浙江省镇海中学2016年高一数学奥林匹克选拔测试一+Word版含答案
浙江省温州中学2016年奥赛班数学能力评估一必修一 含解析 精品
2016.6奥赛班 数学能力评估一 试题卷[ MATHEMATICS ]（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题分10小题，每题5分，共50分） 1. 已知函数()x f ()R ∈x 是以4为周期的奇函数，当()20，∈x 时，()x f =()b x x +-2ln ．若函数()x f 在区间[]22，-上有5个零点，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．-1<b ≤1 B ．4541≤≤b C ．4511-=<<b b 或 D ．45141=≤<b b 或2. 设{}Z ∈-==y x y x M ，，22αα，则对任意的整数n ，形如4n ,4n +1,4n +2,4n +3的数中，不是M 中的元素的数为 ( ) A ．4n B ．4n +1 C ．4n +2 D ．4n +3 3. 若集合()()()(){}*∈∈=++⋅⋅⋅++++=N Z n m n m m m n m A ，，，20151021，则集合A 中的元素个数为 ( )A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 201624. 不定方程()1! 1-=-k n n 正整数解的个数为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．65. 设a ，b ，c 为实数，()()()c bx x a x x f +++=2，()()()112+++=bx ax ax x g ．记集合()R ∈==x x f x S ，0，()R ∈==x x g x T ，0，若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是 ( ) A ．S =1且T =0 B ．S =1且T =1 C ．S =2且T =2 D ．S =2且T =36. 设集合()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈=-=*N y x y x y x M ，，，45111，则集合M 中的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 7. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()2223221a a x a x x f --+-=．若R x ∈∀，()1-x f ≤()x f ，则实数a 的取值范围为 ( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6161，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6666， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3131， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3333， 8. 设平面点集：()()()()(){}1110122≤-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=y x y x B x y x y y x A ，，，，则A B 所表示的平面图形的面积为 ( )注：不得使用任何电子产品,检测范围：主要考察必修一A ．π43B ．π53C ．π74D ．2π9. 已知A 与B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集，且满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集．若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为 ( )A ．62B ．66C ．68D ．7410. 设S ={1,2,3,…,100}，若存在最大整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同，则k 的值为 ( ) A ．1299+ B ．1002 C ．1-2100 D ．1-299 二、填空题（本大题分7小题，每题4分，共28分）11. 已知(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅∈>+-++-++-++-=1021,,,0,,,，，，，且d c b a a d a d d c d c c b c b b a b a d c b a U ，则U 的值为 ．12. 设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎨⎪⎧⎬⎪⎫3l 4=⎨⎪⎧⎬⎪⎫3m 4=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3n 104，其中{x }=x -[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数．则()min ∆C13. 对区间I 上有定义的函数()g x ，记()(){x x g y I g ∈==，[]30，的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且[)()[)21101，，=-f ，[)()[)10421，，=-f ，若方程()0f x x -=有解0x ，则0x = ．14. 设函数()b ax x x f ++=2，(a ,b ∈R ),且()x f 在[]11，-上存在零点，0<b -2a ≤1，则b 的取值范围为 ．15. 定义在R 上的函数()x f 满足()()11=-+x f x f ，当x ≥0时，()x f x f 215=⎪⎭⎫ ⎝⎛，且当0≤x 1<x 2≤1时，()1x f ≤()2x f ．则⎪⎭⎫⎝⎛20161f 的值为 ．16. 设()x f 是定义在R 上的函数，若()20080=f ，且对任意R ∈x ，满足：()()x x f x f 232⋅≤-+，()()x x f x f 2636⋅≤-+，则()2008f = ． 17. 设{}654321，，，，，=A ，{}n B ，，，，⋅⋅⋅=987，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合i A ，i =1,2,……,20．2≤j i A A ，201≤<≤j i ，则n 的最小值为 ．三、解答题（本大题分5小题，共72分） 18. (本题满分14分)⑴求不等式()0121-2201010052≤-++x x x 的解集．⑵设a ,b ,c 是大于1的整数．求[][][]cb a ac c b b a c b a u ++++-++=,,,2的最小值．其中[x ,y ]表示正整数x ，y 的最小公倍数．19. (本题满分14分)设集合P n ={1,2,…,n }，n ∈N *；记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n P A ⊆；②若A x ∈，则A x ∉2；③若∈x ∁A n P ，则∉x 2∁A n P ；求f (n )的解析式(用n 表示)；20. (本题满分14分)实数a ，b ，c 和正数λ使得()x f =x 3+ax 2+bx +c 有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足： ⑴ x 2-x 1=λ；⑵ ()21321x x x +>．求 2a 3+27c －9ab λ3 的最大值．A21. (本题满分15分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上一点，过点C 作⊙O的割线，与⊙O 交于D ，E 两点，OF 是∆BOD 的外接圆O 1的直径，连接CF 并延长交⊙1O 于点G ．求证：O ，A ，E ，G 四点共圆．22. (本题满分15分)设()a x x f +=2．记()()x f x f =1，()()()x f f x f n n 1-=，n =2,3,…,M ={a ∈R |对所有正整数n ，()2≤x f n }．证明：M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-412，．第21题奥赛班 数学能力评估一 答题卷[ MATHEMATICS Answer question volume ](满分：150分 时间： 120分)11、 12、13、 14、 15、 16、 17、 三、解答题（本大题分5小题，共72分） 18、(本题满分14分)⑴求不等式()0121-2201010052≤-++x x x 的解集．⑵设a ,b ,c 是大于1的整数．求[][][]cb a ac c b b a c b a u ++++-++=,,,2的最小值．其中[x ,y ]表示正整数x ，y 的最小公倍数．班级 姓名 考号 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 订线 装订线 装订线19、(本题满分14分)设集合P n ={1,2,…,n }，n ∈N *；记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n P A ⊆；②若A x ∈，则A x ∉2；③若∈x ∁A n P ，则∉x 2∁A n P ；求f (n )的解析式(用n 表示)；20、(本题满分14分)实数a ，b ，c 和正数λ使得()x f =x 3+ax 2+bx +c 有三个实根x 1，x 2，x 3，且满足： ⑴ x 2-x 1=λ；⑵ ()21321x x x +>．求 2a 3+27c －9ab λ3 的最大值．A21、(本题满分15分)如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的割线，与⊙O交于D，E两点，OF是 BOD的外接圆O1的直径，连接CF并延长交⊙1O于点G．求证：O，A，E，G四点共圆．第21题22、(本题满分15分)设()a x x f +=2．记()()x f x f =1，()()()x f f x f n n 1-=，n =2,3,…,M ={a ∈R |对所有正整数n ，()2≤x f n }．证明：M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-412，．奥赛班 数学能力评估一试卷 参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 150 分）一、单项选择题（本大题分10小题，每题5分，共50分）．[ 1~5 ] D C B A D [ 6~10 ] B B D B D二、填空题（本大题分7小题，每题4分，共28分）．11、 3924 1213、 2 14、 []54-93，- 15、 321 16、 200722008+ 17、 16三、解答题（本大题分2小题，共30分）． 18、(14分)(可能有多种解法)⑴ 解 构造函数()x x x g +=2005．此函数是单调递增的奇函数．(2分)()()0122≤+-x g x g ()()()x g x g x g -=≤-⇒22-1．(2分) ∴ x 2-1 ≤ -x 2．解得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2222，x ．(2分) (共6分)⑵ 解 []()[]()[]()()c b a a c ca c b bc b a ab c b a u ++-+-+-+++=2,2,2,2222()c b a c b a ++++≥2222．(3分) (∵2≥c b a 、、且*∈N ，则当且仅当[][][]ca a c bc c b ab b a ===,,,，，) ① a 、b 、c 两两不同．a =5，b =3，c =2，∴1019min =u ．(2分) ② a 、b 、c 有两相同．a =3，b =2，c =2，∴23min=u ．(2分) ③ a 、b 、c 三者不同．代入，舍去．(1分)综上，最小值为23． (共6分)19、(14分)(可能有多种解法)20、(14分)(可能有多种解法)解 设x 1=21m λ，x 2=m+21λ，x 3=m +k ( k >12λ )． a=-(x 1+x 2+x 3)=-(3m +k )； b=x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=3m 2+2mk -14λ2； c=-x 1x 2x 3=-m 3-m 2k +14λ2m +14λ2k ． 则2a 3+27c -9ab=-3(m +k )3+27(-m 3-m 2k +41λ2m +41λ2k )+9(3m +k )(3m 2+2mk -41λ2)=-2k 3+92λ2k ． 令k λ=t ，则1λ3(2a 3+27c －9ab )=-2t 3+92t ．取g (t )=-2t 3+92t ．则g'(t )=-6t 2+92，g"(t )=-12t ．令g'(t )=0，得t=±32，而当t=32时g"(t )<0．∴ 当t=32时，g (t )取得最大值g (32)=-2(32)3+92(32)=332． 若取λ=1，此时得，k=32．令a=0，得m=-36，代入b 、c 的表达式得b=-12，c=318， 得f (x )=x 3-12x +318满足题意．21、(15分)(可能有多种解法)证明 连接AD ，DG ，GA ，GO ，DB ，EA ，EO ．因为OF 是等腰∆DOB 的外接圆的直径，所以OF 平分DOB ∠，即2DOB DOF ∠=∠．又12DAB DOB ∠=∠，所以DAB DOF ∠=∠．(5分)又 DGF DOF ∠=∠，所以DAB DGF ∠=∠，所以，G ，A ，C ，D 四点共圆． 所以 A D C A G C ∠=∠．①而 2π+∠=∠+∠=∠A G O O G F A G OA G C ，② 2ADC ADB BDC BDC π∠=∠+∠=+∠， ③结合①，②，③得AGO BDC ∠=∠． ④(5分) 因为B ，D ，E ，A 四点共圆，所以BDC EAO ∠=∠，⑤ 又OA ＝OE ，所以EAO AEO ∠=∠． ⑥ 由④，⑤，⑥得 AGO AEO ∠=∠，(5分)所以，O ，A ，E ，G 四点共圆． (共15分)A22、(15分)(可能有多种解法)()01f =|a |>2，a ∉M ．(2分)⑵如果-2≤a ≤41，由题意，f 1(0)=a ，f n (0)=(f n -1(0))2+a ，n =2，3，……．则① 当0≤a ≤41时，()0n f ≤21，(∀n ≥1)．事实上，当n =1时，()01f =|a |≤21，设n =k -1时成立(k ≥2为某整数)，则对n =k ，()()21412100221=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤+≤-a ffk k．(4分) ② 当-2≤a <0时，()0n f ≤|a |(n ≥1)． 事实上，当n =1时，()01f ≤|a |，设n =k -1(k ≥2)时成立为某整数，则对n =k ，有-|a |=a ≤()210-k f +a ≤a 2+a ． 注意到当-2≤a <0时，总有a 2≤-2a ，即a 2+a ≤-a =|a |． 从而有()0k f ≤|a |．由归纳法，推出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=412-，M ．(4分)⑶当a >41时，记a n ＝f n (0)， 则对于任意n ≥1，a n >a >41且a n +1=f n +1(0)=f (f n (0))=f (a n )=a n 2+a ．对于∀n ≥1，a n +1-a n =a n 2-a n +a =221⎪⎭⎫⎝⎛-na +a -≥a -41．则a n ＋1-a n ≥a -41．∴a n +1-a =a n +1-a 1≥n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41a ．当n >42--a a 时，a n ＋1>n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41a +a >2-a +a =2，即f n +1(0)>2． 因此a ∉M ．(5分)综合⑴，⑵，⑶，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=412-，M ． (共15分)。
浙江省镇海中学2016年高一数学奥林匹克选拔测试二 含
2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II .如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=ECBC，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）检测范围：高中必修一、四、五及必修二立体几何部分第II 题一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）． 1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：∑∑==-=-501501i ii ibx a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ．2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面3. 如图，设S - 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cbc a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得P A =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ． 6. 在数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222z y x yzxy +++的最大值为 ．9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ． 13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．CD K S M N15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ． 三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）． 16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．2016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.II.解 ⑴ 如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有 PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅． 因上面不等式当且仅当P A B C 、、、顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． 又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()P f 取最小值m i n ()f P AC BD =⋅．故当()P f 达最小值时，C B A P 、、、四点共圆．………………………10分⑵ 记 ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有 sin 2sin 3AE AB αα==，从而2sin 2αα=，即 34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得 24cos 0αα-，解得 cosα=或cos α=舍去)，故 30α= ，60ACE ∠= ． ………………………………………15分由已知 1BCEC ==()0sin 30EAC EAC∠-∠,有 sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得 21cos 22EAC EAC ∠=∠，故 tan 2EAC ∠==+可得 75EAC ∠= ，从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因 AC 1CD =．……………………………………20分 又ABC ∆也是等腰直角三角形，故 BC =212215BD =+-⋅= ，BD =．故 min ()f P BD AC =⋅25分第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 492、 243、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334，4、 35、 36+6、 201223019⨯7、 2488、 259、 332 10、 7 11、 134129 12、 11613、 ()()2301-，，14、 5 15、 14三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 利用反证法．设四面体ABCD 中AB 是最长的棱，如果任一顶点出发的三条都不能构成一个三角形，则对由A 出发的三条棱，有AD AC AB +≥．又对由B 出发的三条棱，有 BD BC BA +≥． 两式相加，得BD BC AD AC AB +++≥2．(＊)(12分) 但在ABC ∆与ABD ∆中，有BC AC AB +<，BD AD AB +<． 两式相加，有BD BC AD AC AB +++<2．与(＊)式矛盾，故原命题得证．(20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 改写条件为()111-=-+n n n a a a ，(8分)从而 ()1111-=---n n n a a a ，……， 据此迭代得()1111-=--+n n n n a a a a()1221-=---n n n n a a a a ()1111-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-a a a a n n 11a a a n n ⋅⋅⋅=-，所以，1121+⋅⋅⋅=--a a a a n n n ， 因此当k n <，()1=k n a a ，．(20分)18、(20分)(可能有多种解法)解m i n a =．首先证明min a ≤，记ϕ=对正方形ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由 13241S S S S +=+=， 得221S S μ=-，得21S μμ=+． 故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾． 故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．(12分)反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定1(,)2t a +∈，使得2819t b t =>+． 我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有1223(S S t a S S ==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉． 这表明min a ϕ=．(20分)。
浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最大 , (B) 3a 最小，a 最大 (C)a 1最小，a 最大 , (D) a1最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 4487、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是【 】8、下列命题中正确的个数有…【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
浙江宁波镇海中学2024年高一下学期期中考试数学试卷含答案
高一数学 第1页 共4页 镇海中学2023学年第二学期期中考试高一数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分(共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11i z =+，2i z =，其中i 为虚数单位，则复数12z z z =⋅在复平面内所对应的点在第（ ▲ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四 2．边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ▲ ）A． CD．3．甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（ ▲ ）甲：4 5 4 5 5 乙：4 2 3 4 3 丙：2 3 2 3 4 丁：6 1 2 6 1 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 4.若a b c ，，为空间中的不同直线，αβγ，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（ ▲ ） ①a c b c ⊥⊥，，则a b ；②a b αα⊥⊥，，则a b ；③αγβγ⊥⊥，，则αβ ； ④a a αβ⊥⊥，，则αβ .A ．0B ．1C ．2D ． 3 5．一个射击运动员打靶6:9，5，7，6，8，7下列结论不正确．．．的是（ ▲ ） A.这组数据的平均数为7 B.这组数据的众数为7 C.这组数据的中位数为7 D.这组数据的方差为76．如图，正三棱柱'''ABC A B C −的所有边长都相等，P 为线段'BB 的中点，Q 为侧面''BB C C 内的一点（包括边界，异于点P ），过点A 、P 、Q 作正三棱柱的截面，则截面的形状不．可能．．是（ ▲ ） A ．五边形 B ．四边形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形 7．已知球O 为棱长为1的正四面体ABCD 的外接球，若点P 是正四面体ABCD 的表面上的一点，Q 为球O 表面上的一点，则PQ 的最大值为（ ▲ ）ABCD．2高一数学 第2页 共4页 8. 三棱锥P ABC −中，2 4 2 3PA PB CP BA BC ABC π====∠=，，，，则三棱锥P ABC−的体积的最大值为（ ▲ ） A.1 B.2 C.6 D.12二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分． 9.已知事件A ，B 满足()0.2P A =，()0.6P B =，则（ ▲ ）A. 事件A 与B 可能为对立事件B. 若A 与B 相互独立，则()0.48P AB = C. 若A 与B 互斥，则()0.8P A B = D. 若A 与B 互斥，则()0.12P AB = 10.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，M N E ，，分别为线段111 A A D C B D ，，中点，P Q ，分别为线段BE ，线段1CD 上的动点，则三棱锥M PQN −的体积（ ▲ ）A.与P 点位置有关B.与P 点位置无关C.与Q 点位置有关D.与Q 点位置无关 11.如图，三棱锥P ABC −中，ABC △的正三角形，PA ⊥底面2ABC PA Q =，，是线段BC 上一动点,则下列说法正确的是（ ▲ ）A.点B 到平面PAQ 的距离的最大值为32B.三棱锥P ABC −的内切球半径为38C.PB 与AQ 所成角可能为4πD.AQ 与平面PBC 所成角的正切值的最大值为43非选择题部分(共92分)三、 填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a b ，，则事件||1a b −≤“”的概率为__▲__.13.正方体1111ABCD A B C D −棱长为2N ，为线段AC 上一动点，M 为线段1DD 上一动点，则1A M MN +的最小值为__▲__.14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C 车间应抽取的件数为__▲___；若A,B,C 三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为__▲__.高一数学 第3页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数z 满足方程()1i i a z b +=，其中i 为虚数单位，a b ∈R 、. （1）当12a b ==，时，求||z ；（2）若1z z ⋅=，求2b a +的最小值.16.（15分）正方体1111ABCD A B C D −棱长为2，E ，F 分别为11A D 和11C D 的中点． (1)证明：直线CF 平面BDE ;(2)求直线1AA 与平面BDE 所成角的正切值．17. （15分）为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照[0，20），[20，40），…[120，140]分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）(1)若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；(3)估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.A 1高一数学 第4页 共4页 18.（17分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，ABC △是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，且1111222AB AA A B BB ===， （1）证明：BC ⊥平面11ABB A ； （2）求点B 到面11ACC A 的距离;（3）在线段1CC 上是否存在点F ，使得二面角F AB C −−的大小为6π，若存在，求出CF 的长，若不存在，请说明理由.19.（17分）球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R 的球O ，过球面上一点A 作两条大圆的弧 AB AC ，，它们构成的图形叫做球面角，记作BAC(A) 或，其值为二面角B AO C −−的大小,点A 称为球面角的顶点，大圆弧 AB AC ，称为球面角的边. 不在同一大圆上的三点A B C ，，，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 ,,AB BCCA ，这三条劣弧组成的图形称为球面ABC △.这三条劣弧称为球面ABC △的边，A B C ，，三点称为球面ABC △的顶点；三个球面角A,B,C 称为球面ABC △的三个内角.已知球心为O 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点A B C ，，. （1）球面ABC △的三条边长相等（称为等边球面三角形），若A=2π，求球面ABC △的内角和；（2）类比二面角，我们称从点P 出发的三条射线,,PM PN PQ 组成的图形为三面角，记为P MNQ −.其中点P 称为三面角的顶点，PM PN PQ ，，称为它的棱，,,MPN NPQ QPM ∠∠∠称为它的面角.若三面角 O ABC −. (i) 求球面ABC △的三个内角的余弦值; (ii) 求球面ABC △的面积.A镇海中学2023学年第⼆学期期中考试参考答案⾼⼀年级数学学科⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．题号12345678答案B A D C D A D B⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.题号91011答案BC BD ABD三、填空题:本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分12.13.14．21；89四、解答题：本题共5⼩题，共77分，第15题13分，16、17题每题15分．18、19题每题17分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．15.对两边取模即(1)时,.(2)16.(1)如图⼀所示取中点,连接分别为中点,∴,易证四点共⾯,⼜:四边形为平⾏四边形.∴平⾯平⾯平⾯.(2)如图⼆所示,取中点分别为,连接,取中点,连接,由题意得平⾯,⼜、平⾯,∴平⾯平⾯平⾯平⾯,交线为,易证直线与平⾯所成⻆为.12图⼀图⼆17.【答案】(1)1440；(2)68；(3)86.7（1）由题意知，每周课外阅读时间为1⼩时以上的⼈数约为.（2）该校学⽣每周课外阅读的平均时间为：分钟.（3）因为前4组的频率和为，第5组的频率为0.15，所以第75百分位数位于第5组内.所以估计第75百分位数为.18.解:(1)三棱台中,.,则四边形为等腰梯形且,设,则.由余弦定理,,则.由勾股定理的逆定理得.∵平⾯平⾯,平⾯平⾯,故由知平⾯.平⾯.⼜∵是以为直⻆顶点的等腰直⻆三⻆形,即,⼜平⾯平⾯∴平⾯.(2)由棱台性质知,延⻓交于⼀点.,则,故.平⾯即平⾯,故即三棱锥中⾯的⾼.由(1)中所设,为等边三⻆形故.解得.故.所求的点到平⾯的距离即到⾯的距离,设为解得.(3)∵平⾯平⾯平⾯平⾯,平⾯平⾯取中点,正中,,则平⾯平⾯,∴平⾯平⾯.于是,作,平⾯平⾯,故平⾯,再作,连结.则即在平⾯上的射影,由三垂线定理,.故即⼆⾯⻆的平⾯⻆.设,由⼏何关系,,则.若存在使得⼆⾯⻆的⼤⼩为,于是,解得,故.19.解：（1）因为，所以，设为，显然3过作交于，连则，从⽽是的平⾯⻆，即⼜由，所以得到.所以两两垂直，从⽽所以球⾯的内⻆和为.（2）(i)不妨设则可以⽤(ii)记球⾯的⾯积为，设的三个对径点分别为.引理1：如图，若半径为⽉形球⾯⻆的⼤⼩为为，则⽉形球⾯的⾯积为引理2：引理3：在半径为的球⾯上,任意.特别地,在单位球⾯上,球⾯的⾯积,引理证明：三个⼤圆将球⾯分为8个部分，4⽉形的⾯积;⽉形的⾯积;⽉形的⾯积.三式相加得⼜因为;所以：即：.回到原题，所求答案为。
2016年浙江省高中数学竞赛含答案
2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥， 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ， 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分） 的(),n n y z 存在且唯一。
2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试一(含答案)
求证：．
17. (本题满分20分)已知数列满足，，． ⑴ 证明：是正整数数列； ⑵ 是否存在，使得，并说明理由．
18. (本题满分20分)将3×3方格表中任意角上的2×2小方格表挖去， 剩下的图形称为“角形”(如图1就是一个角形)，现在10×10方格 表(图2)中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格 表的边界或分格线重合．求正整数k的最大值，使得无论以何种 方式放置了k个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角 形．
II.如图，线段AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦，AB与CD的交 点为E，⊙I内切⊙O于点F，且分别与弦AB、CD相切于点G、H．过点O 的直线l分别交AB、CD于点P、Q，使得EP=EQ．直线EF与直线l交于点 M，求证：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线．
第II题
第二部分（共2大题，计150分） 一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．
再使用叠代，连续使用x'=x+五次，得到下列式子： (2) (3) (4)… (5)… (6)． 把这6个式子加起来，中间得项都抵消了，只剩首尾得项，得： f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1) ．(10分) 假设f(x)=a，f(x+1)-f(x)=b，则： f(x+1)-a=b f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)=b … f(x+n)-f(x+n-1)=b 上式全加起来得：f(x+n)-a=n×bf(x+n)=a+n×b．(15分) 假设b不等于0，则n足够大的时候一定可以使|a+n×b|>1， 与题设矛盾，所以b=0．(20分) 所以f(x+1)=f(x)，周期是1．(25分)
浙江省镇海中学2016届高三5月模拟考试理数试题 Word版含解析
浙江省镇海中学2016届高三5月模拟考试理数试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{|12}M x x =-≤<，2{|log 0}N x x =>，则M N = （ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(1,2)-D ．(0,2) 【答案】A考点：对数不等式的解法及集合的运算. 2.下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．{}n a 为等比数列，则“123a a a <<”是“45a a <”的既不充分也不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<成立D ．“若tan α≠3πα≠”是真命题【答案】D 【解析】试题分析：对于答案A ，“若1a >，则21a >”的否命题是“若1≤a ，则21a ≤”；对于答案B ，若“123a a a <<”则“45a a <”成立；对于答案C ，0(,0)x ∃∈-∞，使0034x x<不成立；对于答案D ，“若tan α≠3πα≠”是真命题成立,故应选D.考点：命题的真假及充分必要条件的等知识的综合运用.3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真的是（ ）A ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥B ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nC ．若,m n αβ⊥⊂，且m n ⊥，则αβ⊥D ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ 【答案】A 【解析】试题分析：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得答案A 是正确的,其余答案都是错误的.故应选A.考点：空间的线面位置关系的判定与性质的运用.4.已知sin (1,)sin(2)A ααβ+，sin (2,1)sin(2)B ααβ--，且0OA OB ∙= ，sin 0β≠，sin cos 0k αβ-=，则k =（ ）A． C．以上都不对 【答案】C考点：三角变换的有关公式及综合运用.5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ）A ．10B ．1920C ．910D ．12【答案】C 【解析】试题分析：因为009020<<α,而OP OP r 12sin==α,所以OP 最大时, 2sin α最小, 2α最小.结合图象可知点)2,4(--M ,故OP 的最大值为52416=+=PM ,则10910112sin 21cos 2=-=-=αα,应选C. 考点：线性规划、二倍角的余弦等有关知识的综合运用.6.在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ） A ．672 B ．673 C ．1342 D ．1344 【答案】D考点：周期数列的性质与求和．【易错点晴】本题以数列的有关知识为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用所学知识的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出⋅⋅⋅-=====-===,1,,1,1,,136514321a x x a x x x a x a x x 这些数的特征和规律,然后再计算出2321=++x x x ,而67232016=÷,进而利用数列的周期性求出数列{}n x 的前2016项和的值为13442672=⨯.7.在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．1(5B ．C ．1(5D ． 【答案】D考点：椭圆的定义余弦定理与基本不等式等知识的综合运用.【易错点晴】本题考查的是椭圆的几何性质与函数方程的数学思想的范围问题,解答时先运用余弦定理建立131224222⨯-+=mn n m c ,再借助椭圆的定义将其等价转化为)13121(24422+-=mn a c ,然后再运用基本不等式22)2(a n m mn =+≤将其转化为不等式2222)(2552a c a <-,最后通过解该不等式将该椭圆的离心率求出2,从而获得答案.8.已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8--C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D 【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确. 当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确. 当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确.故应选D.考点：分段函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分．） 9.函数()sin()(0,0,)f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到()g x ，得到的函数图象对称轴为 ，函数()g x 解析式为.【答案】()32k x k Z ππ=+∈ sin(2)6y x π=- 【解析】试题分析:由题设可知6121143,1ππ-==T A ,即π==T A ,1,所以22==ππω,所以)2sin()(ϕ+=x x f ,又因为1)3sin()6(=+=ϕππf ,解之得223πππϕ+=+k ,故62ππϕ+=k ,所以)62sin()(π+=x x f ,将其向右平移6π可得)62sin(]6)6(2sin[)(πππ-=+-=x x x g ,故其对称轴方程满足262πππ+=-k x ,即)(32Z k k x ∈+=ππ,对应的表达式为)62sin()(π-=x x g .应填()32k x k Z ππ=+∈,sin(2)6y x π=-.考点：三角函数的图象和性质的运用．10.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为'(1,1)P b a +-，则圆22:620C x y x y +--=关于直线l对称的圆'C 的方程为 ；圆C 与圆'C 的公共弦的长度为 .【答案】22(2)(2)10x y -+-=考点：直线与圆的方程及运用．11.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是 ；体积是 .【答案】64+1603【解析】试题分析:由题设三视图中所提供的信息可知该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图其全面积232644242124)84(214)84(21442184+=⨯⨯+⨯++⨯++⨯⨯+⨯=S ,其体积为31604)8421(314]4)84(21[31=⨯⨯⨯+⨯⨯+=V ,故应填64+1603.448考点：三视图的识读与几何体的体积的运用．12.已知函数223,0()log ||,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨∙<⎩，则1(())2f f -= ，若()1f x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .【答案】1344a>考点：分段函数的求值与数形结合思想的运用．13.设P是函数2(0)y x xx=+>的图象上任意一点，过点P分别向直线y x=和y轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ∙的值是 .【答案】1-考点：向量的数量积公式及运用． 14.已知方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩，对此方程组的每一组正实数解{,,,}x y z u ，其中z y ≥，都存在正实数M ，且满足zM y≤，则M 的最大值是 .【答案】6+【解析】试题分析:因为yz x x z y 42222=≥+=+μμ,所以y z y z 42≥+,令1>=t yz,则242≥-t t ,所以2)2(2≥-t ,即22+≥t ,所以246+≥yz,则246+≤M ,应填6+考点：多元方程组的解法及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题以多元方程组222x y z yz x μμ-=-⎧⎨=⎩的解),,,(μz y x 满足的条件z y ≥为背景,借助题设条件与基本不等式建立不等关系式yz x x z y 42222=≥+=+μμ,然后通过换元1>=t yz建立关于t 的不等式242≥-t t .最后通过解不等式242≥-t t ,从而求得22+≥t ,所以246+≥y z ,由于zM y≤,因此246+≤M ,M 的最大值是6+15.如图，在平面四边形ABCD 中，已知,,,E F G H 分别是棱,,,AB BC CD DA 的中点，若22||||1EG HF -=，设||,||,||,||1AD x BC y AB z CD ====，则228x yz ++的最大值是.【答案】12【解析】试题分析:由题设可得))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,运用基本不等式可得式))((12222222y n x m mn mx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=,故应填12.考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以平面四边形ABCD 所满足的条件22||||1EG HF -=,1=AD 为背景,精心设置了一道求228x yz ++的最大值的问题.求解时先运用余弦定理并借助题设22||||1EG HF -=建立方程组))((1)()(cos ))((2)()(1cos 22222222222y n x m m n y n x m z n m y n x m y n x m m n n m z ++=-+++-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++-+++=-+=θθ,然后借助基本不等式建立关系式))((12222222y n x m mnmx ny xy mn z n m ++≥-+++-+,从而求得82≤z ;同理可得42≥+y x ,所以228x y z ++的最大值是2184=. 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且,,A B C 成等差数列. （1）求a cb+的取值范围；（2）若AC ，求角A 的值. 【答案】(1)(1,2]；(2)6A π=.试题解析：（1）因为,,A B C 成等差数列，所以2B A C =+，而A B C π++=，所以3B π=.由余弦定理，222b ac ac =+-① 所以2222231()3()()()44b ac ac a c a c a c =+-≥+-+=+， 故2a cb+≤，当且仅当a c =时取等号， 另一方面a c b +>，故1a cb+>， 综上，a c b+的取值范围是(1,2].法二：由正弦定理得sin sin 2sin()sin 3a c A C Ab B π++==+， 因为203A π<<，所以(1,2]a cb+∈.考点：余弦定理及基本不等式等有关知识的综合运用． 17.（本题满分15分）如图，ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折.（1）若点A 的射影在BD 上，求AD 的长；（2）若点A 的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为11，求AD 的长.【答案】(1)2AD =；(2)AD =【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用空间向量的知识求解；(2)借助题设运用空间向量的数量积公式探求. 试题解析：（1）取BC 的中点O ，如图以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,1(1,2,0)A D ，则2AD =.考点：空间向量的数量积公式及有关知识的综合运用． 18.（本题满分15分）已知函数2()|1|1()f x x ax a R =---∈.（1）若关于x 的方程2()10f x x ++=在区间(0,2]上有两个不同的解12,x x . （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）若12x x <，求1211x x +的取值范围； （2）设函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为(),()M a m a ，求()()()g a M a m a =-的表达式.【答案】(1)（i ）7(1,]2；（ii ）(2,4]；(2)222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩.（ⅰ）作出函数1,0112,12x xy x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩图象，得712a <≤，故a 的取值范围是7(1,]2. （ⅱ）∵12x x <，11a x =，2212a x x =-， 则有212112x x x =-，即212112x x x +=， 又212x <≤，∴212112(2,4]x x x +=∈， 故1211x x +的取值范围是(2,4]. （2）22,01()2,12x ax x f x x ax x ⎧--≤≤=⎨--<≤⎩，当4a ≥时，有0,222a a-<≥，()f x 在[0,2]上为减函数， 则()(0)(2)22g a f f a =-=-. 当24a ≤<时，有0,1222a a -<≤<，()f x 在[0,]2a 上为减函数，在[,2]2a上为增函数， 此时2()()224a a m a f ==--，()max{(0),(2)}0M a f f ==，则2()24a g a =+. 当02a ≤<时，有0,0122a a-<≤<，()f x 在[0,1]上为减函数，在[1,2]上为增函数， 此时，()(1)1m a f a ==--，22,01()max{(0),(2)}0,12a a M a f f a -≤<⎧==⎨≤<⎩，则3,01()22,12a a g a a a -≤<⎧=⎨-≤<⎩.当20a -<<时，有012a <-<，02a <，()f x 在[0,]2a -上为增函数，在[,1]2a-上为减函数，在[1,2]上为增函数，此时1,10()min{(0),(1)}0,21a a m a f f a --<<⎧==⎨-<≤-⎩，()max{(),(2)}222aM a f f a =-=-，则3,10()22,21a a g a a a --<<⎧=⎨--<≤-⎩.当2a ≤-时，有1,022a a-≥<，()f x 在[0,2]上为增函数， 则()(2)(0)22g a f f a =-=-.则222,42,244()1,123,1122,1a a a a g a a a a a a a -≥⎧⎪⎪+≤<⎪⎪=+≤<⎨⎪--≤<⎪-≤-⎪⎪⎩考点：二次函数的图象和性质及不等式的性质等有关知识的综合运用． 19.（本题满分15分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两个动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明：FM AB ∙为定值；（2）设ABM ∆的面积为S ，求S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2)4.（2）2||4(1),AB k d =+=所以322214(1)4(1)42S k k =⨯+⨯=+≥，所以S 的最小值为4.考点：向量的数量积公式和抛物线的几何性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题重在考查圆锥曲线中的代表曲线抛物线与直线的位置关系等有关知识的综合运用问题.求解时要充分利用题设中所提供的信息,先运用向量的数量积公式求出1212(,)24x x x x M +,再求出222121(,)(2,2)04x x AB FM x x k -∙=-∙-= .第二问借助曲线的弦长公式求得2||4(1),AB k d =+=,进而求得ABM∆的面积322214(114(1)42S kk =⨯++=+≥,即求得面积S 的最小值为4,从而使得使问题获解.20.（本题满分15分） 已知数列{}n a 满足112a =，都有3*112,33n n n a a a n N +=+∈.（1）求证：11*1213()(),2324n n n a n N --∙≤≤∙∈； （2）求证：当*n N ∈时，313124241231231111116[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥+++++----- . 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.当2n ≥时，132112113()24n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙≤∙ ， 且132112112()23n n n n a a a a a a a a --=∙∙∙∙>∙ ， 又001213()()2324n a ⨯≤≤⨯，∴111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯，*n N ∈. （2）∵11111(1)1(1)3n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++---==+--，又321111(23)(1)(3)33n n n n n n a a a a a a ++=++=+-+，∴3211111111(3)[()3]1332212n n n n a a a a ++=-+≥-+=+.当2n ≥时，13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++ ， 又1113111()212a -+=∙，∴11111(1)()3212n n a -+≥∙. ∴3131242123121111()()1111n n n na a a a a a a a a a a a a a ++----++++-+++---- 121[(1)(1)(1)]3n a a a =++++++ 1111()1111111112[1()]6[1()]1121212212112nn n --≥+++=∙=-- ∴313124************6[1()]111112n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++----++++≥++++----- 考点：数列的有关知识和不等式的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也是高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助题设数列的递推关系式3*112,33n n n a a a n N +=+∈,运用缩放的数学数学思想进行推理论证的思想方法证明了不等式111213()()2324n n n a --⨯≤≤⨯的成立.第二问题中,先运用不等式13211211113111(1)()111212n n n n a a a a a a a a --++++=+∙∙∙∙≥∙+++ 及有关性质进行推算,进而使用缩放的方法进行推证,从而使得两个不等式获得证明.。
浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷(含答案详解)
2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷2012.4.20一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（） A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2上C．直线y=x上D．双曲线xy=1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（） A． 35 B． 30 C． 25 D． 203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A． AE⊥AF B． EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D． FB：FC=HB：EC 5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF A． 22 B． 24 C． 36 D． 446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次 A． 30 B． 35 C． 56 D． 448二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=_________．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过_________小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C 三点的拋物线对应的函数关系式是_________．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于_________cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是_________．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于_________（用a表示）；（2）圆C k的半径为_________（k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．13．（12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分 3 1 0奖励（元/每人）1500 700 0当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（18分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2012年浙江省宁波市镇海中学高一实验班选拔考试数学卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（） A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2上C．直线y=x上D．双曲线xy=1上考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征。
2016年全国高中联赛一试答案
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3. 正实数 u , v, w 均不等于 1，若 log u vw log v w 5 ， log v u log w v 3 ，则 ． log w u 的值为 4 答案： ． 5 解：令 log u v a, log v w b ，则 1 1 log v u , log w v ， log u vw log u v log u v log v w a ab ， a b 1 1 5 条 件 化 为 a ab b 5, 3 ， 由 此 可 得 ab ． 因 此 a b 4 1 4 log w u log w v log v u ． ab 5 4. 袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币 和 3 张 1 元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值
2 2 都 是 1 元 纸 币 ， 相 应 有 C7 18 种 取 法 ． 因 此 ， 所 求 的 概 率 为 − C3 = 3 × 18 54 9 = = ． 2 2 C5 × C7 10 × 21 35 5. 设 P 为一圆锥的顶点，A, B, C 是其底面圆周上的三点， 满足 ABC 90 ，
2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 设实数 a 满足 a < 9a 3 − 11a < a ，则 a 的取值范围是 ．
2016学年第二学期镇海中学名校协作体高三数学试题(修改--)
2016学年第二学期浙江省名校协作体试题高三数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21(),0,1(2),2x P y y x Q x y g x x ⎧⎫==≥==-⎨⎬⎩⎭则P Q为（ ▲ ）A ．(]0,1B ．∅C ．()0,2D ．{}02．已知221(32)z m m m i =-+-+（,m R i ∈为虚数单位），则“1m =-”是“z 为纯虚数”的 （ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知直线m 、n 与平面,,βα下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．//,//m n αβ且//,//m n αβ则B ．,//m n αβ⊥且,m n αβ⊥⊥则C ．,m m n αβ=⊥ 且,n αβα⊥⊥则D ．,m n αβ⊥⊥且,m n αβ⊥⊥则 4．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，可以将函数sin(2)6y x π=+的图象 （ ▲ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，目标函数y ax z 2+=仅在点（1,0）处取得最小值，则a 的范围为 （ ▲ ）A ．)2,1(-B ．)2,4(-C ．)1,2(-D ．)4,2(-6．直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于,E F 两点，则E C F ∆的面积为 （ ▲ ）A ．23B ．52C ．553 D ． 437.设函数()21f x x =-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 的取值集合是 （ ▲ ）A ．(,1][3,)-∞-+∞B ．(,1][2,)-∞-+∞C ．(,3][1,)-∞-+∞D ．(,2][1,)-∞-+∞ 8．已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，,AB AD CD AD ⊥⊥，且1,2AB AD CD ===.ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足,MB MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为 ( ▲ )A ．43B ．163C ．49π D ．83π9．在平面内，121212,||3,||4,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+ ，若1||2,OP <<则||OA 的取值范围是 （ ▲ ）A． B． C． D．侧视图x10．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m N n N =++++++=∈∈ ，则集合A 中的元素个数是（ ▲ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知0,0x y >>，lg 2lg8lg2x y +=，则xy 的最大值是 ▲ . 12．某几何体的三视图如图所示，3cm ，则正视图中的x 的值是 ▲ cm ，该几何体的表面积是 ▲ 2cm .13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对任意的正整数n ，均有383n n S S +=+，则1a = ▲ ，公比q = ▲ .14．在ABC ∆中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，S 为ABC ∆的面积.已知4a =，5b =，2C A =，则c = ▲ ，S = ▲ .15．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是 ▲ .若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的期望为 ▲ .16．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+u u u r u u r u u u r，()4,25R λμλμ=∈，则双曲线的离心率e 的值是 ▲ . 17．设函数2()2152f x x ax a =-+-的两个零点分别为12,x x ，且在区间12(,)x x 上恰好有两个正整数，则实数a 的取值范围 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6πϕ=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值． 19．（本小题满分15分）如图，在四棱锥PABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，1AB BC CD ===，2DA =，DP ⊥平面ABP ，,O M 分别是,AD PB 的中点.（Ⅰ）求证：//PD 平面OCM ；（Ⅱ）若AP 与平面PBD 所成的角为60o，求线段PB 的长.20．（本小题满分15分）已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （Ⅰ）若函数()f x 在(0,2)上递减, 求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当0a >时，求()f x 的最小值()g a 的最大值；（Ⅲ）设()()(2),[1,)h x f x a x x =+-∈+∞，求证：()2h x ≥.21．（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为12，直线1y =与C 的两个交点间的距离为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分别过12F F 、作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于A B 、两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.22．（本小题满分15分）已知函数4()415f x x =+.（Ⅰ）求方程()0f x x -=的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，证明：114n S n<≤．命题：嘉兴一中 湖州中学（审校） 审核：舟山中学。
2016年镇海中学高一数学奥林匹克选拔测试二 Word版 含答案
2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测二MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II .如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=ECBC ，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：检测范围：高中必修一、四、五及必修二立体几何部分 第II 题∑∑==-=-501501i i i ib x a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ．2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面区3. 如图，设S 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cb c a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得PA =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ．6.在数列{}n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用()s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222zy x yz xy +++的最大值为 ． 9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ．13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ．三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条C D K S M N棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．。
浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案
镇海中学跨区自主招生数学试题卷满分：120分 时间：90分钟一、选择题(每题4分，共40分)1、 把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D M Q X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 ---------------------------------------------- ()① FRPJL |② HIO | ③| ④ BCK | ⑤ VATYWU( A)QXZMD ( B)DMQZX ( C)ZXMDQ ( D)QXZDM2、 若-丄乞 x 岂 1，则式子x 2 - 2x • 1 • • x 2 - 6x • 9 • 4x 2 4x 1 等于 ()2(A )— 4x + 3 ( B ) 5( C ) 2x + 3 ( D ) 4x + 32 210.二次函数y =-x ，6x-7，当x 取值为t 乞x^t ，2时有最大值y =-(t -3)2，贝U t 的取值范a+b = ---------------------( )―、1 313(A )-(B )-(C)--(D )-22 224、若 2007-m 十 U m - 2008 = m , 则 m 20072 — --------------- ( ) (A ) 2007(B ) 2008 (C ) 20082(D ) 2-200825、方程6xy +4x 9y 7 _ 0的整数解的个数为 ----------------------- ( )(A ) 1( B )26、 在平面直角坐标系中有两点满足条件的点C 有 -----------(A)1 个7、 一个各面分别标有数字 点P(m ,n )，则点 P 既在直线y 1 (A)-6&二次函数21(B)9A( -, 2), B(3, 2), C 是坐标轴上的一点，若△ ABC 是直角三角形，则 ( )(B)2 个 (C)4 个 (D)6 个1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字8 --X 6上，又在双曲线y 上的概率为x11(C)—(D) ——1836m 、n ,得到一个y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：① b>0 , ② c ：： 0，③ b 2「4ac 0，④ a b c 0，⑤ 4a 2b c 0.其中正确的有 ------------------------------------------ ((A)2 个(B)3 个 ( C)4 个 (D)5 个9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设(A) (i 2)21-57 3.5(D)F第9题图3、 若不论 k 取什么实数，关于 x 的方程2kx* 一^^ =1 ( a、b是常数)的根总是 x = 1，则3 6(D) 43(C ) x =1 a第8题图a =1，则这个正方形的面积为 -----( )围为( )(A) t w 0(B) 0 w t w 3 (C) t >3(D)以上都不对.解为 _____________15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方 体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多 可以搬走__个小正方体、解答题（共50 分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE:EA = 5:3,EC=15 •. 5， 把厶BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ， 求AB 、BC 的长.17、（本题满分8分）、填空题（每题6分，共30 分）11、 已知关于x 的不等式mx-2<0的负整数解只有-1,-2,则m 的取值范围是 ______________________ 12、 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面•已知正 1 1 1多边形的边数为 x 、y 、z ,则一 + — +一的值为 ___________________ x y z 13、如图，△ OAP 、A ABQ 是等腰直角三角形，点 A 、B 均在x 轴上，则点 Q 的坐标为 ______________________ 4/P 、Q 在双曲线y 二里（x ・0）上，直角顶点x 第11题图14、若关于 x 、y 的方程组◎x +dy = Ga 2x +b 2y =c 2=5，则方程组=65a 1^3^^4c !的5a 2x + 3b 2 y = 4c 2如图，已知四边形ABCD 内接于一圆,18、（本题满分13分）1 2某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线 yx 的形状，现按操作要求，电 100缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱， 求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔 50米架设两固定电缆的位置离地面高度为 20米的塔柱。
高中数学奥林匹克训练试卷附答案
数学奥林匹克第一天一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。
八、求满足0x y y z z ux y y z z u---++>+++，且110x y zu ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。
Microsoft Word - 理数参考答案
所以 AB ⋅ FM = ( x2 − x1 ,
2
uuu r uuuu r
2 x2 − x12 ) ⋅ (2k , −2) = 0 ………………………………7 分 4
（2） AB = 4( k + 1) ， d = 2 k + 1 ……………………………………………………10 分
则 g (a ) = 此时 m( a ) = min { f (0), f (1)} =
1 − a, − 1 < a < 0 ， − 2 < a ≤ −1 0,
a M (a ) = max f (− ), f (2) = 2 − 2a ， 2 3 − a, − 1 < a < 0 则 g (a) = 。………………………………………………….13 分 2 − 2 a , − 2 < a ≤ −1 a a 当 a ≤ −2 时，有 − ≥ 1, < 0 ， f ( x) 在 [ 0, 2 ] 上为增函数， 2 2 则 g (a) = f (2) − f (0) = 2 − 2a 。………………………………………………….14 分 a≥4 2a − 2, 2 a + 2, 2 ≤ a < 4 4 则 g (a) = ………………………………………………….15 分 1≤ a < 2 a + 1, 3 − a, −1 ≤ a < 1 2 − 2a, a ≤ −1
uuu r
r
z y
uuu r r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 22 2 2 ，解得 sin θ = 11 3
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(011)
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(011)1. 设125,,x x x L 是实数，求具有下述性质的最小正整数n ：如果n 个不同的，形如(15)p q r x x x p q r ++≤<<≤的和都等于0，则有1250x x x ====L 。
2.设H 是锐角ABC ∆的高线CP 上的任一点，直线AH ，BH 分别交BC ，AC 于点M 、N 。
（1）求证：NPC MPC ∠=∠（2）设O 为MN 与CP 的交点，一条过O 的任意直线交四边形CNHM 的边于D 、E两点，求证：EPC DPC ∠=∠3. 给定一个序列12211,(45)42,1n n n y y y k y y k n ++===--+-≥，求所有满足以下条件的整数k ，它使序列中的每一项都是一个完全平方数。
镇海中学数学奥林匹克中级训练题(011)解答1. 设125,,x x x L 是实数，求具有下述性质的最小正整数n ：如果n 个不同的，形如(15)p q r x x x p q r ++≤<<≤的和都等于0，则有1250x x x ====L 。
解答：一方面，取123452,x a x x x x a =====-则形如1(25)i j x x x i j ++≤<≤的和都等于0，因此，7n ≥。
另一方面，设存在7个不同的形如(15)p q r x x x p q r ++≤<<≤的和都等于0，则7个和中125,,x x x L 共出现3721⨯=次，故至少有一个出现5次，不妨设为1x ，则(25)i j x x i j +≤<≤共有6个和，其中至多一个未出现，不妨设123x x x ++未出现，则1241251341351450x x x x x x x x x x x x x x x ++=++=++=++=++=故有123452x x x x x ====-，在和i j k x x x ++中，必有一个使得,,i j k 均不为1，则212345300i j k x x x x x x x x x ++==⇒=====综上7min n =点评：本题属于简单的组合最值问题，一般性的方法都有两步：举例和论证。
7年实验班选拔考试数学试题(附答案)
全真考试卷（三）浙江省镇海中学高一实验班选拔考试试卷数 学满分120分，考试时间：120分钟一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）A ．直线y =﹣x 上B ．抛物线y =x 2上C ．直线y =x 上D ．双曲线xy =1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ）A ．35B ．30C ．25D ．203．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³1a 一定是（ ）A ．1a 最小，a 3最大 B a 最大C ．1a 最小，a 最大D ．1a 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连接EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ⊥AFB ．EF ：AF 1C ．AF 2=FH •FED ．FB ：FC =HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ）A ．22B ．24C ．36D ．446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ）A ．30B ．35C ．56D ．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=3 2 x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=32x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=﹣x上B．抛物线y=x2上C．直线y=x上D．双曲线xy=1上【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：A、y=﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y=x2，故本选项正确；C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y=x上，故本选项正确；D、因为xy=1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy=1上，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35 B．30 C．25 D．20【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得=k%．解得k=20．故选D．【点评】此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．3．若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF=：1 C．AF2=FH•FE D．FB：FC=HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF=AE，∠F AB=∠EAD，∠F AB+∠BAE=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC=HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2=FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22 B．24 C．36 D．44【分析】可设S△ADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m 表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF=m，∵S△BDF：S△BCF=10：20=1：2=DF：CF，则有2m=S△AEF+S△EFC，S△AEF=2m﹣16，而S△BFC：S△EFC=20：16=5：4=BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4，而S△ABF=m+S△BDF=m+10，∴S△ABF：S△AEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m﹣16），解得m=20．S△AEF=2×20﹣16=24，S ADEF=S△AEF+S△ADF=24+20=44．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30 B．35 C．56 D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班再用105除以3=35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）=35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二．填空题（共6小题）7．已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=0.5．【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sinA﹣cosA=0，再根据tanA的定义即可求出其值．【解答】解：由题意得：（2sinA﹣cosA）2=0，解得：2sinA﹣cosA=0，2sinA=cosA，∴tanA===0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y=﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y=﹣x2﹣x+．故答案为：y=﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，∴AB=25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD=∠BDC=90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE=CD，EC=BD=5cm，∴AE=AC﹣EC=15cm，在Rt△AEB中，BE===20（cm），∴CD=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A 与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×=，物质B行的路程为16×=，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×=，物质B行的路程为16×2×=，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×=16，物质B行的路程为16×3×=32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×=，物质B行的路程为16×4×=，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×=，物质B行的路程为16×5×=，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11=3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE 上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆C k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC=2a ﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r，推出方程2a﹣2r=2r，求出即可；（2）求出r=（﹣1）a，r3=（﹣1）r=a，r4=，得出圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC=2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，由勾股定理得：AC=2r，∴2a﹣2r=2r，解得：r=（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r=（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3=（﹣1）r=a，C4的半径是r4=，…圆C k的半径为r k=（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k=（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三．解答题（共4小题）13．如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E 点，OC∥AB．（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到∠DBE=90°，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC=AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC=AD，∴AD=AE．（2）由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又C为中点，∴AB=BE=4，∵AD=AE，∴BC=BE=4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE=90°，∴CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M （a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b=﹣（p﹣1）2﹣1．当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z=12，3x+y=19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W=（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5．（2）∵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=﹣600x+19300当x=4时，W最大，W最大值=﹣600×4+19300=16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z=12，3x+y=19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m ＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD 内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1，m=﹣1与m＞0不合；∴C点不过y=x﹣1；若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y=ax2﹣7ax+10a（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a）∴y=a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF=QF，CQ=BC=2，∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2=CF2；∴32+（2﹣n）2=（n+2）2，∴n=，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a=，∴a=﹣；∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y=x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案第一试
nx 2 x
10. （本小题满分 20 分）已知函数 f n( x)
x2
， x1 , x2, 1
, xn 为正实数，且 x1
x2 ...
xn
1，
证明： fn( x1) fn ( x2 ) ... fn ( xn ) 0
（略）
11.（本小题满分 20 分） .
an 1 an 1 ,
已知数列 an , bn 满足 a1 0, b1 0,
(3)
3
现考虑 20*(1) 12*(2) 27*(3) ， 59k 140 a1 a2 a3 ，所以 m 59 k 140
3 k ，即为所求 .
7
两点处的切线交于点 Q ，则点 Q 的轨迹方程是
8．选择集合 S 1,2, , n n N * 的两个不同的非空子集 A 和 B ．
则使 B 中最小数大于 A 中最大数的概率是
设 A 中的最大数为 k，其中 1≤k≤ n 1 , 整数 n≥ 3，
则 A 中必含元素
k，另元素
1， 2，…， k
1可在 A 中，故 A 的个数为：
Ai ,i a3，有 Ai X X 3 2 .
类似地， 在集合 X X 3中依次选定集合 Ai ，使得这些集合的并集 Ai 的元素个数每次递增 2 个，不妨设这些
集合 S2
Aa3 1 , Aa3 2 , , Aa3 a2 全部被选出，则有
S2
X X 3 X 2 ，且 X 2 2a2 ；同理，对于剩下
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分.
2
2
9. （本小题满分
16 分） .
已知椭圆
E
:
x a2
y b2
1 的左、右焦点分别为
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2016.62016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测一[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I .设f 是一个从实数集R 映射到自身的函数，并且对任何的x ∈R 均有()1≤x f 以及()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+71614213x f x f x f x f ．求证：()x f 是周期函数．II .如图，线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 的交点为E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H ．过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，使得EP=EQ ．直线EF 与直线l 交于点M ，求证：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线．第二部分（共2大题，计150分）检测范围：初中及高中必修一、四、五第II 题一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 已知函数()，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛>-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=21 2221 2x x x x x f 则函数2015((()))f f f x 个……在[]10，上的图像总长为 ．2. 已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =2，BC =1，∠ABC =60°．动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，且λ=，λ91=，则AF AE ⋅的最小值3. 方程32z =-的所有整数解()z y x ,,的个数为 ．4. 设函数()()ϕω+=x x f sin ，其中0>ω，R ∈ϕ．若存在常数T ()0<T ，使对R ∈∀x ，有()()x Tf T x f =+，则ω的最小值为 ．5. 设()()3232b f a f b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，且()11=f ，()74=f ，则()2014f 的值为 ． 6. 已知整数c b a 、、，使得a c c b b a ++和c a b c a b ++均为整数，则acc b b a ++的值为 ．7. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且ac a b =-22，则角B 的弧度数为 ．8. 已知正实数λ使得对于满足1222=++z y x 的任何实数x 、y 、z 成立不等式：25≤+yz xy λ，则λ的最大值为 ． 9. 已知数列}{n a 共有9项，其中191==a a ，且对每个{}821，，，⋅⋅⋅∈i ，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈+21121，，i i a a ，则这样的数列的个数为 ．10. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于D ，等腰 Rt ACB 内接于⊙O 1，切点D 在半圆AB 上．过点A 、B 、C 分别作⊙O 2的切线AM 、BN 、CP ，M 、N 、P 分别为切点．则CPBNAM +的值为 ．11. 记集合{}6543210，，，，，，=T ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=432177774433221，，，，i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2015个数是 ．12. 已知向量,a b 的夹角为3π，5a b -= ，向量c a - ，cb - 的夹角为23π，c a -=a c ⋅ 的最大值为 ．13. 若2017次方程0403401201520162017=++⋅⋅⋅++-a x a x a x x ．有2017个正实根，那么对于所有可能的方程，∑=20151i k a 的最大值为 ．14. 如果关于x 的方程x kx x x 753322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡有正整数解，那么正整数k 的所有可能取值之和为 ． 15. 将2n 块1×2或2×1的多米诺骨牌无重叠地放置于2n ×2n 的方格表上，使得每个2×2的子方格表内至少存在两格没被覆盖，且该两格在同行或同列，则所有满足要求的方法数为 ． 三、解答题（本大题分3小题，共60分）．16. (本题满分20分)设R ∈c b a ,,，满足1=++c b a ，0>abc ．求证：412+<++abc ab ca bc ．17. (本题满分20分)已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+，*∈N n ． ⑴ 证明：{}n a 是正整数数列；⑵ 是否存在*∈N m ，使得2015m a ，并说明理由．18. (本题满分20分)将3×3方格表中任意角上的2×2小方格表挖去，剩下的图形称为“角形”(如图1就是一个角形)，现在10×10方格表(图2)中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数k的最大值，使得无论以何种方式放置了k个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形．图1图22016年镇海中学数学奥林匹克选拔检测一 参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.证明 对()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+71614213x f x f x f x f 变形得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+71-7161-61x f x f x f x f ．使用叠代，连续使用x '=x +71六次，可得：(1)()()1-161-61+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f x f x f再使用叠代，连续使用x '=x +61五次，得到下列式子：(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+161-16261-62x f x f x f x f(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+162-16362-63x f x f x f x f(4)… (5)…(6)()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++165-1165-1x f x f x f x f ．把这6个式子加起来，中间得项都抵消了，只剩首尾得项，得： f (x +1)-f (x )=f (x +2)-f (x +1) ．(10分) 假设f (x )=a ，f (x +1)-f (x )=b ，则： f (x +1)-a=bf (x +2)-f (x +1)=f (x +1)-f (x )=b …f (x+n )-f (x+n -1)=b上式全加起来得：f (x+n )-a =n ×b ⇒f (x+n )=a+n ×b ．(15分) 假设b 不等于0，则n 足够大的时候一定可以使|a+n ×b |>1， 与题设矛盾，所以b =0．(20分) 所以f (x +1)=f (x )，周期是1．(25分)II.…………(15分) …………(20分)…………(25分) 12图1图2证明第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．12、 18293、 64、 π5、 40276、 37、 72π 8、 2 9、49110 11、 386240112、 2413、 32017-4035 14、 23 15、 ()22C n n三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)(共20分)………………(5分)………………(15分)………………(20分)………………(5分)………………(15分)………………(20分)(共20分) 17、(20分)(可能有多种解法)解 I.由13n n a a +=+，得 2211640n n n n a a a a +++++=， …………………⑴同理可得 222212640n n n n a a a a +++++++=，………⑵ ……………………3分 由⑴⑵可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=-因为121,5,a a ==所以n a 为正整数． ………………………………………6分 Ⅱ.不存在*m N ∈，使得2015m a ． ………………………………………10分假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a ．一方面，2214m m m a a a ++=+， 所以21314m a ++,即214(mod 31)m a +≡-，所以301530142(mod 31)m a +≡-≡-． 由费马小定理知3021(mod 31)≡，所以3011(mod 31)m a +≡-…………………15分另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾．所以，由费马小定理得3011(mod 31)m a +≡．这样得到11(mod 31)≡-.矛盾．所以不存在*m N ∈，使得2015m a .………………………………………20分 18、(20分)(可能有多种解法)解(6分)(16分)(20分)。