2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练31不等式的性质与一元二次不等式文北师大版

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高中数学一轮复习梯级练三十不等式的性质及一元二次不等式理含解析

课时作业梯级练三十不等式的性质及一元二次不等式一、选择题(每小题5分，共35分)1.已知集合A=,B={x|x2-x+2〉0},则A∩B= ()A。

B.C. D.【解析】选D.由已知,x2-x+2=+〉0,故B=R,所以A∩B=.2。

（2021·北海模拟）下列命题中正确的个数是()①a>b，c>d⇔a+c>b+d;②a〉b,c〉d⇒〉;③a2〉b2⇔|a|〉|b｜;④a>b⇔<A.4个B。

3个 C.2个 D.1个【解析】选C.①a〉b，c〉d⇔a+c>b+d正确,不等式的同向可加性;②a〉b,c>d⇒〉错误,反例:若a=3,b=2，c=1,d=-1，则>不成立;③a2>b2⇔|a|〉｜b|正确；④a>b⇔<错误，反例：若a=2,b=—2，则<不成立。

3.（2021·黄冈模拟)关于x的不等式ax+b〉0的解集是（1，+∞)，则关于x的不等式（ax+b)(x-2)<0的解集是(）A。

(—∞,1)∪(2,+∞)B.(-1，2)C。

(1，2)D。

(-∞，-1）∪（2,+∞）【解析】选C.关于x的不等式ax+b〉0的解集是（1，+∞)，所以a〉0,且—=1，所以关于x的不等式（ax+b）（x-2）<0，可化为（x—2)<0,即（x—1）(x—2）<0,所以不等式的解集为{x｜1〈x<2｝。

4.若不等式ax2-x+a〉0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 (）A。

a〈—或a> B.a〉或a<0C。

a〉D。

—<a〈【解析】选C。

显然a=0,不等式不恒成立,所以若不等式ax2-x+a>0对一切实数x都成立,则即解得a>，所以实数a的取值范围是a〉.5。

已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（)A.[0,1］B。

（0,1］C.(-∞，0）∪（1,+∞）D。

2021年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练(I)

2021年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练(I)一、选择题1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15 ，则a ＝ ( )A.52B.72C.154D.152【解析】由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )．由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15，即6a ＝15，所以a ＝52.故选A.【答案】 A2．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【解析】由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.故选B.【答案】 B3．(xx·衡水模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]【解析】由题意知，对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2－4×1×1＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，故选D.【答案】 D4．(xx·温州八校联考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)【解析】令f (x )＝x 2＋ax －2，关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则f (1)＞0或f (5)＞0，即1＋a －2＞0或25＋5a －2＞0，所以a ＞－235.【答案】 A5．(xx·重庆模拟)已知f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x ＞0，则关于x 的不等式f (3－x 2)＜f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞)【解析】画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x2≤3，故分以下几种情形：①若3－x2≤0且2x≤0，即x≤－3，则2－(3－x2)＜2－2x，解得－3＜x＜1，∴－3＜x≤－ 3.②若－3＜x≤0，则0＜3－x2≤3,2x≤0，观察图象知f(3－x2)＜f(2x)恒成立．③若0＜x≤3，则2x＜3－x2或3－(3－x2)＜2x－3(3－x2离对称轴直线x＝3比2x 离对称轴近)，解得0＜x＜1.④若x＞3，则3－x2＜0,2x＞0，要求2－(3－x2)＜(2x)2－6×2x＋2，解得x＞2＋ 3.综上，得关于x的不等式f(3－x2)＜f(2x)的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．【答案】D二、填空题6．某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时最低产量是台．【解析】由题意知3 000＋20x－0.1x2－25x≤0即0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x 2＋50x －30 000≥0， ∴(x －150)(x ＋200)≥0. 又x ∈(0,240)， ∴150≤x ＜240，即生产者不亏本时的最低产量为150台．【答案】 1507．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是．【解析】设x <0，则－x >0. ∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎨⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎨⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图象可知f (x )<5，得－5<x <5. 由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5， ∴－7<x <3，∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}．【答案】 {x |－7<x <3}8．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集是．【解析】由题意可知，－12，13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，由2x 2－2x －12＜0，得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3，所以，不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集为{x |－2＜x ＜3}．【答案】 {x |－2＜x ＜3} 三、解答题9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值．【解】 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋23，∴原不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．【解】法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]．法二令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3,1]．[能力练]扫盲区提素能1．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]【解析】原不等式可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，此时解集中的整数为－2，－1,0.则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]．【答案】 D2．(xx·天津模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若对任意x ＞2，不等式(x －a )⊗x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)【解析】由题意可知，(x －a )⊗x ＝(x －a )(1－x )≤a ＋2对任意x ＞2都成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x －2min 在(2，＋∞)上恒成立．由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2x－2·4x－2＋3＝7(x＞2)，当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，等号成立，∴a≤7，故选C.【答案】C3．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是．【解析】原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1，当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求，当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，综上，－4≤a≤3.【答案】[－4,3]4．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为．【解析】由题意知，(8sin α)2－4×8·cos 2α≤0，∴2sin2α－cos 2α≤0，∴2sin2α－(1－2sin2α)≤0，∴4sin2α－1≤0，∴sin 2α≤14，又0≤α≤π， ∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π5．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？【解】 (1)由题意知，日利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x2＋130x －500.由日利润不少于 1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300.即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45，故该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元．(2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解】 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0， ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .。

2021高考数学(理)一轮复习讲练测《专题7.1 不等式的性质及一元二次不等式》(讲)(解析版)

一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集一元二次不等式
有两相异实数根 x1， x2(x1＜x2)
有两相等实数根 x1＝ x2＝－ b 2a
{x|x＜x1 或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2}
xx≠－ b 2a
∅
Δ＜0
没有实数根 R ∅
22 当 f(－2)＝4a－2b 过点 B(3，1)时，
取得最大值 4×3－2×1＝10，
∴5≤f(－2)≤10.
考点二一元二次不等式的解法
【典例 2】（山西平遥中学 2019 届模拟）解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为 ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1.
a＋b ab
a＋b ab
即①正确；
②中，因为 b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为 b＜a＜0，又1＜1＜0，则－1＞－1＞0，
ab
ab
所以 a－1＞b－1，故③正确； ab
④中，因为 b＜a＜0，根据 y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，可得 b2＞a2＞0，而 y＝ln x 在定义域(0，＋∞)
x－2 ②当 a＞0 时，原不等式化为 a (x＋1)≥0，
解得 x≥2或 x≤－1. a
③当
a＜0
时，原不等式化为
x－2 a
(x＋1)≤0.
当2＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2；
a
a
当2＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； a
当2＜－1，即－2<a<0 时，解得2≤x≤－1.

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练11函数与方程理北师大版

课时分层训练(十一) 函数与方程A 组基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。

2021年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练(II)

2021年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练(II)一、选择题1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵c ＞d ，∴由“a ＞b ”不能推出“a －c ＞b －d ”．若a －c ＞b －d ，c ＞d ，则(a －c )＋c ＞(b －d )＋d ，即a ＞b ，选B. 【答案】 B2．(xx·山东高考)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3【解析】因为0<a <1，a x <a y ，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，12<1，A 不成立．B 中，当x ＝0，y ＝－1时，ln 1<ln 2，B 不成立．C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立．D 中，因为函数y ＝x 3在R 上是增函数，故选D.【答案】 D3．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③【解析】由a ＞b ＞1，c ＜0得，1a ＜1b ，c a ＞cb；幂函数y ＝x c (c ＜0)是减函数，所以a c ＜b c ；因为a －c ＞b －c ，所以log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，①②③均正确，选D.【答案】 D4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b【解析】 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .由b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，得(b ＋c )－(c －b )＝(6－4a ＋3a 2)－(4－4a ＋a 2)，即2b ＝2＋2a 2，∴b ＝1＋a 2，∴b －a ＝1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴b ＞a ，则c ≥b ＞a .【答案】 A5．(xx·银川模拟)设α＞0，且1＜b α＜a α，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1B ．0＜a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b【解析】令f (x )＝x α，易知α＞0时，f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∵α＞0，且1＜b α＜a α，∴a α＞b α＞1α，∴a ＞b ＞1.故选C. 【答案】 C 二、填空题6．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为．【解析】设矩形的宽为x m ，面积为s m 2，根据题意得S ＝x (30－2x )≥216,0＜30－2x ≤18，∴⎩⎨⎧x 30－2x ≥216，0＜30－2x ≤18.【答案】 ⎩⎨⎧x 30－2x ≥216，0＜30－2x ≤187．若－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是．【解析】由－π2＜α＜π2，－π2＜－β＜π2，α＜β，得－π＜α－β＜0.【答案】 (－π，0)8．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是．【解析】a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝a －b b 2＋b －aa2 ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1a 2＝a ＋ba －b2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，a 2b 2＞0，∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0，∴a b2＋b a2≥1a ＋1b. 【答案】a b 2＋b a 2≥1a ＋1b三、解答题9．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e a －c2＞e b －d2.【证明】 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0， ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0，∴0＜1a －c2＜1b －d2.又∵e ＜0，∴e a －c2＞e b －d2.10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．【解】设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5.当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．1．(xx·合肥模拟)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)【解析】由已知及三角形三边关系得⎩⎨⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba＜1，两式相加得0＜2×ca＜4，∴ca的取值范围为(0,2)，故选B.【答案】 B2．(xx·淄博模拟)已知x ，y ∈R ，且2x＋3y＞2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( ) A ．x －y ＞0 B ．x ＋y ＜0 C ．x －y ＜0D ．x ＋y ＞0【解析】 ∵2x ＋3y ＞2－y ＋3－x ，∴2x －3－x ＞2－y －3y ，令f (x )＝2x －3－x ，则易知f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，∵f (x )＞f (－y )，∴x ＞－y ，即x ＋y ＞0，选D.【答案】 D3．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ，则实数b 的取值范围是．【解析】 ∵ab 2＞a ＞ab ，∴a ≠0，当a ＞0时，b 2＞1＞b ，即⎩⎨⎧ b 2＞1，b ＜1，解得b ＜－1；当a ＜0时，b 2＜1＜b ，即⎩⎨⎧b 2＜1，b ＞1无解．综上可得b ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)4．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是．【解析】将4≤x 2y ≤9两边平方，得16≤x 4y2≤81.①由3≤xy 2≤8，得18≤1xy 2≤13.②由①②，得2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.【答案】 275．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．【解】设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎨⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg x y .∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg x y≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，取值范围为[6,10]．6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a ＞b ＞c ，求c a的取值范围．【解】 ∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0，∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2ca ＜－1，c a ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料不等关系与不等式［A组学业达标]1．下列说法正确的是()A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000"B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y"C．某变量x至少是a可表示为“x≥a"D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析：对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B,x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a,故D错误．答案：C2．若a＞b，x＞y,下列不等式不正确的是（）A．a＋x＞b＋y B．y－a＜x－bC．｜a｜x＞｜a|y D．(a－b)x＞(a－b）y解析：当a≠0时,｜a|＞0，|a|x＞｜a|y，当a＝0时，｜a|x＝｜a｜y,故｜a｜x≥|a|y,故选C.答案：C3．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0,则下列不等式成立的是（）A．xy＞yz B．xz＞yzC．x|y|＞z｜y｜D．xy＞xz解析:由题意知三数和为0，则最大数必大于0，最小数必小于0,其他数待定．可知x＞0，z＜0,又y＞z，则xy＞xz.答案:D4．已知M＝x2－3x＋7,N＝－x2＋x＋1，则()A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．M，N的大小与x的取值有关解析：因为M＝x2－3x＋7,N＝－x2＋x＋1,M－N＝(x2－3x＋7)－（－x2＋x＋1)＝2x2－4x＋6＝2(x－1）2＋4＞0，所以M＞N，故选B。

答案：B5．设m，n∈R,给出下列结论:①m＜n＜0⇒m2＜n2；②ma2＜na2⇒m＜n；③错误!＜a⇒m＜na；④m＜n＜0⇒错误!＜1.其中正确的结论有（）A．①④B．②④C．②③D．③④解析：①m＜n＜0⇒m2＞n2；②ma2＜na2,可得m＜n，且a2≠0；③错误!＜a,n＞0时，得m＜na，n＜0时，得m＞na;④由m＜n＜0,得错误!＜错误!＜0,∴1＞错误!。

综上可得，②④正确．答案：B6．某次数学智力测验，共有20道题,答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答,设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________。

2021高考浙江版数学一轮复习：第6章第4节课时分层训练33

课时分层训练(三十三) 绝对值不等式A 组根底达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．假设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，那么实数a 的值为( )【导学号：51062195】A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或8D [当a >2时，－a2<－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a 2.其图象如下图：由图象知f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2＋a －1＝a 2－1，依题意得a 2－1＝3，解得a ＝8，符合题意．当a ＝2时，f (x )＝3|x ＋1|，其最小值为0，不符合题意．当a <2时，－a2>－1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，因此－a2＋1＝3，解得a ＝－4，符合题意．应选D.]2．(2021·金华十校一联)f (x )＝a |x －2|，假设f (x )<x 恒成立，那么a 的取值范围为( )A ．a ≤－1B ．－2<a <0C ．0<a <2D ．a ≥1A [依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a (x －2)，x ≥2，a (2－x )，x <2，易知当a ≥0时，f (x )<x 不恒成立，故ay ＝f (x )与y ＝x 的图象如下图，观察可知f (x )<x ⇔－a ≥1，即a ≤－1，应选A.]3．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)D [|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，那么不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．]4．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4)D ．(1,5)A [①当x <1时，原不等式等价于1－x －(5－x )<2，即－4<2，∴x <1.②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )<2，即x <4， ∴1≤x <4.③当x >5时，原不等式等价于x －1－(x －5)<2，即4<2，无解．综合①②③知x <4.]5．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2，当且仅当－1≤y ≤1时等号成立．故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.]二、填空题6．(2021·舟山调研)不等式|2－x |＋|x ＋1|≤a 对任意x ∈[－2,1]恒成立，那么实数a 的取值范围为________．[5，＋∞) [令f (x )＝|2－x |＋|x ＋1|，x ∈[－2,1]，那么f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤1，可知f (x )的最大值为5，所以a ≥5.] 7．(2021·宁波质检)不等式|x ＋2|＋|x |≤a 的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062196】[2，＋∞) [|x ＋2|＋|x |≥|x ＋2－x |＝2，a ≥|x ＋2|＋|x |有解，即a ≥(|x ＋2|＋|x |)min ，∴a ≥2.]8．(2021·金华十校联考)假设不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是________．(－∞，0)∪{2} [当a <0时，显然成立；当a >0时，∵|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，∴a＋4a≤4.∴aa∈(－∞，0)∪{2}．]三、解答题9．|2x－3|≤1的解集为[m，n]．(1)求m＋n的值；(2)假设|x－a|＜m，求证：|x|＜|a|＋1.[解](1)由不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，得1≤x≤2，3分∴m＝1，n＝2，m＋n(2)证明：假设|x－a|＜1，那么|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a10．(2021·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.4分(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|(2x－a)＋(1－2x)|＋a＝|1－a|＋a，6分时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当x＝128分当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).10分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.假设对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，那么k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18B [当x ＝y 时，|f (x )－f (y )|＝0.当x ≠y 时，假设|x －y |≤12，依题意有|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；假设|x －y |>12，不妨设x <y ，依题意有|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (0)＋f (1)－f (y )|≤|f (x )－f (0)|＋|f (1)－f (y )|<12|x －0|＋12|1－y |＝12－12(y －x )，又y －x >12，∴|f (x )－f (y )|<12－12×12＝14.综上所述，对所有x ，y ∈[0,1]，都有|f (x )－f (y )|<14.因此，k ≥14，即k 的最小值为14，应选B.]2．(2021·绍兴调研)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a ||x －1|恒成立，那么实数x 的取值范围是________. 【导学号：51062197】－1≤x ≤3 [因为a ≠0，所以不等式等价于|x －1|≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，那么|x －1|≤⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋b |＋|a －b ||a |min ，又|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|2a ||a |＝2，∴|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3.]3．a >0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当0≤x ≤1时， ①函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ； ②f (x )＋|2a －b |＋a ≥0.(2)假设－1≤f (x )≤1对x ∈[0,1]恒成立，求a ＋b 的取值范围． [解] (1)证明：①f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－b 6a .1分当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增．当b >0时，f ′(x )＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 6a ，此时f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 6a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 6a ，＋∞上单调递增．所以当0≤x ≤1时，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ，b ≤2a ，－a ＋b ，b >2a＝|2a －b |＋a .3分 ②由于0≤x ≤1，故当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a >4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，那么g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33，于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：g (x ) 1减极小值增1所以，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝1－439>0.所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x故f (x )＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥ (2)由①知，当0≤x ≤1，f (x )max ＝|2a －b |＋a ，所以|2a －b |＋a ≤1.假设|2a －b |＋a ≤1，那么由②知f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1.所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|2a －b |＋a ≤1，a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥0，3a －b ≤1，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <0，b －a ≤1， (*)a >0.12分在直角坐标系aOb 中，(*)所表示的平面区域为如下图的阴影局部，其中不包括线段BC .作一组平行直线a ＋b ＝t (t ∈R )，得－1<a ＋b ≤3，所以a ＋b 的取值范围是(－1,3].15分。

【高三学习指导】2021高考数学一轮复习：不等式典型题

【高三学习指导】2021高考数学一轮复习：不等式典型题摘要：高考复习就像是一场持久战，我们不仅要制定好大的战略，针对每一场战役更要制定好相应的战术。

2021高考历史如何复习?下面是“2021高考数学一轮复习：不等式典型题”欢迎大家点击参考!不等式部分1.已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的最大值。

【错解】ac+bd+==。

所以ac+bd的最大值为。

【评析及正解】若ac+bd的最大值为，则必须a=c且b=d同时成立，但这是不可能的。

所以不是ac+bd的最大值。

正确的解法是2(ac+bd)+===4，ac+bd2，当且仅当2a=c=且 2b=d=时，等号成立。

2.解不等式（x+2）2（x+3）（x-2）0.【错解】因为(x+2)20所以原不等式可化为(x+3)(x-2)0，因此原不等式的解集为{xx-3或x2}【评析及正解】错因在于忽视了“”的含义，机械地将等式的运算性质套用到不等式运算中。

正确的解法是原不等式可化为：(x+2)2(x+3)(x-2)=0或(x+2)2(x+3)(x-2)>;0解得：x=-3或x=-2 或x=2;解得：x2.所以原不等式的解集为{xx-3或x2或x=-2}。

3.已知关于x的不等式【错解】由3M且5M，得解得1a因此实数a的取值范围是[1，)(9，25)。

【评析及正解】如何理解5M，5M是指5不满足不等式正确的解法是因为5M，则5不满足不等式若5M，则25，因此1a25时，5M.又3M，则9.于是实数a的取值范围满足a9且1a25，即[1，)(9，25]。

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2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练34归纳与类比文北师大版

3x1＋ 3x2＋ 2 3
＝
＝
x1＋ 3
x2＋ 3
3x1＋ x2＋ 3 x1＋3x2 ＋ 3
3x1＋ 3x2 ＋2 3
3x1＋ 3x2＋ 2 3
3
＝ 3
＝ x1＋3x2 ＋2×３ 3
x1＋ 3x2＋ 2 3 ＝ 3 .
12 分
B 组能力提升
( 建议用时： 15 分钟 )
1．(2018 ·郑州模拟 ) 平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，
2
2
sin x1＋ sin x2
B，线段 AB总是位于 A，B 两点之间函数图像的下方，类比可知应有
2
＜sin
x1 ＋ x 2 2 .]
7．观察下列不等式： 13
1＋ 2< ， 22
1 15 1＋ 22＋ 32<3，
1 1 17 1＋ 22＋ 32＋ 42<4，
…
照此规律，第五个不等式为 __________ ．
故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是
2，所以丙的卡片上必有数字 2. 又丙的卡片
上的数字之和不是 5，所以丙的卡片上的数字是 1 和 2. 因为乙与丙的卡片上相同的数字
不是 1，所以乙的卡片上的数字是 2 和 3，所以甲的卡片上的数字是 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
12 分
部编本试题，欢迎下载！
D．全不正确
C [ 因为 f ( x) ＝ sin( x2＋ 1) 不是正弦函数，所以小前提不正确． ]
2．如图 6-4-3 ，根据图中的数构成的规律，得 a 表示的数是 (
)

2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时规范练2不等关系及简单不等式的解法理新人教B版

课时规范练 2 不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.(2017安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.(2017山东潍坊模拟,理4)函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2017贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2017重庆一中调研,理4)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C. D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]8.(2017陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不可能为?;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为.?导学号21500701?11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.综合提升组12.(2017吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2017河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<215.(2017江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2017辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.?导学号21500702?17.(2017湖北襄阳高三1月调研,理14)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥２f(x)恒成立,则t的取值范围是.参考答案课时规范练2不等关系及简单不等式的解法1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.D由题意知解得故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠０时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=?,可知得0<a≤４.综上,可知0≤a≤４.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc?a<b,∴B错误;∵,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D因为不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠０.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9.∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤０.∴b2≤４a2.∴a2+b2-2b≥+b2-2b=≥-.∴a2+b2-2b的取值范围是.10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠０时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为?;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-.当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;当-1≤≤1,即2≤k≤６时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C因为<0,故可取a=-1,b=-2.因为|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选 B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-.17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥２f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥２f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥２f(t)=-2t2,这不可能,故t≥０.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥２t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥２f(x),即(x+t)2≥２x2,∴x+t≥x,∴t≥（-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥（-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥０时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x), ∵不等式f(x+t)≥２f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥（-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥（-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).。

2020高考数学一轮复习课时分层训练31不等式的性质与一元二次不等式文北师大版-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习课时分层训练31不等式的性质与一元二次不等式文北师大版-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习课时分层训练31不等式的性质与一元二次不等式文北师大版A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(20xx·赣州模拟)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b，则＞.其中正确的有( ) 【导学号：00090187】A．1个B．2个C．3个D．4个B [①ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a、b、c、d均为正数才成立；④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但＜.故选B．]2．(20xx·哈尔滨模拟)设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是( )A．a3＞b3 B．＜1bC．ab＞1 D．lg(b－a)＜0D [取a＝，b＝，可知A，B，C错误，故选D．]3．设a ，b 是实数，则“a>b>1”是“a＋>b ＋”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋－＝，若a>b>1，显然a ＋－＝>0，则充分性成立，当a ＝，b ＝时，显然不等式a ＋>b ＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．]4．(20xx·长春模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－ln 3}B ．{x|－1<x<－ln 3}C ．{x|x>－ln 3}D ．{x|x<－ln 3}D [f(x)>0的解集为x∈.不等式f(ex)>0可化为－1<ex<.解得x<ln ，∴x<－ln 3，即f(ex)>0的解集为{x|x<－ln 3}．]5．若集合A ＝＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a|0<a<4}B ．{a|0≤a<4}C ．{a|0<a≤4}D ．{a|0≤a≤4} D [由题意知a ＝0时，满足条件，a≠0时，由得0<a≤4，所以0≤a≤4.]二、填空题6．(20xx·石家庄模拟)不等式－2x2＋x ＋1>0的解集为________.【导学号：00090188】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x2＋x ＋1>0，即2x2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－<x<1，∴不等式－2x2＋x ＋1>0的解集为.]7．(20xx·南京、盐城二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f(x)≥－1⇔或解得－4≤x≤0或0<x≤2，故不等式f(x)≥－1的解集是[－4,2]．]8．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．(－∞，0] [∵不等式4x －2x ＋1－a≥0在[1,2]上恒成立， ∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．]三、解答题9．设x<y<0，试比较(x2＋y2)(x －y)与(x2－y2)(x ＋y)的大小．[解] (x2＋y2)(x －y)－(x2－y2)(x ＋y)＝(x －y)[(x2＋y2)－(x ＋y)2]＝－2xy(x －y)．∵x<y<0，∴xy>0，x －y<0，∴－2xy(x －y)>0，∴(x2＋y2)(x －y)>(x2－y2)(x ＋y)．10．解不等式2x2－3(1＋a)x ＋6a ＞0(0＜a ＜1)[解] Δ＝9(1＋a)2－48a ＝9a2－30a ＋9＝9(a －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13(1)当＜a ＜1时，Δ＜0，原不等式解集为R.(2)当a ＝时，原不等式为2x2－4x ＋2＞0，即(x －1)2＞0，解得x≠1，原不等式解集为{x|x≠1}．(3)当0＜a ＜时，Δ＞0，方程2x2－3(1＋a)x ＋6a ＝0的两个根为x1＝，x2＝，因为x2＞x1，所以原不等式的解集为⎭⎪⎬⎪⎫ 3a ＋3－9a2－30a ＋94. 综上所述：当0＜a ＜时，原不等式的解集为当a ＝时，原不等式的解集为{x|x≠1}．当＜a ＜1时，原不等式的解集为R.B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．(20xx·九江一模)若关于x 的不等式x2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x2－4x －2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x －2)max ，令g(x)＝x2－4x －2，x∈(1,4)，∴g(x)<g(4)＝－2，∴a<－2.]2．(20xx·南京模拟)已知a ，b 为实数，且a≠b，a ＜0，则a________2b －.(填“＞”“＜”或“＝”)＜ [∵a≠b，a ＜0，∴a－＝＜0，∴a＜2b －.]3．(20xx·北京朝阳统一考试)已知函数f(x)＝x2－2ax －1＋a ，a∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围.【导学号：00090189】[解] (1)依题意得y ＝＝＝x ＋－4.因为x>0，所以x ＋≥2， 2分当且仅当x ＝时，即x ＝1时，等号成立，所以y≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝的最小值为－2.5分 (2)因为f(x)－a ＝x2－2ax －1，所以要使得“任意x∈[0,2]，不等式f(x)≤a 成立”只要“x2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.7分不妨设g(x)＝x2－2ax －1，则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧ g 0≤0，g 2≤0，即 10分解得a≥，则a 的取值范围为. 12分。

高考数学一轮复习课时分层训练32基本不等式文北师大版

课时分层训练(三十二) 基本不等式A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2x ＋1·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号．] 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．]3．(·广州模拟)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是( )【导学号：00090204】A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3C [∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg(2x·8y)＝lg 2， ∴2x ＋3y＝2，∴x ＋3y ＝1.∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．]4．(·许昌模拟)已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20D ．28C [∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取等号． ∴x ＋y 的最小值为20.]5．(·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．(·华师附中模拟)若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________.【导学号：00090205】2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．94 [由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨． 20 [每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 4分当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x4－2x＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2， 8分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x4－2x的最大值为 2.12分10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值.【导学号：00090206】[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，2分又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.5分(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.8分当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·深圳模拟)已知f (x )＝x 2＋33x(x ∈N *)，则f (x )在定义域上的最小值为( )A ．585B ．232C ．33D ．233B [f (x )＝x 2＋33x ＝x ＋33x，∵x ∈N *＞0， ∴x ＋33x≥2x ·33x＝233，当且仅当x ＝33时取等号．但x ∈N *，故x ＝5或x ＝6时，f (x )取最小值，当x ＝5时，f (x )＝585，当x ＝6时，f (x )＝232，故f (x )在定义域上的最小值为232.故选B ．]2．(·武昌模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1，若f (a )＝f (b )(0＜a ＜b )，则1a＋4b取得最小值时，f (a ＋b )＝________. 【导学号：00090207】1－2lg 2 [由f (a )＝f (b )及0＜a ＜b 可得lg b ＝－lg a ，即lg(ab )＝0，即ab ＝1，则1a ＋4b ＝4a ＋b ab ＝4a ＋b ≥24ab ＝4，当且仅当b ＝4a 时，1a ＋4b取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，b ＝4a ，可得a ＝12，b ＝2，∴f (a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝lg 52＝1－2lg 2.] 3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30. 5分(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).7分当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，10分所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元. 12分。

贵州省高考数学一轮复习：31 不等式的性质与一元二次不等式D卷

贵州省高考数学一轮复习：31 不等式的性质与一元二次不等式D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，且，则当时，的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·安庆期末) 已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·桂林月考) 设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是（）A . a2＞a bB . a2＜b2C .D .4. （2分）已知函数，若存在x1＜x2 ，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分）不等式的解集是A .B .C .D .6. （2分）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A . m＜a＜b＜nB . a＜m＜n＜bC . a＜m＜b＜nD . m＜a＜n＜b7. （2分） (2017高二上·大连期末) 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A . （）B . [2，8]C . [2，8）D . [2，7]8. （2分）若，则的大小关系（）A .B .C .D .9. （2分）不等式4x2﹣4x+1≥0的解集为（）A . {}B . {x|x≥}C . RD . ∅10. （2分） (2019高三上·镇海期中) 设命题，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·信阳期中) 设a=2 ，b=（），c=ln （其中π是圆周率），则（）A . c＜a＜bB . b＜c＜aC . a＜c＜bD . c＜b＜a12. （2分） (2017高三下·岳阳开学考) 设的大小关系是（）A . a＞c＞bB . a＞b＞cC . c＞a＞bD . b＞c＞a二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·佛山期中) 不等式的解集是________．14. （1分）不等式的解集为________．15. （1分） (2019高一上·兴仁月考) 分解因式： ________．16. （1分）不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （5分）关于x的不等式：x2﹣（1+a）x+a＞0．（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当a∈R时，解不等式．18. （10分） 1）设不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足﹣2≤m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）对满足﹣2≤x≤2的实数x的取值都成立．19. （5分） (2018高一上·台州月考) 已知．（1）判断函数的奇偶性，并进行证明；（2）判断并证明函数的单调性，解关于的不等式．20. （10分） (2018高一上·北京期中) 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，总有．（1）判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：；（3）若f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常数），试用常数p表示实数m的取值范围．21. （10分） (2019高一上·长春月考) 已知关于的不等式（1）若时,求不等式的解集（2）为常数时,求不等式的解集参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。

2020高考数学一轮复习第7章不等式第2讲不等式的性质与基本不等式分层演练文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第7章不等式第2讲不等式的性质与基本不等式分层演练文一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，且a<b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a2<b2 B ．ab2>a2b C ．<D ．<ab解析：选C.若a<b<0，则a2>b2，故A 错；若0<a<b ，则>，故D 错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B 错；故C 正确．所以选C.2．已知0<a<b<1，则( ) A ．>B.<⎝ ⎛⎭⎪⎫12bC ．(lg a)2<(lg b)2 D.>1lg b解析：选D.因为0<a<b<1，所以－＝<0，可得<；>；(lg a)2>(lg b)2；因为lg a<lg b<0，所以>，综上可知D 正确，另解：取a ＝，b ＝，排除验证，知D 正确，故选D. 3．当x>0时，函数f(x)＝有( ) A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最小值2D ．最大值2解析：选B.f(x)＝≤＝1.当且仅当x＝，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.4．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1；又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.5．若<<0，则下列结论不正确的是( )A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选D.由于<<0，不妨令a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故A正确．ab＝2，b2＝4，故B正确．a＋b＝－3<0，故C正确．|a|＋|b|＝3，|a＋b|＝3，|a|＋|b|＝|a＋b|，所以D不正确．故选D.6．已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是( )A．9 B.92C．4 D.52解析：选B.将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.二、填空题7．已知存在实数a 满足ab2>a>ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：因为ab2>a>ab ，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b ，即解得b<－1；当a<0时，b2<1<b ，即无解．综上可得b<－1. 答案：(－∞，－1)8．已知a>0，b>0，a ＋2b ＝3，则＋的最小值为________．解析：由a ＋2b ＝3得a ＋b ＝1，所以＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝＋＋≥＋2＝.当且仅当a ＝2b ＝时取等号．答案：839．一段长为L 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为________．解析：设菜园的长为x ，宽为y ，则x ＋2y ＝L ，面积S ＝xy ，因为x ＋2y≥2.所以xy≤＝.当且仅当x ＝2y ＝，即x ＝，y ＝时，Smax ＝.答案：L2810．设a ，b>0，a ＋b ＝5，则＋的最大值为________．解析：设＝m ，＝n ，则m ，n 均大于零，因为m2＋n2≥2mn，所以2(m2＋n2)≥(m＋n)2，所以m ＋n≤·，所以＋≤·＝3，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时“＝”成立，所以所求最大值为3. 答案：32三、解答题11．实数x 、y 满足－1<x ＋y<4，2<x －y<3，求3x ＋2y 的取值范围．解：设3x ＋2y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)，则所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝(x ＋y)＋(x －y)，又因为－1<x ＋y<4，2<x －y<3，所以－<(x ＋y)<10，1<(x －y)<，所以－<(x ＋y)＋(x －y)<，即－<3x ＋2y<，所以3x ＋2y 的取值范围为.12．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解：(1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t≤20.559＋140t －4t ， 20<t≤30.(2)当t∈[1，20]时，401＋4t ＋≥401＋2＝441(t ＝5时取最小值)．当t∈(20，30]时，因为W(t)＝559＋－4t 递减，所以t ＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443，所以t∈[1，30]时，W(t)的最小值为441万元．。

浙江专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三不等关系与不等式含解析

课时跟踪检测（三）不等关系与不等式一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a不成立． 3．(2018·浙江十校联盟适考)设a ＞0且a ≠1，则“a b＞1”是“(a －1)b ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若a b＞1，因为a ＞0且a ≠1，所以当0＜a ＜1时，b ＜0，此时(a －1)b ＞0成立；当a ＞1时，b ＞0，此时(a －1)b ＞0成立．若(a －1)b ＞0，因为a ＞0且a ≠1，所以当0＜a ＜1时，b ＜0，此时a b ＞1；当a ＞1时，b ＞0，此时a b ＞1.所以“a b＞1”是“(a －1)b ＞0”的充要条件．4．(2018·金华模拟)设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a ＞0 B ．a 3＋b 3＜0 C ．a 2－b 2＜0D ．b ＋a ＞0解析：选D 利用赋值法，令a ＝1，b ＝0，排除A 、B 、C ，选D.5．b g 糖水中有a g 糖(b ＞a ＞0)，若再添m g 糖(m ＞0)，则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式____________．答案：a b ＜a ＋mb ＋m二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .2．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜1ab，故①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0，故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b ＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．3．(2018·宁波模拟)设a ，b 是实数，则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a ＞b ＞1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab＞0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b成立，但a ＞b ＞1不成立，所以必要性不成立．4．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．5．设a ＜0，b ＜0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系是( )A ．p ＞qB ．p ≥qC ．p ＜qD ．p ≤q解析：选 D p －q ＝b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝b 3＋a 3－a 2b －ab 2ab ＝a a 2－b 2－b a 2－b 2ab ＝a －ba 2－b 2ab ＝a －b2a ＋bab.因为a ＜0，b ＜0，所以a －b2a ＋bab≤0，即p ≤q ，故选D.6．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2a (填“＞”“＜”或“＝”)．解析：∵a ≠b ，a ＜0，∴a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝a －b 2a ＜0，∴a ＜2b －b 2a.答案：＜7．已知函数f (x )＝ax ＋b,0＜f (1)＜2，－1＜f (－1)＜1，则2a －b 的取值范围是________．解析：由函数的解析式可知0＜a ＋b ＜2，－1＜－a ＋b ＜1，又2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a＋b )，结合不等式的性质可得2a －b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 8．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ，则实数b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2＞a ＞ab ，∴a ≠0，当a ＞0时，b 2＞1＞b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞1，b ＜1，解得b ＜－1；当a ＜0时，b 2＜1＜b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＜1，b ＞1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．实数x ，y 满足3≤xy 2≤8，19≤y x 2≤14，求x3y4的取值范围．解：∵19≤y x 2≤14，∴4≤x 2y ≤9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]．又∵3≤xy 2≤8.∴1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13，∴x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，故x 3y4的取值范围为[2,27]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2·c a＜4，∴ca的取值范围为(0,2)．2．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m ＞n ，即n ≥m ≥2或m ＞n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p ＞q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q ＜p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.故选A.3．设a 1≈2，a 2＝1＋11＋a 1. (1)证明：2介于a 1，a 2之间； (2)求a 1，a 2中哪一个更接近 2. 解：(1)证明：∵(2－a 1)(2－a 2)＝(2－a 1)·⎝⎛⎭⎪⎫2－1－11＋a 1＝－22－a 121＋a 1＜0.∴2介于a 1，a 2之间．(2)|2－a 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1－11＋a 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22－a 11＋a 1＝2－11＋a 1|2－a 1|＜|2－a 1|.∴a 2比a 1更接近 2.。

2021年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练(I)

2021年高考数学一轮复习第六章不等式分层限时跟踪练(I)一、选择题1．(xx·日照模拟)已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34B.14C.211D ．4 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝x解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，此时z ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝x解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝a ，即B (a ，a )，此时z ＝2×a ＋a＝3a ，∵目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，∴3＝4×3a ，即a ＝14，故选B.【答案】 B2．(xx·广西模拟)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，x －3y ＋4≥0，则z ＝2x －2y 的最小值为( )A.12B.14C.16D.18【解析】设m ＝x －2y ，则y ＝12x －m2，作出不等式组对应的平面区域如图，平移直线y ＝12x －m 2，由图可知当直线y ＝12x －m 2过点A 时，直线y ＝12x －m2的截距最大，此时m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即A (2,2)，此时m 最小，为2－2×2＝－2，则z ＝2x －2y的最小值为2－2＝14，故选B.【答案】 B3．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －6y ＋27≥0，3x －2y ＋1≤0，使目标函数z ＝mx ＋y (m ＜0)取得最小值的解(x ，y )有无数个，则m 的值是( )A ．2B ．－2 C.32D ．－32【解析】画出可行域，目标函数z ＝mx ＋y (m ＜0)，由取得最小值的最优解有无数个知，取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为正，最小值应在边3x －2y ＋1＝0上取到，即mx ＋y ＝0应与直线3x －2y ＋1＝0平行，计算可得m ＝－32.【答案】 D4．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆．旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元【解析】设分别租用A ，B 两种型号的客车x 辆、y 辆，所用的总租金为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y ，其中x ，y 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7(x ，y ∈N *)．其可行域如图中阴影部分所示，由z ＝1 600x ＋2 400y ，得y ＝－23x ＋z 2 400.当直线y ＝－23x ＋z2 400过点M (5,12)时，z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800.【答案】 C5．(xx·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．【答案】 B6．记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是．【解析】不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43.直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4.若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 7．(xx·文登二模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，x ≤2，则x 2＋y 2的最大值为．【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )是该区域内的任意一点，则x 2＋y 2表示的几何意义是点(x ，y )到点(0,0)距离的平方．由图可知，点A 到原点的距离最远，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，所以(x 2＋y 2)max ＝22＋52＝29.【答案】 298．(xx·石家庄模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0上运动，则w ＝a ＋b －3a －1的取值范围是．【解析】画出可行域如图，w ＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以w ＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞)9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．【解】作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．(1)平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a＜2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．(xx·陕西高考)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．【解】 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.[能力练]扫盲区提素能1．(xx·大庆模拟)函数y ＝f (x )为定义在R 上的减函数，函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (2y －y 2)≤0，M (1,2)，N (x ，y )，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →·ON →的取值范围为( )A ．[12，＋∞)B ．[0,3]C ．[3,12]D ．[0,12]【解析】 ∵函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴f (x )为奇函数． ∵f (x 2－2x )≤f (－2y ＋y 2)， ∴x 2－2x ≥－2y ＋y 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥y 2－2y ，1≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y x ＋y －2≥0，1≤x ≤4.即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≥0，1≤x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≤0，1≤x ≤4，作出不等式组表示的可行域如图所示．令z ＝OM →·ON →＝x ＋2y ，由图可得当直线z ＝x ＋2y 过点A (4,4)时，z 取得最大值12；当直线z ＝x ＋2y 过点B (4，－2)时，z 取得最小值0，所以OM →·ON →＝x ＋2y 的取值范围是[0,12]．故选D.【答案】 D2．(xx·福建高考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图①，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图②，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时可行域如图③，当直线y ＝2x －z 过点A (2,2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图④，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．故选C.【答案】 C3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a的取值范围是．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，∴8≤a ≤10.【答案】 [8,10]4．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x －m ＜0，y ＋m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x －m ＜0，y ＋m ＞0表示的平面区域如图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，即m －2(－m )－2＞0，∴m ＞23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 5．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个，问A ，B 两种规模金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？【解】设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N ，目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)，此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)，即两种金属板各取5张时，用料面积最省．6．实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．【解】方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0，f 1＜0，f 2＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋2＝0，b ＝0解得B (－2,0)；由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1,0)．∴在如图所示的坐标平面aOb 内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12h ＝12×1＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1,2)连线的斜率． k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1. 由图可知，k AD ＜b －2a －1＜k CD .∴14＜b－2a－1＜1，即b－2a－1∈⎝⎛⎭⎪⎫14，1.(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，由图知，在A点与C点分别取最大值和最小值．∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17)．22221 56CD 囍"q20882 5192 冒 23030 59F6 姶X26240 6680 暀K36063 8CDF 賟 +j。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编含答案

【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．变量,x y 满足约束条件1{2314y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的取值集合是（） A ．{3,0}- B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{3,0,1}-【答案】B 【解析】若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．3．在平面直角坐标系中，不等式组20{200x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）A ．42B ．4C．22D ．2【答案】B 【解析】试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为．故选B ．考点：求不等式组表示的平面区域的面积．4．已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（） A ．3 B ．1C ．2D ．32【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式求得112m n +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()111111515193222323232322n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.6．若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.7．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y y +=的最大值为（）A ．512B ．8C ．256D ．64【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8，故2x yy +=的最大值为256.故选：C ．【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（）.A ．128B ．64C ．164D ．1128【答案】B 【解析】【分析】画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x y =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（） A ．a b c +> B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 【答案】C 【解析】【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确；取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误；故选：C . 【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.10．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（）A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-，故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．若0a >，0b >，23a b +=，则36a b+的最小值为（） A ．5 B ．6C ．8D ．9【答案】D 【解析】【分析】把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()123a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】∵3613a b +=（36a b +）（a +2b ）＝13(366b aa b+++12) ≥13=9 等号成立的条件为66b aa b=，即a=b=1时取等所以36a b +的最小值为9．故选：D ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题12．已知函数1()cos 2(2)sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（） A ．14-B ．1 C．D1【答案】D 【解析】【分析】2()sin (2)sin 2mf x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()221122(2)31144t m m m g m y m m m=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2my mt m t =-+-+，因为12m ≤≤，所以对称轴为2111[0,]222m t m m -==-∈，所以 ()221122(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当233m=时，等号成立.故选：D【点睛】本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.13．已知x，y满足约束条件234x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）A．2 B．12C．-2 D．12-【答案】A【解析】【分析】由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A，代入可构造方程求得结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：当直线:l y ax z=-+经AOBV区域时，当l过点()2,0A时，在y轴上的截距最大，即()2,0A为最优解，42a∴=，解得：2a=.故选：A.【点睛】本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.14．已知离散型随机变量X服从二项分布~(,)X B n p，且()4E X=，()D X q=，则11p q+的最小值为（）A．2 B．52C．94D．4【答案】C【解析】【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >）所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭，当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ．【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．15．若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>，且1ab >，则（）A ．log 3log 3a b >B ．336a b +>C ．133ab a b ++>D ．b a a b >【答案】B 【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B 成立. 【详解】当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =;因为0a b >>，1ab >，所以336a b +>=>>，综上选B. 【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由2x y xy +=得：211x y+= ()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）2x y ∴+的最小值为9故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.17．若实数x ，y 满足不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．32C ．0D ．3- 【答案】D【解析】【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数2z x y =+可得2y x z =-+，此时Z 为直线在y 轴上的截距，根据条件可求Z 的最小值．【详解】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC ∆，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距把直线:2l y x =-向上平移到A 时，z 最小，此时由1y x y =⎧⎨=-⎩可得(1,1)A -- 此时3z =-，故选：D ．【点睛】本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z 的意义是关键，属于中档题．18．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.19．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（）A ．0B ．3-C ．32D ．3 【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.20．已知函数24,0()(2)1,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,4)D ．(3,4) 【答案】A【解析】【分析】画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4y x x =+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x=+….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.故选：A【点睛】本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.。

高考数学一轮经典例题不等式性质理试题

2021年高考数学〔理〕一轮经典例题——不等式性质例1 比拟33+x 与x 3的大小，其中R x ∈．解：x x 3)3(2-+ 332+-=x x ，3)23(])23(3[222+-+-=x x ， 43)23(2+-=x ， 043>≥，∴ x x 332>+．说明：由例1可以看出实数比拟大小的根据是：①b a b a >⇔>-0； ②b a b a =⇔=-0；③b a b a <⇔<-0．典型例题二例2 比拟16+x 与24x x +的大小，其中R x ∈解：)()1(246x x x +-+ 1246+--=x x x ，)1()1(224---=x x x ， )1)(1(42--=x x ， )1)(1)(1(222+--=x x x ，)1()1(222+-=x x ，∴ 当1±=x 时，2461x x x +=+；当1±≠x 时，.1246x x x +>+说明：两个实数比拟大小，通常用作差法来进展，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论〞，这里的“变形〞一步最为关键．典型例题三例3 R x ∈，比拟)12)(1(2+++x x x 与)21(+x 〔12++x x 〕的大小．分析：直接作差需要将)12)(1(2+++x x x 与)21(+x 〔12++x x 〕展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差．解：∵)12)(1(2+++x x x =)1(+x 〔122+-+xx x 〕 )1(2)1)(1(2+-+++=x xx x x ，)1)(211()1)(21(22++-+=+++x x x x x x)1(21)1)(1(22++-+++=x x x x x ， ∴)1)(21()12)(1(22+++-+++x x x x x x021)1(21)1(212>=+-++=x x x x ．那么有R x ∈时，)12)(1(2+++x x x >)21(+x 〔12++x x 〕恒成立．说明：有确实问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比拟易于判断符号时，再作差，予以比拟，如此例就是先变形后，再作差．典型例题四例4 设R x ∈，比拟x +11与x -1的大小．解：作差x x x x+=--+1)1(112， 1〕当0=x 时，即012=+x x ，∴ x x -=+111；2〕当01<+x ，即1-<x 时，012<+x x ，∴xx -<+111；3〕当01>+x 但0≠x ，即01<<-x 或者0>x 时，012>+x x ，∴xx ->+111．说明：如此题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子详细特点分类讨论才能定号．此时要注意分类合理恰当．典型例题五例5 比拟1618与1816的大小分析：两个数是幂的形式，比拟大小一般采用作商法。

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