACO=90 °, ∴∠ BOC+ ∠ AOC=90 °,∠ CAO+ ∠ AOC=90 °,∴∠ BOC= ∠OAC , tan ∠BOC=tan ∠OAC= = ,随着 C 的移动,∠ BOC 越来越大,∵ C 在第一象限,∴ C 不到 x 轴点,即∠ BOC < 90°, ∴tan ∠BOC ≥ ,故答案为: m ≥ .引例 2. a b2 ;原题:( 2019?武汉模拟)如图,在边长为为圆心 OA 长为半径作圆 O , C 为半圆 点 E , BC=a ,AC=b . (1)求证: AE=b+a ;(2)求 a+b 的最大值;2(3)若 m 是关于 x 的方程: x +引例 1图引例 2图1 的等边 △OAB 中,以边 AB 为直径作⊙ D ,以 O 上不与 A 、 B 重合的一动点,射线 AC 交⊙ O 于ab 的一个根,求 m 的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】( 1)首先连接 BE ,由 △ OAB 为等边三角形,可得∠ AOB=60 °,又由圆周角定理,可求得∠ E 的度数,又由 AB 为⊙ D 的直径,可求得CE 的长,继而求得 AE=b+a ;2(2)首先过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ,在 Rt △ ABC 中,BC=a ,AC=b ,AB=1 ,可得( a+b ) =22a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2 ,即可求得答案;(3)由 x 2+ ax=b 2 + ab ,可得( x ﹣ b )( x+b+a ) =0 ,则可求得 x 的值,继而可求得m 的取值范围.【解答】解:( 1)连接 BE ,∵△ OAB 为等边三角形,∴∠AOB=60 °,∴∠ AEB=30 °,∵AB 为直径, ∴∠ ACB= ∠ BCE=90 °,∵BC=a ,∴ BE=2a ,CE=a ,∵ AC=b ,2ax=b +AB72 2 (2)过点 C 作 CH⊥ AB 于 H,在 Rt△ABC 中, BC=a , AC=b , AB=1 ,∴ a +b =1 ,∵S△ABC =AC ?BC=AB ?CH,∴ AC ?BC=AB ?CH ,∴( a+b)222,∴ a+b≤,=a +b +2ab=1+2ab=1+2CH ?AB=1+2CH ≤1+2AD=1+AB=2故 a+b 的最大值为,2222ab=0,∴( x+b )( x﹣ b) +a( x﹣b)(3)∵ x +ax=b +ab,∴ x ﹣ b + ax﹣=0,∴( x﹣ b)( x+b+a) =0 ,∴ x=b 或 x= ﹣( b+a),当 m=b 时, m=b=AC <AB=1 ,∴ 0< m< 1,当 m=﹣( b+a)时,由( 1)知 AE= ﹣ m,又∵ AB < AE ≤2AO=2 ,∴ 1<﹣ m≤2,∴﹣ 2≤m<﹣ 1,∴ m 的取值范围为0< m< 1 或﹣ 2≤m<﹣ 1.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.引例 3. 解:连接 EP, DP,过 P 点作 PM 垂直 DE 于点 M ,过 O 做 OF⊥AC 与 F,连接AO ,如图,∵∠ BAC=60 °,∴∠ DPE=120°.∵ PE=PD, PM⊥DE ,∴∠ EPM=60 °,∴ED=2EM=2EP ?sin60°= EP=PA.当 P 与 A 、 O 共线时,且在O 点右侧时,⊙ P 直径最大.∵⊙ O 与∠ BAC 两边均相切,且∠BAC=60 °,∴∠ OAF=30 °, OF=1 ,∴AO==2 , AP=2+1=3 ,∴ DE= PA=3.故答案为: D。
中考数学压轴专题动点问题解析版
1..如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,4),动点A以每秒1个单位长的速度,从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点.将线段AM以点A 为中心,沿顺时针方向旋转,得到线段AB.过点B作x轴的垂线,垂足为E,过点C作y轴的垂线,交直线BE于点D.运动时间为t秒.(1)当点B及点D重合时,求t的值;(2)设△BCD的面积为S,当t为何值时,S25=?4(3)连接MB,当MB∥OA时,如果抛物线2=-的顶点y ax10ax在△ABM内部(不包括边),求a的取值范围.3,抛物线2.如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=42=+经过点A(4,0)及点(-2,6)y ax bx(1)求抛物线的函数解析式.(2)直线m及⊙C相切于点A交y轴于点D,动点P在线段OB 上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.3.如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=1,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,33).(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形及△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE及△ABE重叠部分的面积为s,求s及t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.4.已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2 ),点E为线段AB上的动点(点E不及点A,B 重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C 为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=2-x2+mx+n的图象经过A,C两点.(1)求此抛物线的函数表达式;(2)求证:∠BEF=∠AOE;(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(122+)倍.若存在,请直接..写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.温馨提示:考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.5.如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线D M⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.(1)直接写出直线AB的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB 于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF及△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.(10分)(2019•常州)如图,一次函数y=﹣x+4的图象及x 轴、y轴分别相交于点A、B,过点A作x轴的垂线l,点P为直线l上的动点,点Q为直线AB及△OAP外接圆的交点,点P、Q 及点A都不重合.(1)写出点A的坐标;(2)当点P在直线l上运动时,是否存在点P使得△OQB及△APQ 全等?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)若点M在直线l上,且∠POM=90°,记△OAP外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是S1、S2,求的值.7.(10分)(2019•常州)如图,反比例函数y=的图象及一次函数y=x 的图象交于点A 、B ,点B 的横坐标是4.点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB 的上方.(1)若点P 的坐标是(1,4),直接写出k 的值和△PAB 的面积;(2)设直线PA 、PB 及x 轴分别交于点M 、N ,求证:△PMN 是等腰三角形;(3)设点Q 是反比例函数图象上位于P 、B 之间的动点(及点P 、B 不重合),连接AQ 、BQ ,比较∠PAQ 及∠PBQ 的大小,并说明理由.1.【答案】解:(1)∵CAO BAE 90∠+∠=︒,∴CAO ABE ∠=∠。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破十 几何综合题
(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠A=90°.
∵点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,
1
1
∴AE=2AB,DF=2CD,∴AE=DF.
∵AE∥DF,∴四边形 AEFD 是平行四边形,
∵∠A=90°,∴四边形 AEFD 是矩形.
(2)解:如解图①,连接 OA,AM, ∵点 A 关于 BP 的对称点为点 M, ∴BP 垂直平分 AM, ∴OA=OM. ∵四边形 AEFD 是矩形, ∴EF⊥AB. ∵点 E 是 AB 的中点, ∴EF 垂直平分 AB, ∴OA=OB,∴OB=OM.
(3)证明:如解图,连接 AC,过点 B 作 BP∥AC 交 AF 的延长线于点 P, ∴△BFP∽△CFA, ∴BCFF=BCPA, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,AB=AD, ∴四边形 ABCD 是菱形, ∵∠ABC=60°, ∴∠PBC=∠ACB=60°. ∴∠ABP=120°,∴∠DAE=∠ABP,
在△ADE 与△BAP 中, ∠DAE=∠ABP, AD=AB, ∠ADE=∠BAF, ∴△ADE≌△BAP(ASA),
∴AE=BP,
又∵AC=AD, BF AE
∴CF=AD.
类型二:动点问题
(省卷:2017T23;昆明:2020T23)
(2020·岳阳)如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,动点 P,Q 分別从 C 点,A 点同时以每秒 1 个单位长度的速度出发,且分别在边 CA, AB 上沿 C→A,A→B 的方向运动,当点 Q 运动到点 B 时,P,Q 两点同时 停止运动.设点 P 运动的时间为 t(s),连接 PQ,过点 P 作 PE⊥PQ,PE 与边 BC 相交于点 E,连接 QE.
精编中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解
中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】(1)三角形内角和定理(2)三角形外角定理(3)等腰三角形底角相等(4)直角三角形两锐角互余(5)平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补(6)平行四边形的对角相等、邻角互补(7)等腰梯形底角相等(8)圆所涉及的角的关系:圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°,点A、B分别在射线O M、ON 上移动,AC是△BAO的角平分线,BD为∠ABN的角平分线,AC与B D的反向延长线交于点P.试问:随着点A、B位置的变化,∠APB的大小是否会变化?若保持不变,请求出∠APB 的度数;若发生变化,求出变化范围。
、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C,连接AC.(1)若∠CPA=30°,求P C的长;(2)若点P在A B的延长线上运动,∠CPA的平分线交A C于点M,你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中,可以用坐标的方法表示出边或角,从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时,设抛物线分别与线段A B,CD交于点M,N.①在点P的运动过程中,你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化,说明理由;若不变,求出∠AMP 的值;②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218;(3)在矩形A BCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容(比一比!)动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆,利用三点共线方法指导:1.当动点的轨迹是定圆时,可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和,最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解.2.试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”,这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变..........,则点的轨迹是圆或圆弧; 1.如图 1,在正方形 ABCD 中,边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 边上任意一点,将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ,连接 AP ,则 CP 的最小值________,AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中,已知 AB =2cm ,BC =3cm ,现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图,一根木棒AB 长为2a,斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上,与地面的倾斜角∠ABO=60°,若木棒沿直线NO 下滑,且 B 端沿直线OM 向右滑行,则木棒中点P 也随之运动,已知 A 端下滑到A′时,AA′)a,则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________.=(323.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P 是AB 边上的动点(不与点B 重合),将△BCP 沿CP 所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A 长度的最小值是________.4.如图,在□ABCD 中,∠BCD=30°,BC=4,CD=3 3,M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一动点,将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C 长度的最小值是________.5.如图,在四边形ABCD 中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC=_________°,∠DBC=____________°.定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时,该角的顶点的轨迹是圆弧.见.直角→找.斜边(定长)→想.直径→定.外心→现.“圆”形;见.定角→找.对边(定长)→想.周角→转.心角→现.“圆”形;【一般解题步骤】①让主动点动一下,观察从动点的运动轨迹,发现从动点的运动轨迹是一段弧。
中考数学复习 求解双动点线段长的最小值问题
如何求解双动点线段长的最小值问题双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段.由于线段的两个端点都在运动,因此增加了解决问题的难度,这类问题的解题策略是:消点——将双动点转化为单动点,然后利用“垂线段最短”确定单动点线段长的最小值,进而得到双动点线段长的最小值.下面举例说明.例1 如图1,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是_______.说明本题构造矩形,利用“矩形的对角线相等“将双动点线段DE转化为单动点线段CF.达到消点目的.例2 如图2,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连结DE,则DE长的最小值是_______.由“垂线段最短”可知,当DF⊥AC时DF长最小,此时,DF=12AC=12×8=4,∴DE长的最小值是42.说明本题构造等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的斜边与直角边的关系,将双动点线段DE与单动点线段DF建立联系,进行消点.例3 如图3,已知点A在反比例函数y=6x的图象上,且点A横坐标为2.现将一个含30°的三角板的直角顶点与点A重合并绕点A旋转,旋转时三角板的两直角边与x 轴的交点分别为点B、C,则线段BC的最小值是_________.解析过点A作AD⊥BC于点D,取线段BC的中点E,连结AE.当x=2时,y=6x=3,∴点A坐标为(2,3),∴AD=3.∵∠BAC=90°,E为线段BC的中点,∴BC=2AE.由“垂线段最短”可知,当AE⊥BC时AE最小,此时AE=AD=3.∴BC的最小值为6.说明本题构造三角形中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,将双动点线段BC与单动点线段AE建立联系,从而灵活消点.例4 如图4,在平面直角坐标系xOy中,直线AB过点A(-4,0)、B(O,4),⊙O 的半径为1(O为坐标原点),点P在直线AB上,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为_______.解得OP=22.说明本题构造直角三角形,利用勾股定理将双动点线段PQ与单动点线段OP建立联系,从而巧妙消点.例5 如图5,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=22,D是线段BC 上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F,连结EF,则线段EF长度的最小值为_______.解析作直径EG,则∠EFG=90°,∠G=∠BAC=60°,EG=AD.在Rt△EFG中,EF=EG·sin∠G=AD·sin60°=32AD.过点A作AH⊥BC,垂足为点H,在Rt△ABH中,AH=AB·s in∠ABC=22·sin45°=2222=2.由“垂线段最短”可知,AD≥AH,∴线段EF长的最小值为3 2AH=32×2=3.说明本题构造直径为斜边的直角三角形,利用同圆的直径都相等,将双动点线段EF与单动点线段AD建立联系,实现消点.。
中考数学典型试题及解析答案--双动点、最值
中考数学典型试题及解析双动点、最值一、动点专练例1如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P,Q同时从A、B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)若△BPQ为直角三角形,求t;(2)设△BPQ的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式;(3)作QR∥BA交AC于点R,连结PR,若△APR∽△PRQ,求t?分析:(1)分两种情况考虑:∠B PQ=90°,或∠BQP=90°,由于∠B=60°,则第三角必为30°,利用30度角所对直角边是斜边的一半,可知BP长是BQ长的两倍或一半,建立方程求解.(2)由于∠B=60°是特殊角,故不能选PQ为底,过点A作高!可选BP为底,过Q作垂线段QE,则高QE的长也可用含t的代数式表示,S与t的函数关系式也可求;(3)由QR∥BA,可证得△CRQ∽△CAB,△CRQ也为等边三角形,求出QR和PE的长,则QR=PE,可证四边形EPRQ是矩形,由△APR∽△PRQ,可得出∠QPR=∠A=60°,在△PQR中,利用60°,得到PR,QR的比值,列出方程即可求t.解答:例2分析:由翻折知,四边形QPCP′必为筝形,要想使其为菱形,则首先必须是平行四边形,对角线必然互相平分,利用这一点,想到连接PP′,交CQ于点O,则QO=CO,想办法用含t的代数式表示出CO和QO,问题迎刃而解.解答:二、最值分类(1)垂线段最短型及变式例1:如图,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB上一动点,且PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF长度的最小值是_______.分析:由PE⊥AC,PF⊥BC,得∠PEC=∠PFC=∠C=90°,可证四边形ECFP 是矩形,想到对角线相等,可连接CP,问题转化为CP的最小值,则CP⊥AB 时,可取最小值.解答:变式:如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为________.分析:本题与例1十分类似,先用勾股定理逆定理,证∠BAC=90°,从而可证四边形AEPF是矩形,M为对角线EF的中点,放在Rt△AEF中,AM长是斜边EF长的一半,连接AP,AP=EF,则AM也是AP的一半,求出AP 的最小值,AM的最小值就是其一半.解答:(2)将军饮马型及变式例2如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为________分析:本题是一个典型的将军饮马问题,属于一定两动型,点B是定点,M,N 是动点,方法大家应该很熟了,作点B关于AC的对称点E,当E,M,N 三点共线,且EN⊥AB时,BM+MN=EN最短,而要求这个最小值,则需要利用勾股定理,或者相似解决.解答:作点B关于AC的对称点E,过E作EF⊥AB交于点F,连接BE变式1:分析:显然,这是一个将军饮马问题,但是,P、Q、R三个点均不是定点,不能过定点作对称,那只能选择Q或P作对称.由于原三角形是等边三角形,那么翻折后,可以将等边三角形补成一个菱形,此后思路与例1一致.同时,本题还要求等边三角形的边长,掌握公式就很快!解答:变式2:如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为CD中点,P为AB边上一动点(含端点),F为CP中点,则△CEF的周长最小值为________分析:解答:EDCBACDMNBA练习反馈1. 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB-90°,D 是BC 边的中点,E 是AB 边 上一动点,则EC+ED 的最小值是 。
中考热点问题”双动点问题”的处理方法复习总结(模型解析+例题精讲+真题反馈)
中考热点问题"双动点问题"的处理方法总结动点问题是中考数学必考的重难点问题,大多数同学都是“谈动色变”,选择直接放弃的更是大有人在。
解决动点问题,大家一定不要被其“动”所吓倒,我们要充分发挥空间想象能力,“动"中求“静",化“动”为“静",利用已知条件和所学知识点,寻找和所求相关的不变量和确定关系,这样,题目就化难为易了。
动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型,本节我们主要学习两类较难的动点问题。
一.不关联双动点问题对于不关联的双动点问题,我们采用“控制变量法",我们先控制其中一个点不动,分析另一个点运动轨迹,之后再让这个点运动起来,这样我们可以使问题更直观,思路更清晰。
我们先来看一道例题:例1.如图,RTAABC中,AC=3,AB=4,D、E分别是AB、AC上的两个动点,将AADE 沿着DE翻折,A点落在A'处,求A'C的最小值。
【简答】首先,我们固定D点不动,使E点动起来,随着E点的运动,X'始终在以D为圆心,DA为半径的圆上运动(如图1),图1只有当C、A'、D三点共线时,A z C是最短的(如图2);图2然后我们让D点也动起来,随着D点的运动,圆D的半径会发生变化,圆的半径越大,离C点就越近,因此,当D与B重合时,圆离C点的距离最近,再,移动E点,使得A,落在BC上,此时C、A,、D三定共线(如图3),CA'最小为5-4=1.图3二.多动点联动问题对于多个点运动并且是联动的这类问题,我们采用相对运动法,可以让这多个点静止,让原本的定点动起来,这样减少了动点的个数,使得问题简单化。
(原则是:让数量少的点动,让数量多的点休息)如下面这道天津中考题的最后一问。
例2.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点0的坐标为(0,0),点A 的坐标为(5,0),点B的坐标为(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点0,B,C的对应点分别为D,E, F.(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标.(2)如图②,当点D落在线段BE上时,连接AB,AD与BC交于点H.①求证:AADB义AAOB;②求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S^jAKDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).【简答】(1)VA(5.0), B (0.3).・.・OA=5,OB=3,..•四边形AOBC是矩形.AAC OB=3,OA BC-5,ZOBC=ZC-90°.•.•矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,/.AD=AO=5.在RtAAlK中,CD V a D2+AC2 4..•.BD=BC-CD 1.AD(h3).(2)®由四边形ADEF是短形,得到ZADE=90°.•・•点D在线段BE上,:.ZADB90°,由(1)可知,AD-AO.又AB AB.ZAOB=90%ARtAADBSSRlAAOB②如图b中.由八ADB^AAOB.得到ZBAD-ZBAO.又在矩形AOBC中,OA〃BC,/.ZCBA=ZOAB,.\ZBAD=ZCBA..\BH=AH.设AH=BH=m.则HC BC-BH5-m.在RtAAHC中,VAIP-HC^AC^.ABH y..・.H(—,3).<3)要求△KDE面积的取值范围.我们只要考虑K、D,E三个点的运动情况即可.由于D、E西个点都在运动.3KDE面积的取值范围不好确定.例3.直线1外有一点D,点D到直线的距离为3,让腰长为2的等腰直角三角板ABC在直线]上滑动,则AD+CD的最小值为.【简答】由于运动是相对的,可以看做D点在直线r上运动,作点a关于直线r的对称点A'.可知当A\D、C三点共线时AD+CD 最小,最小值为A,C的长。
圆的双动点最值问题
中考数学压轴题突破圆的双动点最值问题1.如图,在 Rta ABC 中,N C=90°, AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将4CEF沿直线EF 翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.分析:本题中,要求点P到边AB距离的最小值,先要确定点P的运动轨迹.因为FP=FC=2,所以点P的运动轨迹是以点F为圆心,2为半径的圆弧(如图),过点F作FQ L AB,以F为圆心的弧与FQ的交点为满足条件的点P.答案: 6/5这是动点轨迹为圆弧的一种类型,动点满足到定点的距离等于定长,确定动点的运动轨迹为以定点为圆心,定长为半径的圆(或一段弧).2.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合),连结AP,过点B作直线AP的垂线,垂足为H,连结DH,若正方形的边长为4,则线段DH长度的最小值是.分析:要求线段DH长度的最小值,先要确定动点H的运动轨迹。
在点P的运动过程中,N AHB=90°,点H的运动轨迹是以AB为直径的半圆,题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题(如图),连结点D和AB中点0,与半圆0交于点H,此时DH长度最小.答案:275-2这一类动点满足与定线段构成一个直角三角形,且为直角顶点,则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆(或圆弧)。
由特殊到一般,如果动点与定线段构成的三角形中,以动点为顶点的角度确定,这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆(或圆弧).3.如图,正方形0ABC的边长为4,以0为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE, CF相交于点P,将正方形0ABC从0A与0F重合的位置开始,绕着点0逆时针旋转90°,交点P运动的路径长是()分析:这题看似动点很多,其实点A、B、C可看成是同一个动点,点P是第二动点,要求点P运动的路径长,先要确定点P的运动轨迹。
因为四边形OABC是正方形,所以N AOC=90°,所以N AFC=45°,因为EF是直径,所以N EAF=90°, N APF=45°,N EPF=135°,点P的运动轨迹是以EF为弦且该弦所对的一个圆周角为135°的一段圆弧(如图)。
【专项练习】动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
【专项练习】动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题!
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1、将军饮马模型
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型,中点两定边求最小值
9、时钟模型,相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
全国各地2019年中考数学真题分类解析汇编 48与圆有关的压轴题
与圆有关的压轴题2019年与圆有关的压轴题,考点涉及:垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;切线性质;锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值;相似三角形的判定和性质;勾股定理;特殊四边形性质;等.数学思想涉及:数形结合;分类讨论;化归;方程.现选取部分省市的2019年中考题展示,以飨读者.【题1】(2019年江苏南京,26题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,⊙O为△ABC的内切圆.(1)求⊙O的半径;(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆,设点P运动的时间为t s,若⊙P与⊙O相切,求t的值.【分析】:(1)求圆的半径,因为相切,我们通常连接切点和圆心,设出半径,再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系,得到方程,求解即得半径.(2)考虑两圆相切,且一圆已固定,一般就有两种情形,外切与内切.所以我们要分别讨论,当外切时,圆心距等于两圆半径的和;当内切时,圆心距等于大圆与小圆半径的差.分别作垂线构造直角三角形,类似(1)通过表示边长之间的关系列方程,易得t的值.【解】:(1)如图1,设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,则AD=AF,BD=BE,CE=CF.∵⊙O为△ABC的内切圆,∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.∵∠C=90°,∴四边形CEOF是矩形,∵OE=OF,∴四边形CEOF是正方形.设⊙O的半径为rcm,则FC=EC=OE=rcm,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB==5cm.∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r,BD=BE=BC﹣EC=3﹣r,∴4﹣r+3﹣r=5,解得 r=1,即⊙O的半径为1cm.(2)如图2,过点P作PG⊥BC,垂直为G.∵∠PGB=∠C=90°,∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC,∴.∵BP=t,∴PG=,BG=.若⊙P与⊙O相切,则可分为两种情况,⊙P与⊙O外切,⊙P与⊙O内切.①当⊙P与⊙O外切时,如图3,连接OP,则OP=1+t,过点P作PH⊥OE,垂足为H.∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,∴四边形PHEG是矩形,∴HE=PG,PH=CE,∴OH=OE﹣HE=1﹣,PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣.在Rt△OPH中,由勾股定理,,解得 t=.②当⊙P与⊙O内切时,如图4,连接OP,则OP=t﹣1,过点O作OM⊥PG,垂足为M.∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,∴四边形OEGM是矩形,∴MG=OE,OM=EG,∴PM=PG﹣MG=,OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣,在Rt△OPM中,由勾股定理,,解得 t=2.综上所述,⊙P与⊙O相切时,t=s或t=2s.【点评】:本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长,表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点,总体题目难度不高,是一道非常值得练习的题目.【题2】(2018•泸州24题)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA.(1)求证:BC=CD;(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF的长.PC=AC==,=,PC=4==2中有,DF=【题3】(2018•济宁21题)阅读材料:已知,如图(1),在面积为S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r.连接OA、OB、OC,△ABC 被划分为三个小三角形.∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=(a+b+c)r.∴r=.(1)类比推理:若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),如图(2),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r;(2)理解应用:如图(3),在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=21,CD=11,AD=13,⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆,设它们的半径分别为r1和r2,求的值.、易得.=+=.==20====.【题4】(2018.福州20题)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,⊙O为△ABC的外接圆.(1)求BC的长;(2)求⊙O的半径.【解析】∴BC 3=+(2)由(1)得,在Rt △ACE 中,∵∠EAC =30°,,∴AC=.∵∠D =∠ACB ,∠B =∠B ,∴△BAC ∽△BCD . ∴AB AC CB CD ==.∴DM=4.∴⊙O 的半径为2.【考点】:1. 锐角三角函数定义;2.特殊角的三角函数值;3.相似三角形的判定和性质;4.圆周角定理;5.圆内接四边形的性质;6.含30度角直角三角形的性质;7.勾股定理.【题5】(2018.广州25题)如图7,梯形中,,,,,,点为线段上一动点(不与点重合),关于的轴对称图形为,连接,设,的面积为,的面积为.(1)当点落在梯形的中位线上时,求的值;(2)试用表示,并写出的取值范围;(3)当的外接圆与相切时,求的值.【答案】解:(1)如图1,为梯形的中位线,则,过点作于点,则有:在中,有在中,又解得:(2)如图2,交于点,与关于对称,则有:,又又与关于对称,(3)如图3,当的外接圆与相切时,则为切点.的圆心落在的中点,设为则有,过点作,连接,得则又解得:(舍去)① ② ③【题6】(2018•湖州24题)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是t秒(t>0)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.【分析】:(1)连接PM,PN,运用△PMF≌△PNE证明,(2)分两种情况①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,0<t≤1时,点E在y轴的正半轴或原点上,再根据(1)求解,(3)分两种情况,当1<t<2时,当t>2时,三角形相似时还各有两种情况,根据比例式求出时间t.【解答】:证明:(1)如图,连接PM,PN,∵⊙P与x轴,y轴分别相切于点M和点N,∴PM⊥MF,PN⊥ON且PM=PN,∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°,∵PE⊥PF,∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE,在△PMF和△PNE中,,∴△PMF≌△PNE(ASA),∴PE=PF,(2)解:①当t>1时,点E在y轴的负半轴上,如图,由(1)得△PMF≌△PNE,∴NE=MF=t,PM=PN=1,∴b=OF=OM+MF=1+t,a=NE﹣ON=t﹣1,∴b﹣a=1+t﹣(t﹣1)=2,∴b=2+a,②0<t≤1时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,同理可证△PMF≌△PNE,∴b=OF=OM+MF=1+t,a=ON﹣NE=1﹣t,∴b+a=1+t+1﹣t=2,∴b=2﹣a,(3)如图3,(Ⅰ)当1<t<2时,∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,∴F′(1﹣t,0)∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,∴Q(1﹣t,0)∴OQ=1﹣t,由(1)得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=,解得,t=,当△OEQ∽△MFP时,∴=,=,解得,t=,(Ⅱ)如图4,当t>2时,∵F(1+t,0),F和F′关于点M对称,∴F′(1﹣t,0)∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,∴Q(1﹣t,0)∴OQ=t﹣1,由(1)得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t,∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=,无解,当△OEQ∽△MFP时,∴=,=,解得,t=2±,所以当t=,t=,t=2±时,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似.【点评】:本题主要考查了圆的综合题,解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系.【题7】(2018•宁波26)木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心O1、O2分别在CD、AB上,半径分别是O1C、O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.(1)写出方案一中圆的半径;(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设CE=x(0<x<1),圆的半径为y.①求y关于x的函数解析式;②当x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大.,即为半径.由r=r=时,(时,();时,(>(();时,r=﹣=时,r=(),时,最大为.<<,【题8】(2018•苏州28)如图,已知l1⊥l2,⊙O与l1,l2都相切,⊙O的半径为2cm,矩形ABCD的边AD、AB 分别与l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动,⊙O的移动速度为3cm,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)(1)如图①,连接OA、AC,则∠OAC的度数为105 °;(2)如图②,两个图形移动一段时间后,⊙O到达⊙O1的位置,矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置,此时点O1,A1,C1恰好在同一直线上,求圆心O移动的距离(即OO1的长);(3)在移动过程中,圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(cm),当d<2时,求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图).AB=4CD=4=,∴∠=2=+2+6F=,﹣(=2+2﹣.【题9】(2018•泰州25题)如图,平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣x+b(b为常数,b>0)的图象与x 轴、y轴分别相交于点A、B,半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C,与y轴相交于点D、E,点D在点E上方.(1)若直线AB与有两个交点F、G.①求∠CFE的度数;②用含b的代数式表示FG2,并直接写出b的取值范围;(2)设b≥5,在线段AB上是否存在点P,使∠CPE=45°?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.﹣xbb b﹣(﹣(FGb b﹣有两个交点y=x+5,)【题10】(2019年江苏徐州28) 如图,矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.(1)试说明四边形EFCG是矩形;(2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存在,说明理由;②求点G移动路线的长.【考点】:圆的综合题;垂线段最短;直角三角形斜边上的中线;矩形的判定与性质;圆周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】:(1)只要证到三个内角等于90°即可.(2)易证点D在⊙O上,根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE,从而证到△CFE∽△DAB,根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=.然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围.根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值,从而得到点G的移动的路线是线段,只需找到点G的起点与终点,求出该线段的长度即可.【解答】:解:(1)证明:如图1,∵CE为⊙O的直径,∴∠CFE=∠CGE=90°.∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°.∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°.∴四边形EFCG是矩形.(2)①存在.连接OD,如图2①,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠ADC=90°.∵点O是CE的中点,∴OD=OC.∴点D在⊙O上.∵∠FCE=∠FDE,∠A=∠CFE=90°,∴△CFE∽△DAB.∴=()2.∵AD=4,AB=3,∴BD=5,S△CFE=()2•S△DAB=××3×4=.∴S矩形ABCD=2S△CFE=.∵四边形EFCG是矩形,∴FC∥EG.∴∠FCE=∠CEG.∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,∴∠GDC=∠FDE.∵∠FDE+∠CDB=90°,∴∠GDC+∠CDB=90°.∴∠GDB=90°Ⅰ.当点E在点A(E′)处时,点F在点B(F′)处,点G在点D(G′处,如图2①所示.此时,CF=CB=4.Ⅱ.当点F在点D(F″)处时,直径F″G″⊥BD,如图2②所示,此时⊙O与射线BD相切,CF=CD=3.Ⅲ.当CF⊥BD时,CF最小,此时点F到达F″′,如图2③所示.S△BCD=BC•CD=BD•CF″′.∴4×3=5×CF″′.∴CF″′=.∴≤CF≤4.∵S矩形ABCD=,∴×()2≤S矩形ABCD≤×42.∴≤S矩形ABCD≤12.∴矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为.②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,∴点G的移动路线是线段DG″.∵∠GDC=∠FDE,∠DCG″=∠A=90°,∴△DCG″∽△DAB.∴=.∴=.∴DG″=.∴点G移动路线的长为.【点评】:本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识,考查了动点的移动的路线长,综合性较强.而发现∠CDG=∠ADB及∠FCE=∠ADB是解决本题的关键.【题11】(2018.连云港25题)为了考察冰川融化的状况,一支科考队在某冰川上设一定一个以大本营O 为圆心,半径为4km 圆形考察区域,线段P 1、P 2是冰川的部分边界线(不考虑其它边界),当冰川融化时,边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过n 年,冰川的边界线P 1P 2移动的距离为s(km),并且s 与n (n 为正整数)的关系是2575092032+-=n n s .以O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,其中P 1、P 2的坐标分别是(-4,9)、(-13,-3). (1)求线段P 1P 2所在的直线对应的函数关系式; (2)求冰川的边界线移动到考察区域所需要的最短时间.【解答】(第25题图)。
2019年苏州市中考压轴题专题:与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值(取值范围)问题引例1:在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2.设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.引例2:如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O为圆心OA长为半径作⊙O,C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合),射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b,求a b的最大值.引例3:如图,∠BAC=60°,半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切,P为圆O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的最大值为( ).A.3 B.6 CD.一、题目分析:此题是一个圆中的动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法,注重了初、高中知识的衔接1.引例1:通过隐藏圆(高中轨迹的定义),寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律,转化为特殊位置(相切)进行线段、角度有关计算,同时对三角函数值的变化(增减性)进行了延伸考查,其实质是高中“直线斜率”的直接运用;2.引例2:通过圆的基本性质,寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件,结合不等式的性质进行转化,其实质是高中“柯西不等式”的直接运用;3.引例3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点,增加为三个动点,从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度,解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件(∠DAE=60°),构造弦DE、直径所在的直角三角形,从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系,其实质是高中“正弦定理”的直接运用;综合比较、回顾这三个问题,知识本身的难度并不大,但其难点在于学生不知道转化的套路,只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解,但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1.直观感觉,画出图形;2.特殊位置,比较结果;3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.三、中考展望与题型训练例一、斜率运用1.如图,A 点的坐标为(﹣2,1),以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ,P (m ,n )为⊙A 上的一个动点,请探索n+m 的最大值.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D 是平面内的一个动点,且AD=2,M 为BD 的中点,在D 点运动过程中,线段CM 长度的取值范围是 .2.如图,⊙O 的直径为4,C 为⊙O 上一个定点,∠ABC=30°,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧),当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点.(1)在点P 的运动过程中,线段CD 长度的取值范围为 ;(2)在点P 的运动过程中,线段AD 长度的最大值为 .例三、正弦定理 1.如图,△ABC 中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=D 是线段BC 上的一个动点,以AD 为直径作⊙O 分别交AB ,AC 于E ,F 两点,连接EF ,则线段EF 长度的最小值为 .2. 如图,定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动(点C 、D 与点A 、B 不重合),M 是CD 的中点,过点C 作CP ⊥AB 于点P ,若CD=3,AB=8,则PM 长度的最大值是 .A例四、柯西不等式、配方法1.如图,已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ,点P 是直径AB 左侧半圆上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为C ,PC 与⊙O 交于点D ,连接PA 、PB ,设PC 的长为x (2<x <4),则当x= 时,PD•CD 的值最大,且最大值是为 .2.如图,线段AB=4,C 为线段AB 上的一个动点,以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ,⊙O 外接于△CDE ,则⊙O 半径的最小值为( ).A.4B.3 C.2 D. 23.在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心,2为半径画⊙O ,P 是⊙O 上一动点,且P 在第一象限内,过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,线段AB 长度的最小值是 .例四、相切的应用(有公共点、最大或最小夹角)1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 为AB 边上一点,过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ,则线段CE 长度的最小值是 .2.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ,若⊙O 与边BC 始终有交点(包括B 、C 两点),则线段AO 的取值范围是 .3.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切⊙O于点Q,则PQ的最小值为()A.B.C.3 D.2例五、其他知识的综合运用1.(2019•济南)抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A(1,﹣1),B(5,﹣1),与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标;(3)如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点(不与点A,E 重合),∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.2.(2019秋•相城区校级期末)如图,已知A、B是⊙O与x轴的两个交点,⊙O的半径为1,P是该圆上第一象限内的一个动点,直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点,E为线段CD的中点.(1)判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由;(2)求线段CD长的最小值;(3)若E点的纵坐标为m,则m的范围为.B【题型训练】1.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为 .2.已知:如图,RtΔABC中,∠B=90º,∠A=30º,BC=6cm,点O从A点出发,沿AB以每秒的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒(t>0)时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点,过E作EG⊥DE交射线BC于G.(1)若点G在线段BC上,则t的取值范围是;(2)若点G在线段BC的延长线上,则t的取值范围是 .3.如图,⊙M,⊙N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cm.P为⊙M上的任意一点,Q 为⊙N上的任意一点,直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为α,当P、Q在两圆上任意运动时,tanα∠的最大值为; (B)43;; (D)344.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O 为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为( ).(A)4 (B)215(C)358(D)174 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB 分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是( ).A.194B.245C.5 D.6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为.7.如图,A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心的坐标为(-1,0),半径为1,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值是( ).A.2 B.1 C.22- D.28.如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是( ).A.3 B.113C.103D.49.如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,⊙C的半径为1,点P在斜边AB上,PQ 切⊙O于点Q,则切线长PQ长度的最小值为( ).B.10.如图∠BAC=60°,半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切,P为⊙O上一动点,以P为圆心,PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE,则线段DE长度的范围为 .11.在直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P(m n,)是第一象限内一点,且AB=2,则m n-的范围为 .12.在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点P是y轴右侧一点,且AP=2,点B上直线y=x+1上一动点,且PB⊥AP于点P,则tan ABP m∠=,则m的取值范围是 .13.在平面直角坐标系中,M(3,4),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(-1,0)、B(1,0),连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是 .蔡老师点评:与圆有关的最值问题,看着无从下手,但只要仔细观察,分析图形,寻找动点与定点之间不变的维系条件,构建关系,将研究的问题转化为变量与常量之间的关系,就能找到解决问题的突破口!几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明.几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理(公理)法;3.数形结合法等.注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考试题中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.参考答案:引例1.解:C在以A为圆心,以2为半径作圆周上,只有当OC与圆A相切(即到C点)时,∠BOC最小,AC=2,OA=3,由勾股定理得:OC=,∵∠BOA=∠ACO=90°,∴∠BOC+∠AOC=90°,∠CAO+∠AOC=90°,∴∠BOC=∠OAC,tan∠BOC=tan∠OAC==,随着C的移动,∠BOC越来越大,∵C在第一象限,∴C不到x轴点,即∠BOC<90°,∴tan∠BOC≥,故答案为:m≥.引例1图引例2图+≤引例2.a b原题:(2019•武汉模拟)如图,在边长为1的等边△OAB中,以边AB为直径作⊙D,以O 为圆心OA长为半径作圆O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点,射线AC交⊙O于点E,BC=a,AC=b.(1)求证:AE=b+a;(2)求a+b的最大值;(3)若m是关于x的方程:x2+ax=b2+ab的一个根,求m的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】(1)首先连接BE,由△OAB为等边三角形,可得∠AOB=60°,又由圆周角定理,可求得∠E的度数,又由AB为⊙D的直径,可求得CE的长,继而求得AE=b+a;(2)首先过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,可得(a+b)2= a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,即可求得答案;(3)由x2+ax=b2+ab,可得(x﹣b)(x+b+a)=0,则可求得x的值,继而可求得m的取值范围.【解答】解:(1)连接BE,∵△OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠AEB=30°,∵AB为直径,∴∠ACB=∠BCE=90°,∵BC=a,∴BE=2a,CE=a,∵AC=b,∴AE=b+a;(2)过点C作CH⊥AB于H,在Rt△ABC中,BC=a,AC=b,AB=1,∴a2+b2=1,∵S△ABC=AC•BC=AB•CH,∴AC•BC=AB•CH,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH•AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2,∴a+b≤,故a+b的最大值为,(3)∵x2+ax=b2+ab,∴x2﹣b2+ax﹣ab=0,∴(x+b)(x﹣b)+a(x﹣b)=0,∴(x﹣b)(x+b+a)=0,∴x=b或x=﹣(b+a),当m=b时,m=b=AC<AB=1,∴0<m<1,当m=﹣(b+a)时,由(1)知AE=﹣m,又∵AB<AE≤2AO=2,∴1<﹣m≤2,∴﹣2≤m<﹣1,∴m的取值范围为0<m<1或﹣2≤m<﹣1.【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的性质、完全平方公式的应用以及一元二次方程的解法.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.引例3.解:连接EP,DP,过P点作PM垂直DE于点M,过O做OF⊥AC与F,连接AO,如图,∵∠BAC=60°,∴∠DPE=120°.∵PE=PD,PM⊥DE,∴∠EPM=60°,∴ED=2EM=2EP•sin60°=EP=PA.当P与A、O共线时,且在O点右侧时,⊙P直径最大.∵⊙O与∠BAC两边均相切,且∠BAC=60°,∴∠OAF=30°,OF=1,∴AO==2,AP=2+1=3,∴DE=PA=3.故答案为:D。
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第 1 页 共 6 页 2019中考数学压轴题突破
圆的双动点最值问题
1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6,
BC =8,点F 在边AC 上,并且CF =2,点E 为边BC 上的动点,将△CEF 沿直线EF 翻折,点C 落在点P 处,则点P 到边AB 距离的最小值是_____.
分析:本题中,要求点P 到边AB 距离的最小值,先要确定点P 的运动轨迹.因为FP =FC =2,所以点P 的运动轨迹是以点F 为圆心,2为半径的圆弧(如图),过点F 作FQ ⊥AB ,以F 为圆心的弧与FQ 的交点为满足条件的点P .
答案: 6/5
这是动点轨迹为圆弧的一种类型,动点满足到定点的距离等于定长,确定动点的运动轨迹为以定点为圆心,定长为半径的圆(或一段弧).
2. 如图,点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合),连结AP ,过点B 作直线AP 的垂线,垂足为H ,连结DH ,若正方形的
边长为4,则线段DH 长度的最小值是
_______.
分析:要求线段DH长度的最小值,先要确定动点H的运动轨迹。
在点P的运动过程中,∠AHB=90°,点H的运动轨迹是以AB为直径的半圆,题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题(如图),连结点D和AB中点O,与半圆O交于点H,此时DH长度最小.
答案:
这一类动点满足与定线段构成一个直角三角形,且为直角顶点,则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆(或圆弧)。
由特殊到一般,如果动点与定线段构成的三角形中,以动点为顶点的角度确定,这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆(或圆弧).
3. 如图,正方形OABC的边长为4,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE,CF 相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90°,交点P运动的路径长是()
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分析:这题看似动点很多,其实点A、B、C可看成是同一个动点,点P是第二动点,要求点P运动的路径长,先要确定点P的运动轨迹。
因为四边形OABC是正方形,所以∠AOC=90°,所以∠AFC=45°,因为EF是直径,所以∠EAF=90°,∠APF=45°,∠EPF=135°,点P的运动轨迹是以EF为弦且该弦所对的一个圆周角为135°的一段圆弧(如图)。
求出这段圆弧所对圆心角以及所在圆半径便可解决问题.
答案:A.
由此可见,定线段和动点组成的三角形中,如果以动点为顶点的角度是定值,那么这个动点的运动轨迹是一个圆(或一段圆弧).
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第 4 页 共 6 页 试一试
1.如图,已知等边△ABC 的边长为 8,以 AB 为直径的圆交 BC 于点 F 。
已 C 为圆心,CF 长为半径作图,D 是⊙C 上一动点,E 为 BD 的中点,当 AE 最大时,BD 的长为( )
答案:B
2.如图,已知A 、C 是半径为2的⊙O 上的两动点,以AC 为直角边在⊙O 内作等腰Rt △ABC ,∠C =90°,连接OB ,则OB 的最小值为_______.
答案:
练习反馈:
1. 如图,点A是直线y=-x上的动点,点B是x轴上的动点,在矩形ABCD中,AB=2,
2. 如图,已知点
A
(3,0),C(0,-4),⊙C的半径为√5,点P为⊙C上一动点.
连接AP,若M为AP的中点,连接OM,则OM的最大值= 。
3. 已知⊙O半径为3,点A、B在⊙O上,∠BAC=90°,AB=AC,求OC的最小值。
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4. 已知⊙O半径为3,点A、B在⊙O上,∠BAC=90°,AB:AC=4:3,求OC的最小值.
第 6 页共6 页。