一元二次方程根与系数的关系导学案

21一元二次方程根于系数关系

学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立

2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；

学习重点：根与系数的关系及推导

学习难点：正确理解根与系数的关系

预习案

一．学前准备

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

⑴x2 + ２x = 0 ⑵x2 + ３x －４= 0 ⑶x2－５x + ６= 0

（一）尝试探索，发现规律：

．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与a、b、c有何关系？请你写出关系式

小结：

1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____． 2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________

探究案

（二）例题分析

例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：

① x 2 + 3x -1= 0 ② x 2 + 6x +2= 0 ③ 3x 2 －4x+1= 0 (4)x 2

+ 3x +3= 0

例2.已知关于x 的方程x 2

+ ｋx －6= 0的一个根是2，求另一个根及ｋ的值

例3:已知α,β是方程x 2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值

例4:已知关于x 的方程3x 2

-5x-2=0,且关于y 的方程的两根 是x 方程的两根的平方,则关于y 的方程是__________

【课后巩固】

一、填空

1． 若方程2

0ax bx c ++=(a≠0)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x = __ 2 ．方程2

2310x x --= 则12x x += ，12.x x = __

3 ．若方程2

20x px ++=的一个根2，则它的另一个根为____ p=____ 4 ．已知方程230x x m -+=的一个根1，则它的另一根是____ m= ____ 5 ．若0和-3是方程的2

0x px q ++=两根，则p+q= ____

6 ．在解方程x 2+px+q=0时，甲同学看错了p ，解得方程根为x=1与x=-3；乙同学看错了

221

(2)(3)αβαβ

αβ

++-1(1)

q ，解得方程的根为x=4与x=-2，你认为方程中的p=——，q=——。 二、选择

1 ．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）

A 271250x x -+=

B 261350x x --=

C 242150x x ++=

D 2

1580x x +-= 2 ．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么 （ ） A p=q=0 B P=0,q≠0 C p≠0,q=0 D p≠0, q≠0） 三、不解方程，求下列方程的两根和与两根积： （1）x 2

-5x -10=0 （2）2x 2

+7x+1=0

（3）3x 2-1=2x+5 （5）x （x-1）=3x+7

（5）x 2

-3x+1=0 (6)3x 2

- 2x=2

自我测试

1．若关于x 的一元二次方程的两个根为121,2x x ==，则这个方程是（ ） A. 2

320x x +-= B. 2320x x -+= C. 2

230x

x -+= D. 2320x x ++=

2．若方程2

0x

px q ++=的两根是2和-3，则p ，q 分别为（ ）

A. 2,-3

B. -1,-6

C. 1,-6

D. 1,6 3．方程2

(1)210x

m x m -++-=，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当

m=_____时，两根互为倒数。 4．如果-2和

1

4

是一元二次方程的两根，那么该一元二次方程为___________; 5．一元二次方程2

30x

x --=的两根为12,x x ，则

1

2

1

1

x x +

=______。

6．若12,x x 是方程2

(41)210x k x k +++-=的两根，且12(2)(2)23x x k --=-，求k 的值。

7．关于x 的方程2

(2)04

k

kx

k x +++

=有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

四．附加题 已知12,x x 是方程2

20x

x a -+=

的两个实数根，且1223x x +=-

求（1）求12,x x 及a 的值； （2）求3

2

111232x x x x -++的值。