北航研究生课程《矩阵理论》期末考试题2

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学年工科硕士研究生期末考试矩阵论试题

武汉大学数学与统计学院2005-2006学年工科硕士研究生学位课程期末考试《矩阵论》试题 (A 卷，150分钟)专业电气工程班号姓名学号注：所有的答题内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方的一律无效；交卷时将试卷连同答题纸、草稿纸一并上交。

一、是非题(满分12“√”,否则打“×”)(√A 是n m ⨯的实矩阵，x 为n 维向量，则⇔=0Ax A T 0=Ax ；()()212200*0*000T T T m j mjm ji A Ax x A Ax Ax a a a Y Ax ⨯=∴==⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇔=⇔==∑∑Tij m n j=1j=1令Y=（y ），则Y Y=0，即 ( × ) 2.设n 阶方阵A 满足E A =2，则A 的特征值只能是1；也可能是-1，如令1001A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭证明：21111111A E A AAx x A Ax A x x A x Ax Ax x λλλλλλλλ----=⇒==⇒=⇒==⇒=⇒=⇒=±(√ ) 3.欧氏空间n R 上的任意两种向量范数都是等价的；在线性空间中所任意两种范数等价而欧氏空间是一种特殊的线性空间(√ ) 4.设A 为n m ⨯矩阵，B 为n 阶可逆方阵，则---=A B AB 1)(.()()()111()AB B A AB ABB A AB AA AB ABAB B A--------===∴=二、填空题(本题满分12分,每空3分).设有三个四维向量T T T Z Y X )3,1,1,2(,)1,1,1,1(,)1,1,1,1(=--=-=.则它们的2-范数分别为=2X2 ; =2Y2 ;2Z 且与Z Y X ,,都正交的所有向量为 (4013)k -. 即求1234111101111021130x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解。

09+10年北航研究生矩阵论矩阵理论B期末试卷

二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、因为 A+ = A，故 A3 = A 所以秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的零化式。故 B 的最大特征值为 1 （否则 B 为零矩阵，从而 A = 0 ，矛盾），所以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞

研究生期末试题矩阵论a及答案

计算 ,
,
可得谱分解式（10分）
六、当时，；当时，存在与使得，从而有
，（4分）
对于，有
，（7分）
对于，有
所以是中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
，，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为，所以，于是
由此知的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当时，，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间中任意矩阵，规则，分别为
，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基，，，下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因，，故为上的变换，不是上的变换。（4分）
又对于线性空间中任意矩阵，，，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中，试求，，， .
八、(10分)已知矩阵，写出矩阵函数的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长春理工大学
研究生期末考试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第一学期□开卷√闭卷
长春理工大学
研究生期末考试试题
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：理工科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第一学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间中任意矩阵，规则，分别为，问，是否为上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基，，，下的矩阵．

研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二

研究生矩阵论课后习题答案（全）习题二习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ??-??-+-??; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ-?-??-??; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ??+--+-??+--+-+---??;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ++?? -----??. 解：（1）对矩阵作初等变换23221311(1)10010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-→-→?-++，则该矩阵为Smith 标准型为+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ??--??-??；（3）对矩阵作初等变换故该矩阵的Smith 标准型为+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ-??-??. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ-----??；（2）1001000λαββλαλαββλα+-+?+??-+??；（3）100100015432λλλλ--?-??+??；（4）0012012012002000λλλλ+++??+??. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ??++??--+--+??；（2）322322 2212122122λλλλλλλλλλ??-+--+??-+--??. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687------??；（2）452221111-----??；（3）3732524103---??--??；（4）111333222-----??；（5）***********????-????--??；（6）1234012300120001??. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ??-→??-+??，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-；（2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ-→??-??，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ?? -→??-+??,故A 的初等因子为从而A 的Jordan 标准形为1000000i i -?? ; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ??-→??,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ??-→??+??,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001--??; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ-------??-=??--??-?? ，该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001. 5．设矩阵142034043A ??=--??，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη==-,100050005?? Λ=??,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -??-?=Λ=-. 6.设矩阵211212112A --=--??-??，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1 P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ--=-+→- ---,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ??=??.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x --= ?--??解之,得12100,111X X== ? ? ? ?-.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ?? ?-??,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组11212121211111122200021110002k k k k k k k k k -- -→-+----,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ??= ? ???.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ??==??-??.7.设矩阵102011010A ??=-??，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --??-+=--??.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++L ,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=L ,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-L ,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则9.设矩阵2113A -??=，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I -----++-=-==-.10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2n A 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-；（2）422575674-??----??；（3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a --?=??--??--??. 解:(1) 设311020111A -=??,则231110002002011100(2)I A λλλλλλ---=-→-----,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -=----??,则2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。

矩阵理论期末复习题

1、非齐次微分方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=+=T x t F AX dt dx1,0)0(的解：其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3553A ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0t e t F2、设nn CA ⨯∈，则对任何矩阵范数∙，都有A A ≤)(ρ。

3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100012A ，求Ate 。

4、设nn CA ⨯∈，且1)(<A ρ，求级数∑∞=0m mA的和。

5、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=502613803A 的约当标准形。

6、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 。

7、讨论kk kk⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∞=128160的敛散性。

8、线性变换的秩与零度的定义，秩与零度之间的关系 9、已知m nm R b R A ∈∈⨯,，对于矛盾线性方程组b Ax =，使得22)(b Ax x f -=为最小的向量)0(x 称为最小二乘解，试导出最小二乘解所满足的方程组。

1.设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式230123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为2301122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+-，求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。

2.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=032100010A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010A ，求A e 。

3.求矩阵1141⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的谱分解。

4.求微分方程组112212313214221tdx x x dt dx x x dt dx x x e dt ⎧=-++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++-⎪⎩和1132123313383625dx x x dt dxx x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=--⎪⎩满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

5.证明矩阵nn CA ⨯∈的幂序列}{)(m A 收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。

北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解

类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n

即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3

北航矩阵论习题2.1参考答案

则
T1
A
0
4
1 ；对于 b(2) (4,3)T ,构造 T2 使 T2b(2) b(2) e2
0 3 2
4 / 5 3 / 5 4 1 5 2
T2
3
/
5
4
/
5
,
T2
3
2
0
1
0 1 0
0 4/5 3/5
所以， T
I 0
0 T2
T1
4 3
/ /
5 5
0 0
3/5
3 )T 3
由 a3 (2, 0, 2)T ，有
12
a3
(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a3, b2 ) (b2 , b2 )
b2
(2, 0, 2)
14 26
(3,1, 4)T
13 24
(10 , 14 , 4 )T 13 13 13
0T
13
故
k31
7 13
，
k32
1 2
3 26
i 2
1 i
6
3
0
2i 1 6 3
R
b1
b2
1
i 2
1
2
2
i 2
0
b3
0
1 0
i 3 1
0 0
3 6
0
1
2
i
6
2
3
2 0 0
1
30
1
3
2
6
3 3
1
对
P
中对应
Q1 的列向量做单位化得
P
2
1
2
3

2011北航矩阵理论A

2011学年 (A)学号姓名成绩考试科目：《矩阵理论》（A）考试日期：2011年 1 月10 日注意事项：1、考试7个题目共7页2、考试时间120分钟题目：一（本题35分）二（本题18分）三（本题14分）四（本题08分）五（本题07分）六（本题09分）七（本题09分）(注: I表示单位矩阵；HA表示H转置；det(A)代表行列式)姓名：学号： A 一. 填空(35分) ( 任意选择填写其中35个空即可 ) (1)1113A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2(2)A I -= ，A 的Jordan 形A J =(2)若3阶阵2≠A I ，且2440-+=A A I ，则Jordan 形A J = (3) I 是单位矩阵，则范数1||I||||I||∞== ；cos 0n n ⨯= (4)Hermite 阵的特征根全为 , 斜(反)Hermite 阵的特征根必为纯虚数或(5)秩 ()()()r A B r A r B ⊗-= ； ()A B A B +++⊗-⊗= ；；()TTTA B A B⊗-⊗=；()H H H A B A B ⊗-⊗=(6) 若2320++=A A I ，则A 一定相似于 (7)d dttAe= ，d d ttAe -= ，d sin (A t)d t=(8)2()A A += ；00AB +⎛⎫=⎪⎝⎭ ； (, 0)0A A ++⎛⎫- ⎪⎝⎭= (9)设A 的各列互相正交且模长为1，则 H A A +-= (10)(),ij A a =则 22,,()()H Hij ij i ji jA A a A Aa -=-=∑∑tr ||tr ||(11) 若 ()0HA A =tr 则A =(12) (正规阵无偏性)若A 是上三角形正规阵，则A 一定是 (13) 若0n n n n B D C ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭为正规阵，则D = (14)021, ,103aA B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A B ⊗的特征根为(15)0.20.30.210.50.20.310.30.40.21A x ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥==⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, , 则谱半径(最大特征根)()A ρ范围是；且A x ∞= ；||A ||∞=(16)01,10A -⎛⎫=⎪⎝⎭则 ()=A H Ae e(17)111⎛⎫⎪⎝⎭1A =11A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则的极小二数解是 ; +A = ..(18)设矩阵A 中各列都可用B 的列线性表示，则有矩阵P 使A = (19)ｎ阶阵A 的谱半径()A ρ与矩阵范数||||A 的关系是． (20)A 是方阵(k 是自然数),则矩阵范数||||,||||kkA A 的关系为且()()]k k A A ρρ-= [(21)⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭1 12A 1 12 2 2 4的满秩分解为(22)如果A C , B D 有意义,则()()()()A B C D AC BD ⊗⊗-⊗=(23)ABC 有意义，则有拉直公式：()TABC A C B -⊗=(24)已知方阵A ,B , 则A X X B C -=有唯一解⇔⇔A 和B 没有公共二.(18分)计算下列各题 1.设1123121211212A i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，100x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=, (1)求行范数||||A ∞，向量范数||||Ax ∞．(2)画出A 的盖尔园，判断A 是否可逆2. (1)0.50 ,10.4A ⎛⎫=⎪⎝⎭设判定收敛性并计算：0()kk I A A ∞=-∑(2)I 为单位矩阵，用Taylor 公式验证tIte e I=且0n neI ⨯=三.(14分)1已知52525252222132t ttttAttt t e e ee e e e e e ⎛⎫+-= ⎪-+⎝⎭用导数求矩阵A (4分)2.若已知sin()()At B t =, 如何用导数公式求A （写一个公式）(3分)3.设,A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭210020002(1)求A 极小式； (2) 计算cos(2)A π (7分)四.(8分)已知矩阵A 的最小式为2(2)(1)λλ--），可知有以下公式(广谱公式) ：12()(1)(2)(2)f A f P f P f P'=++，()f x 为任意解析式.用选取()f x 的方法求出11,,P P P 的表达式, 并求cos(2)A π五.(7分) 设11111(1,1,1,1)22211B⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T, D, b,45BA⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭D.求A+与A x=b的极小范数解或最佳极小二乘解六.(9分)求100120A⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=的正奇异值与简化奇异值分解，写出A+的简化奇异分解七. 1设3214A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求tAe 的谱分解与谱半径()A ρ (5分)2设110011001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个矩阵B (具有正的特征根)，使10BA = (5分)附加题：简证下题(任选1题) (3分) (1)m nA ⨯∈ 证明 ()()HA A ⊥R N ; (2)A n n ⨯∈n nC可逆, 则1||||||||1A A -∞∞≥。

北京航空航天大学2017年度-2018年度第一学期矩阵B试题

2017－2018 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2018年 1 月23日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试8个题目共9页2、考试时间120分钟题目：一、（本题 21 分）二、（本题 10 分）三、（本题 10 分）四、（本题 10 分）五、（本题 15 分）六、（本题 12 分）七、（本题 12 分）八、（本题 10 分）1. （21分）填空（1）A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111, A 的满秩分解为( ).（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 20021，则A + = ( ).（3）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011021010, 则 A 的Jordan 标准型J = ( ).（4）设q m q p n m C D C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,, 则矩阵方程D AXB =相容的充要条件是( ).（5）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432321210, 则 ||A||1 = ( ), ||A||∞= ( ), ||A||F = ( ).（6）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012, k 为正整数，则A k =( ).（7）设三阶矩阵A 的特征值为-1,0,1. 则矩阵A e sin 的行列式是（）.2．（10分）设 T 是线性空间3R 上的线性变换，它在3R 中基321,,ααα下的矩阵表示是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=512301321A . （1）求T 在基321321211,,αααβααβαβ++=+==下的矩阵表示. （2）求T 在基321,,ααα下的核与值域.3．(10分) 设A = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.06.06.02.0, 求证矩阵幂级数∑∞=12k kA k 收敛并求和.4．（10分）设 A = ⎪⎪⎭⎝-110, 求A 的奇异值分解.5．（15分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎝--5334y x的二重特征值2=λ有两个线性无关的特征向量. （1）求y x ,.（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（3）求A 的谱分解表达式.6．（12分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----354113211101，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333.（1）用满秩分解求+A . （2）判断方程组Ax = b 是否有解. （3）求Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.7．(12分) (1) 设n n R A ⨯∈. 证明A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值n λλ,,1Λ为实数，且存在正交矩阵n n R Q ⨯∈，使得},,{1n T diag AQ Q λλΛ=.(2) 设k n n m C B C A ⨯⨯∈∈,, R(A)与R(AB) 分别表示A 与AB 的值域. 证明: R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在矩阵,n k C D ⨯∈使得ABD=A.8．（10分）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----222132021，求e At ..。

研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全

矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。

解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。

解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。

()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。

矩阵理论历年试题汇总及答案

矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。

历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。

以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。

矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。

答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。

接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。

特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。

答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。

计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。

矩阵论考试题和答案(详细)

一、（20 分）（1）特征值多项式为 f (λ ) =
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
共 4 页
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三、（20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x

北航矩阵理论2019-2020学年第一学期期末试卷及解答

1
2
1
2
Байду номын сангаас
，b
=
0
.（1）求
A
的满秩分解，并用满秩
1 0 -1 0
2
0
1
1
1
-1
分解求 A+ .（2）判断方程组 Ax = b 是否有解. （3）求 Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.
1 1 0 1
1 0 -1 0
解：（1）
A
⎯行⎯→
0 0
1 -1
1 -1
1
⎯行⎯→
0
-1
n −1 1 j =1 3j
1 ,p 2
= 1,
,n .每个圆都是孤立
的，所以 A 有 n 个互异的特征值，即 A 相似于对角阵。 (2)因为 A 是实矩阵，圆心都在实轴上，所以特征值如果是复数只能共轭成对出现，这与圆内只有一个特征值矛盾，所以只能是实数。.
1 1 0 1
1
4．（18 分）已知 A =
0
1 0
1 0
1 0
0
1
1
1
0 0 0 0
1 1
A = 1 1
2 0
1 0
0 1
−1 1
0 1 =FG
0 1
（2）
3
3 1 5 -2
A+
= G（H GGH）−（1 FHF）−1FH =
1
1
2
0
1
15 -2 1 -5 3
1
2
0
1
（3） AA+b=b,故Ax = b有解.
（4）极小范数解 A+b = (1，0,-1,0)T ,

北航矩阵论大作业

2019--2020第二学期大作业一.(10分)判断正误(1) 列向量X 的模长||X 满足公式2||H X X X =，也有2||H H X A AX AX =. （）而且如果0HA AX =，则有可能0AX ≠ （） (2)设()ij m n A a ⨯= 则有迹公式：2()()||HHij tr A A tr AA a ==∑ （）而且若()0H tr A A =，则可能有0A ≠ （）(3)若B 是列满秩(高阵), C 是行满秩, 则11(), ()H H H H B B B B C C CC +−+−==（） (4) 若A BC =是满秩分解(高低分解)，则A C B +++= （） (5) 若矩阵()ij A a =的秩为()1rank A =，则21(||)H ij A a A +−=∑ （）(6)设,()ij n n A a =特征值为1,,n λλ，则有许尔不等式：221,1nnk ijk i j aλ==≤∑∑（）(7)若A 是酉矩阵(HHA A AA I ==), 则1H A AA +−== （）(8)若A 是正规阵, P 是同阶酉矩阵，则HP AP 也是正规阵. （） (9)若A 是正规阵, 则存在酉矩阵P 使HP AP D =为对角阵. （） (10)若正规阵A 特征根为1{,,}n λλ，则它的全体奇异值为1{||,,||}n λλ （）(11)若A 是n 阶方阵, 则行列式()det()Atr A ee = 且A A e e I−=(单位阵) （）(12) ,A B 是任意矩阵，则()H H H A B A B ⊗=⊗，()A B A B +++⊗=⊗ （） (13)方阵A 的特征根λ，谱半径()A ρ满足1||()||||A A λρ≤≤且33[()]()A A ρρ= （） (14)设,n p p n A A B B ⨯⨯==，则AB ,BA 有相同的非0特征根，且()()tr BA tr AB = （） (15) ||||•是矩阵范数, I 是单位阵, 则可能有 ||||1I < （）(16)许尔定理说：若A 是n 阶方阵, 则存在酉矩阵P 使HP AP D =为对角阵. （） (17)若x=b A 无解(不相容), 则x=b H H A A A 也无解(不相容) （）(18)111, ,002a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭张量积A B ⊗的全体特征根为{ , 2a b } （）二. 化简与计算(10分)1.设A 的QR 分解是A QR =，其中H Q Q I =，化简H R Q A −2. 已知2A A =, 化简2323!AA A eI A =++++=？3. 0c ≠为复数，求正规阵00c A c ⎛⎫= ⎪⎝⎭谱半径A ρ()；写出0kk A ∞=∑收敛的条件4. 已知2()0A I −=，化简23(())(())()23!()?t A I t A I t A I eI t A I −−−=+−+++=且()()?tA t A I tI t A I tI e e e e −+−===5.111A −⎛⎫⎪⎝⎭3=，化简2(2)A I −，(2)t A I e −，(2)2?tA t A I tI e e e −==二. 计算(15分)1. 211421A ⎛⎫⎪− ⎪ ⎪⎝⎭=．求A 的正SVD (正奇值分解)与奇异值分解．2. 212,(1)1i i i A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭= 求QR 分解A QR =三. 计算(15分)1.已知cos3sin 3sin 3cos3tAt t e t t −⎛⎫= ⎪⎝⎭，求tAe −，0?, ?tA t de A dt =⎛⎫== ⎪⎝⎭ 2.求解微分方程：1d , (0),1d XAX X t ⎛⎫== ⎪⎝⎭其中0330A −⎛⎫= ⎪⎝⎭3.1()1i A i i ⎛⎫== ⎪⎝⎭求：A + ，特征根()H A A λ，谱范数2A 4.用盖尔圆盘定理估计111999111999111416161111010102468A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的谱半径()A ρ的范围四. (15分)说明01110-11-10A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否正规阵？并求A 与1A −的谱分解，计算100A五. (10分) 设列向量1(,,)0T n X x x =≠,令(镜面阵)22||H XX P I X =−，其中2||HX X X =. (1)21, , , ? H P P P I P P PX P −−−−=计算:是否酉阵，(优阵)？ (2)用秩1方法求H XX 的特征根()HXXλ,)P P λ(求全体特征根的；(3)已知1||322, 00,22002X ααβαβ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪====−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令求22?, ||HXX P I P P X αββα=−=== 验证六.计算与证明(13分)1.设110011001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求一个矩阵B , 使10B A =2.若n 阶Hermite 阵A 的互异特征值只有1，-1，计算20202021A A 与3.证明：若列向量,x y 满足H H A Ax A Ay =，则必有Ax Ay =七.简述题(12分)写出你对正奇值分解(正SVD)或奇异值分解(SVD)的理解；试用一个例子说明它的应用.。

北航研究生2009年矩阵B班考试题目

2009年：《矩阵理论》（B ）一、(15分) 设A 是7阶方阵，且I A λ- 等价于准对角阵：D = diag 2221,1,(2),(2),1,101 λλλλλλ⎧--⎫⎛⎫---⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭(1) 写出I A λ- 的初等因子, 不变因子．(2) 求I A λ- 的Smith 标准型．(3) 求A 的最小多项式，Jordan 标准形．二、(15分)设200121101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2) 证明A 可对角化；(2)求A 的谱分解并计算100A 及A e ；(3)若A 可逆求1A -的谱分解．三、(10分)设,()m n A rank A m ⨯∈=n n C ，证明{1,4}{}A A +=n ．四、(15分) A n n r⨯∈n n r C ，若+A =A 证明（1）2rank(A )=rank(A)；（2）A 是可对角化的；（3）A 的Jordan 形为diag {}1,1,1,1,0,,0 --五、（15分）设121123122i A i i i i ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+-=--++（21i =-），01i x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=（1）计算1A 与A ∞．（2）计算1Ax ，2Ax 及Ax ∞．（3）估计A 的特征值分布范围．六、（15分）设1106511181221146A -⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭，201b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的满秩分解．（2）计算A +．（3）判断Ax b =是否相容，并计算其极小范数解或极小最小二乘解．七、（15分）设542452228A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=--，99()0t t e b t e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，123()()()()x t x t x t x t ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，（1）计算At e ．（2）应用矩阵函数方法求微分方程组()()()dx t Ax t b t dt=+满足初始条件()(0)1,0,2T x =的解．八、（附加题）设m n A R ⨯∈，秩A n =，证明12()1T T A A A A -=．。

西北工业大学研究生矩阵论试题2006

矩阵论试题（06，12）一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A1. A-B 的Jordan 标准形为J =2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（）。

3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。

（）4.=pB c e v )(（），其中+∞<≤p 1。

5. 若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（）。

6. A ⊗B 的全体特征值是（）。

7.=⊗2B A （）。

8. B 的两个不同秩的{1}-逆为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1(,B B 。

二.(10分)设nm C A ⨯∈,对于矩阵的2-范数2A 和F-范数F A ，定义实数 222FA A A +=（任意nm CA ⨯∈）验证A是nm C⨯中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011)0(,0)(,11120211133x e e t b A t t。

1. 求Ate ；2. 用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dtd+=满足初始条件x (0) 的解。

四.(10分)用Householder 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4021030143010021A 的QR 分解。

五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i A 116864120的特征值。

（要求画图表示）六. (15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3131,1212010121211010b A 。

1. 求A 的满秩分解； 2. 求A +；3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解；4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。

（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)已知欧式空间R 2⨯2 的子空间,0032414321⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x x x xx x X V R2⨯2中的内积为,,),(222112112121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==a a a a A b a B A ij i j ij,22211211⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b b b B V 中的线性变换为T (X )=XP+XT, 任意X ∈V ， .0110⎪⎭⎫ ⎝⎛=P1. 给出子空间V 的一个标准正交基；2. 验证T 是V 中的对称变换；3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 八. (7分) 设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，T e 表示V n 的单位变换，证明：存在x 0≠0，使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是21=λ为A 的特征值.。