小专题(1)〓绝对值的应用
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
七年级上册数学绝对值及其应用
七年级上册数学绝对值及其应用一、什么是绝对值绝对值是一个数在不考虑其正负号的情况下的大小，通常用两个竖杠表示。
如：|5|=5，|-5|=5。
二、绝对值的性质1. 非负性质：对于任意实数x，|x|≥0。
2. 正、负性质：若x>0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、绝对值的应用1. 求两个数的距离：设实数a、b，它们的距离是|a-b|。
2. 求解绝对值不等式：若a是一个实数，m为正实数，则|x-a|<m的解集为(a-m,a+m)。
3. 求解带参数的绝对值不等式：若a是参数，m是正实数，则当-a<m<a时，|x-a|<m的解集为(x-m,x+m)。
四、解题技巧1. 注意绝对值的定义和性质，特别是非负性、正、负性和三角不等式。
2. 在解绝对值等式和不等式时，要分情况讨论，考虑绝对值内部的值大于或小于0。
3. 在解带绝对值的方程或不等式时，一般需要消去绝对值号并分情况讨论。
五、例题解析题干：解方程|3x+1|=7。
解法：对“|3x+1|=7”分情况讨论，当“|3x+1|>0”时，有“3x+1=7”或“3x+1=-7”。
解得x=2或x=-2。
当“|3x+1|=0”时，有“3x+1=0”，解得x=-1/3。
综上，原方程的解集为{x|-2,-1/3,2}。
六、小结绝对值是数学中重要的概念之一，常常在数学公式和题目中出现。
在应用中，我们要注意绝对值的性质和应用场景，善于分情况讨论求解，以提升自己的解题能力。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
七年级数学教案：讲解绝对值的应用场景
七年级数学教案：讲解绝对值的应用场景讲解绝对值的应用场景在七年级的数学学习中，绝对值是一个非常重要的概念。
绝对值在实际生活中也有许多应用场景，如在温度计、高度计、血糖仪等仪器上。
那么，在数学学习中，如何理解和应用绝对值呢？一、绝对值的定义绝对值是一个数与零点的距离。
例如，-3的绝对值是3，3的绝对值也是3。
绝对值的定义可以表示为：|a|=a （a≥0）|a|=-a （a<0）例如，-3的绝对值是|-3|=3，3的绝对值是|3|=3。
二、绝对值的运算法则1.绝对值的结合律：例如，|a+2|，如果a为正数，则a+2也为正数，|a+2|=a+2。
如果a为负数，则a+2为负数，|a+2|=-(a+2)。
2.绝对值的分配率：例如，|a-b|，如果a≥b，则a-b≥0，所以|a-b|=a-b。
如果a<b，则a-b<0，所以|a-b|=-(a-b)。
三、绝对值的应用场景1.正负号的变化问题例如，(-4)×(-3)，这个式子可以转化为|(-4)|×|(-3)|=4×3=12。
在计算过程中，需要分别求绝对值，并且实际结果与绝对值的乘积是相等的。
2.表示距离问题例如，两个数a、b之间的距离为|a-b|。
这个应用场景比较常见，在实际生活中我们需要计算两个物体之间的距离时，都需要用到绝对值。
3.表示误差问题例如，我们在测量物品时，会出现误差。
如果我们要表示误差的大小，就需要用到绝对值。
例如，如果我们要测量一个物品的质量，得到的结果是10kg，实际质量是9.7kg，那么误差就是|10-9.7|=0.3kg。
4.其他应用场景绝对值还有许多其他的应用场景，例如在解绝对值不等式时、在表示函数的模（或者幅值）时、在表示统计学中的离散度量时、在商品折扣中的运用等等，都用到了绝对值。
四、绝对值的练习题1.计算下列各式的值：（1）|-7-3| （2）|1-7|（3）|-2×(-5)| （4）|-(-3-2)|（5）|-(-9+3-4)| （6）|\frac{3}{4}-1|2.解下列不等式：（1）|2x-4|≥6（2）|x+2|< 3（3）|x-1|≥4（4）|x-3|≥|x+5|五、总结绝对值在数学中是一个非常重要的概念，在实际生活中也有很多应用场景。
绝对值性质及运用
绝对值性质及运用1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。
2、绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2；【例1】（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析：（1） 结合数轴画图分析。
绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个（2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。
（3） 选择D 。
（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？【例2】若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？ 分析：|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，xy =23- 【巩固】若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4(--的值小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b 2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非负数互为相反数时，两者均为0【例3】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？分析：（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x ，x-y ≤0；当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。
(完整版)绝对值的综合应用
绝对值的综合应用【学习目标】1．绝对值的代数意义和几何意义； 2．绝对值产考易错题型精选；3．绝对值化简求值及“零点分段发”解决绝对值方程；4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．（2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．(0)||0(0)(0)aa a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．要点五、绝对值的10个性质【易错题型精选】 题型一绝对值的概念题1.（2014•常德一模）若m 与n 互为相反数，则|m+n ﹣2|= ．3.满足|x|＝-x 的数有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个4.下列说法中，正确的是 A. 若 ，则B. 若 ，则C. 若 为有理数，则D. 若 为有理数，则5.如果 ，那么 ；如果 ，那么；绝对值大于 且小于 的整数有 ．6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= ． 若 ，则 的值为A.B.C.D.题型二数轴上的有理数1.已知在数轴上， 为原点， 、 两点的坐标分别为 、 ．利用下列 ，， 三点在数轴上的位置关系，判断哪一个选项中的A.B.C.D.2.有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A. B.C. D.4.已知数轴上有，两点，，之间的距离为，点与原点的距离为，则所有满足条件的点与原点的距离的和为．5.在数轴上，和是两个定点，坐标分别是和，点到点、的距离的和等于，那么点的坐标是．6.有理数，，在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：，，．（2．题型三取未知数范围题1.如果，那么的取值范围是A. B. C. D.2.若，则的取值范围是A. B. C. D.3.若，且，那么的值是A. 或B. 或C. 或D. 或4.如果，那么的值等于．5.如果对于某一特定范围内的任意允许值，的值恒为一常数，则此常数值为A. B. C. D.题型四1.若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（）A．0 B．1 C．2 D．－22.如果2x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.3.若a、b、c为有理数且1a b ca b c++=-，求abcabc的值.4.已知a、b、c都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.题型五解绝对值方程1.若|5x+6|=6x-5，则x= 。
绝对值的性质及其应用
绝对值的性质及其应用
**关于绝对值的性质**
1、定义：绝对值是一种算术量，用来表示一个数值的绝对值。
一个数的绝对值是该数和0之间的距离。
2、性质：对一个实数a，它的绝对值的性质有：
（1）不论a是正数还是负数，绝对值|a|≥0
（2）当a=0时，|a|=0
（3）|-a|= |a|
（4）|a|=a，若a≥0，
（5）|a+b| ≤ |a|+|b|（把三角形两边的绝对值相加）
（6）|ab| = |a|×|b|（把矩形的边长的绝对值相乘）
**绝对值的应用**
1、绝对值的应用很多，比如在计算机编程中，一般会用到绝对值，比如判断输入数据的有效性；
2、绝对值也用来计算两个数的差值，这也是其最常用的应用之一；
3、绝对值还能用来计算两个函数之间的误差，比如我们可以以绝对值的形式表示函数f(x)-g(x)在点x0处的误差。
4、此外，绝对值还可以用来表示一个向量的模，比如空间几何中的平行四边形的和等。
绝对值的应用
绝对值的应用绝对值是初中数学的一个重点内容，也是学习的一个难点。
数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
它的应用较为广泛，下面举例说明。
一、求一个数的绝对值例1. 求下列各数的绝对值。
（1）-18；（2）35；（3）0分析：一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。
解：（1）因为-18是负数，所以-18的绝对值等于18，即-=1818。
（2）因为35是正数，所以35的绝对值等于35，即3535=。
（3）0的绝对值等于0，即00=。
说明：①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。
②求一个数的绝对值，首先要对这个数作出判断：是正数还是负数或者0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。
必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。
当一个数是用字母表示的数，如+a，并没有+=a a，同样，对于-b，也没有-=b b。
二、已知一个数的绝对值，求原数例2. 一个数的绝对值等于5，这个数是__________。
分析：根据绝对值的定义，到原点的距离是5的数有两个，从原点向左侧移动5个单位，得数-5；从原点向右侧移动5个单位，得数+5。
解：+5与-5。
说明：已知一个数的绝对值求原数，解题思路是根据绝对值的定义，借助数轴的直观性，在原点的两侧分别求解。
必须注意，绝对值是正数的原数是双解。
这里极易漏掉负数解。
三、比较有理数的大小 例3. 比较大小：--2334。
分析：-23与-34都是负数，应根据两个负数比较大小的依据“两个负数，绝对值大的负数小”进行比较。
又由于这两个数的绝对值是异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分。
解：因为-==2323812-==3434912，而812912< 所以->-2334说明：两个负数比较大小的步骤是： ①先求绝对值； ②再比较绝对值；③最后比较负数的大小。
绝对值应用
绝对值应用一. 绝对值的实质：正数与零的绝对值是其自身，负数与零的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。
总之，任何数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
a 的几何意义：在数轴上，表示数a 的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离. 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．例1． m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．⑴ x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0-（>，=，<）； ⑵ 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；⑶ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．⑷ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则 x = ．⑸ 当1x =-时，则22x x -++= ．例1．已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值例2. 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b解：∵由图形可知a 0，c b 0，且|c| |b| |a|，则a+b0，b-c 0．∴原式＝ 三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个 数，即|x| 0，绝对值最小的数是 。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都 它的绝对值，即x ≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为 的数。
绝对值运算的应用
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
绝对值是一个数值不考虑正负的数值 绝对值表示一个数到0的距离 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 绝对值是非负的
绝对值是非负数，即 |x| ≥ 0 绝对值的定义域是全体实数，即 |x|的定义域为R 绝对值的几何意义是数轴上表示一个数的点到原点的距离 绝对值的性质包括：|x| = |-x|，|x| = |x|（当x ≥ 0），|x| = -x（当x < 0）
定义：绝对值表 示一个数距离0 的距离
规则：正数的绝 对值是它本身， 负数的绝对值是 它的相反数，0 的绝对值是0
几何意义：表示 数轴上一点到原 点的距离
运算性质：|a| * |b| = |a*b|， |a| / |b| = |a/b|（b≠0）
PART TWO
绝对值不等式的定义和性 质
解决绝对值不等式的方法： 零点分段法
注意事项：在使用绝对 值函数时，需要注意处 理异常情况，例如当输 入值为NaN（非数字） 或无穷大时，绝对值函 数的返回值可能会有特
殊处理。
优点：可以简 化代码，提高
计算效率
缺点：可能导 致数值溢出或
精度损失
PART FIVE
理解绝对值的定义 和性质
判断绝对值内部的 符号
掌握绝对值运算的 规则
注意绝对值运算的 顺序
忽略绝对值符号： 在计算绝对值时， 应始终保持绝对 值符号，并确保 在处理结果时正 确处理正值和负
值。
错误地处理负数 的绝对值：当处 理负数的绝对值 时，应确保正确 地计算其正值， 并避免将其错误 地处理为负值。
绝对值和反比例函数的应用
绝对值和反比例函数的应用在数学中，绝对值函数和反比例函数是两个非常重要的函数。
在实际生活中，我们可以看到这两种函数被广泛应用，并起到了非常重要的作用。
本文将介绍绝对值和反比例函数的定义和性质，以及它们在实际中的应用。
一、绝对值函数绝对值函数是指以0为中心，向两边对称的函数。
它的函数表达式为：f(x) = |x|其中|x|表示x的绝对值。
绝对值函数的图像是一条以原点为中心，斜率为1的直线，也就是一条下倾斜45度的直线。
绝对值函数的应用非常广泛。
例如在测量误差方面，我们可以使用绝对值函数来计算误差。
又如在金融投资中，我们经常会遇到股票价格涨跌情况，这种上涨和下跌是在绝对值函数的作用下进行的。
二、反比例函数反比例函数是指一个函数，它与它的自变量的倒数成反比例关系。
它的函数表达式如下：f(x) = k/x其中k为常数。
反比例函数的图像是一条由原点开始的开口向右的双曲线。
反比例函数在实际生活中也非常常见。
例如，在公路上行驶的车速与所用时间的关系就是反比例关系。
又如，在制造业中，原材料用量与生产数量的关系也是反比例关系。
三、在实际生活中，绝对值和反比例函数被广泛应用。
下面我们将分别以两者为例进一步介绍它们在实际中的应用。
（一）绝对值函数的应用1、测量误差测量误差是指在测量中由于各种因素而引起的误差。
这种误差会对测量结果造成影响。
例如，在香港体温检测站，为了确保检测准确度，通常会在实际温度值的上下0.5度之间通行。
在测量误差的情况下，我们可以使用绝对值函数来计算误差。
例如，当我们的测量结果为x，实际值为y时，误差就可以表示为：E = | x - y |这就是绝对值函数的应用之一。
2、股票涨跌股票涨跌是指股票价格上涨或下跌的情况。
在金融投资中，股票价格的涨跌是非常重要的。
当股票价格上涨时，投资者可以获得收益，反之则会亏损。
在股票涨跌的情况下，我们同样可以使用绝对值函数来计算收益或亏损。
例如，当我们买入股票的价格为x，卖出股票的价格为y时，我们所获得的收益或亏损就可以表示为：G = (y - x) / x * 100%其中，x为买入价格，y为卖出价格。
绝对值的性质及运用
基本要求：借助数轴理解绝对值的意义,会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识点整理绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值,如：5-符号是负号,绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数,绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c =绝对值的其它重要性质：1任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥,且a a ≥-；2若a b =,则a b =或a b =-；3ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； 4222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上,表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．例题精讲模块一、绝对值的性质例1到数轴原点的距离是2的点表示的数是A ．±2B ．2C ．-2D ．4例2下列说法正确的有绝对值①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥例3如果a 的绝对值是2,那么a 是A ．2B ．-2C ．±2D ．12± 例4若a ＜0,则4a +7|a |等于A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a例5一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是A ．1,0B ．正数C ．非正数D ．非负数例6已知|x |=5,|y |=2,且xy ＞0,则x -y 的值等于A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3例7若1-=x x,则x 是A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数例8已知a ．b 互为相反数,且|a -b |=6,则|b -1|的值为A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4例11已知数,,a b c 的大小关系如图所示,则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ；⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．请填写番号当a 、b 、c 中有2个负数时,则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时,M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=,则必有0a =,0b =,0c =【例1】 若42a b -=-+,则_______a b +=巩固若7322102m n p ++-+-=,则23_______p n m +=＋例2()2120a b ++-=,分别求a b ，的值课堂检测11. 若a 的绝对值是12,则a 的值是 A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ,则x 一定是A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ,那么A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2,则a +3的值为A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4课堂检测21. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ,则a 的取值范围是A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．7. 若3230x y -++=,则x的值是多少 8.模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 例1阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式12x x ++-时,可令10x +=和20x -=,分别求得12x x =-=，称12-，分别为1x +与2x -的零点值,在有理数范围内,零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时,原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时,原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时,原式1221x x x =++-=-综上讨论,原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字,请你解决下列的问题：1别求出2x +和4x -的零点值2化简代数式24x x ++-【巩固】 1、化简12x x +++ 2、化简12m m m +-+-的值3、化简523x x ++-．。
生活中绝对值的运用
4.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时， |a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.(3)学习了绝对值的几何意义后，数轴的概念、画法、利用数轴比较数的大小、相反数以及绝对值，借助数轴，这些知识便都联系到一起了.5.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.6、填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；(6)如果|a|=|－7|，那么a=________.（7）若a＞3,则|a－3|=________; (8)若a=3,则|a－3|=________;(9)若a＜3,则|a－3|=________.（10）若一个数的绝对值等于6，那么这个数是7、有理数m,n在数轴上的位置如图所示，请写出有关m,n的三个正确结论．8．已知两个数是15和－21，这两个数的和的绝对值是＿＿＿,绝对值的和是＿＿．9．绝对值小于3的所有整数的和是．10、绝对值大于2且小于5的所有整数的和是11．若a为有理数，则∣a∣＋a的结果为（）A．正数B．负数C．不可能是负数D．正数、负数和零都有可能12．若∣x∣＝∣y∣＝1，则∣－x∣＋∣－y∣的值是（）A．0 B．1 C．2 D．±213、若a是正数，则a 0；若a是负数，则a 0；若b是非负数，则b 0；若m是非正数，则m 0。
14、5的绝对值的相反数是，5的相反数的绝对值是。
算式的应用绝对值计算
算式的应用绝对值计算算式的应用：绝对值计算在数学中，绝对值是一个常见的数学概念。
它通常用来表示一个数的大小，与其正负无关。
绝对值的计算在实际生活中具有广泛的应用，涉及到数学、物理、经济等多个领域。
本文将探讨绝对值的定义和性质，并介绍一些常见的绝对值计算的应用。
一、绝对值的定义和性质在数学中，绝对值常用符号“|x|”表示，其中x可以是任意一个实数。
绝对值的定义如下：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
绝对值具有以下几个重要的性质：1. 非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。
2. 正负性质：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
3. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
4. 乘法性质：对于任意实数x和y，有|xy|=|x| |y|。
5. 平方性质：对于任意实数x，有|x^2|=x^2。
二、绝对值计算的应用1. 距离计算在几何学中，绝对值可以用来计算两点之间的距离。
考虑平面上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2)在计算中，我们可以使用绝对值来确保计算结果是非负的，从而表示两点之间的距离。
2. 温度变化计算在物理学中，绝对值可以用来计算温度的变化。
考虑一个物体的起始温度为T₁，终止温度为T₂，它们之间的温度变化ΔT可以通过以下公式计算：ΔT = |T₂ - T₁|该公式可以帮助我们计算物体温度的变化幅度，不受温度增减的影响。
3. 经济利益计算在经济学中，绝对值可以用来计算经济利益的大小。
例如，考虑某个企业的成本为C₁，收入为C₂，利润P可以通过以下公式计算：P = C₂ - C₁由于利润可以是正值（盈利）或负值（亏损），为了表示利润的绝对大小，我们可以使用绝对值：|P| = |C₂ - C₁|通过绝对值的运算，我们可以忽略利润的正负号，更加准确地度量企业的经济利益。