【精品提分练习】高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练(三)概率与统计文

(三)概率与统计

1．某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分．现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：

(1)计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s 2

；(结果精确到小数点后一位)

(2)从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率．

解 (1)依题意：样本中男生共6人，成绩分别为164,165,172,178,185,186， ∴他们的总分为1 050，平均分为175.

∴s 2＝16

[(－11)2＋(－10)2＋(－3)2＋32＋102＋112

]≈76.7.

(2)样本中180分以上的考生有男生2人，记为A ，B ，女生4人，记为a ，b ，c ，d ， 从中任选2人，有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种，

符合条件的有Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd 共8种， 故所求概率P ＝8

15

.

2．(2018·葫芦岛模拟)海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量(单位：kg)，其产量都属于区间[25,50]，按如下形式分成5组，第一组：[25,30)，第二组：[30,35)，第三组：[35,40)，第四组：[40,45)，第五组：[45,50]，得到频率分布直方图如图：

定义箱产量在[25,30)(单位：kg)的网箱为“低产网箱”，箱产量在区间[45,50]的网箱为“高产网箱”．

(1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；

(2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数；

(3)若在(2)抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别为m，n，求|m－n|>10的概率．

解(1)样本中的100个网箱的产量的平均数

x＝(27.5×0.024＋32.5×0.040＋37.5×0.064＋42.5×0.056＋47.5×0.016)×5＝37.5.

(2)各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，

要在此100 箱中抽取25箱，

则分层抽样各组应抽数3,5,8,7,2.

(3)由(2)知，从低产网箱3箱和高产网箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产网箱中3箱编号为1,2,3，高产网箱中2箱编号为4,5，则一共有10种抽法，基本事件为：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，

满足条件|m－n|>10的情况为从高、低产网箱中各取1箱，基本事件为

(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6种，

所以满足事件A：|m－n|>10的概率为P(A)＝6

10＝

3

5

.

3．(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；

(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

(3)估计居民月均用水量的中位数．

解(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.

同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，

解得a＝0.30.

(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万．理由如下：

由(1)知，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样

本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.

(3)设中位数为x 吨．

因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4组的频率之和为

0．04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x <2.5. 由0.50×(x －2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．

4．(2018·宁夏银川一中模拟)为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下： 理科：79,81,81,79,94,92,85,89. 文科：94,80,90,81,73,84,90,80.

(1)画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；

(2)计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；

(3)若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．

(参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：

s 2＝1

n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为样本平均数)．

解 (1)理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：

(2)从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下： 理科同学成绩的平均数x 1＝1

8

×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85，

方差是s 21＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2

＋(92

－85)2

＋(94－85)2

]＝31.25；