2014-2015学年湖北省黄石市有色一中高二(下)期中数学试卷(文科) (Word版含解析)

2014-2015学年湖北省黄石市有色一中高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）（2015春•黄石校级期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=}，则（∁R A）∪（∁R B）=（）A．∪B．C．，k∈Z．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015春•黄石校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n S n﹣1=0（n≥2，n∈N），a1=．（1）求证：数列{}为等差数列．并求数列{a n}的通项公式a n．（2）记数列{b n}的通项公式为b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n≥2时，化简S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0，从而可得=2及=2；从而证明{}是等差数列；再求数列{a n}的通项公式a n；（2）化简b n==；从而可得T n=b1+b2+…+b n=1+++…++，2T n=2+++…++；利用错位相减法求T n的值．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，又a n+2S n S n﹣1=0，则有S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0①，若S n=0，则a1=S1=0与a1=矛盾，故S n≠0；由①得=2，又=2；所以数列{}是以2为首项，公差为2的等差数列．故=2+2（n﹣2）=2n，S n=；当n≥2时，a n=﹣2S n S n﹣1=﹣，而n=1时，a1=；故；（2）b n==；∵T n=b1+b2+…+b n=1+++…++①，2T n=2+++…++②；∴②﹣①得，T n=3+++…+﹣=4﹣；故T n=4﹣．点评：本题考查了等差数列的判断与证明及数列前n项和的应用，同时考查了错位相减法的应用，属于中档题．19．（10分）（2013•合肥二模）某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是名，则女生应该抽取几名？（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名，求恰有1名男生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（I）由表中数据可得，求得每个个体被抽到的概率，则女生应该抽取的女生数是用此概率乘以女生的总人数所得的结果．（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名，所有的取法有种，求恰有1名男生的取法有2×3=6种，由此求得恰有1名男生的概率．解答：解：（I）由表中数据可得，每个个体被抽到的概率为=，从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取的女生数为27×=3．（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名，所有的取法有=10种，求恰有1名男生的取法有2×3=6种，故恰有1名男生的概率为=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，属于基础题．20．（12分）（2015春•黄石校级期中）一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，且ED=1．（1）求证：平面ACE⊥平面ACF．（2）求多面体AED﹣BCF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明OE⊥平面ACF，即可证明平面ACE⊥平面ACF．（2）多面体ADE﹣BCF的体积V=，分别求出体积，即可求多面体AED﹣BCF的体积．解答：（1）证明：连接BD，AC与BD交于点O，连接OE，OF．∵四边形ABCD是四边形ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，OE⊥AC ①又∵DE=1，CD=2，则OE=，OF=，EF=3∴OE2+OF2=EF2，则OE⊥OF ②由①，②得，OE⊥平面ACF，∴平面ACF⊥ACE；（2）解：由（1）可知，三棱锥E﹣ACD，三棱锥F﹣ABC的高分别是DE，BF．且AC⊥平面BDEF，故多面体ADE﹣BCF的体积V=而，，=2∴多面体ADE﹣BCF的体积V=4．版权所有：中华资源库点评：本题考查了面面垂直的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．21．（12分）（2014•湖北校级模拟）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，则．由，得a=4版权所有：中华资源库 ∴椭圆C 的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为，代入，得x 2+tx+t 2﹣12=0由△＞0，解得﹣4＜t ＜4…（6分）由韦达定理得x 1+x 2=﹣t ，x 1x 2=t 2﹣12． ∴==．由此可得：四边形APBQ 的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ ，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k 则PB 的斜率为﹣k ，直线PA 的直线方程为y ﹣3=k （x ﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k 2）x 2+8（3﹣2k ）kx+4（3﹣2k ）2﹣48=0 ∴…（10分）同理直线PB 的直线方程为y ﹣3=﹣k （x ﹣2），可得∴…（12分）所以AB 的斜率为定值．…（14分）点评： 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．22．（14分）（2015春•黄石校级期中）已知函数f （x ）=ax 3++bx （a ，b 为常数）（1）若y=f （x ）的图象在x=2处的切线方程为x ﹣y+6=0，求函数f （x ）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象与y=﹣+m的图象交点的个数；（3）当a=1时，∀x∈（0，+∞），lnx≤f'（x）恒成立，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；（2）求出函数的导数，求出函数的极值即可（3）将不等式恒成立转化为求函数的最值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3ax2+（2﹣3a）x+b，由题知∵y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x﹣y+6=0，∴，即，解得a=﹣1，b=3．则f（x）=﹣x3++3x．（Ⅱ）由f（x）=﹣x3++3x，可得f′（x）=﹣3x2+5x+3，则y=﹣+m=﹣（﹣3x2+5x+3﹣9x﹣3）+m=，则由题意函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象交点的个数等价于方程﹣x3++3x=实根的个数，即m=﹣x3+x2+x根的个数．等价于g（x）=﹣x3+x2+x的图象与直线y=m的交点个数，…（6分）g′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（x﹣1）（3x+1），由g′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数递增，由g′（x）＜0，解得x＜或x＞1，此时函数递减．则函数g（x）的极小值为g（）=，极大值为g（1）=1…（8分）根据上面的讨论，作出g（x）=﹣x3+x2+x的大致图象与直线y=m的位置如图，由图知，当＜m＜1时，函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象有三个不同交点；当m=或m=1时，函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象有两个不同交点；当m＜或m＞1时，函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象有1个交点．…（10分）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=﹣x3+bx，f′（x）=3x2﹣x+b，若，∀x∈（0，+∞），lnx≤f′（x）恒成立，等价于lnx≤3x2﹣x+b，即b≥lnx﹣3x2+x在（0，+∞）上恒成立，令h（x）=lnx﹣3x2+x，只需b≥h（x）max．h′（x）=，故当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递增．∴h（x）max=h （）=﹣ln2﹣，∴b≥﹣ln2﹣，因此b的范围是[﹣ln2﹣，+∞）．点评：本题主要考查导数的综合应用，涉及的知识点有导数的几何意义以及函数极值和导数之间的关系，利用导数求函数的最值，综合性较强，运算量较大．版权所有：中华资源库。