求数列通项公式an的常用方法

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an的求法

数列a n 的求法【知识要点】1.利用递推关系式求数列通项的常用方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐项相减法）倒数变换法、数学归纳法2.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

3.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

4.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

【方法分析】一、累加法、累乘法1．累加法（适用于：1()n n a a f n +=+）--------累加法是最基本的二个方法之一。

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑【例1】已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

【变式练习】1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式..○1○2216n ++=02nn n C +++=是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

常见的裂项途径有：n d 的等差数列，则111n n n n a a ++⎝⎭ 比如：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.2、累乘法（适用于： 1()n n a f n a += ）--------累乘法是最基本的二个方法之二。

若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a af f f n a a a +===，，，两边分别相乘得， 1111()nn k a a f k a +==⋅∏【例2】已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

(完整版)求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na 为等差或等比数列，根据通项公式d n a a n11或11n n qa a 进行求解.例1：已知n a 是一个等差数列，且5,152a a ，求n a 的通项公式.分析：设数列n a 的公差为d ，则54111da d a 解得231da 5211ndn a a n二、前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .例2：已知数列n a 的前n 项和12nns ，求通项n a .分析：当2n 时，1n nns s a =32321n n=12n 而111s a 不适合上式，22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .例3：已知数列n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311，其中11a ，求n a .分析：13n na s ①nna s 312n②①-②得n n n a a a 331134nn a a 即341nn a a 2n又1123131a s a 不适合上式数列n a 从第2项起是以34为公比的等比数列222343134n n n a a 2n23431112n na n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1na 与1ns 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列n a 中有n f a a nn1，即第n 项与第1n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：12,011n a a a nn，求通项na 分析：121n a a n n112a a 323a a 534a a ┅321n a a nn2n以上各式相加得211327531n n a a n 2n 又01a ，所以21n a n 2n，而01a 也适合上式，21n a n Nn 五、累乘法：它与累加法类似，当数列n a 中有1n na f n a ，即第n 项与第1n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1nnn a a a n 2,n n N求通项na 分析：Q 11nnna a n 11nn a na n 2,n n N故3241123123411231n nn a a a a na a n a a a a n g g g g L g g g g L g 2,n n N而11a 也适合上式，所以na n n N六、构造法：㈠、一次函数法：在数列n a 中有1nna kab （,k b 均为常数且0k ），从表面形式上来看n a 是关于1n a 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设1nna mk a m则11nna ka k m而1nn a ka b1bk m 即1bmk 故111n nb ba k a k k数列11nba k 是以k 为公比的等比数列，借助它去求na 例6：已知111,21n n a a a 2,n n N求通项na 分析：Q 121nna a 1112221n nna a a 数列1n a 是以2为首项，2为公比的等比数列111122n nna a 故21nna ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n nnka a ma p2,n n N （,,k m p 均为常数0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n na kab 的式子.例7：已知11122,2n nna a a a 2,nnN求通项na Q 1122n nna a a 111211122nnnna a a a 即11112nna a 2,n n N数列1n a 是以12为首项，以12为公差的等差数列1111222nn n a 2na n㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnn a a （,k l 为非零常数）例8：已知2113,2nn a a a n 求通项na 分析：由2113,2nn a a an知0n a 在21n na a 的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a 即1lg 2lg n na a 数列lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3nn na 123nna 七、“mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项n a .例9：设数列n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N ns a a a nn n ，求通项n a .解：nn n s a 31113n nns a 2n两式相减得1132n n nn a a a 即11322n nna a 上式两边同除以13n 得92332311nn n n a a （这一步是关键）令nn na c 3得92321nn c c 3232321n nc c 2n（想想这步是怎么得来的）数列32nc 从第2项起，是以93322a c 为首项，以32为公比的等比数列故nn n n na a c c 32332933232322222323232nn nac 又nn na c 3，所以123223n n na a a a 1不适合上式23223112n a n a a n n n注：求mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1n c ，得到一个“1nna kab ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出nn ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由nnns a 31得到n nn ns s s 31即nn ns s 321,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。

通项an和求和Sn的常用方法

数列解题方法总结一、求通项a n 的常用方法：㈠叠乘法（前项与后项之比等于含n 的式子，型如)(1n f a a n n =+）例1、㈠数列{a n }中，a 1=2，a n+1=nn 1+a n ，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中，a 1=3，a n+1=3n a n ，求{a n }的通项公式。

㈡叠加法（前项与后项之差等于含n 的式子，型如)(1n f a a n n =-+）例2、㈠数列{a n }中，a 1=2，a n+1-a n =3n ，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中，a 1=1，a 2=4，a n+2=2a n+1-a n +2，求{a n }的通项公式。

㈢利用S n 与a n 的关系（注意讨论n=1和n ≥2两种情况）例3、㈠S n =3n -2，求{a n }的通项公式。

㈡S n =1+n n ，求{a n }的通项公式。

㈣在一个关系式中同时纯在S n 与a n例4、㈠a 1=2，S n =n 2a n ，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中各项均为整数，S 1＞1，且6S n =（a n +1）（a n +2），求{a n }的通项公式。

㈤a n+1=qa n +p ，a n+1=qa n +pb k 型（待定系数法）例5、㈠数列{a n }中，a 1=1，a n+1=21a n +1，求{a n }的通项公式。

㈡数列{a n }中，a 1=67，6a n+1=3a n +2，求{a n }的通项公式。

㈢数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +3n ，求{a n }的通项公式。

㈥取对数（型如a n+1=pa n k ）例6、数列{a n }中，a 1=3，a n+1=3a n 2，求{a n }的通项公式。

㈦取倒数化简（a n+1=qpa ma n n +型）例7、㈠数列{a n }中，a 1=1， a n+1=3+n n a a ，求{a n }的通项公式。

求数列通项公式的8种方法

求数列通项公式的8种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2、累乘法适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式常见求法

数列通项公式常见求法1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

对于等差数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等差数列已知首项a1和公差d时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。

常用的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

-递推法：对于等差数列，可以通过递推方法得到通项公式。

具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。

- 代数法：利用等差数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。

例如，可以使用方程an = a1 + (n-1)d，联立已知条件求解未知数。

2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

对于等比数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等比数列已知首项a1和公比q时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。

常用的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

-递推法：对于等比数列，可以通过递推方法得到通项公式。

具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。

- 代数法：利用等比数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。

例如，可以使用方程an = a1 * q^(n-1)，联立已知条件求解未知数。

3.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。

斐波那契数列的通项公式可以通过以下方法求得：- 通项公式法：斐波那契数列有一个特殊的通项公式，即an = φ^n - (1-φ)^n / √5，其中φ为黄金分割比(约等于1.618)。

这个公式可以通过矩阵求解、特征方程、黄金分割法等方法推导得到。

4.幂方数列：幂方数列是指数列中每一项都是公比为一个固定值k的幂函数的数列。

幂方数列的通项公式可以通过以下方法求得：-递推法：对于幂方数列，可以通过递推方法得到通项公式。

具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。

求数列通项公式方法总结

求数列通项公式的方法总结：1)观察法。

例如1、3、5、7、9……2)公式法。

对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。

3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。

5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。

6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。

7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。

8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。

利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。

对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。

2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。

主要用于等差数列或组合数列。

求数列通项公式的十一种方法

递推数列的通项公式的十一种求法一、累加法：a n = a 1 +（a 2―a 1）+……+（a n ―a n ―1）。

型如a n+1=a n +f （n ）的递推数列例1 已知a n+1＝a n ＋2n+1 ，a 1＝1 ，求数列{ a n }的通项公式。

解：112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= ∴通项公式为2n a n =例2 已知a n +1 = a n +2×3n+1，a 1 = 3，求数列{ a n }的通项公式。

解：已知得 a n +1 －a n = 2×3n+111232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- ∴ 3 1.nn a n =+-例3 已知a n +1 = 3a n +2×3n+1，a 1 = 3，求数列{ a n }的通项公式。

解：已知两边除以13n + ，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+ 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++，则 21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 关键是把13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式。

数列求通项公式的五种重要方法

求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=例1例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2、累乘法适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， n a例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

求数列an通项公式方法(一)

求数列an通项公式方法(一)求数列an通项公式的方法引言在数学中，我们经常会遇到需要求解数列的通项公式的问题。

求解数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值，加深我们对数列规律的理解。

以下是几种常见的方法用来求解数列an的通项公式。

方法一：递推法1.递推法是最常见的一种方法，通常适用于具有明显的规律或者特殊的关系的数列。

2.首先，我们通过观察数列的前几项来寻找规律和关系。

3.然后，我们根据这些规律和关系构建递推关系式，即找到数列中当前项与前一项之间的关系。

4.最后，我们解递推关系式，得到数列的通项公式。

方法二：等差数列与等比数列的通项公式1.对于等差数列，其通项公式可以通过数列的首项和公差来表示，即an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2.对于等比数列，其通项公式可以通过数列的首项和公比来表示，即an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

方法三：数学归纳法1.数学归纳法在求解数列通项公式中也是常用的方法之一。

2.首先，我们需要利用数学归纳法证明数列的通项公式对于某个特定的数成立。

3.然后，我们将数列的前几项带入这个公式，通过归纳法的假设证明公式成立。

4.最后，我们可以得出结论，数列的通项公式通过数学归纳法得证。

方法四：利用生成函数1.生成函数是求解数列通项公式的高级方法之一。

2.首先，我们将数列具体化成一个多项式并用一个变量替代其中的项。

3.然后，我们构建生成函数，将数列的每一项与该变量的对应幂次相乘并相加。

4.最后，通过对生成函数进行求导、求和或者其他操作得出数列的通项公式。

方法五：特殊数列的通项公式1.对于一些特殊的数列，也存在特殊的求解方法。

2.例如斐波那契数列、等差数列的和数列等，都有其独特的求解方法。

3.对于这些特殊数列，我们需要了解其规律和性质，并采取相应的方法来求解通项公式。

总结求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，通过递推法、等差数列与等比数列的通项公式、数学归纳法、生成函数和特殊数列的通项公式等多种方法，我们可以有效地解决这个问题。

史上最全的数列通项公式的求法15种

史上最全的数列通项公式的求法15种一、等差数列（Arithmetic sequence）1.基本公式：一个等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，d代表数列的公差。

2.另一种形式：等差数列的通项公式还可以表示为：an = a + (n-1) * (a2-a1)/2其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，a1代表数列的第二项，a2代表数列的前两项。

二、等比数列（Geometric sequence）1.基本公式：一个等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中an代表数列的第n项，a1代表数列的首项，r代表数列的公比。

2.另一种形式：等比数列的通项公式也可以表示为：an = a * q^n其中an代表数列的第n项，a代表数列的首项，q代表数列的公比。

三、斐波那契数列（Fibonacci sequence）1.基本公式：一个斐波那契数列的通项公式为：Fn=(φ^n-(1-φ)^n)/√5其中Fn代表数列的第n项，φ代表黄金分割比（约1.618）。

2.矩阵法：斐波那契数列的通项公式还可以通过矩阵的形式表示：Fn=(A^n*F0)，其中An是一个特定的矩阵，F0是初始向量。

四、调和数列（Harmonic sequence）1.基本公式：一个调和数列的通项公式为：an = 1/n其中an代表数列的第n项。

五、多项式数列（Polynomial sequence）一个多项式数列的通项公式为：an = an-1 + an-2 + ... + an-m其中an代表数列的第n项，an-1为前一项，an-2为前两项，an-m为前m项。

六、余弦数列（Cosine sequence）1.基本公式：一个余弦数列的通项公式为：an = a + b * cos(cn)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，c为常数。

2.幂函数法：余弦数列的通项公式还可以表示为：an = a + b * cos(nθ)其中an代表数列的第n项，a、b为常数，θ为角度。

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。

方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。

方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。

例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。

方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。

首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。

方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。

方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。

线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。

方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。

例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。

方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。

方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。

数列的通项公式的几种常用求法(文科)

1、公式法：等差数列、等比数列的通项公式的求法：若在已知数列中存在：1n n a a d +-=（常数）或1a ,(0)n n q q a +=≠的关系，可采用求等差、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项。

2、非等差、等比数列的通项公式的求法。

（1）观察法：通过观察数列中的项与项数的关系，找出项n a 与项数n 的关系。

（2）累差法：若在已知数列中相邻两项存在：1()n n a a f n +-=的关系，可用“类差法”求通项。

例、在数列{}n a 中，11211,241n n a a a n +==+-，求数列的通项公式。

分析：由已知1n 41a a 2n 1n -=-+，n 取1，2，3，…，然后把(n-1)个等式相加。

解：由已知得：1n 41a a 2n 1n -=-+111()22121n n =--+。

213253111111111111(1),(),(),,()()2323525722321n n a a a a a a a a n n -∴-=--=--=--=--- ⎪⎭⎫⎝⎛---=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1n 213n 2121)a a (,,715121a a 1n n 45把上面（n-1）个等式相加得：11143(1)22142n n n a a a n n -∴-=-⇒=--（3）累积法：若在已知数列中相邻两项存在：1a ()n n g n a +=的关系，可用“累积法”求通项。

例、在数列{}n a 中，0n a >，11,a =且有：1(1,),(,)n n a n a b n a +=+=，,a b 共线，求数列的通项n a分析：根据,a b 共线，得：11n na na n +=+，然后利用累积法求通项。

解：由已知得：11n na na n +=+32412311231234n n a a a a n a a a a n --⇒⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯111,n n a a a n n ∴==。

数列求通项公式的9种方法

m an (m pq 0) 的数列直接取倒数 pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
an ，求 {an } 的通项公式. 2 an 1
例 9：已知数列 {an } 满足 a1 1 ， a n 1
an ，求 {an } 的通项公式. an 2
设 an1 A(n 1) B p(an An B) ，去括号整理对比 an1 pan A0 n B0 解出 A 、B 的值，构造出 {an An B} 为等比数列．
例 13 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2an 3n 1，求 {an } 的通项公式.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
例 2 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n
3 an 3 ，求 {an } 的通项公式. 2
变式训练1 ＝3n－2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求an. (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn
变式训练 14 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 3an 2n 1，求 {an } 的通项公式.
九、奇偶分项求通项公式
核心思想： n为奇数时，设n=2k-1 n为偶数时，设n=2k
课堂小结
本课结束
变式训练 14 已知数列 {an } 满足 a1 2 ， a n 1
1 a n 2 n ，求 {an } 的通项公式. 2
n1 变式训练 15 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2 ，求 {an } 的通项公式.

求数列an通项公式方法

求数列an通项公式方法求数列an通项公式引言•数列是数学中重要的概念之一，通过研究数列的性质和规律，可以解决许多实际问题。

•求数列an的通项公式是指通过已知的数列项，找到一个能够计算出数列任意项的公式。

方法一：观察法•通过观察数列的前几项，尝试寻找相应的规律。

•对于等差数列和等比数列，常见的规律往往可以明显地被观察到。

方法二：递推法•数列的通项可能与前一项或前几项之间存在某种关系。

•通过递推关系式，可以将数列的第n项表示为前一项或前几项的函数。

方法三：代数法•针对某些特定的数列，可以利用代数运算的方法求解通项公式。

•例如，斐波那契数列可以通过构建其特征方程来求解。

方法四：生成函数法•生成函数是一种将数列转化为多项式的方法。

•通过对数列的生成函数进行运算和展开，可以得到数列的通项公式。

方法五：数学归纳法•对于一些具有特定递推关系的数列，数学归纳法可以帮助我们证明并求解其通项公式。

•数学归纳法的关键在于证明递推关系正确性的基础段和归纳步骤。

方法六：利用求和公式•对于一些可以通过求和的方式来表示的数列，可以通过求和公式得到其通项公式。

•例如，等差数列可以通过求和公式求解。

方法七：离散数学方法•对于一些特定的数列，可以借助离散数学中的组合数学、图论等知识方法来求解其通项公式。

•这种方法通常需要一定的离散数学知识储备。

结论•求解数列an通项公式有多种方法可供选择，具体方法取决于数列的性质和规律。

•在实际问题中，我们可以根据数列的已知项尝试使用不同的方法来求解其通项公式，以便更好地解决问题。

数列求an的十种方法

数列求an的十种方法
数列求an的十种方法包括：
1. 直接法：根据数列的定义式，逐一计算每一项。

2. 通项公式法：如果数列有通项公式，直接使用公式计算第n项。

3. 递推法：根据数列的递推关系，从已知项逐步递推求解第n项。

4. 求和法：如果数列是由前n项和的公式表示的，可以通过求和公式计算第n 项。

5. 递归法：将数列定义为一个递归函数，通过函数递归计算第n项。

6. 差分法：如果数列的相邻项之间有规律，可以通过求差分的方式推导出第n 项。

7. 等差数列法：如果数列是等差数列，可以利用等差数列的求和公式解决问题。

8. 等比数列法：如果数列是等比数列，可以利用等比数列的通项公式或者求和公式解决问题。

9. 生成函数法：将数列看作一个生成函数，通过生成函数的定义和运算求解第n 项。

10. 线性递推法：将数列转化为矩阵求幂的形式，通过矩阵乘法和快速幂算法计算第n项。

由递推公式求an的通项公式

由递推公式求的通项公式类型1叠加法：)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=- 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2累乘法：n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ （2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n 类型3（待定系数法）q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。