北航研究生课程《矩阵理论》期末考试题2
北理工2018-2019学年第一学期《矩阵理论及其应用》期末考试题
北京理工大学2018-2019学年第一学期
《矩阵理论及其应用》期末考试试题
1. 给出正规矩阵和Hermite 矩阵的定义，并给出这两类矩阵的包含关系（10分）；
2. A 是n ×n 维矩阵，给出e A ,sin (A ),cos(A)的级数表达式（10分）；
3. 列举任意3种矩阵分解方法，并给出数学定义（10分）；
4. 对于任意m ×n 维复数矩阵A ，定义||A||=∑∑|a ij |n j=1m i=1，
证明||A||是矩阵范数（10分）；
5. 证明伪逆矩阵A +唯一（10分）；
6. 设A 是一个半正定H-阵且A ≠0,B 是一个正定的H-阵，证明|A +B|>|B|（10分）;
7. A 为正规矩阵，证明与A 酉相似的矩阵也是正规矩阵（10分）；
8. ||A ||<1，证明（E+A ）非奇异（10分）；
9. 证明ρ(A)≤||A||,其中ρ(A)为矩阵A 的谱半径，||A||为任意范数（10分）；
10. 已知V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间，证明dim (V 1)+dim (V 2)=dim (V 1+V 2)+dim(V 1∩V 2)（10分）.
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题
1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：
A 与
B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:
A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1
A RBR -=
11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换
111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。因此A 与B 的特征值相同。
#
2 作出下列矩阵的奇异值分解
10(1)A 0111⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)
632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2T
C A A ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
特征值对应，特征值对应
故26
3 2 6 32
210263 2 203 2 6 3220063 2 20 3
3H
A ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
-⎢⎥⎢⎥⎣
北航数值分析计算实习题目二 矩阵QR分解
数值分析
实习二
院（系）名称航空科学与工程学院专业名称动力工程及工程热物理学号SY0905303
学生姓名解立垚
1. 题目
试用带双步位移QR 的分解法求矩阵A=[a ij ]10*10的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知()sin 0.50.2,1.5cos 1.2,ij i j i j a i j i j ⎧⎫+≠⎪⎪
=⎨
⎬+=⎪⎪⎩⎭
(),1,2,...,10i j =。说明：
1、求矩阵特征值时，要求迭代的精度水平为12
10
ε-=。
2、打印以下内容：
算法的设计方案；
全部源程序(要求注明主程序和每个子程序的功能)； 矩阵A 经过拟上三角话之后所得的矩阵()
1n A -；
对矩阵()
1n A
-进行QR 分解方法结束后所得的矩阵；
矩阵A 的全部特征值()(),1,2,......10i i i
R I i λ=，和A 的相应于实特征值的特征向量；
其中()(),.i e i m i R R I I λλ==如果i λ是实数，则令0.i I =
3、采用e 型输出数据，并且至少显示12位有效数字。
2. 算法设计方案
本题采用带双步位移的QR 分解方法。
为了使程序简洁，自定义类Xmatrix ，其中封装了所需要的函数方法。
在Xmatrix 类中封装了运算符重载的函数，即定义了矩阵的加、减、乘、除、数乘运算及转置运算(T())。同时为了避免传递数组带来的额外内存开销，使用引用(&)代替值传递，以节省内存空间，避免溢出.
（1）此程序的主要部分为Xmatrix 中的doubleQR()方法，具体如下：
北航2010考博矩阵真题
北京航空航天大学2010年博士研究生入学考试
矩阵理论试题
一．选择题
1. 已知n 为向量组m ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关，m n >，则m βββ,,,21⋅⋅⋅线性无关的 充要条件是( )
A ． A 可由
B 表示 B. B 可由A 表示
C ． 线性组等价 D. 对应矩阵等价
2. 定义(){}V T T R ∈=αα|的值域，32123211654,32εεεεεεεε++=++=T T ， 3213987εεεε++=T ，求()T R 的维数（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3. A 合同于B 的充要条件是( )
A ．R(A)=R(B) B. 正惯性指数相等
C ．A 、B 正定 D. A 、B 存在
4. 已知ABC=E ，则下列哪个正确( )
A ．ACB=E B. CBA=E C ．BAC=E D. BCA=E
二．填空题
1. A 有5个特征值1,1,2,2,3，求|A-4E|= -36
2. A 、B 为n 阶矩阵，R(A)=n-1，R(B)=n ，R(A *B *)= 1
3. 已知⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡020B A ，求它的逆（ ） 4. 402,2,4=--αγβαγ，求=γβα,, -5 5. 已知3阶矩阵3,0,1-=λ，其中-1和3对应的特征向量为()()T
T 3,0,1,1,0,1-， 则0对应的特征向量为（ ） 6. ()()()T T T 1,0,0,2,1,0,0,0,1321===ααα，求()T 3,2,1用321,,ααα线性表示为（ ） 三． ())0(,3232,,23322221321>+++=a x x ax x x x x x f 通过正交变换为23222152y y y f ++= 求a 即正交线性变换。
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
( ) ( ) 三、 A∈ n×n. 证明（1） eA + = e− A ; （2） A+ = A ⇔ A2 是幂等 Hermite 阵且秩 A2 =秩 A
⎡1 2 0⎤
四、设
A
=
⎢ ⎢
0
2
0
⎥ ⎥
.（1）证
A
可对角化;
(2)求
A
及
eA
的谱分解;
⎢⎣−2 −2 −1⎥⎦
( ) ( ) (3)写出 A 的 Jordan 标准形；(5)求谱半径 ρ A 及 ρ eA .
⎡ 4 + 5e9t
七、解： eAt
=
1 9
⎢⎢−4 + ⎢⎣−2 +
4e9t 2e9t
−4 + 4e9t 4 + 5e9t 2 − 2e9t
−2 + 2e9t ⎤
2 − 2e9t
⎥ ⎥ ，可得解为：
1+ 8e9t ⎥⎦
∫ z(t) = eAt z(0) + t eA(t−τ )b(τ )dτ = e9t (1+ t,t, 2)T 0
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
计算机学院-北航研究生院-北京航空航天大学
计算机学院
计算机科学与技术（0812）
博士研究生培养方案
一、适用学科
计算机科学与技术（0812）
二、培养目标
1．坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品行端正，诚实守信，身心健康，具有良好的科研道德和敬业精神。
2．在计算机科学与技术方面具有坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，全面了解学科发展动向；具有独立从事科学研究的能力；具有良好的综合素质；能够独立地、创造性地从事科学研究工作，或具有主持较大型科研、技术开发项目，或解决经济、社会发展问题的能力；至少能熟练运用一门外国语撰写科技论文和进行国际学术交流。
3．在科学或专门技术上做出创造性的成果。
三、培养方向
按计算机科学与技术一级学科统一招生，按计算机系统结构、计算机软件与理论、计算机应用技术、计算机网络与信息安全等培养博士研究生。学科培养方向包括：1.计算机系统结构：具体研究方向包括高性能计算机体系结构、嵌入式与容错计
算技术、网络体系结构、分布式计算机系统、计算机存储技术、并行计算技术、分布式计算技术、新概念计算技术等；
2.计算机软件与理论：具体研究方向计算复杂性理论、计算系统建模理论、算法
理论、智能计算理论、程序的形式化理论与编程模型、程序变换方法与技术、
新型程序设计方法、可计算性理论、海量信息的理论与方法、软件中间件技术
等；
3.计算机应用技术：具体研究方向数据库应用技术、多媒体技术、数字图像及音
视频处理、虚拟现实技术与系统、计算机视觉、模式识别、计算机仿真技术、
嵌入式系统应用、物联网应用、云计算应用、服务计算、社会计算、大规模计
最新的北航考博经验
最新的北航考博经验
终于忙完了毕业论文，距离09年北航博士生入学考试结束已经半年了，现在在这里就我的经验给广大战友做个介绍吧，也让大家少走写弯路。也许是刚写完了论文的缘故，所以在写这篇“文章”时，也按照论文的格式来写吧。
一绪论
为什么读博？这个问题不好回答。每个人和每个人情况不一样，所学专业要求不一样。比如，旅游，酒店管理这样的专业个人认为本科就够了。计算机，机械这样的工科学科个人认为如果只想找个好工作，不在事业单位工作、不在高校当老师的话，读个硕士也就够了，将来弄个在职读博也可以（不过现在很多单位都不让）。数学，力学，这样的理科，或者在高校当老师，在科研单位、国有事业单位供职，个人认为如果年纪、精力、经济都允许的话，还是应该读一个博士，毕竟现在硕士每年都在扩招，也就越来越贬值了。
二．考前准备
考前准备包括专业选择、导师选择、考试复习资料搜集等等。好在现在是互联网时代，什么东西都可以在网上查到，其中专业的排名，导师信息，考试的科目都可以在北航的官方网站上查到。现在简要介绍一下：
1 专业。
北航很多专业在全国的排名都很靠前。其中工科总体在北京可以排到第二，仅次于清华，在全国，也可以进前十。其中比较有优势的有航空科学、计算机、电子信息、机械、材料、仪器、经管等。具体的可以上网查询，在这里就不多说了。
2 联系导师
联系导师很重要。因为考博和考研不同，它很多情况下是老师决定要不要你（当然分数也很重要）。但是是否联系了导师，导师同意你报考是否意味着你一定就能考上呢？答案是否定的！！我经常可以看到有些博友说他的导师已经同意报考了，就在那里得意洋洋，好象一定可以上一样。其实这是很愚蠢的想法，因为他的导师可能给N个人都说过同意报考这样的话！
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题
2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷
一、（20分）设矩阵
-----=111322211
A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；
（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236
-+；
（4）写出A 的Jordan 标准形。二、（20分）设2
2?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求2
2?R
的维数，并写出其一组基；
（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是2
2?R
的子空间，并写出W 的维数和一组基；
（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；
（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T
写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。三、（20分）
（1）设
-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设n
n ij C a A ?∈=)(，令
ij
j
i a n A ,*max ?=，
证明：
*是
n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；
（3）证明：*2*1
A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵
-=10010001111
1A ，向量
=2112b ，
（1）求矩阵A 的QR 分解；
（2）计算+
A ；
（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。五、（20分）
矩阵理论试题答案最终版
(3)
选取基为{1，t，t2},即由方程（2.1.4）得
2 0 2 3
0 2 3 0
2 3 a 0 0 a1 = a 2 2 5
e − e −1 −1 −2e e − 5e −1
所以 T 的特征值为 0，-1，3，对应的特征向量为 (0,1,1)T , (0, 0,1)T , (2, 0,1)T
1 1 2、 设{e1=(1 0 0)T,e2= (-2 2 1)T,e3= (1 1 1)T}为 R3 的一组基。 3 3
(1) 将上述基标准正交化； (2) 求一个镜面反射矩阵，H：R3 → R3,它使 He2 为平面 2x1 +x2 + 2x3 – 1 = 0 的 单位法向量； (3) 写出构造镜面反射矩阵 H 的 matlab 函数。 解：(1) 正交化得： 1 e= β= 1 1 0, 0 0 (e2 , β1 ) 1 2, e2 − β2 = β1 = ( β1 , β1 ) 3 1 0 (e3 , β1 ) (e3 , β 2 ) 3 −1 e3 − β3 = β1 − β2 = (β2 , β2 ) 15 ( β1 , β1 ) 2 单位化得：
免责声明 虽然是最终版，但仍不保证答案100%正确，只能说是比较接近正确 答案吧。希望大家好好备考矩阵理论。(可打印，可复制) 1、 在 3 维实系数多项式线性空间 P2[x]上定义如下变换 T：P2[x]→P2[x]
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
2 0 .5 t 1
，其中 t 为实数，
A11 A AH 12 （2）设 n 阶 Hermite 矩阵
H 1
证明： A11 0, A22 A12 A11 A12 0 。
A12 0 k k A22 ，其中 A11 C ，
aii aij
，
ji
（3）已知 Hermite 矩阵
A aij C n n
i 1,2,, n
，证明： A 正定。
2007 ~ 2008 学年《矩阵论》 课程考试 B 卷
1 2 2 A 1 4 0 0 4 0 ， 一． （20 分）已知矩阵
二． （20 分） （2）设 A 为 n 阶可逆矩阵，
A 1
证明：
1
A
是C
n n
上的相容范数， 为 A 的任一特征值，
三． （20 分）
对
f ( x ) R[ x ]3
R[ x ]3
。
表示实数域上次数不小于 3 的多项式与零多项式构成的线性空间，
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
T
T
8解线性方程组 (8I A) X 0
X 3 2,1,2
T
求得其一个基础解系
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
2 1 2 3 , , 3 3 3
将这三个标准正交向量组成矩阵 1 5 2 Q 1 ,2 ,3 5 0
1 2 T 1 Q AQ Q AQ 0 B n
二、正规矩阵
所以 A QBQT , AT QBT QT 从而可得 B B
T
即B为对角阵。
二、正规矩阵 推论10 : A为正交矩阵 A的特征值 的模 | i | 1 ， 且存在正交矩阵 U C nn 使得
T
4 3 5 2 3 5 5 3
2 3 1 3 2 3
二、正规矩阵
则矩阵 Q 即为所求正交矩阵且有
1 1 Q AQ 1 8
例2 : 设
4i 6 2i 4 3i A 4i 4 3i 2 6i 1 6 2i 2 6i
2
其特征值为
1 2 1, 3 8 对于特征值 1 解线性方程组 1
( I A) X 0
T
求得其一个基础解系
X 1 1,2,0 ,
X 2 1,0,1
北航硕士研究生矩阵理论2.4 矩阵的奇异值分解
N A Lv r 1 ,v r 2 , ,v n
H A 1u1v1H 2 u2v 2 r ur v rH
证 因为
所以
H O V 1 H U1V1 A U1 U 2 H O O V2
A , B R mn , 如果存在m阶
正交矩阵U和n阶正交矩阵V，使 B U 1 AV 则称A 与B 正交相抵. 定理 正交相抵矩阵有相同的奇异值.
证 设 B U 1 AV
因为
B H B V H A H AV
,所以
A H A与B H B
有相同的特征值，因而A 与B有相同的奇异值.
的奇异值分解
解
1 3, 2 1, 3 0, 对应的特征向量依次为
1 1 1 p1 1 , p2 1, p3 1 , 2 0 1 3 0 所以 rankA=2， 0 1
AA H ui iui (i 1,2,, m)
所以U 的列向量是 AAH 的特征向量.
同理V的列向量是 AHA 的特征向量.
源自文库
例： 在奇异值分解中，设U和V的列向 量分别为 u1 ,u2 ,,um 和 v1 ,v2 ,,vn ，则有
R A Lu1 ,u2 , ,ur
A Crmn r 0 , A H A
北航 矩阵论 习题2.1参考答案
6 3
1
2
1
所以
Q1
1
2
2
1 2
3 6
6
6
30
2
3
6
6
6
3 6
6 3
2
R1
0
0
1 1
3
3
3
0
2 6 3
又因为列满秩矩阵 A 43 ，所以存在正交阵 Q 44 使得 A QR ，
R
R1 0
mn
所以对 Q 进行扩展得到一个 4 4 的正交阵
1
2
1
即Q 2
1
2
．
再对 b1, b2, b3 单位化，可得 qi
bi bi
(i 1, 2,3) 于是，有
1
(a1,
a2
,
a3
)
(b1,
b2
,
b3
)
0
k21 1
k31 k32
(q1,
q2 ,
q3 )
b1
0 0 1
b2
1
i 2
1
2
0
b3
0
1 0
i
3
1
所以
1 i 1
2
6
3
Q
(q1, q2 , q3)
y1 x1 (2, 0, 2)T
历年矩阵论试题
南京航空航天大学
矩
阵
论
历
年
试
题
整理者：王正华
2007.1.28
一 设2615115126A −
=− −
（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2）求A 的行列式、不变因子，初等因子； （3）求A 的最小多项式； （4）写出A 的Jordan 标准形
二（1）设210121A
= −
，1）求12,,,F A A A A ∞；
（2）设A 为n
阶矩阵，证明2
1,max ij i j n
a A
∞≤≤≤≤
三（1）111111112A − =− −
，作出A 的满秩分解并求出A +
；
（2）利用该矩阵判断如下方程组
123123123
1121x x x x x x x x x −+=
−++=− −+= ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解
四 设V 是数域P 上全体3阶实对称矩阵作成的线性结构
（1）求V 的维数，并写出一组基
（2）在V 中定义变换100100()011010001011T X X
=
，证明T 是线性变换，并求T 在（1）中所取基下的
矩阵
五（1）设2010252,022024220t A t B −
==
，其中t 是实数，t 满足什么条件时A B >成立？
（2）设,A B 均为Hermite 半正定矩阵，证明：
○
1若A >0, 则AB 相似于半正定对角阵； ○
2若A >0, 则()00tr AB B =⇒=； ○
3若()0,tr AB = 则0AB =
一（20分） 已知 A =1001225i i −
，其中i
（1）求12,,,F A A A A ∞
（2）证明：A ≥0 （3）设,,n
矩阵理论(科学出版社)习题详细解答
习题 一
1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦ cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤
⎢⎥-++⎣⎦
，故由归纳法知
cos sin sin cos n
nx nx A nx nx ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
。
（2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。
（3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 ， 112211111 () n n n n
n n n n n n n n n n
i
i n i
n
n
i n n
n
a C a C a C a C a C a A aE J C
a J
a C a a -----=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
n
∑。 2．设112
2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦
则由得
2
1112
111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1时,不可能。
而由2
112
222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1
i P B P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而
1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
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姓名：学号：
1.（42分）填空
（1）设是R4的⼀一
组基,则在上述基下的坐标是___________________. ()
（2）在三次多项式空间中，由多项式组
张成的⼦子空间维数是___2___.（3）设矩阵,当参数a满⾜足_______()时,矩阵A与B相似.
（4）A=,则A的全部盖尔圆为_______________________________,且A是⼀一个________（可逆或者不不可逆）矩阵.
（5）设,则矩阵A的正奇异值有______个，_____(是或否)存在矩阵B使得BA=I n.
（6）矩阵幂级数=__________________。
（7）设，则A的Jordan标准形J=。（8）设，则A+=________________。
（9）若=__4__,的迹=__2sin1__.
（10）设，则||A||1=_6___,||A||F=____. 2．（15分）设A=,求A的奇异值分解.
解：，则
，
对，求得
对，求得
分别单位化为;令
⽽而，补充基为
令所以
3．（10分）设并且A是正交矩阵，证明A的每个特征值的模等于1.课本P51推论2
证明：设,共轭转置得所以
即
4．（18分）已知A=，b=.（1）求A的满秩分解，并⽤用满
秩分解求.（2）判断⽅方程组Ax=b是否有解.（3）求Ax=b的极⼩小范数解或极⼩小最⼩小⼆二乘解.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
5．（15分）设，求.
解：，因为所以最⼩小多项式为，设.有：