习题-复数的加法与减法闵行七宝松江补习班-(1)

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复数加减法练习题

复数加减法练习题例计算?； ?；??分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。

解：i?6?i.[2?]i??7?7i.i??11i.确定向量所表示的复数例如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3?2i，?2?4i，试求：AO所表示的复数，BC所表示的复数.对角线CA所表示的复数．对角线OB所表示的复数及OB的长度．分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。

或者用向量的相等直接给出所求的结论．解：AO??OA?AO所表示的复数为?3?2i．?BC?AO，?BC所表示的复数为?3?2i．CA?OA?OC，?CA所表示的复数为??5?2i对角线OB?OA?AB?OA?OC，它所对应的复数为??1?6i|OB|??622?37求正方形的第四个顶点对应的复数例复数z1?1?2i，z2??2?i，z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。

分析1：利用AD?BC或者AB?DC求点D对应的复数。

解法1：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi则AD?OD?OA????iBC?OC?OB1?3i∵ A D?BC，∴?i?1?3i.?x?1?1?y?2??3?x?2?y??1∴ ? 解得?故点D对应的复数2?i.分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解．解法2：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心．∴ 点O也是B与D点的中点，于是由??0∴ x?2,y??1.故D对应的复数为2?i.小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C对称固形，解题思路较巧．根据条件求参数的值例已知z1?a2?3?i，z2?a?1?i分别对应向量，OZ1,OZ2，若向量Z2Z1对应的复数为纯虚数，求a的值．分析：Z2Z1对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出Z2Z1对应的复数，再利用复数为纯虚数的条件求解即得．解：设向量Z2Z1对应复数z ∵Z2Z1?OZ1?OZ2∴z?z1?z2?a2?3?i?[a2?1?i]?[?]?[?]i??i20?a?a?2?0z∵ 为纯虚数，∴ ? 即??0a?a?6?0∴ a??1.求复数的轨迹方程例 z?r，求2z?3?4i对应的点的轨迹方程．解：??2z?3?4i，则2z3?4i. 又z?r，故有2z?2r.∴ ??2r∴ ?对应点的轨迹是以3?4i为圆心，2r为半径的圆．小结：由减法的几何意义知z?z1表示复平面上两点z，z1间的距离．当z?z1?r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．当z?z1?z?z2，表示以复数z1，z2的对应点为?a href=“http:///fanwen/shuoshuodaquan/”target=“_blank” class=“keylink”>说愕南叨蔚拇怪逼椒窒撸?/p> 求复数的最大值与最小值例设复数满足z?4?3i?2?2?z?4?3i，求z的最大值和最小值．分析：仔细地观察、分析等式z?4?3i?2?2?z?4?3i，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若a??a，则a?0，因此已知等式可化为z?4?3i?2?0解：由已知等式得z??2?0 即z??2?0，它表示的以点P为圆心，半径R?2的圆面．如图可知z?OQ时，z有最大值OP?R?5?2?7；z?OM时z有最小值OP?R?5?2?3小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解．初中一年级负数加减法习题一计算题:23+=+=7+= 4.23+=+= 9/4+= 3.75++5/4=-3.75++=用简便方法计算:++++++++已知:X=+17,Y=-9,Z=-2.25, 求:++Z的值填空题:零减去a的相反数,其结果是_____________;若a-b>a,则b是_____________数;从-3.14中减去-π,其差应为____________;被减数是-12,差是4.2,则减数应是_____________;若b-a -=-7判断题:一个数减去一个负数,差比被减数小.一个数减去一个正数,差比被减数小.0减去任何数,所得的差总等于这个数的相反数.若X+=Z,则X=Y+Z 若a0有理数加减法练习题一、选择1.下列说法正确的个数是①两数的和一定比其中任何一个加数都大;②两数的差一定比被减数小③较小的有理数减去较大的有理数一定是负数;④两个互为相反数的数的商是-1⑤任何有理数的偶次幂都是正数A.1个B.2个 C.3个 D.4个2.下列关于“一个正数与一个负数的和”的说法正确的是A.可能是正数 B.可能是0 C.可能是负数 D.以上都有可能.下列说法正确的是A.两个有理数相加等于它们的绝对值相加;B.两个负数相加等于它们的绝对值相减C.正数加负数,和为正数;负数加正数,和为负数;D.两个正数相加,和为正数;两外负数相加,和为负数.下列说法不正确的个数是①两个有理数的和可能等于零;②两个有理数的和可能等于其中一个加数③两个有理数的和为正数时,这两个数都是正数④两个有理数的和为负数时,这两个数都是正数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.两个数相加,如果和小于每一个加数,那么. A.这两个加数同为正数 B.这两个加数同为负数 C.这两个加数的符号不同 D.这两个加数中有一个为零.下列计算正确的是A.+=10B.+=-21C.+=0D.+=0.87.两个数相加,如果它们的和小于其中一个加数,而大于另一个加数,那么 A.这两个加数的符号都是负数 B.这两个加数的符号不能相同 C.这两个加数的符号都是正的D.这两个加数的符号不能确定.下列说法不正确的是A.一个数与零相加,仍得这个数;B.互为相反数的两个数相加,其和为零C.两个数相加,交换加数的位置,和不变;D.异号两数相加,结果一定大于零.不能使式子│-32.6+│=│-32.6│+││成立的数是 A.任意一个数 B.任意一个正数;C.任意一个负数 D.任意一个非负数10.两个数的差是负数,那么被减数一定是A.正数或负数B.负数C.非负数D.以上答案都不对11.下列说法正确的个数是①较大的数减去较小的数的差一定是正数;②较小的数减去较大的数的差一定是负数③两个数的差一定小于被减数;④互为相反数的两个数的差不会是负数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.若x和y表示两个任意有理数,则下列式子正确的是A.│x-y│=│y-x│;B.│x-y│=0;C.│x-y│=-;D.│x-y│=x-y 13.25的相反数与绝对值为235的数的差为 A.-15; B.5; C. 15或5;D. 15或-514.下列说法不正确的个数是.①两数相减,差不一定比被减数小; ②减去一个数,等于加上这个数③零减去一个数,仍然等于这个数; ④互为相反数的两个数相减得零 A.0个B.1个 C.2个 D.3个15.若 a A.一个数减0,等于这个数的相反数 B.一个数减0,其结果一定大于零 C.一个数减0,等于这个数本身D.一个数减0,其结果一定小于零 18.下列说法正确的是A.若x+y=0,则x与y互为相反数B.若x-y>0,则xy19.如图所示,a,b,c表示数轴上的三个有理数,则下列各式不成立的是 A.a-b 下列计算正确的是A．7－＝0; B．0－3＝－3; C．14?12?12; D．－＝－1 如图2—11所示，a、b在数轴上的位置分别在原点的两旁，则|a－b|化简的结果是A．a－bB．b－a C．－D．－图2—11如果a＋b＝c，且a＞c则A．b一定是负数; B．a一定小于b; C．a一定是负数; D．b一定小于a 如果｜a｜－｜b｜＝0，那么A．a＝b B．a、b互为相反数; C．a和b都是0; D．a ＝b或a＝－b 如果a的绝对值大于－5的绝对值，那么有 A．a>－ B．a A． B．－4C．10－2x D．2x－10 若a>0，b A． B．－2C．6D．－若有理数a满足a|a|＝1时，那么a是 A．正有理数 B．负有理数 C．非负有理数 D．非正有理数 1、如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是－ ?1212.若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度可列式计算为4－22＝－122－4＝122－＝2－4－22＝－263. 下列说法正确的是A. 两个数之差一定小于被减数B. 减去一个负数，差一定大于被减数C. 减去一个正数，差一定大于被减数D. 0减去任何数，差都是负数．下列交换加数的位置的变形中，正确的是A、1?4?5?4?1?4?4?B、?131113113?4?6?4?4?4?3?61?2?3?4?2?1?4?D、4.5?1.7?2.5?1.8?4.5?2.5?1.8?1.5、火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,1～98次为特快列车,101～198次为直快列车,301～398次为普快列车,401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向,其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京,根据以上规定,杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是0 11 120 196、若x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，则x＋y一定是负数正数 0 无法确定符号、.若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a与b的和用|a|、|b|表示为 |a|－|b| －|a|＋|b|－8、下列计算结果中等于3的是A. ?7??4B. ??74?C. ?7??4D. ??74?9、将63?7?2?中的减法改成加法并写成省略加号的代数和的形式应是A、6+3+7-2B、6-3-7-2C、6-3+7-2D、6-3-7+210、已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m?n等于A、-1B、C、D、-101．下列说法中正确的是两个数的和必定大于每一个加数；如果两个数的和是正数，那么这两人数中至少有一个正数；两个数的差一定小于被减数；0减去任何数，仍得这个数.2．下列说法中正确的是两个有理数相加，等于它们的绝对值相加；两个负数相加取负号并把绝对值相减；两个相反数相减，差为0；两个负数相加，和一定为负数. 3．两个有理数的和为负数，那么这两个数一定都是负数；至少有一个负数；有一个是0；绝对值不相等. 4．?7和6的差为C．至少有一个是负数D．至少有1995个负数 ?13； ?1； 1；13. 1．下列说法正确的是A．两个有理数相加，和一定大于每一个有理数 B．两个非零有理数相加，和可能等于零C．两个有理数的和为负数，这两个有理数都是负数D．两个负数相加，把绝对值相加2．两数相加，如果和小于任一加数，那么这两数 A．同为正数B．同为负数C．一正数一负数 D．一个为0，一个为负数3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图2－1所示，则下列结论错误的是A．－2.2B．－3.9 C．3.2D．3.96．下列结论正确的是A．有理数减法中，被减数不一字比减数大 B．减去一个数，等于加上这个数 C．零减一个数，仍得这个数 D．两个相反数相减得06．－2的倒数与绝对值等于的数的差是 A．B．C．－1或0 D．0或1．下列计算正确的是A．7－＝0 B．C．0－4＝－4D．－6－5＝－1．下列各式中，其和等于4的是 A． B． C． D．9．如果|x|＝4，|y|＝3，则x－y的值是A．±B．±1 C．±7或±1D．7或1 10．已知：a＜0，b＞0，用|a|与|b|表示a与b的差是 A．|a|－|b|B．－C．|a|＋|b|D．－ 11．如果a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值等于A．－2a B．－aC．0 D．a 12．1997个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中 A．至少有一个为零 B．至少有998个正数）。

复数练习题附答案

复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。

复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。

练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。

练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。

练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。

答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。

答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。

所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。

答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。

首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。

期中测试 -闵行松江小学奥数培训补习班-恒高小班

奥数期中测试时间：45分钟填空题：20题姓名：得分: 家长签字：1、计算1＋3＋5＋7＋………＋97＋199=（）2、在等差数列2，6，10，···中，402是第（）项。

3、19999999＋1999999＋199999＋19999＋1999＋199＋19 =（）4、2＋3＋…＋98＋99＋100＋99＋98＋…＋3＋2＝（）5、 100－99＋98－97＋96－95＋…＋4－3＋2－1＝6、计算 9999×2222＋3333×3334＝（）7、下面有三道加法题，当等式成立时：□=（），△=（），〇=（）□+□+△+〇=16 ①□+△+△+〇=13 ②□+△+〇+〇=11 ③8、姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了（）分钟。

9、已知一个长方形的长比宽的倍多，这个长方形的周长是米，则长比宽多（）423410.果园有桃树和梨树共棵，桃树是梨树的倍少棵，问果园有桃树（）棵。

29041011、一本书从第10页到第1000页，共用了（）个数码。

12、菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜（）千克。

13、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各（）米。

14、有一个正方形池塘，芯芯在它的四周栽上树，每边栽6棵，一共栽了（）棵。

15、一幢六层楼，希希从底楼跑到六楼一共用了45秒，平均每层楼用了（）秒。

16、食堂买进一批大米，第一次吃了全部的一半多3千克，第二次吃了余下的一半少10千克，第三次吃了15千克，最后剩下7千克。

这批大米原来共有（）千克。

17、有一种水草生长很快，一天增长一倍，如果第一天往池塘里投入一颗草，第二天就发展为两棵，第10天恰好长满池塘，如果第一天投入8棵，（）天能长满池塘。

《复数》全章习题

《复数》全章习题学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值．如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解点集D 的图象为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三复数相等例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4，即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心答案 D 解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题．课时作业一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ，则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________．答案 0解析复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案－2－i解析由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0，又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案－25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ，由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。

2.1 复数的加法与减法2.2 复数的乘法与除法(1)

§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律：交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1．结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)．分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ，所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ，所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________．【解析】利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数．故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}．【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ，又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ，所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________．解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________．解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3，所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ，所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________．解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0，得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0，根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值．解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )，其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。

解决复数的运算练习题

解决复数的运算练习题复数运算是数学中一个重要的概念，在实际生活和学习中都有广泛的应用。

解决复数的运算练习题能够帮助我们巩固对复数的理解与运用。

本文将提供一些复数运算的练习题，帮助读者进一步熟悉并掌握复数的运算。

练习1：加减法运算题目1：计算 (3 + 5i) + (7 - 2i) 的结果。

题目2：计算 (4 - 2i) - (1 + 3i) 的结果。

解答1：题目1中，我们对实部和虚部进行分别相加，得到：3 + 7 + 5i - 2i = 10 + 3i。

解答2：题目2中，我们对实部和虚部进行分别相减，得到：4 - 1 - 2i - 3i = 3 - 5i。

练习2：乘法运算题目1：计算 (2 + 3i) × (1 + i) 的结果。

题目2：计算 (-3 + 4i) × (5 - 2i) 的结果。

解答1：题目1中，我们使用分配律进行展开计算，得到：2 + 2i + 3i + 3i²。

由于 i² = -1，所以可以简化为：2 + 5i - 3 = -1 + 5i。

解答2：题目2中，我们同样使用分配律进行展开计算，得到：-3 × 5 + (-3 × -2i) + (4i × 5) + (4i × -2i)。

运用乘法规则和 i² = -1，我们可以得到：-15 + 6i + 20i + 8 = -7 + 26i。

练习3：除法运算题目：计算 (7 + 3i) ÷ (-2 - i) 的结果。

解答：为了方便计算，我们将分母进行共轭复数的变换，得到 (-2 + i)。

然后我们使用分数除法的方法，将分子和分母进行相乘再除以分母的模长的平方。

具体计算过程如下：(7 + 3i) × (-2 + i) = -14 - 7i + 6i - 3i² = -14 - i - 3(-1) = -11 - i(-2 - i) × (-2 + i) = (-2)² - (-i)² = 4 - (-1) = 5所以，最终计算结果为 (-11 - i) ÷ 5 = -2.2 - 0.2i。

沪教版高二下册数学高二下册同步测试复数的加法与减法

复数的加法与减法[基础训练A 组]一、选择题1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．32．13()i i --的虚部为( )A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -=B ．z z =C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅则12,z z 的关系是( )A ．12z z =B ．12z z =-C ．121z z =+D ．无法确定5． 2020(1)(1)i i +--的值是( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 无数个二、填空题1. 如果(,,0)z a bi a b R a =+∈≠且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z -=--⋅中是虚数的有 _______个，是实数的有个，相等的有组.2. 如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在象限.3. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .4. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-∈若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .5. 已知3(2),z i =-则z z -= .6. 若z =,那么100501z z ++的值是 .7. 计算232000232000i i i i ++++= . 三、解答题1．设复数z 满足1z =,且(34)i z +是纯虚数,求z -.2．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z++的值. 参考答案一、选择题1．A (1) 0比i -大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；（3）1x yi i +=+的充要条件为1x y ==是错误的，因为没有表明,x y 是否是实数；（4）当0a =时，没有纯虚数和它对应2．D 2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i ----=-====-，虚部为8- 3．B z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出 z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数4．A 49444567...127212(1)(1)1,111i i i i z i z i i i i+++++--=======-- 5．C 202021021010101010(1)(1)[(1)][(1)](2)(2)(2)(2)0i i i i i i i i +--=+--=--=-=6．B 00122331(0)0,(1)2,(2)0,(3)2f i i f i i i i f i i f i i i i---=-==-=-==-==-=- 二、填空题1．4,5,3 2,,,z z z z -=四个为虚数；22,,,,z z z z z z --⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等2．三 35a <<，22815(3)(5)0,514(2)(7)0a a a a a a a a -+=--<--=+-< 3．,2k k Z ππ+∈ sin 20,1cos 20,22,,2k k k Z πθθθππθπ=-≠=+=+∈422222233log (33)2log (3)10,log 1(3)m m m m m m ------+==--22331,3,(3)2m m m m m m --==>=-而5．125 2236(2)125z z z i -⋅==-==6．i 100501005011z z z ==++=++ 50255025222()()11122i i i i i i i =++=++=++= 7．10001000i - 记232000232000S i i i i =++++ 234200020012319992000iS i i i i i =+++++2000234200020012001(1)(1)2000200020001i i i S i i i i i i i i i --=+++++-=-=-- 2000100010001i S i i-==-- 三、解答题1．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或，4343,5555z i i -=--+或 2．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-130i a bi -++=则410,43330a a z ib b =-⎧+-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩ 22(1)(34)2(724)2473422(43)4i i i i i i z i i++-++===+-+-。

沪教版——13.3复数的加法与减法

∴满足|Z+ 2- 2i |≤1 所对应的点Z，
组成以C(- 2, 2)点为圆心，以r为半
x
径的圆的内部（如图）， |Z|就是圆
C及其内部各点到圆点的距离，使|Z|取得最大值与最小值
的点就是OC与圆C的两个交点。
8
思考题
1、已知复Z 满足|Z|=1，求|Z+1-2i|的最大值与最小值。 ∵ |Z+1-2i|=|Z -(-1-2i)|
y
M(1,2)
A
P
-1 0 1
如图，求得|OM| = 5
∴|Z+1-2i| max=|MB|= 5+1
x
|Z+1-2i|min =|MA|= 5 -1
B
9
2、设复平面内的点Z1 , Z2 分别对应复数为Z1 , Z2 ，
则满足|Z -Z1|=|Z -Z2|的点Z的轨迹
是？
y
1
-1 0 1
Z
例如|Z+1|=|Z -i|是连结复数-1, i
在复平面内对应点的线段的垂直
x 平分线方程。
10
例1、计算（1）（1+3i)+(-４+2i) （2） (3-2i)+(3+2i)
(3) (1 2i) (3 5i) 在复平面中画出以上每题中的两个复数所对应的向量及它们的和（差）对应的向量复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这就是复数加法的几何意义.
5
5、复平面内两点间距离
设Z 1=x1+y1i , Z 2=x2+y2i 它们在复平面内分别对应于点Z 1, Z, 则2 | Z- 2 Z| =1 |( +x2 iy)-2 ( +x1 i)y|1

《复数的加法与减法》同步练习

《复数的加法与减法》同步练习一、选择题1.已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +=（）A.8iB.6C.68i +D.68i -2.复数123i,1i z z =+=--，则12z z -=（）A.2B.22i +C.42i +D.42i -3.复数12112i,2i 22z z =-=-，则12z z +=（） A.0 B.35i 22+ C.5522i - D.5322i - 二、填空题4.已知复数1223i,23i z z =-=+，则12z z -=_____.5.已知向量1OZ →对应的复数为23i -，向量2OZ →对应的复数为34i -，则向量12Z Z →对应的复数为_____. 6.1143(2)3232i i i ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 7.计算：（1）(2)(2)i i ++-；（2）124i (25i)+-+；（3）(56)(2)(34)i i i -+---+；（4）())]i +-+.8.设122i,3i,,z x z y x y =+=-∈R ，且1256z z i +=-，求12z z -.9.已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是32i +与14i +，两对角线AC 与BD 相交于P 点.（1）求AD →对应的复数；（2）求DB →对应的复数；（3）求△APB 的面积.参考答案一、选择题1.答案：B解析：1234i 34i (33)(44)i 6z z +=++-=++-=.2.答案：C解析：12(3)(1)42z z i i i -=+---=+.3.答案：C 解析：12115522i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫+=++--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 二、填空题4.答案：6i -解析：12(23)(23)6z z i i i -=--+=-.5.答案:1i -解析：因为1221Z Z OZ OZ →→→=-，且(34)(23)1i i i ---=-.所以向量12Z Z →对应的复数为1i -. 6. 答案：13- 解析：114314131(2)21i 323233223i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-=-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 三、解答题7.答案：见解析解析：（1）(2)(2)4i i ++-=；（2）124i (25i)10i +-+=-；（3）(56)(2)(34)(523)(614)11i i i i i -+---+=--+---=-（4）(23)(32)[(32)(32)]i i i -++---++ (2332)(3232)i =-+-++---22i =-.8.答案：见解析解析：12122i,3i,56i z x z y z z =+=-+=-，(2)(3)56x i yi i ∴++-=-，即(3)(2)i 56i x y ++-=-，35,26,x y +=⎧∴⎨-=-⎩解得2,8,x y =⎧⎨=⎩1222i,38i z z ∴=+=-.12(22i)(38)i (23)(28)i 110i z z ∴-=+--=-++=-+.9.答案：见解析解析：（1）如图，(1,4)(3,2)(2,2)AD AC AB →→→=-=-=-，∴与AD →对应的复数为22i -+.（2）(3,2)(2,2)(5,0)DB AB AD →→→=-=--=，∴与DB →对应的复数为5.（3）由（1）（2）可知||22,||13,||5AD AB DB →→→===，由余弦定理，得cos 2221326DAB ∠==⨯⨯.sin 26DAB ∠∴=11||||sin 522APB S AB AD DAB ∠→→∴=⋅⋅⋅==.。

课时作业12：3.2.1 复数的加法与减法

3.2.1 复数的加法与减法一、选择题1.如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．52.满足条件|z |＝1及⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32的复数z 的集合是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＋32i ，－12－32i B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12＋12i ，12－12i C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12＋32i ，12－32i D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫22＋22i ，22－22i 3.A 、B 分别是复数z 1、z 2在复平面上对应的两点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4.若θ∈(34π，54π)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题5．在复平面内,若复数z 满足|z ＋3|＋|z －3|＝10,则z 在复平面内对应的点的轨迹方程为__________．6．(2015·锦州期中)已知|z |＝1,则|1－3i －z |的最大值是________,最小值是________．7．已知z ＝1＋i ，设ω＝z －2|z |－4，则ω＝________.三、解答题8．若f (z )＝2z ＋z －3i.f (z ＋i)＝6－3i ，试求f (－z )．9．已知复数z 1、z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1、z 2.参考答案一、选择题1．【答案】A【解析】设复数-i 、i 、-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1、Z 2、Z 3，因为|z ＋i|＋|z －i|＝2，|Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，∵|Z 1Z 3|＝1.故选A.2．【答案】C 【解析】解法1：设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2，解得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝±32.∴z ＝12±32i. 解法2：根据复数模的几何意义知|z |＝1是单位圆,⎪⎪⎪⎪z ＋12＝⎪⎪⎪⎪z －32是以A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0为端点的线段AB 的中垂线x ＝12. ∴满足此条件的复数z 是以12为实部的一对共轭复数，由模为1知选C.故选C. 3.【答案】B4.【答案】B【解析】cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，θ∈(34π，54π)，θ＋π4∈(π，32π)，2sin(θ＋π4)<0，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)，θ－π4∈(12π，π)，2sin(θ－π4)>0，sin θ－cos θ>0. ∴复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在第二象限．二、填空题5．【答案】x 225＋y 216＝1 【解析】根据模的几何意义，复数z 在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10，故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．∵2c ＝6,2a ＝10，∴b ＝4，从而其轨迹方程是x 225＋y 216＝1. 6.【答案】3 1【解析】因为|z |＝1，所以z 在半径为1的圆上，|1－3i －z |＝|z －(－1＋3i)|即圆上一点到点(－1，3)的距离，d max ＝3，d min ＝1.7.【答案】－(3＋22)＋i【解析】∵z ＝1＋i ，∴|z |＝2，∴ω＝z －2|z |－4＝(1＋i)－22－4＝－(3＋22)＋i.三、解答题8.【解析】∵f (z )＝2z ＋z －3i ，∴f (z ＋i)＝2(z ＋i)＋(z ＋i)－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z ＋z －2i ，又f (z ＋i)＝6－3i ，∴2z ＋z －2i ＝6－3i 即2z ＋z ＝6－i设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.∴2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6－b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， ∴z ＝2＋i ，∴f (－z )＝－2z －z －3i ＝－2(2＋i)－(2－i)－3i ＝－6－4i.9.【解析】设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝2i ，∴z 2＝2i －z 1＝－a ＋(2－b )i ，|z 1＋z 2|＝2.又|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，(－a )2＋(2－b )2＝2，解得a ＝±3，b ＝1.故所求的复数为z 1＝3＋i ，z 2＝－3＋i 或z 1＝－3＋i ，z 2＝3＋i.。

上海七宝实验中学必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 2．在下列命题中，正确命题的个数是（）.①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( )A ．1B ．2C ．2D ．5 4．已知复数，是z 的共轭复数，则= A ． B ． C ．1 D ．2 5．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 6．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i7．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（）A 5B 2C ．22D ．38．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（）A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i - 9．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 10．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+ C ．()cos αβ- D ．()cos αβ+11．i 为虚数单位，复平面内表示复数2i z i-=+的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（）A 1BC ．3D ．2二、填空题13．定义运算a cad bc b d =-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______.14．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个.15．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.16．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______. 17．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.18．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．19．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____． 20．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____．三、解答题21．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位）（2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数；（iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+. （1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.23．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R .(1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹;(2)求方程实根的取值范围.24．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 25．已知关于x 的方程()()2690x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数满足20z a bi z ---=，求z 的最小值．26．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值；（2）若212z z =，求m ，n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的.【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．A解析：A【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2．∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离．数形结合，得最小距离为1故选A ．【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．4．A解析：A【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 6．D解析：D【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．A解析：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+， ∴()22215z =-+=故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 8．A解析：A【分析】根据欧拉公式求出2cossin 22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .9．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.11．C解析：C【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 12．A解析：A【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=，故选：A ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 二、填空题13．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】根据新运算定义，得到z 1i 1i i =+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解. 【详解】由z 1i 1i i =+，得i i 1i z -=+，得12i 2i iz +==-. 故答案为：2i -【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 14．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解.【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36.【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题. 15．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.16．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复解析：38；【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则()232232p i z q iz ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数，所以32z i =-- ②把②代入①可知 1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题17．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故解析：221+【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可．【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=．故答案为：221．【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.18．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 19．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ．【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n ⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．20．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--，所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.三、解答题21．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a bμ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．22．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-．考点：复数的计算．23．(1)轨迹是以点(1,1)-为圆心.(2)[4,0]-.【分析】(1)由复数相等的定义化简得出0t y x =-，将其代入200220t t xy ++=中即可得出所求点的轨迹方程；(2)将方程的根转化为直线与圆的交点问题，由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得方程实根的取值范围.【详解】解:(1)设方程实根为0t .根据题意得200(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R ,即()()2000220t t xy t x y i ++++-=. 根据复数相等的充要条件,得20002200t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩① 由①得0t y x =-,代入200220t t xy ++=得2()2()20y x y x xy -+-+=即22(1)(1)2x y -++=.所以所求的点的轨迹方程是22(1)(1)2x y -++=,轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.(2)由(1)得圆心为(1,1)-,半径r =直线0t y x =-与圆有公共点,2,即022t +,所以040t -.故方程实根的取值范围是[4,0]-.【点睛】本题主要考查了复数相等的定义以及直线与圆的位置关系，属于中档题.24．-190【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.25．（1）3a b ==；（2．【分析】（1）复数方程有实根，方程化简为0(a bi a +=、)b R ∈，利用复数相等，即00a b =⎧⎨=⎩解方程组即可．（2）先把a 、b 代入方程，同时设复数z x yi =+，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z ，得到||z ．【详解】解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a R -+++=∈的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，∴2690b b a b⎧-+=⎨=⎩解得3a b ==．（2）设(,)z x yi x y R =+∈，由|33|2||z i z --=，得2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=， z ∴点的轨迹是以1(1,1)O -为圆心，22为半径的圆，如图所示，当z 点在1OO 的连线上时，||z 有最大值或最小值，1||2OO =半径22r =∴当1z i =-时．||z 有最小值且||2min z =【点睛】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．26．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-，所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.。

课时作业2：3.2.1 复数的加法与减法

3.2.1 复数的加法与减法一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B.32＋52iC.52－52iD.52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i答案 C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为 ( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i答案 D解析由⎩⎨⎧2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．答案 3＋i解析 ∵P (－1，0)，Q (2，1)， ∴PQ→＝(3，1)，∴PQ →对应的复数为3＋i. 6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．答案 1解析由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2，0)与到(－2，0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1，0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i答案 B解析设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i ，1，4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B.13C.15D.17答案 B解析如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎨⎧x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ，所以BD →＝OD →－OB →＝(3，3)－(1，0)＝(2，3)，所以|BD→|＝13. 10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．答案 115＋3i解析设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i. 11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC→＝BC →－BA →，∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i ，2＋i ，求点D 对应的复数．解法一设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1，3)，B (0，－1)，C (2，1)． ∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎨⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD→对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i) ＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD→＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i. ∴⎩⎨⎧x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎨⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i. (1)求AB→，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB→对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB→|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB→|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。

新教材北师大版必修第二册5.2.1 复数的加法与减法作业

2020-2021学年新教材北师大版必修第二册 5.2.1 复数的加法与减法作业1、设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（）A ．3B ．-3C ．2D ．-22、已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（） A ．102 B ．5 C ．14 D ．523、若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于（）A ．-3B ．0C ．1D ．24、设i 是虚数单位，若复数1z i i=+，则z 的共轭复数为（）A ．1122i +B ．1i -C ．112i -D ．1122i -5、已知复数202032i iz i -=+，则复数z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i6、已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．57、若复数z 满足1zii =-+，则z 在复平面内的对应点（）A ．在直线y x =-上B ．在直线y x =上C ．在直线2y x =-上D ．在直线2y x =上8、若34iz i =+，则复数z 的模是（）A ．2B ．3C ．4D ．59、对于下列四个命题：①任何复数的绝对值都是非负数；②如果复数15z i =，223z i =-，35z i =-，42z i =-，那么这些复数的对应点共圆； ③cos sin i θθ+的最大值是2，最小值为0；④x 轴是复平面的实轴，y 轴是虚轴.其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10、已知i 为虚数单位，复数z 满足：(1)1i z i +=-，则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（） A ．(0,1) B ．(0,1)- C ．(1,0) D ．(1,0)-11、设i 是虚数单位，则复数21ii +在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12、i 是虚数单位，复数()i z a a =+∈R 满足，则z =AB ．2或5 CD ．513、若复数z 满足()()2212z -=+i i ，其中i 为虚数单位，则z =___________，z =___________．14、若()()13ai i +⋅+为纯虚数（其中a R ∈，i 为虚数单位），则a =_______________．15、已知复数()()12z i a i =-+，其中i 是虚数单位.若z 的实部为0，则实数a 的值为________. 16、已知234z i =+，则3322--+iz z z 的值为________. 17、已知复数()00z b i b R =∈，21z i -+是实数，i 是虚数单位. （1）求复数z ；（2）若复数00z b z =+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值. 18、已知12z a i =+，234z i =-（其中i 为虚数单位）.（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若121z z z -<（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.19、已知,x y R ∈，虚数(2)x yi -+的模为1时，求yx 的取值范围．参考答案1、答案A根据复数的运算法则及复数的概念即可求解.详解因为()()122+213+i i i i i+-=-+=，所以复数的实部为3，故选：A名师点评本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.2、答案A由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z . 详解由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+ 即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||z == 故选：A名师点评本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3、答案D由()13z i i -=+可得z 的表达式，根据复数的乘除运算即可化简z,得出z 的实部.详解：由()13z i i -=+可得()3z 131123i i i i +=+=--+=-所以z 的实部为2，故选D. 名师点评本题考查了复数的乘除运算，属于基础题.4、答案D利用复数的四则运算化简z ，再得出z 的共轭复数. 详解：(1)111(1)(1)222i i i z i i i -+===++- 1122z i ∴=-故选：D 名师点评本题主要考查了复数的除法以及求共轭复数，属于基础题.5、答案A利用复数的乘方和除法法则将复数z 化为一般形式，进而可求得复数z 的虚部.详解：()()()()()5054202033233551222225i i i i ii i i z i i i i i i ------======-++++-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：A.名师点评本题考查复数虚部的求解，考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.6、答案D 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 详解：21(1)21(1)(1)2i i i ii i i ++===--+，1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D名师点评本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.7、答案B 去分母化简运算求得z ，进而得到1z i =+，根据复数的几何意义得到所对应点的坐标，进而作出判定.详解：因为1z i i =-+,所以()11z i i i =-+=-，所以1z i =+，故z 在复平面内的对应点的坐标为(1,1),在直线y x =上.故选：B.名师点评本题考查复数的运算，复数的几何意义，涉及共轭复数，属基础题. 8、答案D 根据复数除法运算化简34iz i =+，根据复数模的定义，即可求得答案.详解： 34iz i =+∴ ()343443431i i i i z i i i i ++-+====-⋅-根据复数(,)za bi ab R =+∈的模为：z =43z i =-∴ 5z ==故选：D.名师点评本题考查了求复数的模，解题关键是掌握复数除法运算和复数模的定义，考查了计算能力，属于基础题.9、答案D①由复数模的计算判断；②分别计算出1z 、2z 、3z 和4z 的模判断；③计算cos sin i θθ+的模判断；④由复平面的定义判断.详解：①正确.因为若z R ∈，则z ≥，若()0,,z a bi b a b R =+≠∈，0z =>；②正确.因为1z =2z ==，3z =4z =.③错.因为cos sin 1i θθ+==为定值，最大、最小值相等都是1.④正确.由复平面的定义，是成立的.故选：D名师点评本题主要考查复数模的计算和复平面的定义，属于基础题.10、答案A根据复数除法运算法则求出z ，结合共轭复数的概念，即可求出结论.详解由()11z i i +=-，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，∴复数z 的共轭复数为i ，在复平面内对应的点为(0,1).故选：A.名师点评本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.11、答案A 化简21ii +后可得其对应的点，从而可得正确的选项.详解()212=112i i i i i -=++，该复数对应的点为()1,1，它在第一象限，故选：A.名师点评本题考查复数的乘法、除法及复数的几何意义，本题属于基础题.12、答案C因为222()1(21)13z z a i a i a a a i i +=+++=-+++=-，所以211{213a a a -+=+=-，解得2a =-，所以|||2|z i =-+== C.考查目的：1、复数的运算；2、复数的模.13、答案12i -+利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．详解由题意得：()()2212z -=+i i ， ()()()()()21234234105222225i i i i z i i i i +-++-+-+=====-+---+i i∴z =故答案为：12i -+名师点评本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14、答案3先化简()()13ai i +⋅+，再利用纯虚数的概念解答得解. 详解由题得()()3(3113)ai i a a i ⋅=-++++，由纯虚数的概念得30,3130a a a -=⎧∴=⎨+≠⎩.故答案为：3名师点评本题主要考查复数的运算和纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、答案2-利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0得a 的值.详解：∵()()()()12212z i a i a a i =-+=++-，且z 的实部为0，∴20a +=，即2a =-，故答案为：2-.名师点评本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.16、答案6385-±i 设z a bi =+，易得22324a abi b i +-=+，由复数相等可得出a 和b 的值，进而求出复数z ，然后代入题中式子进行计算即可.详解：设z a bi =+，因为234z i =+，所以有：()234a bi i +=+，即22324a abi b i +-=+，由复数相等可得：22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2z i =+或2z i =--，当2z i =+时，3332326382(2)2(252)i i i i i z z i z ----+=-++=+-+，当2z i =--时，3332326382(2)2(2)52i i i i i z z i z ----+=----+=---，故答案为：6385-±i . 名师点评本题考查复数代数形式的混合运算，考查复数相等的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.17、答案(1)2i -;(2)4b =,8c =试题分析：（1）将0z b i =代入21z i-+中，将分子分母同时乘以1i +的共轭复数1i -可得00222122b b z i i -+-=-+，由21z i -+是实数，得02=02b +，求得0b 即可得复数z . （2）将00z b z =+代入方程20x bxc ++=中，化简得()8220b i b c --+=，通过虚部为零，实部为零即可求得实数b 和c 的值. 详解：（1）()00z b i b R =∈，()()()()0000212222=+111122b i i b i b b z i i i i i ----+-∴==+++- 又21z i -+是实数，02=02b +∴，得0=2b -， 2z i ∴=-（2）00+22z b z i ==--是方程20x bx c ++=的根，()()222220i b i c --+--+=，()8220b i b c --+=，82020b b c -=⎧∴⎨-+=⎩，解得48b c =⎧⎨=⎩. 名师点评本题考查了复数的运算法则、复数相等.复数z a bi =+（,a b 均为实数），其中a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位.当0b =时，z a =，则z 为实数；当00b a ≠=，时，z bi =，则z 为纯虚数.18、答案（1）83a =（2）32a > 试题分析：（1）由12z a i =+，234z i =-，可得12234z a i z i +=-，由12z z 为纯虚数，即可求得a ；（2）因为12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--，121z z z -<，故22121z z z -<，即可求得a 的取值范围.详解：（1）由12z a i =+，234z i =-，得122(2)(34)384634252525z a i a i i a a i z i +++-+===+-，12z z 为纯虚数， ∴38025a -=，且46025a +≠， ∴83a =.（2）12(2)(34)(3)2z z a i i a i -=+-+=--，121z z z -<， ∴22121z z z -<，即()22344a a -+<+，解得32a >. 名师点评本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.19、答案0,33⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦y x 试题分析：由条件可得22(2)10x y y ⎧-+=⎨≠⎩，即动点(,)x y 表示以(2,0)为圆心，1为半径的圆(除去点(1,0)，(3,0))，又y x表示圆22(2)1x y -+=(除去点(1,0)，(3,0))上的点(,)x y 与原点连线的斜率k ，数形结合即可得出答案.详解：由虚数(2)x yi -+的模为1，得22(2)10x y y ⎧-+=⎨≠⎩，所以动点(,)x y 表示以(2,0)为圆心，1为半径的圆(除去点(1,0)，(3,0)) 又y x表示圆22(2)1x y -+=(除去点(1,0)，(3,0))上的点(,)x y 与原点连线的斜率k ，作出圆22(2)1x y -+=的图形如图，过原点作圆的切线OA ,A 为切点.由2,1OC CA ==，所以30AOC ∠=︒,则tan AOC ∠=，即OA k = 又∵0y ≠，∴0k ≠．由图形结合对称性，得0,33⎡⎫⎛∈-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦y x ．名师点评本题考查虚数的定义，复数的模长的应用，考查直线与圆的位置关系，在解决某些复数问题时，要善于利用复数模的几何意义和数形结合的思想来解决问题，往往这类解法较为简洁．属于中档题.。

2024-2025年北师大版数学必修第二册5.2.1复数的加法与减法(带答案)

§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法必备知识基础练知识点一复数的加法与减法运算 1．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)；(3)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)].知识点二复数加减法的几何意义2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知向量OZ 1→ 对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→ 对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．4.如图，平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求： (1)AO → 所对应的复数，BC →所对应的复数； (2)对角线CA →所对应的复数；(3)B 点对应的复数．知识点三复数加减法的应用5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形6．已知z ∈C ，指出下列等式所表示的几何图形． (1)|z ＋1＋i|＝1； (2)|z －1|＝|z ＋2i|.关键能力综合练一、选择题1．已知i 是虚数单位，复数z 1＝－3＋2i ，z 2＝1－4i ，则复数z ＝z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，m 为实数，若z 1－z 2＝0，则m ＝( ) A ．4 B ．－1 C ．6 D ．03．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA → ，OB →，则复数z 1－z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA → ，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i5．(易错题)设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1－z 2是虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．已知复数z 1，z 2满足z 1－2z 2＝5＋i ，2z 1＋z 2＝3i ，则z 1＝________．7．已知复数z 1＝2＋a i ，z 2＝a ＋i(a ∈R )，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．8．(探究题)复平面内有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为2＋3i ，向量BC →对应的复数为3－i ，则点C 对应的复数为________．三、解答题9．已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，顶点A ，B ，C 分别对应复数－5－2i ，－4＋5i ，2，求点D 对应的复数及对角线AC ，BD 的长．学科素养升级练1.(多选题)已知复数z 0＝1＋2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足|z －1|＝|z －i|，下列结论正确的是( )A ．P 0点的坐标为(1，2)B ．复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为222．(学科素养——数学运算)已知复平面内的平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为2＋i ，向量BA → 对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．2．1 复数的加法与减法必备知识基础练1．解析：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i －(4＋i)＝－4＋4i. 2．答案：B解析：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故其对应的点位于第二象限．故选B.3．答案：1－i解析：∵Z 1Z 2＝OZ 2－OZ 1，∴向量Z 1Z 2对应的复数为(3－4i)－(2－3i)＝1－i.4．解析：(1)AO → ＝－OA →， ∴AO →所对应的复数为－3－2i. ∵BC → ＝AO →， ∴BC →所对应的复数为－3－2i. (2)CA → ＝OA → －OC → ， ∴CA →所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB → ＝OA → ＋AB → ＝OA → ＋OC → ， ∴OB →所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i. 5．答案：B解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA → ，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．故选B.6．解析：(1)表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆． (2)表示以点(1，0)，(0，－2)为端点的线段的垂直平分线．关键能力综合练1．答案：C解析：由复数加法运算可知，z ＝z 1＋z 2＝－3＋2i ＋1－4i ＝－2－2i ，在复平面内对应的点坐标为(－2，－2)，在第三象限．故选C.2．答案：B解析：由题意可得z 1＝z 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1.故选B.3．答案：C解析：由图可知OA → ＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，因此z 1－z 2＝－2－i －i ＝－2－2i ，所以z 1－z 2在复平面内所对应的点为(－2，－2)，在第三象限．故选C.4．答案：D解析：在▱ABCD 中，CD → ＝BA → ＝OA → －OB →＝3＋i －(－1＋3i)＝4－2i.故选D. 5．答案：B解析：若z 1，z 2皆是实数，则z 1－z 2一定不是虚数，因此当z 1－z 2是虚数时，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”成立，所以必要性成立；当z 1，z 2中至少有一个数是虚数时，z 1－z 2不一定是虚数，如z 1＝z 2＝i ，即充分性不成立．故选B.6．答案：1＋75i解析：由题意得z 1－2z 2＋2()2z 1＋z 2 ＝5z 1＝5＋i ＋6i ＝5＋7i ，所以z 1＝1＋75i.7．答案：(2，＋∞)解析：由题意得z 1－z 2＝(2－a )＋(a －1)i ，因为复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a <0，a －1>0，解得a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞). 8．答案：3－3i解析：设O 为坐标原点，由BA → ＝OA → －OB → 得OB → ＝OA → －BA →＝(2，1)－(2，3)＝(0，－2)，所以OC → ＝OB → ＋BC →＝(0，－2)＋(3，－1)＝(3，－3)，所以点C 对应的复数是3－3i. 9．解析：设AC 与BD 的交点为M ，则z M ＝z A ＋z C 2 ＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝(－5－2i)＋2－(－4＋5i)＝1－7i. 即点D 对应的复数为1－7i.因为z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC |＝|7＋2i|＝72＋22＝53 ，因为z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD |＝|5－12i|＝52＋（－12）2＝13.学科素养升级练1．答案：ACD解析：复数z 0＝1＋2i 在复平面内对应的点为P 0(1，2)，故A 正确；复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于实轴对称，故B 错误；设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入|z －1|＝|z －i|，得|(x －1)＋y i|＝|x ＋(y －1)i|，即（x －1）2＋y 2 ＝x 2＋（y －1）2，整理得y ＝x ，即点Z 在直线y ＝x 上，故C 正确；易知点P 0到直线y ＝x 的垂线段的长度即为P 0，Z 两点之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为|1－2|2 ＝22 ，故D 正确．故选ACD.2．解析：(1)∵向量BA → 对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i.∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵OC → ＝OA → ＋AC → ，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD → ＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1). 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA → ·BC → ＝|BA → ||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10 ＝152 ＝210 .∵0<B <π，∴sin B ＝7210 ，∴S ▱ABCD ＝|BA → ||BC →|sin B ＝5 ×10 ×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.。

高中数学第十章复数10.2.1复数的加法与减法精英练(含解析)

10.2.1 复数的加法与减法1、若32i 4i z +-=+,则z 等于( )A.1i +B.13i +C.1i --D.13i -- 2、若23i z i -+=（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（） A. 2i B. -2i C. -2 D. 23、复数112i 2z =-,212i 2z =-,则12z z +等于( ) A.0 B.35i 22+ C.55i 22- D.53i 22- 4、已知复数134i z =-,243i z =-+,则在复平面内12z z +对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、若复数1i,i z =+为虚数单位,则(1)z z +⋅等于( )A.13i +B.33i +C.3i -6、设122i,i z b z a =+=+,当120z z +=时,复数i a b +等于( )A.1i +B.2i +C.3D.2i --7、复数1cos z i θ=+,2sin z i θ=-,则12z z -的最大值为( )A.B. C. 6D.8、设i 是虚数单位,z 表示复数z 1i z =+,则i i z z +⋅=( ) A.2- B.2i - C.2D.2i9、若复数z 满足)i 1z z -+=,则2z z +的值等于( )A.1B.0C.-1D.12-+ 10、已知复数2i z =-,若z 的共轭复数为z ,则z z +=( )A.42i -11、若122i,3i(R)z z a a =+=+∈,复数12z z +所对应的点在实轴上,则a =_________.12、若,R a b ∈，i 为虚数单位，且(i)i i a b -⋅=+，则a b +=_________________13、已知复数z 满足()1i 1i z ＋＝－(i 是虚数单位)，则复数z =__________.14、设()3i f z z z =-+,若121224i,5i,()z z f z z =-+=-+=__________.15、已知复数22(2)()i 1im m m m z --++=+(R,i m ∈是虚数单位)是纯虚数. （1）求m 的值；（2）若复数w ，满足||1w z -=，求||w 的最大值.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：4i (32i)13i z =+--=+.2答案及解析：答案：D解析：，∴复数z 的虚部是2．故选：D ．3答案及解析：答案：C 解析：12115522i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫+=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4答案及解析：答案：C解析：∵1234i,43i z z =-=-+,∴12(34i)(43i)1i z z +=-+-+=--,∴在复平面内12z z +对应的点的坐标为(1,1)--,位于第三象限.5答案及解析：答案：A解析：(1)(2i)(1i)(211)(21)i 13i z z +⋅=+⋅+=⨯-++=+.6答案及解析：答案：D解析：由2010a b +=⎧⎨+=⎩,得21a b =-⎧⎨=-⎩,∴i 2i a b +=--.7答案及解析：答案：D 解析：()12cos sin 2z z i θθ-=-+=== 8答案及解析：答案：C解析：由题意()1i 1i 1i i iz z ++⋅=+-()21i i 1i 1i 1i 2i +=++=-++=,故选 C.9答案及解析：答案：C解析： 1i 10,2z z ω-===-+=, 221z z ωω+=+=-10答案及解析：答案：B解析：由2i z =-,得2i z =+, 所以(2i)(2i)4z z +=-++=.11答案及解析：答案：-1解析：12(2i)(3i)5(1)i z z a a +=+++=++,由题意得10a +=,则1a =-.12答案及解析：答案：2解析：13答案及解析：答案：-i 解析：把给出的等式两边同时乘以11i+然后利用复数的除法运算化简求值.14答案及解析：答案：3+解析：121233i,()(33i)333i 3z z f z z f +=++=+=++=+15答案及解析：答案：(1)∵复数22(2)()i 1im m m m z --++=+ 22(2)()i (1i)(1i)(1i)m m m m ⎡⎤--++-⎣⎦=+- 222(22)i 2m m -++= 2(1)(1)i m m =-++是纯虚数.21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩,计算得出1m =.m ∴的值是1(2)由(1)可以知道:2i z =.设i(,R)w a b a b =+∈.2i 1w -=，1=,22(2)1a b ∴+-=,w ∴===.可以知道:2(2)1,133b b -≤≤≤≤=. w ∴的最大值为3解析：。

3.2.1 复数的加法和减法学案(含答案)

3.2.1 复数的加法和减法学案（含答案）3.2复数的运算复数的运算3.2.1复数的加法和减法复数的加法和减法学习目标1.熟练掌握复数的代数形式的加.减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题知识点一复数的加法和减法思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算答案两个复数相加减就是把实部与实部.虚部与虚部分别相加减，即abicdiacbdi.思考2复数的加法满足交换律和结合律吗答案满足梳理复数的加法与减法1运算法则设z1abi，z2cdia，b，c，dR，定义z1z2abicdiacbdi，z1z2abicdiacbdi.2加法运算律对任意z1，z2，z3，有z1z2z2z1，z1z2z3z1z2z3知识点二复数加减法的几何意义如图OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi 对应思考1试写出OZ1，OZ2，OZ1OZ2，OZ1OZ2的坐标答案OZ1a，b，OZ2c，d，OZ1OZ2ac，bd，OZ1OZ2ac，bd思考2向量OZ1OZ2，OZ1OZ2对应的复数分别是什么答案acbdi，acbdi.梳理复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数1两个虚数的和或差可能是实数2在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部3复数的减法不满足结合律，即z1z2z3z1z2z3可能不成立类型一复数的加减法运算例11若z12i，z23aiaR，复数z1z2所对应的点在实轴上，则a________.2已知复数z满足|z|iz13i，则z________.答案112143i解析1z1z22i3ai5a1i，由题意得a10，则a1.2设zxyix，yR，则|z|x2y2，|z|izx2y2ixyixx2y2yi13i，x1，x2y2y3，解得x1，y43，z143i.反思与感悟1复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减2当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设zxyix，yR跟踪训练11若复数z满足zi33i，则z________.2abi2a3bi3i________a，bR3已知复数z满足|z|z13i，则z________.答案162i2a4b3i343i解析1zi33i，z62i.2abi2a3bi3ia2ab3b3ia4b3i.3设zxyix，yR，|z|x2y2，|z|zx2y2xyi13i，x2y2x1，y3，解得x4，y3，z43i.类型二复数加.减法的几何意义例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求AO表示的复数；CA表示的复数；OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义知，OA与OC表示的复数分别为32i，24i.因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB 为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练21已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|123210.2z2z11a1i，由题意知a10，即a1.1已知实数x，y满足1ix1iy2，则xy的值是A1B2C2D1答案A解析1ix1iyxyxyi2，由xy2，xy0，得xy1，则xy1.2设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限3设z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为A1iB2iC3D2i答案D解析由2a0，b10，得a2b1，abi2i.4设fz|z|，z134i，z22i，则fz1z2等于A.10B55C.2D52考点复数的加减法运算法则题点复数加减法的综合应用答案D解析因为z1z255i，所以fz1z2f55i|55i|52.5已知复数z1a22a4i，z2aa22iaR，且z1z2为纯虚数，则a________.答案1解析z1z2a2a2a4a22iaR为纯虚数，a2a20，a2a60，解得a1.1复数代数形式的加减法满足交换律.结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.。