21.2二项方程
九年级上册数学21.2 解一元二次方程公式法
21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x ，则另一个正方形的边长是(10－x )，由题可得，x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程： (1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0；(4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a ，b ，c 的值，并计算b 2－4ac 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x 1＝－2，x 2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x 2＋4x －2＝0.∵b 2－4ac ＝24，∴x ＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)∵b 2－4ac ＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。
九年级数学上册 21.2 一元二次方程求根公式推导课件 新人教版
ax2bxc0a0
(1)当b2 4ac 0
解: 两边同时乘以 4 a 得： 2axb b2 4ac
4 a 2x2 4 a b x 4 a c 0
2ax222axb4ac
配方得：
2axb b24ac
b b2 4ac x
2a
2 a x 2 2 2 a x b b 2 b 2 4 a c (2)当b2 4ac 0时
ax2bxc0a0
小游戏：排一排（先独立完成再分组讨论）
x2bx c
1 当ab 2 4 a c 0 时 a
x b 2a
解得：x
解 ：a0x2bxc0
a0,4a2 a0 a b2 4ac的值有三种情况：
2当b2 4ac0时
解得：x1 x2
移项得：x2 bx (3)当b2 4ac 0时， a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
a0,4a2 0 b2 4ac的值有三种情况：
1当 b 2 4 ac 0时
x b 2a
b2 4ac 2a
解 得 ： x b b2 4ac
2a
2当b2 4ac0时
解得：x1 x2
b 2a
(3)当b2
2a
0，方程无实数根
四、解法欣赏
二、温故而知新
请用配方法解方程：
2x24x10
解: 二次项系数化为1得：
一化
x 2 2x 1 0
二移
移项得：
x
2
2 x
2
1
2
配方得： x22x12112
三配 四开
2
即 (x1)2 1
五解
2
开方得：x 1 2
2
解得：x1
21.2二项方程
word 格式-可编辑-感谢下载支持21.2二项方程教学目标：1．在二项方程概念的形成过程中,感受从一般到特殊的研究问题的方法．2．会解二项方程,感受分类讨论和化归的数学思想．教学重点：二项方程的解法．教学难点：形如二项方程的方程的解法．教学过程：一、探究新知1、复习引入上节课我们学习了一元整式方程，什么叫一元整式方程呢？你能写出一些一元整式方程吗？我们已经会解一元一次方程和一元二次方程了，那么是否所有的一元高次方程我们现在都能求解呢？我们来看这几个方程——（教师划出几个二项方程，如果学生没有写出二项方程，那么教师可以补充几个二项方程．例如：）083=-x ,016215=-x ,01853=+x …… 今天我们来研究这类方程，请同学们观察这些方程．问1：这些方程都是一元整式方程吗？问2：这些方程与其它一元整式方程相比有什么不同点？ （学生口述后，教师简单小结）2、概念形成(师生共同完成)（1）二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．（2）一般形式：关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（在给出字母表示的一般形式后马上引导学生思考这里三个字母a 、b 、n 分别有什么取值要求） 注 ①n ax =0（a ≠0）是非常特殊的n 次方程，它的根是0．②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次．3、概念辨析（书P31/1）判断下列方程是不是二项方程：（1）08213=+x ；（2）04=+x x ； （3）95=x ； （4）13=+x x ． 二、二项方程的解法如何解这些特殊的高次方程呢？我们一起来尝试一下．1、例1、解下列二项方程：（1）83=x （2）0325=+x（3）029214=-x （4）016=+x （1）（2）两题都可以转化为求一个实数的奇次方根， （3）（4）两题都可以转化为求一个实数的偶次方根，381=x ）解：（x =2∴原方程的根是x =2．23232)2(55-=-=-=x x x∴原方程的根是x =-2．word 格式-可编辑-感谢下载支持.1)4(9992921)3(64444原方程没有实数根原方程的根是-=±=±===x x x x x 【适时小结】解一元n 次（n >2）二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根。
《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。
五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。
问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。
(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。
九年级数学上册 第二十一章 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法备课资料教案 (新版)新人教版
第二十一章 21.2.3因式分解法知识点1：用因式分解法解一元二次方程1. 因式分解法:因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法,叫做因式分解法.2. 因式分解法的理论依据是:若两个因式的积等于0,则这两个因式至少有一个等于0. 用式子表示为:若a·b=0,则a=0或b=0.3. 因式分解法的基本思想:化一元二次方程为一元一次方程,基本方法是“降次”. 通过分解因式,可以化二次式为一次式,达到降次的目的,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解.4. 因式分解法的一般步骤:(1)将方程化为一元二次方程的一般形式;(2)将方程左边因式分解为两个一次因式的积;(3)令每一个因式分别为零,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的根.5. 方法:因式分解法几种常见的类型形如x2-a2=0的一元二次方程:将左边运用平方差公式因式分解为(x+a)·(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x2=a.形如x2+bx=0的一元二次方程:将左边运用提公因式因式分解为x(x+b)=0,则x=0或x+b=0,即x1=0,x2=-b.形如x2-(a+b)x+ab=0(a,b为常数)的一元二次方程:将其左边因式分解,方程变为(x+a)(x+b)=0,则x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x2=-b.知识点2：灵活选用方程的解法解一元二次方程的方法有:直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.1. 当一个一元二次方程的一边为零,而另一边可以分解成两个一次因式的积时,就可以运用分解因式法求解;2. 如果一个一元二次方程的一边是含有未知数的平方式,另一边是一个非负数,就可以直接开平方求解;3. 用配方法解方程是以完全平方式a2±2ab+b2=(a±b)2和直接开平方为依据将方程加以变形,即将给定的一元二次方程经过移项,二次项系数化为1,配方后写成形如(x+b)2=c(c≥0)的形式后,再用直接开平方法求解.4. 公式法是解一元二次方程的“万能钥匙”,它对任何形式的一元二次方程都适用,用公式法解方程,只需将一元二次方程化为一般形式,正确找出a,b,c的值,再代入求根公式x=即可.5. 选择合适的方法解一元二次方程(1)如果题目能使用直接开平方法解方程,那就直接使用开平方法解方程;(2)能使用因式分解方法求解的一元二次方程,就不要使用公式法解决;(3)当不易使用因式分解法解的方程,且方程中的系数绝对值较大时,我们考虑使用配方法解方程;(4)公式法是解决一元二次方程的通用方法,当其它方法都不易解决时,我们考虑使用公式法解题.考点1：利用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解下列方程.(1)5x2+3x=0; (2)7x(3-x)=4(x-3);(3)4x2-9=0; (4)(2y+1)2+2(2y+1)+1=0.解:(1)原方程可化为x(5x+3)=0,所以x=0或5x+3=0,解得x1=0,x2=-.(2)原方程可化为7x(3-x)+4(3-x)=0,即(7x+4)(3-x)=0,所以7x+4=0或3-x=0,解得x1=-,x2=3.(3)原方程可化为(2x-3)(2x+3)=0,所以2x-3=0或2x+3=0,解得x1=-,x2=.(4)原方程可化为(2y+1+1)2=0,所以2y+2=0,解得y1=y2=-1.点拨:(1)将方程左边用提公因式法因式分解为x(5x+3);(2)先移项,将方程右边化为0,然后把(3-x)作为公因式提取出来,原方程即化为(7x+4)(3-x);(3)4x2-9可写成(2x)2-32,运用平方差公式可将其因式分解为(2x-3)(2x+3);(4)把(2y+1)看作一个整体,方程左边满足完全平方和公式,可将其分解为(2y+1+1)2.考点2：用适当的方法解下列一元二次方程【例2】用适当的方法解下列一元二次方程:(1)4(x-5)2=16; (2)x2+4x+1=0;(3)3x2+2x-3=0; (4)(x+3)(x-1)=5.解:(1)(x-5)2=4,开方,得x-5=±2.即x1=7,x2=3.(2)移项、配方,得(x+2)2=3,开方,得x+2=±.即x1=-2+,x2=-2-.(3)b2-4ac=22-4×3×(-3)=40,则x=.即x1=,x2=.(4)整理,得x2+2x-8=0,因式分解,得(x+4)(x-2)=0,即x1=-4,x2=2.点拨:根据方程的不同特点选取最简便的方法:(1)两边同除以4后,可以用直接开平方法;(2)二次项系数为1,一次项系数为偶数,可以用配方法;(3)一时难以有简便方法,可以用公式法;(4)不去括号不能用任何方法解答,整理后发现,可以用因式分解法解.。
新人教版九年级上册数学《21.2解二元一次方程》教案
第3课时 21.2.1 配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程． 教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程． 重难点关键1．重点：运用开平方法解形如(x+m ）2=n(n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n(n ≥0）的方程． 教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空（1）x 2—8x+______=（x-______）2;（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+____）2．问题1：根据完全平方公式可得:（1)16 4;（2)4 2；（3）（2p )2 2p． 问题2:目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次?怎样降次？以前学过哪些降次的方法？ 二、探索新知上面我们已经讲了x 2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3,如果x 换元为2t+1,即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢? （学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±3 即2t+1=3，2t+1=—3方程的两根为t 1=1,t 2=—-2例1：解方程:(1）（2x-1） 2=5 (2)x 2+6x+9=2 （3)x 2—2x+4=—1分析：很清楚,x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：（2)由已知，得:（x+3）2=2直接开平方,得：x+3=±即所以,方程的两根x 1=—x 2=— 例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
第十九页，共二十二页。
课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
第二十页，共二十二页。
C
2021/12/11
第二十一页，共二十二页。
直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
12/11/2021
第八页，共二十二页。
算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
12/11/2021
第九页，共二十二页。
典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版的全部内容。
21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
21.2二项方程
例2：解方程:
(1)
(2)
(3)
x 64 0
3
2x 18 0 1 5 3 x 0 2 2
4
(4)
x 1 0
6
例 3、
（1）解方程： y
3
4 0
（2）在上述方程中，若y=x+1时，求x 的值.
（3）解二项方程：
2(1 3x) 10 0
4
练习2：
（1） ( x 2)
3
27 0
4
2 （2）2(1 3 x) 0 81
1 2 x 18 0 （2）2 x 0 （1） 4
6
3
练习3、解下列简单的高次方程：
1 （3） 2 x 0 4
4
2 4 （4） x 54 0 3
解下列方程：
(1) x 16 0
4
(2) ( x 3) 27
21.2 二项方程
一、问题引入
哪些是一元整式方程？ 哪些是一元高次方程方程？ 哪些是一元二次方程方程？ 方程(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有何异同？
2
（ 1 ）2x 1 0 （2）x 5x 6 0 2 （ 3）2x 4x - 3 0 3
3
（5）x - 8 0
5
ax + b = 0(a ≠ 0,b ≠ 0,n是正整数）
n
1．判断下列方程是不是二项方程：
1 3 （1 ） x 8 0 2
（2）x 4 （3） x （4） x
5
x0
9
x 1
3
例1：解方程:
5 x 15 8
3
练习1．解下列简单的高次方程： （1）
数学人教版九年级上册21.2一元二次方程的解法——直接开平方法
A．x1=﹣2，x2=3 B．x1=﹣7，x2=﹣2
C．x1=3，x2=﹣2 D．x1=3，x2=8
（二）解答题
6．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2
学生自主列式解答：
(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
2．已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（ ）
A．x1=x2=2 B．x1=x2=﹣2 C．x1=﹣4，x2=4 D．x1=﹣2，x2=2
3．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．1
4．方程x2=0的实数根有（ ）
A．1个B．2个C．无数个D．0个
上面我们已经讲了x2＝2பைடு நூலகம்，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±5，如果x换元为2t＋1，
即(2t＋1)2＝25能否也用直接开平方的方法求解呢？
(学生分组讨论并试练)，总结根的3种情况.练一练：（x﹣2）2﹣16=0．49（1+x)2=121
问题2：县政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．
21.2 一元二次方程的解法(公式法) 教案
21．2一元二次方程的解法教学目标：1、 理解一元二次方程求根公式的推导过程。
2、 会用公式法解一元二次方程。
教学重难点：重点：本节教学的重点是用公式法解一元二次方程。
难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节教学的难点。
教学过程： 一、复习引入请你用配方法解下列一元二次方程： 08922=+-x x学生先独立完成，由一名学生板演，师生共同评价。
师：如果是02004200620052=+-x x 呢？你能用配方法来解吗？ 生：可能会说，能,但比较麻烦。
师：对于任意的一个一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）是不是有一种万能的方法，都能求出一元二次方程的解呢？下面我们一起研究02=++c bx ax 的特点。
引出课题：用公式求一元二次方程的解 二、授新课 1、 探究活动学生完成33p 怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）。
请完成下面的填空： 1）化1:把二次项系数化为1： 2）移项:把常数项移到方程的右边： 3）配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方：4）变形:方程左分解因式,右边合并同类：5）开方:根据平方根意义,方程两边开平方： 6）求解:解一元一次方程： 7）定解:写出原方程的解。
.0:2=++ac x a b x 解.2a cx a b x -=+.22222a ca b a b x a b x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.442222a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,042时当≥-ac b .2422aac b a b x -±=+().04.2422≥--±-=∴ac b aac b b x想一想：为什么0,042≠≥-a ac b ？如果042≤-ac b 一元二次方程有没有实数根？（学生思考后由一名优生回答） 2、给出求根公式一般地,对于一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）： 板书：1）上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-配方法解一元二次方程：使学生掌握将一元二次方程转化为完全平方公式的步骤，并能求解出方程的根。例如，解方程x^2 + 6x + 9 = 0，引导学生将方程左边写成(x + 3)^2的形式，从而迅速得出解。
-公式法解一元二次方程：让学生牢记一元二次方程的求根公式，并能够灵活运用公式求解不同形式的方程。如解方程ax^2 + bx + c = 0，使用公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有趣的问题，也展示出了很好的团队合作精神。这让我深感欣慰，也证明了解决实际问题的教学策略是有效的。但在这一过程中，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，因此，我需要在以后的课堂中加强对学生的引导，确保讨论能够更加高效和深入。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
12/10/2021
例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
12/10/2021
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
21.2-2二项方程
4
谈收获和注意点
五、作业： 练习册：选做一部分课堂中的例题和练习题加以巩固
举例板书设计：
1. 解双二次方程的一般过程 2. 如何判断双二次方程的根的个数 3. 例题解题格式
课后反思：
4 2 （1） x 5 x 4 0 ， （2） 2 x x 1 0
4
2
回顾换元法，体会换元 的思想
如何求解上述方程？ 3．观察：以下哪些方程与 x 5 x 4 0 ， 2 x x 1 0 具有
4 2 4 2
观察方程，寻找共同点
共同的特点？ （1） x 14 x 45 0
4 2
④ 2x 6x 3 0 .
4 2
分析：令 y x2 ①△>0, y1 y2 0, y1 y2 0 ∴原方程有四个实数根.
②△>0, y1 y2 0, y1 y2 0 ∴原方程没有实数根. ③△>0, y1 y2 0 , ∴原方程有两个实数根
④△<0 ∴原方程没有实数根. （2）学生归纳： 你对双二次方程的根的个数有什么发现？ 当△≥0 时，如果 y1 y2 0 ，那么原方程有两个实数根； 如果 y1 y2 0, y1 y2 0 ，那么原方程有四个实数根； 如果 y1 y2 0, y1 y2 0 ，那么原方程没有实数根. 当△<0 时，原方程没有实数根. 三、练习： ★★★： （1） x 3x 10 0 ； (2) 3x 2 x 1 0
4 2
归纳、掌握概念
（3）学生归纳：如何求解双二次方程？ 分析：求解的思想方法是“降次” ，通过换元把它转化为一元二方程： （1） x 9 x 14 0
4 2
每日一练二项方程
21.2二项方程知识梳理1．如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．2.对于二项方程)0,0(0≠≠b a b ax n＝＋，当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根．当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根．基础训练一、选择题1.下列方程哪一个不是二项方程··············································································（）（A ）51602x -=；（B ）520x +=；（C ）2123x =；（D ）3223x x =.2.下列方程中，只有一个解得是··············································································（）（A ）41x =；（B ）333x =；（C ）2173x =；（D ）222x =.3.下列方程中，有解的方程是·················································································（）（A ）2320x +=；（B ）430x +=；（C ）330x +=；（D ）210x --=.二、填空题4.014=-x 是一元次二项方程.5.032213=+x 是一元次二项方程.6.对于二项方程40ax b +=（a ≠0，b ≠0）的一根是3，另一根是.7.对于二项方程40ax b +=（a ≠0，b ≠0）且0a b +=，则方程的根是.三、解方程8.31903x +=9.41404x -=10.410x +=11537290x -=12．3(23)80x -+=13.4812(12)08x +-=四、解答题14.已知关于x 的方程07291)(3=-ax 有一个解为1，求a 的值．五、拓展提高15.已知二项方程016)(4=-+bx a 有两个根分别为1、121-==x x ．试求b a 、的值．16.若01222=+++-b b a ，试解方程04=+b ax ．。
八年级21.2《二项方程》学习单与作业单
学习单： 21.2二项方程知识梳理：1．关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：（ ）； 2．实数范围内解二项方程()0,00≠≠=+b a b ax n ． 当n 为奇数时， ；当n 为偶数时，如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ．例题1 利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）．（1）85153=x ； （2）06835=-x ．例题2 利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）．（1）023215=+x ； （2）01824=-x ； （3）016=+x ．注释：（用于记录要点、线索、提示和疑问等）例题3 利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）．（1）()0413=-+x ；（2）()0103124=--x ；（3）05)121(5=+-x ．小结：（用于完成听课后自主复习时书写）作业单：21.2二项方程1．填空：（1）如果关于x 的方程()004≠=+a b ax 有一个根为3， 那么这个方程的解为____________________．（2）关于x 的方程112=+n x （n 为正整数）的根为_________；12=n x （n 为正整数）的根为__________．2．课本第31页，课后练习21.2第2题．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）．（1）02435=+x ； （2）054123=+x ；（3）010324=-x ．（此处边栏用于标记、提示、订正、提炼要点等）3．练习册第13页，习题21.2第4题．利用计算器解下列方程（近似根保留三位小数）．（1）()2823-=+x ； （2）()02561234=--x ；（3）()16911543=+x。
21.2二项方程-2020-2021学年沪教版(上海)八年级数学第二学期同步练习
21.2二项方程一、单选题1．下列方程中，是二项方程的是（ ） A ．；B ．；C ．；D ．2．下列方程组是二元二次方程组的是（ ）A ．2322y x xy x =⎧⎨+-=⎩B ．2013xy x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．531x yx y +=⎧⎨-=-⎩D．23y y x==-⎪⎩3．已知00x y >>，且22231x xy y xy ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，那么()2x y +的值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．在下列方程中，不是二元二次方程的有（ ） A ．23x y +=； B ．xy ＝3； C ．2yx ；D ．2131y x =-+． 5．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．12x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．22231310x y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．21x y xy -=⎧⎨=⎩D ．313x y xy y x⎧+=⎨=-⎩6．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．下列方程中，是二元二次方程组的是（ ）A ．2210x -3y 50x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩B ．221514x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C ．x 3513y x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．x 57y xy +=⎧⎨=⎩8．方程组2230x y x x y +=⎧⎨++-=⎩的解的情况是（ ）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定9．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．51x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．210618x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C ．716xy x =⎧⎨=⎩D ．312x y xy x y⎧+=⎨=+⎩10．方程组2220x y my x ⎧-=⎨-=⎩有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <- B ．14m >-C ．104m -<> D ．14m >-，且0m ≠二、填空题11．方程组32x y xy +=⎧⎨=⎩的根是_______________12．方程组3,2x yxy-=⎧⎨=-⎩的解是____．13．方程组32x yxy+=-⎧⎨=⎩的解是_________．14．已知1,2,xy=-⎧⎨=⎩______（填“是”或“不是”）方程22220x xy y x y++---=的解．15．方程组23x yxy+=⎧⎨=-⎩的解是_____．三、解答题16．解方程组：2244426x xy yx y⎧-+=⎨+=⎩①②17．解方程组：222220560 x yx xy y⎧+=⎨-+=⎩．18．解方程组：22449(1)6(2)x xy yx y⎧++=⎨-=⎩．参考答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D11．12x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩ 12．21x y =⎧⎨=-⎩,12x y =⎧⎨=-⎩13．21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩14．不是15．31x y =⎧⎨=-⎩或13x y =-⎧⎨=⎩16．由①得，()224x y -= ①22x y -=或22x y -=-将它们与方程①分别组成方程组分别为：2226x y x y -=⎧⎨+=⎩，2226x y x y -=-⎧⎨+=⎩2226x y x y -=⎧⎨+=⎩，求解得：1141x y =⎧⎨=⎩ 2226x y x y -=-⎧⎨+=⎩，求解得：2222x y =⎧⎨=⎩ ①原方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩，2222x y =⎧⎨=⎩．17．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=①20x y -=或30x y -=①2x y =或3x y =将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=①2y =±①1142x y =⎧⎨=⎩，2242x y =-⎧⎨=-⎩ 将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=①y =①33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩①方程组的解是：1142x y =⎧⎨=⎩，2242x y =-⎧⎨=-⎩，33x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩44x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩18．解：224496x xy y x y ⎧++=⎨-=⎩①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-⎧⎨-=⎩或236x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩或51x y =⎧⎨=-⎩．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n ax b 0(a 0, b 0, n是正整数) 二项方程 b n x a
1.当n为奇数时,方程有且只有一个实数根
2.当n为偶数时,
一、问题引入
哪些是一元整式方程？ 哪些是一元高次方程方程？ 哪些是一元二次方程方程？ 方程(5)、(6)、(7)、(8)、(9)有何异同？
（2）x 5x 6 0 3 2 （ 3）2x 4x - 3 0 （4） 3 x2
2
（ 1 ）2x 1 0
（5）x - 8 0
3
（6）2x - 64 0
5
（7） 5x 18 0
3
（8）t - 3t t - 2t - 3 0
4 3 2
（9）y 课学习 归纳概念： 如果一元n次方程的一边只有含未知数的一 项和非零的常数项，那么这样的方程就叫做 二项方程。 关于x的一元n次二项方程的一般形式为：
3
(2) (1 3x) 10 0
4
练习2：解下列方程
（ 1 ）（2x 3）- 32 0
4
1 5 （2）（ x 1） - 128 0 3
（ 3） （ 2 1- 3x）-192 0
4
小结：
1.什么是二项方程？
2.解二项方程的一般步骤是什么？
(1) 如果ab<0,方程有两个实数根,且这两个
实数根互为相反数,
(2) 如果ab>0,方程没有实数根
练习1：解下列方程
（1）x 64 0 （2）2 x 18 0
3
4
1 5 3 （3） x 0 2 2
（4）x 1 0
6
例2：解方程
(1) ( x 1) 4 0
ax b 0
n
（a 0, b 0, n为正整数）
提问 方程 是二项方 ax 0（a 0, n为正整数）
n
程吗？
方程 ax
n
0 是特殊的n次方程，它的根是0.
2、例题讲解
（ 1 ）x 8
3
（2）x 16
4
1 5 3 （3） x - 16 0 （4） 5x 118 0 2