1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质---周期性(人教A版必修4)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
∴f(x)为奇函数．
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探究三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[例 4] (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是 π 的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin x|
C．y＝sinπ2＋2x
D．y＝cos32π－2x
[答案] D
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23.
∴f53π＝
3 2.
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方法技巧 三角函数的周期性、奇偶性都是函数的整体性，两者结合起来，可使 更全面的研究函数图象特征．
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延伸探究 5.(1)若将例 3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变， 结果如何？
而 z＋2π＝2x＋π3＋2π＝2(x＋π)＋π3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x＋π，函
数值才能重复取得，所以函数 f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的最小正周期是 π.
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2．将本例(2)改为：求函数 y＝|1＋sin x|的最小正周期． 解析：∵y＝|1＋sin x|＝1＋sin x，∴T＝2π.
f(5)＝cos53π＝12，f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理可得，每连续六项的和均为 0，
即周期为 6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝12－12－1＝－1. [答案] －1
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高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。
2019版数学人教A版必修4课件：1.4.2 第1课时 周期函数
题型四
易错辨析
易错点 不清楚 f(x+T)表达的意义致错
π
【例 4】 利用定义求 f(x)=sin 2- 6 的最小正周期.
π
错解:∵f(x+2π)=sin 2( + 2π)=sin
π
2- + 4π
6
= sin
π
26
6
= (),
∴T=2π 是 f(x)的最小正周期.
错因分析:错解中求的不是最小正周期.
正周期是2π.
(3)正弦函数和余弦函数的周期性,实质是由终边相同的角所具有的
周期性所决定的.
知识拓展函数y=Asin(ωx+φ)+b,y=Acos(ωx+φ)+b(ω>0)的最小正周期
2π
T=
.
第六页，编辑于星期日：点 四十四分。
-6-
第1课时 周期函数
1
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
证明:令x-2=t,则x=t+2,
于是由f(x+2)=f(x-2),得
f(t)=f[(t+2)+2]=f(t+4).
∴f(t)=f(t+4).∴f(x+4)=f(x).
∴函数y=f(x)是周期函数,4是一个周期.
反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时,只需找
到一个非零常数T,满足对定义域内任意x总有f(x+T)=f(x)成立即可.
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期,例如,常数函数f(x)=C(C为
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
人教版高一数学必修四第一章正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
y＝cosx
图象
定义域 周期 最小
正周期 奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__ _奇__函__数___
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_偶__函__数___
栏目 导引
第一章 三角函数
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角 具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z) 也可以说明它们的周期性． (2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲 线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
答案：B
栏目 导引
第一章 三角函数
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝2017，则 f(2)＝ ________． 答案：2017
栏目 导引
第一章 三角函数
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sinx|.
第一章 三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
考点
学习目标
函数的周期性 了解周期函数的概念
正、余数的周 期
正、余弦函 数的奇偶性
理解三角函数的奇偶性以 及对称性，会判断给定函 数的奇偶性
栏目 导引
第一章 三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)
第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性
人教a版必修4学案：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)(含答案)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)自主学习知识梳理自主探究正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：(1)正弦函数y ＝sin x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．(2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．对点讲练知识点一 求正、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．回顾归纳 求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．变式训练1 求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2的单调增区间．知识点二 比较三角函数值的大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．变式训练2 比较下列各组数的大小．(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6，sin 49π3.知识点三 正、余弦函数的最值问题例3 已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．回顾归纳 此类问题应特别注意正、余弦函数值域的有界性，即当x ∈R 时，－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．变式训练3 若函数y ＝a －b cos x (b >0)的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a cosbx 的最值和最小正周期．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围.课时作业一、选择题1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 (x ∈k )在( ) A ．[0，π]上是增函数 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 C ．[0，π]上是减函数 D.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 3．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－14．函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称，则φ的一个取值是( ) A.π2 B ．－π4C ．π B ．2π 5．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A.[]－1，1B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 D.⎣⎡⎦⎤－1，54二、填空题6．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的单调增区间是________________． 7．函数y ＝log 12(1＋λcos x )的最小值是－2，则λ的值是________．8．函数y ＝－cos 2x ＋cos x (x ∈R )的值域是________．三、解答题9．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12(cos 2x )．10．求下列函数的值域．(1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ； (2)y ＝2－sin x2＋sin x.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案(1)x ＝k π＋π2(k ∈Z ) (k π，0) (k ∈Z )(2)x ＝k π (k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0 (k ∈Z ) 对点讲练例1 解 由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π (k ∈Z )，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π (k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π (k ∈Z )． 变式训练1 解 y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4.由2k π－π≤x 2－π4≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－3π4≤x 2≤2k π＋π4，k ∈Z .即4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的单调增区间是⎣⎡⎤4k π－3π2，4k π＋π2 (k ∈Z )． 例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2.变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°， cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°， ∵余弦函数y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－37π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 49π3＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－37π6<sin 49π3. 例3 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123. 变式训练3 解 ∵y ＝a －b cos x (b >0)，∴y max ＝a ＋b ＝32，y min ＝a －b ＝－12.由⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴y ＝－4a cos bx ＝－2cos x ， ∴y max ＝2，y min ＝－2，T ＝2π. 课时作业 1．C 2.A3．D [∵－π2≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π3≤5π6.∴当x ＋π3＝－π6，即x ＝－π2时，f (x )有最小值－1.当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值2.]4．A [若y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称．则φ＝k π＋π2，∴当k ＝0时，φ＝π2.]5．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1.] 6.⎣⎡⎦⎤π2，π 7．±3解析 由题意，1＋λcos x 的最大值为4， 当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3； 当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3. ∴λ＝±3.8.⎣⎡⎦⎤－2，14 解析 y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14 ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. 9．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 10．解 (1)y ＝1－2cos 2x ＋2sin x ＝2sin 2x ＋2sin x －1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－32 当sin x ＝－12时，y min ＝－32；当sin x ＝1时，y max ＝3.∴函数y ＝1－2cos 2x ＋2sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)方法一 y ＝4－(2＋sin x )2＋sin x ＝42＋sin x－1∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x ≤1，∴43≤42＋sin x ≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 方法二 由y ＝2－sin x 2＋sin x ，解得sin x ＝2－2yy ＋1，由|sin x |≤1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2y y ＋1≤1，∴(2－2y )2≤(y ＋1)2， 整理得3y 2－10y ＋3≤0，解得13≤y ≤3.∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3.。
人教版高中数学必修四第一章1-4-2正弦函数余弦函数的性质(一)《导学案》
第一章 §1.4.2.1 正余弦函数的性质【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明：①周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） ③T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法：（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= （2）定义法：f (x+T)=f (x)（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.|sinx |=y 或者|cosx |=y .（4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？①)()(x f x f -=+α k x f x f +-=+)()(α（其中k 为非零常数）②)()(x f k x f ±=+α（其中k 为非零常数） ③)(1)(1)(x f x f x f +-=+α， )(1)(1)(x f x f x f -+=+α ④)2()1()(---=x f x f x f⑤)(x f 关于a x =和b x =对称⑥)(x f 关于)0,(a 和)0,(b 对称⑦)(x f 关于a x =和)0,(b 对称【例题讲解】例1 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin = ③12sin()26y x π=-，x R ∈．例2 求下列三角函数的周期：①y=sin(-x+3π)；② y=cos （-2x ）；③y=3sin(2x +5π).例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.【达标检测】1、设0≠a ，则函数)3sin(+=ax y 的最小正周期为（ ）A 、a πB 、||a πC 、a π2 D 、||2a π2、函数1)34cos(2)(-+=πkxx f 的周期不大于2，则正整数k 的最小值是（）A 、13B 、12C 、11D 、103、求下列函数的最小正周期：（1）=-=T x y ),23sin(ππ . （2）=+=T x y ),62cos(ππ .4、已知函数)3sin(2πω+=x y 的最小正周期为3π，则=ω . 5、求函数的周期： （1）x y cos 21=周期为： . （2）43sin x y =周期为： . （3）x y 4cos 2=周期为： .（4）x y 2sin 43=周期为： . 6、cosx sinx y +=是周期函数吗？如果是,则周期是多少？7、函数)sin()(x x f ω=)0(>w 在[0,4]与x 轴有9个交点，求ω的取值范围.【问题与收获】参考答案：例1： ① π2 ② π ③ π4例2： ① π2 ② π ③ π4例3： ① π ② π达标检测：1、D 2、A 3、π6 ，1 4、 6±5、 π2，38π， 2π， π 6、是周期函数，周期T=2π，k 为正整数，最小正周期为2π. f (x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cos(x)|+|-sin(x)|=|sin(x)|+|cos(x)|=f(x)。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件
∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函 数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为 常 数 ,A0,. 0)的 周 期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π
人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？ 换句话说，只要过的天数具有什么特征， 就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时， 都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是 多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的 周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有 最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考 ？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数 为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正、余弦函数的周期性练习(含解析)新人教A版必修4-新人教A
第10课时 正、余弦函数的周期性对应学生用书P21知识点一 周期函数的定义1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( ) 答案 D解析 显然D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而A ，C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过2个单位，图象重复出现．所以A ，B ，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．2．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x | 答案 D解析 画出y ＝sin|x |的图象(图略)，易知选D ．知识点二 正、余弦函数的周期求法3．函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的最小正周期分别是T 1，T 2，则tan T 1＋T 216＝________．答案 1解析 T 1＝T 2＝2π，则tanT 1＋T 216＝tan 4π16＝tan π4＝1． 4．若函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，则ω的值为________． 答案 ±2解析 由已知得3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋π＋π4＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋ωπ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，易知ωπ＝±2π，解得ω＝±2．知识点三 周期函数的应用5．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是________． 答案 π解析 因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π．6．已知f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋3)＝f (x )，则f (2016)＝________． 答案 0解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 又因为f (x ＋3)＝f (x )，所以T ＝3， 所以f (2016)＝f (672×3)＝f (0)＝0． 7．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，那么f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________．答案2＋1解析 ∵f (n )＝sinn π4(n ∈Z )，∴f (1)＝22，f (2)＝1，f (3)＝22，f (4)＝0，f (5)＝－22，f (6)＝－1，f (7)＝－22，f (8)＝0，…，不难发现，f (n )＝sin n π4(n ∈Z )的周期T ＝8，且每一个周期内的函数值之和为0．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝22＋1＋22＋0＝2＋1． 8．已知函数y ＝5cos2k ＋1π3x －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k 的值．解 由5cos2k ＋1π3x －π6＝54，得cos 2k ＋1π3x －π6＝14．∵函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14有两次，而区间[a ，a ＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．即2×2π2k ＋1π3≤3，且4×2π2k ＋1π3≥3．∴32≤k ≤72．又k ∈N ，故k ＝2，3．一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )，存在无数个实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )( ) A ．是周期为1的周期函数 B ．是周期为2的周期函数 C ．是周期为4的周期函数 D ．不一定是周期函数 答案 D解析 根据周期函数的定义可知f (x ＋T )＝f (x )中的x 必须是定义域中的任意值，否则不一定为周期函数．2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝cos4|x |B ．y ＝－sin2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝sin x －π2答案 A解析 对于A ，∵y ＝cos4|x |＝cos4x ，∴T ＝2π4＝π2；对于B ，T ＝2π2＝π；对于C ，T ＝2π4＝8π；对于D ，y ＝sin x －π2＝－cos x ，T ＝2π．故选A ．3．函数y ＝cos k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A ．10B ．11C ．12D ．13 答案 D解析 ∵T ＝2πk4＝8πk≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13．4．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C．2π D．4π答案 B解析 cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )， ∴T ＝π，故选B ．5．设函数f (x )＝sin3x ＋|sin3x |，则f (x )为( ) A ．周期函数，最小正周期为π3 B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数 答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，sin3x ≤0，2sin3x ，sin3x >0，大致图象如图所示，由图可知f (x )为周期函数，最小正周期为2π3．二、填空题6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为________． 答案 ±45解析 由题意知π2＝2πω，∴ω＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝3cos α＝95∴cos α＝35，∴sin α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45．7．函数f (x )＝sin ωx ＋π4(ω>0)的周期为π4，则ω＝________．答案 8解析 由题意，2πω＝π4，∴ω＝8．8．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．答案 5解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，又因为函数f (x )以2为周期， 所以f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－f 1，f －1＝f1，解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2，2]上至少有5个实数根． 三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数． 证明 ∵f (x ＋2)＝1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝11f x＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期． 10．设函数f (x )＝a sin kx －π3和函数g (x )＝b cos2kx －π6(a ＞0，b ＞0，k ＞0)，若它们的最小正周期之和为3π2，且f π2＝g π2，f π4＝－3g π4－1，求这两个函数的解析式．解 ∵f (x )和g (x )的最小正周期和为3π2，∴2πk ＋2π2k ＝3π2，解得k ＝2． ∵f π2＝g π2，∴a sin2×π2－π3＝b cos4×π2－π6，即a ·sinπ－π3＝b ·cos2π－π6．∴32a ＝32b ，即a ＝b ．① 又f π4＝－3g π4－1，则有a ·sin π6＝－3b ·cos 5π6－1，即12a ＝32b －1．② 由①②解得a ＝b ＝1．∴f (x )＝sin2x －π3，g (x )＝cos4x －π6．。
高一数学必修四 1.4.2(1)正弦函数、余弦函数的图象
1 (3) y 2 sin( x ), x R 2 6
即 sin 2( x ) sin 2 x ， xR y sin 2 x 的周期是 ；
请思考：
函数
y 3 cos x
1 2π
x的系数
周期T
1 y sin 2 x y 2 sin( x ) 2 6 2 1/2
探究3:正弦函数y=sinx的周期有哪些？ 有最小正周期吗？若有，它的值是多少？
2kπ（k∈Z且 k≠0）都是它的周期， 最小正周期 T=2π y
-6π -4π -2π -5π -3π 1 -π
O
π
y=sinx
2π
3π
-1
2
4π
5π
6π x
对于余弦函数呢？
2
2
2 2
公 式 法 : 函 数 y=Asin(ωx+φ) 和 y=Acos(ωx+φ)( 其 中 A≠ 0，ω≠ 0) 的(最小正)周期计算公式 图像法
2π T |ω|
作 业
一、必做题：教材P46 T3
二、选做题:
1.你能画出函数y=sinx 的图像吗？这个函数是
不是周期函数？如果是，它的周期为多少? 2.已知y=f(x),x∈R是周期为2的周期函数，并且 f(1)=2，试求f(9)的值。
正、余弦函数的性质(一)
周 期 性
学习目标：
1.理解周期函数，周期和最小正周期的定义。 2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期， 并能求出正、余弦函数的最小正周期。
学习重点：
正、余弦函数的周期性。
知识难点：
函数周期性的理解与应用。
一、创情境，感知“周期”：
高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的周期性教案新人教A版必修4
课题：正弦函数、余弦函数的性质---周期性一、教学内容分析《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质，因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了，其中，通过观察函数的图象，从图象的的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用。
由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地位，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质。
正弦、余弦函数的性质的难点在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明都很容易，单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可。
二、学生学习情况分析学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．三、设计理念根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。
高中数学 人教A版必修4 第1章 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)
研一研·问题探究、课堂更高效
请你补充完整．
1.4.2（一）
证明：由于 2π 是 y＝sin x 的一个周期，设 T 也是正弦函数 y＝ sin x 的一个周期，且 0<T<2π ，根据周期函数的定义，当 x 取
本 课 时 栏 目 开 关
定义域内的每一个值时，都有 sin(x＋T)＝sin x π π π 令 x＝ ，代入上式，得 sin 2＋T ＝sin ＝1， 2 2 π 又 sin2 ＋T＝ cos T ，所以 cos T＝1 .
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1.4.2（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
周期函数的定义
一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数 T， 使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那 么就把函数 y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个 函数的周期． (1)证明函数 y＝sin x 和 y＝cos x 都是周期函数．
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.2（一）
1．函数的周期性
本 课 时 栏 目 开 关
(1)对于函数 f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得当 x 取 定义域内的 每一个值 时， 都有 f(x＋T)＝f(x) ， 那么函数 f(x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期 ．
答 ∵sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x，
∴y＝sin x 和 y＝cos x 都是周期函数，且 2π 就是它们的一个 周期．
研一研·问题探究、课堂更高效
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2
针对f(x+T) ＝f(x)中自变量x本身 所加的常量T才是周期。
(3)T(T≠0)是f(x) 的周期，kT(k∈Z且 k≠0) y y=sinx(x∈R) 是f(x) 的周期吗？
-2 y o y o 4π
x
0 X 2 X+2π
4
8π x
x
6π
T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的 所有周期中存在一个最小的正数 , 则这 个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别 说明，一般都是指函数的最小正周期.
探究 5 ： 就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？ 对余弦函数呢？
1 y -6π -5π -4π -3π -2π -π -1
题号 （1） 1 2π （2） 2 （3）
1 2
x的系数
周期T
π
4π
2π T 自变量的系数的绝对值
一般地，函数y=Asin( ω x+ φ ) (A＞0 ，ω 的最小正周期是多少? T 2π
ω
＞ 0)
3 8 T (2)函数 y cos x 的最小正周期为_______ 3 4 T (3)函数 y cos( 4 x )的最小正周期 ____ 2 1 6 T 6 (4)函数 y 2 sin( 3 x 4 ) 的最小正周期为 ______ (5)函数y 4 sin(x ) ( 0) 的最小正周期为 , 4 2 则 ____ .
-6π
-4π -5π -3π
-2π
-π -1
探究1：观察正弦函数的图象，它具有哪 些特征？ 正弦曲线每相隔2π 个单位重复出
.
现.
其理论依据是什么？
诱导公式
sin( x 2k ) sin x (k Z )
一、周期函数的概念
探究2：设f(x)=sinx，
则 sin( x 2k ) sin x 可以
(1)观察等式sin( 4 2 ) sin 4
是
否成立？
如果成立，能不能说
2
答：不能.因为sin( 3 2 ) sin 3 对于f(x+T) ＝f(x)中每一个x都要成立
是y=sinx的周期？
x x (2)由诱导公式 cos( 2) cos ，是否可 3 3 x
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常 数T就叫做这个函数的周期.
探究 4 ： 周期函数的周期是否唯一？正弦函
数y=sinx的周期有哪些？
答：周期函数的周期不止一个. ±2π， ±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上， 任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.
怎样表示？
f(x+2 kπ)=f(x)
我们把f(x)=sinx称为周期函数,2kπ 为这个函数的周期 (其中k∈z且k≠0).
探究 3 ：我们把函数 f(x)=sinx 称为周期 函数.那么，如何定义一般的周期函数呢？ 周期函数：对于函数f(x)，如果存在一 个非零常数T，使得当x取定义域内的每 一个值时，都有
2 6
1 2 sin( x ) 2 6 ∴ f(x+T)=f(x)由周期函数的定义 可知，原函数的周期为4π
由上例知函数y=3cosx的周期 T= 2π ；
x 函数y=2sin( )的周期 T=4π 2 6
函数y=sin2x的周期 T=π ；
想一想：这些函数的周期与解析式中的量有 关吗？若有，有什么样的关系？
2
O
y=sinx
3π 2π
π
5π 4π 6π
2
2
x
2
2 2
2
1 O -1
y
2
y=cosx
2 2Biblioteka 2x 2
正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且 k≠0）都是 它的周期，最小正周期 T=2π．
余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且 k≠0）都是 它的周期，最小正周期 T=2π．
限时抢答 (1)函数y 3sin x的最小正周期为 T 2
函数周期求法：
• 1.定义法： • 2.公式法： 一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, 2 ω≠0 ）的周期是: T ( 0) • 3.图象法:
以说 y cos 3
x 令f ( x ) cos 3 x 2 则f ( x 2 ) cos
3
的周期为2π?
f (0 2 ) cos
f (0 2 ) f (0)
2 1 3 2 f (0) cos0 1
x 2 cos( ) 3 3
x 所以 y cos 的周期不是 3
12 π
(4) 是不是所有的周期函数都有 最小正周期？
考虑函数f ( x) c (c为常数)
周期函数必有周期，但不一定有最 小正周期。
知识应用
例1 求下列函数的周期： ⑴y=3cosx,x∈R;
⑵y=sin2x,x∈R;
解⑴ ∵ 3cos(x+2π )=3cosX
∴ f(x+T)=f(x)
x ⑶y=2sin( ),x∈R; 2 6
巩固 练习 1.判断下列说法是否正确,并简述理由： (1)
2 2 x 时， sin x sin x,则 3 一定不是函 3 3
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π
⑵y=sin2x,x∈R;
解： ∵sin2(x+π )= sin(2x+2π )
= sin2x
∴f(x+T)=f(x)
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π
x ⑶y=2sin( - ),x∈R; 2 6 1 2 sin[ ( x 4 ) ] 解： 1 2 sin[( x ) 2 ] 2 6
y=sinx(x∈R)
y
曹县一中 曹广波
发 现 始 于 观 察 ， 创 造 源 于 探 索
x
2
0
2
4
今天是星期三.7天后星期几？ 14天后、 98天后呢？ 前面我们还研究了三角函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx 它们 也有类似的特征吗？
问题探究
1 y
O
y=sinx
π 2π 3π 4π 5π 6π x