哈密顿算子的运算ppt
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哈密顿算子与梯度、散度、旋度
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z
D B 0 D H t B E t
dp pn ds
矢量场的散度(divergence)
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其散度定 义为：
V x V y V z V x y z
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• • • • Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 散度(div) 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x i y
j z k
• 称为▽( Nabla ，奈 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
哈密顿算子
(B g) A,
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
第九讲 第三章哈密顿算子
= B (汛 A)- A (汛 B)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
第19页/共57页
cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
第2页/共57页
1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
哈密顿算子与梯度、散度、旋度资料
u x
i
u y
j
u z
k
grad u
(2) A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k, 则
A
P x
Q y
R z
div A
i jk
A
x
y
z
rot A
P QR
➢对矢量场，在笛卡尔坐标系下其旋度定
义为： r i
r
r
jk
r
V
x y z
Vx Vy Vz
Vz
y
Vy
z
r i
Vx z
Vz x
r Vy
j
x
Vx
r k
y
➢对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设u u(x, y, z), 则
u
• 矢量性
• 微分算子
• 只对于算子▽ 右边的量发生 微分作用
例如 麦克斯韦方程组的微分形式为
Dx Dy Dz
x y z Bx By BZ 0 x y z
H z y
H y z
x
Dx t
H x z
H z x
y
Dy t
Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• Operator▽ • Gradient • Divergence • Curl
• 哈密顿算子 • 梯度(grad) • 散度(div) • 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x
哈密顿正则方程ppt课件
z v0 er
p mr2 sin2 C(常数) (10)
则根据(10)式，可得初始时刻，以
r0 e 及后面任意时刻，都有
0, C 0, p 0
O
这意味着质点将始终保持在z轴和初位 矢r0所确定的平面内运动。
z轴就是平面极坐标的极轴。
15
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
2
r
(1)代入(2)可得
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r sin2
r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r
p2 mr3
p2
mr3 sin2
r2
p
H
p2 cos mr2 sin3
p
(6)
H
p
p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
0, p 0
p r
p2 mr3
r2
(4')
p 0
(5')
r
pr m
p mr2
(7')
(8')
16
5.5 哈密顿正则方程
分析：四、最终的运动微分方程
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿算子点乘
哈密顿算子点乘
哈密顿算子点乘是自旋的基本点乘，是取得量子力学数值计算的基础。
哈密顿算子是一切量子力学理论的基础，用于定义不同物理系统时，当它与某
种特定形式和构成的非松弛系统进行点乘时，就可以计算出该系统对应的总能量。
哈密顿算子点乘的基本概念很简单，可以把它想象成是动量以及其它特定变量
的乘积。
一个具有n个自旋的系统，它可以用下面的公式来表示：
H = p₀¹ + p₁² + p₂³ +... pnⁿ
这里，H代表哈密顿算子，每个p代表一种能量，比如动量。
所以，哈密顿算
子点乘，就是乘积各通道的能量，而且通道的次方也必须一一符合，也就是n个通道的能量构成H，并且各自的幂等于它们的次序，也就是¹、²、³……这样。
哈密顿算子点乘的优势在于能够精确的反映出一个系统的能量状态，以精确的
方式计算出一个系统的能量，因而比较容易地控制量子系统。
因此，它在量子力学以及量子计算领域有着广泛的应用，人们会根据不同的系统设计不同的哈密顿算子，以便精确计算出系统的总能量。
哈密顿算子点乘是自旋和量子计算的基础，它能够帮助我们更准确的了解某种
物理系统，增加我们对它的控制力度。
当理解某种物理力的基础原理，和系统的构成时，哈密顿算子点乘将会发挥出它的重要作用。
Hamilton力学的辛算法 ppt课件
可分、线性Hamilton体系的中点Euler公式
• H q,p Tp Vq
—— “可分、线性Hamilton体系”
H q,p 1 pT
2
qT T
0
0
V
q p
1 2
pT
Tp
1 2
qT
Vq
C
T
0
0 V
B J1C
B
J1C
0 1n
1n T
0
0
0 V
0 T
V
0
ppt课件
21
Euler中点法
0
用以下 gll x构造的差分格式都是辛格式
l,l 0,0 1,1 2, 2
3, 3
4, 4
gll x 1
1
1 x 2
1 x 2
1 x x2 2 12
1 x x2 2 12
1 x x2 x3 2 10 120
1 x x2 x3 2 10 120
1 x 3x2 x3 x4 2 28 84 1680
石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
ppt课件
5
数学地位
线 线对 多张张 流 性 性偶 重量量 形 空 泛空 线空分 理 间 函间 性间析 论泛 函现代微分几来自 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
ppt课件
6
外微分 辛几何
• 辛几何的基础是外微分形式。 • 外微分形式是如下概念推广到高维的产物：
实对称矩阵的本征值均为实数 实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
若Hamilton矩阵的本征值为，则
也是它的本征值
Hamilton矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必 辛正交
哈密顿算子
在场论（电厂、磁场）分析中，哈密顿算子和拉普拉斯算子成为应用较多的简化运算 符号。哈密顿算子（ Hamiltonian）， 数学符号为▽，读作 del ta或nabla。量子力学中， 哈密顿算子(Hamiltonian) 为一个可观测量（observable），对应于系统的的总能量。
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=
r i
r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=
r i
r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64
哈密顿算符运算原理
哈密顿算符可以表示为物理量的函数， 通过测量这些物理量可以获得系统的 状态信息。
哈密顿算符的历史与发展
起源
哈密顿算符起源于19世纪初的经 典力学，最初用来描述质点的运
动规律。
发展
随着量子力学的兴起，哈密顿算 符被广泛应用于描述微观粒子的
运动状态和能量变化。
当前研究
目前，哈密顿算符在仍然占据重要地位，是探索 物质世界基本规律的重要工具之
详细描述
在求解哈密顿算符的演化方程时，可 以将问题转化为求某个泛函的极值问 题。通过变分法，可以将偏微分方程 转化为欧拉方程或变分方程，从而简 化求解过程。
05 哈密顿算符的运算实例
一维谐振子的哈密顿算符运算
总结词
一维谐振子的哈密顿算符运算涉及到对位置和动量的平方和运算，以及能量表达式的求解。
详细描述
一。
02 哈密顿算符的基本运算
哈密顿算符的矩阵表示
01
哈密顿算符在量子力学中通常表示为矩阵形式，其元素对应于 系统的能量和动量。
02
在矩阵表示中，哈密顿算符的矩阵元素由系统波函数的性质决
定，反映了系统内部相互作用和能量传递的关系。
哈密顿算符的矩阵形式对于计算系统的能量和波函数具有重要
03
意义，是理解和描述量子系统的重要工具。
哈密顿算符的演化方程
1
哈密顿算符的演化方程是薛定谔方程，描述了量 子系统的状态随时间的变化。
2
薛定谔方程是一个偏微分方程，将系统的波函数 与时间关联起来，通过求解该方程可以获得系统 在不同时刻的状态。
3
哈密顿算符的演化方程是量子力学中的基本方程 之一，对于理解量子系统的动力学行为和演化规 律具有重要意义。
总结词
第13讲哈密顿算子1
旋度运算公式
v v v v v v 4） div ( A × B ) = B • rot A − A • rot B v v v v v v ∇ • ( A × B) = B • ∇ × A − A • ∇ × B
（13）
5） rot ( gradu ) = 0
∇ × (∇ u ) = 0
（16）
梯度运算公式gradvgraduvugrad310gradcc为常数2cgradugradcuc为常数4vgraduugradvuvgrad0?c1uccu??vuvu???4uvvuuv???9512ugradvvgraduvvugrad?6graduufugradf7gradvvfgraduufvugradf?????12vuuvvvu????uufuf??vvfuufvuf??????2223梯度运算公式散度运算公式2bdivadivbadivvvvv1acdivacdivvv为常数cagraduaudivadivuvvv?3为数性函数uacacvv????babavvvv??????auauauvvv??????2510旋度运算公式2brotarotbarotvvvv1acrotacrotvv为常数cagraduaurotarotuvvv3v为数性函数uacacvv??babavvvv???auauauvv???36114brotaarotbbadivvvvvvv???50gradurot60arotdivvbaabbavvvvvv???????0??u0???av131617旋度运算公式auauavuvvv??????算子如果作用两个场则它对两个场分别起作用
v ∇×r = 0
ro f ' (r ) v ' r = f (r )r ∇ f (r ) = r v ∇ × [ f (r )r ] = 0
哈密顿算符运算原理
学习电动力学课程的主要意义是： 学习电动力学课程的主要意义是：
在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁 场有关的问题。
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和 射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共 射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波 射线和 射线等都是在不同波长范围内的电磁波， 同的规律。因此， 同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实 验都有重大的意义。 验都有重大的意义。
点。
P2 P1
r l
r ∆l 为p2和p1之间的距离，从p1沿 l 到p2的增量为
∆ϕ = ϕ ( p 2 ) − ϕ ( p1 )
若下列极限
∆ϕ ϕ ( p2 ) − ϕ ( p1 ) lim = lim ∆l →0 ∆l ∆l →0 ∆l
∂ϕ r 存在，则该极限值记作 ϕ (x ) ，称之为标量场 ∂l 在 P r p1处沿l 的方向导数。
本章主要内容
标量场的梯度 算符
矢量场的散度 高斯定理 矢量场的旋度 斯托克斯定理 在正交曲线坐标系中 运算的表达式 二阶微分算符 格林定理
标量场的梯度， §0-1 标量场的梯度，∇ 算符 Gradient of Scalar Field, Operator
∇
1、场的概念 、 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中， 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。 如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物 理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一 点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。 如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时 间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
第14讲哈密顿算子2
uv vu 2u v
3.算子运算
，求证 例：设 a, b 为常矢， ， r xi yj zk r r
（习题7第6题）
（1） (r a ) a;
1 （2） ( ra ) ( r a ); r 1 （3） ( ra ) ( r a ); r （4） [(r a )b ] a b ;
3.算子运算 例4：证明
（ ( A B) ( B ) A ( A ) B B( A) A( B ) 14）
证：根据 算子的微分性质，应用乘积的微分法 则，则有，
A ( B C ) B( A C ) C ( A B) ( Ac B) Ac ( B) ( Ac ) B A( B) ( A ) B ( A Bc ) ( Bc ) A Bc ( A) ( B ) A B( A) ( A B) ( B ) A ( A ) B B( A) A( B)
第14讲哈密顿算子2哈密顿算子哈密顿算子的平方哈密顿回路哈密顿哈密顿原理哈密顿量哈密顿路径哈密顿方程哈密顿函数
《矢量分析与场论》
第14讲 哈密顿算子（2）
梅金顺
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
回顾：Hamilton算子1
Hamilton算子 i j k x y z
证：
( A B) A ( B) ( A ) B B ( A) ( B ) A ( A A) A ( A) ( A ) A A ( A) ( A ) A 2 ( A) 2[ A ( A)] 2[(A ) A]
哈密顿算子课件
场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x
ex
y
ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex ey ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
结果：
(1). R R
R
R R R
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x
ex
y
ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex ey ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
结果：
(1). R R
R
R R R
哈密顿算子
应当注意这里 A 与 A 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u
（c为常数）， (2) （cA ）= c A （c为常数），
(3) （cA ）= c A （c为常数），
S
9
第一章 矢量分析
例1 证明
(uv) u v v u.
证
(uv) i j k uv y z x (uv) (uv) (uv) i j k x y z v u v u (u v )i (u v ) j x x y y v u (u v )k z z
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
i j k x y z
称为哈密顿算子或 算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符 号，同时又被看作是矢量。
2015-7-4
1
第一章 矢量分析
其运算规则如下：
u u u u i j k u i j k y z x y z x grad u,
Ay Az Ax Az Az Ay ( )i ( )j ( )k y z z x x y rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
2015-7-4 3
第一章 矢量分析
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进 如下的一个数性微分算子 A ( Ax i Ay j Az k ) i j k y z x
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第一章 矢量分析
(25) [ f (r )r ] 0, (26) ( r r ) 0 ( r 0),