第二节 洛必达法则3-2
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洛必达法则详解
x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
高数第三章第二节洛必达法则
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例1 解
0 tan x . ( ) 求 lim x→0 → 0 x
(tan x )′ sec 2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→ 0 → ( x )′ 1
例2. 求 解: 原式 = lim
0 型 0
x→ 1
3x 3 2 3x 2x 1
2
6x 3 = lim = x→ 6x 2 1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ln(1+ x + x2 ) + ln(1 x + x2 ) 2) lim x→0 secx cos x
ln[(1+ x2)2 x2] 解: 原式 = lim x→0 sec x cos x ln(1+ x2 + x4) x2 + x4 = lim = lim x→0 sec x cos x x→0 sec x cos x
f ( x) 与F( x) 都趋于零或都趋于无穷 ，那末 大 f ( x) 可能存在、 极限 lim 可能存在、也可能不存 ．通 在 x→a F( x) ( x→∞) 0 ∞ . 常把这种极限称为 或 型未定式 0 ∞
tan x 0 ,( ) 例如 lim x→0 → x 0
lnsinax ∞ lim ,( ) x→0 lnsin bx → ∞
7 2 x cos 2 2 x 7 2 1 = lim = = 1. 2 2 x →0+ 7 x cos 7 x 2 7 1
mx m 1 ma m 1 m m n = ( 2)式 = lim a . n 1 = n 1 x → a nx na n
习题解答
P139 1题（15）
3-2洛必达法则
a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
20
ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式
型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
3-2 洛必达法则
注意： 注意：
f ′(x) 0 （1） 如 ） 果 仍 属 型 且 f ′(x), F′(x) 满 ， 足 F′(x) 0 定 的 件 可 继 使 洛 达 则 即 理 条 ， 以 续 用 必 法 ，
f (x) f ′(x) f ′′(x) lim . = lim = lim =L x→ F(x) a x→ F (x) a x→ F ′(x) a ′ ′
×
3、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。 、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。
例：求 lim xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x (e − 1)
x 3
x→0
（代数和的形式不可以） 代数和的形式不可以）
xe x + x − 2e x + 2 xe x + e x + 1 − 2e x x 解：原式 = lim e . = lim 3 x →0 x →0 x 3x 2
ln sin ax ∞ lim , ( ) x→0 ln sin bx → ∞
定理1 设 (1 lim f (x) = 0, limF(x) = 0; 定理 )
x→ a x→ a
0 ( ) 0
(2) 在a点 某 心 域 , f ′(x)及 的 去 邻 内 F′(x) 都 在 F′(x) ≠ 0 存 且 ;
tanx − x . 求lim 2 x→ x tanx 0
0 ( ) 0
tanx− x x− sec2 x−1 x− 解: 原 = lim 式 = lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x 3x
tan x 1 tan2 x 1 = lim 2 = lim 2 = . 3 x→ 3x 0 3 x→0 x
3-2洛必达法则
解： 极限不存在
洛必达法则失效。
三、小结
思考题
设 是不定型极限，如果 的极限不存在，是否 的极限也一定不存在？举例说明.
思考题解答
不一定．
例
显然 极限不存在．
但 =1极限存在．
例2：
解：
例3
解： =1
例4
解： =1
例5
解：
=3
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例6
解：
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .
步骤:
例7
解：
步骤:
例8
解： =0
步骤:
例9
解： =1
例10
解：
例11
解：
解：
注意：洛必达法则的使用条件．
例12
章节题目
第二节洛必达法则内容Biblioteka 要洛必达法则重点分析
利用洛必达法则求未定式的极限
洛必达法则的适用条件
难点分析
洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限
习题布置
备注
教学内容
例如, ，
定理
定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证：定义辅助函数
则有
例1：
解： =1
洛必达法则失效。
三、小结
思考题
设 是不定型极限，如果 的极限不存在，是否 的极限也一定不存在？举例说明.
思考题解答
不一定．
例
显然 极限不存在．
但 =1极限存在．
例2：
解：
例3
解： =1
例4
解： =1
例5
解：
=3
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
例6
解：
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .
步骤:
例7
解：
步骤:
例8
解： =0
步骤:
例9
解： =1
例10
解：
例11
解：
解：
注意：洛必达法则的使用条件．
例12
章节题目
第二节洛必达法则内容Biblioteka 要洛必达法则重点分析
利用洛必达法则求未定式的极限
洛必达法则的适用条件
难点分析
洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限
习题布置
备注
教学内容
例如, ，
定理
定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证：定义辅助函数
则有
例1：
解： =1
3-2第二节洛必达L’Hospital法则
系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x
型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a
第三章第二节洛必达法则
= e x→+0 cos x 2 x = e 2 .
x→+0
解二 利用两个重要极限.
lim (cos
π
x ) x = lim (1 + cos
π
x −1) x = lim (1 + cos
1 ⋅cos x −1⋅π
x − 1) cos x −1 x
−π
=e 2.
x→+0
x→+0
x→+0
1
例 20 (E14) 求 lim (cot x)ln x . ( ∞0 型)
= 1 lim tan x = 1 . 3 x→0 x 3
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用,
效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽
可能应用，以使运算尽可能简捷.
例 9 (E08) 求 lim 3x − sin 3x . x→0 (1 − cos x) ln(1 + 2x)
x→1
1
解
1
lim x1−x
1 ln x
= lim e1−x
lim ln x
= e x→11− x
lim x
= e x→1 −1
= e−1.
x→1
x→1
1
例 18 (E13) 求 lim sin x 1−cos x . (1∞ 型) x→0 x
解
lim(
sin
x
1
)1−cos
x
1 ln sin x
解
lim
(e3x
−
1
5x) x
=
lim
3-2洛必达法则
0 0
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0 型
例5 解
求 lim x
x 2
e .
x
( 0 )
e
x
原式 lim
e
x
lim
x
2x
x
.
2
2. 型
例6 解
求 lim (
x 0
x 1 x
2
x
Hale Waihona Puke i mx ,无法继续.
正确解法 li m
1 x
2
x
1
1.
例11 解
求 lim
x cos x x
x
.
原式 lim
1 sin x 1
lim ( 1 sin x ).
x
x
洛必达法则失效。
原式 lim ( 1
sec x cos x
lim
x 0
解: 原式 =
ln[(1 x ) x ] sec x cos x ln (1 x x ) sec x cos x
2 4
2 2
2
lim
x 0
lim
x x
2
4
x 0 sec x
cos x
lim
x 0
2x 4x
3
sec x tan x
f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 极限 lim f ( x) F ( x) 0 0 或 型未定式.
ln sin ax ln sin bx , (
高数第二节 洛必塔法则
0
1. 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
1
1
例7 求 lim x(a x b x ), (a 0, b 0) ( 0 ) x11解原式
lim
x
ax
1
bx
lim at bt lim at ln a bt ln b
t0 t
t0
1
x
ln a ln b
定理2：设 (1) lim f ( x) , lim F ( x)
x
x
(2) N 0,当| x | N时, f ( x)及F ( x)
都存在, 且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); x F ( x)
那末 lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
2. 型
步骤: 1 1 0 0 . 0 0 00
例8 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解
原式
lim
x0
x sin x x sin x
lim
x0
x
sin x2
x
lim sin x x0 2
0.
3. 00 ,1 ,0 型
步骤:
00
1
取对数
0 ln 0 ln1
lim
x1
6
6 x
x
2
lim
x1
6 6
1.
原式
lim
x1
3
3x2 3 x2 2x
1
lim
x1
6x 6x
2
6
6
2
3 2
.
二、其它形式未定式的洛必达法则
1. 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
1
1
例7 求 lim x(a x b x ), (a 0, b 0) ( 0 ) x11解原式
lim
x
ax
1
bx
lim at bt lim at ln a bt ln b
t0 t
t0
1
x
ln a ln b
定理2：设 (1) lim f ( x) , lim F ( x)
x
x
(2) N 0,当| x | N时, f ( x)及F ( x)
都存在, 且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); x F ( x)
那末 lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
2. 型
步骤: 1 1 0 0 . 0 0 00
例8 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解
原式
lim
x0
x sin x x sin x
lim
x0
x
sin x2
x
lim sin x x0 2
0.
3. 00 ,1 ,0 型
步骤:
00
1
取对数
0 ln 0 ln1
lim
x1
6
6 x
x
2
lim
x1
6 6
1.
原式
lim
x1
3
3x2 3 x2 2x
1
lim
x1
6x 6x
2
6
6
2
3 2
.
二、其它形式未定式的洛必达法则
大学课程《高等数学》PPT课件：3-2 洛必达法则
型未定式
定理 2.
2) f (x)与F (x) 在U (a)内可导,
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F (x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F (x)
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim f (x) 存在的情形加以证明 . xa F (x)
lim f (x) k lim f (x) k F (x) xa F (x) xa F (x)
lim f (x) k F (x) k 0 , 可用 1) 中结论 xa F (x)
lim
xa
f
(x) k F (x) F (x)
lim
xa
f F
( (
x) x)
k
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F (x)
f (x) 2 F (x)
lim
xa
F (x) f (x)
1 lim f (x) lim F (x) xa F (x) xa f (x)
从而
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F (x)
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lim f (x) 0 的情形. 取常数 k 0 , xa F (x)
即 lim f (x) lim f (x) .
F (x)
F (x)
例如,
极限不存在
1
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解决方法:
通分
转化
例8. 求 解: 原式=
0
00
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
0 型
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洛必达法则
第二节洛必达法则洛必达法则型未定式解法型及一、:0∞∞定义.00)()(lim ,)()(,)()(型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时或如果当∞∞∞→→∞→→x F x f x F x f x a x x a x 洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出)(lim )(lim )1==→→x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ′′→存在(或为)∞)()(lim)()(lim x F x f x F x f a x a x ′′=→→,)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠′x F 且定理1.(洛必达法则)例1.tan lim 0xx x →求例2.123lim 2331+−−+−→x x x x x x 求例3.1arctan 2lim xx x −+∞→π求)00(二、∞∞型未定式∞==→→)(lim )(lim )1x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ′′→存在(或为∞))()(lim x F x f a x →定理2.)()(lim x F x f a x ′′=→(洛必达法则),)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠′x F 且例4lnsin lim .lnsin x axbx+→求)(∞∞例5.3tan tan lim 2xxx π→求)(∞∞例5解.3tan tan lim 2xxx π→求xx x 3sec 3sec lim222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312−−=π→xxx 2sin 6sin lim 2π→=xx x 2cos 26cos 6lim2π→=.3=)(∞∞注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，特别是等价无穷小的替换，效果更好.例6.tan tan lim20xx xx x −→求型未定式解法二、00,1,0,,0∞∞−∞∞⋅∞例7.lim 2x x e x −+∞→求型∞⋅0.1三例8).1sin 1(lim 0xx x −→求型∞−∞.2型00,1,0.3∞∞例9.lim 0xx x +→求解x x x e ln 0lim +→=原式xx x e ln lim 0+→=2011limx x x e−+→=0e =.1=xx x e1ln lim0+→=例10.lim 111xx x−→求例11.)(cot lim ln 10xx x +→求例10解.lim 111xx x−→求)1(∞x xx eln 111lim −→=原式x x x e−→=1ln lim111lim 1−→=x x e.1−=e 例11解.)(cot lim ln 10xx x +→求)(0∞,)(cot )ln(cot ln 1ln 1x xxex ⋅=取对数得)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→∵x xx x 1sin 1cot 1lim 20⋅−=+→xx xx sin cos lim 0⋅−=+→,1−=.1−=∴e 原式通分转化00∞∞∞⋅0取倒数转化0∞10∞取对数转化∞−∞例1210lim(),0,0.2x x x x a b a b →+>>求其中例1210lim(),0,0.2x x x x a b a b →+>>求其中解11ln 2()2x x a b x xxx a be ++=001ln()ln 2lim ln lim 2x x x x x x a b a b x x →→++−=0ln ln lim 1x x x xx a a b ba b →++=lnabe ab==原式ln ln ln 2a bab +==例13.cos limxxx x +∞→求注意：洛必达法则的使用条件．三、小结洛必达法则型00,1,0∞∞型∞−∞型∞⋅0型00型∞∞gf g f 1=⋅fg fg g f 1111⋅−=−取对数令gf y =设)()(lim x g x f 是不定型极限，如果)()(x g x f ′′的极限不存在，是否)()(x g x f 的极限也一定不存在？举例说明.思考题思考题解答不一定．例,sin )(x x x f +=xx g =)(显然=′′∞→)()(lim x g x f x 1cos 1lim xx +∞→极限不存在．但=∞→)()(limx g x f x xx x x sin lim +∞→1=极限存在．。
第2节 洛必达法则
f ′( x ) ( 3 ) lim = A (或 ∞ ), x → a g ′( x )
f ( x) 则有 lim = A ( 或 ∞ ). x →a g( x )
注： x → a 可改为 x → ∞ .
证略. 证略.
3
3 x4 − 5 x + 4 4x − 5 1 = lim 例1 lim 2 =− . x →1 x + 2 x − 3 x →1 2 x + 2 4
罗必塔法则可多次使用. 罗必塔法则可多次使用
4
(1 + x ) − 1 例2 lim (α ≠ 0) x→0 x α (1 + x )α −1 = lim =α . x →0 1
当 x → 0时 , t → 0.
α
0 ( ) 0
比较: 比较 令 (1 + x )α − 1 = t , 则 α ln(1 + x ) = ln(1 + t ) ,
x →0
lim+ (cot x )
1 ln x
.
1 ln x
( ∞0 )
,
令
y = (cot x )
ln(cot x) , 取对数得 ln y = ln x
1 − ⋅ csc 2 x ln(cot x) x) Q lim = lim+ cot x x →0+ 1 x→0 ln x x −x = lim+ = −1 , x → 0 cos x ⋅ sin x
∴ 原式 = e −1 .
18
例14 求 lim ( arctan x ) .
x x → +∞
2
π
(1 )
2
∞
解 设 y = ( arctan x ) , 则 ln y = x ( ln + ln arctan x ) , π π
2.洛必达法则
lim
lim
x 0
3x2
x0 3x 3
(4)原 式 lx i0m tax x3 n xlxim0se3c2xx21
tan2 lim
x
1
.
x0 3x2 3
xsin2 x (5)lim
x2xsinx
lim
x
1 sin 2 x x
2 sin x
解：因 为 0 必存在k,使 自 k1 然 数 k
lim
x
x ax
x1 xl im ax lna
xl im ( axl1n)2xa2
lim (1)…[(k1)] =0 x xkaxln ka
ax是x的高阶无穷 . 大
2
(sin ax)
解 (1)原式 lim ＝ (lsnian)x lim sin ax x 0(lsnibn)x x0 (sin bx)
sin bx
lim acoasxsibnxlimacobsxbx x 0bcobsxsianx x0bcoasxax
limcosbx1. x0 cosax
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
第二节 洛必达法则
一、
0 0
型未定式
若当x→a时，函数 f (x)与g(x)都趋于零，
称极限 lim f ( x ) 为 0 型未定式。 x a g( x ) 0
求这种未定式的极限方法：
（1）约掉零因子，再求极限 （2）用等价无穷小代换法 （3）用重要极限
研究极限：lim f ( x ) ， 其中：lif m (x ) lig m (x ) 0
洛必达法则
“法则”可以重复使用；
2
o
为“ ”型， 有类似地洛必达法则.
f ( x) 0 f ( x) 当 x 时， lim 为“ ”型或 lim x F ( x ) x x0 F ( x ) 0 x
1 ln 1 x 例 4 求 lim x arc cot x
1 x （a＞ 0型 例 7 求 lim x a 1 0 ， a 1 ） x 解： 1 1 1 x 0 a ln a 2 1 x x a 1 0 x lim x a 1 lim lim x x 1 ，f ( x )，F ( x )均可导，
f ( x ) iii xlim 存在或者是 。 x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim ＝ lim . x x0 F ( x ) x x0 F ( x )
证： 1 若f ( x )，F ( x )均在 x0点处连续，
－lim sin x cos x 0
x 0
lim sin x
x 0
tan x
e 1
0
f ( x ) ，若发现 lim 注意：用罗必塔法则求极限时 x x0 F ( x ) f ( x) 不存在，不能轻易推断lim 也不存在. x x0 F ( x )
试讨论
4
0 0
4
x sin x 例 3 求 lim . 3 x 0 x
解：
0 0
0 型 0
0 0
x sin x 1 cos x sin x 1 lim lim lim 3 2 x 0 x 0 x 0 6 x 6 x 3x
说明： 1
o
f ( x ) 0 当 lim 仍为“ ”型时， x x0 F ( x ) 0
2
o
为“ ”型， 有类似地洛必达法则.
f ( x) 0 f ( x) 当 x 时， lim 为“ ”型或 lim x F ( x ) x x0 F ( x ) 0 x
1 ln 1 x 例 4 求 lim x arc cot x
1 x （a＞ 0型 例 7 求 lim x a 1 0 ， a 1 ） x 解： 1 1 1 x 0 a ln a 2 1 x x a 1 0 x lim x a 1 lim lim x x 1 ，f ( x )，F ( x )均可导，
f ( x ) iii xlim 存在或者是 。 x0 F ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim ＝ lim . x x0 F ( x ) x x0 F ( x )
证： 1 若f ( x )，F ( x )均在 x0点处连续，
－lim sin x cos x 0
x 0
lim sin x
x 0
tan x
e 1
0
f ( x ) ，若发现 lim 注意：用罗必塔法则求极限时 x x0 F ( x ) f ( x) 不存在，不能轻易推断lim 也不存在. x x0 F ( x )
试讨论
4
0 0
4
x sin x 例 3 求 lim . 3 x 0 x
解：
0 0
0 型 0
0 0
x sin x 1 cos x sin x 1 lim lim lim 3 2 x 0 x 0 x 0 6 x 6 x 3x
说明： 1
o
f ( x ) 0 当 lim 仍为“ ”型时， x x0 F ( x ) 0
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第三章 第二节
10
二、用洛必达法则（间 接地）解 0 、 、0 、1 、 型未定式
0 0
关键:将这些类型未定式化为洛必达法则直接可解决的 类型 ： 0 ), ( ). ( 0
1. 0 型
步骤: 例题
0
代数代换：其中之一取 倒数
求 lim x ln x
化简
e
1 连 续 1 x 0 2(1 x ) e 2
. f (0) f ( x)在x 0处连续
第三章 第二节 17
例题 试确定常数A，B，C的值，使得 e x 1 Bx Cx 2 1 Ax x3 , 其中 x3 是当 x 0时比x 高阶的无穷小。
x e lim
x
x
0
8
第三章 第二节
注意：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法， 但应与其它求极限方法结合使用。为便于求导，应先 化简。常用的化简方法有：等价变量代换、恒等变形 、有非零极限的因子分离出去、...。
x sin x 5) lim 3 tgx x 0
e e 6) lim x 0 x arctgx
3
第三章 第二节
18
三、小结
洛必达法则
型
取倒数、通分
0 ,1 , 型
0 0
指数代换
0 型 0 型
uv e v ln u
0 型
其中之一取倒数
洛必达法则只是函数未定式极限存在的充分条件； 对数列未定式不能直接地应用洛必达法则．
第三章 第二节 19
归纳起来，通常求未定型的步骤如下：
1 x lim x 1 ln x x 1
第三章 第二节
12
3. 0 、 、 型（幂指型） 1
0 0
00 0 ln 0 代数代换 0 指数代换 步骤: 1 ln 1 0 或 . 0 u v e v ln u 0 ln 0
第三章 第二节 2
定理 设
(1) 当 x a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零; ( 2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
n
?
x
15
ex li m 求 导 x 2 x
ex . lim 求 导 x 2
第三章 第二节
e lim 2 x x
例题 设 f ( x ) 在 x a 二 阶 可 导 ， 求
f (a h) f (a h) 2 f (a ) lim . 2 h0 h
( 0,a 1).
解 原 式 lim
x 1
a lna
k
k
1 k 0
求 导 x
lim
( k 1) x
a (lna )
x
0 .
x lim x 0 x a
( 0,a 1).
x
这说明当x 时，a 快于x
0
tan x 求 lim . x 0 x 0
2
解 原式
0 0
求导
0 6x 3 3x2 3 lim . lim 2 x 1 6 x 2 x 1 3 x 2 x 1 求 导 2
第三章 第二节 6
例3
解
ln x 求 lim x x
( 0).
1 x lim 1 0 . 原式 lim 求 导 x x 1 x x
一般地，用 洛比达法则
ln x lim 0 (、 0) x x
这说明当x 时，x 快于ln x 1 lim x ln x 0 x
第三章 第二节 7
例4
x 求 lim x x a
求 导 x x
在 U 0 (a, ) 内任取一点 x, 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 , 件
则有
f ( x ) f ( x ) f (a ) f ( ) F ( x ) F ( x ) F (a ) F ( ) (在x与a之间) f ( ) f ( x ) A, A, lim 当x a时, a , lim a F ( ) x a F ( x ) f ( x) f ( ) lim lim A. x a F ( x ) a F ( )
x 0 x 0
1
1 ln x
1 (1 x ) x
0
e
lim e
x 0
洛比达
1 1 [ ln( 1 x ) 1] x x
0
ln( 1 x ) x x2 x 0
lim e
lim
连续
e
0 0
x 0
lim
ln( 1 x ) x x2
e
1 /(1 x ) 1 2x x 0 lim
第三章 第二节 20
4）检查表达式中是否有非零极限乘积因子，如有则应将 极限分为两个极限爱女乘积，一个极限为确定值，再考虑 余下的未定型； 5） 如留下的未定型不能再用前面的方法解决，则用洛必达 法则使分子分母的无穷小阶数降低；
6) 继续上述过程，先用等价无穷小代替，再用洛必达法则， 直至得到答案。
第三章 第二节 4
而洛必达法则的本质是使得分子分母的无穷小的阶数 都同时降低。 f ( x ) 0 如果 仍属 型，且 f ( x ), F ( x ) 满足 F ( x ) 0
0 极限实质是求分子分母两个无穷小的商的极限， 0
定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x a F ( x ) x a F ( x ) x a F ( x ) 当x 时,该法则仍然成立. f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x ) 当x a , x 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则.
连 续
0 0
?
f (a ) .
第三章 第二节
16
1 x 1 (1 x ) x ] , 当x 0 [ *例 17 讨论 f ( x ) ,在 x=0 处的连续性. e 1 e 2 , 当x 0
解 lim f ( x ) lim e
例11
求 lim x
x 1
1 1 x
.
x
例12 求 lim (cot x )ln x .
x 0
1 1 lim sin x1 cos x x 0
( )
1 ln x
解
指数代换，得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
1 1 2 o 1 ln(cot x ) lim ln(cot x ) lim lim cot x sin x x 0 ln x x 0 1 ln x x 0 x x 1, 原式 e 1 . lim x 0 cos x sin x
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
第三章 第二节 3
证：由于函数在某一点的函数值于其在该点的极限无 关，故可补充定义f(a)=F(a)=0.即定义辅助函数如下：
f ( x ), f1 ( x ) 0, xa xa , F ( x ), F1 ( x ) 0, xa xa ,
例10 求 lim x .
x x 0
解
原式
0
00
指 数 代 换 x 0
x 0
连续
lim e
ln x x 1
x ln x
e
x 0
lim x ln x
其中之一取倒数导
lim
e
求导
e
1 lim x 2 x 0 x
e 1.
0
13
第三章 第二节
第三章 第二节
21
x 0
1 1 0 或 0 . 0 0 ( 0) .
limx 2 arctgx x
第三章 第二节 11
2. 型
步骤:
例题
代数代换 取倒数
1 1 通分 0 0 0 . 00 0 0 0
x arctgx
x sin x 7) lim 2 x x 0 x e 1
考研题
第三章 第二节
9
f x f x 当 lim 不存在时，原极限lim 并 x a g x x a g x
x x
非一定不存在，只是此时该法则可能失效。
x sin x 5) lim x x sin x
第二节 洛必达法则
教学内容
洛必达法则及其应用
教学重点
洛必达法则的应用
本节考研要求
会用洛必达法则求未定式极限
第三章 第二节
1
0 一、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
定义 如果当 x a (或 x ) 时，两个函数
f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 x a F ( x ) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0 ln sin ax tan x 0 lim ,( ) ,( ) 例如, lim x 0 ln sin bx x 0 x 0