2019中考数学压轴题突破解析圆的双动点最值问题

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2019届中考数学综合题型专题复习卷：最值问题

半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【答案】A 17．在△ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（）
一、单选题
最值问题
1．对于实数 a，b，定义符号 min{a，b}，其意义为：当 a≥b 时，min{a，b}=b；当 a<b 时，min{a，b}=a．例如：
min={2，–1}=–1，若关于 x 的函数 y=min{2x–1，–x+3}，则该函数的最大值为（）
A．
B．1 C．
D．
【答Βιβλιοθήκη Baidu】D
2．在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P 在直线
A．
B．
【答案】A
C．9 D．
20．已知二次函数 y=﹣（x﹣h）2（h 为常数），当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为﹣ 1，则 h 的值为（） A．3 或 6 B．1 或 6 C．1 或 3 D．4 或 6 【答案】B 21．如图，一次函数 y=2x 与反比例函数 y= （k＞0）的图象交于 A，B 两点，点 P 在以 C（﹣2，0）为圆心，1 为

中考数学压轴题动点问题专题复习--几何最值问题

中考数学动点问题专题复习--几何最值问题

（2）垂线段最短（延伸：斜边大于直角边）

方法技巧归纳

类型一：在直线1上找到一点P，使得PA+PB最短

做法如图，连接A、B与的交点即为所求

类型二：在直线1上找到一点P，使得PA+PB最短

做法如图，做点B关于直线1的对称点B，连接AB与的交点即为点P

注：因为A、B两点是固定的，所以当题目要求找到一点P使得△PAB的周长最小时，做法也是样的

类型三：在直线上找到两点EF（点E在点F的左侧），EF的距离是定值，使得AE+EF+FB最小

做法如图，过A做AA＇∥且AA＇=EF，做B关于直线的对称点B＂，连接A＇B＇与直线z的交点即为F，过A做A＇F的平行线与直线1的交点即为点E

注：同样地，因为AB两点是固定的，所以当题目要求使得四边形AEFB周长最小时，也是用同样的方法

类型四：直线a与直线b平行，在直线a上找到一点A，过点A作直线b的垂线交于点B，如何确定点A的位置可以使PA+AB+BQ最短

做法如图，做PD垂直直线b交直线a于点C，交直线b于点D，在PD上截取PE=CD，连接EQ，EQ与直线b的交点即为点B，过点B做直线a的垂线，交点即为点A，连接PA即可（这种方法在实际生活中的应用就是著名的修桥问题）

类型五：在直线l 上找到一点M ，使得|MA - MB|最小；直线l 上找到一点N ，使得|NA - NB|最大

做法如图，做AB 的中垂线与直线相交，交点即为M ，此时|MA - MB|有最小值0；延长BA 与直线1相交，交点即为N ，此时|NA - NB|有最大值为AB

中考数学压轴题重难点突破：几何图形中动点或最值问题

近几年中考一般涉及三种类型：

（1）求点运动过程中，所形成的点的轨迹（路径）长问题

（2）求点运动过程中，图形的周长或线段的最值问题

（3）求点运动过程中，图形面积和线段长度的函数关系式问题

【方法指导】线段的最值问题常见模型：

求线段最短：

①根据直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短求解，通过构造直角三角形用勾股定理计算

②由动点引起的动直线问题，用动点横坐标列距离的关系式，根据函数的增减性求最小值

最值问题是初中数学的重要内容，也是一

类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，

是中考的热点问题。它主要考察学生对平时所

学的内容的综合运用，无论是代数问题还是几

何问题都有最值问题。

在中考压轴题中出现比较高的重要几何结

论：如两点之间线段最短、三角形两边之和大

于第三边、两边只差小于第三边、垂线段最短

等，利用一次函数和二次函数性质求最值。

2019届初三数学中考复习【动点或最值问题】专题练及答案(20190731132835)

2019届初三数学中考复习

【动点或最值问题】专题复习训练题

一、选择题

1．如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l 对称，Ｄ为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是（)

A．４B．３2C．２3D．2＋3

2．如图，直线y＝2

x＋４与x轴、ｙ轴分别交于点A和点B，点C，Ｄ分别为线段AB，

OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（)

A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－3

，0)D．(－

，0)

3．已知a≥2，ｍ2－2am＋2＝0，ｎ2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（) A．６B．３C．－３D．０

4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，Ｄ是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（)

A．(3，1)B．(3，4

)C．(3，

)D．(3，2)

5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，tanC＝3

，AB＝６cm.动点P从点A开始沿边AB向

点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Ｑ两点分别从A，Ｂ两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（)

A．18cm2B．12cm2C．９cm2D．３cm2

6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2.P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE.P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B

时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋Ｓ2的大小变化情况是（)

2019年中考数学复习动点最值问题压轴题考点突破训练(有答案)

2019年中考数学复习动点、最值问题压轴题

考点突破训练

一、选择题

1. 如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为( )

A ．2 3

B ．2 5

C ． 3

D ． 5

2. 如图，直线y ＝2

3x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB

的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为( ) A ．(－3，0) B ．(－6，0)

C.(－32，0) D ．(－5

，0)

3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝2 cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1 cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( ) A ．20 cm B ．18 cm C ．2 5 cm D ．3 2 cm

4. 已知抛物线y ＝1

4x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x

轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝1

4x 2＋1上一个动点，则

△PMF 周长的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 平分∠CAB ，交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE ＋EF 的最小值为( ) A.403 B.154 C.24

中考数学解答题压轴题突破重难点突破十几何综合题

(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°.
∵点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，
1
1
∴AE＝2AB，DF＝2CD，∴AE＝DF.
∵AE∥DF，∴四边形 AEFD 是平行四边形，
∵∠A＝90°，∴四边形 AEFD 是矩形．
(2)解：如解图①，连接 OA，AM， ∵点 A 关于 BP 的对称点为点 M， ∴BP 垂直平分 AM， ∴OA＝OM. ∵四边形 AEFD 是矩形， ∴EF⊥AB. ∵点 E 是 AB 的中点， ∴EF 垂直平分 AB， ∴OA＝OB，∴OB＝OM.
【思路点拨】如图 2，连接 FQ，先根据(1)三角形全等的性质可得 FP＝EP，再根据垂直平分线的判定与性质可得 QF＝QE，然后根据勾股定理、等量代换即可得证．
(3)如图 3，当 t>94s 时，延长 EP 交边 AD 于点 F， AF
连接 FQ.若 FQ 平分∠AFP，求CE的值．解：如图 3，由运动知，AQ＝t，CP＝t， ∴AP＝AC－CP＝10－t， ∵FQ 平分∠AFE，∴∠AFQ＝∠PFQ， ∵∠FAQ＝∠FPQ＝90°， FQ＝FQ，∴△FAQ≌△FPQ(AAS) ， ∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，∴BQ＝AB－AQ＝6－t，∠FAC＝∠FPA， ∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，∴∠ACB＝∠CPE，∴PE＝CE，

中考数学动点最值问题归纳及解法

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与

特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊

位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

“坐标几何题”（动点问题）分析

动点个数两个一个两个

问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三

边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动

考查难点探究相似三角形探究三角形面积

函数关系式

探究等腰三角形

考点①菱形性质

②特殊角三角函数

③求直线、抛物线解析式

④相似三角形

⑤不等式

①求直线解析式

②四边形面积的

表示

③动三角形面积

函数④矩形性质

①求抛物线顶点坐标

②探究平行四边形

③探究动三角形面积是定

值

④探究等腰三角形存在性

特点①菱形是含60°的特殊菱形；

△AOB是底角为30°的等腰三

角形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应

角不同分类讨论；先画图，再

探究。

④通过相似三角形过度，转化

相似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式

2019年全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编(五)最值问题(解析版)

2019全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理：八、最值问题

选择题：

1.（2019•武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一

动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M 运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）

A．B．C．D．

解：如图，连接EB．设OA＝r．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵E是△ACB的内心，

∴∠AEB＝135°，

∵∠ACD＝∠BCD，

∴＝，

∴AD＝DB＝r，

∴∠ADB＝90°，

易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α

∴＝＝．

故选：A．

2.（2019•黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD

沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）

A．B．C．D．

解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，

∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，

∴△ABE、△CDE都是等边三角形，

∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．

∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，

∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．

在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，

∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，

∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．

∵矩形ABCD中，BC∥AD，

2019中考数学专题复习选择填空圆中的最值问题

圆中最值

类型、圆中将军饮马

例1、如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为▲ ．

【解答】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．

此时PA+PB最小，且等于AC的长．

连接OA，OC，

∵∠AMN=30°，∴∠AON=60°，

∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN的度数是30°，

则∠AOC=90°，又OA=OC=1，则AC=2

1、已知圆O的面积为3 ，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______，即PC+PD的最小值为3．

2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3,⊙A、⊙B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为_________∴PE+PF的最小值是3．

3．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（－2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值等于▲____

∴A′B＝(3＋2)2＋(4＋3)2＝74，

∴MN＝A′B－BN－A′M＝74－2－1＝74－3，

∴PM＋PN的最小值为74－3．

故答案为74－3．

类型：圆的定义（一周同长）

例2木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动。下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()

安徽省2019年中考数学二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题(含答案)

题型二选择压轴题之几何图形最值问题

类型一线段最值问题

1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM 的最小值为()

A.1.2

B. 1.3

C.1.4

D. 2.4

第1题图第2题图

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是()

A.12

5 B. 4 C.

D. 5

3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是()

A.3

B. 2

C.4

D. 5

第3题图第4题图

4.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线

BD上的一个动点，则1

2PB＋PC的最小值是()

A.3

B. 33

2 C.3

D. 3

2＋ 3

5.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，

BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()

A.4

B. 5

C.6

D. 7

第5题图第6题图

6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为()

A.2 5

B. 45

C.23

D. 4 3

7.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，

AB＝2，AD＝4，点M，点N分别在边BC，CD上，则△AMN周长的最小值为()

A.37

B. 47

C.27＋6

中考数学动点最值问题

动点最值问题

【考查知识点】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.

平面上最短路径问题：

(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

(2)归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

(3)平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。

【方法归纳】

在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点之间线段最短；

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长；

⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P 到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.

中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

中考压轴题突破：几何最值问题大全

（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）

一、基本图形

所有问题的老祖宗只有两个：

①[定点到定点]：两点之间，线段最短；

②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；

④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；

⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；

⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；

⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别

最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形

例 1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

（二）动点路径待确定

2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题及参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆-动点问题

1．“同弧或等弧所对的圆周角相等”，利用这个推论可以解决很多数学问题．

（1）【知识理解】如图1，圆O 的内接四边形ACBD 中，60ABC ∠=︒，BC AC =，

①BDC ∠=；DAB ∠DCB ∠（填“>”，“=”，“<”）

②将D 点绕点B 顺时针旋转60︒得到点E ，则线段DB DC DA ，，的数量关系为

．（2）【知识应用】如图2，AB 是圆O 的直径，1tan 2

ABC ∠=

，猜想DA DB DC ，，的数量关系，并证明；（3）【知识拓展】如图3，已知2AB =，A B ，分别是射线DA DB ，上的两个动点，以AB 为边往外构造等边ABC ，点C 在MDN ∠内部，若120D ∠=︒，直接写出四边形ADBC 面积S 的取值范围．

2．如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．

在平面直角坐标系xOy 中：

（1）如图2，已知点(70)A ，

，点B 在直线1y x =+上．①若点(34)B ，

，点(30)C ，，则在点O ，C ，A 中，点是AOB 关于点B 的内联点；

②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 纵坐标n 的取值范围；

（2）已知点(20)D ，

，点(42)E ，，将点D 绕原点O 旋转得到点F ．若EOF 关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标m 的取值范围．

3．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（B C ''，分别是B C ，的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．

中考数学压轴题隐形圆及最值问题

专题18 隐形圆及最值问题

本文主要从以下四个方面去介绍：

一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）

二、定边对直角

三、定边对定角

四、四点共圆

一、从圆的定义构造圆（折叠类问题）

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．

构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．

1、几个点到某个定点距离相等可用圆

（定点为圆心，相等距离为半径）

例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______

例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________

2、动点到定点距离保持不变的可用圆

（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）

例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随

之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）

如图，在Rt ABC

BC=，点F在边AC上，并且2

AC=，8

CF=，点E为∆中，90

∠=︒，6

边BC上的动点，将CEF

∆沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．

二、定边对直角

知识回顾：直径所对的圆周角是直角．

构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：

例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．

如图，在Rt ABC

∆中，90

ACB

∠=︒，8

AC=cm，3

BC=cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE AD

中考数学复习考点知识专题讲解19---有关几何最值存在型压轴问题

5 / 12
【类型 5】：利用二次函数解决线段最值问题【例 5】综合与探究
如图，抛物线 y
x2
x 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y
轴交于点 C，直线 l 经过 B、C 两点，点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的速度向终点
B 运动，连接 CM，将线段 MC 绕点 M 顺时针旋转 90°得到线段 MD，连接 CD、BD．设
【类型 4】：一次函数与几何最值问题
Hale Waihona Puke Baidu
【例 4】如图，在 Rt△ABO 中，∠OBA＝90°，A（4，4），点 C 在边 AB 上，且
，点
D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长
4 / 12
最小的点 P 的坐标为（）
A．（2，2）
B．（，）
N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是（）
A．10
B．
C．12
D．
7．如图，等边△ABC 中，AB＝4，P 是△ABC 中的任意一点，连接 PA、PB、PC，则 PA+PB+PC
的最小值为_______________．
9 / 12
8．如图，在正方形 ABCD 中，AB＝8，AC 与 BD 交于点 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM＝6．P 为对角线 BD 上一点，则 PM﹣PN 的最大值为____．

中考热点问题”双动点问题”的处理方法复习总结（模型解析+例题精讲+真题反馈）

中考热点问题"双动点问题"的处理方法总结

动点问题是中考数学必考的重难点问题，大多数同学都是“谈动色变”，

选择直接放弃的更是大有人在。

解决动点问题，大家一定不要被其“动”所吓倒，我们要充分发挥空间想象能力，“动"中求“静"，化“动”为“静"，利用已知条件和所学知识点，寻找和所求相关的不变量和确定关系，这样，题目就化难为易了。

动点问题一般分为点动、线动和面动这三种类型，本节我们主要学习两类较难的动点问题。

一.不关联双动点问题

对于不关联的双动点问题，我们采用“控制变量法"，我们先控制其中一个点不动，分析另一个点运动轨迹，之后再让这个点运动起来，这样我们可以使问题更直观，思路更清晰。

我们先来看一道例题：

例1.如图，RTAABC中，AC=3,AB=4,D、E分别是AB、AC上的两个动点，将AADE 沿着DE翻折，A点落在A'处，求A'C的最小值。

【简答】首先，我们固定D点不动，使E点动起来，随着E点的运动，X'始终在以D为圆心，DA为半径的圆上运动（如图1）,

图1

只有当C、A'、D三点共线时，A z C是最短的(如图2)；

图2

然后我们让D点也动起来，随着D点的运动，圆D的半径会发生变化，圆的半径越大，离C点就越近，因此，当D与B重合时，圆离C点的距离最近，再，

移动E点，使得A，落在BC上，此时C、A，、D三定共线(如图3),CA'最小为5-4=1.

图3

二.多动点联动问题

对于多个点运动并且是联动的这类问题，我们采用相对运动法，可以让这多个点静止，让原本的定点动起来，这样减少了动点的个数，使得问题简单化。(原则是：让数量少的点动，让数量多的点休息)