新课标高二数学(人教A版)必修5课件：2.4等比数列(二)

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人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)

是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ，． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则（ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．

高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)

等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛砖在等比数列{an}中：引玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ，则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追踪利用等比数列的性质填空：
练在等比数列{an}中：习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。

高中数学第二章数列 2.4 等比数列(二)课件新人教A版必修5

根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16，由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3，或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，

2.4等比数列-人教A版高中数学必修五课件

(2)已知等比数列{an}，a3=7，a7=21，则a3和a7 的等比中项是( D )
A. 35 B. 63 C. 7 3 D. 7 3
例题：
1、一个等比数列的第9项是 4 ，第17项是 1 ，
9
3
求它的第1项； 16
27
2、已知{an}是等比数列且an>0， a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5 5
a9a10a11=( )
A. 48
B. 72D C. 144
D. 192
3、在正项等比数列{an}中，lga3+lga6+lga9=6，则
a1a11的值是 A
A．10 000 B．1 000 C．100 D．10
例3、已知等比数列{an}中，a2+a5=18，a3a4=45，求通项公式an.
解：a
A、必有两个不等实根 B、必有两个相等实根
C、必无实根
D以上三种情况均有可能
小结
1、理解等比数列的概念
2、判定一个数列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需根据定义证明an+1:an是非零常数。也可证明an2=an-1an+1 (n≥2)
3、等比数列的通项公式联系着4个基本量a1,q,n,an。 “知三求第四”是一类最基本的运算问题，注意运用函数与方程思想，整体思想，分类讨论的思想等分析问题和解决问题。
就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母q表示。符号表示：an q(q 0, n 2, n N )
a n1
理解:
1)公差d可为0，公比q不可以为0。且每一项不为0；
2)公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠

人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)

(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍是等比数列，且公比分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn；解因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1，即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》

解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，，两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64，又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12

2.4等比数列课件 (人教A版必修5)

A．等差数列 B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．不能确定是什么数列
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项，后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决问题.
课前自主预习
课前预习 ········································· 明确目标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数列{an}是( )

高中数学人教A版必修五教学课件：第二章《数列》 2.4 第2课时等比数列的性质

－6 解析：a4a7＝a1· a10＝＝－2. 3
答案：B
3．等比数列{an}中，若 a9＝－2，则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，

高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件新人教A版必修5

∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:

(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,

可设 3 , ,aq,aq3.

第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测

新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.4等比数列

1
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的 1 ;
10
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．
第二十九页，编辑于星期日：十三点十七分。
练习:
教材P.53练习第3、4题．
第三十页，编辑于星期日：十三点十七分。
第十五页，编辑于星期日：十三点十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
第十六页，编辑于星期日：十三点十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
am ·an＝ap ·aq.
第十七页，编辑于星期日：十三点十七分。
(1) 5, 15, 45,; (2) 1.2, 2.4, 4.8,; (3) 2 , 1 , 3 ,;
328 (4) 2, 1, 2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
第七页，编辑于星期日：十三点十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时, {an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
第二十六页，编辑于星期日：十三点十七分。
等比数列的增减性:
1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列; 2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,

2.4 等比数列课件(50张PPT)高中数学必修5(人教版A版)

b3＝－8， 2bq＝a＋b， ab2q＝－80，
4 所以这四个数为 1，－2,4,10 或－5，－2，－5，－8.
进入导航
[点评]
a 1.三个数成等比数列，常设为q，a，aq(a≠0)．
2．四个数成等比数列，常设为 a，aq，aq2，aq3，而不 a a 设为 3，，aq，aq3，这样设会因等比数列的公比为 q2 而失 q q 根．
k－ 1 2 ＝a2 qm＋n－2＝a2 ) ＝a2 1· 1(q k.
在等比数列{an}中，若 am· an＝ap· aq＝a2 k ，不一定有 m＋ n＝p＋q＝2k，如非零常数列．
进入导航
2．在等比数列{an}中，公比 q>1 时，该数列一定是递增数列吗？
提示：当 q>1 时，该数列不一定是递增数列． ∵an＝a1qn 1，如果 a1<0，则数列{an}为递减数列．
成等比数列；
2 2 (2)利用 a1a7＝a2 4，a2a8＝a5，a3a9＝a6.
进入导航
[解析]
(1)∵{an}成等比数列，
∴a2，a6，a10 仍成等比数列． a2 162 6 2 ∴a6＝a2a10，∴a10＝＝＝128. a2 2
3 (2)(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a6 5＝50，a4a5a6＝a5＝5 2.
数列等比数列
等比数列的性质
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新知初探
1．等比数列的项与序号的关系以及性质两项关系通项公式的推广：an＝ a m· qn－m(m，n∈N*) 多项关系项的运算性质：若m＋n＝ p＋q(m，n，p，q∈N*)，
aq . 则am· an＝ ap·
进入导航
2.等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即

高中数学人教A版必修5课件：2.4.2等比数列的性质及应用(34张)

2 2 a 162 6 法三：因为{an}为等比数列，所以 a2· a10＝a2 ， a ＝ 6 10 以 q4＝81，所以 a10＝a1q9＝a1q· q8＝2×812＝13 122. a6 162 4 法二：因为 q ＝a ＝ 2 ＝81， 2 所以 a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法归纳, 等比数列常用性质 (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am· an＝ap· aq. 特例：若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am· an＝a2 p. an (2)a ＝qn－m(m，n∈N*)． m (3)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列． (4) 数列{an} 为等比数列，则数列 {λan}(λ 为不等于 0 的常 1 数)a 仍然成等比数列． n
(4)若 m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则 am，ap，an 成等比数列； 1 (5)数列{λan}(λ≠0)，a ，{a2 n}都是等比数列，且公比分别 n 1 是 q，q，q2. an (6)若{bn}是公比为 p 的等比数列，则{anbn}与b 也都是等 n q 比数列，公比分别为 pq 和p.
【课标要求】 1.掌握等比数列的几个基本性质，能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题. 2. 能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题. 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题．
自主学习 |新知预习|
基础认识
等比数列常见性质若{an}是等比数列，公比是 q，则 (1)an＝a1qn－1＝a2qn－2＝„＝amqn－m(n>m)； (2)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝„＝aman－m＋1(n>m)； (3)若 k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则 ak· al＝am· an ＝a2 p；

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质aa高二数学

第二十三页，共四十二页。
『规律总结』等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
第二十四页，共四十二页。
• 〔跟踪练习2〕
第十四页，共四十二页。
命题(mìng tí)方向1 ⇨等比数列的性质
•
例题(lìtíபைடு நூலகம் 1在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}中，已知a4a7＝－512，a3＋
a8＝124，且公比为整数，则a10＝___51_2___.
[解析] 由等比数列的性质，得 a3a8＝a4a7＝－512，由aa33＋ a8＝a8＝－152142，得
－4,2,8
• [分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组
求解．
• (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一
个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．
第二十五页，共四十二页。
25，那么a3＋a5＝
()
A
• A．5 B．10
• C．15 D．20
[解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a25，a2a4＝a23， ∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25，＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， ∴a3＋a5＝±5. ∵an>0，∴a3＋a5＝5.
第十二页，共四十二页。
• (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列(děnɡ chā shù liè)，则这四个数为__3_,_6_,1_2_,2_4________.

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)

6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.

人教A版高中数学必修五课件：2.4等比数列(共14张PPT)

数列，那么G叫做a与b的等比中知项.
(1) 2，a，8
(2) -4 ，b，c,
1 2
变式3：观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：
（1）1，±3 ， 9 （3）-12，±6 ，-3
（2）-1，±2 ，-4 （4）1，±1 ，1
an a1 *qn1
解得因此，答：这个数列的第1项与第2项分别是
课后练习课后习题
数列定义式公差（比）
等差数列
an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 q an q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 an= a1+(n-1)d
一般形式
an=am+(n-m)d
d an am nm
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
例4：一个等比数列的第３项和第４项分别是12和18，求它的第１项和第２项．解：用｛an｝表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数
叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
例1：判别下列数列是否为等比数列?
21
(1)
2, 1,
2
,, 2
第二章数列
2.4 等比数列
比较下列数列
（1）1, 2, 22 , 23 ,…… , 263
（2）
1 2
,

(人教版)数学必修五：2.4《等比数列(2)》ppt课件公开课精品课件

(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．解得aa73＝＝146 或aa73＝＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为________．
[答案] 3,6,12,24
[解析] 设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3，则 a－1， aq－1，aq2－4，aq3－13 成等差数列， ∴22aaqq－ 2－14＝＝aa－q－11＋＋aqa2－ q3－413 ，整理得aaqqq－－112＝2＝36 ，解得 q＝2，a＝3. 因此所求四个数为 3,6,12,24.
A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1 或 a1<0，q>1 D．q>1 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定．由 an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得 a1>0,0<q<1，或 a1<0，
q>1.
3．等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a， aq. (2)若四个数成等比数列，可设 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]，解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk， ∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1nlgk]＝12lgq－nn1＋1lgk. 要使数列{bn}为等差数列，只需 k＝1，故存在实数 k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．

(人教新课标)高二数学必修5第二章数列2-4《等比数列》课件(共26张PPT)

即：
an a1 q n1
此式对n=1也成立
∴ an a1 qn1 (n N )
例4：求下列等比数列的第4，5项：
（1） 5，-15，45，…
an a1 qn1
（2）1.2，2.4，4.8，…
（3）
变式2：在等比数列{an}中，已知
a3 ，2求0,aan.6 160
（2）若q=0，等式an+1=anq，对n∈N+仍恒成立，此时数列{an}从第二项起均为零，显然也不符合等比数列的定义，故等比数列中的公比q不能为零。
（3）公比q=1时是什么数列？既是等差又是等比数列为非零常数列；
（4） q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
aq1

0 1
或
0a1
an a1 * qn1
解得因此，答：这个数列的第1项与第2项分别是
等差数列中有性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq
等比数列有相似的性质吗？若n+m=p+q, 则bn bm=bp bq
证明:
例7：(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝ __________.
1 知识点: 等比数列的概念, 通项公式,等比中项的概念. 2 本节课用到的思维策略:观察、分析、归纳、猜想、类比等逻辑思维能力，由特殊到一般的认知规律。 3 数学思想方法：方程的思想，函数的思想。
课后练习课后习题
＝a·q34 ＝(a·q17)2＝25.
(2)∵a1a9＝a3a7＝64， ∴a3，a7 是方程 x2－20x＋64＝0 的两根．解得aa73＝＝146 或aa73＝＝416 . ①若 a3＝4，a7＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝64. ②若 a7＝4，a3＝16，则由 a7＝a3q4 得，q4＝14， ∴a11＝a7q4＝4×14＝1. 故 a11＝64，或 a11＝1.

人教新课标版数学高二A必修5课件2.4等比数列二

例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成
等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个
数与第三个数的和是12，求这四个数.
a＋d2 解方法一设四个数依次为 a－d，a，a＋d， a ，
a＋d2
由条件得a－d＋ a ＝16，
a＋a＋d＝12.
a＝4， a＝9，
解得
或
d＝4， d＝－6.
明目标、知重点
跟踪训练1 若数列{an}为等比数列，公比为q，且an>0， bn＝lg an，试问数列{bn}是什么数列？并证明你的结论. 解数列{bn}是等差数列.证明如下： ∵bn＋1－bn＝lg an＋1－lg an＝lgaan＋n 1＝lg q(常数). ∴{bn}是公差为lg q的等差数列.
组连续的三项不成等比数列即可，即存在 an0，an0 1， an0 2，且a2 n0 1≠an0 ·an0 2.
明目标、知重点
例1 已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证： {an·bn}，{can}(c为非零常数)是等比数列. 证明设数列{an}的首项是a1，公比为p；数列{bn}的首项为b1，公比q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为： a1·pn－1·b1·qn－1与a1·pn·b1·qn，即为a1b1(pq)n－1与a1b1(pq)n.
明目标、知重点
探究点一等比数列的判断方法
思考1 判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？答 (1)定义法：ana＋n 1＝q(常数)； (2)等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)； (3)通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*).
明目标、知重点
思考2 如何判断或证明一个数列不是等比数列. 答如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到一