四川省成都高三数学12月月考试题理

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高三数学月考试题(12月)

高三数学月考试题一、选择题1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B xx ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（ A ） A ．}10|{<<x x B ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （ B ） A 9 B 12 C 15 D 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B =，那么角A 等于（ D ）A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为（ C ）A ．B ． 43πC 27D ． 43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（ B ）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（ A ） A ． 122=-y xB ．1242522=+yxC ．11522=-yx D ．1151622=+yx8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b<，则1b a>；③若()2log fx x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y⋅-=有两个交点，则a =．其中错误命题个数是（ D ）A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题 9、复数21i i-所对应的点在_______象限．1i -+（二象限）10、在A B C ∆中，4B π∠=，AC =cos 5C =，则BC 边的长是_________；11、已知点F 是双曲线22221x y ab-=（0a >，0b >）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是直角三角形，则该双曲线的离心率是_____________．答案：e =212、若满足2220x y y ++=的实数x ，y ，使不等式0x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是．)1 +∞，13、过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若2CB B F= ，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_____________________．23y x =解析：点F 到抛物线准线的距离为p ，又由|BC|＝2|BF|得，点B 到准线的距离为|BF|，则|BF ||BC |＝12，∴l 与准线夹角为30°，则直线l 的倾斜角为60°．由|AF|＝3，如图连结AH ⊥HC ，EF ⊥AH ，则AE ＝3－p ，则cos60°＝3－p 3，故p ＝32．∴抛物线方程为y 2＝3x ．14、将编号为1、2、3的三个小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有种；24 如果4号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有种．10 三、解答题15、设函数()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．解: （1）()2cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=1cos 21cos 2cos sin 2sin sin 233222xx x x ππ--+=-所以函数()f x2π．（2）2C f ⎛⎫⎪⎝⎭=1sin 22C -=14-，所以sin 2C =，因为C 为锐角，所以3C π=，又因为在∆ABC 中，cosB=13，所以sin B =，所以()11sin sin sin cos cos sin 2326A B C B C B C =+=+=+⨯=．16、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠= ，12AB AA ==，1A C =，M ，N 分别是11A B ，B C 的中点．（Ⅰ）证明：//M N 平面11AC C A ；（Ⅱ）试求线段MN 与平面ABC 所成角的余弦值．解：（空间向量）依条件可知A B ，A C ，1A A 两两垂直．如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -．依条件可知A B ，A C ，1A A 两两垂直.如图，以点A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -。

四川省成都市重点中学高三数学12月月考试题理科

四川省成都市重点中学高三数学12月月考试题理科注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=0)21ln(|,2221|x x B x A x , 则)(B C A R ⋃=( ) A. ∅ B. )23,(-∞ C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23, D. (1,1]- 2.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -3. 命题“若b a >，则c b c a +>+”的否命题是（）A.若b a ≤，则c b c a +≤+B.若c b c a +≤+，则b a ≤C.若c b c a +>+，则b a >D.若b a >，则c b c a +≤+4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（） A. 15 B. 16 C. 47 D. 485.42()(1x x+的展开式中x 的系数是（）A ．1B ．2C ．3D ．126.已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（） A ．等腰三角形B ．60A ∠=︒的三角形C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D ．等腰直角三角形7. P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线. P 在l 上的射影为Q , 1F 是双曲线C 的左焦点, 则1||||PF PQ +的最小值为( )A. 1B. 2+C. 4D. 18.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（） A ．83 B ．163 C ．323D ．169. 已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（1ω>，||2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,]62ππ10. 设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y=+的最大值的取值范围为（） A ．[]8,10B ．(6,)+∞C ．(6,8]D ．[8,)+∞11. 高斯是德国著名数学家, 享有“数学王子”之称. 以他名字“高斯”命名的成果达110个.设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数, 并用{}[]x x x =-, 表示x 的非负纯小数, 则[]y x =称为高斯函数. 已知数学{}n a满足1a ={}11[](*)n n n a a n N a +=+∈, 则2017a =（） A. 33034+ B. 3024+ C. 3034+D 3024+12.已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（） A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2二、填空题（每题5分，满分20分） 13.已知1,==a b a ()⊥-a b ，则向量a 与向量b 的夹角是 .14.甲，乙，丙，丁四人站成一排，则甲乙相邻，甲丙不相邻有___________种排法.15.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为_____________[.16.函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞．其中真命题的序号为（将所有真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（12分）如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，AC =4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．18.（12分）如图所示,的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADG ；（Ⅱ）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．19．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购.现恰有三个团购站在A 市开展了团购业务， A 市某调查公司为调查这三家团购站在本市的开展情况，从本市已加入了团购站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购站的情况如图所示. （1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购站的数量不相等的概率；（2）从所调查的50家商家中任取两家，用ξ表示这两家商家参加的团购站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望；20.（12分）已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆()22:116M x y ++=相切.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设(),0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A B 、两点，当k 为何值时？ 22||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该值定值.21. （12分）设函数()(1)ln(1)f x mx x =-+.(1)若当01x <<时, 函数()f x 的图象恒在直线y x =的上方, 求实数m 的取值范围; (2)求证: 1000.41001()1000e >.选做题（10分）：请在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 21.（本小题满分10分）在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a t t y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.22.（本小题满分10分）已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.试卷答案一、选择题:BDADC CDBCD BA 二、填空题 13．4π 14. 8 15. 31616. ②③. 17.解：（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，所以2960CE +-=，所以CE =（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CD CDE CED =∠∠，所以5sin CDE ∠=，所以4sin 5CDE ∠=．因为点在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<，所以CDE ∠只能为钝角，所以3cos 5CDE ∠=-，所以cos cos()cos cossin sin333DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠3143525210=-⨯+⨯=．18.（Ⅰ）证明：在△BAD 中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°．由余弦定理BD 2=AD 2+AB 2﹣2AB•ADcos60°，，∵AB 2=AD 2+DB 2，∴AD ⊥DB ，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，∴GD ⊥DB ，又AD ∩GD=D ，∴BD ⊥平面ADG ．（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D ﹣xyz ， ∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∴A （1，0，0），，，G （0，0，1），，，，设平面AEFG 的法向量，令x=1，得，z=1，∴，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，∴，所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为．19.（2）由题，知ξ的可能取值分别为0，1，2[()2225252025020049C C C P C ξ++===，()1111525202525025149C C C C P C ξ+===，()115202504249C C P C ξ=== 从而ξ的分布列为()01249494949E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20.()()()12121226243mky y k x m k x m k x x km k ∴+=-+-=+-=+. ()()()()22222221212121223443k m y y k x m x m k x x k m x x k m k -⋅=--=-++=+.()()2222221122||GA GB x m y x m y ∴+=-++-+()()()22212121212122222x x x x m x x m y y y y =+--++++-()()()()222222643243143m k k k k--++=++22||GA GB ω=+的值与m 无关， 2430k ∴-=，解得2k =±22||7GA GB ω=+=. 21: ()(1)(1)n f x mx l x =-+解：（1）令F()()(1)(1)n x f x x mx l x x =-=-+-1F'()(1)1,(0,1)1n mxx ml x x x-=-++-∈+①当12m ≤-时，由于(0,1)x ∈，有F''()0x ≥ 于是F'()x 在(0,1)x ∈上单调递增，从而F'()F'(0)0x >=F()0x ∴>②102m -<<时，令21min 1,o m x m +⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，当(]0,o x x ∈时，F''()0x <，于是F'()x 在(]0,o x x ∈上单调递减，F'()F'(0)0x <=F()x 在(]0,o x 上单减，F()F(0)0x <=，且仅有F(0)0=，故舍去③0m ≥时，(0,1)x ∈，F''()0x <。

2021届四川省双流中学高三12月月考理科数学试卷

2021年四川省双流中学高三12月月考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){}310A x N x x =∈+-≤|，{}44|B x x =-<<，则AB =（） A ．{}|31x x -≤≤ B ．{}{}|43|14x x x x -<≤-≤<C ．{}1,2,3D ．{}|3,2,1,0,1x ---2．“a b >且c d >”是“a c b d +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，为一个半圆柱和一个半圆锥拼接而成的组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A ．83πB ．43πC ．23πD ．3π 4．已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（） A． BC． D ．k - 5．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若,m n n ⊥⊥α，则//m αB ．若,//m ⊥αβα，则m ⊥βC ．若//,//,//m n m n αβ，则//αβ侧视图正视图D ．若,//m m ⊥βα，则⊥αβ6．设127a -=，1317b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，71log 2c =，则下列关系中正确的是（） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 7．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A ．4B ．8C ．12D ．168．已知AC 、CE 为正六边形ABCDEF 的两条对角线，点,M N 分别在线段AC 、CE 上，且使得,AM r AC CN rCE ==，如果,,B M N 三点共线，则r 的值为（）AB ．3C ．3 D ．139．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N （点,M N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为0e ，则0e 所在区间为（）A．( B． C．)2 D ．()2,3 10．已知[],0,1a b ∈，则()()(),1111a b S a b a b b a=++--++的最小值为（） A ．1112B ．1 C．92- D．132-Y输出i二、填空题11．若复数z 满足()211i z -=（i 为虚数单位），则复数z = ．12．()71x -展开式的第6项系数的值为． 13．若函数()log 1a y x =+（0a >且1a ≠）的图象经过不等式组122020x x y x y ≥-⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，则a 的取值范围是．14．一组数据共有7个数，其中10,2,5,2,4,2，还有一个数m 不确定，但知道数m 取自集合M {}=|2020,m m m Z -≤≤∈，则这组数的平均数、中位数、众数依次能构成等差数列的概率为．15．若点A 和点B 分别是函数()f x 和()g x 的图象上任意一点，定义两点间的距离AB 的最小值为两函数的“亲密度”，则函数()(),211,1x e x f x e f x x ⎧-≤<-⎪=⎨⋅-≥-⎪⎩与()ln g x x =的“亲密度”为．三、解答题16．已知各项均不为零的数列{}n a 满足：()2*2+1n n n a a a n N +=∈，且12a =,478a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()*12n n n a b n N n n =∈+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17．一个袋子装有大小和形状完全相同的编号为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球中恰好有2个球编号相同的概率；（Ⅱ）设X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望．18．已知向量()()22sin ,n 1sin ,2cos m x x x x =+=-，设()f x m n =⋅．（Ⅰ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的的边分别为,,a b c .已知()2f B =，3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为3的菱形，60DAB ∠=︒，DE ⊥平面ABCD ，//,3,AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角F BE C --的平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该FEDC B A定点的坐标．(a,b∈R)，若f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为1．21．设函数f(x)=ax+bx（Ⅰ）用a表示b；（Ⅱ）设g(x)=lnx−f(x)，若g(x)≤−1对定义域内的x恒成立．（ⅰ）求实数a的取值范围；)，证明：g(1−sinθ)≤g(1+sinθ).（ⅱ）对任意的θ∈[0,π2参考答案1．C【解析】试题分析：由题意得，()(){}310{|3A x N x x x N x =∈+-≤=∈≤-|或1}x ≥，所以A B ={}1,2,3，故选C ．考点：集合的运算．2．A【解析】试题分析：由题意得，由“a b >且c d >”可推得“a c b d +>+”成立，反之如2,4,3,1a c c b ====，则“a c b d +>+”成立时，此时“a b >且c d >”不成立，所以“a b >且c d >”是“a c b d +>+”的充分不必要条件，故选A ．考点：充分不必要条件的判定及不等式的性质．3．B【解析】试题分析：由题意得，根据给给定的三视图可知，该组合体的前半部分为底面半径为1，高为2的半圆锥，后半半部分为底面半径为1，高为1的半圆柱，所以该组合体的体积为221111212232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 43π=，故选B ．考点：空间几何体的三视图及几何体的体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图还原空间几何体及空间几何体的体积与表面积的计算，着重考查了学生的空间想象能力和运算能力及转化的数学思想方法，属于基础题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也是解答的一个易错点．4．A【解析】试题分析：由于cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭,因此()sin πα+=,应选A.考点：同角的关系和诱导公式的运用．5．D【解析】试题分析：由题意得，A 中，若,m n n ⊥⊥α，则//m α或m α⊂，所以不正确；B 中，若,//m ⊥αβα，则m 与β可能是平行的，所以不正确；C 中，若//,//,//m n m n αβ，则α与β可能是相交的，所以不正确，故选D ．考点：线面位置关系的判定．6．B【解析】试题分析：由题意得，71log 02c =<，又11133217707b a --⎛⎫==>=> ⎪⎝⎭，所以c a b <<，故选B ．考点：指数与对数函数的性质及其应用．7．D【解析】试题分析：由题意得，当第一次循环，可得1,3S i ==；当第二次循环，可得4,5S i ==；当第三次循环，可得9,7S i ==；当第四次循环，可得16,9S i ==，此时应终止循环，输出结果，所以满足条件的最大整数为16，故选D ．考点：循环结构的程序框图的应用．8．C【解析】试题分析：由题意得，建立如图所示的直角坐标系，设正六边形的边长为2，则(0,0),(2,0),A B C ，(0,E ，则(2,0),(1,3)(3,3),(AB BC AC CE ====-，因为,AM r AC CN rCE ==，则(3,3),(3)AM r r CN r ==-，所以(1,(3)(13BN BC CN r r =+=+-=-，(2,0)(3)(3BM BA AM r r =+=-+=-，因为,,B M N 三点共线BN BM λ=，即(13(3r r λ-=-，所以13(32)r r λ-=-⎧⎪=，解得r =C ．考点：向量的运算．9．A【解析】试题分析：由题意得，双曲线的渐近线的方程为b y x a=与圆222x y c +=联立，解得(,)M a b ，与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>联立，解得N ，即22)c a N c-，直线1MF 与直线ON 平行时，即有22b ac =+，即222222()()(2)a c c a a c a +-=-，即32232220c ac a c a +--=，即320002220ee e +--=，设()32222f x x x c =+--，由()()(1)0,0,0,20,30f f f f f <>>>>，所以可得(0e ∈，故选A ．考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了双曲线离心率的求解和两直线平行的条件及其应用，注重了运算能力和转化的思想方法，属于中档试题，本题的解答中求出双曲线的渐近线，分别与圆的方程和双曲线的方程联立，求解点,M N 的坐标，再与两直线平行的条件----斜率相等，得到方程，注意结合,,a b c 的关系及离心率的公式，转化为函数的零点问题，从而求解离心率的范围．10．D【解析】试题分析：因为()()()221(1),111111(1)(1)(1)(1)a b a b a b ab ab S a b a b b a a b a b +++-=++--==-≤++++++，当0ab =或1ab =时等号成立，所以S 的最大值为1，令(1),(1)(1)ab ab T x a b -==++，则2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)1ab ab x x x x T a b x x ---=≤==++++，设()2(1)1x x f x x-==+，所以()222(1)(1)x x x f x x --'=+，令()0f x '=，解得110,,22x x x ===-，所以()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2+∞上单调递减，所以当12x a b ===时，函数()f x 由最大值为112，此时S 由最小值132-．考点：函数的最值应用及基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解函数的最值即基本题不等式的应用，着重考查了运算、推理能力和转化的思想方法，属于有一定难度的试题，平时应注意方法的总结和积累，本题的解答中，通过()(1),1(1)(1)ab ab S a b a b -=-++，令换元构成函数()2(1)1x x f x x-==+，利用导数的方法求解函数的最值，从而求解出S 由最小值．11．12i【解析】试题分析：由题意得()2111221z i i i ===--．考点：复数的运算．12．21-【解析】试题分析：由题意得，二项展开式的第6项为55567()21T C x x =-=-，所以展开式中第6项的系数为21-．考点：二项式的应用． 13．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由22020x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得1(,1)2A -，当函数()log 1a y x =+经过A 点时，即111log 22aa =⇒=，根据对数函数的图象与性质，要使得函数()log 1a y x =+的图象经过不等式组所表示的平面区域，则实数a 的取值范围是10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．考点：二元一次不等式组表示的平面区域及对数函数的图象与性质． 14．341【解析】试题分析：由题意得，数据的平均数为257m+，众数为2，中位数为x ，若这组数的平均数、中位数、众数依次能构成等差数列，则25227m x +=+，即3914mx +=且x Z ∈，{}A=|2020,m m m Z -≤≤∈，则11m =-或3或17，所以这组数的平均数、中位数、众数依次能构成等差数列的概率为341P =．考点：众数、中位数、平均数的计算；等差数列的性质．【方法点晴】本题主要考查了数据统计的中的众数中位数、平均数的计算及等差数列的性质，着重考查了分类讨论的数学思想方法，是一道综合性的题目，也是一个易错的题目，本题的解答中，设出未知数，根据这组众数、中位数、平均数依次构成等差数列，列出关系式，根据所写出的结果对于x 的值不同所得结果，找出m 的值，从而求解概率．15 【解析】试题分析：由题意得，函数()(),211,1xe xf x e f x x ⎧-≤<-⎪=⎨⋅-≥-⎪⎩，当[0,1)x ∈时，()xf x e =，此时函数()xf x e =与函数()lng x x =的图象关于y x =是对称，由()xf x e '=，令()10f x x '=⇒=，即函数()f x 与y x =相切于(0,1)A 点；由()1g x x'=，令()11g x x '=⇒=，即函数()g x 与y x =相切于(1,0)B 点，此时A 与B 两点间的距离即为函数()f x 与()g x 图象上的最短距离，且AB =，即函数()(),211,1x e x f x e f x x ⎧-≤<-⎪=⎨⋅-≥-⎪⎩与()ln g x x =．考点：函数的新定义的应用．【方法点晴】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系及导数的几何意义、函数的新定义的应用，属于中档试题，着重考查了转化的思想方法和数形结合的思想方法，解答此类问题的关键是紧紧围绕函数的新定义，利用导数的几何意义转化为两切点之间的距离，求解两函数图象上的最近距离，本题的解答中根据函数()xf x e =与函数()lng x x =的图象关于y x =是对称，把函数()f x 与()g x 图象上的最短距离转化为两切点之间的距离，求解函数“亲密度”． 16．（I ）()*2nn a n N =∈；（II ）1n nS n =+．【解析】试题分析：（1）判断数列{a n }是等比数列，设公比为q ，利用a 1=2，8a 4=a 7．求出公比，即可得到通项公式．（2）由（1）得到()()*212nnn n na ab n N n n ，==∈+化简，利用裂项法求解数列的和即可．（1）由题，()2*21n n n a a a n N ++=∈，所以，数列{}na 是等比数列，设公比为q ，又36147112,882a a a a q a q q ==⇒=⇒=，所以，()1*12n n n a a qn N -==∈.（2）由（1），()()1112,1211nn n n n a a b n n n n n n ====-+++，数列{}n b 的前n 项和121111112231n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 17．（I ）13；（II ）分布列见解析，8521．【解析】试题分析：（I ）设“取出的3个球中恰好有2个球编号相同”为事件A ，可根据排列组合的知识求解概率()114739C C P A C =；（II ）找出随机变量X 的取值为：2,3,4,5，计算取每个值的概率，列出分布列，求解数学期望．试题解析：（Ⅰ）设“取出的3个球中恰好有2个球编号相同”为事件A ，则()114739281843C C P A C === （Ⅱ）X 的取值为：2,3,4,5，()12212222394128421C C C C P X C +====，()122124243916438421C C C C P X C +====， ()12212626393634847C C C C P X C +====，()1218392815843C C P X C ==== 所以，X 的分布列为：()143185234521217321E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：古典概型及其概率的计算及随机变量的分布列与数学期望．18．（I ）()f x 最大值为3，最小值为1-；(II) a c == 【解析】试题分析：（I ）利用()f x m n =⋅，利用向量的运算、化简得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得72,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ，根据正弦函数的形式，可求解()f x 最值；（II ）由()2f B =，求得3B π=，在由sin 2sin 2C A c a =⇒=，利用余弦定理，列出方程即可求解,a c 的值．试题解析：（Ⅰ）由题，()()221sin cos f x m n x x x =⋅=-+，()21cos 22cos 2222cos 212+xf x x x x x x +==⨯+ 2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ，所以，当262=x +ππ，即6x =π时，()f x 的最大值为3；当7266=x +ππ，即2x =π时，()f x 的最小值为当1- （Ⅱ）由（Ⅰ），()122sin 212sin 2662=f B B B ⎛⎫⎛⎫=⇒++=⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ， ()130,2666B B ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭，ππππ，所以52663==B B +⇒πππ， sin 2sin 2C A c a =⇒=，3b =，2222cos b a c ac B =+-，a c ⇒==考点：三角函数的恒等变换及三角形中正、余弦定理的应用．19．（I ）证明见解析；（II）185-．【解析】试题分析：（I ）由四边形ABCD 是菱形，可得AC BD ⊥，由DE ⊥平面ABCD ，可得AC DE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ；（II ）以,AC BD 的交点O 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，求解平面FBE的一个法向量()1n =，平面BEC的一个法向量()1n =，利用两个向量所成的角，求解二面角的大小．试题解析：证明：（Ⅰ）已知，四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥，BD DE D =，所以AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）BE 与平面ABCD 所成角为60︒，DE ⊥平面ABCD ，所以，60EBD ∠=︒．四边形ABCD 是边长为3的菱形，所以，3BD =，ED =AF =.如图，以,AC BD 的交点O 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.330,,0,,,0,0,,0,22222B A C F E ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝. (333333=,,0,=,,3,=0,2222BC BF BE⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝设平面FBE 的法向量为()1111,,x y z =n ：111111111111300322030x z BE n x yBF n y y ⎧⎧⎧=⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=-+=⎩⎩，令13z =，()1n =；设平面BEC 的法向量为()2222,,n x y z =：22222222223002030BE n y x yBC n y y ⎧⎧⎧⋅==-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅==⎪⎪⎪⎩⎩-+=⎩，令21z =，()1n =；121212cos,n185n nnn n⋅===，二面角F BE C--的平面角的余弦值为185-.考点：直线与平面垂直的判定与应用；二面角的求解．20．（I）92x=；（II）1073T⎛⎫⎪⎝⎭，；（III）()1,0D.【解析】试题分析：（I）设出点(),P x y，利用坐标化简224PF PB-=，得到点P的轨迹；（II）由1212,3x x==分别得出直线AM的方程为113y x=+，直线AN的方程为5562y x=-，联立方程组即可求解点T的坐标；（III）直线AT的方程为：()312my x=+，直线BT的方程为：()36my x=-，分别与椭圆的方程联立，由12x x=，求得210m=，此时直线MN 的方程为1x=，过点()1,0D，若12x x≠，由MDk=NDk，所以直线MN过点()1,0D. 试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F-，设动点(),P x y，由()()2222222,3PF x y PB x y=-+=-+，224PF PB-=代入化简得，92x=.故点P的轨迹为直线92x=.（Ⅱ）由12x=，2211195x y+=，1y>得15=3y，则点52,3M⎛⎫⎪⎝⎭，直线AM的方程为113y x=+，由213x=，2222195x y+=，2y<得2209y=-，则点120,39N⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AN的方程为O5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩，（Ⅲ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36my x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m-+且0m >，得m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x ≠，则m ≠直线MD 的斜率2222402403101808040MDmm m k m m m ⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040NDm m mk m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D . 因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36my x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .21．（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）见解析【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用导数的几何意义“曲线在某点处的导数值等于该点处切线的斜率”来求；(Ⅱ)利用导数研究单调性，进而求最值.试题解析：（Ⅰ）f′(x)=a−bx2，依题意有：f′(1)=a−bx2=a−b=1⇒b=a−1；（Ⅱ）g(x)=lnx−f(x)=lnx−(ax+a−1x)≤−1恒成立．（ⅰ）g(x)≤−1恒成立，即g(x)max≤−1．方法一：g(x)≤−1恒成立，则g(1)+1=−a−a+1+1≤0⇒a≥1．当a≥1时，g′(x)=−(ax+a−1)(x−1)x2=−a[x−(−1+1a)](x−1)x2=0⇒x=1,x=−1+1a,x=−1+1a≤0,x2g′(0)≥0则x∈(0,1)，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)max=g(1)=1−2a≤−1，符合题意，即g(x)≤−1恒成立．所以，实数a的取值范围为a≥1．方法二：g′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2+x+a−1x2=−(ax+a−1)(x−1)x2，①当a=0时，g′(x)=x−1x2，x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)max=g(1)=1，不符题意；②当a≠0时，g′(x)=−(ax+a−1)(x−1)x2=−a[x−(−1+1a)](x−1)x2=0⇒x=1,x=−1+1a，（1）若a<0，−1+1a<0，x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，g′(x)>0，g(x)单调递增，则g(x)min=g(1)=1−2a>1>−1，不符题意；（2）若a>0，若0<a≤12，−1+1a>1，x∈(0,1)，g′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(−1+1a )=ln(−1+1a)+2a−1>−1，不符题意；若12<a <1，0<−1+1a<1，x ∈(0,−1+1a)，g ′(x)<0，g(x)单调递减，这时g(1)=1−2a >1−2=−1，不符题意；若a ≥1，−1+1a ≤0，x ∈(0,1)，g ′(x)>0，g(x)单调递增；当x ∈(1,+∞)，g ′(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)max =g(1)=1−2a ≤−1，符合题意；综上，得g(x)≤−1恒成立，实数a 的取值范围为a ≥1．方法三：易证lnx ≤x −1(x >0) g(x)+1=lnx −(ax +a−1x)+1 ≤x −1−(ax +a−1x)+1=(1−a)(x +1x )∵x >0，∴x +1x≥2>0，当1−a ≤0，即a ≥1时，g(x)+1≤0，即g(x)≤−1恒成立；当a <1时，g(1)=1−2a >1−2=−1，不符题意．综上，得g(x)≤−1恒成立，实数a 的取值范围为a ≥1．（ⅱ）由（ⅰ）知，g(x)≤−1恒成立，实数a 的取值范围为a ≥1．令sinθ=t ∈[0,1)，考虑函数p(t)=g(1+t)−g(1−t)=ln(1+t)−a(1+t)−a −11+t −[ln(1−t)−a(1−t)−a −11−t ] =ln(1+t)−ln(1−t)−2at −(a −1)[11+t −11−t]p ′(t)=11+t −11−t −2a +a−1(1+t)2+a−1(1−t)2=21−t 2−2a +(a −1)[1(1+t)2+1(1−t)2]，下证明p ′(t)≥0，即证：21−t 2−2a +(a −1)[1(1+t)2+1(1−t)2]≥0，即证明 11−t 2−a +(a −1)[1+t 2(1+t)2(1−t)2]≥0，由11−t2≥1，即证1−a +(a −1)[1+t 2(1+t)2(1−t)2]≥0，又a −1≥0，只需证−1+1+t 2(1+t)2(1−t)2≥0，即证1+t 2≥(1+t)2(1−t)2⇐t 4−3t 2≤0⇐t 2(t 2−3)≤0，显然成立．即p(t)在t ∈[0,1)单调递增，p(t)min =p(0)=0，则p(t)≥0，得g(1+t)≥g(1−t)成立，则对任意的θ∈[0,π2)，g(1−sinθ)≤g(1+sinθ)成立．方法二：由（ⅰ）知，g(x)≤−1恒成立，实数a 的取值范围为a ≥1．g(1+sinθ)−g(1−sinθ)=ln(1+sinθ)−a(1+sinθ)−a−11+sinθ−[ln(1−sinθ)−a(1−sinθ)−a−11−sinθ]=ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2asinθ−(a−1)[11+sinθ−11−sinθ]=ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2asinθ+2(a−1)sinθcos2θ=ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2asinθ(1−1 cos2θ)−2sinθcos2θ=ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)+2a sin3θcos2θ−2sinθcos2θ≥ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)+2sin3θcos2θ−2sinθcos2θ=ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)+2sinθcos2θ(sin2θ−1) =ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2sinθ令ℎ(x)=ln(1+x)−ln(1−x)−2x,(0≤x<1)，则ℎ′(x)=11+x +11−x−2=21−x2−2≥2−2=0，∴ℎ(x)在区间[0,1)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0依题意，sinθ∈[0,1)，∴ln(1+sinθ)−ln(1−sinθ)−2sinθ≥0，∴g(1+sinθ)≥g(1−sinθ)，即对任意的θ∈[0,π2)，g(1−sinθ)≤g(1+sinθ)成立．考点：导数，函数的单调性，不等式证明等知识点，考查学生的综合处理能力.。

四川省成都七中高三数学上学期12月月考试题理新人教

2012-2013学年四川省成都七中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1] C．[0，1）D．[0，1]考点：交集及其运算；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．解答：解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C点评：本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义．2．（5分）（2013•资阳二模）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣3x+2≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x2+x﹣1≥0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．分析：本题需要逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一）；可以采用先熟悉后生疏的策略判定解答．解答：解：由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题∴选项A错误；由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，∴选项B成立；选项C错在把命题的否定写成了否命题；选项D错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题．故选B．点评：本题涉及到四个命题，真值表，充要条件，命题的否定，分析中逐一判断，到满足题意的选项为止，（选择题四选一），先熟悉后生疏，提供解题策略；解答中分析的比较清晰．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45°，则角A=（）A．30°B．30°或105°C．60°D．60°或120°考点：解三角形．专题：计算题．分析：由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a=，b=，B=45°，根据正弦定理=得：sinA===，由a=＞b=，得到A∈（45°，180°），则角A=60°或120°．故选D点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦定理，以及特殊角的三角函数值，学生做题时注意角度的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．4．（5分）在等比数列{a n}中，S n为前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q 为（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知条件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得．解答：解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a5﹣3，2S5=a6﹣3∴2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5即3a5=a6∴3a5=a5q解得q=3，故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用S5﹣S4=a5得出a5、a6的关系，属中档题．5．（5分）（2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7B．9C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故选C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．（5分）（2010•四川）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：分析法．分析：先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．解答：解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．7．（5分）已知函数f（x）=g（x+1）﹣2x为定义在R上的奇函数，则g（0）+g（1）+g（2）=（）A．1B．C．D．3考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：据函数f（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（﹣x）=﹣f（x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．然后结合f（x）=g（x+1）﹣2x得g（1）=1．再分别令x=﹣1和x=1，从而得到g（0）+g（2）=，最后求出g（0）+g（1）+g（2）的值．解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=﹣f（﹣x），特别地，当x=0时，得到f（0）=0．由f（x）=g（x+1）﹣2x取x=0，所以f（0）=g（1）﹣1，所以g（0）=1．再分别令x=﹣1和x=1，得：f（﹣1）=g（0）﹣2﹣1，f（1）=g（2）﹣2，两式相加得f（﹣1）+f（1）=g（0）﹣2﹣1+g（2）﹣2，且f（﹣1）+f（1）=0，∴f（0）+g（2）=，所以g（0）+g（1）+g（2）=1+=．故选C．点评：本题考查了函数的奇偶性，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．8．（5分）已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．9．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．解答：解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（5分）命题P“方程有解”是命题Q“方程x2﹣2x+a=0无实根”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要考点：充要条件．专题：计算题．分析：由指数和对数的关系可化简方程，分离a，由基本不等式可得a≥1，再由△＜0可得a＞1，由集合的包含关系可得答案．解答：解：方程可化为=a﹣2x，整理可得a=≥2=1，当且仅当，即x=﹣1时取等号，故可得a≥1；而方程x2﹣2x+a=0无实根可得△=（﹣2）2﹣4a＜0，解得a＞1，又因为集合{a|a≥1}真包含{a|a＞1}，所以P是Q的必要不充分条件故选B点评：本题考查充要条件的判断，涉及基本不等式和一元二次方程根的情况，属基础题．11．（5分）已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的两个实根为x1、x2，并且0＜x1＜2，x2＞2，则的取值范围是（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣3，﹣1）C．（﹣3，﹣）D．（﹣3，）考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合对应二次函数性质得到然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，则即，其对应的平面区域如下图阴影示：则表示阴影区域上一点与M（1，0）连线的斜率由题意可得A（﹣3，2）由图可知∈（﹣3，﹣）故选C点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜2＜x2，结合二次函数性质得到解答本题的关键．12．（5分）（2010•成都一模）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2009，则n=（）A．1026 B．1027 C．1028 D．1029考点：进行简单的合情推理；归纳推理．专题：压轴题；探究型．分析：根据题意，分析图乙，可得其第k行有k个数，则前k行共有个数，第k 行最后的一个数为k2，从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列；进而由442＜2009＜452，可得2009出现在第45行，又由第45行第一个数为442+1=1937，由等差数列的性质，可得该行第37个数为2009，由前44行的数字数目，相加可得答案．解答：解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442=1936，452=2025，则442＜2009＜452，则2009出现在第45行，第45行第一个数为442+1=1937，这行中第=37个数为2009，前44行共有=990个数，则2009为第990+37=1027个数；故选B．点评：本题考查归纳推理的运用，关键在于分析乙图，发现每一行的数递增规律与各行之间数字数目的变化规律．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确的答案填在横线上.）13．（4分）一个凸多面体的三视图如图所示，则这个凸多面体的体积是．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，由此能求出这个凸多面体的体积．解答：解：由凸多面体的三视图知：凸多面体是四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，PA=AB=BC=1，AD=2，AD∥BC，∴，这个凸多面体的体积V===．故答案为：．点评：本题考查利用三视图求四棱锥的体积，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是利用三视图得到几何体．14．（4分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是n≤9或n＜10 ．考点：程序框图．专题：计算题．分析：通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．解答：解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构判断框内为满足循环的条件第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3••当执行第10项时，n=11n的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值故答案为：n≤9或n＜10点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．15．（4分）已知cos（）=，α∈（0，），则= ．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α∈（0，）及cos（）可求sin（），进而利用诱导公式及二倍角正弦公式可求cos2=2sin（）cos（），而==cos（），代入所求式子即可求解解答：解：∵α∈（0，）∴α∈（0，）∴sin（），＞0∵cos（）=∴sin（）=∴cos2=2sin（）cos（）====cos（）=∴==故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式的综合应用，解题的关键是公式的灵活应用16．（4分）设函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，下列五个命题：①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则m＜e2﹣ln2；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则m＜e﹣ln2；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e．⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e2．其中正确命题的序号为①②③④⑤．（将你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：对于①函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，设F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数研究其单调性，从而得出对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范围；对于②③④⑤，可结合图象法，将原问题转化为函数的最大或最小值问题进行解决即可．解答：解：函数f（x）=e x，g（x）=lnx+m，∴f（x）﹣g（x）=e x﹣（lnx+m），设F（x）=e x﹣（lnx+m），则F′（x）=e x﹣，当x∈[1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函数，①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，e﹣（ln+m）＞0，∴m＜e，故正确；②存在x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e2＞ln2+m，则m＜e2﹣ln2．故正确；③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，∴e＞ln2+m，则m＜e﹣ln2；故正确；④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e＞ln1+m，则m＜e；故正确；⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，∴e2＞ln1+m，则m＜e2；故正确；故答案为：①②③④⑤．点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．（12分）（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos﹣cos2x•sin+cos2x =sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（﹣）=﹣1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为﹣1．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．（1）求证：PC∥平面EBD；（2）求二面角A﹣BE﹣D的正弦值的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA 中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，﹣2），由向量法能够求出二面角A﹣BE﹣D的正弦值．解答：解：（1）连接AC，BD，交点为G．∵AD∥B C，∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD．∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．∴EG‖PC．∵EG在平面EBD内，∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，∴A（3，0，0，0），D（3，﹣3，0），B（0，0，0），E（2，1，0），∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，∵，∴，令x=1，得=（1，1，﹣2），设二面角A﹣BE﹣D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角A﹣BE﹣D的正弦值sinθ==．点评：本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．19．（12分）设m是常数，集合（1）证明：当m∈M时，f（x）对所有的实数x都有意义；（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；（3）求证：对每个m∈M，函数f（x）的最小值都不于1．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）化简函数的解析式为，m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，由于y=log3U是增函数，故当U最小f（x）最小，再由U的最小值为，求得f（x）的最小值．（3）根据m∈M时，，从而证得函数f（x）的最小值都不小于1．解答：解：（1），当m∈M，即 m＞1时，恒成立，故f（x）的定义域为R．（2）设，∵y=log3U是增函数，∴当U最小时f（x）最小．而，显然当x=2m时，U的最小值为，此时．（3）m∈M时，，当且仅当m﹣1=1时，即m=2时，等号成立，所以，即函数f（x）的最小值都不小于1．点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，对数函数的图象性质的应用，属于中档题．20．（12分）（2007•福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项a n；（II）求数列{na n}的前n项和T．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用递推公式a n+1=2S n把已知转化为a n+1与a n之间的关系，从而确定数列a n的通项；（II）由（I）可知数列a n从第二项开始的等比数列，设b n=n则数列b n为等差数列，所以对数列n•a n的求和应用乘“公比”错位相减．解答：解：（I）∵a n+1=2S n，，∴S n+1﹣S n=2S n，∴=3．又∵S1=a1=1，∴数列{S n}是首项为1、公比为3的等比数列，S n=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，a n﹣2S n﹣1=2•3n﹣2（n≥2），∴a n=（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n﹣2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n•3n﹣1=2+2•=﹣1+（1﹣2n）•3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）点评：本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．21．（12分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0（不考虑另一根）．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（14分）已知函数在[0，+∞）上单调递增，数列{a n}满足，，（n∈N*）．（Ⅰ）求实数a的取值范围以及a取得最小值时f（x）的最小值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立，分离参数，可得a≥在[0，+∞）上恒成立，求出最值，即可得到结论；（Ⅱ）先证明{}是常数数列，再证明{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立，令x=，则，可得＜ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2），叠加即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：由题意，f′（x）=≥0在[0，+∞）上恒成立∴a≥在[0，+∞）上恒成立∵x∈[0，+∞），∴∈（0，1]∴a≥1当a=1时，f（x）min=f（0）=0；（Ⅱ）解：∵，∴=∴{}是常数数列∵，，∴∴=∴∴∴{a n﹣1}是首项为﹣，公比为的等比数列∴a n﹣1=（﹣）•∴a n=1﹣；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知对x∈[0，+∞）恒成立令x=，则∴＜ln（+1）=ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）∴++…+＜[ln（32﹣2）﹣ln（31﹣2）]+[ln（33﹣2）﹣ln（32﹣2）]+…+ln（3n+1﹣2）﹣ln（3n﹣2）=ln（3n+1﹣2）∴点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项与不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

四川省成都市高2024届2022-2023学年度12月月考-理科数学【含答案】

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的四川省成都市高２０２４届２０２２－２０２３学年度１２月月考理科数学.1. 命题“∃>x 20，−<x x 203200”的否定为（）A ．∀>x 2，−≥x x 2032B ．∀>x 2，−>x x 2032C ．∃<x 20，−≥x x 203200D ．∃<x 20，−>x x 203200 2．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是（）A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．至多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面 3.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率e =53，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（） A.x 24−y 23=1 B. x 23−y 24=1 C. x 216−y 29=1 D. x 29−y 216=14. 已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断不正确的是（）A ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C ．甲成绩的方差大于乙成绩的方差D ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差5.已知△ABC 的三个顶点分别为A 5,3,2)(，−B 1,1,3)(，−−C 1,3,5)(，则BC 边上的中线长为（） A．B．C． D．6.现从某学校450名同学中用随机数表法随机抽取30人参加一项活动.将这450名同学编号为001，002，…，449，450，要求从下表第2行第5列的数字开始向右读，则第5个被抽到的编号为_________. 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79A.074B.447C.474D. 4767.已知m 为实数，直线l 1：mx +y −1=0，l 2：(3m −2)x +my −2=0，则“m =1”是“l 1//l 2”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8.已知一组数据x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n 的平均数为x ，标准差为s ，则数据2x 1+1,2x 2+1,⋅⋅⋅,2x n +1的平均数和方差分别为（ )A. 2x +1,2s +1B. 2x,2sC. 2x +1,4s 2D. 2x,4s 29. 柜子里有红，白，黑三双不同的手套，从中随机选2只，则取出的手套成双的概率为（） A. 13B. 15C.16D.11010．已知点P 是圆C ：x 2+y 2−2x −4y +3=0的动点，直线l ：x −y −3=0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（） A． B． C． D．11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（） A ．1116B ．916C ．716D ．51612.1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠=∠=︒，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为 ( )A. 89B. 56C. 23D.78二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.2020年是新冠疫苗接种高峰期，接种重点人群是年龄在18−59岁的健康人员.某单位300名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况，则40岁以下年龄段应抽取____________人14.已知抛物线y 2=2px(p >0)上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5，则实数m 的值是____15．已知点(2,2)P −，直线:(2)(1)460l x y λλλ+−+−−=，则点P 到直线l 的距离的取值范围为__________.16.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若已知圆O ：x 2＋y 2＝1和点1,02A ⎛⎫−⎪⎝⎭，点B （4，2），M 为圆O 上的动点，则2|MA|＋|MB|的最小值为_______ 三、解答题：本大题共6个小题，第一题10分，其余各题12分17. 已知命题:p 方程： x 22m +y 21−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线e ∈(1,2)，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求m 的取值范围.公众号高中僧试题下载18. 双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√3x ，且一个焦点到渐近线的距离为√3.(1)求双曲线方程；(2)过点(0,1)的直线l 与双曲线交于异支两点P,Q,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点M 的轨迹方程.19.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0,10),[10,20)，[20,30),[30,40)，[40,50]，得其频率分布直方图如图所示．(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数是多少；(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；(3)国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？20、现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素。

四川省成都示范性高中高三12月月考数学试题理

数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A. 30oB. 45oC. 60oD. 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+ C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos α=55，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为（ D ）A43 B 33 C 42 D 5710．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ D ） A 212ln 2()4f x +<-B ．212ln 2()4f x -<C ．212ln 2()4f x +>D ．212ln 2()4f x -> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =I {}2,1,0,1-. 12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=b ，则a 在b 方向上的投影为__2___ 14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的21，其体积缩小到原来的41； ②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等； ③直线01=++y x 与圆2122=+y x 相切； ④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线l 与椭圆2212x y +=交于P 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于－12其中真命题的序号是：1，3，5三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.解：（I）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、成都市海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进ABC NB 1C 1 口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自，，各地区商品的数量；（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C 地区的样品数X 的分布列及数学期望。

四川省成都市新津中学2021届高三数学12月月考试题理

四川省成都市新津中学2021届高三数学12月月考试题理一、选择题：（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分） 1.已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 02.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A.12B. 12-C.12i D. 12i -3.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 4.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A. －30B. －40C. 40D. 505.在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（） A. 4B. 3C. -4D. -36.要得到函数1cos 2y x =图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（） A. 横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B. 横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 7.若0,0x y >>，则“2x y +=”的一个充分不必要条件是 A. x y = B. 2x y = C. 2x =且1y = D. x y =或1y = 8.已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（） A. 5B. 11C. 20D. 259.已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A. 1B. －1C. 8lD. －8110.已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A 3π-B.6π-C.6π D.3π 11.波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB =2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）12.已知函数()321162f x x bx cx =++的导函数()'f x 是偶函数，若方程()'ln 0f x x -=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是（） A.2111,2e 2⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ B. 2111,2e 2⎡⎫---⎪⎢⎣⎭ C. 2111e ,22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D. 2111e ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分；答案写在答题卷相应题号的横线上）13.已知222,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.14.已知实数x ，y 满足205y x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则2yz x =+的最大值为______.15.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分別为4，5，则输出v 的值为______. 16.在三棱锥S ABC -中，SA ，SB ，SC 两两垂直且2SA SB SC ===，点M 为S ABC -的外接球上任意一点，则MA MB ⋅的最大值为______.三、解答题（解答应写出过程或演算步骤：17~21每题12分，选做题10分，共70分）17.（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2B Ca A B c ++=. （1）求A ；（2）若ABC ∆的面积为3，5b c +=，求ABC ∆的周长.18.（12分）已知在多面体ABCDEF 中，平面CDFE ⊥平面ABCD ，且四边形ECDF 为正方形，且DC //AB ，36AB DC ==，5AD BC ==，点P ，Q 分别是BE ，AD 的中点. （1）求证：//PQ 平面FECD ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.19.（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关. 列联表如下（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为8,12流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为[)10,12的人数为ξ，求出ξ分布列及期望值.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =32+，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 与椭圆C 相交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：O 到直线AB 的距离为定值.21.(12分)已知函数2()ln 3f x x ax x =+-（a ∈R ）（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，对于任意[]12,1,10x x ∈，当21x x >时，不等式()()()211221m x x f x f x x x -->恒成立，求出实数m 的取值范围.选考题（共10分，请在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22.（10分）已知曲线1C ：sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和2C ：x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. （1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的方程化为极坐标方程；（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.23.（10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()|||1|f x x x =--．(1)若()|1|f x m ≥-的解集非空，求实数m 的取值范围；(2)若正数,x y 满足22x y M +=，M 为（1）中m 可取到的最大值，求证：2x y xy +≥．四川省新津中学高2018级（高三）12月考数学（理）参考答案一、选择题：（每小题只有一个正确选项；每小题5分，共60分） 1.C. 2.A. 3.D. 4. C. 5.D 6.C. 7.C ． 8.D 9.B. 10.A 11.D ． 12.B. 二、填空题（每小题5分，共20分；答案写在答题卷相应题号的横线上）13.1-. 14.1011. 15.1055. 16.2 三、解答题（解答应写出过程或演算步骤：17~21每题12分，选做题10分，共70分） 17.【详解】（1）由题设得sin cos 2A a C c =. 由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C = ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠sin cos2A A =， 2sincos cos 222A A A = 所以cos 02A =或1sin 22A =.当cos 02A=，A π=（舍）故1sin22A =，解得60A =︒.（2）1sin 2ABC S bc A ∆==4bc =.由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-22()3()1213b c bc b c =+-=+-=.解得a =.∴5a b c ++=.故三角形ABC 5.18.【详解】（1）过点PH BC ⊥交BC 于H 点，连接QH ，如下图所示：因为平面CDFE ⊥平面ABCD ，且交线为CD , 又四边形CDFE 为正方形，故可得CE CD ⊥，故可得CE ⊥平面ABCD ，又CB ⊂平面ABCD ，故可得CE CB ⊥.在三角形CBE 中，因为P 为BE 中点，,PH CB CE CB ⊥⊥，故可得PH //CE ，H 为CB 中点；又因为四边形ABCD 为等腰梯形，,H Q 是,CB AD 的中点，故可得HQ //CD ；又,PH HQ H CD CE C ⋂=⋂=，且,PH HQ ⊂平面PHQ ，,CD CE ⊂平面DFEC , 故面//PHQ 面EFDC，又因为PQ ⊂平面PHQ ，故//PQ 面FECD .即证.（2）连接AE ，AC ，作DM AB ⊥交AB 于M 点，由（1）可知CE ⊥平面ABCD ，又因为DF //CE ，故可得DF ⊥平面ABCD ，则,DF DM DF DC ⊥⊥；又因为AB //CD ，DM AB ⊥，故可得DM DC ⊥ 即DM ，DC ，DF 两两垂直，则分别以DM ，DC ，DF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则22225221DM AD AM -=-=(0,0,0)D ，(0,0,2)F ，(0,2,2)E ，21,2,0)A -，212P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)C设面AEF 的法向量为(),,m x y z =，则FE (0,2,0)=，AF (21,2,2)=，则00m FE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩2021220y x y z =⎧⎪⇒⎨++=⎪⎩，可取m (2,0,21)=，设平面PDC 的法向量为n (,,)x y z =，则DC (0,2,0)=，DP 212⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩202130y x y z =⎧⇒++=，可取n (2,0,21)=-，可知平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为222211722125n m cos n mθ⋅⨯-===+. 19.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人，所以办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表如下：办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表结合列联表可算得22300(456030165)1004.762 3.841752252109021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.（2）根据分层抽样可知时间在[)8,10可选9人，时间在[)10,12可以选3名，故0,1,2,3ξ=，则3931221(0)55C P C ξ===，219331227(1)55C C P C ξ===， 129331227(2)220C C P C ξ===，03933121(3)220C C P C ξ===，可知分布列为可知21272713()012355552202204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，∴c e a ==，∴c =，32+=+c a∴2a =，c =1222=-=c a b∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的性质可得：12x x =，12y y =-， ∵当直线AB 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆经过坐标原点，∴•0OA OB =，即12120x x y y +=，也就是22110x y -=，又∵点A 在椭圆C 上， ∴221114x y +=，∵以AB 为直径的圆经过坐标原点，且AB 平行于y 轴，∴11x y =，∴221114x x +=，解得：1x =此时点O 到直线AB的距离115d x ==②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立有2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222148440k x kmx m +++-= ∴122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+，同理：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得222222440y my m k y k -++-=，即()222241240k y my m k +-+-=，∴22122441m k y y k -=+ ∵AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA OB ⊥，∴12120OA OB x x y y =+=∴2222244401441m m k k k --+=++∴()222444m m k -=--∴22445k m +=∴点O 到直线:AB y kx m =+的距离25d ====综上所述，点O 到直线AB21.【详解】（1）函数2()ln 3f x x ax x =+-的定义域为(0,)+∞，1()23f x ax x '=+-，(1)1230f a '=+-=，1a =，可知2()ln 3f x x x x =+-，21231()230x x f x x x x -+'=+-==，解得11x =，212x =，可知在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(1,)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，可知函数()f x 的极小值为(1)ln1132f =+-=-，极大值为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭.（2）()()()211221m x x f x f x x x -->可以变形为()()1212m mf x f x x x ->-，可得()()1212mmf x f x x x ->-，可知函数()mf x x -在[]1,10上单调递减2()()ln 3m mh x f x x x x x x =-=+--，21()230mh x x x x '=+-+≤，可得3223m x x x ≤-+-，设32()23F x x x x =-+-，2211()6616022F x x x x ⎛⎫'=-+-=--+< ⎪⎝⎭，可知函数()F x 在[]1,10单调递减，32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，可知1710m ≤-，可知参数m 的取值范围为(],1710-∞-.选考题（共10分，请在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22.【详解】（1）1C：sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可整理为cos sin ρθθ+=利用公式可得其直角坐标方程为：x +=2C：x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩的普通方程为22162x y +=，利用公式可得其极坐标方程为22612sin ρθ=+（2）由（1）可得1C的直角坐标方程为x +=故容易得M ，(0,1)N ，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为6πθ=，把6πθ=代入sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，1,6P π⎛⎫⎪⎝⎭. 把6πθ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，2,6Q π⎛⎫⎪⎝⎭. ∴21||1PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1.23.试题解析：（1）去绝对值符号，可得()1,0,21,01,1,1,xf x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩所以()max 1f x =，所以11m -≤，解得02m ≤≤，所以实数m 的取值范围为[]0,2．（2）由（1）知，2M =，所以222x y +=．因为0,0x y >>，所以要证2x y xy +≥，只需证()2224x y x y +≥，即证()2210xy xy --≤，即证()()2110xy xy +-≤. 因为210xy +>，所以只需证1xy ≤，因为2222xy x y ≤+=，∴1xy ≤成立，所以2x y xy +≥ 解法二：x 2+y 2=2，x 、y ∈R +，x +y ≥2xy 02πθ≤≤设：2022x sin y cos θπθθ⎧=⎪⎛⎫≤≤⎨ ⎪⎝⎭=⎪⎩证明：x +y -2xy =2sin 2cos 22sin cos θθθθ+-⋅⋅ =()2sin cos 4sin cos θθθθ+-⋅ 令sin cos t θθ+=212sin cos t θθ∴+=，02πθ≤≤ ∴12t ≤≤22sin cos 1t θθ=-∴原式=()2221t t --=2222t t -++=22222t t ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭=当2t =时，min 22220y =-⨯++= ∴ 2x y xy +≥。

四川省成都外国语学校高三数学12月月考试题理(含解析)

数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、概率、二项式定理、充分必要条件、复数、程序框图等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 第Ｉ卷【题文】一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上）【题文】1．已知i 是虚数单位，则i i31+= （）A ．i 4143-B ．i 4143+C ．i 2123+D ．i 2123- 【知识点】复数的代数运算L4 【答案】【解析】B114i i ===+，所以选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟练掌握复数的除法运算是本题解题的关键.【题文】2．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2 【答案】【解析】A解析：若x+y=1，当x,y 异号或有一个为0时，显然有14xy ≤，当x,y 同号时，则x,y 只能都为正数，此时1=x+y≥,得14xy ≤，所以对于满足x+y=1的任意实数x,y 都有14xy ≤，则充分性成立，若14xy ≤，不妨取x=4,y=0.001,此时x+y=1不成立，所以必要性不成立，综上可知选A.【思路点拨】一般判断充分、必要条件时，可先分清命题的条件与结论，若从条件能推出结论，则充分性满足，若从结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3. 若71 () xax-的展开式中x项的系数为280，则a= （）A．2- B．2 C．12-D．12【知识点】二项式定理J3【答案】【解析】C解析：因为77217711r rr r r rrT C x C xax a--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由7-2r=1，得r=3,所以3371280Ca⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得a=12-,则选C.【思路点拨】一般遇到展开式的项或项的系数问题，通常利用展开式的通项公式解答.【题文】4．已知函数2()2cosf x x x=+，若'()f x是()f x的导函数，则函数'()f x在原点附近的图象大致是（）A B C D【知识点】导数的计算，函数的图像B8 B11【答案】【解析】A解析：因为()()'22sin,''22cos0f x x x f x x=-=-≥，所以函数'()f x在R上单调递增，则选A.【思路点拨】一般判断函数的图像，可结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊位置的函数值或函数值的符号等进行判断.【题文】5．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为A．2 B．21C．42D．22【知识点】三视图椭圆的性质G2 H5【答案】【解析】D解析：设正视图中正方形的边长为2b，由三视图可知，俯视图中的矩形一边长为2b，另一边长为圆锥底面直径，即为正视图中的对角线长，计算得，所以2,,eca aa======,则选D.【思路点拨】由三视图解答几何问题，注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系，求椭圆的离心率，抓住其定义寻求a,b,c关系即可解答.【题文】6．在ABC∆中，内角CBA,,的对边分别为,,,cba且0222=-++abccb，则cbCa--︒)30sin(的值为（）A．21B．23C．21-D．23-【知识点】解三角形C8【答案】【解析】A解析：由0222=-++abccb得2221cos22b c aAbc+-==-,又A为三角形内角，所以A=120°,则()()113cos sin222sin sin30sin(30)1 sin sin sin60sin2C C C CA Ca Cb c B C C C⎫⎫-⎪⎪︒-︒-⎝⎭==== --︒--，所以选A.【思路点拨】在解三角形中，若遇到边角混合条件，通常先利用正弦定理或余弦定理转化为单一的角的关系或单一的边的关系，再进行解答.（第5直观图俯视图侧视图正视图【题文】7．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S10:S5＝1:2，则=-++51015105S S S S S ( )A. 27B. 29-C. 29D. 27-【知识点】等比数列D3 【答案】【解析】B解析：因为S10:S5＝1:2，所以105105511,22S S S S S =-=-,由等比数列的性质得5515511,,22S S S S --成等比数列，所以2551551142S S S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,得15534S S =,所以55551015105513924122S S S S S S S S S ++++==---,则选B.【思路点拨】在等比数列中，若遇到等距的和时，可考虑利用等比数列的性质232,,,,n n n n n S S S S S --K 成等比数列进行解答..【题文】8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是 ( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0 【知识点】简单的线性规划E5【答案】【解析】C解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，表示的平面区域如图,因为64221444x y x y y x x x +--+--==+---，而24y x --为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点(-3,-4)与点(4，2)连线的斜率最大为426347--=--，所以214y x -+-的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1，则选C.【思路点拨】一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答.【题文】9．已知椭圆C:1222=+y x ，点521,,,M M M Λ为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P Λ，则直线1021,,,AP AP AP Λ这10条直线的斜率乘积为（）A ．161-B ．321-C ．641D ．10241-【知识点】椭圆的标准方程椭圆的性质H5 【答案】【解析】B解析：由椭圆的性质可得1121012AP BP AP BP k k k k •=•=-，由椭圆的对称性可得110101,BP AP BP AP k k k k ==,同理可得3856749212AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k •=•=•=•=-,则直线1021,,,AP AP AP Λ这10条直线的斜率乘积为511232⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以选B. .【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.【题文】10.已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，I 为PC 上一点，满足4||||=-PB PA ，10||=-PB PA ，||||PB PC PB PA PCPA •=•，且)0)(||||(>++=λλAP AP AC ACBA BI ，则||BA BABI •的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5 【知识点】向量的数量积F3 【答案】【解析】B解析：，而||||PB PC PB PA PCPA •=•，，，又)0)(||||(>++=λλAP AP AC AC BA BI ，即()||||AC APAI AC AP λ=+u u u r u u u ru u r u u ur u u u r ，所以I 在∠BAP 的角平分线上，由此得I 是△ABP 的内心，过I 作IH ⊥AB 于H ，I 为圆心，IH 为半径，作△PAB 的内切圆，如图，分别切PA,PB 于E 、F ，4||||=-PB PA ，10||=-PB PA ，()()11322BH BF PB AB PA AB PA PB ⎡⎤==+-=--=⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，在直角三角形BIH 中，cos BHIBH BI∠=u u u ru u r，所以cos 3||BI BA BI IBH BH BA •=∠==u u r u u u ru ur u u u r u u u r ,所以选B.【思路点拨】理解向量a ar r 是与向量a r共线同向的单位向量即可确定I 的位置，再利用向量的减法及数量积计算公式进行转化求解. 第Ⅱ卷【题文】二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卷上）【题文】11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为．【知识点】程序框图L1【答案】【解析】13760解析：第一次执行循环体得s=1,i=2; 第二次执行循环体得s=32,i=3; 第三次执行循环体得s=3111236+=,i=4; 第四次执行循环体得s=111256412+=,i=5; 第五次执行循环体得s=25113712560+=,i=6; 第六次执行循环体得s=1371147279260660604+==>此时不满足判断框跳出循环，所以输出的值为14760..【思路点拨】一般遇到循环结构的程序框图问题，当运行次数较少时就能达到目的，可依次执行循环体，直到跳出循环，若运行次数较多时，可结合数列知识进行解答. .【题文】12．若非零向量,，满足||||=+，)(b a a λ+⊥，则=λ ．【知识点】向量的模，向量垂直的充要条件F3 【答案】【解析】2（第11题）解析：由||||=+得22222,2a a b b b a a b +•+==-•r r r r r r r r，由)(b a a λ+⊥得()220a ab a a b a b a b λλλ•+=+•=-•+•=r r r r r r r r r r ，解得2λ=.【思路点拨】由向量的模的关系寻求向量的关系，通常利用性质：向量的模的平方等于向量的平方进行转化.【题文】13．已知函数)32cos(2sin )(π++=x x a x f 的最大值为1，则=a ．【知识点】三角函数的性质C3 【答案】【解析】0解析：因为1()sin 2cos(2)a sin 2cos 2322f x a x x x x π⎛=++=-+ ⎝⎭的最大值为1，所以2114a ⎛+= ⎝⎭，解得a=0.【思路点拨】研究三角函数的性质，一般先化成一个角的三角函数再进行解答，本意注意应用asinx+bcosx 的最值的结论进行作答.【题文】14．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有条。

高中数学 2021-2022学年四川省成都高三(上)月考数学试卷(理科)(12月份)

2021-2022学年四川省成都四十九中高三（上）月考数学试卷（理科）（12月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．∃x 0∈R ，|x |+2>0B ．∃x 0∈R ，|x |+2≤0C ．∃x 0∈R ，|x |+2<0D ．∀x ∈R ，|x |+2≤01．（5分）设命题p ：∀x ∈R ，|x |+2>0，则￢p 为（）A ．B ．C ．D ．2．（5分）将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A ．2B ．3C ．4D ．93．（5分）已知椭圆x 216+y 2k 2=1(k >0)的左焦点为F 1(−7，0)，则k =（）√A ．1B ．2C ．2D ．224．（5分）一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O 'A 'B 'C '，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为（）√√A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）“m >1且m ≠2”是“方程x22−m−y2m −1=1表示双曲线”的（）A ．y =-1B ．y =1C ．y =-2D ．y =26．（5分）若抛物线x 2=2py 的焦点与椭圆x 25+y 29=1的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m7．（5分）设α，β是两个不同的平面，l ,m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，（）A ．3+1B ．2+1C ．3D ．28．（5分）已知椭圆x 24+y 22=1的两个焦点是F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|-|PF 2|=2，则△PF 1F 2的面积是（）√√√√A ．64B ．32C ．104D ．1559．（5分）已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长均相等，则BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的余弦值为（）√√√√A ．3+2B ．3+2C ．3+1D ．2+110．（5分）过双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ．若点P 的横坐标为2a ,则C的离心率为（）√√√√√A ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D -ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面PAC 且三棱锥D -ABC 的体积为8311．（5分）在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）C ．AD ⊥平面PBC 且三棱锥D -ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面PAC 且三棱锥D -ABC 的体积为163A ．[−32，−12]B ．[−32，−34]C ．[−12，−14]D ．[−22，−24]12．（5分）椭圆C ：x 22+y 2=1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA 2斜率的取值范围是（）√√√√√13．（5分）抛物线y =−14x 2的焦点坐标是．14．（5分）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA =2，E 为AB 的中点，则四面体P -BCE 的体积为．15．（5分）设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点，PA ⊥l ,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为−2，那么|PF |=．√16．（5分）如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD ：BC ：AB =2：3：4，E 、F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF ⊥BC ，②BD ⊥FC③平面DBF ⊥平面BFC ，④平面DCF ⊥平面BFC ．在翻折过程中，可能成立的结论是．（填写结论序号）17．（10分）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点．（1）求异面直线A 1D 与EF 所成的角的大小；（2）求证：EF ⊥BD 1．。

高三数学12月月考(理科)

成都市37中高2022级2022年12月月考数学试题〔理科〕1、全集}2cos |{},021|{,x y x B x x x A R U ==≥-+==,那么=B A C U )( (A) (－1,1) (B) [－1,1] 〔C 〕]2,1(- (D)φ2、i 为虚数单位,复数ii z -+=1)1(2等于〔〕〔A 〕i --1 〔B 〕i +-1 〔C 〕i -1 〔D 〕i +13、设⎩⎨⎧>≤+=)0()0(2)(x x e bx x f x ,假设)(lim 0x f x →存在,那么常数b 的值是〔〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕e4、函数x x y cos -=的局部图像是〔〕5、在以下的四个式子中,〔1〕||||||||||b a b a b a +≤-≤-,〔2〕||||||b a b a =⋅,〔3〕0=⋅b a 00==⇔b a 或,〔4〕00022==⇔=+b a b a 且,不管b a ,是实数,b a ,为向量都成立的是〔〕〔A 〕⑴ ⑵ 〔B 〕⑵ ⑶ 〔C 〕⑴ ⑷ 〔D 〕⑵ ⑷6、在ABC ∆中,=--=)tan 1)(tan 1(,450B A C 则〔〕〔A 〕1 〔B 〕－1 〔C 〕2 〔D 〕－27、函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是〔〕〔A 〕0=ab 〔B 〕0=+b a 〔C 〕b a = 〔D 〕022=+b a8、关于x 的方程,012)lg 1(4=+++x x m 有解,那么m 的取值范围〔〕〔A 〕10>m 〔B 〕1000<<m 〔C 〕100<<m 〔D 〕3100-≤<m9、函数x x x f cos 21)42(cos )(2--=π 〔〕〔A 〕周期为π且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k 递增〔B 〕周期为π且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++452,42ππππk k 递减〔C 〕周期为2π且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k 递增〔D 〕周期为2π且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++452,42ππππk k 递增 10、假设)(x f 是R 上的减函数,且)(x f 的图像过点A 〔0,4〕和点B 〔3,－2〕,那么不等式3|1)(|<-+a x f 的解集为〔－1,2〕时,a 的值为〔〕〔A 〕0 〔B 〕－1 〔C 〕1 〔D 〕－211、b a R b a ≠∈+且,,数列b x x x a n ,,,,,21 成等差数列,b y y y a n ,,,,,21 成等比数列,那么以下不等式〔1〕2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+>∑=b a ab x n n k k ,〔2〕211b a x n n k k +>∑= ,〔3〕ab y y y n n > 21, 〔4〕22122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+<b a b a y y y n n ,其中成立的有：〔A 〕⑴ ⑶ 〔B 〕⑴ ⑷ 〔C 〕⑵ ⑶ 〔D 〕 ⑵ ⑷12、从数字1,2,3,4,5中随即抽出3个数字〔允许重复〕,组成一个三位整数,其各位数字之和等于9的概率为〔〕〔A 〕12513 〔B 〕12516 〔C 〕12518 〔D 〕12519 二、填空题 13、8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数为14、在平行四边形ABCD 中,,3,,,NC AN b AD a AB === M 为BC 中点,那么MN (用b a ,表示).15、[]x 表示不超过x 的最大整数,〔如[][]65.5,55.5-=-=〕,那么不等式[][]01522≤--x x 的解集为 16、以下命题：①把)12(+=x f y 的图像向右平移一个单位,再关于y 轴对称后得函数)12(--=x f y ②假设2πϕ=,那么函数)cos(ϕ+=x y 是R 上的奇函数； ③xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212cos 211)(的最大值为23；④两个非零向量)2,6(),,2(x x b x a =-=,那么b a ⊥的充要条件为三、解做题17、向量)1,32(),cos ,(cos ),cos ,sin 3(===p x x n x x m（1）假设p m //,求x x cos sin 的值（2）设ABC ∆的三边a,b,c 满足ac b =2,且边b 所对应的角θ的取值集合为M,当M x ∈时,求n m x f ⋅=)(的值域.18、某学校有办公室、教务处、教科处、德育处、后勤处、招生就业处6个处室.各处室主任借助校园网开展有关工作,每个主任上网的概率都是0.5〔相互独立〕.（1）求至少三个主任同时上网的概率；（2）至少几个主任同时上网的概率小于0.319、数列{}n a 中,*)(2,2,81241N n a a a a a nn n ∈-===++且满足（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n S a a a S 求，+++= 21；（3）设,*),()12(121n n n n b b b T N n a n b +++=∈-= 是否存在最大的整数m,使得对任意的*N n ∈,均有32m T n >成立,假设存在,求出m 的值,假设不存在说明理由. 20、经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y 〔千辆/小时〕与汽车的平均速度v〔千米/小时〕之间的函数关系为：)0(160039202>++=v v v v y （1）在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大,最大车流量是多少？〔精确到0.1千辆/小时〕（2）假设要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,那么汽车的平均速度应在什么范围内？21、把函数2ln -=x y 的图像按向量)2,1(-=a 平移后得到函数)(x f y =的图像.（1）假设22)(,0+>>x x x f x 证明（2）假设不等式32)(21222--+≤bm m x f x 时,]1,1[]1,1[-∈-∈b x 和都成立,求实数m 的取值范围.22、函数)(x f 的定义在R 上的恒不为零的函数,且对于任意的R y x ∈,都满足)()()(y x f y f x f +=（1）求)0(f 的值,并证实对任意的R x ∈都有0)(>x f ；（2）设当)0()(0f x f x ><时，都有,证实)(x f 在R 上是减函数；〔3〕设n n S N n n f a a *),(),(,211∈==,表示数列{}n a 的前n 项和,在〔2〕的条件下,求集合{})(,)(),(),(lim 21n n n S f S f S f S f ∞→ 中的最大元素M 与最小的元素m 的和.欢送访问 :// k12zy。

四川省成都实验高级中学2018届高三上学期12月月考数学理试题Word版含解析

成都实验高级中学2015级高三上学期12月月考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|316,}x A x x N =<∈，2{|540}B x x x =-+<，则()R A C B 的真子集个数为（ B ）A ．1B ．3C ．4D ．7 2.设(1)()2i x yi ++=，其中i 为虚数单位，x ，y 是实数，则|2|x yi +=（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．5 3. 已知，，，则（ A ）A.B.C. D.【解析】由题意得，，，∴。

选A 。

4.对于实数0a >，“1a x<”是“1x a>”的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如图是某高三学生七次模拟考试的物理成绩的茎叶图，则该学生物理成绩的平均数与中位数分别为( B)A.87与85B.86与85C.87与84D.86与846.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（B）A．1007 B．3025 C．2017D．30247.已知M是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△MBC，△MCA与△MAB的面积分别为x，y，z，则1x＋y＋x＋yz的最小值是( B)A.2B. 3C. 5D. 48．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（Ｄ）A．3πB．4πC．5πD．6π9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( B)A.8＋2 2B.11＋2 2C.14＋2 2D.1510．函数的部分图象如图所示，则函数f （x ）的解析式为（ B ）A ．B ．C ．D ．11.已知直线1:l y x a =+分别与直线2:2(1)l y x =+ 及曲线:ln C y x x =+交于A ，B 两点，则A ，B 两点间距离的最小值为DA.355B.3C.655D.3212.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()y f x '=的导数，若方程()=0f x ''有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

四川省双流中学高三数学12月月考试题理

双流中学2015-2016学年度12月月考测试题数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第5页。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

3．考试结束后，只将答题卡交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B =+ 24S R π=如果事件A 、B 独立，那么：其中R 表示球的半径()()()P AB P A P B = 球的体积公式n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率 343V R π=()(1)(0,1,2,,)k kn k n P X k C p p k n -==-= 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()(){}310N|A x x x =∈+-≤，{}44|B x x =-<<，则A B =（）A ．{}|31x x -≤≤B ．{}{}|43|14x x x x -<≤-≤< C ．{}1,2,3 D ．{}|3,2,1,0,1x ---2．“a b >且c d >”是“a c b d +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，为一个半圆柱和一个半圆锥拼接而成的组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A ．83πB ．43πC ．23πD ．3π 4．已知cos ,R k k =∈α，,2⎛⎫∈⎪⎝⎭παπ，则()sin +=πα（） A ．B C ．D ．k -5．已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若,m n n ⊥⊥α，则//m αB ．若,//m ⊥αβα，则m ⊥β侧视图正视图C ．若//,//,//m n m n αβ，则//αβD ．若,//m m ⊥βα，则⊥αβ6．设127a -=，1317b -⎛⎫=⎪⎝⎭，71log 2c =，则下列关系中正确的是（） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<7．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是（）A ．4B ．8C ．12D ．168．已知AC 、CE 为正六边形ABCDEF 的两条对角线，点,M N 分别在线段AC 、CE 上，且使得,AM r AC CN rCE ==，如果,,B M N 三点共线，则r 的值为（）AB ．3C ．D ．139．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N （点,M N 均在第一象限），当直线1MF 与直线ON 平行时，双曲线的离心率取值为0e ，则0e 所在区间为（）A．( B．C．)2 D ．()2,310．已知[],0,1a b ∈，则()()(),1111a bS a b a b b a=++--++的最小值为（） A ．1112 B ．1 C．92- D．132- 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若复数z 满足()211i z -=（i 为虚数单位），则复数z = ▲ ． 12．()71x -展开式的第6项系数的值为 ▲ ．13．若函数()log 1a y x =+（0a >且1a ≠）的图象经过不等式组122020x x y x y ≥-⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，则a 的取值范围是 ▲ ．14．一组数据共有7个数，其中10,2,5,2,4,2，还有一个数m 不确定，但知道数m 取自集合MY 输出i{}=|2020,Z m m m -≤≤∈，则这组数的平均数、中位数、众数依次能构成等差数列的概率为 ▲ ． 15．若点A 和点B 分别是函数()f x 和()g x 的图象上任意一点，定义两点间的距离AB 的最小值为两函数的“亲密度”，则函数()(),211,1xe xf x e f x x ⎧-≤<-⎪=⎨⋅-≥-⎪⎩与()ln g x x =的“亲密度”为 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 16．（本小题满分12分）已知各项均不为零的数列{}n a 满足：()2*2+1n n n a a a n N +=∈，且12a =,478a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令()()*12n n na b n N n n =∈+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本小题满分12分）一个袋子装有大小和形状完全相同的编号为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球中恰好有2个球编号相同的概率；（Ⅱ）设X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分12分）已知向量()()22sin ,1sin ,2cos x x x x =+=-m n ，设()f x =⋅m n ．（Ⅰ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最值；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的的边分别为,,a b c .已知()2f B =，3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.19．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为3的菱形，60DAB ∠=︒，DE ⊥平面ABCD ，//,3,AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒．E（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角F BE C --的平面角的余弦值．20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．21．（本小题满分14分）设函数()(),R bf x ax a b x=+∈，若()f x 在()()1,1f 处的切线斜率为1．（Ⅰ）用a 表示b ；（Ⅱ）设()()ln g x x f x =-，若()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）对任意的0,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πθ，证明：()()1sin 1sin g g -≤+θθ.参考答案第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．C ；2．A ；3．B ；4．A ；5．D ；6．B ；7．D ；8．C ；9．A ；10．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．12i ；12．21-；13．10,2⎛⎤⎥⎝⎦；14．341；15三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．解析：（Ⅰ）由题，()2*2+1n n n a a a n N +=∈，所以，数列{}n a 是等比数列，…2分设公比为q ，又12a =,364711882a a a q a q q =⇒=⇒=， ………………………4分所以，()1*12n n n a a qn N -==∈ ………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），2nn a =，()()1111211n n na b n n n n n n ===-+++，………………9分数列{}n b 的前n 项和12n n S a a a =+++1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++．……………………………………………12分 17．解析：（Ⅰ）设“取出的3个球中恰好有2个球编号相同”为事件A ， ………2分则()114739281843C C P A C === ………………………………………………………5分（Ⅱ）X 的取值为：2,3,4,5， …………………………………………………………6分()12212222394128421C C C C P X C +====，()122124243916438421C C C C P X C +====， ()12212626393634847C C C C P X C +====，()1218392815843C C P X C ====. ……………10分所以，X 的分布列为：()14234521217321E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………………………………12分18．解析：（Ⅰ）由题，()()221sin cos f x x x x =⋅=-+m n ， …………2分()21cos 22cos 2222cos 212+xf x x x x x x +==⨯+ 2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π ………………………………………………………………4分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ，所以，当262=x +ππ，即6x =π时，()f x 的最大值为3；当7266=x +ππ，即2x =π时，()f x 的最小值为当1-.…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），()122sin 212sin 2662=f B B B ⎛⎫⎛⎫=⇒++=⇒+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ， ………6分 ()130,2666B B ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭，ππππ，所以52663==B B +⇒πππ， …………………8分 sin 2sin 2C A c a =⇒=，3b =，2222cos b a c ac B =+-， …………………10分a c ⇒==………………………………………………………………………12分19．证明：（Ⅰ）已知，四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC DE ⊥，BD DE D =，所以AC ⊥平面BDE ；……………5分（Ⅱ）BE 与平面ABCD 所成角为60︒，DE ⊥平面ABCD ，所以，60EBD ∠=︒．四边形ABCD 是边长为3的菱形，所以，3BD =，ED =AF .如图，以,AC BD 的交点O 建立如图所示的空间直角坐标系.330,,0,,,,0,22B A C F E ⎫⎛⎫⎛⎫⎛-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭⎝. (333333=,,0,=,,3,=0,2222BC BF BE ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝设平面FBE 的法向量为()1111,,x y z =n ：111111111111300322030x z BE x y BF y y ⎧⎧⎧=⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=-+=⎩⎩n n ，令13z =，()1=n ；设平面BEC 的法向量为()2222,,x y z =n ：22222222223002030BE y x y BC y y ⎧⎧⎧⋅==-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅==⎪⎪⎪⎩⎩-+=⎩n n ，令21z =，()1=n ； 121212cos ,⋅===n n n n n n ……………………………10分 Oz二面角F BE C --的平面角的余弦值为. ……………………………12分 20．解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ，由()()2222222,3PFx y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =. ………………………4分（Ⅱ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+，由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩， …………………………………………………8分（Ⅲ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36my x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m -+且0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x =，则m ≠MD 的斜率2222402403101808040MDmm mk m m m ⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040NDmm mk m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D . ……………………………………………13分21．解析：（Ⅰ）()2bf x a x '=-，由题，()111f a b b a '=-=⇒=- ………3分（Ⅱ）()1ln ag x x ax x -⎛⎫=-+⎪⎝⎭若()1g x ≤-对定义域内的x 恒成立，则()max 1g x ≤-. （ⅰ）首先一定有()1111g a a a =--+≤-⇒≥，当1a ≥时，()()()()22111110a x x ax a x a g x x x⎡⎤⎛⎫---+- ⎪⎢⎥-+--⎝⎭⎣⎦'===，解得11,10x x a==-+≤，()()()()0,1,0;1,,0;x g x x g x ''∈>∈+∞< 所以()g x 在()0,1上递增；在()1,+∞上递减，所以()()max 1121g x g a ==-≤-成立. 综上，1a ≥. ……………………………………………8分（ⅱ）由（ⅰ）知，()1g x ≤-恒成立，实数a 的取值范围为1a ≥.令[)sin 0,1t =∈θ，考虑函数()()()()()()()1111=ln 11ln 1111a a P t g t g t t a t t a t t t --⎡⎤=+--+-+-----⎢⎥+-⎣⎦()()()()()()2222211112112=211111111a a P t a a a t t t t t t t ⎡⎤--'=--++-+-+⎢⎥+--+-+-⎢⎥⎣⎦，下面只需证()0P t '≥，即()()()222211210111a a t t t ⎡⎤-+-+≥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦ 即()()()22221110111t a a t t t +-+-≥-+-，而2111t ≥-，只需证()()()222111011t a a t t +-+-≥+-，即证()()2224211130t t t t t +≥+-⇐-≤()2230t t ⇐-≤显然成立.所以()P t 在[)0,1上递增，所以()()()min 000P t P P t ==⇒≥.得()()11g t g t +≥-成立，则对任意的0,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πθ，()()1sin 1sin g g -≤+θθ成立. ……14分。

《精编》四川省成都高新区高三数学12月统一检测试题文新人教A版.doc

高2021届成都高新区12月学月统一检测数学〔文〕〔考试时间：月日总分：150分〕第一卷〔选择题，共 50 分〕一．选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分。

在每题给出的四个选项中。

只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、集合2{|20},{|11}A x x x B x x =--<=-<<，那么〔〕A .A ⊂≠⊂≠∩B=∅ 2、复数2(,)12m iz m R i i-=∈+为虚数单位所对应复平面内的点在第二象限，那么〔〕 A.4m < B. 0m < C.14m -<< D.1m <-3、等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，那么n a =〔〕A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭ D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭4、x 是实数，那么以下不等式恒成立的是〔〕 A.x x 442>+ B.1112<+x C.2lg(1)lg(2)x x +> D.x x >+125、设l 、m 、n 表示三条直线，α、β、r 表示三个平面，那么下面命题中不成立的是〔〕A.假设l ⊥α，m ⊥α，那么l ∥mB.假设m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，那么m ⊥nC.假设m ⊂α，n ⊄α，m∥n，那么n∥α D ．假设α⊥r ，β⊥r ，那么α∥β6、143x y x y -≤+≤≤-≤且2，那么2222z x y =+的最小值〔〕427、如图,非零向量OA =a ,OB =b ,且BC OA ⊥，C 为垂足，设向量OC λ=a,那么λ的值为〔〕A.2||a b aB.||||a b a bC.2||a bb D.||||a b a b8、在数列{}n a 中，111,.n n a a a n +==+利用如右上图所示的程序框图计算数列的第10项，那么判断语句应填( )A .n>10? B.10?n ≤ C.n<9? D.9?n ≤ 9、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转4π后，得向量OQ 那么点Q 的坐标是〔〕A.(-B.(-C.(D.(-10、方程2920ax x -+=和2620bx x -+=分别存在两个不等实根，其中这四个根组成一个公比为2的等比数列，那么a b +=( )A.3B.4 C 二．填空题：〔本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在题中横线上〕11、在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边且2a sinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 那么A =______________.12、函数0(43)y x =+-的定义域为_______________.13、函数()'()x f y f x =的导数为且2'()s n )3(i f f x x x π=+，那么'()3f π=______14、现有以下命题：①设,a b 为正实数，假设221a b -=，那么1a b -<；②设a ，b 均为单位向量，假设2||1[03a b πθ+>∈则，）； ③数列2{(4)()}3nn n +中的最大项是第4项； ④设函数lg |1|1()01x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，，,那么关于2()+2()0x f x f x =的方程有4个解。

四川高三12月月考理科数学试题

新津中学高三12月月考试题数学(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( )． A ．{0}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}2. 复数z 满足(1＋i)2·z ＝－1＋i(i 为虚数单位)．则在复平面内，复数z 对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 函数y ＝16－4x的值域是( )．A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4) 4. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →5. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )．A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④ 6. 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 100等于 ( )． A ．1B ．－1C ．2D ．07. 已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )． A ．3 3B ．2 3C. 1D ．38.若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于( )． A.13B.23C.23 D ．19. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心为O ，左焦点为F ，A 是椭圆上的一点.OA →·AF →＝0且OA →·OF →＝12OF →2，则该椭圆的离心率是 ( )．A.10－22B.10＋22C ．3－ 5D ．3＋ 510. 已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是 ( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．11. (x －2)6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)12. 若点P (1，1)为圆C ：(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________.13．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.14. 已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________． 15. 设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．三.解答题：共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .17.正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝()11nn a +，求数列{b n }的前n 项和T n .18. 如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．19.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．21. 已知函数ln ()a x b f x x+=(其中20a a ≤≠且)，函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若函数()f x 与函数2()2g x a x x=+--的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.12月月考数学(理科)答案1-6 BACAD 7-10 BDCAC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．11. －160 12. 2x －y －1＝0. 13．－3π4 14. (1，3] 15. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 三.解答题：共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解 (1)由正弦定理，则2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154，因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154. 17.正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n ，b n ＝1n ＋1a n ，得b n ＝12nn ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1.18. 如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．解 (1)A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i ＝1，2. 用频率估计相应的概率可得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1；P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P (B 2)＞P (B 1)，∴乙应选择L 2.(2)A ，B 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(1)知P (A )＝0.6，P (B )＝0.9，又由题意知，A ，B 独立， ∴P (X ＝0)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.4×0.1＝0.04，P (X ＝1)＝P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝0.6×0.9＝0.54.∴X 的分布列为∴E (X )19.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． (1)证明因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC . 所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 又A 1C ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)解如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0，0，23)，D (0，2，0)，M (0，1，3)，B (3，0，0)，E (2，2，0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，且n ·BE →＝0. 又A 1B →＝(3，0，－23)，BE →＝(－1，2，0)，所以⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3.所以n ＝(2，1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. 因为CM →＝(0，1，3)，所以sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝|n ·CM ，→||n ||CM ，→|＝48×4＝22.所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)解线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ，0，0)，其中p ∈[0，3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，且m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0，2，－23)，DP →＝(p ，－2，0)，所以⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p3.所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0，3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．(1)解由题意知，b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②法一联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20.因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋43y 0－4282y 0－32＝8－4y 20＋43y 0－4282y 0－32＝32y 20－96y 0＋7282y 0－32＝82y 0－3282y 0－32＝1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．法二设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋3y －422＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上． 21. 已知函数ln ()a x b f x x+=(其中20a a ≤≠且)，函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)若函数()f x 与函数2()2g x a x x=+--的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围. 解：(1)ln ()a x b f x x +=，12ln (1),'()|x a b a xf b f x a b x=--∴===- ()(1)y b a b x ∴-=--，切线过点(3,0)，2b a ∴=22ln (ln 1)'()a b a x a x f x x x --+==-① 当(0,2]a ∈时，1(0,)x e ∈单调递增，1(,)x e ∈+∞单调递减 ② 当(,0)a ∈-∞时，1(0,)x e ∈单调递减，1(,)x e∈+∞单调递增 (2)等价方程ln 222a x aa x xx+=+--在(0,2]只有一个根即2(2)ln 220x a x a x a -++++=在(0,2]只有一个根令2()(2)ln 22h x x a x a x a =-++++，等价函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点(2)(1)'()x a x h x x--∴=① 当0a <时，()h x 在(0,1)x ∈递减，(1,2]x ∈的递增当0x →时，()h x →+∞，要函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点(1)0h ∴=或(2)0h <，1a ∴=-或2ln 2a <-②当(0,2)a ∈时，()h x 在(0,)2a x ∈递增，(,1)2a x ∈的递减，(1,2]x ∈递增()(1)102ah h a >=+>，当0x →时，()h x →-∞，484()20h e e e ---=--< ()h x ∴在(0,)2a x ∈与x 轴只有唯一的交点③当2a =，()h x 在(0,2]x ∈的递增484()20,(2)2ln 20f e e e f ---=--<=+>()h x ∴在(0,2]x ∈与x 轴只有唯一的交点故a 的取值范围是1a ∴=-或2ln 2a <-或02a <≤.。