一元二次方程解法训练
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
一元二次方程解法练习题(四种方法)
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142=-x2、2)3(2=-x3、()162812=-x二、 用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=-3、9642=-x x三、 用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x2、22314y y -=3、y y 32132=+4、01522=+-x x5、1842-=--x x6、02322=--x x四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=2、 x 2+4x -12=03、0862=+-x x4、03072=--x x五、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法)1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x 8、0432=-y y10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、()025122=-+x13、22244a b ax x -=- 14、3631352=+x x 15、()()213=-+y y16、)0(0)(2≠=++-a b x b a ax 17、03)19(32=--+a x a x18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、02222=+-+a b ax x21、 22、030222=--x x 23、01752=+-x x24、1852-=-x x 25、3x 2+5(2x+1)=0 26、x x x 22)1)(1(=-+解答题：1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．3、无论m 为何值时，方程04222=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由。
计算专题一元二次方程解法分类训练专题
一元二次方程分类训练专题一、直接开平方法1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．2．解方程：（x﹣2）2＝18．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝05．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．二、配方法9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．三、公式法17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．20．解方程：．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．四、因式分解法25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．五、换元法35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．参考答案与试题解析一．解答题（共38小题）1．解方程：（1）4x2＝9；（2）（x+1）2﹣25＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣6．2．解方程：（x﹣2）2＝18．【答案】．3．解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．4．解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0【答案】见试题解答内容5．解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【答案】，．6．解方程ax2﹣1＝1﹣x2．【答案】a≤﹣1时，方程没有实数解；a＞﹣1时，x1＝﹣，x2＝．7．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【答案】见试题解答内容8．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝5，x2＝﹣7．（3）x1＝，x2＝．9．解方程x2﹣2x﹣1＝0．【答案】，．10．用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．【答案】．11．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0．（2）2x2+4x﹣1998＝0．【答案】（1），；（2），．12．用配方法解下列方程（1）3x2﹣4x﹣2＝0；（2）6x2﹣2x﹣1＝0；（3）2x2+1＝3x；（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．【答案】（1）x1＝+，x2＝﹣；（2）x1＝+，x2＝﹣；（3）x1＝1，x2＝；（4）x1＝2，x2＝．13．用配方法解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．【答案】x1＝+，x2＝﹣．14．用配方法解方程：（1）x2+7x＝﹣；（2）3x2+6x+2＝11．【答案】（1），；（2）x1＝1，x2＝﹣3．15．解方程：3x2﹣6x﹣1＝0（配方法）．【答案】，．16．解下列方程：x2+6x＝﹣3．【答案】x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．17．用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【答案】x1＝，x2＝18．解方程：3x2﹣3x﹣1＝0．【答案】，．19．解方程：2x2﹣9x+10＝0．【答案】x1＝，x2＝2．20．解方程：．【答案】，．21．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【答案】x1＝，x2＝．22．解方程：5x2+2x﹣1＝0．【答案】x1＝，．23．用公式法解方程：4x2+x﹣3＝0．【答案】x1＝，x2＝﹣1．24．解方程：x2+4x+8＝2x+11．【答案】x1＝1，x2＝﹣3．25．因式分解法解方程：x2﹣2x﹣15＝0．【答案】x1＝5，x2＝﹣3．26．利用因式分解法解方程：2x（x+2）＝3（2+x）．【答案】x1＝﹣2，x2＝1.5．27．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；（2）（x﹣3）2﹣6（x﹣3）+8＝0．【答案】（1）x1＝1，x2＝3；（2）x1＝5，x2＝7．28．用因式分解法解下列方程．（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；（2）2（t﹣1）2+t＝1．【答案】（1）x1＝，x2＝1；（2）t1＝1，t2＝．29．用因式分解法解方程：3x2﹣5x﹣2＝0．【答案】，x2＝2．30．用因式分解法解方程：（1）2x2+3x＝0；（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣；（2）x1＝3，x2＝．31．解方程：2x2+3x＝2．（因式分解法）【答案】x1＝，x2＝﹣2．32．用因式分解法解方程．（1）x2+4x﹣21＝0．（2）（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0．【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝3；（2）x1＝﹣，x2＝4．33．用因式分解法解方程．（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5）．（2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2．【答案】（1）x1＝2.5，x2＝2；（2）x1＝4，x2＝﹣．34．解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）．【答案】x1＝，x2＝．35．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．【答案】见试题解答内容36．阅读下面材料：并解答问题为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴．当y＝4时，x2﹣1＝4，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．37．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x ＝±；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x ＝±．综合，可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【答案】，．38．解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2时，x2＝2，解得x ＝±．所以，原方程的解x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．阅读上述解方程的过程，利用上述方法解答下列问题：（1）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）+2＝0（2）若（a2+b2）2﹣3a2﹣3b2﹣4＝0，求a2+b2的值．【答案】（1）x1＝，x2＝，x3＝2，x4＝﹣1．（2）4．第11页（共11页）。
一元二次方程解法-因式分解法 精炼50题(试题含解析)
一元二次方程解法-因式分解法精炼50题（含答案）一、计算题1．（1）计算：（2）解方程：()233x x x +=+．2．用适当的方法解一元二次方程：（1）2690x x ++=；（2）()()313x x --=．3．解方程：（1）22(2)18x -=．（2）22150x x --=．4．解方程：（1）289x x +=（用配方法解）；（2）2760x x -+=；（3）2352x x -=；（4）2(3)26x x +=+．5．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）22150x x --=；（2）()2(4)540x x +-+=．6．解下列方程：（1）（配方法）2620m m --=；（2）2260x x --=．7．用适当的方法解下列方程：（1）2(21)3(21)x x x -=-（2）23557x x -+=8．解方程（1）33x -－13x +＝2189x -（2）x 2－4x －12＝0．9．（121222-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）解方程：()224x x x +=+．10．按照指定方法解下列方程：（1）21683x x +=（公式法）；（2）22510x x +-=（配方法）；（3）262(3)y y -=-（因式分解法）．11．解方程：（1）2(3)160x --=；（2）2+230x x -=12．用适当的方法解方程：220x x -=．13．解方程：()()233x x x -=-．14．解方程：（1）220x x +=；（2）2620x x -+=．15．解方程：（1）x 2－2x －3＝0（2）2x 2＋1＝3x16．（1）解方程：2640x x -+=；（2）解方程()23(3)0x x x -+-=．17．解方程：（1）2670x x --=；（2）23111x x x -=--.18．（1）计算：（2）解方程：212270x x ++=．19．解方程：（1）2x 6x 1-=-；（2）()()x 2x 122x 1-=-.20．解方程：（1）()2140x --=（2）()2236x x -=-21．解方程：2232x x +=．（因式分解法）22．解方程：()2131x x -=+23．解方程：（1）x 2﹣2x ﹣3＝0；（2）（2x+1）2＝（x ﹣1）2．24．解方程：（1）x 2－2x －3＝0（2）2162(4)x x -=+25．解方程：（1）2x 4x 0-=；（2）()x x 11+=.26．解方程：（1）220x x -=；（2）22210x x --=.27．解下列方程：（1）261x x -=（2）2x 2－5x+2=028．解方程：（1）x 2+3x ＝0；（2）x 2﹣2x ﹣1＝0．29．解方程：（1）220x x -=（2）2410x x --=30．（1+（2）解方程：x （x-4）=5（x-4）31．解方程：（1）x 2﹣3x ＝0；（2）x 2﹣4x+3＝0．32．解一元二次方程：（1）x 2-5x=0；（2）x 2+2x-3=0．33．（1）计算：（2）解方程：2x 2-5x=034．（1）化简：（2）解方程：()()232x x x -=-35．解方程：（1）2x x =；（2）22520x x -+=.36．先化简，再求值：11122a a a ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中a 的值是方程a 2﹣2a ＝0的解.37．解方程：（1）2310233x x x x---=--；（2）2230x x --=.38．解方程：（1）(2)20x x x -+-=（2）2682x x -+=39．解下列方程：（1）22131x x x --=+；（2）()25410x x x -=-.40．解方程：（1）x （x+2）＝2（x+2）；（2）3x 2﹣x ﹣1＝0．41．解方程：（1）x 2﹣2x ﹣15＝0；（2）（3x+2）2＝3（3x+2）．42．（1）解方程：x 2－6x ＋9＝（2x －1）2（2）化简：2122(1x x x --÷.43．解方程：（x ﹣1）（x ﹣2）＝1244．解方程：（1）（x ﹣2）2＝9．（2）x （x ﹣3）+x ＝3．45．解下列方程：（1）()23x x -=；（2）22(21)(1)x x +=-.46．解方程：()2237x x x -=+47．解方程：（1）2320x x -=（2）245x x +=48．解方程：（1）22100x x -=（2）2270x x +-=49．解下列方程：（1）23520x x -+=；（2）()()1121y y y +-=-．50．解方程：（1）2470x x --=；（2）()3122x x x -=-.一元二次方程解法-因式分解法精炼50题（含答案）一、计算题1．（1）计算：（2）解方程：()233x x x +=+．【答案】（1）解：=+=（2）解：()233x x x +=+，()()2330x x x +-+=，()()3210x x +-=，30x +=或210x -=，所以13x =-，212x =．【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）首先将各个根式化为最简二次根式，然，二次根式的乘法法则计算乘法、最后合并同类二次根式即可；（2）把（x+3）看成一个整体，将右边的式子移至左边，让方程的右边为0，观察发现，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.2．用适当的方法解一元二次方程：（1）2690x x ++=；（2）()()313x x --=．【答案】（1）解：2690x x ++= ，2(3)0x ∴+=，123x x ∴==-（2）解：()()313x x --= ，整理得：240x x -=，则()40x x -=，解得10x =，24x =．【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，且方程的左边易于利用完全平方公式分解因式，故利用直接开平方法求解即可；（2）首先将方程的左边利用多项式乘以多项式的法则化简，同时将右边的常数项移到方程的左边，并合并同类项，将方程化为一般形式，观察方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解.3．解方程：（1）22(2)18x -=．（2）22150x x --=．【答案】（1）解：22(2)18x -=，2(2)9x -=，23x -=±，所以15x =，21x =-；（2）解：22150x x --=，()()530x x -+=，50x -=或30x +=，所以15x =，23x =-．【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）首先给方程两边同时除以2，然后利用直接开平方法进行计算；（2）此方程是一元二次方程的一般形式，而且方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.4．解方程：（1）289x x +=（用配方法解）；（2）2760x x -+=；（3）2352x x -=；（4）2(3)26x x +=+．【答案】（1）解：方程两边都加一次项系数8的一半4的平方得：2816916x x ++=+，化为2(4)25x +=，45x ∴+=±，45x ∴+=或45x +=-，解得11x =，29x =-；（2）解：因式分解得(1)(6)0x x --=，10x ∴-=或60x -=，解得11x =，26x =；（3）解：移项得23520x x --=，3a =，5b =-，2c =-，△224(5)43(2)49b ac =-=--⨯⨯-=，则5723x ±=⨯，12x ∴=，213x =-（4）解：2(3)26x x +=+ ，2(3)2(3)0x x ∴+-+=，(3)(32)0x x ∴++-=，(3)(1)0x x ∴++=，30x ∴+=或10x +=，13x ∴=-，21x =-．【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）在方程两边都加一次项系数一半的平方“16”，再将方程左边写成完全平方式，再开方即可求解；（2）此方程是一元二次方程的一般形式，且方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此方程利用因式分解法求解即可；（3）首先移项，将方程右边的项移到方程的左边，让右边为0，进而找出二次项系数a 、一次项系数b 、常数项c 的值，算出根的判别式b 2-4ac 的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式2b x a-±=求出方程的根；（4）将方程的右边利用提取公因式法分解因式后整体移到方程的左边，让方程的右边为0，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此方程利用因式分解法求解即可.5．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）22150x x --=；（2）()2(4)540x x +-+=．【答案】（1）解：22150x x --= ，()()530x x ∴-+=，50x ∴-=或30x +=，15x ∴=，23x =-（2）解：()2(4)540x x +-+= ，()()4450x x ∴++-=，40x ∴+=或10x -=，14x ∴=-，21x =．【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用十字相乘法分解因式，故此题利用因式分解法求解；（2）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解.6．解下列方程：（1）（配方法）2620m m --=；（2）2260x x --=．【答案】（1）解：2620m m --=，262m m -=，26929m m -+=+，2(3)11m -=，3m -=3m -=或3m -=13m =+23m =-；（2）解：2260x x --=，(2)(23)0x x -+=，20x -=或230x +=，12x =，232x =-．【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；（2）利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
经典：一元二次方程解法练习题(四种方法)
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142x2、2)3(2x 3、162812x 二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662y y2、xx 42323、9642x x 三、用公式解法解下列方程。
1、0822x x2、22314yy 3、y y 321324、01522x x 5、1842x x 6、02322x x四、用因式分解法解下列一元二次方程。
1、xx 222、x 2+4x-12=0 3、0862x x 4、03072x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法) 1、513x x x x 2、x x 5322 3、2260x y 4、01072x x 5、623x x 6、03342x x x7、02152x 8、0432y y 10、412y y 11、1314x x x 12、025122x 13、22244a b ax x 14、3631352x x 15、213y y 16、)0(0)(2a b x b a ax 17、03)19(32a x a x 18、012x x 19 、02932x x 20、02222a b ax x21、22、030222x x 23、01752x x 24、1852x x 25、3x 2+5(2x+1)=0 26、x x x 22)1)(1(解答题：1、已知一元二次方程0132m x x .（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0．3、无论m 为何值时，方程04222m mx x 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由。
一元二次方程解法专题
一元二次方程解法专题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程的解法专题训练1．实数x 满足方程（x 2+x ）2-（x 2+x ）-2=0，则x 2+x 的值等于（ ） A ．2 B ．1- C ．2或1- D ．1或2- 2．关于x 的方程2x 2﹣8=0解为（ ）A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=，x 2=﹣C ．x 1=2，x 2=﹣2D ．x 1=x 2=2 3．已知关于x 的一元二次方程220x x a +-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．用配方法解方程x 2﹣4x ﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）A ．（x ﹣4）2=19B ．（x ﹣2）2=7C ．（x+2）2=7D ．（x+4）2=195．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）A ．x ﹣6=﹣4B ．x ﹣6=4C ．x+6=4D ．x+6=﹣46．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k ＞﹣1且k≠07．一元二次方程x 2﹣2x=0的根是（ ）A ．x 1=0，x 2=﹣2B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=﹣2D ．x 1=0，x 2=2 8．用配方法解一元二次方程x 2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）A ．（x+2）2=1B ．（x ﹣2）2=1C ．（x+2）2=9D ．（x ﹣2）2=9 9．关于x 的方程mx 2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m= ．10．已知m ，n 是方程x 2?x?2016=0的两个实数根，则m 2+n 的值为 ．11．（2015秋?沂源县期末）一元二次方程x 2﹣2x=0的解为 ．12．（2015秋?市中区期末）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+5=0（a≠0）的一个解是x=1，则2016﹣a ﹣b 的值是 ．13．（2015秋?沧州期末）一元二次方程x 2+x=0的解是 ． 14．解方程（1）2280x x --= （2）(2)20x x x -+-=15．解下列方程：（1）（x+3）2=5（x+3）； （2）x 2+4x ﹣2=0．16．解方程：（1）x 2+2x -3=0 （2）3x （x -2）=2（2 -x ）17．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-= 的两个实数根1x 、2x 的值分别是□ABCD 的两边AB 、AD 的长． （1）如果12x =，试求□ABCD 的周长；（2）当m 为何值时，□ABCD 是菱形18．（本题10分）已知：关于x 的方程kx 2-（3k-1）x+2（k-1）=0， （1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2，且|x 1-x 2|=2，求k 的值．19．解方程：x 2+2x ﹣3=0．20．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k ＋1＝0（1）若x =－1是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；（2）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使得x 1x 2＞x 1＋x 2成立请说明理由．21．已知关于x 的一元二次方程2210x x k -+-=．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围； （2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k 的值；（3）当Rt △ABC 的斜边长A 和B 恰好是这个方程的两个根时，求Rt △ABC 的面1。
专题训练一：一元二次方程
解：等式变形为 a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5＝0， 即(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0， c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即 a2＋b2＝c2， ∴△ABC 为直角三角形
解：(1)不符合．设小路宽度均为x m，根据题意得(16－2x)(12－2x) 1 ＝ ×16×12，解得x1＝2，x2＝12，但x2＝12不符合题意，应舍 2 去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m
(2)答案不唯一，略
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁 由A以2 cm/s的速度向B爬行，同时另一蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿 OC方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与 O点组成的三角形面积等于 450 cm2?
三、几何图形问题 解：分两种情况讨论：(1)当由A 点出发的蚂蚁到达 O点之前，设 离开A点t s后，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2，根据 题意得 (50 － 2t)·3t ＝ 450 ， 整理得 t2 － 25t ＋ 150 ＝ 0 ， 解得 t1 ＝ 15 ， t2 ＝ 10 ； (2) 当由 A 点出发的蚂蚁爬完 OA 这段距离用了＝ 25(s) 后 ， 开 始由O向B爬行，设从O点开始x秒钟后，两蚂蚁与O点组成的三角形 面积等于450 cm2，根据题意得·2x·3(25＋x)＝450，整理得x2＋25x －150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题意，舍去)，当x＝5时，x＋ 25＝30，这只蚂蚁已由A点爬行了30 s．综上可知，分别在10 s，15 s，30 s时，两蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450 cm2
初中数学一元二次方程解法练习题(附答案)
初中数学一元二次方程解法练习题(附答案)初中数学一元二次方程解法练题一、单选题1.方程x2-3=0的根是（）A.3B.-3C.±3D.无解2.一元二次方程y2-y-3/4=0配方后可化为（）A。
(y+1/2)2=5/4B。
(y-1/2)2=5/4C。
(y+1/2)2=3/4D。
(y-1/2)2=3/43.用配方法解下列方程,其中应在方程的左右两边同时加上4的是( )A。
x2-2x=5B。
x2+4x=5C。
x2+2x=5D。
2x2-4x=54.若一元二次方程x2=m有解则m的取值为( )A.正数B.非负数C.一切实数D.零或正数5.用直接降次的方法解方程(2x-1)2=x2，做法正确的是（）A。
2x-1=xB。
2x-1=-xC。
2x-1=±xD。
2x-1=±x26.用配方法解下列方程时，配方正确的是( )A。
方程x2-6x-5=0，可化为(x-3)2=4B。
方程y2-2y-2020=0，可化为(y-1)2=2020C。
方程a2+8a+9=0，可化为(a+4)2=25D。
方程2x2-6x-7=0，无法配方7.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( )A。
3B。
-3C。
±3D。
无法确定8.一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形式，其中a,b为整数，求a+b之值为何( )A.20B.12C.-12D.-209.将代数式a2+4a-5变形，结果正确的是( )A。
(a+2)-1B。
(a+2)-5C。
(a+2)+4D。
(a+2)-9二、解答题10.若a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.1)求a,b,c的值;2)请判断△XXX的形状.解：(1)将方程移项并配方得到(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，因此a=3，b=4，c=5.2)由于三角形的三边长都是正数，所以方程的解只有(a,b,c)=(3,4,5)一组，因此△ABC是一条直角三角形。
一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依照平方根的定义）若是x2 a 那么x a 注意 ;x 能够是多项式一、用直接开平方法解以下一元二次方程。
1. 4 x2 1 0 2 、 (x 3)2 2 3 、81 x 22 16 4 ．1 (x 1) 2 25.45．(2 x＋1) 2=( x－1) 2． 6 ．(5 －2x) 2=9( x＋3) 2． 7 ．2(x 4)2 6 0.3方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，尔后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
配方法解一元二次方程的步骤：二、用配方法解以下一元二次方程。
1、. y2 6 y 6 02、3x22 4x3x24x96 、4、x2 4 x5 05、2x23x 1 06、3x22x 70方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2. 公式的推导：用配方法解方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）（1）当 b2-4ac>0 时，x1 ， x2 。
（2）当 b2-4ac=0 时，x1x2 。
（3）当 b2-4ac<0 时，方程根的情况为。
二、用公式解法解以下方程。
1、x2 2x 8 02、4 y 13y2 3、3 y 2 1 2 3 y4 、2x2 5x 1 0 25、4x28x1 6 、2x23x 2 07 ．x2＋4x－3=08．3x 2x 2 30.方法四：因式分解法因式分解的方法：（1）提公因式法：（2）公式法：平方差：完好平方：（3）十字相乘法：一、用因式分解法解以下一元二次方程。
1、x22x2、( x1) 2( 2x 3)203、x26x 804、4(x3)225( x 2) 25、(12) x 2(1 2 ) x 06、(23x) (3x 2) 20二、用适合的方法解以下一元二次方程。
( 采用你认为最简单的方法)1、x2 2 y 6 02、2x2 3 5x 3.2x 22x 30 0 4.y 2 y 1 4 5、x27x 10 0 6 、x 3 x 267.x22ax b 2a208.4x x 1 3 x 11、已知一元二次方程x 23x m 10 .（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围 .（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根22、已知方程 2（m+1）x +4mx+3m=2，依照以下条件之一求m的值．3、无论m为何值时，方程x22mx 2m 40 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明原因。
解一元二次方程练习题(四种解法)
一 直接开方法
类型
I： ax2
=
b
x2
=
b a
b a
0
x
=
b (结果要分母有理化)
a
类型 II： a2 = b2 a = b或a = −b
（1） x2 = 9
（2） 4x2 = 25
（3） ( x +1)2 = 16
（4） 4(2x −1)2 = 81
一元二次方程的解法专题训练
三 公式法
x = −b b2 − 4ac 2a
步骤： 第一步：写成一般式； 第二步：找出 a，b，c；
第三步：计算 = b2 − 4ac ；
第四步：若△≥0，则代入公式；若△≥0，则原方程无实数解；
（1） x2 + 2x −1 = 0
（2） 2x2 + 4x = 1
（7） 300x2 − 40x +1 = 0
（8） ( x − 3)( x + 2) = 6
一元二次方程的解法专题训练
综合练习
（1） x2 − 6x + 8 = 0
（2） x2 − 4x = 1
（3） x2 −12x + 20 = 0
（4） x2 − 40x + 300 = 0
（5） x2 −100x + 2400 = 0
（5） (2x +1)2 = ( x − 3)2
（6） 250( x +1)2 = 360
（7）100(1− x)2 = 81
（8） 440( x +1)2 = 633.6
（9） −2( x − 4)2 + 9 = 5
2022年中考复习专题《一元二次方程的解法》同步训练含答案
2022年中考复习专题《一元二次方程的解法》同步训练含答案一元二次方程的解法一、选择题1．方程〔x﹣2〕〔x+3〕=0的解是〔〕 A．x=2 B．x=﹣3C．x1=﹣2，x2=3D．x1=2，x2=﹣32．方程x2﹣5x=0的解是〔〕 A．x1=0，x2=﹣5B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x=03．以下计算正确的选项是〔〕 A．a4?a3=a12B．C．〔x2+1〕0=0 D．假设x2=x，那么x=14．一元二次方程x〔x﹣2〕=2﹣x的根是〔〕 A．﹣1 B．2C．1和2 D．﹣1和25．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程〔x﹣2〕〔x﹣4〕=0的根，那么这个三角形的周长是〔〕 A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确 6．方程x2﹣2x=0的解为〔〕A．x1=1，x2=2 B．x1=0，x2=1 C．x1=0，x2=2 D．x1=，x2=2 7．一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是〔〕 A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=﹣3 D．x1=1，x2=38．方程x〔x﹣3〕+x﹣3=0的解是〔〕 A．3B．﹣3，1 C．﹣1 D．3，﹣19．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，那么这个三角形的周长是〔〕A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 10．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是〔〕 A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2二、填空题11．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的解为．第1页〔共5页〕C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=212．假设实数a、b满足〔4a+4b〕〔4a+4b﹣2〕﹣8=0，那么a+b= ． 13．将x2+6x+3配方成〔x+m〕2+n的形式，那么m= ．14．一元二次方程x〔x﹣6〕=0的两个实数根中较大的根是． 15．方程x2﹣2x=0的解为． 16．方程x2﹣2x﹣3=0的解是． 17．一元二次方程x2﹣3x=0的根是． 18．填空：x2﹣4x+3=〔x﹣〕2﹣1．19．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，那么这个等腰三角形的周长为．20．实数m，n满足m﹣n2=1，那么代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于． 21．对于实数a，b，定义运算“﹡〞：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．假设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，那么x1﹡x2= ．22．现定义运算“★〞，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，假设x★2=6，那么实数x的值是．三、解答题23．解方程：x2﹣10x+9=0．24．阅读以下材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：〔1﹣﹣﹣〕×〔+++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣〕×〔++〕．令++=t，那么原式=〔1﹣t〕〔t+〕﹣〔1﹣t﹣〕t =t+﹣t2﹣t﹣t+t2 = 问题：〔1〕计算〔1﹣﹣﹣﹣…﹣〕×〔++++…++〕﹣〔1﹣﹣﹣﹣﹣…第2页〔共5页〕﹣﹣〕×〔+++…+〕；〔2〕解方程〔x2+5x+1〕〔x2+5x+7〕=7．25．选取二次三项式ax2+bx+c〔a≠0〕中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=〔x﹣2〕2﹣2；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：根据上述材料，解决下面问题：〔1〕写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；〔2〕x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值． 26．〔1〕解方程：x2﹣5x﹣6=0；〔2〕解不等式组：27．解方程：x2+2x﹣3=0．28．解方程：3x〔x﹣2〕=2〔2﹣x〕 29．阅读材料：用配方法求最值． x，y 为非负实数，∵x+y﹣2∴x+y≥2，当且仅当“x=y〞时，等号成立．≥0．例如：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．的最小值．〔1〕尝试：当x＞0时，求y=〔2〕问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算〔即：使〕？最少年平均费用为多少万用多少年的年平均费用最少，年平均费用=第3页〔共5页〕元？第4页〔共5页〕参考答案一、选择题1．D；2．C；3．B；4．D；5．C；6．C；7．A；8．D；9．B；10．D；二、填空题11．x1=，x2=1；12．﹣或1；13．3；14．6；15．x1=0，x2=2；16．x1=3，x2=﹣1；17．x1=0，x2=3；18．2；19．15；20．4；21．3或﹣3；22．﹣1或4 第5页〔共5页〕。
一元二次方程解法练习
一元二次方程解法练习 解方程1、3x ²-6x-2=0 0642=--x x
解方程2、x 2-4x-140=0 x 2-2x-1599=0
3、把y=-100x ²+100x-25配成顶点式
解方程4、①01692=-x
②100(1+x)2=144
③2)3(2=+x
④)2()2(3-=-x x x
⑤052=+x x
⑥22)3(4)23(-=+x x ⑦01442=+-x x
解方程5、01522=-+x x x 2-5x+6=0 x 2-5x-6=0 x 2+5x+6=0 x 2+5x-6=0 解方程6、
7、对于二次三项式，小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11。
你是否同意他的说法？说明你的理由
8、先从括号内①，②，③，④备选项中选出合适的一项，填在横线上，将题目补充完整后再解答：
如果a 是关于x 的方程02=++a bx x 的根，并且0≠a ，求 的值． （①ab ；②a b
；③b a +；④b a -）
9、请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数________
10、老师出示了一道题：“已知方程，试添加一个条件，使它的两根之积为2”，小敏回答：“方程有一根为1”，小聪回答：“方程有一根为2”，则你认为（ ）
A. 只有小敏回答正确
B. 只有小聪回答正确
C. 小敏、小聪回答都正确
D. 小敏、小聪回答都不正确
90228=∙-x x 90229=∙-x x 1002
30=∙-x x。
一元二次方程的解法练习
一元二次方程的解法练习例1、解下列方程：（1）9x 2－25 =0 ； （2）21（x +3）2 =8 ； （3）4（x －2）2－36 =0；例2、解下列方程：（1）（X －2）2 =（2X +3）2 ； （2）4（3X －1）2－9（3X +1）2 =0 。
例3、用配方法解下列方程：（1）x 2－12x －9964 =0 ； （2）2x 2 +3 =7x 。
例4、求证下列多项式的值恒大于零：（1）2x 2－4x + 7 ； （2）x 2 +2mx +2m 2 +1 。
例5、用公式法解下列方程：（1）－3x 2－5x +2 =0 ； （2）08121212=++x x 。
例6、已知y =2x 2 +7x －1，当x 为何值时，y 的值与4x + 1的值相等？x 为何值时，y 的值与x 2－19的值互为相反数？例7、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程x 2－3x +2 =0的根，试求这个三角形的周长。
例8、已知关于x 的方程2x 2－kx +1 =0的一个解与方程4112=-+x x 的解相同。
（1）求k 的值； （2）求方程2k 2－kx +1 =0的另一个解。
例9、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：x 2－1 =0 （1）x 2 +x －2 =0 （2）x 2 +2x －3 =0 （3）……x 2 +（n －1）x －n =0 （n ）① 请求出上述一元二次方程（1）、（2）、（3）……（n ）的解；② 请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
例10、已知方程（a －x ）2－4（b －x ）（c －x ）=0，试说明：（1）此方程必有实数根；（2）若a 、b 、c 为△ABC 三边，方程有两个相等的实数根。
试确定△ABC 的形状。
同步练习1. 9)12(2=-x2. 42)2)(1(+=++x x x3. 3x 2–4x –1=04. 4x 2–8x +1=0（配方法）5. 0542=-+x x （配方法） 6. 025)2(10)2(2=++-+x x （因式分解法）7. 0672=+-x x (因式分解法) 8. )15(3)15(2-=-x x (因式分解法) 9. 0362=+-x x (配方法)10. 1)4(2=+x x (求根公式法) 11. 0)1(122=--+-kx k x x 12. 036252=-x13.0223)12(22=-+-+x x 14. 0)4()52(22=+--x x 15. 配方法x 2+4x -12=016. 公式法3x 2+5(2x+1)=0 17. 因式分解法3(x -5)2=2(5-x ) 18. 9)12(2=-x19. 0432=-+x x （配方法） 20. 3x 2+5(2x+1)=0（公式法） 21. ()()752652x x x +=+课下练习一、填空题1、方程x 2－3 = 0的根是 。
一元二次方程解法及练习题
一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如2x a =(a ≥0)，2()x a b ?(b ≥0)类的一元二次方程．2x a =，则x a = ；2()x a b ?，则x a b ? b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为2x a =或2()x a b ?的形式，也可以用此法解．1、2410x -=2、2(3)2x -=3、()215x -=4、()281216x -=二、 用配方法解下列一元二次方程。
配方法：任何一个形如2x bx ±的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解2670x x +-=时，可把方程化为22267,6979,(3)16x x x x x +=++=++=，从而得解．1、.2660y y --=2、2324x x -=3、2496x x -=4、2450x x --=5、22310x x +-=6、23270x x +-=7、24810x x --+= 8、2220x mx n +-= 9、()22200x mx m m --=>三、 用公式解法解下列方程。
公式法：一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在240b ac - 的前提下，242b b ac x a-?=．用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算24b ac -，当240b ac -<时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．1、2280x x --=2、23412y y =-3、23123y y +=4、22510x x -+=5、2481x x --=-6、22320x x --=四、 用因式分解法解下列一元二次方程。
一元二次方程的解法综合练习题及答案
一元二次方程的解法专题训练1、因式分解法 ①移项：使方程右边为0②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组③由A ∙B=0，那么A=0或B=0，解两个一元一次方程2、开平方法 )0(2≥=a a x3、配方法 ①移项：左边只留二次项与一次项，右边为常数项 〔移项要变号．．．．．〕 ②同除：方程两边同除二次项系〔每项都要除．．．．．〕 ③配方：方程两边加上一次项系数一半的平方．．．．．．．④开平方：注意别忘根号与正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法① 将方程化为一般式② 写出a 、b 、c③ 求出ac b 42-，④ 假设b 2-4ac ＜0，那么原方程无实数解⑤ 假设b 2-4ac ＞0，那么原方程有两个不相等的实数根，代入公式x= ⑥ 假设b 2-4ac ＝0，那么原方程有两个相等的实数根，代a x a x -==21入公式2b x a=-求解。
例1、利用因式分解法解以下方程(x －2) 2＝(2x-3)2 042=-x x 3(1)33x x x +=+ x 2()()0165852=+---x x例2、利用开平方法解以下方程51)12(212=-y 4〔x-3〕2=25 24)23(2=+x例3、利用配方法解以下方程7x=4x 2+2 01072=+-x x 例4、利用公式法解以下方程－3x 2＋22x －24＝0 2x 〔x －3〕=x －3． 3x 2+5(2x+1)=0课后练习1、方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的选项是 ( )A 、 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 、 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D 、以上都不对2、用__________________法解方程(x-2)2=4比拟简便。
3、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 那么a=______________.4、解方程〔x+a 〕2=b 得〔 〕A 、x=-a B 、x=±039922=--x xC 、当b ≥0时，x=-aD 、当a ≥0时，x=a5、关于x 的方程〔a 2-1〕x 2+〔1-a 〕x+a-2=0，以下结论正确的选项是〔 〕A 、当a ≠±1时，原方程是一元二次方程。
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例1：解方程：(1)(2x-1) 2
=5 (2) 081)2x (42=--．（3）x 2+6x+9=2
例2．用配方法解下列关于x 的方程
（一）知识准备
（二）．用配方法解下列关于x 的方程 x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-12=0
例3用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2+1=3x （2）3x 2-6x+4=01． （3）9y 2-18y-4=0 （4）x 2
二次系数化为一；常数要往右边移；一次系数一半方；两边加上最相当。
应把它先变形为（ ）． A ．（x-3）2=9 B ．（x-23）2=0 C ．（x-13）2=89 D ．（x-13）2=109
2.已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A ．x 2-8x+（-4）2=31
B ．x 2-8x+（-4）2=1
C ．x 2+8x+42=1
D ．x 2-4x+4=-11
3.用配方法解方程
（1）ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+c=0
例4．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2
+1.5=-3x (3) x 212=0 （4）4x 2-3x+2=0 （5）（x-2）（3x-5）=0
练习：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．
___)(___)(___)(___)(22222222____2
1)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(-+-+=+-=++=+-=++y y y y x x x x y y x x (___)(___)(___)(2
2222222____21)4(_____5)3(_____8)2(_____2)1(-+-+=+-=++=+-=++y y y y x x x x y y x x
总结：一元二次方程一定有实数解吗？为什么？一元二次方程的实数解有几种情况？如何鉴定？ 应用：
例1．不解方程，判定方程根的情况
（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4） (2)ax 2+bx=0(a≠0)
例2．k 的何值时？关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）
没有实数根；
例3．求证方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
例4已知关于x 的一元二次方程01)1(2=++-x x m 有实数根，求m 的取值范围。
变式：已知关于x 的方程01)1(2=++-x x m 有实数根，求m 的取值范围。
练习：
1.关于x 的一元二次方程：0)2(2=-+-m mx x 的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的实数根
B 、有两个相等的实数根
C 、没有实数根
D 、无法确定
2. 关于x 的一元二次方程
0162=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 得取之范围是 。
3. 当k 满足 时，关于x 的一元二次方程063622=+++k kx x 有两个相等的实数根。
4. 若0是关于x 的方程0823)2(2
2=-++--m m x x m 的解，求实数m 的值，
因式分解法解一元二次方程
知识准备
1、将下列各题分解因式
x x 32+= 142-x = 962+-x x = =++3632x x
2. 若0=⋅y x ，那么有=x 或=y
若0)3)(1(=-+x x ，那么___________或_________，即_______=x 或________。
3. 直接写出出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-= 例1.解下列方程．
（1）2x 2+x=0 （2）3x 2+6x=0 （3）x 2－ （4）4x 2－121 = 0 （5）3x 2－6x =－3
例2.解下列方程．
02)2()1(=-+-x x x
22)3()12)(2(x x -=- （1）3x(2x+1)=4x+2 （2）(x －4)2=(5－2x)2。