北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章 1.6 利用三角函数测高

合集下载

北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计

北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析《利用三角函数测高》是北师大版九年级数学下册第1.6节的内容，主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。

这一节内容是学生在学习了三角函数基础知识后的进一步应用，对于培养学生的实际问题解决能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的三角函数基础知识，能够理解并运用三角函数解决一些实际问题。

但是，对于如何运用三角函数测量物体高度，可能还比较陌生，需要通过实例讲解和操作练习来进一步掌握。

三. 教学目标1.理解利用三角函数测量物体高度的原理和方法。

2.能够运用三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.利用三角函数测量物体高度的原理理解。

2.如何根据实际情况选择合适的测量方法和计算公式。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体案例，讲解利用三角函数测量物体高度的方法和步骤。

2.小组讨论：学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。

3.操作练习：学生分组进行实际操作，巩固所学知识。

4.问题解决：引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，内容包括知识点、案例、练习题等。

2.测量工具：准备一些测量工具，如测高仪、绳子等，用于实际操作。

3.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如测量旗杆高度、树木高度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现三角函数测量物体高度的原理和方法，结合具体案例进行讲解，让学生理解并掌握相关知识。

3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用测量工具（如测高仪、绳子等）进行测量，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生在操作过程中遇到的问题。

4.巩固（5分钟）学生分组讨论，总结测量物体高度的原理和注意事项。

北师版九年级数学下册第一章1.6 利用三角函数测高

的长(结果保留小数点后一位 )．(参考数据：sin42°≈ 0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， 3≈1.73)
解：如图，作 AE⊥BD 于点 E. 在 Rt△AEB 中， ∵∠EAB＝30°，AB＝10 m， 1 ∴BE＝2AB＝5(m)， AE＝5 3(m)．
在 Rt△ADE 中， DE＝AEtan42°≈7.79(m)， ∴BD＝DE＋BE≈12.79(m)， ∴CD＝BD－BC＝12.79－6.5≈6.3(m)．答：标语牌 CD 的长为 6.3 m.
4. (2018·昆明)小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌 CD.她在 A 点测得标语牌顶端 D 处的仰角为 42°，测得隧道底端 B 处的俯角为 30°(B，C，D 在同一条直线上)，AB ＝10 m，隧道高 6.5 m(即 BC＝6.5 m)，求标语牌 CD
∠MAP
以及
点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN ；
(2)已知该活动小组测得：测倾器 AB 的高度为 1.5 米，仰角 α 为 32°，点 B 到电灯杆底端 N 的距离 BN 为 10 米，求路灯的高度 MN 是多少米？(精确到 0.1 米) 解：PM＝10·tan32°≈6.249(米)，
MN≈7.7(米)．
项目课题
内容测量斜拉索顶端到桥面的距离说明：两侧最长斜拉索
测量示意图
AC，BC 相交于点 C，分别与桥面交于 A，B 两点，且点 A，B，C 在同一竖直平面内.
∠B 测量数据 ∠A 的度数的度 AB 的长度数 38° … 28° … 234 米
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离(参考数据：sin38°≈0.6，cos38 °≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9， tan28°≈0.5)； (2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可)．

北师大版九年级下册九年级下册第一章1.6利用三角函数测高

北师大版九年级下册九年级下册第一章1.6利用三角函数测高学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA 的高度为( )A ．30tan α米B ．30sin α米C ．30tan α米D ．30cos α米 2．如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A ．(32+)mB ．(32)mC ．mD ．4m3．使用测倾器测量倾斜角的步骤有：（1）记下此时铅垂线所指的度数；（2）使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0︒刻度线重合；（3）转动度盘，使度盘的直径对准目标M ；（4）把支杆竖直插入地面.则正确的步骤应为（）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（4）（3）（2）（1）C ．（4）（2）（3）（1）D ．（3）（4）（2）（1）二、解答题4．如图，某学校在“国学经典”中新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑3米的A处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为45°，看雕塑底部C 的仰角为30°，求塑像CD 的高度．(最后结果精确到0．1 1.732≈)5．盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB ．小明在D 处用高1.5 m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，然后向电视塔前进224 m 到达E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°.求电视塔的高度AB 取1.73，结果精确到0.1 m)6．2021年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A 点出发（AB=1000米），沿俯角为30︒的方向直线飞行1400米到达D 点，然后打开降落伞沿俯角为60︒的方向降落到地面上的C 点，求该选手飞行的水平距离BC .7．为了测量某段河面的宽度，秋实同学设计了如图所示的测量方案；先在河的北岸选定一点A ，再在河的南岸选定相距a m 的两点B ，C ，分别测得ABC α∠=，ACB β∠=.请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD ．（结果用含a 和α，β的三角函数表示）8．如图，小明想测山高和索道的长度．他在B 处仰望山顶A ，测得仰角31B ∠=，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角39ACE ∠=．()1求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； ()2求索道AC 的长（结果精确到0.1m ）．（参考数据：3tan315≈，1sin312≈，9tan3911≈，7sin3911≈）三、填空题9．如图，某同学用一个有60︒角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度．他将与60︒角相邻的直角边水平放在1.5m 高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB 的距离为5m ，则旗杆AB 的高度约为________m .（结果精确到lm 取1.73）10．如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面CD 和地面BC 上，量得4m CD =，10m BC =，CD 与地面成30角，且此时测得1m 高的杆的影长为2m ，则电线杆的高度约为______m ．（结果精确到0.1m 1.41≈，1.73≈）参考答案1．C【解析】试题解析：在Rt △ABO 中，∵BO=30米，∠ABO 为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故选C ．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．A【解析】先根据题意得出AD=BE=5m ，DE=AB=1.5m ，在Rt △ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 3，由CE=CD+DE=3+1.5（m ）．故选A.点睛：本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．3．C【解析】【分析】根据基本测量理论知识，由测量的基本步骤顺序，即可得到答案.【详解】解：使用测倾器测量倾斜角的步骤有：把支杆竖直插入地面；使支杆的中心线、铅垂线和度盘的刻度线重合；转动度盘，使度盘的直径对准目标M ；记下此时铅垂线所指的度数；所以正确的顺序是：（4）（2）（3）（1）；故选择：C.【点睛】本题考查基本的测量理论，要求学生根据几何知识，结合实际操作，做出判断．4．1.2米【解析】试题分析：根据锐角三角函数，在Rt △DEB 中，求得DE 的长，在Rt △CEB 中，求得CE 的长，再根据CD=DE-CE 即可求出塑像CD 的高度．试题解析：解：在Rt △DEB 中，DE=BE•tan45°=2．7米，在Rt △CEB 中，CE=BE•tan30°=0．则CD=DE-CE=2．7-0．．2米．故塑像CD 的高度大约为1．2米．考点：解直角三角形的应用．5．电视塔的高度AB 约为195.3 m.【解析】试题分析:本题主要考查三角函数,设AG =x ,分别在Rt △ACG 和Rt △Rt △AFG 中设AG ＝x ，根据正切三角函数公式,用x 表示出CG ,FG 的长度,根据DE =224m 列出方程,解方程可求出x 的值,从而求出AB 的长.在Rt △AFG 中，∵tan ∠AFG ＝AGFG，∴FG 在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG ， ∴CG＝tan30x ， ∴224，解得x ≈193.8， ∴AB ＝193.8＋1.5＝195.3(m)，答：电视塔的高度AB 约为195.3 m.6．【解析】分析：如图，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，，则BE=300，所以DF=300，Rt △CDF 中计算出CF ，然后计算BF 和CF 的和即可．详解：如图，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt △ADE 中，AE=12AD=12×1400=700，，∴BE=AB-AE=1000-700=300，∴DF=300，在Rt △CDF 中，CF=3DF=3×∴．答：选手飞行的水平距离BC 为．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．7．河宽AD 为tan tan tan tan a αβαβ+m. 【分析】把△ABC 分成两个有公共边的直角三角形，在这两个三角形中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可建立方程求得AD 的长．【详解】解：设m AD x =.在Rt ABD ∆中，tan AD BD α=， ∴tan tan AD x BD αα==（m ）. 在Rt ACD ∆中，tan AD CDβ=，∴tan tan AD x CD ββ==（m ）. ∵BD CD BC +=， ∴tan tan x x a αβ+=，解得tan tan tan tan a x αβαβ=+. 即河宽AD 为：tan tan tan tan a αβαβ+m. 【点睛】这两个直角三角形有公共的直角边，利用公共边的建立方程解决此类题目的基本出发点． 8．索道AC 长约为282.9米．【分析】（1）过点A 作AD ⊥BE 于D ，设山AD 的高度为（x ）m ，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中分别表示出BD 和CD 的长度，然后根据BD−CD ＝80m ，列出方程，求出x 的值；（2）在Rt △ACD 中，利用sin ∠ACD ＝AD AC，代入数值求出AC 的长度．【详解】（1）过点A 作AD ⊥BE 于D ，设山AD 的高度为（x ）m ，在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，tan31°＝AD BD， ∴BD ＝0tan 31AD ≈35x ＝53x ，在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝90°，tan39°＝AD AC，∴CD ＝39AD tan ︒≈911x ＝119x ， ∵BC ＝BD−CD ， ∴53x−119x ＝80，解得：x ＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，sin39°＝AD AC， ∴AC ＝sin 39AD ︒＝180711≈282.9（m ）．答：索道AC 长约为282.9米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．9．10【分析】在△ACE 中，CE ⊥AE ，tan ∠ACE=AE CE ，由此可得AE ，AB=AE+BE=AE+CD ．【详解】解：由题意可知，在△ACE 中，CE ⊥AE ，且∠ACE=60°，BD=5，而tan ∠ACE=AE CE， ∴AE ＝CE×tan60°＝≈8.6．又∵EB=1.5，∴AB=AE+EB≈10（米）．故答案为10.【点睛】解题的关键是把实际问题抽象到解直角三角形中，然后利用三角函数的定义解决问题． 10．8.7【分析】作DE⊥BC于E．则旗杆的高度分三部分进行求解：①BC对应的旗杆的高度；② DE对应的旗杆高度和DE相等；③ CE对应的旗杆高度.【详解】解：作DE⊥BC于E．则旗杆的高度分三部分进行求解．BC对应的旗杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2=5；在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE=2．再根据勾股定理，得CE=因为DE⊥BC，则DE对应的旗杆高度和DE相等，CE对应的旗杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，是2=故旗杆的高度是8.7．【点睛】本题属于实际应用题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题.利用坡度的概念，直角三角形的性质求解．。

九年级下册数学(北师大)课件：1.6 利用三角函数测高

AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝
MH DM
，即
x－30 63
＝
33，解得：x＝30＋21 3，即建筑物GH的高为(30＋21 3)米
(1)若修建的斜坡BE的坡比为 3 ∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B，C，A，G，H在同一平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？
解：∵FM∥CG，∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长为60 2
米，则山高CD等于( A )
A．30(1＋ 3)米 B．30( 3－1)米 C．30米 D．(30 3＋1)米 6．如图，太阳光与地面成60°角，一棵倾斜的树AB与地面成 30°角，这时测得大树在地面的影长约为10 m，则大树AB的长大约
为___1_7_.3__m．(精确到0.1 m)
7．(2014·青岛)如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向(水平方向)前进80 m 至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°.
求AD的长．
解：过A作AH⊥CB于H，设AH＝x，CH＝ 3 x，DH＝x，∵ CH－DH＝CD，∴ 3x－x＝10，∴x＝5( 3＋1)，∴AD＝ 2x＝5 6 ＋5 2
9．为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24 m，∠BAC ＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数，参考数据： 2 ≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30)

九年级数学北师大版下册习题课件第一章1.6 利用三角函数测高

1．(5分)在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°(tan 27°≈0.
2为．_(_5_分_解_)_如__图：__，__过小_ 明m点．在楼A顶作上的A点EA处⊥测C得D楼前交一棵C树DC的D的延顶端长C的线俯角于为6点0°，E又，知水则平距A离EB＝D＝B10Cm，＝楼高78AB＝m24，m，则树高CD 8C．D∴之(15间分C的)E(距聊＝离城A中AC考为E)3如·5 图tma，，n后小站莹∠在在CM数点A学处E综测合＝得实7居践8民活t楼动anC中D，的5利8顶用°端所D≈的学7仰的8角数×为学14知5.°识6，对0＝居某民小1楼区2A居4B民.的8楼(顶mA端B)B的，的高仰度D角进E为行＝5测5°量A，，E已先·知测t居a得民n居楼民C楼DA的B高与
51解1．)：，(5过此分点时)在A旗“解作杆测A：在E量⊥水∵旗C平杆D在地交的面C高DR上度的t的”△ 延影的长子C数线的E学于长D课点度题E中为，学2则，习4Am中∠E，，＝则C某B旗CE学＝杆习D7的8小＝m高组，度5测∴8约得°C为太E(＝，阳A光tEa线·)tna与n ∠水∠C平AC面EE＝的D7夹8t角＝an为5CD82°7DE°≈7(t8，a×n 21∴7. °D≈0E. ＝tanC5D8°
解：过点 A 作 AH⊥CD 于点 H，设 CH＝x m，在 Rt△ACH 中，∵∠CAH＝
30°，∴BD＝AH＝tanC3H0° ＝ 3 x (m)，∴在 Rt△ECD 中，tan ∠CED＝ECDD
＝
x＋10 3x－6
＝
3
，解得 x＝5＋3
3 ，∴CD＝(15＋3
3 )(m)，∴CF＝CD－DF
解答题(共60分) 7．(14分)如图，AB是某景区内高10 m的观景台，CD是与AB底部相平的一座雕像(含底座)，在观景台顶A处测得雕像顶C点的仰角为30°，从观景台底部B处向雕像方向水平前进6 m到达点E，在E处测得雕像顶C点的仰角为 60°，已知雕像底座DF高8 m，求雕像CF的高．(结果保留根号)

北师大版九下数学1.6 利用三角函数测高

1234
3.在测量底部不可以到达的物体的高度时,一般所需要测出的数据是( C )
A.地面上两点与被测物体的两个倾斜角 B.地面上两点间的距离及测倾器的高度 C.A,B选项中的四个数据 D.以上方法都可以
1234
1234
解如图,过点C作CE⊥AB于点E,设CE=x m.在Rt△AEC 中,∠CAE=45°,AE=CE=x m.
A A
ttaann��-ttaann��b+a
1234
1.在用测倾器测量倾斜角时的理论依据是 ( B ) A.两直线平行,同位角相等 B.同角的余角相等 C.同角的补角相等 D.相等的角是对顶角
1234
2.在测量底部可以到达的物体的高度时,一般所需要测出的数据是 (D) A.地面上某点与被测物体的倾斜角 B.地面上某点与被测物体之间的距离 C.测倾器的高度 D.A,B,C选项中的三个数据
6 物体的高度,分为两种类型:(1) 测量底部可以到达的物体的高度;(2)测量底部不可以到达的物体的高度.
2.如图,在测量底部可以直接到达的物体的高度时,步骤如下: (1)在测点 D 处安置测倾器,测得物体顶部的仰角 ∠ACE=α ; (2)量出仪器的高CD=EB=b和测点D到物体的水平距离 BD=CE=a; (3)因为AB=AE+EB= atan α+b ,所以按照AB= atan α+b 的表达式,就可求得物体的高.
答:河宽约为68.3 m.

九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.6《利用三角函数测高》课件

44° 35’ 45° 25’
G B
CD的长
60.11m 59.89m
（1）到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？（2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？
讨与同伴交流一下，谈谈你的想法？论：
1.如图1-16，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角
=L·tanα
α
C
L
aA
MN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+ a
课题测量学校旗杆MN的高度(底部可以到达)
测
M
量
MN=Ltanα+ a
示意图
E N
α
L
C aA
测量项目
第一次
第二次
平均值
测
得
倾斜角α α＝30°15′
α＝19°49 ′
α＝30°2 ′
数据
测倾器高a a ＝1.23m
a ＝1.21 m a ＝1.22m
活动1:测量倾斜角
水平线
根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.
同角的余角相等
活动1:测量倾斜角
水平线
1
2
4
3
活动2:测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接
测得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB =
米；
2.如图1-17，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影
子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，测得BC = 10米，CD =

1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)

1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计（北师大版）一、教学目标1.了解三角函数的定义和性质。

2.学会使用正弦、余弦、正切函数测量高度。

3.掌握解决与高度和角度相关的实际问题的方法和步骤。

二、教学内容1.三角函数的定义和性质。

2.正弦、余弦、正切函数的用法。

3.利用三角函数测量高度的实际问题。

三、教学重点1.理解三角函数的定义和性质。

2.掌握正弦、余弦、正切函数的用法。

3.运用三角函数解决实际问题。

四、教学难点1.学习如何应用三角函数测量高度。

2.解决与高度和角度相关的实际问题。

五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法。

2.视频和实物模型展示三角函数测高的应用。

3.组织学生进行实际操作和练习。

六、教学过程1. 导入新知识通过提问和引导，导入三角函数的概念和性质，引起学生的兴趣，并激发学生对测量高度的需求。

2. 讲解三角函数的定义和性质利用教材和课件，详细讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，并与实际问题联系起来，解释三角函数与高度的关系。

3. 演示三角函数测高的方法通过播放视频或展示实物模型，演示如何使用三角函数测量高度的方法和步骤，并让学生观察和思考。

4. 实际操作和练习将学生分成小组，配备测量工具，进行实际操作和练习，例如利用三角函数测量树木高度、建筑物高度等。

教师和助教进行指导和解答疑惑。

5. 总结与归纳让学生整理笔记，总结三角函数测高的方法和步骤，并与实际问题进行对比，并解答学生的问题。

七、教学评价1.在实际操作中，观察学生是否能正确使用三角函数测量高度。

2.组织小组讨论，评价学生对三角函数测高方法的理解和应用能力。

3.布置练习题，检查学生对三角函数测高的掌握情况。

八、教学延伸利用三角函数测高的方法，引出其他与高度和角度相关的实际问题，如建筑物的倾斜角度、塔吊的工作范围等。

并鼓励学生进行独立思考和解答。

九、板书设计1.6 利用三角函数测高- 三角函数的定义和性质- 正弦、余弦、正切函数的用法- 测量高度的实际问题十、教学反思本节课将数学知识与实际问题相结合，培养了学生的测量和解决问题的能力。

北师大版九年级数学下册课件：1.6 利用三角函数测高

解：由题意，得∠AOC＝90°，OC＝5 km. 在Rt△AOC中，∵tan34°＝ OA ，
OC
∴OA＝OC·tan34°≈5×0.67＝3.35(km)．
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝5 km，
∴AB＝OB－OA≈5－3.35＝1.65≈1.7(km)．
答：A，B两点间的距离约为1.7 km.
测量底部不可以到达的物体的高度（两次测量仰角）
利用解三角形的知识，求出物体的高度
4. 如图小山岗的斜坡AC的坡度是
3 4
，坡角为α，在与山脚C距离200
m的点D处测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高．(结果精确到
1 m，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89， tan 26.6°≈0.50)
解：设小山岗的高为x m，
在Rt△ABC中，由题意得 tan α＝ AB x 3 ,
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
2.在测点B处安置测倾器,测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及A,B之间的距离AB=b.
则CD=AB=CE－DE=
ME
tan
ME
tan
=b
∴ME=
b • tan • tan tan tan
∴MN= b • tan • tan tan tan
A. 30 m
tan
B．30sinα m
C．30tanα m D．30cosα m
2. 如图，在高度是21 m的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝_7__3___2_1_m(结果保留根号)．

06-第一章6利用三角函数测高

6 利用三角函数测高
栏目索引
发挥直观想象,构造直角三角形素养解读直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高度:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.

专题1-6 利用三角函数测高-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠B=β.
BE 5.8m,
BE
1 CF
1

,

,
AE 1.6 DF 2.5
B
A
i=1:1.6
α
9.8
C
β
i=1:2.5 5.8
D
F
E
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.
当堂练习
1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装
水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光
线刚好不能直接射人室内，则m的值是（
）
A．m= +0.8
C．m= -0.2
B．m= +0.2
D．m= -0.8
【答案】C
问题1：在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？
在现实生活中，我们不可以直接从被测点到达被测点
的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），
再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是
在地面上不能直接测得测点与被测
物体的底部之间的距离，
如图中的AN或BN的长度.
Cα D β
在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，
∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°
设CH＝xm，
在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD＝45°，
∴GH＝xm
在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，

∴tan∠CBH＝，

北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章 1.6 利用三角函数测高

北师大版九年级下册九年级下册第一章 1.6 利用三角函数测高姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米2 . 如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（）A．B．C．D．3 . 如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）A．B．C．D．二、填空题4 . 矩形两条对角线的夹角是60°，一条边长为4cm，则此矩形的对角线最长_____．三、解答题5 . （本题满分14分第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，cos∠A＝．点M在AB边上，AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x．（1）求底边BC的长；（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．6 . 如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹角∠CAB=37°，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA=45°.问湛河的宽度约多少米?(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75)7 . 关公，作为运城乃至山西的一张名片，吸引了来自世界各地的游客，在运城西南公里的常平村(关公故乡)南山上，有一尊巨型关公铜像，高米，象征关公享年岁，底座的高度也有一定寓意．有一位游客，对此产生了兴趣，想测量它的高度，由于游客无法直接到达铜像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量它的高度.如图，代表底座的高，坡顶与底座底部处在同一水平面上，该游客在斜坡底处测得该底座顶端的仰角为，然后他沿着坡度为的斜坡攀行了米，在坡顶处又测得该底座顶端的仰角为．求：坡顶到地面的距离；求底座的高度(结果精确到米)．(参考数据:，8 . 已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，△AEF＝90°（1）如图①，已知点F在CD边上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图②，已知AE＝EF，G为AF的中点，试探究线段AB，BE，BG的数量关系；（3）如图③，点E在矩形ABCD的BC边的延长线上，AE与BG相交于O点，其他条件与（2）保持不变，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面积．9 . 小明要测量公园北湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．（1）求∠ABC的度数；（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）10 . 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为48m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为37°，测得底部C处的俯角为60°，求甲、乙两座建筑物的高度AB和DC（结果保留根号）．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）参考答案一、单选题1、2、3、二、填空题1、三、解答题1、2、3、4、5、6、。

北师大版九年级数学下册第一章6利用三角函数测高课件

距离b，由此可得物体的高度为
．
1. 如图，数学活动小组利用测倾器和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测倾器CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端 B之间的距离为6米．设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是( B )
2. 如图，DE＝150 m，在A处用测倾器测得
塔顶B的仰角为30°，又知测倾器高1.5 m，则塔
高BE为
m．(结果保留根号)
3. 某兴趣小组用高为1.2 m的仪器测量建筑
物CD的高度．如图，在距CD一定距离的A处用仪器
观察建筑物顶部D的仰角为β，在A和C之间选一点
B，在B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为α.测
得A，B之间的距离为4 m，tan α＝1.6，tan β＝1.2，
起点拱门CD的高度约为6米．
【基础训练】 1. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为( A )
2. 小强和小明去测量一座古塔BE的高度(如图)．他们在离塔60 m的A处，用测倾器测得塔顶B的仰角为30°.已知测倾器AD高1.5 m，则古塔BE的高度为( B )
则建筑物CD的高度为 20.4 m.
5. 如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD 的高度．(结果精确到1米．参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
(2)如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度(如图2) 的方案．
要求： ①在图2中，画出你测量小山高度M′N′的示意图(标上合适的字母)； ②写出你设计的方案．(测倾器的高度用h表示，其他涉及的长度用字母 a，b，c，…表示，涉及的角度用α，β，…表示，最后请给出计算小山高度MN的式子)

北师大版数学九年级下册教案：1.6利用三角函数测高

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正切函数的基本概念。正切函数是锐角三角函数的一种，表示直角三角形中对边与邻边的比值。它在实际测量中具有重要应用，如测量高度。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用正切函数测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
举例：将测量物体高度的问题转化为求直角三角形未知边长的问题。
2.教学难点
（1）在实际测量中，如何正确构造直角三角形，确定测量角度和已知边长。
难点解析：学生在实际操作过程中，可能会在选择测量角度和确定已知边长方面出现问题，需要教师指导。
（2）在计算过程中，如何准确使用计算器求解三角函数值，并进行合理的误差分析。
在教学方法上，我觉得可以尝试更多互动式的教学手段，如让学生走上讲台，展示自己的解题过程，这样既能激发学生的兴趣，又能提高他们的表达能力。同时，对于学习有困难的同学，我需要给予更多的关注和个别辅导，帮助他们克服学习难点。
最后，通过今天的课堂总结，我希望同学们能够真正掌握利用三角函数测高的方法，并在日常生活中能够灵活运用。作为教师，我也要不断反思和改进教学方法，以提高同学们的数学素养和解决实际问题的能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对利用三角函数测高的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版数学九年级下册教案：1.6利用三角函数测高
一、教学内容

北师大版九年级数学下册第一章6利用三角函数测高

测量底部可以到达的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
(1)在测点D处安置测倾
器,测得旗杆顶端的仰角∠ACE=α; (2)量出测倾器的高CD =b和测点D到旗杆底部 B的水平距离BD=a; (3)根据三角函数求出旗杆的高度AB=atan α+ b
提示所谓“底部可以到达”就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
题型二利用三角函数测距离的应用例2 (2019海南琼中二模)在社会实践课上,小聪所在小组要测量一条小河
的宽度,如图1-6-2,河岸EF∥MN,小聪在河岸MN上的点A处测得河对岸小
树C位于东北方向,然后向东沿河岸走了30米,到达B处,测得河对岸小树D
位于北偏东30°的方向,又有同学测得CD=10米.
CD为(atan α+atan β)米,故选C.
2.在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图1-6-2,已知李明与假山的水平距离BD为12 m,他的眼睛距地面的高度为1.6 m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的6 0°刻度线,则假山的高度为 ( )
在Rt△AHC中,HC= AH = 3(30-x)米,
tan ACH
则BD=CH= 3 (30-x)米,∴ED=[ 3 (30-x)-10]米,
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即 x
= 3 ,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15- 5 3 3
.答:立柱CD的高为15-
测物体的底部之间的距离.
(2)关系式MN= b tan α tan β +a的推导: tan β- tan α

北师大版九年级数学下册1.6 利用三角函数测高(含答案)

1.6 利用三角函数测高1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为A. 40 mmD. 160 m2.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．4.如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．第4题图第5题图第6题图5.如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为300，底部D处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）6.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．7.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．8.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？9.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;（3）量出测倾器的高度AC＝h。

北师大版九年级数学下册第一章1.6利用三角函数测高课件

活动方式:分组活动,全班交流研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪,测角仪等)、皮尺等测量工具.
活动一:测量倾斜角. 测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅垂和支杆组成(如图).
度盘铅垂
支杆
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
90 90
P
Q
0
1、把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置。
90 90
M
30°
0
2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。
90 90
0
M 2、转动转盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数。根据测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由. “同角的余角相等”（测仰角），或“对等角相等”“同角的余角相等”（测俯角）。
活动二:测量底部可以到达的物体的高度. 所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行:
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α. 2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ水平位置时它与地面的距离).
全等、类似、三角函数等。
议一议 (2)如果一个物体的高度已知或容易测量,那么如何测量某测点到该物体的水平距离. 如图为例，可以测出M的仰角MCE ,以及测倾器
的高度AC a,然后根据AN MN a 即可求出测点A
tan
到物体MN的水平距离AN.
练习如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是５m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度。(精确到0.01m)

北师大版九年级数学下册 九年级数学下册 第一章 1.6 利用三角函数测高

北师大版九年级数学下册：1.6《利用三角函数测高》教学设计

北师版九年级数学下册第一章1.6 利用三角函数测高

北师大版九年级下册九年级下册第一章1.6利用三角函数测高

九年级下册数学(北师大)课件：1.6 利用三角函数测高

九年级数学北师大版下册习题课件第一章1.6 利用三角函数测高

北师大版九下数学1.6 利用三角函数测高

九年级数学北师大版初三下册--第一单元1.6《利用三角函数测高》课件

1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)

北师大版九年级数学下册课件：1.6 利用三角函数测高

06-第一章6利用三角函数测高

专题1-6 利用三角函数测高-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

北师大版九年级数学下册 九年级数学下册 第一章 1.6 利用三角函数测高

北师大版九年级数学下册第一章6利用三角函数测高课件

北师大版数学九年级下册教案：1.6利用三角函数测高

北师大版九年级数学下册第一章6利用三角函数测高

北师大版九年级数学下册1.6 利用三角函数测高(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章1.6利用三角函数测高课件

北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章 1.6 利用三角函数测高

北师大版九年级数学下册九年级数学下册第一章 1.6 利用三角函数测高