集合的折分

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三种数量折扣的含义

供应商货物保有量大于需求量的情况下在产量[0～y]下，单位产品价格随着数量呈线性变化1.设供应商集合，设Q’=Q2.每个供应商计算r’=ai-bi(min{Q’, yi})3.按升序排列Ri[1][2]…..[N]4.设j=15.qj=min{Q’,yj} 则将j移出供应商集合6.设置Q’=Q’-qj 如果Q’>0重新从步骤2进行，直到Q’<07.找出最优解单一采购战略最佳，2.Incremental units discount price 增量单元折扣货物价格决定于采购的数量，列出各个折扣等级，将不同供应商的折扣方案对应到相应的分类中1、活跃供应商设为X，作为所组成的所有供应商。

另外，设Q`=Q2、i包括在每个供应商中IfUiKi<Q”，计算ri=fiki(UiKi)/Uik，并且设qi=UiKi另外DOk=1;2;. . .;Ki Iflik≤Q,≤Uik，ri=fik(Q,)/Q,和qi=Q, END3、用ri的增加顺序表示供应商和将计算的ri进行按1,2…..N的排列，并设j=14、设Q，=Q,-qj X=j,IfQ,>0就进行第二步，否则就进行第五步。

5、对所有供应商k，有qk>0,通过修改选定的供应商部分订单数量来探讨所有可能的改进的解决方法。

6、最好的解决方案作为一个存储解决方案A。

7、重复上述除了步骤2外的步骤，首先计算ri=fi(UiKi)，并且再循环ri=fik(Q,),最好的解决方案作为一个存储解决方案B。

8、基于更优目标函数来选择方案A或B。

货物价格决定于采购的数量，列出各个折扣等级，将不同供应商的折扣方案对应到相应的分类中1.设置供应商集合设Q’=Q2.如果Uik<Q’计算ri=vik 设qi=Uik 否计算ri=max{Uik，Vik}3.按升序排列ri 设j=14.设Q’=Q’-qj 将j移出集合，如果Q’>0则重复第二步，否进行第5步。

江西省抚州市临川区一中2022-2023学年高一上数学期末经典试题含解析

故答案为： .
14、
【解析】根据侧面积计算得到，再计算半径为，代入表面积公式得到答案.
【详解】三棱锥的侧面积为，所以
故该三棱锥外接球的半径为：，球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
15、2
【解析】
取的中点，连接，，
则，
【详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t （k≠0）
∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，
∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）
（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；
（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：
13．已知定义在上的函数满足，且当时， .若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______
14．在三棱锥中，，，两两垂直，，，三棱锥的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为______.
15．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________
则为二面角的平面角
点睛：取的中点，连接，，根据正方形可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪里量没变
16、 ##
【解析】根据三角函数得定义即可的解.
【详解】解：因为点在角的终边上，
19．已知函数，且
（1）求a的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断
20．已知二次函数满足 .

高-数学知识点(大全)讲解(大全)

高中数学知识点汇总（高一）高中数学知识点汇总（高一） (1)一、集合和命题 (2)二、不等式 (4)三、函数的基本性质 (6)四、幂函数、指数函数和对数函数 (12)（一）幂函数 (12)（二）指数&指数函数 (13)（三）反函数的概念及其性质 (14)（四）对数&对数函数 (15)五、三角比 (17)六、三角函数 (24)一、集合和命题一、集合：（1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：①a A ∈↔a 属于集合A ； ②a A ∉↔a 不属于集合A ．（3）常用的数集：N ↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集； Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集正实数集R R ．（4）集合的表示方法：集合⎩⎨⎧↔↔描述法无限集列举法有限集；例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >．（5）集合之间的关系：①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A BA CBC ⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．②B A =或A BA B ⊆⎧⎨⊇⎩↔集合A 与集合B 相等； ③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（6）集合的运算：①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ↔集合A 与集合B 的交集； ②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或 ↔集合A 与集合B 的并集；③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．④得摩根定律：()U U U C A B C A C B =；()U U U C A B C A C B =（7）集合的子集个数：若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个非空子集；22n -个非空真子集．二、四种命题的形式：（1）命题：能判断真假的语句．（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件⇒α结论β；第二步：证明必要性：结论⇒β条件α．（4）子集与推出关系：设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =，则B A ⊆与βα⇒等价．结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人．小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件．二、不等式2(,)x +∞)2x 2[,)x +∞],21x四、含有绝对值不等式的性质：（1）b a b a b a -≥±≥+；（2）n n a a a a a a +++≥+++ 2121．五、分式不等式：（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ；（2）0))((0<++⇔<++d cx b ax dcx bax ．（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>；（2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>．八、对数不等式：（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)()(0)()1)((log )(log x x f x a x x f a a ϕϕϕ；（2）⎩⎨⎧<>⇔<<>)()(0)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．九、不等式的证明：（1）常用的基本不等式：①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)； ②+∈≥+R b a ab ba 、(2，当且仅当b a =时取“=”号)； 211a b+． ③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(33，当且仅当c b a ==时取“=”号)； ⑤n a a a na a a nn n (2121≥+++为大于1的自然数，+∈R a a a n ,,,21 ，当且仅当 n a a a === 21时取“=”号)；（2）证明不等式的常用方法：①比较法； ②分析法； ③综合法．三、函数的基本性质一、函数的概念：（1）若自变量−−−→−fx 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=),(； x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域．求定义域一般需要注意： ①1()y f x =，()0f x ≠；②y ()0f x ≥； ③0(())y f x =，()0f x ≠； ④log ()a y f x =，()0f x >； ⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．二、函数的基本性质：注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ．（注意：②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I 上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．零点定理：⎩⎨⎧<⋅∈=0)()(],[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)()0x a b f x ∈⎧⎨=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数，且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =．（4 （5注意：()()f a x f b x +=-⇒()f x 关于2a bx +=对称； ()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．注意：()()f a x f b x c ++-=⇒()f x 关于点(,)22b c+对称； ()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2a b+对称；()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数．（6）凹凸性：设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；例如：2y x =．进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；设函数(),y f x x D =∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数．例如：lg y x =．进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．若R x x f y ∈=),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T 为这个函数的周期．注意：若T 是)(x f y =的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期；周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b =-；（阴影部分下略）②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =； ③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-； ④1()()f x f x p =+或1()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1()()1f x p f x f x p ++=+-，0p ≠⇒2T p =；⑥1()()1()f x p f x f x p ++=-+或()1()()1f x p f x f x p +-=++，0p ≠⇒4T p =；⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-； ⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，a b ≠对称⇒4T a b =-； ⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++=（m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以(1)n a +为周期的周期函数；若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++=（m 为常数，n 为正偶数），则()f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．(0,)+∞[2,a +∞ 在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212d x x y y =-+-为MN 的曼哈顿距离．六、某类带有绝对值的函数：1、对于函数y x m =-，在x m =时取最小值；2、对于函数y x m x n =-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；3、对于函数y x m x n x p =-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；4、对于函数y x m x n x p x q =-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；5、推广到122n y x x x x x x =-+-++-，122n x x x <<<，在1[,]n n x x x +∈时取最小值； 1221n y x x x x x x +=-+-++-，1221n x x x +<<<，在n x x ∈时取最小值．思考：对于函数1232y x x x =-+++，在x _________时取最小值．四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数（1）幂函数的定义：形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像．（4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大；方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax by c cx d+=≠+0的变形幂函数的作图： ①作渐近线（用虚线）：d x c=-、ay c =；②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)bd；③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．（二）指数&指数函数1、指数运算法则： ①yx yxaa a +=⋅；②xyyxa a =)(；③xxxb a b a ⋅=⋅)(；④()xx x a a b b=，其中),0,(R y x b a ∈>、．23、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大；方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．（三）反函数的概念及其性质1、反函数的概念：对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫做()y f x =的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为1()()y f x x A -=∈．2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”） ①将()y f x =看作方程，解出()x f y =； ②将x 、y 互换，得到1()y f x -=； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1x f y -=过点),(m n ；②原函数)(x f y =与反函数)(1x fy -=关于x y =对称，且单调性相同；③奇函数的反函数必为奇函数． 5（四）对数&对数函数12 ①01log =a ，1log =a a ，N a N a =log ；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =； ③N M MN a a a log log )(log +=，N M NMa a a log log log -=，M n M a n a log log =； ④bN N a a b log log log =，a b b a log 1log =，b n mb a m a n log log =，b b ac a c log log =，log log N N b a a b =．34、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大；方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．五、三角比1、角的定义：（1）终边相同的角：①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； ③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）．（2（3）弧度制与角度制互化： ①180rad π=︒； ②1801rad =︒； ③1rad π︒=．（4）扇形有关公式：①rl=α；②弧长公式：r l α=；③扇形面积公式：21122S lr r α==（想象三角形面积公式）．（5）集合中常见角的合并：22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k ππππππππππππππππππππππππππ⎫⎫=⎫⎫=⎪⎪⎬⎪=+⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎪⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪⎫⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终边上任取一个异于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r ，则（7（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈） ①角α和角β的终边：②α的终边与2的终边的关系． α的终边在第一象限⇔(2,2)2k k παππ∈+⇔(,)24k k απππ∈+；α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242k k αππππ∈++；α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224k k αππππ∈++；α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24k k αππππ∈++． ③sin θ与cos θ的大小关系：sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）； sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；sin cos θθ=⇔5{22}k k ππθππ∈++，⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系： sin cos θθ<⇔(,)44k k ππθππ∈-+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨-<⎩； sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππθππ∈++⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨-<⎩；sin cos θθ=⇔3{}44k k ππθππ∈++,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式：（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）（奇偶性）（中心对称性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+ααπααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=--=-ααααααααcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=+-=+ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：（轴对称）（互余性）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-=-ααπααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=+=+ααπααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(（2）同角三角比的关系：倒数关系：商数关系：平方关系：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1csc sin αααααα ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin（3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；两角和差的正切公式：βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±．（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：ααα2tan 1tan 22tan -=；降次公式：万能置换公式：22222221cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪-⎪⎪⎝⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=ααααααααα2222tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=；（5）辅助角公式： ①版本一：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．②版本二：sin cos )a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2ba b aπϕϕ><<=．3、正余弦函数的五点法作图：以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,222ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作图．4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②R a A 2sin =，R b B 2sin =，RcC 2sin =；③c b a C B A ::sin :sin :sin =； ④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABCaR B CS bR A C cR A B⎧⎪=⎨⎪⎩△；4ABC abc S R =△．（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222；（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c Bb c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩．5、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：①12ABC S dh =△；②111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ===△；③ABC S =△l 为ABC △的周长．（2）在ABC △中，①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<； ②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C BA C CA B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot 22tan cot 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22A B A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos22sin cos 22C AC B ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩； ⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B AC A C BC B C ⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩⇒sin sin sin cos cos cos 222222A B C A B C <；⑥sin sin sin 4cos cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin 222sin sin sin 4sin sin cos 222A B C A B C A B C A B C A B C A B C ⎧++=⎪⎪⎪++=+⎨⎪⎪+-=⎪⎩；sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B CA B C A B C ++=⎧⎨++=--⎩；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩．其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．（3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3B π=．（4）ABC △的内切圆半径为2Sr a b c=++．6、仰角、俯角、方位角：略7、和差化积与积化和差公式（理科）：（1）积化和差公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩；（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧+=⎪⎪+-⎪-=⎪⎨-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．六、三角函数； ]．；．）1-=； 1min -=y ；解析：周期22T ππ==，由函数x y sin =的递增区间[2,2]22k k ππππ-+，可得 222232k x k πππππ-≤+≤+，即51212k x k ππππ-≤≤+，于是，函数5sin(2)73y x π=++的递增区间为5[,]1212k k ππππ-+．同理可得函数5sin(2)73y x π=++递减区间为7[,]1212k k ππππ++．当2232x k πππ+=+，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5；当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3y x π=+取最大值5-．例2：求函数5sin(2)7,[0,]32y x x ππ=++∈的单调区间和最值．解析：由[0,]2x π∈，可得42[,]333x πππ+∈．然后画出23x π+的终边图，然后就可以得出当2[,]332x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递增；当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73y x π=++单调递减．同时，当232x ππ+=，即12x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最大值12；当4233x ππ+=，即2x π=时，函数5sin(2)73y x π=++取最小值72-；注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠：（（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下： ①相位变换：当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向左平移个单位；当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−→=+向右平移个单位； ②周期变换：当1ω>时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；当01ω<<时，1sin()sin()y x y x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ③振幅变换：当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）； ④最值变换：当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向上平行移动个单位；当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−→=++所有各点向下平行移动个单位；注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．3、三角函数的值域：（1）sin y a x b =+型：设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值．（2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：引入辅助角,tan baϕϕ=，化为)y x c ϕ=±+．（3）2sin sin y a x b x c =++型：设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解．（4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：设sin cos [t x x =±∈，则212sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)2a t y bt c -=±++在闭区间[t ∈上求最值．（5）tan cot y a x b x =+型：设tan t x =，化为by at t=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x by c x d+=+型：方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x by c x d +=+型：化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy ϕ+=-，利用有界性，sin()[1,1]x ϕ+=-求解．（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c≠不全为0）型：利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 2cos 2222a cb bc a x x b x c x x x -+++=++，然后利用辅助角公式即可．4备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）例3：求函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2ππ+=k x ，Z k ∈，可得232x k πππ+=+，Z k ∈解得122k x ππ=+，Z k ∈．所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称轴方程为122k x ππ=+，Z k ∈．由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23x k ππ+=，Z k ∈解得62k x ππ=-+，Z k ∈．所以，函数5sin(2)73y x π=++的对称中心为(,7)62k ππ-+，Z k ∈．①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==； ②tan(arctan )a R a a ∈⇒=．（2）先三角函数后反三角函数： ①[,]22ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=； ②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=．（3）反三角函数对称中心特征方程式：①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-； ②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-； ③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-． 6、解三角方程公式：sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩．。

k折交叉验证逻辑回归算法

k折交叉验证逻辑回归算法
K折交叉验证是一种常用的机器学习算法，可以有效地评估模型的性能。

在逻辑回归中，使用K折交叉验证可以帮助我们找到最优的模型参数，从而提高模型的准确性和泛化能力。

K折交叉验证的基本思想是将数据集分成K个子集，然后使用其中的K-1个子集进行训练，剩下的一个子集作为测试集来评估模型的性能。

这个过程会重复K次，每次使用不同的测试集。

最后，将K 次的结果进行平均，得到模型的性能评估结果。

在逻辑回归中，我们可以使用K折交叉验证来确定最优的超参数，例如正则化系数。

正则化是一种常用的技术，可以避免模型过拟合。

通过交叉验证，我们可以找到最合适的正则化系数，从而提高模型的泛化能力。

K折交叉验证还可以用于特征选择。

特征选择是机器学习中的一个重要问题，可以帮助我们找到最优的特征集合，从而提高模型的准确性。

通过交叉验证，我们可以比较不同的特征集合的性能，从而找到最合适的特征集合。

在逻辑回归中，我们还可以使用网格搜索来确定最优的超参数。

网格搜索是一种常用的技术，可以在一定范围内搜索超参数的组合，从而找到最优的超参数。

通过结合K折交叉验证和网格搜索，我们可以找到最优的超参数组合，从而提高模型的性能。

K折交叉验证是一种非常重要的机器学习算法，在逻辑回归中也有广泛的应用。

通过K折交叉验证，我们可以评估模型的性能，确定最优的超参数和特征集合，从而提高模型的准确性和泛化能力。

集合竞价的规则与技巧

集合竞价的规则与技巧
集合竞价的规则与技巧
集合竞价（collective bidding）是指通过线下集合竞拍来完成商品交易的方式，它是一种常见的拍卖方式。

它的特点是可以减少商品购买成本，从而节约成本，提高社会效益。

参与者通过订购商品，实现相应的折扣或者特价，从而达到更低的集体购买成本。

一、集合竞价的规则
1、参与者：集合竞价可以有多个参与者，一般都是以团体的形式参与。

2、竞价时间：集合竞价通常有一定的时问限制，所以参与者需要在规定的时间内进行竞价。

3、竞价金额：参与者需要确定自己竞价的金额，越高的金额越容易获得竞价胜利。

4、竞价成功的规则：当有多个参与者竞价时，以最高的竞价者获得竞价的胜利，获胜者必须付出最高的竞价金额。

5、提交订单：获胜者需要在规定时间内提交订单，若超出规定时间未提交订单，将被视为自动放弃竞价胜利权。

二、集合竞价的技巧
1、研究竞价状况：在集合竞价中，参与者应该根据竞价状况来确定竞价金额，要合理把控自己的竞价金额，以期达到目的。

2、根据竞价金额调整竞价策略：参与者应该根据竞价状况及时调整竞价策略，一定要有所准备，以免在竞价中被别人获胜。

3、多元化竞价：参与者可以分批报价，以期望获得更低的价格，这样可以减少竞争者的出价。

4、尽量减少竞价信息的泄露：参与者在参与竞价时，要尽量减少竞价信息的泄露，不要向其他参与者泄露自己的出价状况。

5、谨慎的选择出价：参与者在选择出价时，要慎重考虑，避免在竞价中过度出价，从而影响自己的财务状况。

高中数学知识点总结(集合,不等式,函数))

上海教材高中数学知识点总结一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x > 0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ） 3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T ）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：a bx 2-= 顶点：)44,2(2ab ac a b --单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增当a b x 2-=，f(x)min ab ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2．对数式b N a=log N a b =⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b nl o g l o g =a bl o g 1=注：性质01log =a 1log =a aN a N a =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点（条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy =αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+6．特殊角的三角函数值7．同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈ 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a s i n :s i n :s i n ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π。

人教版六年级下册数学第二单元百分数(二)经典易错题及答案

人教版六年级下册数学第二单元百分数（二）经典易错题易错大集合易错点一：折扣典例某商城采用“满300送50”的办法来促销，购物满300元，赠送50元“礼券”，不足300元的部分忽略不计，如买720元商品，可获得两张50元”礼券”，可在下次购买时代替现金，但使用礼券的部分不能享受“满300送50”的优惠．一位顾客先用800元购买了A商品，得到“礼券”后，又用这些”礼券”和100元现金购买了B商品．问：这位顾客购买A、B两种商品相当于享受了折优惠．跟踪训练一1．A商场所有服装打八折出售，B商场不足200元不予优惠，购物超过200元，超过部分七折优惠。

王阿姨要买一件标价500元的衣服，到哪个商场去买比较合算？2．妈妈买了一辆自行车，原价480元，现在只花了八五折的钱，比原价便宜了多少钱？3．一套“雅戈尔”西服标价为1200元，现在打九折出售，现价是多少元？典例甲厂的产值由去年的315元增长到今年的510万元．乙厂的产值由去年的240万元增长到今年的465万元，哪个厂的产值增长得快一些？（）A．甲厂的产值增长的快一些B．乙厂的产值增长的快一些C．无法比较跟踪训练二1．十分之八＝0.8＝折＝成．2．达标率和增长率都可以超过100%．（判断对错）3．今年产量比去年增产四成，就是今年比去年多40%．．（判断对错）易错点三：税率典例联华超市十二月份的营业额是73000元，如果按营业额的4%缴纳营业税，十二月份应纳税元，还剩．跟踪训练三1．东方饭店2月份的营业额是90万元，按规定应缴纳5%的营业税，这家酒店缴纳营业税后的收入是4.5万元．．（判断对错）2．商店按5%的税率交营业税20元，则营业额是2万元．（判断对错）3．林老师编写了一本《趣味数学故事》，获得稿费3800元，按规定，一次稿费超过800元部分应按14%的税率纳税．林老师应缴纳税款多少元？典例小明去银行存入本金1000元，作为一年期的定期储蓄，到期后小明共取了1033元，则一年期的利率为（）A．3.00%B．3.25%C．3.30%D．4.25%跟踪训练四1．2021年2月明明把5000元压岁钱存入银行，当时的年利率是3.25%，今年2月明明计划用取出的利息为疫区的小朋友捐赠单价是3元一个的口罩．这些钱能够买多少个口罩？2．去年张爷爷把积攒的4万元钱存入银行，到期支取时共可得到多少利息？起息日：2019年1月8日到期日：2021年1月7日整存整取存期3个月半年一年二年三年年利率（%） 1.10 1.30 1.50 2.10 2.753．李师傅把5万元钱存入银行，整存整取五年，已知年利率是3.6%，到期时，李师傅可以获得本金和利息共多少元？参考答案易错大集合易错点一：折扣典例某商城采用“满300送50”的办法来促销，购物满300元，赠送50元“礼券”，不足300元的部分忽略不计，如买720元商品，可获得两张50元”礼券”，可在下次购买时代替现金，但使用礼券的部分不能享受“满300送50”的优惠．一位顾客先用800元购买了A商品，得到“礼券”后，又用这些”礼券”和100元现金购买了B商品．问：这位顾客购买A、B两种商品相当于享受了九折优惠．【解答】解：800÷300＝2（张）……200（元）2×50+100＝100+100＝200（元）（800+100）÷（800+200）＝900÷1000＝0.9＝90%90%就是指实际花的钱数是原来标价的90%，相当于打九折．答：A、B两种商品相当于享受了九折优惠．故答案为：九．跟踪训练一1．A商场所有服装打八折出售，B商场不足200元不予优惠，购物超过200元，超过部分七折优惠。

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规定：任何一个集合是它本身的子集. 如A={11，22，33}，B={20，21，31}，
那么有A A，B B.
例如：A={正方形}，B={四边形}，C={多边形}，则从中可以看出什么规律：
AB，B C， A C
从上可以看到，包含关系具有“传递性”.
新课讲授
真子集的定义：
如果A B，并且 A ≠B，则集合A是集合B 的真子集.
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问题：集合与集合之间的关系如何建立？
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横折竖折的括号

横折竖折的括号1. 什么是横折竖折的括号横折竖折的括号是一种特殊的括号形式，也被称为花括号、大括号或者curly brackets。

它由两个大括号组成，上下分别是横折和竖折的形状。

横折竖折的括号在数学、编程、语言学等领域中被广泛使用，用于表示集合、代码块、函数等的范围。

2. 横折竖折的括号的使用场景横折竖折的括号在不同领域有不同的使用场景，下面将介绍几个常见的场景。

2.1 数学中的集合表示在数学中，横折竖折的括号常用于表示集合。

例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3的集合。

横折竖折的括号可以清晰地界定集合的范围，使得集合的表示更加直观。

2.2 编程语言中的代码块在编程语言中，横折竖折的括号常用于表示代码块。

代码块是一段被一对横折竖折的括号包围的代码片段，在执行时作为一个整体被执行。

横折竖折的括号可以将代码块与其他代码分隔开来，提高代码的可读性和可维护性。

if x > 0:print("x is positive")else:print("x is non-positive")在上面的示例中，if语句后面的代码块被横折竖折的括号包围，表示它是if语句的执行部分。

2.3 函数的定义和调用在编程语言中，横折竖折的括号还常用于表示函数的定义和调用。

函数定义时，横折竖折的括号用于包围函数的参数列表。

函数调用时，横折竖折的括号用于包围传递给函数的参数。

def add(a, b):return a + bresult = add(1, 2)在上面的示例中，函数add的定义和调用都使用了横折竖折的括号。

3. 横折竖折的括号的规则和注意事项在使用横折竖折的括号时，需要遵守一些规则和注意事项。

3.1 成对使用横折竖折的括号必须成对使用，即每个左括号都必须有一个对应的右括号。

括号不匹配会导致语法错误。

3.2 嵌套使用横折竖折的括号可以嵌套使用，即一个括号的范围可以包含另一个括号的范围。

集合的概念

；
我们三个作为一个小组." "不！贝茜卡目前是军医,广大的伤病员特别需要她.不过伊戈尔会和你一起行动."说着,李小克拎来一个小木箱摆在师部桌案上. "来,你凑过来.把你背着的步枪拿下来,我给你添加新的零件." 李小克接过那把SVT30,他有打开木箱,一个全新的机关安装在步枪背带卡扣正前方. "那个专门制作的两脚架,我给你演示一下,那两只脚可以折叠伸缩." 那个时代并没有专门的狙击枪,士兵的莫辛纳甘和SVT都拥有狙击枪的能力,却因为理念原因,还不能作为真正意义上的狙击枪.为了更加像模像样,李小克绘制了图纸,铁匠村很快就完成了两脚架的设计. 娜塔莎对那个爱不释手,有了那个自己就不用费劲的托着枪.她的臂力已经练的很好,然而狙击手要求的就是长时间的等待,一刻不敢怠慢.胳膊举着枪时间长了会很酸痛,有了如同机枪一般的两脚架就不同了,何况那机关还能折叠. "那是我亲自设计的,专门给予你和贝茜卡的礼物.你们两个都是我关注的女孩,尤其是你.你是天生的狙击手,所以你必须要更优秀的武器才配得上你的实力.现在你的实力进一步提升了." 娜塔莎意味着那是什么,她热泪盈眶的深鞠一躬. "你别哭！不用太激动.若是感谢我,你就好好杀敌,到时候不仅仅是我的赏识.苏力英雄称号,金星勋章全都有了！" 来自军功的巨大刺激直击那丫头的小小心灵,娜塔莎背着枪敬了军礼离开. 望着她的背影,李小克自言自语."娜塔莎,你的未来真的要成个英雄,你是我的柳德米拉！" 兵马未动粮草先行,耶莲京娜也是大力支持那项行动.她考虑问题的角度比较特别,"那些德国人在到处杀人,也应该让让他们感觉到随时都有可能死亡的恐惧." 她责令军需官提供那次行动足够的给养,食物和被褥之外,就是大量的子弹. 每一个狙击小组由三个人组成

256个高中数学秒杀公式

256个高中数学秒杀公式第1章集合、命题、不等式、复数1.有限集合的子集个数公式为：子集个数为2^n个，真子集个数为2^(n-1)个。

2.集合中的重要结论：①若A∩B=A，则A⊆B；②若A∪B=A，则B⊆A；③若A⊆B，则A→B且B→A；④若A=B，则XXX且B⊆A。

3.求交集和并集的同时，需要分类讨论。

4.集合元素个数公式为：n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)。

5.常见的数集有：Z为整数集，R为实数集，Q为有理数集，N为自然数集，C为复数集。

其中正整数集为Z* = N* = {1.2.3.}。

6.均值不等式为：若a,b>0，则a+b≥2ab；若a,b<0，则a+b≤-2ab。

7.均值不等式的变形形式为：a^2+b^2≥2ab (a,b∈R)；(a+b)^2≥4ab (ab>0)；(a-b)^2≥0 (ab<0)。

8.积定和最小的情况为ab=p时，此时a+b≥2ab=2p。

9.和定积最大的情况为a+b=k时，此时ab≤(a^2+b^2)/2≤(k/2)^2.10.基本不等式为：(a/b+b/a)/2≥2，即a/b+b/a≥2.11.一元二次不等式的解法为：当不等式为大于号时，取两边；当不等式为小于号时，取中间。

12.含参数一元二次不等式的讨论步骤为：(1) 二次项系数a；(2) 判别式Δ；(3) 两根x1,x2大小比较。

13.一元二次不等式恒成立的情况为：(1) 若ax^2+bx+c>XXX成立，则a>0且Δ<0；(2) 若ax^2+bx+c≤XXX成立，则a<0且Δ≤0.14.任意性问题的解法：① XXX∈I，a>f(x)，则a>max；②若∀x∈I，a≤f(x)，则a≤XXX。

15.存在性问题的解法：①若∃x∈I，a>f(x)，则a>min；②若∃x∈I，a≤f(x)，则a≤max。

16.距离型目标函数为d=(x-a)^2+(y-b)^2，表示可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的距离。

集合一

第1讲集合及其表示1.集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集），常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2.常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N ，{} ,2,1,0=N ；（2）正整数集：非负整数集内除0的集合.记作N *或N +，{}*1,2,3,N = ；（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,{} ，，，210±±=Z ；（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q ,{}整数与分数=Q ；（5）实数集：全体实数的集合.记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R ； 3.元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4.集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准，给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，二者居其一而且只居其一.不能模棱两可；（2）互异性：集合中的元素没有重复；（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）. 5.集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合；如：{}6,4,8A =，{}B =刘，世，华，{}C =刘，思，法…（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，格式：{x ∈A|P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合；如：{}x R 2x-30∈≥…（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法. 点拨：{}21A x y x ==-，{}21B y y x ==-，(){}2,1C x y y x ==-是互不相同的集合.6.按元素的多少，集合可分为以下三类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x点拨：注意Φ，0，{}0三者的区别与联系.三【典例精析】例1.下列语句能确定是一个集合的是（要简述理由）（1）著名的科学家：（2）留长发的女生；（3）不超过π的正整数；（4）视力差的男生：（5）本班中成绩好的同学；（6）高一数学课本中所有的简单题；（7）平方后等于自身的数．例2.下列对象能否组成集合：（1）所有小于10的自然数；（2）某班个子高的同学；（3）方程210x -=的所有解；（4）不等式20x ->的所有解．例3.由实数,,x x x -,332,x x -所组成的集合中，最多含几个元素？例4.用描述法表示下列集合：（1）{1，4，7，10，13}；（2）{-2，-4，-6，-8，-10}；（3）所有奇数组成的集合；（4）坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.例5.用列举法表示下列集合（1）{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}；（2）⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ；（3）},)1(|{N n x x n ∈-=；（4）},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+；（5）设a,b 是非零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合.例6. 用符号“∈”或“∉”填空：（1）−3 N ，0.5 N ，3 N ；（2）1.5 Z ，−5 Z ，3 Z ；（3）−0.2 Q ，π Q ，7.21 Q ；（4）1.5 R ，−1.2 R ，π R ．例7.设集合A=（x,y,x+y ）,B=(0,2x ，xy)且A=B ，求实数x ，y 的值例8. 指出下列各集合中，哪个集合是空集？（1）方程210x +=的解集；（2）方程22x +=的解集．例9 用列举法表示下列集合：（1）由大于4-且小于12的所有偶数组成的集合；（2）方程2560x x --=的解集．例10 用描述法表示下列各集合：（1）不等式210x +…的解集；（2）所有奇数组成的集合；（3）由第一象限所有的点组成的集合．例11．用列举法表示下列各集合：（1）方程2340x x --=的解集；（2）方程430x +=的解集；（3）由数1，4，9，16，25组成的集合；（4）所有正奇数组成的集合． 2．用描述法表示下列各集合：（1）大于3的实数所组成的集合；（2）方程240x -=的解集；（3）大于5的所有偶数所组成的集合；（4）不等式253x ->的解集．四【过关精练】一.选择题1.给定四个集合：(){}(){}1,22,1M N ==，，{}{}1,22,1P ==，Q ,则（）A.M N =B.N P =C.M P =D.P Q = 2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．A a ∉C ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．6 D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0,2,3均可 6．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}7.将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3} D ．(2,3)8.集合,,,b a c x x a b c R a b c ⎧⎫⎪⎪=++∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的列举法表示应该是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{1,3} C ．{－1,1,3} D ．{－1,1}二.填空题9.集合A=}{0122=++x ax x 中只有一个元素，则a 的值是______10.已知P=}{R k N x k x x ∈∈<<,,2，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是_____ 11.用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N}＝____________12.已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，()14A -∉，则满足条件的a 的值为________．三.解答题13.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？14.用适当的方法表示下列集合：①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合； ③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．15.对于,a b N +∈，现规定：()()b b a b a a b a b a ⎧+⎪*=⎨⨯⎪⎩，与的奇偶性相同，与的奇偶性不同集合(){},36,,M a b a b a b N +=*=∈.(1)用列举法表示,a b 奇偶性不同时的集合M ； (2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？第2讲子集、全集、补集1．子集的概念：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 为集合B 的子集.记作A B (B A)⊆⊇或，读作A B (B A )“包含于”或“包含”.当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2.集合相等与真子集的概念：（1）如果A B ⊆，且B A ⊆，则称，记作A B ＝（2）如果A B ⊆，但存在元素B A x x ∈∉，且，则称A 是B 的真子集，记作A B(B A)⊂⊃≠≠或3.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.并规定：空集是任何一个集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 4.集合之间的基本关系.（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆；（2）对于集合A B C 、、，如果A B B C ⊆⊆，，那么A C.⊆+结论：含n 个元素的集合共有2n个子集；有个真子集；有个非空真子集. 5.补集：引入：观察下列三个集合： U ＝{高一年级的同学}——全集； A ＝{高一年级参加军训的同学}； B ＝{高一年级没有参加军训的同学}. 可知：（1）A U ⊆，B U ⊆；（2）集合B(或A)就是集合U 中除去集合A(或B)之外．——补集（1）定义定义（1）所要研究的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就是全集.全集常用U 表示. 定义（2）设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），则由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作S A ð，（2）符号语言：{|}且ðS A x x S x A =∈∉ （3）图形语言：如右图：（3）性质：ðU U φ=；ðU U φ=：()痧U UA A =.三【典例精析】例1.写出集合{}1,2,3A =的所有子集和真子集.例2.说出下列每对集合之间的关系：（1）{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5B =；（2）{}21P x x ==，{}1Q x x ==；（3）{}21,C x x k k Z ==+∈,{}D x x Z =∈.例3.（1）填空：N___Z ； N___Q ； R___Z ； R___Q ； Φ___{0}.（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？（3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？（4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 点拨：（1）“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}.（2）{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.例4.填空：（1）U={x|0≤X<6,X ∈Z},A={1,3,5},B=｛1,4}, 则U A ð=_____________,U B ð=_____________（2）U={3,6,9},{}210A x R x x =∈++=,则U A ð=____ ____ （3）U={实数}，A={有理数},则U A ð=____ ____（4）A={1,3,5},U A ð={2,4,6},B={4,6},则U B ð=____ ____ （5）全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则U A ð=_____________ ______例5.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求U A ð.例6.已知U ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与U Bð的关系四【过关精练】一、选择题1.下列八个关系式①{0}=φ；②φ=0；③φ={φ}；④φ∈{φ}；⑤{0}⊇φ；⑥0∉φ；⑦φ≠{0}；⑧φ≠{φ}其中正确的个数（）A.4B.5C.6D.7 2.集合{1，2，3}的真子集共有（）A.5个B.6个C.7个D.8个 3.集合A={x Z k k x ∈=,2}；B={Z k k x x ∈+=,12}；C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有（）A.（a+b ）∈AB.(a+b)∈BC.(a+b)∈CD.(a+b)∈A 、B 、C 任一个 4.下列各组对象不能形成集合的是（）A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=1图象上所有的点 5.设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（） A ．M N = B.M ⊆N C ．M ≠⊃N D ．M≠⊂N 6.下列各式中，正确的是（）A.2}2{≤⊆x xB.{12<>x x x 且}C.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}7.设一元二次方程()200ax bx c a ++=<的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式20ax bx c ++≥的解集为（）A.RB.φC.{abx x 2-≠} D.{a b 2-}8.集合A={x|x=2n ＋1，n∈Z}， B={y|y=4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为（） A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A≠B二、填空题9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为__________________10.设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围是。

9数学广角—集合(教案)三年级上册数学人教版

9 数学广角—集合（教案）三年级上册数学人教版教案：数学广角—集合一、教学内容本节课的教学内容选自人教版三年级上册数学教材，主要涉及“数学广角—集合”这一章节。

具体内容包括：集合的概念、集合的表示方法（如Venn图）、集合的基本运算（如并集、交集、补集）以及集合的实际应用等。

二、教学目标1. 让学生理解集合的概念，掌握集合的表示方法。

2. 培养学生运用集合知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：理解集合的概念，掌握集合的表示方法，以及运用集合知识解决实际问题。

2. 教学重点：通过实例让学生感受集合的概念，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：每人一份集合学习资料，包括Venn图和实际应用案例。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的集合现象，如班级里的学生、家里的物品等。

2. 讲解集合的概念：引导学生理解集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。

3. 学习集合的表示方法：介绍Venn图的概念，让学生通过观察Venn图理解集合之间的关系。

4. 团队协作活动：让学生分组讨论，利用Venn图表示给定的集合，并分析集合之间的关系。

5. 实际应用案例分析：让学生运用集合知识解决实际问题，如统计班级里喜欢不同运动的学生人数等。

6. 课堂练习：布置一些有关集合的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

六、板书设计1. 集合的概念2. 集合的表示方法（Venn图）3. 集合的基本运算（并集、交集、补集）4. 集合的实际应用七、作业设计a. 喜欢篮球的学生b. 喜欢足球的学生c. 既喜欢篮球又喜欢足球的学生d. 既不喜欢篮球也不喜欢足球的学生2. 答案：a. 喜欢篮球的学生：{1, 2, 3, 4, 5}b. 喜欢足球的学生：{6, 7, 8, 9, 10}c. 既喜欢篮球又喜欢足球的学生：{3, 4, 5, 7, 8}d. 既不喜欢篮球也不喜欢足球的学生：{1, 2, 9, 10}八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对集合的概念有了初步的认识，能够运用Venn图表示集合之间的关系。

集合的含义及表示听课感悟

集合的含义及表示听课感悟一、教学策略的选择：1、以学生为中心，充分调动学生的学习积极性。

以“内因是事物发展的根本原因。

”为理论基础。

根据《集合》这节课在高中教材的基础地位，也是高中数学的第一课。

首先，主要内容虽是对集合及创始人的一点材料。

但在这里创始人康托，年青，开创，受挫，患病，科研，最后被认可。

这曲折的一生与伟大的成就不得不令我们对他产生崇敬之情。

尤其是在患精神病发作的间歇还能从事研究。

他的执着的精神值得我们学习，同时也能激发出对集合这个要学习的内容求知欲。

集合是什么令康托如此执着。

然后，再向同学们简单的介绍集合在数学中的基础地位。

让同学们感到学好这堂课的重要性。

2、从学生的经验出发，培养学生的总结规律的能力。

（举例子、总结）根据认知心理学的理论，知觉对感觉信息的组织和解释功能主要依靠过过去的经验。

因此，在学习集合的概念的时候，首先，根据“物以类聚，人以群分”的常理，让同学们举出生活中的一些例子，近而再举出数学中这样的例子，一是为总结集合的做前提，二是让同学们能体会到，数学知识来源于实践。

然后，自然而然的结合这些能组成集合的例子对集合这个概念进行理解。

3、根据教学内容的特点，来选择不同的教学方法。

（自学，合作，师生互动，举例子，实际操作）本节课的内容，多而杂。

一些简单的，一看就能明白的，需要记忆的，就由同学们来自学。

例如：集合的表示方法，数集的记法，元素的概念，元素的表示方法，元素与集合的关系，集合的分类。

都要求学生来自学。

而对于元素的确定性这一难点，就设计“跳绳比较的同学能不能组成一个集合？”这个问题来让同学们讨论。

而对于互异性这个难点，通过对学生对“互异”的理解，先做解释，然后，举出在使用电脑时，在同一个地址下不能保存两个完全相同的文件。

又解决如果有相同的对象归入一个集合时怎么办？通过举例子“把1、1、0，三个数字组成的集合是什么样的呢？”再动手操作，把一个苹果，三个桔子，四个大枣归入一个集合（放到一个盒子里）。

scala flodright源码解析

Scala foldRight源码解析介绍在Scala中，foldRight是一个高阶函数，用于对集合进行折叠操作。

它接收两个参数：一个初始值和一个二元函数。

foldRight从集合的最右端开始，逐个对集合中的元素应用二元函数，并将结果累积到初始值上。

在本文中，我们将对Scala的foldRight函数的源代码进行详细解析，并深入了解其工作原理和使用方法。

foldRight函数签名首先，我们来看一下foldRight函数的签名：def foldRight[B](z: B)(op: (A, B) => B): B这个签名告诉我们，foldRight接收两个参数：初始值z和一个二元函数op。

其中，初始值z是泛型类型B的值，二元函数op接收两个参数：类型为A的集合元素和类型为B的累积结果，并返回类型为B的新累积结果。

实现原理我们可以通过递归来实现foldRight函数。

下面是一个简单的实现示例：def foldRight[B](z: B)(op: (A, B) => B): B = this match {case Nil => zcase x :: xs => op(x, xs.foldRight(z)(op))}这段代码首先检查集合是否为空。

如果为空，直接返回初始值z。

否则，我们将集合分解为头部元素x和尾部元素列表xs，然后递归调用foldRight函数来处理剩余的元素。

通过递归调用，foldRight会从右到左地对集合中的每个元素应用二元函数，并将结果累积到初始值上。

使用示例下面是一些使用foldRight的示例：示例 1：计算列表中所有整数的总和val numbers = List(1, 2, 3, 4, 5)val sum = numbers.foldRight(0)(_ + _)println(sum) // 输出：15在这个示例中，我们定义了一个包含整数的列表numbers。

集合的折分

集合的划分设A是一个n元有限集合，它的子集组成的集合叫做A的一个子集系，满足以下关系：（1）n元集合有个子集；（2）若B是A的子集，则称B与B的补集组成的一个互补子集{B，} (无序)则n元集合有个互补子集组；（3）若R中的元素满足：，且，则称R为A的一个划分，这时元素之间满足加法原理：，（|A|表示A的元素个数）；（4）若若R中的元素满足，则称R为A的一个覆盖，这时元素之间满足容斥原理：关于A与R通常有三种分类：一、将已知集合分成子集系。

涉及问题：对R中的子集提出要求，看对A的分解能否进行（存在性）？如何分解（构造性）？有多少种方法（记数）？（方法：特殊引路，探求证题一般规律。

）例1、设k是正整数，是从到的所有整数组成的集合，试问能否把分拆成两个子集A、B，使得。

分析：从特殊情况入手：取，，有，满足条件；取，，有，满足条件；猜想：把前个数作A，后个数作B，可作成一个符合条件的分拆。

证明：例2、设A=是一个n元有限集合，它的子集两两的交集都不是空集，求m的最大值。

例3、求证：集合可以分为117个互不相同的子集，使得：（1）每个含有17个元素；（2）每个中的元素之和相等。

注：可将分成m个集合，每个集合包含n个数，各个集合的元素之和相等，并且分法不唯一。

二、讨论子集的性质：按照一定的要求作出A的子集，本身具有一些性质，利用之间的关系构成另一类问题。

例1、设，，且G有以下性质：（1）对任何恒有；（2）证明：G中的奇数的个数是4的倍数，且G中所有数的平方和为一个定数。

例2、设，A、B都是的真子集，，证明：A或B中必有两个不同数的和为完全平方数。

例3、设集合A=，A的子集互不包含，求m的最大值。

例4、斯佩纳定理的应用：11个剧团，每天有一些剧团演出，其他剧团观看（演出的不能观看），如果每个剧团都看过其他10个剧团的演出，为演出至少几天？三、由子集系的性质讨论全集的性质。

（方法：利用对应原理，构造对应集合）对应原理：设都是有限集，为一映射，（1）如果为单射，则；（2）如果为满射，则；（3）如果为双射，则。

集合与元素的含义

集合与元素的含义集合：把某些指定对象（研究对象）集在一起就形成一个集合元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素集合与元素的关系集合通常用大写拉丁字母A,B,C......表示，元素用小写拉丁字母a,b,c......表示。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作a属于集合A。

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A,记作a∉A，读作a不属于集合A。

注意：符号“∈”，“∉”是用来表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系数学中一些常用的数集极其记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合, 记作N正整数集：非负整数集内排除0的集, 记作N*或N+整数集：全体整数的集合, 记作Z有理数集：全体有理数的集合, 记作Q实数集：全体实数的集合, 记作R练习一：判断数0，¾ ，π，-5，3分别属于N、Z、Q、R、N+中的哪个集合？集合的表示方法：图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合例如：用图示法表示大于5且小于10的整数用图示法表示大于1且小于10的偶数列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来表示集合的方法。

例如：用列举法表示大于5且小于10的整数用列举法表示大于1且小于10的偶数用列举法表示由方程的所有解组成的集合用列举法表示从51到100的所有整数组成的集合练习二用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合（2）方程X2=X的所有实数根组成的集合（3）由1-20以内的所有素数组成的集合（4）所有正奇数组成的集合列举法适用于集合中元素较少的，可以列举出来的，而有些集合中的元素是列举不完的，但是我们可以用这个集合中的元素所具有的共同特征来描述，也就是集合的另一种表示方法---描述法描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

具体方法是：在大括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合元素所具有的共同特征。

黄金集合的例子

黄金集合的例子
（最新版）
目录
1.黄金集合的定义
2.黄金集合的例子
3.黄金集合的应用
正文
1.黄金集合的定义
黄金集合（Golden Set）是一种特殊的集合，它由不可数无限元素组成，且具有某种程度的自我相似性。

在数学领域，黄金集合被认为是一种非常神秘的集合，因为它具有一些非直观的性质。

2.黄金集合的例子
黄金集合的一个经典例子是科赫曲线（Koch Curve）。

科赫曲线是一
种由无限多个线段组成的曲线，每一条线段的长度都是前一条线段的一半。

通过不断地把线段的末端向上折起，我们可以得到一条越来越接近黄金集合的曲线。

另一个例子是费伯曼数列（Fibonacci Sequence），它是由 0 和 1 组成的数列，每个数字都是前两个数字的和。

费伯曼数列具有自我相似性，因为数列中的每个数字都与整个数列具有相似的结构。

3.黄金集合的应用
尽管黄金集合在数学领域具有很多神秘的性质，但它在实际应用中也具有重要意义。

例如，在计算机图形学中，黄金集合可以用来生成分形图像，这些图像具有无限多的细节和自我相似性。

在金融领域，黄金集合也被认为是一种重要的投资工具。

黄金作为一种具有价值保存功能的商品，在全球范围内具有广泛的需求。

因此，投资
黄金被认为是一种有效的风险管理手段。

总之，黄金集合作为一种神秘的数学概念，它在多个领域具有广泛的应用。