机械优化设计第7章多目标及离散变量优化
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机械优化设计
第七章
多目标和离散变量优化方法
第一节 第二节 第三节 第四节 多目标优化问题 多目标优化方法 离散变量优化问题 离散变量优化方法
第一节 多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 ——多目标优化设计问题
T .. ( x ) [ f ( x ), f ( x ) f ( x )] F 2 l min min 1 n
xR n
min F ( x) wi fi ( x)
i 1
l
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
加权因子wi确定的方法: ①将各分目标转化后加权 为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 f i ( x) (i 1,2,...,l ) ( f i ( x) 1) 再组成统一目标函数。 l F ( x) wi f i ( x)
f i ( x) i f i ( x) (i 1,2,...,l ) i i
* ② wi 1 f i (i 1,2,..., l )
f i* min f i ( x)
xD
(i 1,2,..., l )
即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数， 它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另 外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消 除了各分目标在数量级上的差别。
s.t. g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
x R
x R n
hk ( x) 0 (k 1,2,..., p n)
多目标优化问题的类型： (1)整体多目标优化 (2)分层(步)多目标优化 多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别: ①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往 往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解） ②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不 易于比较其即可
多目标： f j ( X (1) ) f j ( X (0) ) （j=1,2,…l）
绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到 最优的解 。绝对最优解几乎不可能找到， 因为各分目标函数有时会相互矛盾。 非劣解(有效解)： 指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目 标函数值fi(x)比fi(x*) 更好，而其余(m-1)个目标函数值不 变坏，则称x*为非劣解（有效解）; 多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至 对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步 ，以便取得较好的方案。
② x [0,2]
内，a’，a点都是劣解（若
，存在 x* Dx
x D ，有 fi ( x) fi ( x* )
则x*成为劣解。） ③若 x* D ，且不存在 x D
使 fi ( x) fi ( x* )，则x*为非劣解。
x [1,2] 的所有点均为非劣解。 例如b点。
2
的值越大，
加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目 标函数值同步下降。
2．理想点法（目标规化法） 基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多 目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调 整，定出各分目标的最合理值 fi (0) (i 1,2,...,l ) * f （也可以是最优值 i ），再构造新的统一的
但两者无共同的最优解
x* 1, f1( x* ) 1, f 2 ( x* ) 1 是绝对最优解。 ① x [0,1] 内，
* x (若 D ，对任意 x D 都有 fi ( x) fi ( x* )(i 1,2,...,l ) ，则x*是多目标优化的绝对最优解)
式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。 一般 f i ( x) 只有单边限制
二、统一目标法
基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为 统一目标函数或综合目标函数作为多目标优 化问题的评价函数。
常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法） 、 功效系数法和极大极小法等。 1．线性加权法 基本思想：将各个分目标函数 f1 ( x), f 2 ( x),..., fl ( x) 依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组 w1 , w2 ,...,wl ,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l) 的线性组合， 加权因子， 构成一新的统一的目标函数F(x)
例1
min F ( x) [ f1 ( x), f 2 ( x)]T 2 f ( x ) x 2 x, f 2 ( x ) x 1 D x | 0 x 2
在 x [0,2] 内两单目标函数 最优解为：
x (1) 1, f1 ( x (1) ) 1, x ( 2 ) 2, f 2 ( x ( 2 ) ) 2
③直接加权法 将加权因子分成两部分
wi=w1i· w2i (i=1,2,…,l) 其中， w1i——本征权因子，反映各分目标的重要程度 w2i——校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响 1 (i 1,2,...,l ) 一般取： w2i 2 f i ( x) 一个分目标函数fi(x)变化越快， fi ( x)
i 1
wi——按各分目标的重要程度来决定 如各分目标有相同的重要性，则取wi =1 (i=1,2,…,l) —称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子， l 取 wi 1
i 1
将fi(x)转换为无量纲的等量级目标函数 f i ( x) 的方法
设各分目标函数值的变动范围为： i f i ( x) i
第二节 多目标优化方法 一、主要目标法
基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标， 而其它目标则只需满足一定的要求即可，即 将目标转化为约束条件 目标函数转化为：
f k ( x) min (k ) x(D k) D x | f i min f i ( x) f i max (i 1,2,...,k 1, k 1,...l , x D)
第七章
多目标和离散变量优化方法
第一节 第二节 第三节 第四节 多目标优化问题 多目标优化方法 离散变量优化问题 离散变量优化方法
第一节 多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 ——多目标优化设计问题
T .. ( x ) [ f ( x ), f ( x ) f ( x )] F 2 l min min 1 n
xR n
min F ( x) wi fi ( x)
i 1
l
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
加权因子wi确定的方法: ①将各分目标转化后加权 为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 f i ( x) (i 1,2,...,l ) ( f i ( x) 1) 再组成统一目标函数。 l F ( x) wi f i ( x)
f i ( x) i f i ( x) (i 1,2,...,l ) i i
* ② wi 1 f i (i 1,2,..., l )
f i* min f i ( x)
xD
(i 1,2,..., l )
即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数， 它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另 外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消 除了各分目标在数量级上的差别。
s.t. g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
x R
x R n
hk ( x) 0 (k 1,2,..., p n)
多目标优化问题的类型： (1)整体多目标优化 (2)分层(步)多目标优化 多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别: ①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往 往得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解） ②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不 易于比较其即可
多目标： f j ( X (1) ) f j ( X (0) ) （j=1,2,…l）
绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到 最优的解 。绝对最优解几乎不可能找到， 因为各分目标函数有时会相互矛盾。 非劣解(有效解)： 指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目 标函数值fi(x)比fi(x*) 更好，而其余(m-1)个目标函数值不 变坏，则称x*为非劣解（有效解）; 多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至 对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步 ，以便取得较好的方案。
② x [0,2]
内，a’，a点都是劣解（若
，存在 x* Dx
x D ，有 fi ( x) fi ( x* )
则x*成为劣解。） ③若 x* D ，且不存在 x D
使 fi ( x) fi ( x* )，则x*为非劣解。
x [1,2] 的所有点均为非劣解。 例如b点。
2
的值越大，
加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目 标函数值同步下降。
2．理想点法（目标规化法） 基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多 目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调 整，定出各分目标的最合理值 fi (0) (i 1,2,...,l ) * f （也可以是最优值 i ），再构造新的统一的
但两者无共同的最优解
x* 1, f1( x* ) 1, f 2 ( x* ) 1 是绝对最优解。 ① x [0,1] 内，
* x (若 D ，对任意 x D 都有 fi ( x) fi ( x* )(i 1,2,...,l ) ，则x*是多目标优化的绝对最优解)
式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。 一般 f i ( x) 只有单边限制
二、统一目标法
基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为 统一目标函数或综合目标函数作为多目标优 化问题的评价函数。
常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法） 、 功效系数法和极大极小法等。 1．线性加权法 基本思想：将各个分目标函数 f1 ( x), f 2 ( x),..., fl ( x) 依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组 w1 , w2 ,...,wl ,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l) 的线性组合， 加权因子， 构成一新的统一的目标函数F(x)
例1
min F ( x) [ f1 ( x), f 2 ( x)]T 2 f ( x ) x 2 x, f 2 ( x ) x 1 D x | 0 x 2
在 x [0,2] 内两单目标函数 最优解为：
x (1) 1, f1 ( x (1) ) 1, x ( 2 ) 2, f 2 ( x ( 2 ) ) 2
③直接加权法 将加权因子分成两部分
wi=w1i· w2i (i=1,2,…,l) 其中， w1i——本征权因子，反映各分目标的重要程度 w2i——校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响 1 (i 1,2,...,l ) 一般取： w2i 2 f i ( x) 一个分目标函数fi(x)变化越快， fi ( x)
i 1
wi——按各分目标的重要程度来决定 如各分目标有相同的重要性，则取wi =1 (i=1,2,…,l) —称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子， l 取 wi 1
i 1
将fi(x)转换为无量纲的等量级目标函数 f i ( x) 的方法
设各分目标函数值的变动范围为： i f i ( x) i
第二节 多目标优化方法 一、主要目标法
基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标， 而其它目标则只需满足一定的要求即可，即 将目标转化为约束条件 目标函数转化为：
f k ( x) min (k ) x(D k) D x | f i min f i ( x) f i max (i 1,2,...,k 1, k 1,...l , x D)