微分方程复习题(1)

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微分方程基础练习题(简易型)含答案解析

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。

3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。

4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。

答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。

由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。

2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。

因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。

由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。

3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。

4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。

因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。

二阶微分方程复习题

二阶微分方程复习题二阶微分方程复习题微分方程是数学中重要的一部分，它描述了自然界中许多现象的变化规律。

在微分方程中，二阶微分方程是一类常见且重要的方程形式。

本文将通过复习题的方式，帮助读者回顾和巩固二阶微分方程的相关知识。

1. 首先，我们来回顾一下二阶线性齐次微分方程的求解方法。

考虑如下形式的方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0其中p(x)和q(x)是已知函数。

我们可以通过猜解的方法求解该方程。

当p(x)和q(x)为常数时，我们可以猜解y=e^(rx)，其中r是待定常数。

将猜解代入方程，整理后得到一个关于r的特征方程。

解特征方程，得到r的值，再根据r的值确定y的形式。

例如，考虑方程y'' - 4y' + 4y = 0。

我们猜解y=e^(rx)，代入方程得到r^2 -4r + 4 = 0。

解这个特征方程，得到r=2。

因此，方程的通解为y=(c1+c2x)e^(2x)，其中c1和c2是任意常数。

2. 接下来，我们来看一类特殊的二阶线性齐次微分方程，即常系数二阶齐次线性微分方程。

这类方程的特点是p(x)和q(x)都是常数。

考虑如下形式的方程：y'' + ay' + by = 0其中a和b是已知常数。

我们可以通过特征方程的方法求解该方程。

特征方程为r^2 + ar + b = 0。

解特征方程，得到r的值，再根据r的值确定y的形式。

例如，考虑方程y'' + 4y' + 4y = 0。

特征方程为r^2 + 4r + 4 = 0。

解这个特征方程，得到r=-2。

因此，方程的通解为y=(c1+c2x)e^(-2x)，其中c1和c2是任意常数。

3. 在实际问题中，我们经常会遇到非齐次线性微分方程。

考虑如下形式的方程： y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。

微分方程(习题及解答)0001

2第十二章微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、、单项选择题 1.下列所给方程中，不是微分方程的是 (A) xy 2y ； (C) y y 0 ； 4 2•微分方程5y y xy (A) 1 ； (B) 2 ；3. 下列所给的函数，是微分方程 (A) y C i cosx ；(C) y cosx Csinx ；齐次微分方程2y (3)( x 2(7x(B) (D) 0的阶数是( (C) 3 ； y (B) (D) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y e x y ； (B) xy (C) y xy 1 0 ； (D) (x ). 2 2 y C ；6y)dx (x y)d y ).(D) 4 ； 0的通解的是( ). C 2 sin x ；G cosx ( ). y x ； y)dx (x 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 (A) y (C) y 、填空题 c x y e ;xy x 0 ；(B) xy (D) (x 答(B). 答(C).C 2 si nx 答(D).y)dy 0.答(A).(2y x y)dx答(D).1. 函数y 5x 2是否是微分方程 xy 2y 的解？答: 是.2 . 微分方程 dx dy0, y x 3 4的解是 .答:2x 2y25 .y x3x2冬C .3 . 微分方程 3x 2 5x 5y 0的通解是 . 答: y5 24 . 微分方程 xy y lny 0的通解是答: yCxe .5 . 微分方程 1 2 x y -1 y 2的通解是 . 答: arcsin y arcsin x6. 微分方程 xy y y(ln y ln x)的通解是 . 答: _yxCxe三、解答题y)；C .xy a(y 2(x y)d y1•求下列微分方程的通解. ⑵ (1) sec xtanydx s ec ytanxdy 0 ；解:解：dy 心y⑶ —10 ； ⑷dx解:解：2 . 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) 2x yy e ,y x 0 0 ;(2) 解:解：⑶ xdy 2ydx 0, yx 21;⑷解:解：y (y 2 x 3 o.y si nx yl ny2xtf - dt ln 2，求f (x)的非积分表达式. 答：f(x) e x ln2 .0 2§ 一阶线性微分方程、全微分方程23xy xy 的通解.可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程、单项选择题 1.方程ysinx 的通解是().1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是((A)字址dx (C)乎dx 2•微分方程(X (A) 齐次微分方程； (C) 可分离变量的微分方程；23(lnx)y ；(B)(x y)2 ；(D) y 2)dx 2xydy ).dy dx2y x 1(x(x y)dx (x y)dy 答(B).0的方程类型是 (B) 一阶线性微分方程; (D)全微分方程.( ).答(D).二、填空题1 .微分方程xy e 的通解为.答: y Cedx32 .微分方程 (x 2 y)dx xdy 0的通解为.答：x3xy 3 •方程(x y)(dx dy) dx dy 的通解为.答: x y 三、简答题C .ln(x y)1 .求下列微分方程的通解:3.方程xy . x (A)齐次方程；(C)伯努利方程；(B) 一阶线性方程；(D)可分离变量方程.答(A).xxxe(1)ycosx sin xex 竺dx解:⑶ 解:xy3x 解:⑷解:ytanx sin2x ；(5) (y 2 6x)塑 dx 2ye y(xe y 2y)dy 0 ；解:解:(a 22xy y 2)dx (x y)2dy 0 . 解: 2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1)乎 3y 8, y x 0 2 ；dx解：dy dx解:sin x ,y xx3* •设连续函数f (X )、单项选择题 y 2 y 是()• 3* .求伯努利方程— dx解：(A) y cosx (C) y sin x2.微分方程1C 1x 2 C 2x C 3 ； 2 Gx? C 2X C 3 ；2y xy 满足条件y (A) y (x 1)2；(B) y cosx G ; (D) y(B)2sin 2x .答(A) y x2的解是(2).1(C) y -(x3. 对方程y1)21 2 ；y 2，以下做法正确的是 y p 代入求解；(D)答(C).(A)令 y p(x)， (C)按可分离变量的方程求解；4. 下列函数组线性相关的是(2 x2 x(A) e , 3e ;(C) sinx, cosx ;5. 下列方程中，二阶线性微分方程是(A) y (C) y 6. y 1, (A) y (C) y (D) yp(y), yp p 代入求解；答(B).).32y(y)0 ；2 o 2y 3x ； py qy y 2 ； C 2『2，其中C 2『2，其中2x y y 2是yC i y i C i y iG% (B) 2xe 3x ,e ；(D)2xe 2x,xe).(B) y 2yy xy (D) y 2xy2x y则其通解是().(B) yC 1y1C 2 y2 ；(0的两个解, xe ;2e x .((B)令 y(D)按伯努利方程求解. 答(A).答(D).y 1与y 线性相关; y 与y 2线性无关.7.下列函数组线性相关的是( ).(A) e 2x , 3e 2x ； (C) si nx,、填空题答(D).1 .微分方程 cosx； (B) (D) 3x2xy x sinx 的通解为 2x : e , e2xe , xe答(A).答:sin x C 1e xC 1x C 2. x C 2.三、简答题 1 •求下列微分方程的通解.2(1) y 1 (y)； (2) y 如)2解：解:2 .求方程y x(y )2 0满足条件y x12，y x 1 1的特解.2 .微分方程答:y y x 的通解为解： § 二阶常系数线性齐次微分方程、单项选择题 1.下列函数中，不是微分方程 y y 0的解的是( ).(A) y sin x ； (B) y cosx ； (C) y e x ；(D) y sin x cosx .答(C).x 3 x2.下列微分方程中，通解是 y GeC ?e 的方程是( ).(A) y 2y 3y 0 ；(B) y 2y 5y 0 ； (C) yy 2y 0 ；(D) y 2y y 0 .答(A)3.下列微分方程中，通解是y C 1e xC 2 x xe 的方程是().(A) y 2y y 0 ；(B) y 2yy 0 ；(C) y2y y 0 ；(D) y 2y4y 0 .答(B)4.下列微分方程中，通解是y xe (C 1 cos2x C 2sin2x)的方程是().(A) y 2y 4y 0 ；(B) y2y 4y 0(C) y2y5y 0 ；(D)y 2y5y 0 .答(D) 5.若方程 ypyqy 0的系数满足1 p q 0 ，则方程的一个解是( ).(A) x ；(B) x e ;(C) xe(D) sin x . 答(B)6*.设 y f(x)是方程 y 2y 2y 0 的一个解，若 f(X o ) 0, f (xj 0,则 f(x)在 x x 0 处( ).(A) x 0的某邻域内单调减少;(B) X 0的某邻域内单调增加；(C)取极大值；(D)取极小值.答(C).、填空题1 •微分方程的通解为 y 4y 0的通解为. 答： y C 1 C 2e 4x .2 .微分方程y y 2y 0的通解为答: y C 1e x C 2e 2x .3 .微分方程y4y 4y 0的通解为答: y Ge 2x C 2xe 2x .4 .微分方程y 4y 0的通解为答: y C 1 cos2x C 2si n2x 5 .方程 y 6y 13y 0 的通解为 __________________________ . 答：y e 3x (C 1 cos2x C 2sin 2x). 三、简答题1 •求下列微分方程的通解：(1) y y 2y 0 ； (2) 4d ^ 20空 25x 0 .dt 2 dt解：解：、单项选择题 1.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ( ).(A) Ax 2;(B) Ax 2Bx ；(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C).2.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ().(A) Ax 2 ；(B) Ax 2Bx -(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C)3.微分方程y 5y6y xe 2x 的一个特解应具有形式( ).(A) Axe 2x;(B) (Ax 2x B)e(C) (Ax 2Bx C)e 2x ；(D) x(Ax B)e 2x答(B) 4.微分方程y y2 y x 2e x 的一个特解应具有形式().(A) Ax 2e x(B) (Ax 2x Bx)e解:2 •求下列方程满足初始条件的特解.(1) y 4y 3y 0,y x 0 10, y x 06⑵ y 25y 0, y x 05,y x 02.解:§ 二阶常系数线性非齐次微分方程(C) x(Ax2Bx C)e x；(D) (Ax2 Bx C)e x.答(C).5. 微分方程y 2y 3y e x sin x的一个特解应具有形式().(A) e x(AcosxBsinx)；(B) Ae x sinx ；(C) xe x (Asin x Bcosx) ；(D) Axe x sinx 答(A). 、填空题1 .微分方程y 4y 3 x x的一个特解形式为答:y*3x x4 82.微分方程y 2y x的一个特解形式为. 答:y* x(Ax B).3 .微分方程y 5y 6y xe x的一个特解形式为.答:y* (Ax B)e x.4.微分方程y 5y 6y xe3x的一个特解形式为.答:y* x(Ax B)e3x.5 .微分方程y y sin x的一个特解形式为. 答：y* Asin x .6 .微分方程y y si n x的一个特解形式为. 答：y* x(Acosx Bsin x)三、简答题1.求下列微分方程的通解•：(1) 2y y y 2e x；(2) y 5y 4y 3 2x ；解:解：⑶y 6y 9y (x 1)e2x.解:。

常微分方程1

常微分方程试卷（一至十）试卷（一）一、填空题（3′×10＝30′）1、以y 1＝e 2x ，y 2=e x sinx ，y 3=e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是。

2、微分方程4x 3y 3dx+3x 4y 2dy=0的通积分是。

3、柯西问题x dxdy=，y （0）=1的解是。

4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是。

6、微分方程F(x ，y ，p)=0若有奇解y=ϕ (x)，则y=ϕ (x) 满足的P-判别式是。

7、线性微分方程组Y x A dxdY)(=的解组Y 1（x ），Y 2（x ）…，Y n （x ）在某区间上线性无头的充分必要条件是。

8、设A ，则矩阵指数函数e xA ＝。

9、方程0=+'+''y y y 的通解是。

10、由方程033=+'+''+'''y y a y a y 的通解是。

二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程31-++-=y x y x dx dy 的通解： 23、621y x y xdx dy =+ 4、x e x y y y 2)53(23+=+'-''三、求单参数曲线族xy=c 的正交轨线族（10′）12′）=dxdYY五、设二阶方程0442=-'+''y y x y x 有特解y 1(x)=x ，求此方程的通解（8′）六、有一容积为10000m 3的车间。

车间的空气含有0.12%的CO 2，今用一台风量为1000m 3/min 的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO 2，向鼓风机开动10min 后，车间内CO 2的百分比降到多少？（12′）试卷（二）一、填空题（31、微分方程组的阶数是。

2、以y 1＝e x ,y 2=xe x ,y 3=e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是。

微积分复习题

复习题一：选择题1：如果322sin 3lim0=→x mx x ;则m=A 32,B 23, c 94, D 49. 2: 当x →∞时, 下列变量中是无穷小量的是A 221)1sin(x x x --,B 221sin )1(xx x --, C xx x 2211sin)1(--, Dx x x221sin 11-- 3: 函数fx=0{11--x e11=≠x x 在点x=1处A 连续B 不连续, 但有右连续.C 不连续, 但有左连续.D 左,右都不连续4: 设fx=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+b x x ax x 1sin sin 1000>=<x x x 在x=0处, 不一定正确的结论是 (A) 当a=1时fx 左连续, B 当a=b 时fx 右连续, C 当b=1时fx 必连续, D 当a=b=1时fx 必连续 5: 若),1()1(2-=-x x x f 则fx=A 2)1(+x x , B 2)1(-x x , C )1(2+x x , D )1(2-x x 6: 函数21)(x x f --= 0<x<1 的反函数)(1x f -A 21x - B-21x - C21x --1<x<0 D -21x --1<x<07: 下列函数y=fu,u=φx 中能构成复合函数y=f φx 的是 A 1)(,11)(2+-==-==x x u u u f y ϕBy=fu=lg1—u, u=φx=12+x Cy=fu=arcsinu, u=φx= 22+x Dy=fu=arccosu, u=φx= 22+-x8: 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=00)(312x xx x x f 则fx 在x=0处A 左导数不存在, 右导数存在B 右导数不存在, 左导数存在C 左, 右导数都存在D 左, 右导数都不存在9: 在曲线y=lnx 与直线x=e 的交点处, 曲线y=lnx 的切线方程是 A 0=-ey x B 02=--ey x C 0=-y ex D 0=--e y ex10: 设fx=⎪⎩⎪⎨⎧01cos 2xx 0=≠x x 则fx 在点x=0处 A 极限不存在, B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 11`:设fx=⎩⎨⎧≥<00x xex xx 在点x=0处, 下列结论错误的是A 连续B 可导C 不可导D 可微12: 函数3123)(x x x f -=在下列区间上不满足垃格朗日定理条件是A0,1 B--1,1 C0,27/8 D--1,0 13: 求下列极限, 能直接使用洛必达法则的是Ax x x sin lim ∞→ B x xx sin lim 0→ C x x x 3sin 5tan lim 2π→D x x x x sin 1sin20lim →14: 设函数fx 在开区间a,b 内有0)('<x f 且,0)("<x f 则y=fx 在a,b 内 A 单调增加, 图形上凹 B 单调增加, 图形下凹 C 单调减少, 图形上凹 D 单调减少, 图形下凹15:fx=||31x , 点x=0是fx 的A 间断点B 极小值点C 极大值点D 拐点16：关于函数231)(xx x f -=的结论错误的是 A 有一个零点 B 有两个极值点 C 有一个拐点 D 有两条渐近线 17下列函数中有一个不是xx f 1)(=的原函数, 它是 AFx=ln|x| BFx=ln|Cx| C 不为零且不为1的常数CFx=Cln|x| C 不为零且不为1的常数 DFx=ln|x|+C C 是不为零的常数 18若C xdx x f +=⎰2)(,则⎰=-dx x xf )1(2A C x +-22)1(2 B C x +--22)1(2 C C x +-22)1(21 D C x +--22)1(2119=+⎰dx x x 10)1(AC x ++10)1(111 B C x x +++112)1(11121 C C x x ++-+1112)1(111)1(121 D C x x ++++1112)1(111)1(121 20: 若sinx 是fx 的一个原函数, 则⎰=dx x xf )('Axcosx---sinx+C Bxsinx+cosx+C Cxcosx+sinx+C Dxsinx---cosx+C 21设x e f x+=1)(', 则fx=A1+lnx+C Bxlnx+C C C x x ++22Dxlnx---x+C 22⎰=-20|sin 21|πdx x A14-π B 4π- C 1123--πD0 23⎰+-=xdt t t y 02)2()1(则==0x dx dyA---2 B2 C---1 D1 24 已知Fx 是fx 的原函数, 则=+⎰xadt a t f )(AFx---Fa BFt —Fa CFx+a —Fx —a DFx+a___F2a 25已知广义积分⎰+∞+01kxdx收敛于1k.>0, 则k= A 2πB 22πC 2πD 42π26对于级数nn n na )1(1∑∞=+ a>0 下列结论中正确的是 Aa>1时, 级数收敛 Ba<1时, 级数发散 Ca=1时, 级数收敛 Da=1时级数发散27幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是A-1,1 B--1,1 C-1,1 D-1,1 28设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R0<R<+∞则n nx a )2(∑的收敛半径为 A2R B2R CR D R229设函数z=fx,y 在点),(00y x 处存在对x,y 的偏导数, 则=)(0,0'y x f xAxy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),2(00000limBxy x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(00000limCxy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(00000limD00),(),(limx x y x f y x f x x --→30设区域D 是单位园122≤+y x 在第一象限的部分, 则二重积分⎰⎰=Dxyd σA⎰⎰--221010x y xydy dx B ⎰⎰-yxydy dx 1010C ⎰⎰-2101y xydx dyD ⎰⎰102202sin 21dr r d θθπ31⎰⎰-=xdy y x f dx 101),(A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB⎰⎰-xdx y x f dy 1010),(C⎰⎰101),(dx y x f dy D⎰⎰-ydx y x f dy 101),(32:⎰⎰-2201),(x x dy y x f dx=A:⎰⎰--211010),(y dx y x f dy. B:⎰⎰-+2111),(y dx y x f dy .C:⎰⎰--11112),(y dx y x f dy. D:⎰⎰-+--2211111),(y y dx y x f dy33:⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dxdy y x f dx 202110),(),(=A:⎰⎰-yydx y x f dy22),(.B:⎰⎰-yydx y x f dy21),(C:⎰⎰⎰⎰-+y y dx y x f dydx y x f dy 20211),(),(. D:⎰⎰-xxdx y x f dy 210),(34关于微分方程xe y dx dy dxy d =++222的下列结论: 1 该方程是齐次微分方程 2 该方程是线性微分方程3 该方程是常系数微分方程 3 该方程是二阶微分方程其中正确的是A 2 3 B1 4 2 C1 3 4 D 2 3435：微分方程0)(22'"=-y yy 的通解是 A x C C y 211-=B xC C y 211-= C x C y -=1D Cxy -=1136. 21sin(1)lim 1x x x →-- =37. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 38. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =39. 下列结论正确的是2. 21sin(1)lim 1x x x →-- =40. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 41. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =42. 下列结论正确的是 43. 设1cos ,00,0(){x x x x f x ≠==,则()f x 在点0x 处()A 极限不存在 ()B 极限存在但不连续()C 连续但不可导 ()D 可导 44. 下列结论错误的是()A 若函数()f x 在 0x x =处连续,则()f x 在0x x =处可导 ()B 若函数()f x 在 0x x =处可导,则()f x 在0x x =处连续()C 若函数()f x 在 0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处不可导()D 若函数()f x 在 0x x =处不可导,则()f x 在0x x =处也可能连续45. “''0()0f x =”是()f x 的图形在点0x 处有拐点的()A 必要非充分条件 ()B 充分非必要条件()C 充分必要条件 ()D 既非必要条件又非充分条件 46. 设'(ln )1f x x =+,则()f x = 47.21|sin |2x dx π-⎰=()C112π- ()D 0二: 计算题1: 确定函数的定义域225151sinxx acr y -+-=2已知函数⎩⎨⎧+=22)(x x x f 4,220≤<≤≤x x 求).1(-x f3xxx f -=1)( 求)]}([{)],([x f f f x f f 4设⎪⎩⎪⎨⎧=101)(x f 000>=<x x x 求).1(,,),1(2-+x f x f5求证: 如果A x f x x =→)(lim 0而且A>0, 则总存在一个正数δ, 使当δ<-<||00xx 时fx>06求证y 以A 为极限的充分必要条件是: 变量y 可以表示为A 与个无穷小量的和. 7: 求x x x )21(lim +∞→ 8设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=241)(22x x x x f 2;10;1≠>≠≤x x x x 求函数的间断点, 并判断其类型.9用定义讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(x x x f00=≠x x 在点x=0处的连续性与可导性 10讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=421121)(2x x xx x f x x x x <≤<≤<≤221100在点x=0, x=1, x=2处的连续性与可导性.11求曲线x x x 223=+在点1,1 处切线方程与法线方程 12求)1(arcsin xf y =,求其导数 13xxx x y +++=3333 求其导数 14xyy x arctan ln22=+确定y 是x 的函数, 求函数y 的导数15设fx=sinx, 20π≤≤x ,求满足垃格朗日公式的ξ值16求)ln 11(lim 1xx x x --→= =+-→)]11ln([2lim x x x x 17求函数3223)(x x x f -=的单调增减区间和极值以及凹向与拐点181作函数2221)(x ex -=πϕ的图形 2 作函数axbe cy -+=1 a, b, c 均为大于0的常数的图形19求下列极限1x arc x x cot )11ln(lim +∞→ 2x x x 10)sin 1(lim +→ 32)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→ 20求下列不定积分 1⎰-dx x x 322⎰+32xx dx 3⎰xdxx arctan 4⎰+--dxx x x 65122211求]sin [2⎰x x tdt dx d 2求极限⎰→x t x dt e xsin 001lim3 设fx ⎩⎨⎧++=2112x x 4,22||≤<≤x x 求k 的值, 使⎰=3340)(k dx x f 4dx x xe 21)(ln 12⎰5⎰+∞∞-+21x dx 6⎰-112x dx 7dx e x xr ⎰+∞--01λ 22求抛物线4, (22)-==x y x y 所围成的图形的面积23求曲线2211,2xy x y +==与直线3,3-==x x 所围成的图形的面积 24求椭园1222=+by a x 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体体积 251求级数∑∞=1n n n n x 的收敛半径和收敛域 2 求级数∑∞=+1)12(n nn x 的收敛半径和收敛域26求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛域及和函数, 并求级数∑∞=12n nn的和271求2223xy y x z -+=的各二阶偏导数 2 求yye x z 2=的各二阶偏导数 28要造一个容量一定的长方体箱子,问选择怎样的尺寸,才能使所用的材料最少 29计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )2(,其中D 是由直线y=1,2x —y+3=0与x+y —3=0围成的图形30计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ22, 其中D 是园y y x 222=+围成的区域,31；计算1x x x x x sin tan lim 20-→ 2 12x 32x lim 1x +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x 3)0(x ＞x y x =4已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd ．5 dx x x ⎰+)ln 21(1 6；)0＞( 22a dx x a ⎰- 7⎰21arcsin xdx 8⎰+∞∞-+231x dx 9 )1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x100)＞(ln lim 0n x x nx +→ 11)0(sin x ＞x y x= 12已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd 13 dx x x x x ⎰+++)1(122 14)0＞( 22a dx x a ⎰- 15 ⎰-π053sin sin dx x x 16 ⎰+∞∞-+21x dx 1721lim[ln(1)]x x x x→∞-+ 18方程2sin()0y xe y π-=确定隐函数()y y x =,求'0,1|x y y ==-;1920cos 2x xdx π⎰ 202ln xdx x ⎰四证明及综合题1指出函数14123223+-+=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点． 2指出函数123+--=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点 3证明方程3520x x --=在区间(,)-∞+∞内只有一个正根;．4设()f x 在[0,]a 上连续(0)a ≠,在(0,)a 内可导,且()0f a =,证明存在一点ξ,使得'()()0f f ξξξ+=5用极限的定义证明211lim21=--→x x x 6如果fx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b , 使等式fb －fa =f •'fξb －a 成立．7.用极限定义证明当0＞0x 时,00limx x x x =→8.如果fx 及Ｆx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,且对于任一x ∈a,b,F ′x ≠0, 则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立．。

微分方程习题(附答案)

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程复习题

微分方程复习题一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________. 答：12．形如_ 的方程称为齐次方程.答：)(x y g dx dy = 3. 方程232d 10d x x t+=是阶 (线性、非线性)微分方程. 4．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为 .5．微分方程d 0d y y x+=的通解是 . e x y c -= 6．微分方程02=+'xy y 的通解是 . 2e x y c -=.7. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为 .()d ()d e (()e d )P x x P x x y Q x x C-⎰⎰=+⎰ 8. n 阶微分方程的通解含有个独立的任意常数。

9. 方程d ()d x y f xy y x=经变换_______，可以化为变量分离方程 . 10. 微分方程323d 0d x y x x--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 11. 设常系数方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .12. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .13．方程04=+''y y 的基本解组是．x x 2cos ,2sin14. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件.15．在方程()()0y p x y q x y ⅱ?++=中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.16. 已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为全微分方程,则a =____________.17．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．必要18．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．n19. 若12(),(),,()n y x y x y x L 为n 阶齐次线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。

2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

微分方程题库(学生用)

微分方程习题一、选择题1. 微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（） A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程2．微分方程y ＇- y=x 2+1是（） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 3. 微分方程xy ′+y =x +3是（） A. 可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（） A ．（e x+y -e x ）dx+(e y -e x+y )dy=0 B ．)(ln xy dxdy= C ．xdy-(y+x 3)dx=0D ．(x+y)dy-(x-y)dx=05. 下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.y x ydx dy sin += B.x e x xy dxy d )1(222+=- C.y x dx dycos =D.x dx dy x dx y d 1)(222=+ 6. 微分方程y ″+y=0的解是（）A ．y=1B ．y=xC ．y=sinxD ．y=e x 7．下列函数中哪个不是微分方程y ″-4y ′+3y=0的解（） A ．e xB ．e 2xC ．e 3xD ．e x+1 8. 微分方程y y '=''的通解是y=（） A.Ce xB.C 1e x +C 2C. C 1e x +C 2xD.Ce x +x 9．微分方程y ″-5y ′+6y=0的通解y=（） A ．C 1e -2x +C 2e -3x B ．C 1e 2x +C 2e 3x C ．C 1e 2x +C 1e 3x D ．C 1e -2x +C 1e -3x10. 微分方程x sin y =''的通解为y=（）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 11. 微分方程1y y =-'的通解是（）A.y=Ce xB.y=Ce x +1C.y=(C+1)e xD.y=Ce x -1 12．微分方程xy ″=y ′的通解为（） A ．y=C 1x+C 2 B ．y=x 2+C C ．y=C 1x 2+C 2D ．y=C x 212+ 13．微分方程032=+'+''y y y 的通解为（） A ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=-B ．)2sin 2cos (21xC x C e y x +=-C ．)2sin 2cos (21x C x C e y x +=D ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=14. 微分方程y '=2y 的通解是（） A.y=Ce x B.y=e 2x +C C.y=2e CxD.y=Ce 2x二、填空题 15．（1）方程x e y dxdydx y d =++2)(222的阶数____.（2）方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______. 16．（1）微分方程xdy-ydx=0的通解为________ （2）微分方程1x 3dxdy=-的通解为_________. （3）. 求微分方程xy dxdy2=的通解________. 17. 微分方程y ''=cosx 的通解y=___________. 三、计算题18．求下列可分离变量的微分方程的通解或特解．（1）x0y ln y dx dy=-，（2）01122=+-+dx )y (x dy )x (y . （3）221xy y x dx dy +++= （4）方程xydx dy =满足初始条件y(1)=2的特解. 19．求下列一阶线性微分方程的通解或特解．（1）、2.x dy y e dx += （2）dx dy +x x y n 1=x x n 12 ；（3）xy ′+y =xe x （4）211x y dx dy x +=+ （5）微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．20．求下列二阶线性微分方程的通解或特解．（1）、〃y - 4y ＇+ 4y =0，（2）、y ″+ y ′-12y =0，（3）y ″-2y '-3y =0，（4）x e y 7y 4y =+'-'' （5）. 求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解. （6）. 求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. （7）. 设函数f (x)满足6)x (f 6)x (f 5)x (f =+'+''，求函数f (x). （精品班用）（8）. 已知y *=811-21x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=83， y ′(0)=27的特解.（精品班用） 21. 已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )（精品班用）A.2C 1x +C 2cos xB.2Cx +cos xC.cos x +C (2x -cos x )D.C (2x -cos x ) 22．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为（）（精品班） A ．-2和5 B ．2和-5 C ．2和3D ．-2和-323．微分方程y ″-2y ′+3y=5e 2x 的一个特解为（）（精品班用）A ．x 2e 95B ．x 2e 35C ．x 2e 2D ．x 2e 2524．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（）（精品班用） A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 25. 微分方程y ″-y ′-6y=3e x 的一个特解y 应具有的形式为（）（精品班用） A. y =ae x B. y =(ax+b)e x C. y =axe x D. y =ax 2e x26．已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x （C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.（精品班用）。

常微分方程习题 (1)

习题 2.51. 求解下列方程的解（1） ysinx+dxdy cosx=1 解：移项得，dxdy cosx=1-ysinx 两边同除cosx 得dx dy =—x x cos sin y+x cos 1 所以，y=e ⎰x x d cos )(cos 1（⎰x cos 1e ⎰-x x d cos )(cos 1dx+c ）y=cosx(2)cos 1(⎰xdx+c) y=cosx(⎰2sec xdx+c) y=cosx(tanx+c)所以 y=sinx+cosxc 为方程的通解(2)ydx-xdy=x 2ydy解：两边同除x 2得，2xxdy ydx -=ydy 则d （xy -）=d （22y ）所以，xy y +22=c 为方程的通解。

（3）dxdy =4e -y sinx-1 解：两边同乘以e y 得，e y dx dy=4sinx-e y 所以dxe d y )(=4sinx-e y 令u=e y 得，u x dx du -=sin 4 u=e ⎰-dx 1 (⎰⎰dx xe sin 4dx+c)u=e -x (⎰x xe sin 4dx+c)又因为⎰x xe sin 4dx=4⎰x xde sin =4sinxe x -4⎰x e dsinx=4sinxe x -4⎰x xe cos dx=4sinxe x -4 ⎰x xde cos =4sinxe x -4e x cosx+4⎰x e d （cosx ）=4sinxe x -4e x cosx-4⎰x xe sin dx所以dx xe x ⎰sin 4=2e x sinx-2e x cosx （分步积分法）即e y =e -x （2e x sinx-2e x cosx+c ）所以e y =2（sinx-cosx ）+ce -x 为方程的通解。

（4）dx dy =xyx y - 解：分子分母同除x 得，x yxydx dy -=1令u=x y ，则y=ux,由此u dx du x dx dy +=,代入原方程得，x dx du +u=uu -1 化简得，xdx du =uu u -1 当u u ≠0时，du uu u -1=x 1dx （dx x du uu u 1)11=- （dx xdu u u 1)123=-- c x u u+=--ln ln 21 1ln ln 2c u x u++=- )21(ln 2111c y u-+-= 令-c c =121 则c y u +-=ln 211 即c y y x +-=ln 21，2)ln 21(c y y x +-= 即x=y （-2)ln 21c y + 经验证，y=0也是方程的解。

微分方程练习题

第7章微分方程练习题习题7 .11 •选择题 (1)()是微分方程((A )) d = (4x -1)d .( (B ) ) y =2x 1 . ((C ) )y 2一 3y 2 = 0 . ((D ) ) sin xdx = 0.(2)()不是微分方程((A )) y 3y =0 .((B))亠4 = 3X + Sin X . dx((C ))3y 2一 2x y = 0 .2 2 2 2((D) ) (x y )dx (x - y )dy 二 0(3)微分方程(y )23xy =4sinx 的阶数为() ((A ) ) 2 . ( (B ) ) 3. ( (C ) 1.((D ) ) 0 • 2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”)⑵ (x _2y)y =2x2-y, x -x y⑶ dx . - sin y =0, dyy 二 arccosxC ⑷井 2丄2y =X y ,1 y - x习题7.21. 解微分方程2二C( )(1)(1) xy =2y, y =5x .dy 1dx xdy dxi-y 2 1 -x 2(5) x 2y xy y x =1_ 二4-2 •解微分方程（1）（x y ）y（一八。

• ⑵y2X 2/y =e 2x_y ⑷ y(l _x 2)dy x(1 y 2)dx =0.dy xy - • dx3 .解微分方程(1) y y =e (2) y cosx y sin x =1.选择题(1)( )是微分方程((A)) = (4x -1)d .(B) ) y =2x 1 .((C))(D) ) sinxdx =0 .(2)() 不是微分方程((A)) y，+ 3y =0 . ((B)) =3x si nx .((C) ) 3y2-2x y = 0 ((D))dx2(x2y2 )dx (x2- y2)dy =0 .(3)微分方程(y )2 3xy =4sinx的阶数为(((A) ) 2 . ( (B) ) 3.((C) ) 1. (D) ).2 •判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”(1)xy =2y, y =5x2.(X _2y)y =2X _ y, x2 _ X鱼siny=0, dy y二arccosx C解微分方程dx x 习题7.2dydx1-y21 -x2⑷ y(1 — x 2)dy x(1y 2)dx =0 .2⑸ x y xy 二 y, y xj =4 •22 •解微分方程(1) (x y)y (x - y) =0 .⑶ y =e 27 y 2 x 2鱼二 xy 屯dx dx⑸ y = ------- 1i 2xcosy +sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程2（1）y x .（2）y 二3* 、归=23 .解微分方程 (1) y y = e (2) y cosx y sin x =1.dy y _ x 1 dxy x 厂3.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸ yy -(y)_y ".⑹ yy'y, V x^=1，yxJ .⑵ y -9y=0 .⑸ 4yF4y + y=0, \f x^=2, y 」=0.3 .解下列微分方程 (1) y -2y -3y=3x 1 .2x6 33⑶ y -10y 9y =e ,」=7 y x=0~ •⑷ y _4y 3y = 0, 丫乂』八2, g-0 .⑵ 2y "-3y - y = 2e x.⑷ y1；：：:卜y _2y =(5) y y = sin x . 8sin 2x .⑹ y y si n2x = °, y x 二「T yU.习题7.42 1•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x ,求这曲线的方程.2.生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系.6 •一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数丄=24N/(m⑸•当弹簧受到强迫力f -100sin10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七一、选择题1 •微分方程f . yy 3. 乂丫4=0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()3.下列方程中是一阶线性方程的是()4 .方程y*_4y"+3y=0满足初始条件y x _^ = 6, (A ) y = 3e x e3x； (B ) y = 2e x 3e 3x ； (C ) y = 4e x 2e 3x ； (D ) y = C 1e x C 2e 3x .5 .在下列微分方程中，其通解为 y = C 1 cosx - C 2 sin x 的是()(A) y _y J 0 ; ( B ) y 八0 ; (C ) y y =0 ; ( D ) y _y =0 .6•求微分方程 < 3/ 2^x 2的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) ax 2；(B ) ax 2bx c ;(C ) x(ax 2bx c) ；(D ) x 2 (ax2bx c).7 .求微分方程 y "-3y '2y =si nx 的一个特解时，应设特解的形式为()(A ) bsinx ； (B ) acosx ； (C ) acosx bsinx ； (D ) x(acosx bsin x).二、填空题 9 .微分方程 x-dy= y x 2 sin x 的通解是 __________________ dx10.微分方程y ” • 3y =0的通解是 _________________ 11 .微分方程y ” • 4y ' 5y = 0的通解是 ____________(A) y =cosx ；(B )y =x ；(C ) y =si nx ；( D )y = e x.(A ) (y_3)lnxdx_xdy=0 ；(B)dy _ y 2 dx 1 -2xy- 2 2 ・(C ) xy 二 y x sin x ；(D) y y-2y=0 .y x=0 =10特解是(12•以y=C !xexC 2e x 为通解的二阶常数线性齐次分方程为13. 微分方程4y ：4y ：y=0满足初始条件y x=0=2, y x ^ = 0的特解是 ______________ .14. ________________________________________________ 微分方程 <-4< 5y =0的特征根是 ________________________________________________________ .215. 求微分方程y ：2y ”』2x -1的一个特解时，应设特解的形式为 _______________________通解为 _______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解2 216.已知y 1 =e x及y 2 = xe x都是微分方程2y”_4xy：(4x -2)y=0的解，则此方程的(1)dy _ xy dx " 1 x 2(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4) y y 二 sin x .(6) y 5y 4y = 3 - 2x .18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) cos ysin xdx - cosxsin ydy= 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,八±=2 •4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y' = 29cosx, y *占=0』v" •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点(x, y)处的切线斜率等于 2x ・y .y x 卫11220.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图.(2 )最终尸体温度将如何？(3)若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它，此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.⑶ d y .1=2L^dx x x1xcosy sin 2y习题7.31 .解卜列微分方程⑴ y =x2.⑵ S 、y^o =1,、心=2⑶ y -y =x.dy _ y dx x y 22 .解下列微分方程 (1) y y -2y =0 .⑸4才+47*=°, y x 出=Z y 仁=0 .⑸ yy _(y )2 一 y =0 .⑹ yy =y ，V x^1,—=1.⑶ y 4y 4y =0 .⑷ y -4y 3y =0,科y x 异0.⑵ y -9y=0 .3 .解下列微分方程(1) y - 2y -3y = 3x 1 .⑷ y y -2y 二 8sin 2x .⑶ y -10y 9y = e 2x,33 7⑵ 2y "-3y - y = 2e x .(5) y y = sin x .⑹ y y si n2x = °, yxi-T y =1-习题7.41•一条曲线通过点P(0,1)，且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x2，求这曲线的方程.2 .生物活体含有少量固定比的放射性14C ,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭14C含量为原来的77.2%，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比, 在已知物体在10s时与原点相距100m, 20s时与原点相距200m，求物体的运动规律.4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除.当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且Q(0)=Q0，求k该湖泊的污染物的化规律，当--0.38时，求99%污染物被清除的时间.V5•—质量为m 的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系.规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零.复习题七、选择题 1 .微分方程y 2■ yy ”3 ' xy 4 =0阶数是() (A ) 1；( B ) 2；(C ) 3;(D ) 4.2•下列函数中，可以是微分方程y” • y = 0的解的函数是()(A) y = cosx ; (B ) y =x ;(C ) y = sin x ;(D ) y =e x.3 .下列方程中是一阶线性方程的是()(A ) (y-3)lnxdx-xdy=0 ；(B)鱼=丄dx 1 -2xy6 •一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了 0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数亠-24 N/(m ⑸•当弹簧受到强迫力f =100si n10t (N )的作用后，物体产生了振动.求振动(C) xy = y x sin x ；4.方程y"-4y"+3y = 0满足初始条件yx4=6, y x^ = 10特解是( )(A) y 二3e x e3x； (B) y 二2e x 3e3x； (C) y 二4e x 2e3x； (D) y 二C® C2e3x.5.在下列微分方程中，其通解为y = C! cosx C2 sin x的是( )(A) y _y =0 ； ( B) y y =0 ； ( C) y y=0 ； ( D) y—y=0 .26.求微分方程y ” • 3y ' 2y二x的一个特解时，应设特解的形式为( )(A) ax ；( B) ax bx c ；(C) x(ax bx c) ；( D) x (ax bx c).7 .求微分方程y"-3y'2y=si nx的一个特解时，应设特解的形式为()(A) bsinx ；(B) acosx ；(C) acosx bsinx ；(D) x(acosx bsin x).二、填空题9 .微分方程x-d^ = y x2 sin x的通解是_________________ .dx10. __________________________________________ 微分方程y ： 3y = 0的通解是.11. ______________________________________________ 微分方程y” • 4y： 5y =0的通解是_______________________________________________________ .12.以y=C1xe x・C2e x为通解的二阶常数线性齐次分方程为____________________________13.微分方程4y ' 4y ： y = 0满足初始条件y x=0= 2, / = 0的特解是_______________ .14.微分方程y ” - 4y ' 5y =0的特征根是______________15.求微分方程y：2y'2x -1的一个特解时，应设特解的形式为____________________________16.已知y1 =e x及y2二xe x都是微分方程y"-4xy ' (4x2 -2)y =0的解，则此方程的通解为_______________________________三、计算题17.求下列微分方程的通解dy dx xy(2) y y = cosx .2 2(3) sec xtan ydx sec y tan xdy 二(4)y y 二sin x . (5) y - y -2y = 0 . ⑹ y 5y 4y = 3 - 2x . 18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1) cos ysin xdx 「cosxsin ydy 二 0,⑵ y“-5y*6y=0, y *卫=1,y 」=2 .4y 16y 15y = 4e⑷ 2y“+5y‘= 29cosx, y x 占=0，y"x 占=1 •19•求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点（x,y ）处的切线斜率等于1122x y •20.当一人被杀害后，尸体的温度从原来的37 C按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为31 C，且周围气温保持20 C不变.（1）求尸体温度H与时间t（h）的函数关系，并作函数草图.（2 ）最终尸体温度将如何？（3）若发现尸体时其温度是25 C，时间为下午4时，死者是何时被害的？21.设有一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致. 大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k2）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.。

微分方程练习题及解答

微分方程练习题一、一阶微分方程1.求 dy dx =2xy 的通解。

2.求微分方程x dy =y +�x 2+y 2 (x >0)满足y (1)=0的特解。

3.求微分方程 y ′−3x y =x 的通解。

4.求微分方程 y ′+y tanx =cosx 的通解。

5.求 x 2y ′+xy =y 2满足初始条件y (1)=1的特解。

6.求微分方程sec 2x coty dx −csc 2y tanx dy =0的通解。

7.求微分方程dy dx −2y x +1=(x +1)52的一个特解。

8.求微分方程xdy =yln y x dx 的通解。

9.求微分方程 dy dx =y x +y 3e y 的通解。

10求微分方程 y ′+y =e −x 的通解。

11.求微分方程xy 2dy =(x 3+y 3)dx 的通解。

12.求微分方程y =�1+(y ′)2 满足条件y (0)=1的特解。

13.求微分方程 xy ′+2y =x lnx 满足初始条件y (1)=−19的特解。

14.求微分方程 xy ′+y =x 2 y 2 lnx 的通解。

15.设f (x )=�f �t 2�dt +ln2，求f (x )的表达式。

2x 0二、高阶微分方程 1.求y ′′=1+(y ′)2的通解。

2.求 y ′′−2y ′−y =0的通解。

3.求 y ′′+2xy ′2=0，y (0)=1,y ′(0)=−12的特解。

4.求 y ′′−2y ′−5y =1的通解。

5.求 y ′′+y ′+y =8的通解。

6.求微分方程d 2y dx 2+w 2y =0的通解。

7.求微分方程 y ′′−3y ′+2y =xe x 的通解。

8.求微分方程 x 2y ′′+4xy ′+2y =x 的通解。

9.求微分方程 yy ′′+y ′2=y ′ 的通解。

10.求微分方程 x 2y ′′+3xy ′−3y =x 3的通解。

微分方程复习题(1)

常微分方程复习题、填空题1．微分方程 (dy )n dyy 2 x 20的阶数是 _______________ dx dx答：12．形如 _的方程称为齐次方程答： d dyx g( x y) dx x 3．方程 y 4y 0 的基本解组是答： cos 2 x, sin 2 x .1. 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x), y 2(x) 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等于零)2. 方程 y 2y y 0 的基本解组是3. 若 (t)和 (t)都是 X A(t)X 的基解矩阵，则 (t)和 (t) 具有的关系4.一阶微分方程 M(x,y)dx N(x,y)dy 0 是全微分方程的充分必要条件5. 方程 M(x,y)dx N(x, y)dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是。

有只含 y 的积分因子的充要条件是。

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点 x,y 处的切线斜率为 2x y ，则曲线方程为。

7.称为 n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程 y (n)a 1y (n 1)a n 1y a n y e xP m (x)(其中 P m (x) 是 m 次多项式 )中，则方程有形如的特解。

9. 二阶常系数线性微分方程 y 3y 2y e x有一个形如的特解。

答：xxe , xe10. 微分方程y 4y 21y 0的一般解为。

9. 微分方程xy 2y 3y4 0 的阶数为。

10. 若x i (t)(i 0,1,2, ,n)为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.11. 设x(t) 为非齐次线性方程的一个特解, x i (t)(i 0,1,2, ,n)是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为.12. 若x i(t)(i 0,1,2, , n)是齐次线性方程y(n) a1(x) y( n 1) a n 1(x)ya(x)y 0 的n个解，w(t) 为其朗斯基行列式，则w(t) 满足一阶线性方程。

微分方程题库（学生用）

微分方程题库（学生用）微分方程习题一、选择题1. 微分方程（x+y ）dy-(x-y)dx=0是（）A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程2．微分方程y ＇- y=x 2+1是（） A ．一阶线性微分方程 B ．二阶线性微分方程 C ．齐次微分方程 D ．可分离变量的微分方程 3. 微分方程xy ′+y =x +3是（） A. 可分离变量的微分方程 B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程4．下列微分方程中，是可分离变量的微分方程为（）A ．（e x+y -e x ）dx+(e y -e x+y )dy=0 B ．)(ln xy dxdy= C ．xdy-(y+x 3)dx=0D ．(x+y)dy-(x-y)dx=05. 下列微分方程中为线性微分方程的是( )A.y x ydx dy sin += B.x e x xy dxy d )1(222+=- C.y x dx dycos =D.x dx dy x dx y d 1)(222=+ 6. 微分方程y ″+y=0的解是（）A ．y=1B ．y=xC ．y=sinxD ．y=e x 7．下列函数中哪个不是微分方程y ″-4y ′+3y=0的解（） A ．e xB ．e 2xC ．e 3xD ．e x+1 8. 微分方程y y '=''的通解是y=（） A.Ce xB.C 1e x +C 2C. C 1e x +C 2xD.Ce x +x 9．微分方程y ″-5y ′+6y=0的通解y=（） A ．C 1e -2x +C 2e -3x B ．C 1e 2x +C 2e 3x C ．C 1e 2x +C 1e 3x D ．C 1e -2x +C 1e -3x10. 微分方程x sin y =''的通解为y=（）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 11. 微分方程1y y =-'的通解是（）A.y=Ce xB.y=Ce x +1C.y=(C+1)e xD.y=Ce x -1 12．微分方程xy ″=y ′的通解为（） A ．y=C 1x+C2 B ．y=x 2+C C ．y=C 1x 2+C 2 D ．y=C x 212+ 13．微分方程032=+'+''y y y 的通解为（） A ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=-B ．)2sin 2cos (21xC x C e y x +=-C ．)2sin 2cos (21x C x C e y x +=D ．)22sin 22cos (212x C x C e y x +=14. 微分方程y '=2y 的通解是（）A.y=Ce x B.y=e 2x +CC.y=2e CxD.y=Ce 2x二、填空题 15．（1）方程x e y dxdydx y d =++2)(222的阶数____.（2）方程y ″+3（y ′）4-3x +1=0的阶数是_______. 16．（1）微分方程xdy-ydx=0的通解为________ （2）微分方程1x 3dxdy=-的通解为_________. （3）. 求微分方程xy dxdy2=的通解________. 17. 微分方程y ''=cosx 的通解y=___________.三、计算题18．求下列可分离变量的微分方程的通解或特解．（1）x0y ln y dx dy=-，（2）01122=+-+dx )y (x dy )x (y . （3）221xy y x dx dy +++= （4）方程xydx dy =满足初始条件y(1)=2的特解. 19．求下列一阶线性微分方程的通解或特解．（1）、2.x dy y e dx += （2）dx dy +x x y n 1=x x n 12 ；（3）xy ′+y =xe x （4）211x y dxdy x +=+ （5）微分方程xy ＇- y = 2x 3满足初始条件y (1)=1的特解．20．求下列二阶线性微分方程的通解或特解．（1）、〃y - 4y ＇+ 4y =0，（2）、y ″+ y ′-12y =0，（3）y ″-2y '-3y =0，（4）x e y 7y 4y =+'-'' （5）. 求方程y ″+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解. （6）. 求方程034=+'-''y y y 满足初始条件()8)0(,40='=y y 的特解. （7）. 设函数f (x)满足6)x (f 6)x (f 5)x (f =+'+''，求函数f (x). （精品班用）（8）. 已知y *=811-21x 是微分方程y ″+5y ′+4y =3-2x 的一个特解，求该方程满足初始条件y (0)=83，y ′(0)=27的特解.（精品班用） 21. 已知微分方程)()(x Q y x P y =+'的两个特解为y 1=2x 和y 2=cos x ,则该微分方程的通解是y =( )（精品班用）A.2C 1x +C 2cos xB.2Cx +cos xC.cos x +C (2x -cos x )D.C (2x -cos x ) 22．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)2cos 2sin (21x C x C e y x +=，则常数p 和q 分别为（）（精品班） A ．-2和5 B ．2和-5 C ．2和3D ．-2和-323．微分方程y ″-2y ′+3y=5e 2x 的一个特解为（）（精品班用）A ．x 2e 95B ．x 2e 35C ．x 2e 2D ．x 2e 2524．微分方程y ''-5y '+6y =x 2e 3x 的一个特解y *可设为（）（精品班用） A ．（b 0x 2+b 1x ）e 3xB ．(b 0x 2+b 1x )xe 3xC ．(b 0x 2+b 1x +b 2)e 3xD ．(b 0x 2+b 1x +b 2)xe 3x 25. 微分方程y ″-y ′-6y=3e x 的一个特解y 应具有的形式为（）（精品班用） A. y =ae x B. y =(ax+b)e x C. y =axe x D. y =ax 2e x26．已知二阶常系数线性齐次微分方程010=+'+''y y p y 的通解为y =e 3x （C 1cos x +C 2sin x ），则常数p =__________.（精品班用）。

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常微分方程复习题一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：12．形如_ 的方程称为齐次方程.答： )(xy g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是．答：cos 2,sin 2x x .1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是．答：xx x e ,e3. 若()t ϕ和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ϕ和()t ψ具有的关系是。

4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是。

5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是。

有只含y 的积分因子的充要条件是。

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处的切线斜率为y x +2，则曲线方程为。

7. 称为n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m Px 是m 次多项式)中，则方程有形如的特解。

9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如的特解。

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为。

9. 微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为。

10. 若()(0,1,2,,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 .11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2,,)i x t i n =是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .12. 若()(0,1,2,,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程。

答：1()0w a x w '+=13. 函数是微分方程02=-'-''y y y 的通解.14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是．15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组．16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。

17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为。

19. 设*X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 .20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(),,()n X t X t X t 线性无关的充要条件是 .21. 若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n v v v ，它们对应的特征值分别是12,,,n λλλ，那么矩阵()t ψ= 是常系数线性方程组X AX '=的一个基解矩阵。

二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．（A ）n ；（B ）n -1；（C ）n +1；（D ）n +2.2．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解；（B ）是非齐次微分方程组的解；（C ）是其对应齐次微分方程组的解；（D ）是非齐次微分方程组的通解.3．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ-；（B ）)()(21x x ϕϕ+；（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-；（D ）)()(21x x C ϕϕ+.4．下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2210x x -+= ； (B) 2y xy '= ； (C) 2222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂； (D) 2 y x c =+(c 为常数）. 5. 下列微分方程是线性的是（）(A)22y x y '=+ ； (B)2x y y e '+= ； (C)20y x '+=； (D)2y y xy '-=.6. 方程2232x y y y x e -'''++=特解的形状为( )(A)221x y ax ey -=； (B)221()x y ax bx c e -=++；(C)2221()x y x ax bx c e -=++； (D)2221()x y x ax bx c e -=++.7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)4,x ； (B)2,2,x x x ； (C)225,cos ,sin x x ； (D)21,2,,x x .8. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)20t dt xdx +=； (B)sin 1x =；(C) 1 y x c =++(c 为常数)； (D)22220u u x y∂∂+=∂∂. 9. 下列微分方程是线性的是（）(A)21y y '=+； (B)11dy dx xy=+； (C)2y by cx '+=； (D)40y xy '+=. 10. 方程22(cos 2sin )x y y y e x x x '''-+=+特解的形状为( )(A) 1[()cos sin ]x y e Ax B x C x =++；(B) y e Ax x C x x 1=+[cos sin ]；(C)y e Ax B x Cx D x x 1=+++[()cos ()sin ] ；(D)y xe Ax B x Cx D x x1=+++[()cos ()sin ].11. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)31, ,x x ; (B)222,,x x x ； (C)21,sin ,cos2x x ； (D)225,sin (1),cos (1)x x ++.12. 下列方程中为常微分方程的是（） (A)2210x y +-=； (B)2x y y '=； (C)222222u u u x y∂∂∂=+∂∂∂； (D)2 x y c +=(c 为常数). 13. 下列微分方程是线性的是（） (A)dy dx y x=； (B)261y y ''+=； (C)3sin y y x '=+； (D) 2cos y y y x '+=. 14. 方程2sin y y x ''+=特解的形状为( )(A) )sin cos (1x B x A x y +=； (B) y Ax x 1=sin ；(C)y Bx x 1=cos ； (D)y Ax x x 12=+(cos sin ).15. 下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2220x y z +-=； (B)y ce x =； (C) 22u u t x ∂∂=∂∂； (D) y=c 1cos t +c 2sin t (c 1, c 2为常数).16. 下列微分方程是线性的是（）(A) ()()x t x f t '-=； (B)3cos y y x '+=；(C) 2x y y '''+=； (D)413y y y '+=. 17. 方程23cos x y y y e x -'''-+=特解的形状为( )(A)y A x B x 1=+cos sin ； (B) y Aex 1=-； (C)y e A x B x x 1=+-(cos sin )； (D)y Axe x x 1=-cos .18. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A) 23,,t t t e e e ； (B) 20,,t t ；(C) )22cos(),1(sin 12++t t ，； (D) 4-t , 2t -3, 6t +8. 19. 下列方程中为常微分方程的是（）(A) x 3+1=0； (B)y ce x=； (C)2220u u a t x ∂∂-=∂∂； (D) 2x y y e '''+=. 20. 下列微分方程是线性的是（）(A)221y y x ''+=+； (B)2cos y y x '+=； (C) 222y y x '-=； (D) xdx+ydy =0.21. 方程36916x y y y e '''-+=-特解的形状为( )(A) 31x y Ae =； (B)y Ax e x 123=；(C) y Axe x 13=； (D)y e A x B x x 1333=+(sin cos ).22. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)2,,x x x e xe x e ； (B)222,cos , cos x x ； (C)21,2,x ； (D)5420,,x x e x e x .23. 微分方程y ''-3y '+2y =2x -2e x 的特解y *的形式是 ( )(A) (ax+b)e x (B) (ax+b)xe x (C) (ax+b)+ce x (D) (ax+b)+cxe x24. 微分方程230y y y '''--=的通解是y =( )(A)33x x ++； (B) c x c x123+； (C) c e c e x x 123+-； (D) c e c e x x 123-+. 25. 设y x y x y x 123(),(),()是线性非齐次方程()()()y a x y b x y f x '''++=的特解，则y c c y x c y x c y x =--++()()()()11211223 ( )(A) 是所给微分方程的通解；(B) 不是所给微分方程的通解；(C) 是所给微分方程的特解；(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.26. 微分方程''+=y y x 4212cos 的特解的形式是y=（） (A) cos2a x ； (B) cos2ax x ；(C)sin 2cos2a x b x +； (D)sin 2cos2ax x bx x +.27. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)42310x x x +-+=； (B) 2"'y y x +=； (C) 222222u u u t x y∂∂∂=+∂∂∂； (D)2u v w =+. 28. 下列微分方程是线性的是（）(A)2y xy y x '''++=； (B)22y x y '=+; (C)2()y xy f x ''-=； (D)3y y y '''-=.29.设123(),(),()y x y x y x 是二阶线性非齐次微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的三个线性无关解，12,c c 是任意常数，则微分方程的通解为( )(A)11223c y c y y ++; (B)1122123(1)c y c y c c y ++--;(C)1122123()c y c y c c y +-+; (D)1122123(1)c y c y c c y +---.30. 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 为（） (A)ln 2x e ; (B)2ln 2x e ; (C)ln 2x e + (D)2ln 2x e +.31. 若3312,x x y e y xe ==，则它们所满足的微分方程为（）(A)690y y y '''++=; (B)90y y ''-=;(C)90y y ''+=; (D)690y y y '''-+=.32. 设123,,y y y 是二阶线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个不同的特解，且1223y y y y --不是常数，则该方程的通解为（） (A)11223c y c y y ++ ; (B)1122231()()c y y c y y y -+-+;(C)11232c y c y y ++; (D)112223()()c y y c y y -+-.33. 设12,y y 是方程()()0y p x y q x y '''++=的两个特解，则1122y c y c y =+（12,c c 为任意常数）（）(A)是此方程的通解; (B)是此方程的特解;(C)不一定是该方程的解; (D)是该方程的解.34. 微分方程1x y y e '''-=+的一个特解形式为（）(A)x ae b +; (B)x axe bx +; (C)x ae bx +; (D)x axe b +.35. 方程22()(2)0pxy y dx qxy x dy --+=是全微分方程的充要条件是（ B ）(A)4,2p q ==; (B)4,2p q ==-;(C)4,2p q =-=; (D)4,2p q =-=-.36. 表达式22[cos()][cos()3]x y ay dx by x y x dy +++++是某函数的全微分，则（）(A)2,2a b ==; (B)3,2a b ==; (C)2,3a b ==; (D)3,3a b ==.37. 方程x y y y y xe-''''''+++=是特解*y 的形式为（） (A)()x ax b e-+; (B)()x x ax b e -+; (C)2()x x ax b e -+; (D)[()cos 2()sin 2]x e ax b x cx d x +++.38. 方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 的形式为（）(A) x axe ; (B)()x ax b e +; (C)()x x ax b e +; (D)2()xx ax b e +. 39. 已知1cos y wx =与23cos y wx =是微分方程20y w y ''+=的解,则1122y c y c y =+是（）(A)方程的通解; (B)方程的解, 但不为通解; (C)方程的特解; (D)不一定是方程的解.40. 方程3232x y y y x e '''-+=-的特解*y 的形式为（）(A) ()x ax b e +； (B)()x ax b xe +; (C)()x ax b ce ++; (D)()x ax b cxe ++.41. 方程2232x y y y x e-'''++=特解的形式为（） (A) 22x y ax e-=; (B)22()x y ax bx c e -=++; (C)22()x y x ax bx c e-=++; (D)222()x y x ax bx c e -=++. 42. 方程2613(512)t x x x e t t '''++=-+特解形状为（）(A)21()t x At Bt c e =++; (B)1()t x At B e =+;（C)1t x Ate =; (D)1t x Ae =.43. 方程22cos x y y y e x -'''-+=的特解形状为（）(A)1cos x y A xe -=; (B)1sin x y A xe -=;(C)1(cos sin )x y e A x B x -=+; (D)1x y Ae -=.44. 方程22cos tx x x te t '''-+=的特解形状为（）(A)21()cos t x At Bt c e t =++; (B)21()sin t x At Bt c e t =++;(C)1(cos sin )t x e A t B t =+; (D)221()cos ()sin t t x At Bt c e t Dt Et F e t =++++. 45. 方程432422(22)(3)0y y xy e xy y dx x y e x y x dy +++--=的积分因子为（） (A)21()x x μ=; (B)1()x xμ=; (C)41()y y μ=; (D)21()y y μ=. 46. 方程(2)0y y e x xy e dy -+=的积分因子为（） (A)21()x x μ=; (B) 1()x xμ=; (C)21()y y μ=; (D) 1()y y μ=. 47. 方程2(3)20x e y dx xydy ++=的积分因子为（） (A) 1()x xμ=; (B)2()x x μ=; (C) 1()y y μ=; (D) 2()y y μ=. 48. 方程(1)0y xy dx xdy --+=的积分因子为（）(A)()x x e μ=; (B)()x x eμ-=; (C)()y y e μ=; (D)()y y e μ-=. 49. 方程23(225)(22)0x y y dx x x dy ++++=的积分因子为（） (A) 1()x x μ=; (B)21()1x x μ=+; (C) 1()y y μ=; (D)21()1y y μ=+. 50. 方程3222(1)0xy dx x y dy +-=的积分因子为（） (A) 1()x x μ=; (B) 21()x xμ=; (C) 1()y y μ=; (D) 21()y y μ=. 51. 方程(2cos )0xx e dx e ctgx y y dy ++=的积分因子为（）(A)()sin x x μ=; (B)()cos x x μ=; (C)()sin y y μ=; (D)()cos y y μ=.52. 方程22()0ydx x y x dy -++=的积分因子为（） (A)21()x xμ=; (B)21()y y μ=; (C)221(,)x y x y μ=+; (D)1(,)x y x y μ=+. 53. 方程3222()0y dx x xy dy +-=的积分因子为（） (A) 21x μ=; (B)1xy μ=; (C)221x y μ=; (D)21x y μ=. 54. 方程440y y y '''++=的一个基本解组是( ).(A) x e x 2,-; (B)x e 2,1-; (C)x e x 22,-; (D)x x xe e 22,--.55. 方程23x y x y e '=-是( ) .(A)可分离变量方程; (B)齐次方程; (C)全微分方程; (D)线性非齐次方程.三、证明题1. 在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．证明：设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式⎰=-x 0d )(0e )()(x ss p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分） )(e )()(x 0d )(0x p x W x W x s s p ⎰='-由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有0)(>'x W 或 0)(<'x W故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．（10分）2．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．证明: 如果)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y的解，那么由刘维尔公式有⎰=-x 0d )(0e)()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有C x W x W x W x t ==⎰=-)(e )()(0d 00x 03．设n n ⨯矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在区间I 上连续，试证明，若方程组X t A dt dX )(1=与X x A dtdX )(2=在区间I 上有相同的基本解组，则12()()A t A t =，x I ∈. 证明：因为方程组与X x A dtdX )(2=在区间I 上有相同的基本解组，所以可设)(t Φ是其基本解矩阵。